1

2

SUMRIO

CAPTULO 1 ___________________________________________

4 Evoluo da Fsica -------------------------------------------------------------- 04 A importncia a Fsica -------------------------------------------------------------- 07 Lei da Fsica -------------------------------------------------------------- 10 Mtodo da Fsica -------------------------------------------------------------- 11 Sistemas Internacional de Unidades -------------------------------------------------------------- 12 Potencia de Dez -------------------------------------------------------------- 15 Ramos da Fsica -------------------------------------------------------------- 17 Divises da Mecnica -------------------------------------------------------------- 17

CAPTULO 2 ___________________________________________

19 Definies e Conceitos (Ponto Material) -------------------------------------------------------------- 19 Repouso Movimento e Referencial -------------------------------------------------------------- 19 Trajetria -------------------------------------------------------------- 20 Posio Escalar -------------------------------------------------------------- 21 Funo Horria -------------------------------------------------------------- 21 Deslocamento e Espao Percorrido -------------------------------------------------------------- 23 Velocidade Escalar Mdia -------------------------------------------------------------- 27

CAPTULO 3 ___________________________________________

33 Movimento Uniforme (Definio) -------------------------------------------------------------- 33 Funes Horrias -------------------------------------------------------------- 34

CAPTULO 4 ___________________________________________

47

Movimento Uniforme Variado (Definio) -------------------------------------------------------------- 47

Funes Horrias -------------------------------------------------------------- 48 Lei de Torricelli -------------------------------------------------------------- 54

CAPTULO 5 ___________________________________________

59 Queda dos Corpos (Introduo) -------------------------------------------------------------- 59 Lanamento Vertical para Cima -------------------------------------------------------------- 61 Lanamento Vertical para Baixo -------------------------------------------------------------- 65

CAPTULO 6 ___________________________________________

70 Fora e Movimento (Princpios Funda-

mentais) -------------------------------------------------------------- 70 1 Lei de Newton -------------------------------------------------------------- 70 2 Lei de Newton -------------------------------------------------------------- 72 Peso de Um Corpo -------------------------------------------------------------- 77 3 Lei de Newton ou Princpio da Ao e

Reao -------------------------------------------------------------- 79

3

CAPTULO 7 ___________________________________________

93 Energia (Introduo) -------------------------------------------------------------- 93 Trabalho de Uma Fora -------------------------------------------------------------- 94 Trabalho da Fora Peso

-------------------------------------------------------------- 101

CAPTULO 8 ___________________________________________

106 Energia Cintica -------------------------------------------------------------- 106 Teorema da Energia Cintica -------------------------------------------------------------- 108 Energia Potencial Gravitacional -------------------------------------------------------------- 114 Fora Conservativa -------------------------------------------------------------- 117 Energia Potencial Elstica -------------------------------------------------------------- 118

4

A FSICA COMO CINCIA EXPERIMENTAL

O homem tem grande capacidade de acumular conhecimentos. Isso permite a cada gera-o partir do ponto em que a anterior chegou, sem precisar recomear do zero. A primeira tare-fa do estudioso , ento, conhecer o que j foi feito na sua rea de estudo, para no correr o risco de arrombar portas abertas.

Todavia, a construo do conhecimento no se faz por simples acmulo. A cada nova des-coberta devemos incorporar conhecimentos anteriores.

O esprito crtico um dos postulados da cincia. A histria da Fsica nos oferece muitos exemplos disso: Coprnico, Galileu ou Einstein se notabilizaram tanto pelas proposies novas como pela negao do que era aceito como verdade.

As descobertas no campo da Fsica remontam Pr-Histria. Assim, quando o homem te-ve a idia de usar uma pedra para abrir o crnio de um animal ou fez um arco para atirar uma flecha, ele estava incorporando conhecimentos elementares de Mecnica.

Posteriormente, as primeiras civilizaes, que surgiram na Mesopotmia e no Egito, apren-deram, entre outras coisas, a bombear gua para as plantaes, a transportar e levantar enor-mes blocos de pedras, a construir monumentos.

Esses numerosos conhecimentos, obtidos na tentativa de resolver problemas prticos, no estavam sistematizados em uma teoria explicativa, como prprio da cincia moderna. As so-lues e os inventos surgiram lentamente a partir da experincia emprica, misturados religi-o.

Com os gregos nasceu a filosofia, ou seja, uma tentativa de explicar o mundo atravs da razo.

Os gregos no foram um povo nem mais nem menos iluminado do que os outros, mas her-deiros de um longo processo de desenvolvimento cultural que ocorreu nas regies prximas do Mediterrneo.

Ao procurar a razo de ser das coisas, os gregos formularam princpios explicativos do movimento, da constituio da matria, do peso, do comportamento da gua etc. Porm eles valorizaram demasiadamente as idias e muito pouco a experimentao. Alm disso, preocu-pavam-se muito pouco com a aplicao prtica dos conhecimentos, pois o trabalho braal era realizado por escravos.

A decadncia do Mundo Antigo e o advento da Idade Mdia representaram um enorme re-trocesso para a cincia.

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Uma sociedade basicamente rural, dominada pela religio, com o uso muito restrito da es-crita e de livros, poucas possibilidades oferecia ao desenvolvimento cientfico.

O renascimento do comrcio e da vida urbana, no final da Idade Mdia, criou um ambiente prprio para a renovao cultural que lanou as bases da cincia moderna. Foi nesse universo urbano em formao que viveu, no sculo XVI, o personagem smbolo dessa cincia: Galileu Galilei.

Galileu Galilei ousou contestar as verdades de Aristteles, que haviam sido reforadas pela combinao da filosofia com o cristianismo. A Igreja Catlica contribua, com sua autoridade, para dificultar a contestao do pensamento de Aristteles.

ARISTTELES (384-322 a.C.)

Aristteles cometeu erros monumentais no campo da Fsica e Galileu os corrigiu. Com ba-se na experimentao, verificou que Aristteles estava errado ao afirmar, por exemplo, que quanto mais pesado fosse um objeto, mais rpida seria a sua queda. Desse modo, Galileu in-troduziu um procedimento fundamental para o cientista: a necessidade de testar, com experi-ncias concretas, as formulaes tericas. Alm disso, o genial italiano mostrou, com sua pr-tica, que o cientista precisa criar situaes favorveis de observao, eliminando fatores que interfiram na anlise do fenmeno a ser estudado ou a prejudiquem.

GALILEU GALILEI (1564-1642)

Filsofo, educador e cientista grego, foi um dos maiores e mais influentes pensado-res da cultura ocidental. Como cientista conhecido pelo realismo e pelo senso de observao: para ele a cincia a busca de causas universais que do uma explicao comum a um grupo de fenmenos.

Astrnomo e fsico italiano, considera-do o fundador da cincia experimental mo-derna. Descobriu as leis da queda dos cor-pos e a lei que rege o movimento do pndu-lo. Enunciou o princpio da composio dos movimentos. Aperfeioou instrumentos, como o relgio e o telescpio. Suas conclu-ses eram baseadas mais em observaes e nos resultados dos experimentos do que na lgica dedutiva.

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Atualmente, h consenso entre os cientistas de que a maioria dos experimentos s pode ser feita mediante situaes artificialmente montadas.

Outro momento importante na constituio do conhecimento ligado Fsica ocorreu no s-culo XVII, com Isaac Newton. Ele realizou a primeira grande sntese da histria da Fsica, atra-vs da formulao de leis gerais, possibilitando investigaes novas em diversos campos.

Newton criou, ainda, um sistema matemtico para resolver problemas de Fsica que antes no tinham solues.

ISAAC NEWTON (1643-1727)

Em 1666 fez as suas descobertas mais importantes. Interrogado, sobre como as conse-guia, respondeu: "Para descobrir todos os fenmenos que deseja, basta ao sbio trs coisas: pensar, pensar, pensar."

A partir dos fundamentos lanados por Newton ocorreram importantes inovaes cientfi-cas e tcnicas. No decorrer dos sculos XVIII e XIX, o progresso material oriundo dessas ino-vaes foi notvel.

O final do sculo XIX foi uma fase de excessivo otimismo. Muitos estudiosos julgavam co-nhecidos os princpios e as leis fundamentais do funcionamento do universo.

A teoria da relatividade, publicada por Einstein em 1905, provocou uma verdadeira revolu-o no campo cientfico. As mais arraigadas certezas, baseadas nas leis mecnicas de New-ton, tiveram que ser revistas.

ALBERT EINSTEIN (1879-1956)

Fsico e matemtico ingls, tornou-se uma das maiores figuras da cincia em todos os tempos. Em Fsica, formulou os trs prin-cpios da Mecnica, conhecidos como leis de Newton, e a teoria da Gravitao Universal. Em Matemtica, criou o clculo infinitesimal.

Fsico alemo, criou a teoria da relativi-dade, que completou a Mecnica clssica onde esta era insuficiente. Em 1921, recebeu o Prmio Nobel de Fsica pela formulao da lei do efeito fotoeltrico. Sua famosa equa-o E = mc2 (a energia igual ao produto da massa pelo quadrado da velocidade da luz) tornou-se a pedra fundamental do desenvol-vimento da energia atmica.

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De l para c, os avanos no campo da Fsica foram enormes. A obteno de energia a partir da desintegrao atmica, os satlites e as viagens espaciais so alguns importantes exemplos de progresso recente.

Muitos outros cientistas esto ligados evoluo do conhecimento humano acerca do mundo fsico. Essa evoluo no resultado da ao individual de alguns homens notveis, mas fruto de uma obra coletiva. So as condies histricas de uma determinada sociedade que favorecem ou no a ampliao do saber. Alguns pases produzem um grande nmero de conhecimentos, enquanto a maior parte das naes no consegue sequer assimil-los.

No uma simples coincidncia o fato de os pases que conseguiram todo esse progresso cientfico e tcnico serem os mesmos que, no passado, realizaram a Revoluo Industrial.

Quanta diferena entre os equipamentos ultra-sofisticados telescpios gigantescos, aceleradores de partculas, supercomputadores usados atualmente e os instrumentos ru-dimentares construdos por Galileu!

Ao iniciar aqui os seus estudos de Fsica, voc provavelmente compreender uma das li-es mais importantes da cincia: a de que a aparncia muito enganadora. Desconfiemos, pois, da obviedade.

Uma das cincias mais antigas, a Fsica responsvel por grande parte do desenvolvi-mento cientfico alcanado pela humanidade.

Ela tem aplicaes em praticamente todos os campos da atividade humana: na Medicina, nos transportes, nos esportes, nas comunicaes, na indstria etc. Com a ajuda da Fsica, po-demos utilizar algumas formas de energia e faz-las trabalhar para ns:

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Energia eltrica: enceradeira, geladeira, computador, ferro eltrico etc.

Energia sonora: rdio, disco, telefone, ultra-som, instrumentos musicais etc.

Energia mecnica: pontes, naves espaciais, rodovirias, prdios etc.

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Energia luminosa: mquina fotogrfica, telescpio, raio laser, anlise de matrias etc.

