apostila de física matemática

Edson Sardella

Fsica-Matemtica: Teoria e Aplicaes

So Paulo Fundao Editora da UNESP 2008

SumrioPrefcio Abreviaes 1 Frmulas e Funes Bsicas1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 3.1 3.2 3.3 3.4 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funes Hiperblicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relaes de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relaes entre Funes Trigonomtricas e Hiperblicas Propriedades Bsicas da Funo ln x . . . . . . . . . . Fatorial e Duplo Fatorial . . . . . . . . . . . . . . . . . Regras de Derivao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regra de L'Hpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integrao por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . Notao de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . Srie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . Srie de Maclaurin . . . . . . . . . . . . Resto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Srie de Taylor Revisitada . . . . . . . . Critrio de Convergncia de d'Alembert Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . Vetores e Escalares . . . lgebra dos Vetores . . Vetores Unitrios . . . . Sistema de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Retangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12 13 1414 14 15 15 15 16 16 16 17 17 18 18 20 21 21 25 27 30 31 32 32

2 Sries Innitas

18

3 Anlise Vetorial

30

8

Sumrio

3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15 3.16 3.17 3.18 3.19

Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . Lei dos Cossenos . . . . . . . . . . . . . . Produtos Duplos . . . . . . . . . . . . . . Projeo de um Vetor . . . . . . . . . . . Rotao de Coordenadas . . . . . . . . . . Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . Divergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exemplos de Campos Vetoriais . . . . . . Frmulas que Envolvem e . . . . Integral de Linha . . . . . . . . . . . . . . Teorema do Divergente . . . . . . . . . . . Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . Equaes de Maxwell . . . . . . . . . . . . 3.19.1 Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . 3.19.2 Lei de Ampre . . . . . . . . . . . 3.19.3 Lei de Faraday . . . . . . . . . . . 3.19.4 Ausncia de Monopolo Magntico 3.19.5 Lei de Ampre-Maxwell . . . . . . 3.20 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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34 34 36 36 37 38 41 44 44 45 46 49 51 53 53 53 54 55 55 56 57

4 Coordenadas Curvilneas4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7

Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elementos de Comprimento, rea, e Volume . Gradiente, Divergente, e Rotacional . . . . . Coordenadas Cilndricas . . . . . . . . . . . . Coordenadas Esfricas . . . . . . . . . . . . . Separao de Variveis . . . . . . . . . . . . . Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduo . . . . . . . . . . . . Soluo Geral da EDH . . . . . Segunda Soluo . . . . . . . . Soluo Geral da EDNH . . . . Mtodo de Frobenius . . . . . . Equao Indicial . . . . . . . . Coecientes Constantes . . . . 5.7.1 Razes Reais e Distintas 5.7.2 Razes Reais e Iguais . . 5.7.3 Razes Complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

60 62 63 66 67 68 72

5 Equaes Diferenciais Ordinrias

75

75 76 77 78 81 87 94 94 95 95

Sumrio

9

5.8 5.9 6.1 6.2

Solues Numricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nmeros Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Operaes com Nmeros Complexos . . . . . . . . . 6.2.2 Representao Grca de um Nmero Complexo . . Funes Complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Condies de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . Teorema Integral de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . Frmula Integral de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . Srie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pontos Singulares e Plos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Srie de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teorema dos Resduos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aplicao: Integrais Trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . Aplicao: Integrais Imprprias . . . . . . . . . . . . . . . . 6.12.1 Integrais Imprprias de Funes Racionais . . . . . . 6.12.2 Integrais Imprprias de Funes Racionais e Trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aplicao: Integrais Imprprias com Plos . . . . . . . . . . Lema de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduo . . . . . . . . Funes Peridicas . . . Funes Ortogonais . . . Srie de Fourier . . . . . Identidade de Parserval Funes Pares e mpares Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Variveis Complexas

102

6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12

102 102 102 103 105 105 107 111 113 115 115 117 120 122 123 125 126 128 129

6.13 6.14 6.15 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 8.1 8.2 8.3

7 Sries de Fourier

133

133 133 134 136 136 137 141 143 143 147 148 150 150 152

8 Problemas de Valores de Contorno

Equao de Difuso do Calor . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1 Condies de Contorno Homogneas . . . . . . . 8.1.2 Condies de Contorno No-Homogneas . . . . Equao da Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas de Dirichlet e de Neumann . . . . . . . . . . 8.3.1 Equao de Laplace: Coordenadas Retangulares 8.3.2 Equao de Laplace: Coordenadas Polares . . . .

143

10

Sumrio

8.4 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . Representaes da Funo Delta . . . . Propriedades da Funo Delta . . . . . . Funo de Heaviside . . . . . . . . . . . Funo Delta em duas e trs Dimenses Relao de Fechamento . . . . . . . . . Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . Seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 Funo Delta de Dirac

157

157 158 160 162 163 165 166 168 171 171 172 172 175

10 Transformadas de Fourier10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 11.1 11.2 11.3 11.4 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7

Teorema de Fourier . . . . . . . . Teorema de Convoluo . . . . . Identidade de Parserval . . . . . Transformada das Derivadas . . . Transformada de Fourier Cosseno Problemas . . . . . . . . . . . . .

168

11 Teoria de Sturm-Liouville: Funes OrtogonaisIntroduo . . . . . . . . . . . . . . Equao Diferencial Auto-adjunta Funes Ortogonais . . . . . . . . . Problemas . . . . . . . . . . . . . .

177

177 178 180 181 184 184 188 189 191 192 193 195 197 198 199 201 203 204

12 Polinmios de Hermite

Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . Oscilador Harmnico Simples Quntico . Relaes de Recorrncia . . . . . . . . . Funo Geradora . . . . . . . . . . . . . Frmula de Rodrigues . . . . . . . . . . Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . Sries Innitas . . . . . . . . . . Anlise Vetorial . . . . . . . . . . Coordenadas Curvilneas . . . . . Equaes Diferenciais Ordinrias Variveis Complexas . . . . . . . Sries de Fourier . . . . . . . . . Equaes Diferenciais Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

184

13 Problemas Adicionais

195

Sumrio

11

13.8 Funo Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 13.9 Teoria de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 13.10Polinmios de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

Bibliograa ndice Remissivo

207 208

PrefcioEste livro nasceu da experincia do autor em ministrar a disciplina FsicaMatemtica para o curso de Licenciatura em Fsica do Departamento de Fsica, Campus Universitrio da UNESP de Bauru. So vrios os livros textos sobre este assunto. Assim, perfeitamente questionvel a confeco deste livro. Entretanto, os livros textos freqentemente contm uma enorme quantidade de informaes, o que muitas vezes inviabiliza a abordagem de todos os sub-tpicos de um determinado tpico especco numa disciplina de seis crditos num semestre. Foi diante desta diculdade que o autor deparou-se com a necessidade de selecionar os principais sub-tpicos de cada assunto sempre tendo como objetivo principal proporcionar aos alunos de fsica os elementos essenciais para facilitar o acompanhamento e compreenso mais efetivos das disciplinas prossionalizantes do Curso de Licenciatura tais como Eletromagnetismo, Estrutura da Matria, e Mecnica Quntica. Em outras palavras, este livro foi concebido para ser um guia prtico em sala de aula. Portanto, para complementar o contedo adquirido nas aulas, recomenda-se fortemente a consulta de livros clssicos da disciplina, tais como Fsica-Matemtica de Eugene Butkov, e Mathematical Methods for Physicists de George Arfken. Evitou-se tanto quanto possvel, demonstraes de teoremas. A nfase dada nas aplicaes destes tanto para casos de interesse puramente acadmico como para aqueles casos que aparecem na soluo de problemas de fsica. Como se trata de uma primeira tentativa de desenvolver um conjunto de tpicos para a disciplina de Fsica-Matemtica, qualquer sugesto que vise sua melhoria e aprimoramento ser bem vinda pelo autor. Edson Sardella Bauru, So Paulo, fevereiro de 2008.

AbreviaesEDH EDNH Re(z) Im(z) Arg(z) Res(f, zk ) F {f (x)} F 1 {f (x)} Equao Diferencial Homognea Equao Diferencial No-Homognea Parte real de um nmero complexo z Parte imaginria de um nmero complexo z Argumento de um nmero complexo z Resduo de f (z) em z = zk Transformada de Fourier direta Transformada de Fourier inversa

Captulo 1

Frmulas e Funes Bsicas1.1 IntroduoAo longo deste livro usaremos algumas funes elementares e importantes frmulas matemticas. Embora a maioria delas de conhecimento do leitor, com o objetivo de escrever um livro auto-contido, catalogamos as principais funes elementares, suas propriedades fundamentais, bem como regras de derivao e integrao, dentre outras.

1.2 Funes HiperblicasAs funes hiperblicas so denidas por:

sinh x = cosh x = tanh x = coth x =

1 x (e ex ) , 2 1 x (e + ex ) , 2 sinh x , cosh x cosh x . sinh x

(1.1)

Captulo 1: Frmulas e Funes Bsicas

15

1.3 Relaes de EulerExistem importantes relaes entre as funes trigonomtricas e a exponencial. Estas so conhecidas como relaes de Euler.1 Temos

cos sin onde i =

= =

1 i (e + ei ) , 2 1 i (e ei ) , 2i

(1.2)

1 a unidade imaginria.

1.4 Relaes entre Funes Trigonomtricas e Hiperblicassin(ix) = sinh(x) , cos(ix) = cosh(x) , tan(ix) = tanh(x) , cot(ix) = coth(x) .

(1.3)

1.5 Propriedades Bsicas da Funo ln xEmbora de conhecimento do leitor, convm relembrar algumas propriedades importantes da funo ln x. Estas propriedades so muito usadas na determinao da segunda soluo de equaes diferenciais lineares de segunda ordem. Temos

ln xa = a ln x , ln(xy) = ln x + ln y , x = ln x ln y , ln y eln x = x.(1.4)1 Leonhard Euler (1707 - 1783) nasceu em Basilia, Sua, onde seu pai era ministro

religioso e possua alguns conhecimentos matemticos. Mesmo tendo perdido a viso ainda jovem por causa de uma catarata, continuou suas intensas atividades de pesquisa em matemtica.

16


1.6 Fatorial e Duplo Fatorial muito freqente o aparecimento de fatorial e duplo fatorial em problemas de Fsica-Matemtica. Temos

n! = (2n)!! =

n (n 1) (n 2) . . . 2 1 , (2n) (2n 2) . . . 4 2 ,

(2n + 1)!! = (2n + 1) (2n 1) . . . 3 1 .A segunda (terceira) das relaes acima representa o produto somente dos nmeros pares (mpares). Note que as denies acima seguem as seguintes propriedades

(n + 1)! = (n + 1)n! , (2n)!! = 2n n! , (2n)! , (2n)!! = (2n 1)!! (2n + 1)! (2n + 1)!! = . (2n)!!

(1.5)

1.7 Regras de DerivaoDerivada do produto e do quociente de duas funes:

d(f g) dx d f dx gRegra da cadeia:

= =

df dg g+f , dx dx dg df dx g f dx . g2

(1.6)

df [g(x)] df dg = . dx dg dx

(1.7)

1.8 Regra de L'HpitalConsidere duas funes f (x) e g(x) diferenciveis em a < x < b; seja x0 um ponto neste intervalo tal que f (x0 ) = g(x0 ) = 0. Ento

Captulo 1: Frmulas e Funes Bsicas

17

xx0

lim

f (x) f (x) = lim , xx0 g (x) g(x)

(1.8)

onde a linha indica a primeira derivada. Se a indeterminao persistir, necessrio a aplicao da regra mais de uma vez at que seja removida. A regra de L'Hpital tambm se aplica a indeterminaes do tipo /.

1.9 Integrao por PartesSeja u e v duas funes reais de uma varivel x. Ento

u dv = uv

v du .

(1.9)

1.10 Notao de VetoresPara nalizar, importante chamar a ateno do leitor para a notao de vetores que usaremos. Denotaremos um vetor por uma letra em negrito como em F, e seu mdulo pela mesma letra, porm em itlico como em F .

