apostila física fap 1

8/14/2019 Apostila Fsica FAP 1

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INTRODUO SMEDIDAS EM FSICA

FAP152

1. Semestre de 2006

Instituto de FsicaUniversidade de So Paulo

Introduo, complementoseroteiros das aulas 1 a 6

Professores:

Alexandre Alarcon do Passo Suaide (coordenador)Marcelo Gameiro Munhoz (coordenador)Flvio Joo AlbaManoel Tiago Freitas da CruzCarlos Eduardo Fiore dos SantosGabriel Rocha de S. Zarnauskas


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ndice

NDICE............................................................................................................................. 1 CAPTULO I ................................................................................................................... 5 INTRODUO AO CURSO ......................................................................................... 5

1. OBJETIVOS DA DISCIPLINA.......................................................................................... 5 2. OPROGRAMA DO CURSO............................................................................................. 6 3. ATIVIDADES................................................................................................................ 6 4. AVALIAO E CRITRIO DE APROVAO.................................................................... 7

4.1. Critrio de aprovao ........................................................................................ 7 4.2. Freqncia e participao em aula.................................................................... 8 4.3. Relatrios de atividades ..................................................................................... 8 4.4. Provas................................................................................................................. 9 4.5. Relatrio cientfico ........................................................................................... 10

5. OUTRAS OBSERVAES............................................................................................ 10 5.1. Cuidados com os equipamentos segurana pessoal...................................... 10 5.2. Apostila............................................................................................................. 11 5.3. Obteno de material para experincia em sala.............................................. 11 5.4. Atendimento extra-classe.................................................................................. 11 5.5. Local e horrio das aulas................................................................................. 11

6. CALENDRIO DADISCIPLINA.................................................................................... 12 Aula 01 (8/3 e 9/3): ......................................................................................................... 12 Aula 02 (15/3 e 16/3): ..................................................................................................... 12 Aula 03 (22/3 e 24/3): ..................................................................................................... 12 Aula 04 (29/3 e 30/3): ..................................................................................................... 12 Aula 05 (5/4 e 6/4): ......................................................................................................... 13 Aula 06 (19/4 e 20/4): ..................................................................................................... 13 Aula 07 (26/4 e 27/4): ..................................................................................................... 13 Aula 08 (3/5 e 4/5): ......................................................................................................... 13 Aula 09 (10/5 e 11/5): ..................................................................................................... 13 Aula 10 (17/5 e 18/5): ..................................................................................................... 13 Aula 11 (24/5 e 25/5): ..................................................................................................... 13 Aula 12 (31/5 e 1/6): ....................................................................................................... 14 Aula 13 (7/6 e 8/6): ......................................................................................................... 14 Aula 14 (14/6 e a combinar com o perodo noturno) ......................................................14 Aula 15 (21/6 e 22/6): ..................................................................................................... 14 Entrega dos relatrios cientficos (30/6): ........................................................................ 14

CAPTULO II ................................................................................................................ 15 RELATRIO CIENTFICO ....................................................................................... 15

1. OBJETIVOS DO RELATRIO NA DISCIPLINA................................................................ 15 2. ORGANIZAO DO RELATRIO................................................................................. 15

2.1. Resumo ............................................................................................................. 16 2.2. Introduo ........................................................................................................ 17 2.3. Descrio experimental.................................................................................... 17 2.4. Resultados de medies, clculos e anlise de dados...................................... 17 2.5. Discusso final e concluses ............................................................................ 18


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2.6.Referncias bibliogrficas................................................................................. 18 2.7. Apndices.......................................................................................................... 19

3. R EGRAS GERAIS PARA O RELATRIO......................................................................... 19 4. CRITRIO DE CORREO E NOTA............................................................................... 20

CAPTULO III .............................................................................................................. 21 INTERPRETAO GRFICA DE DADOS............................................................. 21

1. I NTRODUO............................................................................................................ 21 2. TIPOS DE GRFICOS................................................................................................... 21 3. CONFECO DE GRFICOS........................................................................................ 23