Energia calorfica: mquina a vapor, cmaras frigorficas, motores de automvel etc.

Energia nuclear: energia eltrica, bomba atmica etc.

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A palavra fenmeno vem do grego phainmenon, cujo significado "aquilo que parece". Etimologicamente, podemos dizer ento que fenmenos so aquelas coisas que se nos apre-sentam.

comum considerarmos como fenmeno algo misterioso, como um arco-ris, um furaco, uma tempestade etc. Em nosso curso, consideraremos como fenmeno toda e qualquer mani-festao no tempo e no espao, como, por exemplo, o movimento de um carro, o tiro de um canho, o aquecimento da gua etc.

Os fenmenos no se produzem ao acaso: entre eles existe uma interdependncia. Tais relaes de interdependncia constituem as leis.

Para estudar os fenmenos, a cincia procura, inicialmente, estabelecer uma relao quan-titativa entre eles as leis quantitativas.

Veja alguns exemplos:

o calor dilata o ferro; a presso diminui o volume dos gases; o atrito produz calor.

O conhecimento dessas leis no suficiente; um estudo mais profundo sugere medidas quantitativas. Veja:

de quanto se dilata a barra de ferro entre duas temperaturas? de quanto diminui o volume do gs quando a presso duplica? quantas calorias so produzidas por um carro ao brecar e parar?

Quando possvel medir aquilo de que se est falando e exprimir essa medida por nme-ros, estabelecemos uma lei fsica.

Exemplo:

A relao matemtica V = V0 uma lei fsica que relaciona o volume do gs com a tempe-

ratura Kelvin numa transformao isobrica (lei de Gay-Lussac)

Lei fsica a relao matemtica entre as grandezas que participam de um mesmo fenmeno.

T T0

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Na pesquisa de um fenmeno e das leis que o regem, deve-se obedecer a uma ordem progressiva, que constitui o mtodo da cincia. Nesse sentido, a Fsica utiliza-se de dois pro-cessos: a observao e a experimentao.

Observao: consiste no exame atento de um fenmeno e na pesquisa das circunstn-cias que o envolvem.

Neste caso, podemos utilizar os nossos sentidos ou instrumentos que aumentem o seu al-cance (microscpio, luneta, telescpio, satlite, balana, ampermetro etc).

Experimentao: consiste em produzir o fenmeno artificialmente, em condies ideais para a observao.

Neste caso, fazemos variar as circunstncias que rodeiam o fenmeno para verificar quais dessas circunstncias influem nele. Consideremos, por exemplo, o movimento oscilatrio de um pndulo e algumas circunstncias que o rodeiam:

Quando os fatores que intervm direta ou indiretamente numa lei fsica podem ser avalia-dos quantitativamente, isto , podem ser medidos, passam a constituir uma grandeza fsica.

As grandezas fsicas so classificadas em escalares ou vetoriais.

Grandezas escalares: so caracterizadas por um nmero real, positivo ou negativo, a-companhado de uma unidade de medida.

Exemplos:

1) massa (A massa de um corpo de 3 kg.) 2) volume (O volume de um cubo de 20 cm3.)

Grandezas vetoriais: so caracterizadas por um nmero real denominado mdulo ou in-tensidade, acompanhado de uma unidade de medida, uma direo e um sentido.

Como exemplo, considere um carro se movimentando numa estrada retilnea, com veloci-dade de 20 km/h.

Para que a grandeza fsica velocidade fique caracterizada, precisamos conhecer seu m-dulo, sua direo e seu sentido.

Podemos questionar:

a massa do pndulo influi no tempo de oscilao?

o comprimento do fio influi no perodo? a temperatura e a presso modificam o

fenmeno? o local onde realizada a experincia in-

flui no tempo de oscilao?

Neste exemplo, temos:

mdulo: 20 direo: horizontal sentido: da esquerda

para direita

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Nem sempre as unidades de medida usadas para medir o comprimento ou a massa de um corpo foram as mesmas em todo o mundo. At meados do sculo XX eram usadas diferentes unidades de medida ou padro. Observe, nos quadros, alguns desses padres e os pases em que eram utilizados.

Unidade de massa

Nome da unidade

Valor aproximado em quilogramas (kg)

Inglaterra e Estados Unidos

libra ona

0,45 0,028

China

pecul 71

Egito

rotolo 0,69

Como cada pas fixava o seu prprio padro, as relaes comerciais e as trocas de infor-maes cientficas entre os pases se tornavam muito difceis.

Para resolver os problemas oriundos desse fato, foram criados padres internacionais. Surgiu, assim, o Sistema Internacional de Unidades (SI).

O SI estabelece sete unidades de base, cada uma delas correspondente a uma grandeza.

Grandeza Unidade Smbolo comprimento metro m

massa quilograma kg

tempo segundo s

intensidade de corrente eltrica ampre A

temperatura termodinmica kelvin K

quantidade de matria mol mol

intensidade luminosa candela cd

Unidades de comprimento

Nome da unidade

Valor aproximado em me-tros (m)

Inglaterra e Estados Unidos

jarda polegadas

0,914 0,025

China tsun jin 0,06 58,8

Rssia versta 0,66

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O SI tambm denominado MKS, onde as letras M, K e S correspondem s iniciais de trs unidades do SI:

Comprimento Massa Tempo

MKS m kg s

Existem ainda dois outros sistemas, o CGS e o MKgfS:

Comprimento Massa Tempo

CGS cm g s

MKgfS m u.t.m. s

u.t.m. = unidade tcnica de massa

O correto usarmos apenas as unidades do SI, mas comum o emprego, em algumas situaes, das unidades dos sistemas CGS e MKgfS.

Observaes importantes:

1) Quando escritas por extenso, as iniciais das unidades devem ser sempre minsculas, mes-mo que sejam nomes de pessoas. Exemplo: metro, newton, quilmetro, pascal etc.

2) A unidade de temperatura da escala Celsius, o grau Celsius, a nica exceo regra. Neste caso, utilizamos a letra maiscula.

3) Os smbolos representativos das unidades tambm so letras minsculas. Entretanto, sero maisculas quando estiverem se referindo a nomes de pessoas.

Exemplos:

Unidade ampere newton pascal metro

Smbolo A N Pa m

4) Os smbolos no se flexionam quando escritos no plural. Assim, para indicarmos 10 new-tons, por exemplo, usamos 10 N e no 10 Ns.

5) As unidades de base, combinadas, formam outras unidades, denominadas unidades deriva-das, que sero estudadas no decorrer de nosso curso.

Algumas unidades do SI so do SI, j estando amplamente difundidas. Veja no quadro a seguir:

Grandeza Nome S

comprimento quilmetrodecmetrocentmetromilmetro

tempo minuto hora dia

ngulo plano

grau

minuto

segundo

volume litro

massa tonelada grama

1 - D os seguintes valores em unidades do SI:a) 7 km b) 5 min c) 8 h d) 580 cm e) 15 000 mm f) 85 cm g) 600 g h) 4 t i) 3 200 g

2 - Escreva os seguintes valores em unidades do a) 2 km2 b) 0,08 km2 c) 9 000 cm2 d) 12 000 mm2 e) 150 dm2 f) 10 cm2

o empregadas conjuntamente com outras que ndo SI, j estando amplamente difundidas. Veja no quadro a seguir:

Grandeza Nome Smbolo Valor em unidade do SImetro metro metro

km dm cm

mm

1 km = 1 000 m 1 dm = 0,1 m 1 cm = 0,01 m

1 mm = 0,001 mmin h d

1 min = 60 s 1 h = 60 min = 3 600 s 1 d = 24 h = 86 400 s

1 = 1 dmtonelada t

g 1 t = 1 000 kg 1 g = 0,001 kg

os seguintes valores em unidades do SI:

seguintes valores em unidades do SI:

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juntamente com outras que no fazem parte

mbolo Valor em unidade do SI 1 km = 1 000 m 1 dm = 0,1 m 1 cm = 0,01 m

1 mm = 0,001 m 1 min = 60 s

1 h = 60 min = 3 600 s 1 d = 24 h = 86 400 s

= 1 dm3 = 10-3 m3 1 t = 1 000 kg 1 g = 0,001 kg

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3 - Transforme em unidades do SI: a) 1 000 cm3 b) 500 c) 60 dm3 d) 10 e) 36 km/h f) 1 200 cm/min

4 - Um fenmeno foi observado desde o instante 2 horas e 30 minutos at o instante 7 horas e 45 minutos. Quanto tempo durou esse fenmeno?

5 - (Fuvest-SP) Um livro possui 200 folhas, que totalizam uma espessura de 2 cm. A massa de cada folha de 1,2 g e a massa de cada capa do livro de 10 g. a) Qual a massa do livro? b) Qual a espessura de uma folha?

6 - Num campo de futebol no-oficial, as traves verticais do gol distam entre si 8,15 m. Con-siderando que 1 jarda vale 3 ps e que 1 p mede 30,48 cm, qual a largura, em jardas, que mais se aproxima desse gol?

Na prtica, escrevemos o valor de uma grandeza como um nmero compreendido entre 1 e 10, multiplicado pela potncia de 10 conveniente.

Quando um nmero representado nesta forma, dizemos que est em notao cientfi-ca.

1 caso: o nmero muito maior que 1.

1 36 000 = 1,36 105

5 casas

Exemplos:

1) 2 000 000 = 2 106 2) 33 000 000 000 = 3,3 1010 3) 547 800 000 = 5,478 108

2 caso: o nmero muito menor que 1.

0, 000000412 = 4,12 10 7

7 casas

Exemplos:

1) 0,0034 = 3,4 10 3 2) 0,0000008 = 8 10 7 3) 0,0000000000517 = 5,17 10 11

O expoente do dez indica o nmero de vezes que devemos deslocar a vrgu-la para a direita.

O expoente negativo do dez indica o nmero de vezes que devemos deslo-car a vrgula para a esquerda.

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Veja, no quadro abaixo, algumas grandezas fsicas expressas em notao cientfica:

velocidade da luz no vcuo = 3 108 m/s

massa de um prton = 1,6 10 24 g

raio de tomo de hidrognio = 5 10 9 cm

nmero de Avogadro = 6,02 1023

Para evitar que se tenha que expressar grandezas muito pequenas ou muito grandes com o uso de nmeros zeros, o SI contm prefixos que permitem a formao de mltiplos e subml-tiplos decimais das unidades do SI.

Prefixo Smbolo Fator pelo qual a unidade multiplicada

tera T 1012 giga G 109

mega M 106 quilo k 103 hecto h 102 deca da 101 deci d 10 1 centi c 10 2 mili m 10 3

micro 10 6 nano n 10 9 pico p 10 12

Exemplo:

A distncia do Sol at Pluto de 6 Tm (seis terametros), ou seja, 6 1012 m.