Captulo 2

Sries Innitas2.1 IntroduoUma srie innita uma soma de innitos termos. Existem dois tipos de srie, as sries numricas e as sries de funes. Neste Captulo estudaremos apenas esta ltima. Primeiramente estudaremos a srie de Taylor. No Captulo 6 veremos um novo tipo de srie conhecida como srie de Laurent, e no Captulo 7 a srie de Fourier. O estudo das sries de funes importante pois possui vrias aplicaes, tais como na soluo de equaes diferenciais lineares de segunda ordem, sejam estas ordinrias ou parciais.

2.2 Srie de TaylorConsideremos uma funo f (x). Suponhamos que f (x) e suas derivadas de todas as ordens f (x), f (x), . . ., f (j) (x) so continuas no intervalo b x c. Aqui usamos a notao

dj f (x) , f (0) (x) = f (x) . dxj Consideremos a integral da j -sima derivada de f (x), f (j) (x) =x a

(2.1)

f (j) (x) dx

x

=a

df (j1) (x) dx dxx a

= =

f (j1) (x)

f (j1) (x) f (j1) (a) .

(2.2)

Captulo 2: Sries Innitas

19

Integrando novamente, encontramosx a a x

f (j) (x) dx

x

dx =a

f (j1) (x) f (j1) (a) dx

=

f (j2) (x) f (j2) (a) (x a)f (j1) (a) , (2.3)

onde na passagem da primeira para a segunda linha usamos (2.2) recursivamente. Continuando, obtemosx a x a x a x

f (j) (x) dx

dx dx =

=a

f (j2) (x) f (j2) (a) (x a)f (j1) (a) dx (x a)2 (j1) f (a) . 2 (2.4)

= f (j3) (x) f (j3) (a) (x a)f (j2) (a)

Continuando este processo, obtemos para a n-sima integralx a a (jn) x x

a

f (j) (x) dx dx dx =nintegrais (jn)

=f (x) f (a) (x a)f (jn+1) (a) (x a)2 (jn+2) (x a)n1 (j1) f (a) f (a) . 2! (n 1)!Tomando-se j = n, a equao acima toma a formax a a x x

(2.5)

a

f (n) (x) dx dx dx =nintegrais

= f (x) f (a) (x a)f (a) (x a)n1 (n1) f (a) . (n 1)!

(x a)2 f (a) 2!(2.6)

Resolvendo para f (x), nalmente encontramos

20


f (x)

= f (a) + (x a)f (a) + + +

(x a)2 f (a) 2!(2.7)

(x a)n1 (n1) f (a) + Rn , (n 1)!

onde Rn conhecido como o resto da srie e denido porx x x

Rn =a a

a

f (n) (x) dx dx dx .nintegrais

(2.8)

Quando a funo f (x) for tal que

n

lim Rn = 0 ,

(2.9)

ento a srie torna-se uma soma innita de termos. Temos

f (x) = =

f (a) + (x a)f (a) + n=0

(x a)2 f (a) + 2!(2.10)

f (n) (a) (x a)n . n!

Esta srie conhecida como srie de Taylor.1

2.3 Srie de MaclaurinA expanso de uma funo em srie de Taylor em torno da origem conhecida como srie de Maclaurin. Tomando-se a = 0 em (2.10), obtemos

f (x) = =

f (0) + xf (0) + n=0

x2 f (0) + 2!(2.11)

f (n) (0) n x . n!

1 Publicado pelo matemtico ingls Brook Taylor (1685 - 1731) em 1715.


21

2.4 RestoO resto (2.8) pode ser escrito numa forma mais prtica usando-se o teorema do valor mdio do Clculo Integral. Se g(x) for uma funo contnua no intervalo a x b, existe um ponto x = tal queb

g(x) dx = (b a)g() .a

(2.12)

Aplicando este teorema para a integral mais interior de (2.8), temosx x x

Rn

=a a

a

f (n) ()(x a) dx dx dx(n1)integrais

=

(x a)n f (n) () . n!

(2.13)

2.5 Srie de Taylor RevisitadaNesta Seo mostraremos uma outra forma de obtermos a srie de Taylor. Considere uma funo f (x) com derivadas contnuas de todas as ordens no intervalo x h. Seja a seguinte integral+h

I=

f (x) dx = f ( + h) f () .

(2.14)

Por meio da mudana de varivel x = + h t, podemos reescrever a integral acima comoh

I=0

f ( + h t) dt .

(2.15)

Integrando por partes, obtemosh

I

= =

tf ( + h t)|0 +h

h

tf ( + h t) dt0

hf () +0

tf ( + h t) dt .

(2.16)

Um nova integrao por partes nos leva seguinte expresso para a integral

22


I = hf () +

h2 f () + 2!

h 0

t2 f ( + h t) dt . 2!

(2.17)

Empregando este procedimento repetidas vezes e usando a equao (2.14) obtemos a frmula geral de Taylor

f ( + h) = f () + hf () +

h2 h3 f () + f () + . 2! 3!

(2.18)

Podemos escrever a srie numa forma mais familiar usando = 0 e h = x,

f (x) = f (0) + xf (0) +

x3 x2 f (0) + f (0) + , 2! 3!

(2.19)

que a srie de Maclaurin. Exemplo 2.1 Expandir a funo exponencial f (x) = ex em uma srie de Maclaurin. Soluo: Primeiramente devemos calcular as derivadas da funo. Temos, f (n) (x) = ex e conseqentemente f (n) (0) = 1. Substituindo as derivadas em (2.11), obtemos

ex

= 1+x+

x2 x3 + + 2! 3!(2.20)

=n=0

xn . n!

No zemos nenhuma meno convergncia da srie. Para isto precisamos analisar o resto. Pela equao (2.13), temos que

Rn

=

xn n! xn ex , n! e

(2.21)

pois x. Uma vez que x nito, podemos concluir que

xn =0. (2.22) n n n! Portanto, a srie converge no intervalo < x < . Exemplo 2.2 Determinar a expanso em srie de Maclaurin da funo f (x) = ln(1 + x). lim Rn = lim ex


23

x) , e f (n) (0) = (1)n1 (n 1)!. A substituio das derivadas em (2.11) produz x3 x2 + 2 3 xn (1)n1 . n n=1 x

n

Soluo: Derivando, fcil mostrar que f (n) (x) = (1)n1 (n 1)!(1 +

ln(1 + x) = =

(2.23)

Usando (2.13), o resto pode ser escrito como

Rn

=

(1)n1 xn , n

(n 1)! xn (1 + )n n!(2.24)

0x,

pois Rn |Rn |, e a funo 1/(1 + )n mxima quando = 0. Para 0 x 1, podemos garantir que

xn =0. (2.25) n n n Com efeito, a srie converge no intervalo 0 x 1. Exemplo 2.3 (Expanso Binomial) Expandir a funo f (x) = (1 + x)m em uma srie de Maclaurin, onde m pertence ao conjunto dos nmeros reais. Soluo: Usando regras de derivao, podemos facilmente mostrar que f (n) (x) = m(m 1)(m 2) (m n + 1)(1 + x)mn . Introduzindo as derivadas em (2.11), encontramos lim Rn = lim f (x) = 1 + mx + m(m 1) 2 m(m 1)(m 2) 3 x + x + . 2! 3!(2.26)

Neste caso, o resto dado por

Rn

=

m(m 1)(m 2) (m n + 1) xn (1 + )nm n! xn m(m 1)(m 2) (m n + 1) , 0 x , (2.27) n!

pois 1/(1 + )nm mxima quando = 0. Supondo 0 x 1,

24


n

lim Rn = lim m(m 1)(m 2) (m n + 1)n

xn =0. n!

(2.28)

Logo, a srie converge no intervalo 0 x 1. Exemplo 2.4 A energia relativstica de uma partcula dada por

E = mc2 1

v2 c2

1/2

.

(2.29)

Obter a energia cintica da partcula no limite de baixa velocidade, isto , v/c 1. Soluo: Comparando a ltima equao com (2.26), obtemos x = v 2 /c2 e m = 1/2. Temos

E

= =

mc2 1 + mc2 1 +

1 2

v2 c2

+

1 2

1 1 2 2!

v2 c2

2

+ (2.30)

1 v2 3 v4 + + . 2 c2 8 c4

O termo mc2 a energia de repouso, e a energia cintica dada por E mc2 . Temos

Ecintica = e

1 3 v2 mv 2 1 + + . 2 4 c2

(2.31)

No limite de v/c 0, encontramos a expresso clssica Ecintica = 1 mv 2 . e 2 Exemplo 2.5 (Dipolo Eltrico) Um dipolo eltrico constitudo de duas cargas pontuais de magnitude q como ilustrado na Fig. 2.1. Mostrar que no limite de a/r 1, o potencial eltrico no ponto P dada por

p cos pr = 3 , (2.32) 2 r r onde p = 2aq o momento de dipolo eltrico. Soluo: Os vetores r1 e r2 esto relacionados com r atravs de r1 = r ai e r2 = r + ai. Usando a lei dos cossenos podemos escrever (r, ) = r1 r2 = = r2 + a2 2ar cos r2 + a2 + 2ar cos 1/2 1/2

, .(2.33)

O potencial eltrico em P , no sistema CGS dado por


25

y P r2 r q a +q x +a r1

Figura 2.1: Dipolo eltrico.

(r, ) = =

q q r1 r 2 q r 1+

1a2 2ar cos 1/2 r2

1+

1

.(2.34)

a2 +2ar cos 1/2 r2

Usando a expanso binomial, vem que

(r, )

=

q r

=

1 a2 2ar cos 2 r2 2 1 a + 2ar cos 1+ 2 r2 q 2a cos + . r r 1+

+ + (2.35)

Desprezando termos de ordem igual ou superior a (a/r)2 , obtemos a equao (2.32).

2.6 Critrio de Convergncia de d'AlembertConsidere uma srie innita na sua forma geral

26


f (x) = =

a0 + a1 x + a2 x2 +

an xn .n=0

(2.36)

O critrio de d'Alembert2 estabelece que, se o limite

n

lim

an+1 1 , = an R

(2.37)

for nito, ento a srie converge no intervalo R < x < R. O valor de R conhecido como raio de convergncia. O critrio no garante convergncia nos extremos do intervalo, x = R. Exemplo 2.6 Mostrar que a srie (2.20) converge no intervalo < x < . Soluo: Comparando (2.20) com (2.36), temos que an = 1/n!, e an+1 /an = 1/(n + 1). Assim,

n

lim

an+1 1 =0, = lim n n + 1 an

(2.38)

de onde se deduz que R = . Conseqentemente, a srie converge no intervalo < x < . Exemplo 2.7 Mostrar que a srie (2.23) converge no intervalo 1 < x < 1. Soluo: Comparando (2.23) com (2.36), obtemos an = 1/n, e an+1 /an = n/(n + 1). Usando a regra de L'Hpital, temos que

n

lim

an+1 1 n = lim =1. = lim n 1 n n + 1 an

(2.39)

Da, obtemos R = 1. De maneira que a srie converge para todo |x| < 1. Esta srie converge para x = 1, embora o critrio de d'Alembert no capaz de detectar convergncia neste ponto. Exemplo 2.8 Mostrar que a srie (2.26) converge no intervalo 1 < x < 1.2 Jean Le R. d'Alembert (1717 - 1783) abandonado quando pequeno nos degraus da igreja de St. Jean Baptista de Rond, perto de Notre-Dame, em Paris, foi adotado por um humilde casal. Mais tarde descobriu-se que seu pai era o general da artilharia Chevalier Destouches e sua me a aristocrtica escritora Madame de Tenoim. Mas d'Alembert, quando se tornou um matemtico famoso, preferiu ser reconhecido como lho de seus pais adotivos.