3.1. Regras gerais para confeco de grficos ....................................................... 23 Ttulo e legenda do grfico ............................................................................................. 24 Eixos, escalas e unidades ................................................................................................ 24 Dados, funes tericas e curvas mdias ........................................................................ 27

4. GRFICOS DE LINHAS................................................................................................ 27 4.1. Escalas lineares................................................................................................ 29

Traando curvas mdias.................................................................................................. 30 Avaliao de incertezas nos coeficientes angular e linear ..............................................34 Linearizao de dados..................................................................................................... 36

4.2. Escalas logartmicas ........................................................................................ 38 Grfico mono-log............................................................................................................ 40 Grfico di-log.................................................................................................................. 42

5. HISTOGRAMAS.......................................................................................................... 45 Histograma de nmero de ocorrncias (N) ..................................................................... 46 Histograma de freqncia de ocorrncia (F)...................................................................46 Histograma de densidade de probabilidades (H)............................................................. 47

5.1. Construo de histogramas.............................................................................. 48 5.2. I NTERPRETAO DE UMHISTOGRAMA................................................................... 50 CAPTULO IV............................................................................................................... 53

INSTRUMENTOS DE MEDIDA ................................................................................ 53 1. I NTRODUO............................................................................................................ 53 2. PADRES DE MEDIDAS E SISTEMAS DE UNIDADES..................................................... 54

2.1. Sistemas de unidades........................................................................................ 54 3. I NSTRUMENTOS DE MEDIDAS.................................................................................... 56

3.1. Medidas de comprimento ................................................................................. 57 O micrmetro .................................................................................................................. 57 O paqumetro................................................................................................................... 60

3.2. Instrumentos digitais ........................................................................................ 65 O multmetro ................................................................................................................... 66 O voltmetro .................................................................................................................... 67 O ampermetro ................................................................................................................ 68

EXPERINCIA I (AULAS 1 E 2)................................................................................ 71 MEDIDAS DE COMPRIMENTO............................................................................... 71

1. OBJETIVOS................................................................................................................ 71 2. I NTRODUO............................................................................................................ 71 3. CONCEITOS FUNDAMENTAIS EM UMAMEDIDAFSICA.............................................. 74 4. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL E ANLISE DE DADOS............................................. 76

Parte I:..................................................................................................................... 76 Estimando dimenses na sala de aula ............................................................................. 76


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Medida da largura de uma folha de sulfite...................................................................... 76 Parte II: ................................................................................................................... 77

Medida da espessura de uma folha de sulfite .................................................................. 77 Medida da altura e espessura da mesa............................................................................. 78 Algarismos Significativos ............................................................................................... 78

5. R

EFERNCIAS: .......................................................................................................... 79 6. APNDICE: ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS................................................................ 79

6.1 Motivao.......................................................................................................... 79 6.2 Conceito de algarismo significativo.................................................................. 79

Exemplo: Rguas com precises diferentes .................................................................... 80 6.3 Critrios de arredondamento ............................................................................ 81

Exemplos de arredondamento de nmeros. Os nmeros em negrito devem ser eliminados. ...................................................................................................................... 82

EXPERINCIA II (AULAS 3 E 4) .............................................................................. 83 PNDULO SIMPLES E MEDIDAS DE TEMPO..................................................... 83

1. I NTRODUO............................................................................................................ 83 2. O PNDULOSIMPLES................................................................................................ 84 3. MEDIDA DO PERODO DE OSCILAO DE UM PNDULO.............................................. 86 4. ARRANJO EPROCEDIMENTOEXPERIMENTAL............................................................ 87

Parte 1: .................................................................................................................... 87 Parte 2: .................................................................................................................... 88 Parte 3: .................................................................................................................... 89

5. A NLISE DE DADOS................................................................................................... 89 Parte 1: .................................................................................................................... 91 Parte 2: .................................................................................................................... 91 Parte 3: .................................................................................................................... 91