7- Escreva os seguintes nmeros em notao cientfica: a) 3 400 000 b) 700 000 c) 12 000 d) 5 000 000 000 e) 2 000 f) 150 g) 0,001 h) 0,000054 i) 0,0006

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8 - Expresse em notao cientfica: a) o volume da Terra (1 070 000 000 000 000 000 000 m3) b) o volume do Sol (1 400 000 000 000 000 000 000 000 000 m3) c) o volume da Lua (22 000 000 000 000 000 000 m3)

9 - Expresse em unidades do SI os seguintes valores:

a) 1 ns (1 nanossegundo) b) 1 mg (1 miligrama) c) 1 dm (1 decmetro) d) 1 m (1 micrmetro)

10 - O Escreva em unidades do SI:

a) 1 MW (1 megawatt) b) 1,2 GW (1,2 gigawatt) c) 5 Ts (5 terassegundo)

Para fins didticos, dividimos a Fsica nas seguintes partes:

Mecnica: estuda o movimento e as condies em que ele se realiza. Termologia: estuda o calor e suas aplicaes. Acstica: estuda a teoria do som. ptica: estuda a luz. Eletrologia: trata da eletricidade e de suas aplicaes. Fsica Moderna: estuda a estrutura do tomo, a radioatividade, a teoria da relatividade etc.

Tambm podemos dividir a Fsica em Clssica (antes de 1900) e Moderna (aps 1900).

A Mecnica pode ser dividida em trs partes:

Cinemtica: estuda o movimento dos corpos sem considerar suas causas. Esttica: estuda os corpos slidos ou os fluidos em equilbrio. Dinmica: estuda o movimento dos corpos, considerando suas causas.

Observe, no exemplo a seguir, essas trs partes. Considere um carrinho de brinquedo, inicialmente parado, sobre uma mesa.

A parte da Fsica que estuda em que condies o carrinho fica em repouso a Esttica.

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Empurre o carrinho at que entre em movimento.

A parte da Fsica que estuda o movimento do carrinho sem levar em considerao a sua causa (empurro) a Cinemtica.

A parte da Fsica que estuda o movimento levando em considerao a sua causa a Dinmica.

6 - Um jardineiro prepara um canteiro em forma de losango, no qual as diagonais medem 3,20 m e 2,40 m. Se eu plantar uma muda de flor por decmetro quadrado, quantas mudas dessa flor plantarei no canteiro todo?

1 - Um ano tem 365,25 dias. Quantos segundos existem em um ano?

2 - Um viajante demorou 3h 50min para ir de uma cidade C1 at uma cidade C2 e demorou o dobro desse tempo para ir de C2 at uma cidade C3. Quanto tempo o viajante demorou para ir de C1 at C3?

3 - Uma certa regio do pas tem, em mdia, 10 habitantes por quilmetro quadrado. Se esta regio tem rea igual a I05 km2, qual a populao que vive nela?

4 - A presso normal dos pneus de um automvel, segundo o fabricante, igual a 28 unidades. O proprietrio do automvel calibra os pneus 10% acima da indicao do fabricante. Qual a presso, nessas unidades, dos pneus calibrados pelo proprietrio?

5 - Qual , em metros quadrados, a rea de um retngulo cuja medida da base o qudruplo da medida da altura, sabendo-se que a sua rea aumenta de 114 m2 quando suas dimenses sofrem um acrscimo de 2 m?

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DEFINIES E CONCEITOS

A figura mostra um carro que se desloca de uma cidade para outra, por uma estrada muito extensa.

Observe que as dimenses do carro so muito pequenas quando comparadas com o com-primento da estrada. Nesta situao, as dimenses do carro podem ser desprezadas e o carro dito um ponto material ou partcula.

Suponha agora o mesmo carro do exemplo anterior estacionado numa garagem.

Aqui as dimenses do carro no podem ser desprezadas, pois neste caso elas no so muito menores que as dimenses da garagem. Nesta situ-ao, o carro dito um corpo extenso.

Para determinar se um corpo se encontra ou no em movimento necessrio ver se a sua posio muda em relao a outros corpos que o rodeiam.

Na figura, vemos um homem sentado na poltrona de um trem que anda para a direita, a-cenando para uma mulher na estao.

Ponto material todo corpo cujas dimen-ses no interferem no estudo de um de-terminado fenmeno.

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Quando tomamos o trem em movimento como referncia, a distncia do homem sentado na poltrona, em relao ao trem, no varia. Dizemos que o homem est em repouso em rela-o ao trem.

Se tomamos como referncia a mulher na estao, verificamos que a distncia dele em re-lao a ela varia com o tempo. Portanto, dizemos que o homem est em movimento em rela-o mulher.

O corpo que tomamos como referncia para dizer se um outro corpo est em movimento ou em repouso denominado referencial.

Do exposto, podemos dizer que:

Note que, no exemplo dado, um mesmo corpo pode estar em repouso ou em movimento, dependendo do referencial adotado. Portanto, os conceitos de repouso e movimento so relati-vos.

A escolha do referencial arbitrria, e s depois que ele foi escolhido que podemos dizer se um corpo est em repouso ou em movimento.

No estudo da Fsica, quando o referencial no indicado, fica implcito que a Terra.

A foto mostra um esquiador em movimento. A marca que o esquiador deixa na neve represen-

ta o caminho percorrido por ele em relao a uma pes-soa parada no solo. Essa marca denominada trajet-ria.

A trajetria depende do referencial adotado. Suponha, por exemplo, um avio voando com velocidade constante. Se num certo instan-

te ele abandonar uma bomba, ela cair segundo uma trajetria vertical em relao s pessoas do avio. Para um observador parado no solo, vendo o avio de lado, a trajetria da bomba ser parablica.

Um corpo est em repouso quando a distncia entre este corpo e o re-ferencial no varia com o tempo.

Um corpo est em movimento quando a distncia entre este corpo e o referencial varia com o tempo.

Trajetria a linha determinada pelas diversas posies que um corpo ocupa no decorrer do tempo

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De acordo com a trajetria, os movimentos recebem os seguintes nomes: movimento retilneo: a trajetria uma reta; movimento curvilneo: a trajetria uma curva.

Na Cinemtica Escalar, estudamos o movimento de um ponto material ao longo da sua trajetria, sem nos preocuparmos com a forma da trajetria. Nesse estudo, vamos considerar a posio do ponto material, a sua velocidade e acelerao como grandezas escalares.

Quando conhecemos a forma da trajetria de um corpo, podemos determinar sua posio no decorrer do tempo atravs de um nico nmero chamado abscissa do corpo.

Exemplo: Consideremos um corpo se movimentando sobre a trajetria da figura.

Para localizarmos esse corpo num determinado instante, adotamos arbitrariamente um ponto O sobre a trajetria, ao qual chamamos origem das posies, e orientamos a trajetria por exemplo, positivamente para a direita a partir de O.

Para conhecer a posio do corpo, num certo instante, precisamos conhecer sua distncia em relao ao ponto O.

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Essa posio ser positiva, se o corpo estiver direita da origem, e negativa, se estiver esquerda.

Costumamos representar a posio de um corpo num dado instante pela letra s. Na trajetria a seguir, temos:

a posio do corpo no instante t = 1 h s = - 4 km; a posio do corpo no instante t = 2h s = 3 km.

No estudo da Cinemtica no existe preocupao em explicar o movimento mas somente em descrev-lo no sentido estritamente geomtrico. Este estudo se restringe escolha de um referencial e ao registro, em termos matemticos, das sucessivas posies ocupadas por um corpo no decorrer do tempo.

Assim, partindo da posio atual do corpo, num determinado referencial, pode-se determi-nar a sua posio futura no mesmo referencial.

Dados o aqui e o agora do corpo posio e instante iniciais para um dado observa-dor, podemos prever o ali e o depois posio e instante finais do corpo em relao ao mesmo observador.

Para prevermos o ali e o depois usamos a funo horria, que relaciona a posio s ocu-pada pelo corpo com o tempo t.

Toda funo horria do tipo s = f(t). Exemplo: Consideremos um mvel percorrendo a trajetria retilnea indicada na figura, segundo a

funo horria s = 2 + 3t. (no SI)

Quando t = 0 s0 = 2 + 3 0 = 2 s0 = 2 m. Quando t = 4 s s4 = 2 + 3 4 = 14 s4 = 14 m. Portanto, s0 a posio do mvel no instante zero e s4 a posio no instante 4 s.

23

Consideremos um mvel percorrendo uma pista circular com 3 m de raio conforme indica a figura.

Suponha que o mvel tenha partido do ponto A e atingido o ponto B, deslocando-se no sentido anti-horrio.

A distncia percorrida ou o espao percorrido pelo mvel igual metade do comprimento da circunferncia, ou seja, 3pi m.

A distncia entre as posies final (ponto B) e inicial (ponto A) chama-se deslocamento e, nesse caso, igual ao dimetro da circunferncia, ou seja, 6 m.

Observe que os valores encontrados so diferentes. Portanto, deslocamento e distncia percorrida so conceitos fsicos diferentes.

O deslocamento s pode ser dado pela diferena entre a posio final sf e a posio inicial si.

O deslocamento fornece, atravs do mdulo, a distncia que se fica do ponto de partida. Informa, tambm, em que sentido da trajetria o mvel se movimenta.

Assim: se o movimento for no sentido positivo da trajetria (sf > si ), s ser positivo:

s = sf - si s = 40 - 10 = + 30 km

O mvel deslocou-se no sentido positivo.

s = sf - si

24

se o movimento for contrrio ao sentido positivo da trajetria (sf < si ), s ser negativo:

s = sf si s = 30 - 50 = - 20 km

O mvel deslocou-se no sentido negativo.

Se o mvel mudar de sentido, teremos deslocamentos positivos e deslocamentos negati-vos. Nesse caso, a distncia total percorrida (espao percorrido) igual soma dos mdulos de cada um dos deslocamentos.

1 - Um carrinho se movimenta do ponto A para o ponto C, e depois para D, descrevendo a tra-jetria da figura.

a) Qual a posio inicial do carrinho? E a final? b) Qual o deslocamento efetuado pelo carrinho? c) Quantos metros ele percorreu no total?

Resoluo

a) Se o carrinho parte do ponto A, sua posio inicial si = - 30 m. A posio final indicada pela abscissa do ponto D, que igual a sf = - 80 m.

b) O deslocamento dado pela diferena entre as posies final e inicial. s = sf - si s = - 80 - (-30) s = - 50 m O deslocamento foi no sentido contrrio ao sentido positivo da trajetria. Em mdulo, |s| = 50 m.

c) A distncia total percorrida (espao percorrido) dada por: d = AC + CD d = |100 - (-30)| + | - 80 - 100| d = 310 m

Respostas: a) si = -30 m; sf = - 80 m; b) s = - 50 m; c) 310 m

25

1 - O que ponto material?

2 - Quando podemos dizer que um corpo est em movimento?

3 - A forma da trajetria de uma partcula depende do referencial adotado? D um exemplo.

4 - O livro que est sobre sua carteira pode estar em movimento? Justifique.