27

Soluo: Procedendo de forma anloga aos casos anteriores, temos que neste caso an = m(m 1)(m 2) (m n + 1)/n!. Usando as regras de fatorial (1.5), tambm podemos escrever an = m!/n!(m n)!. Logo, temos quean+1 an = = = m! n!(m n)! (n + 1)!(m n 1)! m! n!(m n)(m n 1)! m! (n + 1)n!(m n 1)! m! mn . n+1

(2.40)

Tomando o limite,

mn an+1 = lim =1. n n + 1 an Ento a srie converge no intervalo 1 < x < 1.n

lim

(2.41)

2.7 Problemas2.1 Mostrar que

sin x =n=0

(1)n (1)nn=0

x2n+1 , (2n + 1)! x2n . (2n)!

cos x =

Aplicando o critrio de d'Alembert, determinar os raios de convergncia para ambos os casos. 2.2 Usando os resultados do Problema 2.1, e da srie da funo exponencial, mostrar que

eix = cos x + i sin x ,onde i a unidade imaginria. 2.3 Expandir (12tz +t2 )1/2 em potncias de t. Obter os coecientes de t0 , t1 , e t2 . O resultado que voc acaba de encontrar so os chamados polinmios de Legendre, P0 (z), P1 (z), P2 (z).

28


2.4 Obter os seguintes desenvolvimentos (2n1)!! x2n+1 n=1 (2n)!! 2n+1 , |x| 1 , 2 4 6 (b) ecos x = e 1 x + 4x 31x + , |x| < , 2! 4! 6! 2n+1 (c) ln(x + x2 + 1) = x + n=1 (1)n (2n1)!! x (2n)!! 2n+1 ,

(a) arcsin x = x +

|x| 1 .

2.5 Expandir as funes cosh x e sinh x em srie de Taylor. Determine o raio de convergncia para cada caso. 2.6 Mostrar que

x Bn n = x , ex 1 n=0 n!onde B0 = 1, B1 = 1/2, B2 = 1/6, B3 = 0, B4 = 1/30, etc. Os coecientes da srie Bn so conhecidos como nmeros de Bernoulli. 2.7 A soma relativstica de duas velocidades u e v dada por

w=

u+v , 1 + uv/c2

onde c a velocidade da luz no vcuo. Mostre que a expanso de w em potncias de uv/c2 dada por

w = (u + v) 1 Note que no limite uv/c2 w = u + v.

uv uv + 2 2 c c

2

.

1 obtemos a expresso clssica de Galileu

2.8 O deslocamento de uma partcula de massa de repouso m0 , resultando de uma constante de fora m0 g ao longo do eixo y 2 1/2 2 c gt 1 , y= 1+ g c a qual inclui os efeitos relativsticos. Mostrar que a expanso de y em potncias de gt/c dada por

y=

1 2 1 gt 1 2 4

gt c

2

+

.


29

Note que no limite gt/c Galileu.

1, y = gt2 /2, que a expresso clssica de

2.9 O perodo de um pndulo simples dado pela seguinte equao

T =4

l g

/2 0

1 sin2

M 2

1/2

sin2

d ,

onde M a amplitude mxima de oscilao. So dadas as seguintes integrais/2 0

sin2 d =

, 4

/2 0

sin4 d =

3 . 16

Mostrar que

T = 2

l g

1+

1 M 9 M sin2 + sin4 + . 4 2 64 2

2.10 A teoria de radiao do corpo negro de Planck envolve a seguinte integral: 0

ex

x3 dx . 1

Mostrar que esta integral igual a 4 /15.

Sugesto: Primeiramente, usar a expanso binomial e mostrar que

(1 ex )1 =n=0

enx .

Segundo, usar os seguintes resultados n=1

1 4 = , 4 n 90

0

y 3 ey dy = 6 .

2.11 O uso da teoria relativstica de Dirac produz a seguinte frmula de espectroscopia atmica

E = mc2 1 +

2 (s + n |k|)2

1/2

,

onde s = (|k|2 2 )1/2 , k = 1, 2, 3, . . ., e 2 = Ze2 / c, onde Z o nmero atmico. Expandir E em potncias de 2 at ordem 4 .

Captulo 3

Anlise Vetorial3.1 Vetores e EscalaresExistem grandezas fsicas, tais como temperatura, presso, energia, dentre outras, que necessitam da especicao de apenas uma magnitude para descreve-las. Estas quantidades so chamadas de grandezas escalares. Existem outras grandezas na fsica, tais como deslocamento, velocidade, campo eltrico, dentre outras, que alm de uma magnitude, so caracterizadas por uma direo e um sentido. Tais quantidades so denominadas por grandezas vetoriais. Representamos um vetor por um segmento de reta orientado AB dirigido do ponto A para o ponto B , conforme ilustrado na Fig. 3.1. Para distinguir um vetor de um escalar, o denotaremos por uma letra em negrito ou por uma letra com uma seta em cima. Preferencialmente, usaremos a letra em negrito. Assim, o vetor AB ser representado por A, e o seu mdulo (ou magnitude) por uma letra em itlico. Assim, A representa o mdulo de A. O mdulo de um vetor a medida do tamanho do segmento orientado.

Figura 3.1: Representao grca de um vetor.

Captulo 3: Anlise Vetorial

31

3.2 lgebra dos VetoresDois vetores so iguais se e somente se possuem o mesmo mdulo, a mesma direo e o mesmo sentido. Na Fig. 3.1, A = B. Dizemos que dois vetores so paralelos se tiverem a mesma direo. O oposto de um vetor A um vetor que possui o mesmo mdulo, a mesma direo, porm sentido oposto ao de A. Denotamos este por A (ver Fig. 3.2).

Figura 3.2: Oposto de um vetor; multiplicao de um vetor por um escalar. A multiplicao de um escalar por um vetor A resulta em um vetor de mesma direo de A como ilustra a Fig. 3.2. O sentido de A ser o mesmo de A se for positivo, e oposto de A se for negativo. Dados A e B, determinamos a soma destes dois vetores reposicionando os de modo que a origem de um deles coincida com a extremidade do outro como ilustra a Fig. 3.3. O resultado um vetor C = A + B. Note que esta regra de soma de vetores equivalente regra do paralelogramo (ver Fig. 3.3).

Figura 3.3: Soma de vetores. A subtrao de dois vetores, A B, equivalente a somar A com o oposto de B (ver Fig. 3.4). A regra do paralelogramo para adio de vetores pode ser generalizada para mais de dois vetores. Esta regra conhecida como regra do polgono (ver Fig. 3.5). Temos as seguintes propriedades:

32


Figura 3.4: Subtrao de vetores.

Figura 3.5: Soma de vetores pela regra do polgono. 1. Comutativa da adio:

A+B=B+A,

(3.1)

a qual pode ser vericada facilmente usando a regra do paralelogramo. 2. Associativa da adio:

A + (B + C) = (A + B) + C ,

(3.2)

a qual pode ser vericada facilmente usando a regra do polgono.

3.3 Vetores UnitriosDenominamos por vetor unitrio aquele que possui mdulo exatamente igual a um. Se A um vetor de mdulo A, ento a = A/A um vetor unitrio de mesma direo e sentido de A.

3.4 Sistema de Coordenadas RetangularesConsidere trs vetores unitrios i, j, e k. Cada um deles dene o sentido positivo dos eixos coordenados (x, y, z) (ver Fig. 3.6). Os vetores unitrios so mutuamente perpendiculares. Assim, este sistema de coordenadas ortogonal. Todo vetor A pode ser escrito como uma combinao linear dos vetores unitrios (ver Fig. 3.7). Temos


33

Figura 3.6: Vetores unitrios i, j, k.

A = Ax i + Ay j + Az k ,

(3.3)

onde (Ax , Ay , Az ) so as componentes do vetor A. Assim, a soma de dois vetores A e B ser dada pela soma de suas componentes. Este mtodo algbrico de somar vetores muito mais prtico do que o mtodo grco.

Figura 3.7: Sistema de coordenadas retangulares. O mdulo de um dado vetor u denido por

u = |u| =

u2 + u2 + u2 . x y z

(3.4)

34


Um vetor muito especial que usaremos ao longo deste livro o vetor de posio r = xi + yj + zk, cujo mdulo escreve-se como r = x2 + y 2 + z 2 , que a distncia de O ao ponto de coordenadas (x, y, z).

3.5 Produto EscalarO produto escalar entre dois vetores u e v, denotado por u v, denido por

u v = uv cos ,onde o ngulo formado entre os dois vetores. Com efeito, os vetores unitrios tm as seguintes propriedades:

(3.5)

ii=jj=kk=1, ij=ik=jk=0.

(3.6)

Note que o produto escalar resulta em um escalar e no em um vetor. O produto escalar tem as seguintes propriedades: 1. Comutativa:

uv =vu.2. Distributiva:

(3.7)

u (v + w) = u v + u w .

(3.8)

Usando-se (3.6) e a propriedade distributiva podemos reescrever o produto escalar como

u v = ux vx + uy vy + uz vz .

(3.9)

Note tambm que (a) uu = u2 ; (b) uv = 0 se u e v so perpendiculares.

3.6 Produto VetorialDenota-se por uv o produto vetorial entre dois vetores u e v, cujo mdulo dado por

|u v| = uv sin ,

0,

(3.10)


35

onde o menor ngulo formado entre os dois vetores u e v. Ento, se u e v so paralelos, o produto vetorial entre eles identicamente nulo. O vetor w = u v um vetor cuja direo perpendicular ao plano formado por u e v. O sentido tal que u, v, e w formem um triedro direto. O produto vetorial segue as seguintes propriedades: 1. Anti-Comutativa:

u v = v u .2. Distributiva:

(3.11)

u (v + w) = u v + u w .

(3.12)

Usando-se a denio do produto vetorial, podemos mostrar que os vetores unitrios tm as seguintes propriedades:

ii=jj=kk=0, i j = k , i k = j , j k = i .

(3.13)

Agora, usando estes resultados e a propriedade distributiva do produto vetorial, podemos mostrar que

uv

= (ux i + uy j + uz k) (vx i + vy j + vz k) = (uy vz uz vy )i + (uz vx ux vz )j + (ux vy uy vx )k . (3.14)

Esta equao tambm pode ser escrita mais convenientemente na forma de um determinante

uv =

i ux vx

j uy vy

k uz vz

.

(3.15)

O mdulo do produto vetorial pode ser facilmente obtido usando-se a denio do produto escalar. Temos

(u v) (u v) = (uy vz uz vy )2 + (ux vz uz vx )2 + (ux vy uy vx )2 2 2 = u2 vz + u2 vy 2uy uz vy vz y z

36

Fsica-Matemtica: Teoria e Aplicaes2 2 +u2 vx + u2 vz 2ux uz vx vz z x 2 2 +u2 vy + u2 vx 2ux uy vx vy x y 2 2 +u2 vx u2 vx x x 2 2 +u2 vy u2 vy y y 2 2 +u2 vz u2 vz , z z

(3.16)

onde foram somados e subtrados seis termos sem alterar o resultado nal. 2 2 Os termos positivos podem ser fatorados na forma (u2 + u2 + u2 )(vx + vy + x y z 2 2 2 2 2 vz ) = u v e os negativos na forma (ux vx + uy vy + uz vz ) = (u v) . Assim, usando-se (3.5), obtemos

(u v) (u v) = = = =

u2 v 2 (u v)2 u2 v 2 (uv cos )2 u2 v 2 (1 cos2 ) u2 v 2 sin2 .

(3.17)

Extraindo a raiz quadrada, obtemos o resultado desejado (3.10).

3.7 Lei dos CossenosSeja w = u + v. Temos

w2

= = = =

(u + v) (u + v) uu+uv+vu+vv u2 + v 2 + 2u v u2 + v 2 + 2uv cos ,

(3.18)

onde, na ltima linha usamos a denio do produto escalar. Extraindo a raiz quadrada, obtemos

|u + v| =

u2 + v 2 + 2uv cos .

(3.19)

3.8 Produtos DuplosOs produtos escalar e vetorial podem se combinados de vrias maneiras, tais como:


37

1. Produto misto:

u (v w) = (w u) v = (u v) w =

ux vx wx

uy vy wy

uz vz wz

. (3.20)

2. Duplo produto vetorial:

A (B C) = B(A C) C(A B) ,conhecida como regra BAC CAB (l-se bac menos cab ).