EXPERINCIA III (AULA 5) ..................................................................................... 93 DENSIDADE DE SLIDOS ........................................................................................ 93

1. OBJETIVOS................................................................................................................ 93 2. I NTRODUO............................................................................................................ 93 3. PROCEDIMENTOEXPERIMENTAL............................................................................... 94 4. A NLISE DE DADOS................................................................................................... 95 5. R EFERNCIAS: .......................................................................................................... 96 6. APNDICE: PROPAGAO DE INCERTEZAS................................................................ 96

EXPERINCIA IV (AULA 6)...................................................................................... 99 DISTNCIA FOCAL DE UMA LENTE.................................................................... 99

1. I NTRODUO............................................................................................................ 99 2. MEDIDA DA DISTNCIA FOCAL DE UMA LENTE DELGADA....................................... 100

2.1. Distncia focal de uma lente convergente...................................................... 100 3. ARRANJO E PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL........................................................... 103 4. A NLISE DOS DADOS.............................................................................................. 104 5. R EFERNCIAS: ........................................................................................................ 105


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Captulo IIntroduo ao curso

Os objetivos gerais da disciplina, sua estrutura e algumas observaes pertinentes sero apresentados a seguir. Leia com ateno e procureesclarecer as dvidas com o professor.

No jogue fora estas instrues

1. Objetivos da disciplina

A disciplina tem como objetivo principal dar ao aluno uma iniciaonas atividades experimentais. Esse objetivo no se resume apenas aaprender a medir grandezas, mas tambm em compreender o contexto e osignificado das medidas. Para tanto necessrio:

Compreender a necessidade de se efetuar medidas na rea deconhecimento chamada Fsica;

Compreender os cuidados necessrios para uma tomada dedados;

Ser capaz de escolher e utilizar os equipamentos e procedimentos adequados; Ser capaz de elaborar e testar modelos tericos;

Estimar incertezas de medidas e avaliar a propagao dasmesmas;

Sistematizar o armazenamento de dados atravs de tabelas; Analisar dados experimentais atravs da utilizao de grficos; Discutir criticamente os resultados obtidos

ATENORecomendamos fortemente a compra de uma calculadora porttil, de preferncia cientfica.


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2. O programa do curso1. O papel da experimentao no mtodo cientfico.2. Introduo aos conceitos da fsica experimental.

a. Noo de medida e incerteza. b. Incerteza instrumental. Medidas diretas.c. Incerteza estatstica. Introduo Teoria dos Erros.

i. Aplicao: o Pndulo simplesd. Propagao de incertezas e mdia ponderada

i. Aplicao: densidade de slidos.ii. Aplicao: Lei de Snell-Descartes.

3. Anlise e interpretao de dados experimentais. Adequaode modelos.

a. Gravitao Universal e o Movimento de Queda b. Lei de Ohm4. Avanando a teoria a partir da experimentao: leis

empricas. Escalas Logartmicasa. Lei de resfriamento de Newton. b. O monocrdio e as cordas vibrantes.

3. Atividades

So apresentadas vrias atividades que no conjunto direcionam paraos objetivos da disciplina. A apostila da disciplina (roteiros de aula) quevoc recebeu rene a maioria das propostas. A cada aula definido umconjunto de atividades a serem realizadas. Sempre utilize a apostila comoguia e fonte de referncias. Alm das atividades em sala de aula, procurerealizar as leituras e exerccios propostos para casa.

As atividades em sala de aula normalmente so montagens deexperimentos, tomada de dados, anlises e discusso dos resultados. Para

melhor eficincia do trabalho em sala h a necessidade da leitura prvia dostrechos da apostila correspondentes quela aula.As atividades de leitura da apostila e de outros textos (atividades

extra-classe) tm dois objetivos principais: obter informaes que possibilitam a execuo das atividades em aula de modo mais eficiente eque permitam a contextualizao das atividades experimentais que j foramrealizadas.