5 - Um parafuso se desprende do alto do mastro de um veleiro que se desloca com velocidade constante, paralelamente margem de uma lagoa, no sentido indicado na figura. Um observa-dor X, dentro do veleiro, e outro Y, na margem, observam o parafuso caindo. Desenhe as trajetrias do parafuso, vistas pelos observadores X e Y.

6 - Dizemos que os conceitos de movimento e repouso so relativos, pois dependem do siste-ma de referncia estabelecido. Com base nisso correto afirmar que: I) um corpo parado em relao a um referencial pode estar em movimento em relao a outro

referencial. II) um livro colocado sobre uma mesa est em repouso absoluto, pois, para qualquer referen-

cial adotado, sua posio no varia com o tempo. III) em relao a um edifcio, o elevador estacionado no terceiro andar est em repouso. Po-

rm, em relao ao Sol, o mesmo elevador encontra-se em movimento.

7 - O que deslocamento escalar?

8 - A tabela indica a posio de um mvel, no decorrer do tempo, sobre uma trajetria retilnea.

t (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 s (m) -2 4 10 16 22 28 34 40 46 52

Determine o deslocamento efetuado pelo mvel entre os instantes: a) 0 e 2 s b) 4 s e 9 s

26

9 - A tabela mostra os valores dos instantes t, em segundos, e das posies s, em metros, refe-rentes ao movimento de um ponto material sobre uma trajetria retilnea.

t (s) 0 1 2 3 4 5 6 s (m) 60 40 20 0 - 20 - 40 - 50

a) Verifique se houve mudana de sentido do movimento. b) Qual o espao percorrido de 0 a 6 s? c) Qual o mdulo do deslocamento de 0 a 6 s?

10 - Uma pessoa movimenta-se do ponto A para o ponto C e depois para D, descrevendo a trajetria da figura. a) Qual a posio inicial da pessoa? E a posio final? b) Qual o mdulo do deslocamento efetuado pela pessoa? c) Quantos metros ela percorreu no total?

11 - Consideremos um carro percorrendo uma pista circular com 4 m de raio. Determine o des-locamento e o caminho percorrido pelo carro durante: a) 1 de volta 4 b) meia volta c) uma volta d) duas volta

12 - Partindo do ponto A, uma pessoa caminha, passando na ordem, pelos pontos B, C, D, B e E, onde pra. Calcule o espao percorrido e o deslocamento da pessoa nesse trajeto.

- 120 - 40 0 80 s (m)

B D A C

27

Suponha um carro percorrendo um trecho de estrada entre duas cidades. Sabemos que o carro no mantm sempre a mesma velocidade durante todo o trajeto, isto

, sua velocidade varia com o tempo. Na prtica, para estudar o movimento do carro interessante conhecer e tratar o movimen-

to de uma forma global e no detalhar esse estudo em cada ponto da estrada. A velocidade escalar mdia (vm ) uma informao sobre o movimento global. Para obt-

la, dividimos a distncia total percorrida pelo tempo gasto na viagem. Vejamos um exemplo: Numa viagem de So Paulo a So Jos dos Campos, um carro percorreu uma distncia de

100 km em 2 horas. Ento:

vm = vm= vm = 50 km/h

E bvio que durante o trajeto a velocidade do carro, em cada instante, s vezes foi maior, e outras vezes menor do que 50 km/h. A velocidade escalar mdia representa a velocidade cons-tante que o carro deveria manter para, partindo da mesma posio inicial, chegar mesma po-sio final gastando o mesmo tempo.

A velocidade escalar mdia tambm pode ser definida num intervalo de tempo. Como e-xemplo, vamos considerar um carro percorrendo a trajetria indicada na figura.

Suponhamos que, para percorrer a variao de espao s = s2 s1, o carro leve o tempo t = t2 t1.

Define-se como velocidade escalar mdia do carro, entre os instantes t1 e t2, a grandeza vm dada por:

A unidade de velocidade no SI o metro por segundo, que se indica por m/s. Podemos, tambm, utilizar o quilmetro por hora (km/h).

Observe que:

1) Se o carro se movimentar no sentido positivo da trajetria, teremos: s1 > s2 s > 0 vm > 0

distncia total percorrida tempo gasto no percurso

100 km 2h

vm = = s t

s2 s1

t2 t1

28

2) Se o carro se movimentar no sentido contrrio ao sentido positivo da trajetria, teremos: s2 < s1 s < 0 vm < 0

2 - Transforme: a) 90 km/h em m/s b) 10 m/s em km/h

Resoluo

a) Sabemos que 1 km = 100 m e 1h = 60 min = 3 600 s. Portanto, 90 km/h = 90 1 000 m = 90 = 25 m/s. 3 600 s 3,6

b) Sabemos que 1 m = 1 km e 1 s = 1 h. 1 000 3 600

1 km Portanto, 10 m/s = 10 1 000 = 10 3,6 = 36 km/h. 1 h 3 600

Na prtica, para transformar km/h em m/s, divi-de-se a expresso por 3,6 e para transformar m/s em km/h, multiplicando-se a expresso por 3,6

Respostas: a) 25 m/s b) 36 km/h

29

3 - Calcule a velocidade mdia entre os instantes t1 = 1 s e t2 = 2 s de um mvel que realiza um movimento segundo a funo horria s = 5 + 4t (SI).

Resoluo

s = 5 + 4t Para t1 = 1 s, temos s1 = 9 m. Para t2 = 2 s, temos s2 = 13 m.

Ento: vm = s = s2 s1 = 13 9 = 4 t t2 t1 2 1 1

vm = 4 m/s

Resposta: vm = 4 m/s

13 - Como se determina a velocidade media de um carro da Frmula 1 durante uma volta com-pleta?

14 - Qual , em metros por segundo, a velocidade de um carro cujo velocmetro indica 72 km/h?

15 - Transforme 8 m/s em km/h.

16 - Um ciclista percorre 12 m em cada segundo. Qual a sua velocidade em km/h?

17 - Um carro passa pelos pontos A e B de uma estrada, nos instantes indicados na figura.

Determine a velocidade escalar mdia desse carro entre os pontos A e B.

18 - (Unip-SP) O corredor Joaquim Cruz, ganhador da medalha de ouro nas Olimpadas de Los Angeles, fez o percurso de 800 m em, aproximadamente, 1 min 40s. Determine a velocida-de escalar mdia no trajeto.

30

19 - (UMC-SP) Um nibus partiu de So Paulo s 6 horas com destino a Mogi das Cruzes. Permaneceu parado em um grande congestionamento por aproximadamente 20 minutos, che-gando, finalmente, ao seu destino s 7 horas e 30 minutos. Sabendo-se que a distncia total percorrida foi de 60 km, calcule a velocidade escalar mdia do nibus nessa viagem, em km/h.

20 - Um mvel percorre uma trajetria retilnea obedecendo funo horria s = 3t + 6 (no SI). Determine a velocidade mdia desse mvel no intervalo de tempo de 1 s a 5 s.

21 - Uma pessoa, andando normalmente, desenvolve uma velocidade de 1 m/s. Que distncia essa pessoa percorrer, andando durante 15 minutos?

22 - (UFRJ) Durante uma viagem entre duas cidades, um passageiro decide calcular a veloci-dade escalar mdia do nibus. Primeiramente verifica que os marcos indicativos de quilometra-gem na estrada esto dispostos de 2,0 km em 2,0 km. O nibus passa por trs marcos conse-cutivos e o passageiro observa que o tempo gasto pelo nibus entre o primeiro e o terceiro marco de 3 minutos. Calcule a velocidade escalar mdia do nibus neste trecho da viagem, em km/h.

23 - (Fuvest-SP) A figura representa a trajetria de um caminho de entregas que parte de A, vai at B e retorna a A. No trajeto de A a B o caminho mantm uma velocidade mdia de 30 km/h; na volta, de B at A, gasta 6 minutos. Qual o tempo gasto pelo caminho para ir de A at B? Qual a velocidade mdia do caminho quando vai de B at A, em km/h?

24 - (UFPel-RS) Um dos fatos mais significativos nas corridas de automveis a tomada de tempos, isto , a medida do intervalo de tempo gasto para dar uma volta completa no circuito. O melhor tempo obtido no circuito de Susuka, no Japo, pertenceu ao austraco Gerard Berger, piloto da equipe McLaren, que percorreu os 5 874 m da pista em cerca de 1 min 42s. Com ba-se nesses dados, responda: a) quanto vale o deslocamento do automvel de Gerard Berger no intervalo de tempo corres-

pondente a uma volta completa no circuito? b) qual a velocidade escalar mdia desenvolvida pelo carro do piloto austraco, em sua me-

lhor volta no circuito? Justifique suas respostas.

25 - (Unicamp-SP) Um carro, a. uma velocidade constante de 18 km/h, est percorrendo um trecho de rua retilneo. Devido a um problema mecnico, pinga leo do motor razo de 6 go-tas por minuto. Qual a distncia entre os pingos de leo que o carro deixa na rua?

31

4 - Um carro percorre a primeira metade de um percurso com a velocidade escalar mdia de 40 km/h e a segunda metade com a velocidade escalar mdia de 60 km/h. Determine a veloci-dade escalar mdia do carro durante todo o percurso.

Resoluo

No trecho AM, temos:

vm1 = s1 40 = AM t1 = x dd t1 t1 40

No trecho MB, temos:

vm2 = s2 60 = MB t2 = x ffffff t2 t2 60

No percurso total AB, temos:

vm = s vm = AM + MB vm = x + x vm = 48 km/h t t1 + t2 x + x vvv 40 60

Resposta: A velocidade media em todo o percurso de 48 km/h.

26- (UFMS) Um carro percorre um trecho de 30 km de uma estrada horizontal retilnea, man-tendo uma velocidade constante de 60 km/h. A seguir, percorre 60 km em linha reta, mantendo uma velocidade constante de 40 km/h. Qual a velocidade escalar mdia, em km/h, para todo o percurso?

27 - Sejam M e N dois pontos de uma reta, e P o ponto mdio de MN. Um homem percorre MP com velocidade constante de 4,0 m/s, e PN com velocidade constante de 6,0 m/s. Determine a velocidade mdia do homem entre M e N.

32

28 - (Fuvest-SP) Um nibus sai de So Paulo s 8 horas e chega a Jabuticabal, que dista 350 km da capital, s 11 horas e 30 minutos. No trecho de Jundia a Campinas, de aproxima-damente 45 km, a sua velocidade foi constante e igual a 90 km/h. a) Qual a velocidade mdia, em km/h, no trajeto So Paulo Jabuticabal? b) Em quanto tempo o nibus cumpre o trecho Jundia Campinas?

29 - (UFOP-MG) Uma partcula est em movimento retilneo no sentido positivo do eixo x, con-forme a figura abaixo.

a) Se no instante t1 sua abscissa x1 e no instante t2 sua abscissa x2, sendo t2 maior que t1, escreva a expresso da velocidade mdia dessa partcula.

b) Se a partcula percorre o trajeto x1x2, de 60 km, com velocidade mdia de 60 km/h, e o traje-to x2x3 , de 80 km, com velocidade mdia de 40 km/h, calcule a velocidade mdia da partcu-la no trajeto x1x3.