(3.21)

O mdulo do produto misto igual ao volume de um paraleleppedo (ver Fig. 3.8). A rea do paralelogramo formado pelos vetores B e C dada por |B C|, ao passo que a altura h dada pela projeo do vetor A ao longo do vetor unitrio n. Temos que o volume igual a

(A n)(|B C|) = A (|B C|n) = A (B C) .

(3.22)

Se os vetores A, B e C no formam um triedro direto, ento A n < 0. Para garantir que o resultado positivo adotamos o mdulo do produto misto.

Figura 3.8:

3.9 Projeo de um VetorConsideremos um vetor u que forma um ngulo com um segundo vetor s (ver Fig. 3.9). A projeo de u sobre s denida como sendo o mdulo de u vezes o cosseno do ngulo entre os dois vetores:

us = u cos .

(3.23)

38


Lembrando que u = ux i + uy j + uz k, a equao acima pode ser usada recursivamente para obtermos

us = ux cos(i, s) + uy cos(j, s) + uz cos(k, s) ,onde, por exemplo, (i, s) o ngulo formado entre (i e s).z

(3.24)

s

O

1 u y

x

Figura 3.9:

3.10 Rotao de CoordenadasConsidere uma rotao do sistema de coordenadas retangulares (x, y) de um ngulo em torno do eixo z (ver Fig. 3.10). Denotemos por (x , y ) as coordenadas do sistema rotacionado. O nosso objetivo saber como se relacionam as componentes de um vetor u nos dois sistemas de coordenadas. Usando (3.24), as coordenadas do vetor u no sistema de coordenadas (x , y ) sero dadas por

ux

= ux cos(i , i) + uy cos(i , j) = ux cos + uy cos(/2 ) = ux cos + uy sin ,

(3.25)

e


39

Figura 3.10:

uy

= = =

ux cos(j , i) + uy cos(j , j) ux cos(/2 + ) + uy cos ux sin + uy cos .

(3.26)

Considere a generalizao para o caso tri-dimensional. Temos

ux uy uz

= ux cos(i , i) + uy cos(i , j) + uz cos(i , k) , = ux cos(j , i) + uy cos(j , j) + uz cos(j , k) , = ux cos(k , i) + uy cos(k , j) + uz cos(k , k) .

(3.27)

conveniente mudarmos a notao de (ux , uy , uz ) para (u1 , u2 , u3 ) e denir amn = cos(m, n), onde (m, n) = 1, 2, 3. Assim, as equaes acima podem ser reescritas como

u1 u2 u3

= a11 u1 + a12 u2 + a13 u3 , = a21 u1 + a22 u2 + a23 u3 , = a31 u1 + a32 u2 + a33 u3 .

(3.28)

Os coecientes amn = cos(m, n) so conhecidos como cossenos diretores. A equao anterior pode tambm ser escrita na forma matricial a11 a12 a13 u1 u1 u2 = a21 a22 a23 u2 , (3.29) u3 a31 a32 a33 u3

40


ou ainda na forma abreviada usando somatrio3

um =n=1

amn un .

(3.30)

Seja agora o caso particular u = (1, 0, 0) = i. Substituindo em (3.29), obtemos para as novas componentes de u

u1 = a11 , u2 = a21 ,de tal maneira que

u3 = a31 ,

(3.31)

i = a11 i + a21 j + a31 k .Analogamente, substituindo u por (0, 1, 0) ou (0, 0, 1) , obtemos

(3.32)

j = a12 i + a22 j + a32 k ,e

(3.33)

k = a13 i + a23 j + a33 k .

(3.34)

Suporemos que o novo sistema de coordenadas (x , y , z ) ortogonal, isto , os vetores unitrios (i , j , k ) obedecem as mesmas propriedades que as (3.6) para os vetores (i, j, k). Temos

ii jj kk ij ik jk

= = = = = =

a2 + a2 + a2 = 1 , 11 21 31 a2 + a2 + a2 = 1 , 12 22 32 a2 + a2 + a2 = 1 , 13 23 33 a11 a12 + a21 a22 + a31 a32 = 0 , a11 a13 + a21 a23 + a31 a33 = 0 , a12 a13 + a22 a23 + a32 a33 = 0 .

(3.35)

Portanto, a soma dos quadrados dos elementos dentro de uma coluna igual a um, e a soma dos produtos dos elementos de diferentes colunas igual a zero. Matrizes que obedecem esta propriedade so chamadas de matrizes ortogonais. As seis equaes (3.35) podem ser escritas em uma forma compacta como segue3

aij aik = jk =i=1

1, j=k 0, j=k

,

(3.36)

onde ij conhecido como delta de Kronecker.


41

3.11 GradientePor convenincia, mudemos a notao de (x, y, z) para (x1 , x2 , x3 ). Seja (x1 , x2 , x3 ) uma funo escalar da posio, por exemplo, temperatura, densidade de energia, etc. O valor de , deve independer do sistema de coordenadas,

(x1 , x2 , x3 ) = (x1 , x2 , x3 ) .Derivando parcialmente com relao a xi (i = 1, 2, 3), temos

(3.37)

(x1 , x2 , x3 ) xi

= = =

(x1 , x2 , x3 ) xi x1 x2 x3 + + x1 xi x2 xi x3 xi3 j=1 3

xj xj xi aij , xjescrever (3.38)

=j=1

onde aij = xj /xi . Na forma matricial tambm podemos a11 a12 x1 = a21 a22 x2 a31 a32x3

a13 a23 a33

x1 x2 x3

.(3.39)

O vetor coluna que aparece em ambos os lados da equao acima conhecido como vetor gradiente da funo ,

+j +k , x y z onde o operador nabla denido por =i =i

(3.40)

+j +k . (3.41) x y z Este operador diferencial s tem efeito quando aplicado sobre uma funo escalar. Uma interpretao geomtrica interessante do gradiente que se (x, y, z) = C a equao de uma superfcie, ento normal a esta em

42


todos os seus pontos. Para ver isto, considere dois pontos P e Q de uma superfcie arbitrria (ver Fig 3.11). Seja dr o deslocamento entre os dois pontos. O deslocamento de P para Q causa uma mudana innitesimal em = C dada por

d = = =

dx + dy + dz x y z i +j +k (idx + jdy + kdz) x y z dr .

(3.42)

Figura 3.11: Interpretao geomtrica do gradiente. Por outro lado d = 0, logo perpendicular superfcie. O vetor normal superfcie obtido dividindo-se o gradiente pelo seu mdulo, n = /| |. Supor agora que P e Q esto localizados em superfcies diferentes, = C1 e = C2 (ver Fig. 3.12). Considerando os pontos innitesimalmente prximos, um deslocamento de um ponto ao outro causa uma mudana dada por


43

d = C2 C1 = = dr .(3.43)

z

Q = C 2 > C1 dr P = C1 y

xFigura 3.12: Outra interpretao geomtrica do gradiente. Esta mudana mxima quando o vetor paralelo a dr. Portanto, o gradiente indica o direo de maior crescimento da funo escalar . Exemplo 3.1 Uma superfcie esfrica de raio r dada pela equao (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 = r. Determinar o vetor normal a qualquer ponto da esfera. Soluo: Temos as seguintes derivadas

44


x y z

= = =

x x2 x2 x2 + y + y + y2 y2 y2 + + + z2 z2 z2

= = =

x , r y , r z . r(3.44)

Substituindo na equao do gradiente (3.40), encontramos

xi + yj + zk r = . (3.45) r r O vetor acima unitrio e portanto no h necessidade de dividi-lo pelo seu mdulo. =

3.12 DivergenteExiste algumas formas de combinar o operador nabla com funes escalares e vetoriais. Na Seo anterior vimos que este operador aplicado a uma funo escalar resulta no gradiente. Podemos tambm combinar com uma funo vetorial atravs de um produto escalar. O divergente de uma funo vetorial denido por

ux uy uz + + . (3.46) x y z Note que o divergente de um vetor um escalar. Quando u tem valor positivo em um determinado ponto, dizemos que o campo vetorial tem uma vazo lquida para fora da vizinhana deste ponto. Este o caso do campo eltrico produzido por uma carga pontual. Dependendo do sinal da carga, as linhas de campo ou convergem para, ou divergem do ponto onde ela se encontra. O inverso ocorre com o campo magntico, pois neste caso as linhas de campo se fecham em si mesmas, isto , o campo tem circuitao (ou vorticidade). Neste ltimo caso, no h vazo: todas as linhas de campo que adentram uma determina superfcie fechada, iro emergir em algum outro ponto da mesma superfcie. u=

3.13 RotacionalTambm podemos combinar o operador nabla com um vetor atravs de um produto vetorial. O rotacional denido por


45

i u= ux x

j uy y

k uz z

.

(3.47)

Ao contrrio do divergente, se o campo tem vorticidade, ento o rotacional deste campo no nulo.

3.14 Exemplos de Campos Vetoriais1 0.8 0.6 0.4 0.2

y

0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1 -0.5 0 0.5 1

xFigura 3.13: Campo vetorial A = xi + yj. Um exemplo tpico de campo vetorial com divergente no nulo e rotacional identicamente nulo A = xi + yj, cuja representao grca encontra-se ilustrada na Fig. 3.13. Um segundo exemplo onde ocorre exatamente o oposto do exemplo anterior A = yi + xj, cujo grco mostrado na Fig. 3.14. Pode ocorrer de o campo vetorial no possuir simultaneamente vorticidade e divergncia. Como um caso tpico, temos o campo vetorial A = yi + xj (ver Fig 3.15).

46


1 0.8 0.6 0.4 0.2

y

0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1 -0.5 0 0.5 1

xFigura 3.14: Campo vetorial A = yi + xj.

3.15 Frmulas que Envolvem

e

Supondo que as derivadas parciais de f , g , u, e v existem, ento so vlidas as seguintes identidades

(f + g) = (f g) = f (f u) = f (f u) = f (

f+

g,

(3.48) (3.49)

g+g f , u+u f,

(3.50) (3.51) (3.52) (3.53)

u) + ( f ) u ,

( f) = 0 , ( u) = 0 ,


47

1 0.8 0.6 0.4 0.2

y

0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1 -0.5 0 0.5 1

xFigura 3.15: Campo vetorial A = yi + xj.

(u v) = (v

)u + (u

)v + v (

u) + u ( v) ,

v) ,

(3.54) (3.55)

(u v) = v (

u) u (

(u v) = u(

v) v(2

u) + (v

)u (u

)v ,

(3.56) (3.57)

( f) =

f=

2f 2f 2f + 2 + 2 . 2 x y z

Esta ltima conhecida como o Laplaciano de f . Tambm temos

(2

u) =2

(2

u)

2

u,

(3.58) (3.59)

(f g) = f

g+g

f + 2( f ) ( g) .

Calcular

Exemplo 3.2 As foras centrais podem ser escritas como F = f (r)r. (f (r)r).

48


Soluo: Usando a identidade (3.51), temos que (f (r)r) = f r+ f r.(3.60) Usando a denio de rotacional (3.47) fcil mostrar que r = 0. Com efeito (f (r)r) = f r. Uma vez que f depende apenas do mdulo de r, temos

f

= =

f f f +j +k x y z df r df r df r i +j +k . dr x dr y dr z i

(3.61)

Similarmente ao Exemplo 3.1, obtemos

f = (r/r)df /dr. Portanto, r=0.(3.62)

(f (r)r) =

r df r dr

Exemplos de fora central so o da fora gravitacional e da fora de Coulomb, em que f (r) = C/r3 , onde C = Gm1 m2 para o primeiro caso e C = q1 q2 /4 0 para o segundo caso. Exemplo 3.3 Calcular r. Soluo: Pela denio (3.46), temos que

r=

x y z + + =1+1+1=3. x y z2

(3.63)

g(r), onde g uma funo que depende somente do mdulo de r. Soluo: Do Exemplo 3.2, vem que ( g(r)) = r dg r dr .(3.64)

Exemplo 3.4 Calcular

Agora, usando a identidade (3.50) e o resultado do Exemplo 3.3, obtemos

( g(r)) = = =

1 dg r+r r dr 3 dg r d +r r dr r dr 2 dg d2 g + 2 . r dr dr

1 dg r dr 1 dg r dr(3.65)


49

Se g(r) = rn , ento

( g(r)) = n(n + 1)rn2 .

(3.66)

Esta equao ser nula somente se n = 0 ou n = 1. Ou seja, o potencial de Coulomb g(r) = 1/r satisfaz a equao de Laplace 2 g = 0.

3.16 Integral de LinhaConsideremos (x, y, z) uma funo escalar e u(x, y, z) uma funo vetorial. Basicamente, existem trs formas de integral de linha. So elas,

dr ,C

u dr ,C

u dr ,C

(3.67) onde dr um elemento de comprimento de um contorno (aberto ou fechado) C de integrao. O mtodo de resoluo de uma integral de linha consiste em reduzi-la a integrais ordinrias as quais podemos resolver pelos mtodos usuais. Vejamos alguns exemplos. Exemplo 3.5 Integrar a funo (x, y) = xy desde a origem at o ponto (1, 1), seguindo os caminhos C1 e C2 indicados na Fig. 3.16. Soluo: Atravs do caminho C1 , temos que1 1

drC

= i0,y=0 1

dx + j0,x=1 1

dy y dy

= i0

0 dx + j0

= jAtravs de C2 temos

1 . 2

(3.68)

1

1

drC

= i0,y=x

dx + j0,y=x

dy

50


y

(1, 1) C2 C1 (1, 0) x

Figura 3.16: O caminho C1 : y = 0 entre (0, 0) e (1, 0), e x = 1 entre (1, 0) e (0, 1); o caminho C2 : y = x entre os pontos (0, 0) e (1, 1).1 1 0

= i0

x2 dx + j

x2 dx(3.69)

1 1 = i +j . 3 3

Exemplo 3.6 Integrar a funo F(x, y) = (x y)i + (x + y)j atravs da parbola que une os pontos (0, 0) e (1, 1) como ilustrado na Fig. 3.17.

y (1, 1) C x

Figura 3.17: O caminho C dado por y = x2 .

Soluo: Ao longo do caminho C , y = x2 . Temos


51

1

1

F dr =C 0,y=x2 1

(x y) dx +0,y=x2 1 0 1 0

(x + y) dy 2x(x + x2 ) dx

=0

(x x2 ) dx +

= =

x2 x3 x4 + + 2 3 2 11 . 6

(3.70)

3.17 Teorema do DivergenteSeja V um volume limitado por uma superfcie fechada S . Suponhamos que as componentes de um vetor u tenham derivadas parciais contnuas em S e no seu interior. Ento

u n dS =S V

u dV ,

(3.71)

onde n um vetor normal superfcie em qualquer ponto de S . Do lado esquerdo da equao acima temos uma integral de superfcie e do lado direito uma integral de volume. Para demonstrar este teorema, consideremos primeiro um elemento de volume V . Consideremos duas faces deste volume como ilustrado na Fig. 3.18. O uxo de u atravs das faces 1 e 2 so dados por

(valor de ux na face 1)yz , (valor de ux na face 2)yz .O uxo lquido ento dado por

(3.72)

[(valor de ux na face 2) (valor de ux na face 1)]yz = ux yz . (3.73) Repetindo-se o mesmo raciocnio para as outras faces obtemos o uxo total atravs de todas as faces

52


Figura 3.18: A face 1 corresponde ao plano x = 0 e a face 2 paralela a este plano.

ux yz + uy xz + uz xy = (

uy uz ux + + )xyz . x y z (3.74) Na forma diferencial esta equao pode ser reescrita como ux uy uz + + x y z Pela denio de uxo, dxdydz = udV .(3.75)

u nS =

uV ,

(3.76)

onde a soma refere-se a todas as faces do volume V . Imaginemos agora que o volume V possa ser subdividido em pequenas unidades innitesimais de volume Vi . Usando a ltima equao acima, temos

u dVV

=i

uVi u nSii

=


53

=S

u n dS .

(3.77)

3.18 Teorema de StokesSeja S uma superfcie bilateral limitada por uma curva fechada C . O teorema de Stokes estabelece que

u n dS =S C

u dr .

(3.78)

Deixaremos de lado a demonstrao deste teorema.

3.19 Equaes de Maxwell3.19.1 Lei de GaussEsta lei arma que o campo eltrico E produzido por uma certa distribuio de carga pode ser determinado pela equao

E n dS =S

q0

,

(3.79)

onde q a carga total no interior de S .1 Pelo teorema do divergente (3.71), temos

E n dS =S V

E dV .

(3.80)

Por outro lado, a carga total pode ser expressa em termos da densidade de carga atravs de

q=V

dV .

(3.81)

Substituindo as duas ltimas equaes em (3.79), obtemos

EV

0

dV = 0 .

(3.82)

Uma vez que V completamente arbitrrio, s podemos garantir que a integral acima seja nula se e somente se1 Esta lei foi primeiramente proposta por Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855), nascido na cidade de Brunswick, Alemanha. Trabalhou em diversos campos da matemtica e da fsica dentre eles a teoria dos nmeros, geometria diferencial, magnetismo, astronomia e tica.

54


E=

0

.

(3.83)

Esta a lei de Gauss na forma diferencial.

3.19.2 Lei de AmpreO campo magntico B no interior e nas vizinhanas de uma distribuio de corrente pode ser calculado pela lei de Ampre, a qual estabelece que

B dr = 0 I ,C

(3.84)

onde I a corrente total no interior de C .2 Do teorema de Stokes (3.78), temos que

B dr =C S

B n dS .

(3.85)

Agora, a corrente total no interior de C em termos da densidade de corrente J dada por

I=S

J n dS .

(3.86)

Combinando as duas equaes acima com a lei de Ampre (3.84), temos que

(S

B 0 J) n dS = 0 .

(3.87)

Sendo S uma superfcie inteiramente arbitrria, encontramos

B = 0 J .

(3.88)

Esta equao a lei de Ampre na forma diferencial. Veremos mais adiante que esta lei est incompleta. necessrio adicionar um termo a mais do lado direito da equao acima de tal forma a torna-la consistente com a lei de conservao da carga.2 Esta lei foi primeiramente enunciada por Andr Marie Ampre (1775 - 1836), nascido em Polemieux-Le-Mont-d'Or, uma herdade prxima a Lyon, Frana. Devido grande contribuio de Ampre eletrodinmica, Maxwell o apelidou de o Newton da Eletricidade.


55

3.19.3 Lei de FaradayO campo eltrico pode ser gerado por um campo magntico que varia no tempo. A lei de Faraday3 estabelece que

E dr = C

d dt

B n dS .S

(3.89)

Usando o teorema de Stokes no lado esquerdo da lei de Faraday, encontramos

E+S

B t

n dS = 0 .

(3.90)

Com efeito

E=

B , t

(3.91)

que a lei de Faraday escrita na forma diferencial.

3.19.4 Ausncia de Monopolo MagnticoAssumindo que as linhas de campo magntico tem uma vorticidade, o uxo de campo magntico atravs de qualquer superfcie fechada anula-se,

B n dS = 0 .S

(3.92)

Pelo teorema do divergente (3.71), temos que

B n dS =S V

B dV = 0 .

(3.93)

Conseqentemente

B = 0.Esta equao signica que na natureza no h monopolo magntico.

(3.94)

3 Michael Faraday (1791 - 1867) nasceu em Newington Butts, Surrey, em Londres, Inglaterra. Considerado por muitos como o maior fsico experimental da histria da cincia. De origem pobre (o seu pai trabalhava como ferreiro), logo cedo foi trabalhar em uma livraria como transportador e encadernador. Nas horas vagas dedicava-se leitura. Por isso, considerado por muitos como um autodidata.

56


3.19.5 Lei de Ampre-MaxwellJ mencionamos anteriormente que a lei de Ampre no descreve satisfatoriamente a conservao da carga. Vejamos por que. Da equao (3.88), e usando a identidade (3.53), temos que

(

B) = 0

J=0.

(3.95)

Este resultado est em desacordo com a equao de continuidade que expressa a conservao da carga,

=0. t Agora, usando a lei de Gauss (3.83), temos que J+ J+ 0

(3.96)

E E = J+ 0 =0. (3.97) t t Vemos ento que esta equao e (3.95) so incongruentes. Este aparente paradoxo pode ser resolvido adicionando-se um termo a mais na lei de Ampre de maneira que a equao da continuidade seja satisfeita, B = 0 J + 0 Jd .(3.98)

A densidade de corrente de deslocamento Jd pode ser determinada observando-se que

( B) = 0 (J + Jd ) = 0 . Comparando esta equao com (3.97), obtemos Jd =0

(3.99)

E . (3.100) t Assim, as quatro equaes fundamentais de Maxwell4 do eletromagnetismo podem ser escritas como E B E B = 0

,

= 0, B = , t = 0 J + 00

E . t

(3.101)

4 James Clerk Maxwell (1831 - 1879) nasceu em Edimburgo, Esccia. Entre os anos de 1860 e 1865 trabalhou no Kings College, de Londres, onde elaborou a teoria do eletromagnetismo sintetizada nas quatro clebres equaes que levam o seu nome.


57

3.20 Problemas3.1 Ache o volume do paraleleppedo de arestas A = 3i j, B = j + 2k, C = i + 5j + 4k. 3.2 Determine a de modo que 2i 3j + 5k e 3i + aj 2k sejam perpendiculares. 3.3 Se A = i + j, B = 2i 3j + k, C = 4j 3k, calcule o produto vetorial triplo A (B C) (a) usando a denio de produto vetorial, (b) usando a relao BAC-CAB. 3.4 So dados os vetores

a =

bc , a (b c)

b =

ca , a (b c)

c =

ab . a (b c)

Supor a (b c) = 0. Mostrar que

x y = xy ,onde (x, y = a, b, c). Este resultado importante no estudo de redes cristalinas em Fsica do Estado Slido. 3.5 Prove que a rea de um paralelogramo de lados A e B dado por |A B|. 3.6 Se A = (3x 6yz)i + (2y + 3xz)j + (1 4xyz)k, calcular C A dr de (0,0,0) a (1,1,1) ao longo dos seguintes percursos C : (a) x = t, y = t2 , z = t3 ; (b) segmentos de reta de (0,0,0) a (0,0,1), deste a (0,1,1), e deste a (1,1,1). 3.7 Se F = (x2 y 2 )i + 2xyj, calcular C A dr ao longo da curva C no plano xy , dada por y = x2 x do ponto (1,0) a (2,2).

58


3.8 Usando os teoremas do divergente e de Stokes, caso conveniente, calcule as seguintes integrais.

(a) u n dS , onde u = x3 i + y 3 j + z 3 k e S a esfera de raio R com centro na origem. (b) u n dS , onde u = x5 i + y 5 j + z 5 k e S a esfera do tem (a). (c) C u dr, onde u = 3yi + 3xj + k, e C o crculo x2 + y 2 = 1 situado no plano z = 2.3.9 Mostrar que

1 3

r n dA = V ,S

onde V o volume limitado pela superfcie fechada S . 3.10 Se B =

A, mostrar que B n dS = 0 ,S

para uma superfcie qualquer fechada S . 3.11 Sendo t = iy + jx, mostrar que

1 2

t dr = A ,C

onde A a rea limitada pelo caminho fechado C . 3.12 As foras conservativas podem sempre ser escritas como menos o gradiente de uma funo escalar

F= .Mostrar que o trabalho realizado por esta fora independe da trajetria da partcula. Analogamente, o campo eltrico dito conservativo se E = . Mostrar que2

=

0

,

onde a densidade de carga. Esta conhecida como equao de Poisson. Se = 0, a equao conhecida como equao de Laplace.