0 x1 x2 x3 x

33

MOVIMENTO UNIFORME

Suponha que voc esteja dirigindo um carro de tal forma que o ponteiro do velocmetro fi-que sempre na mesma posio, acusando, por exemplo, uma velocidade de 50 km/h, no decor-rer do tempo.

Nessa condio, voc ir percorrer 50 km a cada hora. Ento, se em 1 hora voc percorre 50 km, em 2 horas percorrer 100 km, e assim por diante.

Desse modo, o carro percorrer distncias iguais em intervalos de tempo iguais. Para que isso ocorra, a velocidade escalar instantnea do carro deve ser igual velocidade escalar m-dia em qualquer intervalo de tempo.

Consideremos agora um carrinho transportando um vasilhame com uma certa quantidade de lquido, em que est instalada uma torneira que pinga gotas desse lquido a intervalos de tempo iguais.

As distncias entre as marcas deixadas sobre um papel pelas gotas do lquido durante o movimento do carrinho so iguais.

Isso mostra que o carrinho percorre distncias iguais em intervalos de tempo iguais. Como o carro e o carrinho dos exemplos vistos percorrem distncias iguais em intervalos

de tempo iguais, dizemos que eles realizam um movimento chamado movimento uniforme (MU).

No movimento uniforme, o mvel percorre distncias iguais em intervalos de tempo iguais.

34

O movimento da Terra em torno do seu eixo, o movimento dos ponteiros de um relgio e a viagem de uma nave interplanetria so exemplos bem prximos do movimento uniforme.

Na prtica, os movimentos no so perfeitamente uniformes. Se a trajetria for retilnea, o movimento dito movimento retilneo e uniforme. (MRU).

Conhecidas as caractersticas do movimento, vamos agora estabelecer as leis que regem o movimento uniforme. Se a forma da trajetria for conhecida, essas leis permitem determinar, em cada instante, a posio, a velocidade e a acelerao de um corpo em movimento.

Posio em funo do tempo [s = f (t)]

Seja um mvel percorrendo com movimento uniforme (velocidade escalar constante igual a v) a trajetria da figura.

Considere:

s0 = a posio do mvel no instante t0 = 0 s = a posio do mvel no instante t

A velocidade escalar mdia do mvel no intervalo de tempo t = t - t0 = t : vm = s = s s0 , onde vm = v = constante t t t0

v = s s0 s s0 = vt t

, funo horria das posies do MU s = s0 + vt

35

Em que: s0 = posio ou espao inicial v = velocidade t = tempo

A funo horria das posies de um mvel em movimento uniforme em relao ao tempo funo do 1 grau. Essa funo permite obter a posio de um mvel em movimento em qualquer instante.

Velocidade em funo do tempo [ v = f (t)]

v = f (t) = constante 0 Isto significa que o mvel tem, em toda a trajetria, a velocidade do incio do movimento.

Acelerao em funo do tempo [ a = f (t)]

a = f(t) = 0 Isto quer dizer que no existe variao de velocidade durante o movimento.

5 - Um ponto material movimenta-se sobre uma trajetria retilnea segundo a funo horria s = 10 + 2t (no SI). Pedem-se: a) sua posio inicial b) sua velocidade c) sua posio no instante 3 s d) o espao percorrido no fim de 6 s e) o instante em que o ponto material passa pela posio 36 m f) o esquema do movimento em um eixo orientado

Resoluo a) e b) A funo horria s = 10 + 2t do 1 grau. Portanto, o movimento uniforme.

Ento, por comparao: s = 10 + 2t s = s0 + vt s0 = 10 m e v = 2 m/s

c) No instante 3 s s3 = 10 + 2t = 10 + 2 3 = 10 + 6

s3 = 16 m ( posio no instante 3 s)

d) No instante 6 s s = 10 + 2t = 10 + 2 3 = 10 + 6 s6 = 22 m (posio no instante 6 s)

O espao percorrido ser calculado por: s = s6 s0 = 22 10 s = 12 m

e) Quando s = 36 m: s = 10 + 2t 36 = 10 + 2t 2t = 36 10 t = 13 s

36

f)

Respostas: a) s0 = 10 m; b) v = 2 m/s; c) s3 = 16 m; d) s = 12 m; e) t = 13 s; f) vide resoluo

30 - Na frase, "O motorista est em movimento retilneo uniforme", o que significa a palavra retilneo? E a palavra uniforme?

31 - (Mau-SP) Ao longo de uma pista de corrida de automveis existem cinco postos de ob-servao onde so registrados os instantes em que por eles passa um carro em treinamento. A distncia entre dois postos consecutivos de 500 m. Durante um treino registraram-se os tem-pos indicados na tabela.

a) Determine a velocidade mdia desenvolvida pelo carro, no trecho compreendido entre os postos 2 e 4.

b) possvel afirmar que o movimento do carro uniforme? Justifique a resposta.

32 - Um mvel desloca-se com movimento retilneo segundo a lei horrias = 20 + 8t (no SI). Determine: a) a posio inicial do mvel b) a posio do mvel quando t = 5 s c) o instante em que o mvel passa pela posio 100 m d) a distncia percorrida pelo mvel durante o 10 segundo e) o mdulo do deslocamento e do espao percorrido pelo mvel no intervalo de 5 s a 20 s

33 - (UFRJ) Um foguete foi lanado da Terra com destino a Marte. Na figura a seguir esto in-dicadas as posies da Terra e de Marte, tanto no instante do lanamento do foguete da Terra, quando no instante de sua chegada a Marte. Observe que, a contar do lanamento, o foguete chega a Marte no instante em que a Terra completa 3 de uma volta em torno do Sol. 4 Calcule quantos meses durou a viagem deste foguete da Terra at Marte.

Posto 1 2 3 4 5

Instante de passagem (s) 0 24,2 50,7 71,9 116,1

Marte no instante da chegada

Terra no instante da chegada

Terra no instante do lanamento

Marte no instante do lanamento

37

34 - A tabela representa as posies ocupadas por um ponto material em funo do tempo. O ponto material realiza um movimento retilneo e uniforme.

a) Escreva a funo horria das posies do movimento dessa partcula. b) Qual a posio desse ponto material no instante 50 s? c) Em que instante ele passa pela posio 200 m?

35 - Qual o movimento de um corpo no qual a velocidade instantnea sempre igual velo-cidade mdia?

6 - Um ciclista A est com velocidade constante vA = 36 km/h, um outro ciclista B o persegue com velocidade constante vB = 38 km/h. Num certo instante, a distncia que os separa de 80 m. a) A partir desse instante, quanto tempo o ciclista B levar para alcanar o ciclista A? b) Determine a posio dos ciclistas quando se encontraram. c) Calcule a distncia percorrida pelos dois ciclistas.

Resoluo

a)

sA = s0 + vAt sA = 80 + 10 t sB = s0 + vBt sB = 95 t 9

No encontro: sA = sB 80 + 10t = 95 t t = 144 s 9

b) Para achar a posio do encontro devemos substituir t = 144 s em qualquer uma das fun-es horrias, pois, nesse instante, as posies dos ciclistas so iguais. Assim:

sA = sB sB = 95 t sB = 95 144 = 1 520 m 9 9

c)

sA = 1 520 - 80 = 1 440 m sB = 1 520 - 0 = 1 520 m

t (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 s (m) - 40 - 30 - 20 - 10 0 10 20 30 40

0 80 1 520

B

s (m)

A A = B

A

B

38

Respostas:

a) 144 s; b) 1 520 m; c) sA = 1 440 m; sB = 1 520 m

36 - Dois motociclistas A e B percorrem uma mesma pista retilnea representada pelo eixo ori-entado.

No incio da contagem dos tempos suas posies so A = 10 m e B = 80 m. Ambos percor-rem a pista no sentido positivo do eixo com velocidades constantes, sendo vA = 30 m/s e vB = 20 m/s. Pedem-se: a) o instante em que A alcana B b) a posio do encontro em relao ao marco zero da pista

37 - Os carros A e B indicados nas figuras tm velocidades constantes e iguais a vA = 30 m/s e vB = 10 m/s. Se ambos se movimentam no sentido positivo da trajetria, calcule, em cada caso, o instante e a posio de encontro desses mveis.

a)

b)

38 - Dois mveis partem simultaneamente de dois pontos A e B e deslocam-se em movimento uniforme sobre a mesma reta, de A para B, com velocidades escalares de 20 m/s e 15 m/s. Qual a distncia inicial entre esses mveis, sabendo que o encontro deles ocorre 50 s aps a partida?

39

39 - (PUC-PR) Um caminho trafegando pela BR 116 em direo a Porto Alegre, passa por Curitiba a uma velocidade de 60 km/h. Trinta minutos depois, pelo mesmo ponto e com o mesmo destino, passa um automvel com velocidade de 20 m/s. Supondo que os dois veculos mantenham as velocidades constantes, a que distncia de Curitiba se dar a ultrapassagem?

7 - Quanto tempo gasta um trem com 400 m de comprimento e velocidade de 20 m/s, para a-travessar um tnel de 1 800 m de comprimento?

Resoluo

A figura representa o incio e o trmino da ultrapassagem.

Considerando o ponto A (traseira do trem) como origem das posies, temos: s = s0 + vt s = 0 + 20t s = 20t

Quando o trem atravessa o tnel, a posio do ponto A em relao origem (400 + 1 800 = 2 200 m).

Assim:

s = 20 t 2 200 = 20 t t = 110 s ou t = 1 min 50s

Resposta: 1 min 50s

8 - Dois motociclistas, A e B, partem de um mesmo ponto de uma estrada retilnea e horizontal, com velocidades constantes e iguais a 36 km/h e 108 km/h, respectivamente. Sabendo-se que movem no mesmo sentido e que o motociclista B parte 3 s aps a partida de A, determine: a) o instante no qual os dois motociclistas se encontrem aps a partida de A b) a posio do encontro

Resoluo

a)

Este problema envolve uma defasagem de tempo. Ao acionarmos um cronmetro aps a partida de A e efetuarmos a leitura do tempo decorrido, teremos:

40

Cronmetro Motociclista A Motociclista B 5 s 5 s ( 5 3) s 6 s 6 s ( 6 3) s 7 s 7 s ( 7 3) s t t ( t 3) s

Funo que regem os movimentos (MU):

motociclista A motociclista B

s0 = 0 s0 = 0 vA = 36 km/h = 10 m/s com vB = 108 km/h = 30 m/s tA = t tB = (t 3)

sA = s0 + vAtA sB = s0 + vBtB sA = 10t sB = 30 (t 3)

No encontro, sA = sB 10t = 30 (t 3) t = 4,5 s

b) Podemos substituir em sA ou sB . Substituindo t = 4,5 em sA, temos: sE = sA = sB = 10 4,5 sE = 45 m

Respostas: a) 4,5 s b) 45 m

40 - (UnB-DF) Qual o tempo gasto para que um trem de metr de 200 m de comprimento com movimento uniforme e velocidade escalar de 180 km/h atravesse um tnel de 150 m de com-primento?

41 - (ESAL-MG) Um trem viaja por es-trada retilnea com velocidade constante de 36 km/h. Calcule o comprimento do trem, sabendo que ele leva 15 s para atravessar uma ponte de 60 m de com-primento.

42 - Dois mveis, A e B, partem com movimentos uniformes dos pontos indicados na figura.

A B

B A

41

Sabendo que se movem no mesmo sentido, com velocidades vA = 6 m/s e vB = 4 m/s, e que A parte 5 s aps a partida de B, determine: a) o instante em que ocorre a ultrapassagem em relao partida do mvel B b) o instante em que a distncia entre eles de 90 m, em relao partida de B

43 - (UFBA) Os mveis A, B e C partem de um mesmo ponto, com movimento retilneo unifor-me, em momentos diferentes. B parte 2 minutos aps A, e ambos desenvolvem a mesma velo-cidade. C parte por ltimo, gastando 10 minutos para alcanar B e mais 5 minutos para alcan-ar A. Determine, em minutos, o tempo decorrido entre a partida de A e a de C.

9 - Dois carros, A e B, de comprimentos 4 m e 5 m, percorrem uma mesma estrada retilnea com movimentos uniformes e velocidades constantes e iguais a 25 m/s e 20 m/s, respectiva-mente. Determine o tempo de ultrapassagem, nos seguintes casos: a) eles se movem no mesmo sentido b) eles se movem em sentidos contrrios

Resoluo a) mesmo sentido

Vamos tomar como referncia os pontos 1 e 2, cujas posies esto indicadas na figura, marcando o incio e o trmino da ultrapassagem. Como o movimento uniforme, as funes so:

carro A carro B

s1 = s0 + v1t s2 = s0 + v2t

s0 = 0 s0 = 9 m v1 = 25 m/s com v2 = 20 m/s s1 = 25t s2 = 9 + 20t

Quando termina a ultrapassagem, s1 = s2 . Vide figura. 25t = 9 + 20t t = 1,8 s

origem incio da ultrapassagem trmino da ultrapassagem

1 2

42

b) sentidos contrrios

As funes horrias do movimento so:

carro A carro B

s1 = s0 + v1t s2 = s0 + v2t

s1 = 0 + 25t v2 = - 20 m/s (retrgrado) s1 = 25t s2 = 9 - 20t

Quando termina a ultrapassagem, s1 = s2 . Vide figura. 25t = 9 20t t = 0,2 s

Respostas:

a) 1,8 s b) 0,2 s

44 - (UFU-MG) Dois trens se deslocam sobre trilhos paralelos, em movimento retilneo uni-forme.

Determine: a) o intervalo de tempo para que um trem ultrapasse completamente o outro, a partir da posi-

o indicada na figura 14,4 s b) o correspondente deslocamento de cada um dos trens

incio da ultrapassagem

trmino da ultrapassagem origem

1 2

43

45 - (Unip-SP) Um trem, de comprimento L = 200 m, em trajetria retilnea, tem velocidade es-calar constante vT = 20 m/s. Um automvel, de comprimento L = 2,00 m, est em uma trajet-ria paralela do trem, com velocidade escalar constante vA, caminhando no mesmo sentido de movimento do trem e vai ultrapass-lo.

O intervalo de tempo decorrido desde o incio at o fim da ultrapassagem completa do trem de 10,1 s. Qual o valor, em km/h, de vA?

46 - (Unitau-SP) No instante t0 = 0, a distncia entre dois carros A e B de 375 km. Eles se movem um ao encontro do outro com velocidades constantes e de mdulos respectivamente iguais a 60 km/h e 90 km/h, descrevendo uma mesma trajetria retilnea.

Com a trajetria orientada conforme indica a figura e adotando como origem dos espaos a posio inicial de A, pedem-se: a) as funes horrias dos espaos que descrevem os movimentos dos carros A e B b) o instante em que os carros se encontram c) a posio do ponto de encontro

47 - Dois trens, A e B, de comprimentos iguais a 40 m e 50 m, respectivamente, percorrem li-nhas retilneas e paralelas com movimentos uniformes e velocidades constantes: vA = 90 km/h e vB = 72 km/h. Determine o tempo gasto durante a ultrapassagem, sabendo que eles se mo-vem em sentidos contrrios.

48 - Duas partculas A e B percorrem uma mesma trajetria retilnea com velocidades escala-res constantes e de mdulos respectivamente iguais a 3 m/s e 5 m/s.

A distncia entre A e B 20 m e 0 o ponto mdio de AB. A trajetria est orientada de A para B e os sentidos dos movimentos esto indicados na figura. Considere 0 como origem das posi-es. a) Escreva as funes horrias das posies das partculas A e B. b) Qual o instante em que a distncia entre elas 500 m?

vA

vT

L L

44

10 - Um atirador aciona o gatilho de sua arma, que aponta para um alvo fixo na Terra. A veloci-dade da bala ao sair do cano da arma 660 m/s. Depois de 2 s ele ouve o barulho da bala a-tingindo o alvo. Sabendo-se que a velocidade do som no ar 340 m/s, calcule a distncia do atirador ao alvo.

Resoluo

Sejam:

t1 = tempo gasto pela bala para atingir o alvo t2 = tempo gasto pelo som para chegar ao atirador aps a bala atingir o alvo x = distncia entre o atirador e o alvo

Temos: t1 + t2 = 2 t1 = 2 t2

na ida (bala): na volta (som): s = s0 + vt s = s0 + vt x = 660t1 1 x = 340t2 2

Igualando-se 1 e 2 , vem: 660t1 = 340t2 660 (2 t2) = 340t2 t2 = 1,32 s Substituindo-se em 2 , vem: x = 340 1,32 x = 448,8 m Resposta: x = 448,8 m

49 - (UMC-SP) Um tiro disparado contra um alvo preso a uma grande parede refletora de som. O atirador ouve o eco do disparo 2,5 s depois de disparar o tiro. Supondo que o som viaje no ar com velocidade de 340 m/s, calcule a distncia que separa o atirador da parede refletora, em metros.

50 - (Fuvest-SP) Um trecho dos trilhos de ao de uma ferrovia tem a forma e as dimenses dadas abaixo. Um operrio bate com uma marreta no ponto A dos trilhos. Um outro trabalha-dor, localizado no ponto B, pode ver o primeiro, ouvir o rudo e sentir com os ps as vibraes produzidas pelas marretadas no trilho.

atirador alvo

x

45

a) Supondo que a luz se propague instantaneamente, qual o intervalo de tempo t decorrido entre os instantes em que o trabalhador em B v uma marreta e ouve o seu som?

b) Qual a velocidade de propagao do som no ao, sabendo-se que o trabalhador em B, ao ouvir uma marretada, sente simultaneamente as vibraes no trilho?

(Dado: a velocidade do som no ar de 340 m/s. Para fazer as contas, use pi = 3.)

51 - (UFMG) Uma martelada dada na extremidade de um trilho. Na outra extremidade um indivduo ouve dois sons, com uma diferena de tempo de 0,18 s. O primeiro se propaga atra-vs dos trilhos, com velocidade de 3 400 m/s, e o segundo atravs do ar, com velocidade de 340 m/s. Determine, em metros, o comprimento do trilho.

52 - Dois corredores saem ao mesmo tempo para percorrer um determinado trajeto; o primeiro com velocidade constante de 18 km/h, e o segundo com velocidade de 16,5 km/h. O primeiro sofre um acidente em que perde 20 minutos e, em conseqncia desse atraso, os dois chegam juntos no trmino do trajeto. a) Quanto tempo levaram para percorrer esse trajeto? b) Qual o comprimento do trajeto percorrido?

7 - (Unitau-SP) Numa dada trajetria, um ponto material tem a funo horria s = 10 - 2,0t, on-de s a distncia em metros e t o tempo em segundos. a) Qual a forma da trajetria? b) Qual a posio do ponto material no instante t1 = 3,0 s? c) Qual o instante (t0) em que o ponto material passa pela origem dos espaos?

8 - (Unitau-SP) Um mvel, com velocidade escalar constante, passa pela posio s = 100 m no instante t = 0 e 3,0 s aps passar pela posio s = 70 m. Pedem-se: a) a velocidade escalar do mvel b) a funo horria das posies c) a classificao do movimento

9 - Em uma estrada observam-se um caminho e um jipe, ambos correndo no mesmo sentido. Suas velocidades so respectivamente iguais a 54 km/h e 72 km/h. No instante zero, o jipe es-t atrasado de 100 m em relao ao caminho. Determine: a) o instante em que o jipe alcana o caminho b) o caminho percorrido pelo jipe at alcanar o caminho

3 300 m

3 300 m

510

m 255 m

46

10 - (UFCE) Determine o intervalo de tempo para que um trem de 240 m, com velocidade esca-lar constante de 108 km/h, atravesse completamente um tnel de comprimento 1 980 m.

11 - Os veculos A e B, indicados na figura, tm velocidades constantes iguais a vA = 30 m/s e vB = 10 m/s. Calcule o instante e a posio de encontro desses mveis.

A B

vA vB

- 80 0 220 s (m)

47

MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO

Nos movimentos que observamos diariamente, as velocidades em geral no permanecem constantes, variando, portanto, no decorrer do tempo. So os chamados movimentos variados.

Por outro lado, se num movimento a velocidade variar uniformemente no decorrer do tem-po, isto , se ocorrerem variaes de velocidade sempre iguais em intervalos de tempos iguais, o movimento denominado movimento uniformemente variado (MUV).

Para que isto ocorra em qualquer intervalo de tempo, a acelerao escalar mdia deve ser constante, diferente de zero e igual acelerao escalar instantnea.

Observe a tabela abaixo que registra a velocidade indicada pelo velocmetro de um auto-mvel no decorrer do tempo.

v (km/h) 8 12 16 20 24 28 32 t (s) 0 1 2 3 4 5 6

Note que a partir da velocidade inicial v0 = 8 km/h, a velocidade varia de 4 km/h a cada se-gundo decorrido. Portanto, a acelerao escalar mdia igual acelerao escalar instant-nea.

Ento esse automvel executa um movimento uniformemente variado.

No caso de a trajetria ser retilnea, o movimento denominado movimento retilneo unifor-memente variado (MRUV).

am = a = constante 0

am = a = v t

a = 12 8 1 0

a = 4 km/h s

Movimento uniformemente variado aquele em que a velocidade escalar varivel e a acelerao escalar constante e no-nula.

48

Vamos estudar agora as funes que permitem a descrio matemtica de um movimento uniformemente variado.

Velocidade em funo do tempo [v = f (t)]

Seja um mvel percorrendo, com movimento uniformemente variado, a trajetria da figura.