59

3.13 A energia magntica (por unidade de volume) armazenada nos campos eletromagnticos dada por

U=

1 1 BB. 0E E + 2 20

Usando as equaes de Maxwell, mostrar que

U =JE+ t

S,

onde S o vetor de Poyting e dado por

S=

1 EB. 0

3.14 Supor que os campos eletromagnticos dependem apenas da coordenada z e do tempo. Usando as equaes de Maxwell, mostrar que

By z Ex z Bx z Ey z

= = = =

0

0

Ex , t

By , t Ey 0 0 , t Bx . t

Usando estas equaes, mostrar que as componentes dos campos satisfazem a equao da onda

2 f (z, t) 1 2 f (z, t) = 2 , z 2 c t2 onde c = 1/ 00

a velocidade da luz no vcuo.

Captulo 4

Coordenadas Curvilneas4.1 IntroduoCom muita freqncia, encontramos problemas em fsica que no possuem uma simetria retangular. Portanto, conveniente mudarmos do sistema de coordenadas retangulares para o sistema de coordenadas correspondente simetria do problema em questo. Neste Captulo aprenderemos como encontrar uma correspondncia entre os pontos do sistema de coordenadas retangulares (x, y, z) e os pontos do sistema de coordenadas curvilneas que denotaremos por (q1 , q2 , q3 ). Na forma genrica, as equaes transformativas so escritas como

x = x(q1 , q2 , q3 ) , y = y(q1 , q2 , q3 ) , z = z(q1 , q2 , q3 ) .

(4.1)

Iremos impor que o novo sistema de coordenadas seja ortogonal. Para isto, necessrio encontrarmos os vetores unitrios que denam os sentidos positivos do eixos q1 , q2 , e q3 . Vejamos como encontrar estes vetores. Usando regras de derivao parcial, podemos escrever

dx dy dz

= = =

x dq1 + q1 y dq1 + q1 z dq1 + q1

x dq2 + q2 y dq2 + q2 z dq2 + q2

x dq3 , q3 y dq3 , q3 z dq3 . q3

(4.2)

Captulo 4: Coordenadas Curvilneas

61

Estas trs equaes tambm podem ser escritas abreviadamente como3

dxi =j=1

xi dqj . qj

(4.3)

Primeiramente, consideremos q2 e q3 constantes. Ento,

dr

= (dxi + dyj + dzk)q2 ,q3 x y z = i+ j+ k dq1 q1 q1 q1 r = dq1 . q1 q2 ,q3

(4.4)

O vetor

r q1

tantes. Denotando por a1 o vetor unitrio na direo do eixo q1 , podemos escrever

q2 ,q3

tangencial curva descrita por r com q2 e q3 cons-

a1 = onde

1 h1

r q1

=q2 ,q3

1 h1

x y z i+ j+ k q1 q1 q1

,

(4.5)

h1 =

r q1

=q2 ,q3

x q1

2

+

y q1

2

+

z q1

2

,

(4.6)

conhecida como mtrica ou fator de escala. Repetindo-se o mesmo procedimento para os eixos q2 e q3 encontramos para os outros vetores unitrios e mtricas,

a2 = a3 =

1 h2 1 h3 r q2

r q2 r q3

=q1 ,q3

1 h2 1 h3 x q2

x y z i+ j+ k q2 q2 q2 x y z i+ j+ k q3 q3 q32

, ,2

(4.7) (4.8)

=q1 ,q2

h2 =

=q1 ,q3

+

y q22

2

+

z q22

,

(4.9)

h3 =

r q3

=q1 ,q2

x q3

2

+

y q3

+

z q3

.

(4.10)

62


Tambm podemos escrever na forma compacta,

ai h2 i

=

1 hi3

3 j=1

xj xj , qi2

(4.11) (4.12)

=j=1

xj qi

,

onde (1 , x3 , x3 ) = (i, j, k). x Como veremos adiante, as mtricas assumem um papel fundamental nas novas representaes no sistema de coordenadas curvilneas. Usando o fato que xi xj = ij , e a equao (4.11), temos que

ai aj

= = = =

1 hi 1 hi hj 1 hi hj 1 hi hj

3 k=1 3

xk xk qi3

1 hj

3 l=1

xl xl qj

,

k=1 l=1 3 3

xk xl xk xl , qi qj xk xl kl , qi qj(4.13)

k=1 l=1 3 k=1

xk xk . qi qj

Se assumirmos que os novos vetores unitrios so ortogonais, ou seja, ai j = a ij , ento

1 hi hj

3 k=1

xk xk = ij . qi qj

(4.14)

Assim, Aij = (xi /qj )/hj uma matriz ortogonal.

4.2 Elementos de Comprimento, rea, e VolumeO comprimento de um elemento de arco ds dado por


63

ds2

= dr dr = (dx)2 + (dy)2 + (dz)23

=i=1

dx2 . i(4.15)

Usando a equao (4.3), temos que3 3

ds

2

=i=1 j=1 3 3

xi dqj qj3 i=1

3 k=1

xi dqk qk dqj dqk

=j=1 k=1 3 3

xi xi qj qk

=j=1 k=1 3

hj hk jk dqj dqk2 h2 dqj , j j=1

=

(4.16)

onde, na passagem da segunda para a terceira linha usamos a relao de ortogonalidade (4.14). O ltimo resultado sugere que no espao de coordenadas curvilneas o elemento de volume um paraleleppedo de lados h1 dq1 , h2 dq2 , e h3 dq3 . Conseqentemente, o elemento de volume em coordenadas curvilneas pode ser escrito como

dV = h1 h2 h3 dq1 dq2 dq3 .

(4.17)

Por m, o elemento de rea de qualquer uma das faces do paraleleppedo ser dada por dij = hi hj dqi dqj , com i = j .

4.3 Gradiente, Divergente, e RotacionalSeja (x, y, z) uma funo escalar com derivadas parciais contnuas. Usando a regra da cadeia, temos que

64


q1

x y z + + x q1 y q1 z q1 x y z = i+ j+ k i+ j+ k x y z q1 q1 q1 r = ( ) q1 q2 ,q3 = = ( ) (h1 a1 ) . (4.18)

De forma anloga, podemos mostrar que

q2 q3

= ( ) (h2 a2 ) , = ( ) (h3 a3 ) .

(4.19) (4.20)

As trs ltimas equaes tm solues nicas e so dadas por

1 1 1 a1 + a2 + a3 . (4.21) h1 q1 h2 q2 h3 q3 A m de obter a representao do divergente em coordenadas curvilneas usaremos o mesmo procedimento que na Seo 3.17. Imaginemos um elemento de volume em coordenadas curvilneas como ilustrado na Fig. 4.1. O uxo lquido de um campo vetorial u atravs das faces 1, 2, e 3 dado por = (u1 h2 h3 )q2 q3 (u2 h1 h3 )q1 q3 (u3 h1 h2 )q1 q2 = = = (u1 h2 h3 ) q1 q2 q3 , q1 (u2 h1 h3 ) q1 q2 q3 , q2 (u3 h1 h2 ) q1 q2 q3 . q3

(4.22)

Na forma diferencial o uxo lquido total pode ser escrito como

(u1 h2 h3 ) (u2 h1 h3 ) (u3 h1 h2 ) + + dq1 dq2 dq3 = q1 q2 q3

udV .

(4.23)

Por outro lado, usando a expresso do elemento de volume em coordenadas curvilneas (4.17), obtemos


65

Figura 4.1: Elemento de volume em coordenadas curvilneas.

u=

1 (u1 h2 h3 ) (u2 h1 h3 ) (u3 h1 h2 ) + + h1 h2 h3 q1 q2 q3

.

(4.24)

A determinao do rotacional em coordenadas curvilneas um pouco mais complexa e a deixaremos de lado. Temos que

u=

1 h1 h2 h3

h1 a1 h1 u1 q1

h2 a2 h2 u2 q2

h3 a3 h3 u3 q3

.

(4.25)

Da denio do Laplaciano (3.57), e das representaes do gradiente e do divergente em coordenadas curvilneas (4.21) e (4.24), respectivamente, temos que2

=

( ) =

1 h2 h3 h1 h2 h3 q1 h1 q1 h1 h2 + . q3 h3 q3

+

q2

h1 h3 h2 q2(4.26)

Nas prximas duas Sees iremos aplicar o formulrio acima para dois casos especcos de grande utilidade em fsica.

66


4.4 Coordenadas CilndricasEquaes transformativas:

x = cos , y = sin ,

z=z,

(4.27)

onde 0, 0 2 , z (ver Fig. 4.2).

z

k * 0 0 z r

y

xFigura 4.2: Coordenadas cilndricas. Vetor de posio:

r

= cos i + sin j + zk = 0 + zk .

(4.28)

Mtricas:

h1 = 1 , h 2 = ,Elemento de volume:

h3 = 1 .

(4.29)


67

dV = dddz .Gradiente:

(4.30)

= 0Divergente:

1 + 0 +k . z

(4.31)

u=Rotacional:

1 1 u uz (u ) + + . z

(4.32)

u=Laplaciano:2

1

0 u

0 u

k uz z

.

(4.33)

= =

1 1 2 2 + 2 + 2 z 2 2 1 1 2 2 + + 2 + . 2 2 z 2

(4.34)

4.5 Coordenadas EsfricasEquaes transformativas:

x = r sin cos ,

y = r sin sin ,

z = r cos ,

(4.35)

onde r 0, 0 , 0 2 (ver Fig. 4.3). Vetor de posio:

rMtricas:

= r sin cos i + r sin sin j + r cos k = rr0 .

(4.36)

h1 = 1 , h 2 = r ,Elemento de volume:

h3 = r sin .

(4.37)

dV = r2 sin drdd .

(4.38)

68z


ro o o

(x, y, z)

r

y (x, y, 0) x

Figura 4.3: Coordenadas esfricas. Gradiente:

= r0Divergente:

1 1 + 0 + 0 . r r r sin

(4.39)

u=

r2

1 u sin (r2 ur ) + r (sin u ) + r sin r

.

(4.40)

Rotacional:

1 u= 2 r sin Laplaciano:2

r0

ur

r

r 0 ru

r sin 0 r sin u

.

(4.41)

=

1 r2 r

r2

r

+

1 2 sin r

sin

+

2 1 . r2 sin2 2

(4.42)

4.6 Separao de VariveisNo que segue abaixo, listamos algumas das principais equaes diferenciais parciais da fsica.


69

Equao de Laplace:2

=0.

(4.43)

Equao de Poisson:2

=

0

.

(4.44)

Equao de difuso independente do tempo:2

k2 = 0 .

(4.45)

Equao de difuso dependente do tempo:2

=

1 . a2 t

(4.46)

Equao de Schrdinger:2

2

2m

+ V = E .

(4.47)

A incgnita nas equaes acima . Ao resolvermos as equaes acima, tentamos uma forma de transferir a soluo das equaes diferenciais parciais para a soluo de equaes diferenciais ordinrias mais simples. Este objetivo pode ser alcanado, usando-se o mtodo de separao de variveis. Para ilustrar como este mtodo funciona, consideremos a equao de difuso independente do tempo com o sinal mais. A idia separar a equao em trs equaes diferenciais ordinrias e independentes cada qual em uma nica varivel. Escrevemos

(x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z) .Substituindo esta equao em (4.45), obtemos

(4.48)

YZou ainda

d2 X d2 Y d2 Z + XZ 2 + XY 2 + k 2 XY Z = 0 , 2 dx dy dz

(4.49)

1 d2 X 1 d2 Y 1 d2 Z = k 2 . 2 2 X dx Y dy Z dz 2

(4.50)

70


Uma vez que as coordenadas (x, y, z) so independentes, ambos os lados da equao acima devem ser iguais a uma constante. Temos

1 d2 X X dx2 1 d2 Y 1 d2 Z k 2 Y dy 2 Z dz 2

= l2 = l2 .

(4.51) (4.52)

Rearranjando a ltima das duas equaes, tambm podemos escrever

1 d2 Y 1 d2 Z = k 2 + l2 . Y dy 2 Z dz 2

(4.53)

Igualmente ao caso anterior, ambos os membros da equao acima so iguais se ambos forem constantes. Temos

1 d2 Y 1 d2 Z = m2 , = n2 , Y dy 2 Z dz 2

(4.54)

onde k 2 = l2 + m2 + n2 . Para cada trinca de valores (l, m, n) teremos uma soluo lmn . Como a equao (4.45) linear (ver Captulo 5) em , uma combinao linear de solues tambm ser uma soluo da equao diferencial,

(x, y, z) =lmn

almn lmn (x, y, z) .

(4.55)

As constantes (l, m, n), e almn so determinadas de acordo com as condies de contorno impostas sobre a funo (x, y, z).1 Para o momento, o que importante notar, que transformamos o problema de resolver uma equao diferencial parcial na soluo de trs equaes diferenciais ordinrias. Este ltimo exemplo aplica-se a problemas com simetria retangular. Supor agora que a simetria seja esfrica. Neste caso, usamos o Laplaciano em coordenadas esfricas (4.42). A equao de difuso independente do tempo pode ser escrita como

1 r2 r

r2

r

+

1 2 sin r

sin

+

1 2 + k 2 = 0 . (4.56) r2 sin2 2

1 As condies de contorno so especicadas pelos valores da funo e/ou suas derivadas nas fronteiras de um determinado domnio (para maiores detalhes, ver Captulo 8).


71

Usando o mtodo de separao de variveis, podemos escrever

(r, , ) = R(r)()() .Substituindo esta equao em (4.56), encontramos

(4.57)

(4.58) Analogamente ao caso de coordenadas retangulares, assumimos (r, , ) como coordenadas independentes. Temos que

1 d2 1 d = r2 sin2 k 2 + 2 2 d r R dr

r2

dR dr

+

r2

1 d sin d

sin

d d

.

1 d2 + m2 = 0 , d2 dR 1 d QR r2 + k2 R 2 = 0 , r2 dr dr r 2 1 d d m sin + Q = 0 , sin d d sin2

(4.59) (4.60) (4.61)

onde m e Q so duas constantes de separao. Mais uma vez, vemos que a soluo de uma equao diferencial parcial se reduz soluo de trs equaes diferenciais ordinrias. Consideremos o caso particular k = 0, o qual corresponde equao de Laplace (4.43). Obtemos

1 d r2 dr

r2

dR dr

QR =0. r2

(4.62)

Supor que a soluo seja do tipo R(r) = Arn , onde A uma constante. Substituindo na equao diferencial para R, vem que

[n(n + 1) Q]rn2 = 0 .Assumindo r = 0, encontramos Q = n(n + 1). Assim, a equao para , com m = 0, toma a forma

(4.63)

1 d sin d

sin

d d

+ n(n + 1) = 0 .

(4.64)

A mudana de varivel x = cos , e o uso da regra da cadeia nos leva a equao

(1 x2 )

d2 d 2x + n(n + 1) = 0 . dx2 dx

(4.65)

72


Esta equao conhecida como equao de Legendre. No prximo Captulo veremos como resolve-la.

4.7 Problemas4.1 A transformao de coordenadas retangulares para coordenadas cilindro-parablicas denida pelas equaes x = 1 (u2 v 2 ), y = uv , 2 z = z . (a) Calcule as mtricas h1 , h2 e h3 . (b) Prove que a matriz 1 i Aij = hj xj ortogonal. (c) Escrever o gradiente, o divergente, o q Laplaciano e o rotacional em coordenadas cilindro-parablicas. 4.2 Considere as equaes transformativas de coordenadas abaixo:

x y z

= a cosh u cos v , = a sinh u sin v , = z.

(a) Calcule as mtricas h1 , h2 e h3 . (b) Determinar a matriz Aij = 1 xi hj qj e mostrar que ortogonal. (c) Escrever o gradiente, o divergente, o Laplaciano e o rotacional no novo sistema de coordenadas.4.3 As equaes transformativas de coordenadas retangulares xyz para esfricas so dadas por x = r sin cos , y = r sin sin , z = r cos . 1 xj Monte a matriz Bij = hi qi . Calcule a matriz inversa de B . 4.4 Usando as equaes (4.5-4.10) e o resultado do Problema 4.3, mostre que os vetores unitrios nos dois sistemas de coordenadas esto relacionados pelas equaes:

i j k

= r0 sin cos + 0 cos cos 0 sin , = r0 sin sin + 0 cos sin + 0 cos , = r0 cos 0 sin .

4.5 Mostrar que (/x, /y, /z) em coordenadas esfricas so dados por

x

= sin cos

1 sin + cos cos , r r r sin


73

y z

= sin sin

1 cos + cos sin + , r r r sin 1 = cos sin . r r xj qi

Sugesto : Calcular a inversa da matriz pela matriz coluna (/r, /, /).

e multiplicar o resultado

4.6 O operador momento angular denido por L = i (r ), onde i a unidade imaginria e = h/2 , sendo h a constante de Planck. (a) Usando os resultados do Problema 4.5, mostrar que Lz dado por

Lz = i

x

y y x

= i

.

(b) Mostrar que + i cot , i cot Lx iLy = ei

L+ L

= =

Lx + iLy = ei

.

Em Mecnica Quntica, L+ e L so conhecidos como operadores de levantamento e abaixamento, respectivamente. 4.7 Considere a equao de Laplace em coordenadas polares-cilndricas:

1

+

1 2 2 + =0. 2 2 z 2

Usando o mtodo de separao de variveis, mostre que a soluo desta equao se reduz soluo de trs equaes diferenciais lineares ordinrias dadas por

1 d d

dR d

d2 Z l2 Z = 0 , dz 2 d2 + m2 = 0 , d2 m2 + l2 2 R = 0 .

74


Fazendo a mudana de varivel x = l, mostrar que a equao radial pode ser escrita como

1 d x dx

x

dR dx

+ 1

m2 x2

R=0.

(4.66)

Esta equao conhecida como equao diferencial de Bessel. No Captulo 5 iremos resolver esta equao.

Captulo 5

Equaes Diferenciais Ordinrias5.1 IntroduoUma equao diferencial ordinria e linear de segunda ordem tem a seguinte forma geral

d2 y dy + B(x) + C(x)y = D(x) , (5.1) dx2 dx onde A(x), B(x), C(x) e D(x) so funes conhecidas; y(x) a funo incgnita. Esta equao tambm pode ser escrita na forma A(x) L y(x) = D(x) ,onde (5.2)

d2 d + B(x) + C(x) (5.3) 2 dx dx um operador diferencial. Este operador tem as seguintes propriedades L = A(x) L [y1 (x) + y2 (x)] = L [ay(x)] = L y1 (x) + L y2 (x) , aL y(x) ,

(5.4)

onde a uma constante. Operadores que possuem estas propriedades so chamados de operadores lineares.

76


A equao (5.1) tambm pode ser escrita na forma

d2 y dy + P (x) + Q(x)y = R(x) , dx2 dxonde

(5.5)

P (x) = Q(x) = R(x) =

B(x) , A(x) C(x) , A(x) D(x) . A(x)

(5.6) (5.7) (5.8)

Se R(x) = 0, a equao diferencial chamada de equao diferencial homognea (EDH). Caso contrrio, denominamos esta equao de equao diferencial no-homognea (EDNH). Primeiro vamos estudar a EDH.

5.2 Soluo Geral da EDHConsidere a EDH

d2 y dy + P (x) + Q(x)y = 0 . 2 dx dx

(5.9)

Se y1 (x) soluo de (5.9), ento y = C1 y1 (x), tambm uma soluo, onde C1 uma constante arbitrria. Se y = y1 (x), e y = y2 (x) so solues de (5.9), ento y = C1 y1 (x) + C2 y2 (x), tambm uma soluo de (5.9). Estas armaes so verdadeiras por causa que (5.9) linear em y e suas derivadas. Em outras palavras, (5.9) segue as propriedades (5.4). Um par de solues y = y1 (x) e y = y2 (x) so denominadas linearmente independentes se a igualdade

C1 y1 + C2 y2 = 0 ,

(5.10)

onde os C 's so constantes, for verdadeira se e somente se C1 = C2 = 0. Se as solues forem linearmente dependentes, y1 = ky2 , onde k uma constante que no depende de x. Logo, podemos escrever y1 = ky2 , e

y1 y2 = , y1 y2ou ainda

(5.11)

Captulo 5: Equaes Diferenciais Ordinrias

77

y1 y2 y1 y2 = 0 .A funo

(5.12)

W (x) = y1 (x)y2 (x) y1 (x)y2 (x) ,

(5.13)

conhecida como Wronskiano. Uma condio necessria e suciente para que um par de solues sejam linearmente independentes que

W (x) =

y1 y1

y2 y2

=0.

(5.14)

Concluindo, se y = y1 (x) e y = y2 (x) um par de solues linearmente independentes, ento a soluo geral da EDH dada por

y = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) ,onde C1 e C2 so duas constantes arbitrrias.

(5.15)

5.3 Segunda SoluoAgora aprenderemos como construir uma soluo y2 (x) dado que conhecemos uma primeira soluo y1 (x). Derivando (5.13), obtemos

W

= = =

y1 y2 + y1 y2 y1 y2 y1 y2 y1 [P (x)y2 Q(x)y2 ] y2 [P (x)y1 Q(x)y1 ] P (x)(y1 y2 y1 y2 ) .

(5.16)

A expresso entre parnteses exatamente o Wronskiano. Temos

dW = P (x)W . dx Esta equao tambm pode ser escrita na forma dW = P (x) dx . W Integrando ambos os lados da equao acima, encontramos ln W = P (x) dx + C ,

(5.17)

(5.18)

(5.19)

onde C uma constante de integrao. O Wronskiano pode ser facilmente obtido

78


W (x) = W0 eonde W0 = eC . Derivando o quociente y2 /y1 , vem que

P (x) dx

,

(5.20)

d dx

y2 y1

= =

y1 y2 y1 y2 2 y1 W 2 . y1

(5.21)

Integrando esta ltima equao, encontramos

y2 (x) = y1 (x)

e P (x) dx dx , [y1 (x)]2

(5.22)

onde, sem perda de generalidade, tomamos W0 = 1. Alm disso, todas as constantes de integrao foram ignoradas. Levar em conta estas constantes, apenas muda os valores das constantes C1 e C2 da soluo geral da EDH. Portanto, nada de novo acrescentado soluo geral.

5.4 Soluo Geral da EDNHSe u(x) uma soluo particular de (5.5), ento a soluo geral da EDNH dada por

y = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + u(x) .

(5.23)

Veremos agora como determinar u(x). Conhecendo-se um par de solues da EDH, possvel determinarmos uma soluo particular da EDNH. Para isto, usamos o mtodo de variao das constantes. A idia escrever a soluo particular da EDNH na mesma forma que a soluo geral da EDH, substituindo-se as constantes arbitrrias C1 e C2 por duas funes v1 (x) e v2 (x). Temos

u(x) = v1 (x)y1 (x) + v2 (x)y2 (x) .

(5.24)

O prximo passo a determinao de v1 e v2 . Derivando u(x), temos

u = v1 y1 + v1 y1 + v2 y2 + v2 y2 .

(5.25)

Agora, note que as funes v1 e v2 no so nicas, pois existe uma funo arbitrria g tal que


79

v1 (x)y1 (x) + v2 (x)y2 (x) = (v1 + g)y1 + v2 g

y1 y2

y2 .

(5.26)

Portanto, podemos escolher v1 e v2 convenientemente tal que

v1 y1 + v2 y2 = 0 .Substituindo esta equao em (5.25), obtemos

(5.27)

u = v1 y1 + v2 y2 .Derivando-se novamente, vem que

(5.28)

u = v1 y1 + v2 y2 + v1 y1 + v2 y2 .Substituindo (5.24), (5.28), e (5.29) em (5.5), vem que

(5.29)

v1 y1 + v2 y2 + v1 y1 + v2 y2 +P (x)(v1 y1 + v2 y2 ) + Q(x)(v1 y1 + v2 y2 ) = R ,ou ainda

(5.30)

v1 y1 + v2 y2 + v1 [y1 + P (x)y1 + Q(x)y1 ] +v2 [y2 + P (x)y2 + Q(x)y2 ] = R .