Sejam:

v0 = a velocidade do mvel no instante t0 = 0 v = a velocidade do mvel no instante t

A acelerao mdia do mvel no intervalo de tempo t = t t0 = t :

am = v = v v0, onde am = a = constante t t t0 a

= v v0 v v0 = at t

Em que: v0 = velocidade inicial; a = acelerao e t = tempo.

Observe que esta funo do 1 grau em relao a t.

11 - Um ponto material em movimento adquire velocidade que obedece expresso v = 10 - 2t (no SI). Pedem-se: a) a velocidade inicial b) a acelerao c) a velocidade no instante 6 s d) o instante em que o ponto material muda de sentido e) a classificao do movimento (acelerado ou retardado) no instante 4 s

Resoluo

A funo v = 10 - 2t do 1 grau. Portanto, o movimento uniformemente variado. Logo, por comparao: v = 10 - 2t v = v0 + at

a) v0 = 10 m/s b) a = - 2 m/s2

v0 v

t t0 = 0

v = v0 + at

49

c) Quando t = 6 s v = 10 - 2t = 10 - 2 6 = 10 - 12 v = - 2 m/s (Tem sentido contrrio ao sentido da trajetria.)

d) O ponto material muda de sentido quando v = 0. v = 10 - 2t 0 = 10 - 2t t = 5 s

Observe o quadro:

t (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 v (m/s) 10 8 6 4 2 0 - 2 - 4 - 6 - 8

sentido do positivo sentido contrrio da trajetria (v > 0) muda de sentido ao positivo da trajetria (v < 0)

e) Quando t = 4 s v = 10 2t v = 10 2 4 v = 2 m/s Mas: a = - 2m/s2 (constante)

Portanto: Sendo v > 0 e a < 0 o movimento retardado (velocidade e acelerao tm sinais contrrios).

Respostas: a) v0 = 10 m/s b) a = - 2 m/s2 c) v = - 2 m/s d) t = 5 s e) retardado

12 - Partindo do repouso, um avio percorre a pista com acelerao constante e atinge a velo-cidade de 360 km/h, em 25 s. Qual o valor da acelerao em m/s2?

Resoluo

Se o avio parte do repouso, sua velocidade inicial v0 = 0. Aps 25 s, a velocidade final do avio v = 360 km/h =100 m/s. Assim:

v = v0 + at 100 = 0 + a 25 a = 4 m/s2

Resposta: 4 m/s2

53 - Um carro percorre um trecho retilneo de uma estrada e sua velocidade varia com o tempo de acordo com a tabela.

t (s) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 v (m/s) 14 18 22 22 22 22 22 20 18 15 11

a) Em quais intervalos de tempo a acelerao positiva? E negativa? b) Em que intervalo de tempo a acelerao nula? c) Em quais intervalos o movimento do carro uniformemente variado?

50

54 - O que caracteriza um movimento uniformemente variado? E um movimento variado qual-quer?

55 - A velocidade de um mvel no decorrer do tempo indicada pela tabela seguinte:

t (s) 0 2 4 6 8 10 12 v (m/s) 40 30 20 10 0 - 10 - 20

Qual a funo horria da velocidade desse mvel?

56 - Um ponto material em movimento retilneo adquire velocidade que obedece funo v = 15 - 3t (no SI). Pedem-se: a) a velocidade inicial b) a acelerao c) a velocidade no instante d) o instante em que o ponto material muda de sentido e) a classificao do movimento (acelerado ou retardado) nos instantes 3 s e 7 s

57 - Um mvel leva 5 s para passar da velocidade de 30 m/s para 60 m/s em movimento uni-formemente variado. Calcule sua acelerao escalar.

58 - (UNIU-Passo Fundo-RS) Uma pessoa estava dirigindo uma motocicleta a uma velocidade de 72 km/h, quando acionou os freios e parou em 4,0 s. Determine a acelerao imprimida motocicleta pelos freios.

59 - (ESPM-SP) Partindo do repouso, um avio percorre a pista com acelerao constante e atinge a velocidade de 432 km/h, em 20 s. Qual o valor da acelerao em m/s2?

60 - Classifique as seguintes sentenas em verdadeiras ou falsas. a) No movimento acelerado, a acelerao tem o mesmo sinal da velocidade. b) No movimento retardado, a acelerao tem sinal oposto ao da velocidade. c) No movimento retilneo uniformemente variado, a acelerao varivel.

61 - Um mvel pode inverter o sentido do seu movimento quando sua acelerao for constante e positiva? Caso a resposta seja afirmativa, d um exemplo. Caso seja negativa, explique por qu.

Posio em funo do tempo [s = f (t)]

Seja um mvel percorrendo, com movimento uniformemente variado, a trajetria da figura. Sejam:

s0 = a posio do mvel no ins-tante t0 = 0

v0 = a velocidade do mvel no instante t0 = 0

s = a posio do mvel no instan-te t

v = a velocidade do mvel no ins-tante t

a = a acelerao

+

51

O grfico da funo v = v0 + at uma reta ( funo do 1 grau).

A rea do trapzio fornece o espao percorrido s no intervalo de tempo t = t t0. Portanto:

s = v + v0 t 2

Mas: v = v0 + at s = s s0

Substituindo-se, vem:

s s0 = v0 + at + v0 t s s0 = 2v0 + at t s s0 = v0t + at2 2 2 2

Observe que esta funo do 2 grau em relao a t.

Acelerao em funo do tempo [a = f (t)]

a = f (t) = constante 0 Portanto, a acelerao (variao da velocidade) em todo o percurso a mesma do incio

dele.

13 - Um mvel desloca-se sobre uma reta segundo a funo horria s = - 15 - 2t + t2 (no SI). Calcule: a) o tipo do movimento (MU ou MUV) b) a posio inicial, a velocidade inicial e a acelerao c) a funo v = f (t) d) o instante em que o mvel passa pela origem das posies

Resoluo

a) A funo horria s = - 15 - 2t + t2 do 2 grau, portanto o movimento uniformemente variado.

b) Por comparao: s = -15 - 2t + 1 t2 s = s0 + v0t + 1 at2 s0 = -15 m (no instante t = 0 o mvel estava a 15 m da origem) 2 v0= - 2 m/s 1 a = 1 a = 2 m/s2 2

c) v = v0 + at v = - 2 + 2t d) Na origem das posies (s = 0): s = - 15 2t + t2 0 = - 15 2t + t2

s = s0 + v0t + 1 at2 2

52

Resolvendo a equao, temos: t = 5 s Em Cinemtica s consideramos tempo positivo. Respostas: Vide resoluo

62 - Considere as seguintes funes horrias das posies, em que s medido em metros e t, em segundos: I) s = 20 + 6t + 5t2 II) s = - 40 + 2t 4t2 III) s = - 8t + 2t2 IV) s = 70 + 3t2 V) s = t2

Determine, para cada uma dessas funes: a) a posio e a velocidade iniciais b) a acelerao c) a funo horria da velocidade

63 - Um mvel percorre uma trajetria retilnea em movimento uniformemente variado, con-forme indica a figura.

No instante inicial (t = 0) sua velocidade de 10 m/s em movimento retardado de acelera-o 2 m/s2. a) Escreva as funes s = f (t) e v = f (t) desse movimento. b) Qual a posio e a velocidade escalar do mvel no instante t = 8 s?

64 - Uma partcula movimenta-se sobre uma reta, e a lei horria do movimento dada por s = - 4 + 5t + 6t2, com s em metros e t em segundos. a) Qual a acelerao da partcula? b) Qual o instante em que a partcula passa pela origem das posies? c) Qual a velocidade da partcula no instante 10 s?

65 - Um mvel desloca-se sobre uma reta, obedecendo funo horria s = 6 - 5t + t2 (no SI). Determine: a) a funo v = f(t) b) o instante em que o mvel inverte o sentido do seu movimento c) o espao percorrido entre os instantes 4 s e 9 s

66 - Um ponto material movimenta-se sobre uma trajetria retilnea segundo a funo horria s = 20 + 15t - 2t2 (noSI). Classifique o movimento em acelerado ou retardado, nos instantes: a) 3 s b) 8 s

s0 = 15 m

t = 0 + 0

v0 = 10 m/s2

53

67 - Um ciclista tem uma acelerao constante de 2 m/s2 e parte do repouso. a) Que velocidade tem aps 8 s? b) Que distncia percorreu em 8 s? c) Qual sua velocidade mdia durante os primeiros 8 s? d) Quantos metros o ciclista percorreu at o instante

em que sua velocidade atinge 30 m/s?

68 - (UFPR) Dois mveis, A e B, partem simultaneamente de um mesmo ponto, com direes perpendiculares entre si. O mvel A tem velocidade constante igual a 10 m/s e o mvel B, mo-vimento uniformemente acelerado, partindo do repouso com acelerao de 4 m/s2. Determine a distncia entre os dois mveis aps 5 s de movimento.

69 - Um ponto material parte do repouso e percorre, em linha reta, 120 m em 60 s, com acele-rao constante. Calcule sua velocidade no instante 60 s.

70 - (UFMS) Um motorista conduz seu carro em uma rua, com velocidade de 72 km/h. Em um dado instante, ele percebe que a rua est fechada, a 106 m de sua posio atual. Imediata-mente ele freia o carro, provocando uma acelerao de - 5 m/s2. A quantos metros do ponto em que a rua est fechada o carro ir parar?

71 - (PUCCAMP-SP) Um veculo em movimento retilneo uniformemente variado percorre a distncia de 60 m, que separa dois pontos, A e B, em 5,0 s. Sabendo-se que a velocidade escalar em A era de 10 m/s, pedem-se: a) a velocidade escalar em B b) a acelerao escalar

14 - Um automvel est parado diante de um semforo. Imediatamente aps o sinal ter aberto, um caminho o ultrapassa com velocidade constante de 20 m/s. Nesse exato instante, o mo-torista do automvel arranca com uma acelerao de 4 m/s2 em perseguio ao caminho. a) Aps quanto tempo o automvel alcanar o caminho? b) Quanto ter percorrido o automvel?

Resoluo a) As funes horrias do movimento so: automvel (MUV): sA = s0A + v0A t + 1 aA t2 sA = 0 + 0 + 1 4 t2 sA = 2t2 2 2 caminho (MU) sC = s0C + vCt sC = 0 + 20t sC = 20t Quando o automvel alcana o caminho, temos:

sA = sC 2t2 = 20t 2t2 20t = 0

c) sA = 2t2 sA = 2 102 sA = 200 m Respostas: a) 10 s b) 200 m

t = 0 (no satisfaz) t = 10 s

54

72 - (UFMG) No instante em que um sinal de trnsito muda para o verde, um carro que estava parado arranca com uma acelerao constante de 0,50 m/s2. Nesse instante, um nibus ultra-passa o carro com uma velocidade constante de 8,0 m/s. Ambos se movimentam em uma linha reta. a) Determine a que distncia do sinal estaro o nibus e o carro, depois de 20 s. b) Calcule o tempo que o carro levar para alcanar o nibus.