(5.31)

Os termos entre colchetes se anulam pois y1 e y2 so solues da EDH. Assim, juntamente com (5.27) obtemos uma segunda equao para as derivadas de v1 e v2 . Temos

v1 y1 + v2 y2 = R .

(5.32)

As equaes (5.27) e (5.32) podem ser facilmente resolvidas para as derivadas. Obtemos

v1 v2

= =

Ry2 , W Ry1 . W

(5.33) (5.34)

Integrando, nalmente obtemos

80


v1 (x) v2 (x)

= =

y2 (x)R(x) dx , W (x) y1 (x)R(x) dx . W (x)

(5.35)

As constantes de integrao podem ser tomadas todas nulas, sem perda de generalidade, conforme justicado anteriormente. Exemplo 5.1 Considere a seguinte EDNH

d2 y(x) 2 y(x) = ex , (5.36) dx2 onde uma constante no nula. Determinar a segunda soluo. Soluo: Por substituio direta na EDH, podemos vericar que y1 (x) = ex soluo. Comparando esta equao com (5.5), encontramos P (x) = 0 e Q(x) = 2 . Conseqentemente, usando (5.22), temos que y2 (x) = exou ainda

e2x dx =

1 2x e . 2

(5.37)

y2 (x) = ex ,

(5.38)

onde a constante multiplicativa foi ignorada. Como j mencionamos anteriormente, esta constante no acrescenta nada de novo soluo. Usando-se (5.13), obtemos W (x) = 2. De posse do par de solues da EDH e do Wronskiano, podemos determinar a soluo particular da EDNH. De (5.35), temos que

v1 (x) = v2 (x) =

x ex ex dx = , 2 2 ex ex 1 dx = 2 e2x . 2 2

(5.39) (5.40)

Substituindo estes resultados em (5.24), vem que

u(x) =

1 2

x

1 2

ex .

(5.41)


81

5.5 Mtodo de FrobeniusConsideremos a EDH na forma geral

dy d2 y + B(x) + C(x)y = 0 , (5.42) dx2 dx onde A(x), B(x), e C(x) so polinmios em x. Denominamos x = a um ponto ordinrio da EDH se A(a) = 0, e ser um ponto singular em caso contrrio. Se x = 0 um ponto ordinrio, ento a EDH pode ser resolvida em srie nas vizinhanas de x = 0 como A(x)

y(x)

=j=0

cj xj(5.43)

= C1 {srie} + C2 {srie} ,

onde C1 e C2 so duas constantes arbitrrias. As duas sries so linearmente independentes e ambas convergem nas vizinhanas de x = 0. Um ponto x = a dito singular regular se a EDH pode ser escrita na forma

d2 y R1 (x) dy R2 (x) + + y=0, 2 dx (x a) dx (x a)2

(5.44)

onde R1 (x) e R2 (x) admitem expanso em srie de Taylor nas vizinhanas de x = a. Em caso contrrio, x = a chamado de um ponto singular irregular. Uma forma alternativa de vericar se um ponto singular x = a regular ou irregular testar os limites

xa xa

lim (x a)P (x) ,(5.45)

lim (x a)2 Q(x) .

Se estes limites existirem, dizemos que x = a um ponto singular regular e, em caso contrario, irregular. Se x = a um ponto singular irregular, a EDH no possui uma soluo em forma de srie nas vizinhanas deste ponto. Se x = a um ponto singular regular e, R1 (x) e R2 (x) puderem ser desenvolvidas em srie de Taylor nas vizinhanas deste ponto, ento a EDH admite uma soluo em forma de srie

82


y(x) =j=0

cj xj+s ,

(5.46)

onde c0 = 0, s e todos os demais coecientes da srie so constantes a determinar de tal modo a satisfazer a EDH. Este procedimento para resolver as equaes diferenciais lineares de segunda ordem conhecido como mtodo de Frobenius.1 Exemplo 5.2 Resolver a EDH

(1 + x2 )y + xy y = 0 ,

(5.47)

usando o mtodo de Frobenius. Soluo: Temos A(x) = 1 + x2 . Esta funo no possui nenhuma raiz real, e portanto no tem ponto singular. Uma vez que A(0) = 0, ento x = 0 um ponto ordinrio da EDH. Com efeito, a soluo da EDH admite uma soluo em forma de srie como em (5.43). Temos

y(x) =j=0

cj xj , cj jxj1 ,j=0

y (x) = y (x) =j=0

cj j(j 1)xj2 .

(5.48)

Substituindo na EDH, obtemos

(1 + x )j=0

2

cj j(j 1)x

j2

+xj=0

cj jx

j1

j=0

cj xj = 0 ,

(5.49)

que ainda pode ser escrita como

cj j(j 1)xj=0

j2

+j=0

cj j(j 1)x +j=0

j

cj jx j=0

j

cj xj = 0 . (5.50)

A primeira soma tambm pode ser escrita como1 Ferdinand Georg Frobenius (1849 - 1917), nasceu em Berlim, Alemanha.


83

cj j(j 1)xj2j=0

=j=2

cj j(j 1)xj2 cj+2 (j + 2)(j + 1)xj .j=0

=Substituindo em (5.50), encontramos

(5.51)

{cj+2 (j + 2)(j + 1) + cj [j(j 1) + j 1]} xj = 0 .j=0

(5.52)

Igualando a zero todas os coecientes das potncias de x, encontramos

j1 cj , j 0 . (5.53) j+2 Esta equao conhecida como relao de recorrncia. Note que para j = 1 obtemos c3 = 0. Logo, para todo j mpar, temos cj = 0, exceto c1 . Se j for par, temos que cj+2 = 1 1 1 c0 , c4 = c2 = c0 , . . . . 2 4 8 Para j par (j = 2k ), temos que c2 = c2k = =. . . (5.54)

2k 3 c2k2 2k (2k 3)(2k 5) c2k4 2k(2k 2) (2k 3)!! c0 , 2k k!

= (1)k+1

k2.

(5.55)

A soluo geral da EDH dada por

1 y(x) = c0 1 + x2 + 2Note que limj para todo |x| < 1.cj+2 cj

(1)k+1k=2

(2k 3)!! 2k x + c1 x . 2k k!

(5.56)

= limj

j1 j+2

= 1. Portanto, a srie converge

84


Exemplo 5.3 Resolver a EDH2x2 y xy + (x2 + 1)y = 0 ,(5.57)

usando o mtodo de Frobenius. Soluo: Neste caso A(x) = 2x2 , e x = 0 uma raiz desta funo. Logo x = 0 um ponto singular regular da EDH, pois esta pode ser escrita na forma

1 (x2 + 1) y + y=0. (5.58) 2x 2x2 Assim, a soluo da EDH admite uma soluo em forma de srie como em (5.46). Temos y

y(x) =j=0

cj xj+s , cj (j + s)xj+s1 ,j=0

y (x) = y (x) =j=0

cj (j + s)(j + s 1)xj+s2 .

(5.59)

Substituindo na EDH, vem que

2x2j=0

cj (j + s)(j + s 1)xj+s2 xj=0

cj (j + s)xj+s1

+(x2 + 1)j=0

cj xj+s = 0 ,

(5.60)

2cj (j + s)(j + s 1)xj+s +j=0 j=0

(1)cj (j + s)xj+s

+j=0

cj xj+s+2 +j=0

cj xj+s = 0 . j=2

(5.61)

A terceira soma tambm pode ser escrita como seqentemente,

cj2 xj+s . Con-


85

c0 [2s(s 1) s + 1] xs + c1 [2(s + 1)s (s + 1) + 1] xs+1

+j=2

{cj [2(j + s)(j + s 1) (j + s) + 1] + cj2 } xj+s = 0 .

(5.62)

Todos os coecientes da srie devem se anular. Temos

c0 [2s(s 1) s + 1] = 0 , c1 [2(s + 1)s (s + 1) + 1] = 0 .

(5.63)

A primeira destas equaes conhecida como equao indicial.2 Supor c0 = 0. Ento

2s(s 1) s + 1 = 2s2 3s + 1 = 0 ,

(5.64)

cujas razes so dadas por s = 1/2 e s = 1. Substituindo estes valores na segunda das equaes (5.63), vem que s = 1/2 c1 2(1/2)2 + 1/2 = [1] c1 = 0 c1 = 0. Analogamente, temos que s = 1 c1 2(1)2 + 1 = [3] c1 = 0 c1 = 0. Se em algum destes dois casos, o termo entre colchetes fosse exatamente zero, ento c1 seria no nula. Para todo j 2, da equao (5.62), obtemos

cj [2(j + s)(j + s 1) (j + s) + 1] + cj2 = 0 ,ou ainda

(5.65)

cj =

1 cj2 . (j + s)(2j + 2s 3) + 1

(5.66)

Para s = 1/2, esta equao toma a forma

cj =

1 cj2 j(2j 1)

(5.67)

A partir desta relao de recorrncia geramos todos os coecientes da srie,2 Do ingls, indicial. Alguns autores traduzem este termo por indicadora. J em outros livros este termo no recebeu traduo permanecendo como equao indicial. Neste livro usamos esta ltima opo.

86


c2 c4

1 1 c0 = c0 , 23 6 1 1 = c2 = c0 , 47 168 . . . =

(5.68)

Uma vez que c1 = 0, temos cj = 0 para j mpar. Substituindo os coecientes na srie, com s = 1/2, encontramos

y1 (x) =j=0

cj xj+1/2 x2 x4 c0 x 1 + . 6 168(5.69)

=

Igualmente para s = 1, obtemos

cj =

1 cj2 , j(2j + 1)

(5.70)

c2 c4

= =. . .

1 1 c0 = c0 , 25 10 1 1 c2 = c0 , 49 360 (5.71)

Substituindo os coecientes na srie, com s = 1, obtemos uma segunda soluo

y2 (x) =j=0

cj xj+1 c0 x 1 x4 x2 + . 10 360(5.72)

=

As duas solues y1 (x) e y2 (x) so linearmente independentes. A soluo geral da EDH uma combinao linear destas duas funes. Para ambos cj os casos, pode-se vericar facilmente que limj cj2 = 0. Portanto, as sries convergem para todo < x < .


87

5.6 Equao IndicialAs solues da equao indicial podem ser classicadas em trs casos: 1. as razes so distintas, no diferindo por um inteiro; 2. as razes so iguais; 3. as razes so distintas, porm diferindo por um inteiro. O primeiro caso est ilustrado no Exemplo 5.3. Quando as razes s1 e s2 da equao indicial so iguais, as solues correspondentes so idnticas. Neste caso as duas solues linearmente independentes so obtidas por

y1 (x) y2 (x)

= y(x, s1 ) , y(x, s) = s

.s=s1

(5.73)

Quando as razes s1 < s2 da equao indicial diferirem por um inteiro, a maior das duas, s2 , d uma soluo, enquanto que a menor, s1 , poder dar ou no. No caso de no dar uma soluo, ento fazemos c0 = b0 (s s1 ) e denotemos a nova funo por y (x, s). A solues linearmente independentes sero dadas por

y1 (x) y2 (x)

= y (x, s1 ) , y (x, s) = s

.s=s1

(5.74)

Vejamos alguns exemplos ilustrativos de como o mtodo funciona. Exemplo 5.4 Resolver a EDH

xy + y y = 0 ,

(5.75)

usando o mtodo de Frobenius. Soluo: A equao diferencial tambm pode ser escrita na forma

y +

1 x y 2y = 0 . x x

(5.76)

Portanto, x = 0 um ponto singular regular da EDH. Substituindo as sries (5.59) na EDH, obtemos

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xj=0

cj (j + s)(j + s 1)xj+s2 +j=0

cj (j + s)xj+s1

j=0

cj xj+s = 0 ,

(5.77)

cj [(j + s)(j + s 1) + (j + s)] xj+s1 +j=

apostila de física matemática

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