73 - Um carro e um caminho partem do repouso no mesmo instante, estando o carro a uma determinada distncia atrs do caminho.

O carro acelera a 3 m/s2 e o caminho a 2 m/s2. O carro alcana o caminho aps percorrer 37,5 m. a) Quantos metros o carro estava atrs do caminho? b) Quais as velocidades do carro e do caminho quando um alcana o outro?

74 - (Fuvest-SP) Um trem freou quando sua velocidade escalar era de 9,0 km/h e parou em 4,0 s. a) Qual a sua acelerao escalar (desacelerao), suposta constante? b) Quanto ele andou at parar?

75 - Um trem constitudo de uma locomotiva e de um vago, cada um com 12 m de compri-mento. A locomotiva gasta 1 s para passar diante de um observador beira da estrada e o va-go gasta 2 s. Admitindo que o movimento do trem seja uniformemente variado, determine a intensidade da acelerao do trem.

Temos at agora duas funes que nos permitem saber a posio do mvel e a sua veloci-dade em relao ao tempo. Torna-se til encontrar uma frmula que possibilite conhecer a ve-locidade de um mvel sem saber o tempo.

55

A frmula de Torricelli relaciona a velocidade com o espao percorrido pelo mvel. obtida eliminando-se o tempo entre as funes horrias da posio e da velocidade.

s = s0 + v0t + at2 2 v = v0 + at 2

Isolando-se o tempo t na segunda igualdade:

t = v v0 a

Substituindo-se na primeira, vem:

s = s0 + v0 v v0 + 1 a a 2

s s0 = v0v v02 + 1a v2 2vv0 + v02

a 2 a2

s s0 = v0v v02 + v2 2vv0 + v02

1 a 2a

Reduzindo-se ao mesmo denominador:

2a (s s0) = 2v0v 2v02 + v2 2vv0 + v02 2a (s s0) = - v02 = v2 v2 = v0

2 + 2a (s s0)

Em que: v = velocidade final v0 = velocidade inicial a = acelerao s = variao do espao

15 - Determine a acelerao que deve ter um mvel para que adquira a velocidade de 144 km/h ao percorrer 50 m, partindo do repouso.

Resoluo

v = 144 km/h = 40 m/s Dados: s = 50 m v0 = 0 Aplicando a frmula de Torricelli, temos: v2 = v0

2 + 2as 402 = 0 + 2 a 50 a = 16 m/s2

)

1

v v0 a

2

v2 = v02 + 2as

(

Resposta: 16 m/s2

56

76 - Uma motocicleta pode manter uma acelerao constante de 10 m/s2. Um motociclista de-seja percorrer uma distncia de 500 m, em linha reta, chegando ao final desta com uma velo-cidade de 100 m/s. Determine que velocidade inicial deve ter o motociclista para atingir esse objetivo.

77 - Determine a acelerao de um corpo que, partindo do repouso, se move em movimento uniformemente acelerado por 2,4 s, percorrendo 28,8 m.

78 - (UFPE) Um carro viaja a 72 km/h e, de repente, o motorista pisa no freio. Sabendo que a mxima desacelerao que o freio produz 4,0 m/s2, calcule: a) a distncia mnima que o carro percorre at parar b) o intervalo de tempo mnimo para o carro parar

79 - (UFPE) Uma bala, que se move a uma velocidade escalar de 200 m/s, ao penetrar em um bloco de madeira fixo sobre um muro, desacelerada uniformemente at parar. Qual o tempo que a bala levou em movimento dentro do bloco, se a distncia total percorrida em seu interior foi igual a 10 cm?

80 - (OMEC) Um carro, partindo do repouso, move-se com acelerao escalar constante e per-corre, em 10 s, a distncia de 100 m. Calcule a sua velocidade escalar ao final dos 10 s.

81 - Um mvel percorre uma trajetria retilnea, em relao a um dado sistema de referncia, com movimento uniformemente variado.

Ao passar pelo ponto A, sua velocidade de 2 m/s; no ponto B, sua velocidade de 6 m/s. Sabendo que a distncia BC o dobro de AB, calcule a velocidade do mvel ao atingir o ponto C.

82 - (FEI-SP) Um veculo, de 5,0 m de comprimento, penetra em um tnel com velocidade es-calar de 54 km/h, deslocando-se com movimento uniformemente variado. Passados 10 s, o veculo sai do tnel com velocidade escalar de 72 km/h. Qual o comprimento do tnel, suposto retilneo?

83 - (Unesp-SP) Um jovem afoito parte com seu carro, do repouso, numa avenida horizontal e retilnea, com uma acelerao constante de 3 m/s2. Mas, 10 s depois da partida, ele percebe a presena da fiscalizao logo adiante. Nesse instante ele freia, parando junto ao posto onde se encontram os guardas. a) Se a velocidade mxima permitida nessa avenida 80 km/h, ele deve ser multado? Justifi-

que. b) Se a frenagem durou 5 s com acelerao constante, qual a distncia total percorrida pelo

jovem, desde o ponto de partida ao posto de fiscalizao?

57

84 - (UFAC) Um veculo parte de um ponto A para um ponto B e gasta 40 s nesse percurso, com uma acelerao de 3 m/s2 e velocidade inicial de 4 m/s. Qual a distncia entre os pontos A e B?

12 - Um carro, partindo do repouso, move-se com acelerao constante e percorre, em 20 s, a distncia de 100 m. Calcule a sua acelerao e velocidade ao final dos 10 s.

13 - Um motorista est viajando com velocidade constante de 72 km/h quando percebe que o semforo fica vermelho. O tempo gasto at que o motorista freie, devido a seus reflexos nervo-sos, de 0,4 s, e o carro pra aps 4 s. a) Qual a desacelerao da frenagem? b) Se o incio do cruzamento dista 60 m do ponto em que o motorista avista o semforo ver-

melho, o automvel conseguir parar antes do semforo?

14 - Um ciclista A inicia uma corrida a partir do repouso, acelerando 0,50 m/s2. Nesse instante passa por ele outro ciclista, B, com velocidade constante de 5,0 m/s, e no mesmo sentido que o ciclista A. a) Depois de quanto tempo aps a largada o ciclista A alcana o ciclista B? b) Qual a velocidade do ciclista A ao alcanar o ciclista B?

15 - (UECE) Um automvel desloca-se numa estrada reta com velocidade constante de 36 km/h. Devido a um vazamento, o carro perde leo razo de uma gota por segundo. O mo-torista pisa no freio, introduzindo uma acelerao constante de retardamento, at parar. As manchas de leo deixadas na estrada, durante a freada, esto representadas na figura.

Calcule o mdulo da acelerao de retardamento do automvel.

16 - (UEMA) Um trem viajando a uma velocidade escalar de 54 km/h pra em um intervalo de tempo de 1 minuto aps a aplicao dos freios. Considere o movimento do trem, durante a fre-ada, uniformemente retardado. Calcule, durante a freada: a) a acelerao escalar do trem b) a distncia percorrida pelo trem

17 - (Cesgranrio-RJ) Um automvel partindo do repouso leva 5,0 s para percorrer 25 m em movimento uniformemente variado. a) Qual a velocidade escalar mdia neste percurso? b) Qual a velocidade escalar final?

movimento uniforme carro sob a ao dos freios

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18 - (PUC-PR) Um trem parte do repouso em uma ferrovia plana e retilnea, mantendo uma acelerao constante de mdulo igual a 2,0 m/s2, durante os primeiros 40 s. Em seguida, ele continua se deslocando durante 10 s com velocidade constante. Depois, freia-se o trem com uma acelerao constante de mdulo igual a 4,0 m/s2, at par-lo. Calcule a distncia total per-corrida pelo trem desde o incio at o fim de seu movimento.

19 - (UFPel-RS) Um atleta, treinando para competir nas Olimpadas, desenvolve o movimento mostrado na figura abaixo durante os 2 s iniciais da corrida de 100 m.

Observando a ilustrao, responda s questes seguintes e justifique suas respostas. a) Quanto vale a acelerao do atleta durante o intervalo de tempo de observao? b) Supondo que o atleta mantenha o mesmo tipo de movimento durante mais 1 s, qual a sua

posio, em relao ao ponto de largada, no instante t = 3,0 s?

QUEDA DOS CORPOS

Largando, de uma mesma altura, uma pena e uma pedra, observamos que a pedra cai primeiro.

Devido a isso, pensamos que os corpos mais pesdos caem mais depressa que os mais leves. No entanto, a seguinte experincia mostra que isso no verdade.

Usando uma bomba de suco, podemos contido num recipiente chamado tubo de Newton e, dese modo, obter o vcuo. Assim, podemos verificar que uma pedra e uma pena, largadas da mesma altura, lvam o mesmo tempo para cair, se no houver resistncia do ar.

Essa experincia mostra que todos os corpos, independentemente de sua massa ou forma, quando em queda livre, caem com a mesma acelerao

A aceleratical e dirigida para baixo. O valor da acelerao da gravidade varia de ponto para ponto na superfcie da Terra e diminui com a altitude. Seu valor mdio ao nvel do mar 9,8 m/s

Para facilitar os cdo g = 10 m/s

Queda livre significa cair no vque a influncia do ar no afete o movimento.

Fotografia estroboscde duas esferas de pesos diferentes em queda livre, largadas simultaneamente da mesma altura.

QUEDA DOS CORPOS

Largando, de uma mesma altura, uma pena e uma pedra, observamos que a pedra cai primeiro.

Devido a isso, pensamos que os corpos mais pesa-dos caem mais depressa que os mais leves. No entanto,

ncia mostra que isso no verdade. o, podemos retirar o ar

contido num recipiente chamado tubo de Newton e, des-se modo, obter o vcuo. Assim, podemos verificar que uma pedra e uma pena, largadas da mesma altura, le-

mo tempo para cair, se no houver resistncia

ue todos os corpos, inde-pendentemente de sua massa ou forma, quando em queda livre, caem com a mesma acelerao g.

A acelerao g, denominada acelerao da gravidade, sempre vecal e dirigida para baixo. O valor da acelerao da gravidade varia de

ponto para ponto na superfcie da Terra e diminui com a altitude. Seu dio ao nvel do mar 9,8 m/s2.

Para facilitar os clculos, usaremos, muitas vezes, o valor aproximdo g = 10 m/s2.

Queda livre significa cair no vcuo, de forma que a influncia do ar no afete o movimento.

Fotografia estroboscpica de duas esferas de pesos diferentes em queda livre, largadas simultaneamente da mesma altura.

ar

g

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da gravidade, sempre ver-cal e dirigida para baixo. O valor da acelerao da gravidade varia de

ponto para ponto na superfcie da Terra e diminui com a altitude. Seu

vezes, o valor aproxima-

cuo, de forma

vcuo

Na prtica, se um corpo tem um tamanho pequeno, sua queda no ar, num percurso taqueno, pode ser considerada uma queda livre, pois a resistncia do ar desprezvel.

Para mostrar como se calcula a aceleragravidade vamos observar a experincia seguinte.

Larg