Os exerccios (tericos e experimentais) propostos para casa tm doisobjetivos principais: sedimentar o aprendizado em sala de aula atravs daaplicao direta dos conceitos em situaes diversas e tornar as questes


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abordadas mais abrangentes, reconhecendo os elos estabelecidos entre asvrias aulas.

4. Avaliao e critrio de aprovaoO acompanhamento dos alunos pelo professor (e posterior avaliao)

ser feito por meio de:

Freqncia em aula. Relatrios das atividades realizadas em classe e exerccios para

casa. Provas. Relatrio cientfico no final do semestre.

4.1. Critrio de aprovaoPara aprovao na disciplina o aluno deve ter:

1. Freqncia e mnima maior ou igual a 70%.Caso isso noacontea, o aluno ser reprovado por freqncia. No seroaceitos relatrios caso o aluno no tenha comparecido aula

correspondente.2. Mdia dos relatrios de atividades maior ou igual a 5,0. Casoisso no acontea, o aluno ser reprovado com mdia finaligual mdia dos relatrios.

3. Mdia final maior ou igual a 5,0.

Observados os itens 1 e 2, descritos acima, a mdia final (MF) sercalculada da seguinte forma:

MF = 0.4* MP + 0.3* RC + 0.3* MR onde:

MP a mdia das provas; RC a nota do relatrio cientfico; MR a mdia dos relatrios de atividades.

AVISOS

No existe prova de recuperao para cursos de laboratrio. Os alunos reprovados devem cursar novamente a disciplina para obter aprovao.


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Cada um dos itens necessrios para aprovao discutido a seguir em

detalhes.

4.2. Freqncia e participao em aulaTodo o desenvolvimento dos experimentos em sala de aula

realizado por equipes de 2 ou 3 alunos com revezamento nas equipes paramelhorar a dinmica do trabalho. Espera-se que as atividades em gruposejam teis nas discusses e tomadas de decises necessrias em cadaatividade e tambm possibilitem a todos os membros da equipe uma participao em todas as fases do trabalho. Dessa forma evita-se a formaode especialistas em tomada de dados, ou em clculos, ou em anlisesgrficas ou at mesmo, especialistas em concluses.

Cada aluno dever assistir a todas as aulas na turma para a qual foidesignado. Trocas de turma ou de horrio dependem da disponibilidade devagas e da concordncia do coordenador do curso.

Essa disciplina foi elaborada para o aluno desenvolver as atividadesem sala de aula, com poucas atividades extra-classe. Tendo isso em vista,duas regras foram estabelecidas e devero ser seguidas risca pelos alunos:

1. No h reposio de aulas. A conseqncia imediata de umafalta receber nota zero no relatrio correspondente quelaaula. O aluno que faltar a uma aula deve procurar os colegas e procurar minimizar a perda de contedo ocorrida. Somente emcasos excepcionais o professor poder propor atividades extras,fora do horrio normal de aula.

2. Ser tolerado um atraso mximo de 15 minutos. O aluno quechegar aps o tempo de tolerncia s poder participar dasatividades com a aprovao do professor, que considerar casoa caso. Situaes excepcionais so: greve em transporte pblico, enchentes, etc. Portanto, o aluno deve se programar adequadamente. Conflitos de horrios de trabalho/outrasatividades no sero considerados.

4.3. Relatrios de atividadesOs relatrios de atividades consistem em snteses das atividades

realizadas em aula e devem ser entregues ao professor no mximo em umasemana aps o trmino da experincia correspondente.


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O objetivo desses relatrios fazer com que o aluno reflita e sintetizeos objetivos, mtodos e concluses de um experimento. Eles tambmservem como treinamento para o relatrio cientfico, que ser discutidomais adiante.

H um total de 8 relatrios distribudos da seguinte forma: Relatrio 1 Medidas de comprimento, aulas 1 e 2. Relatrio 2 Pndulo simples, aulas 3 e 4. Relatrio 3 Densidade de slidos, aula 5. Relatrio 4 Distncia focal de uma lente, aula 6. Relatrio 5 Queda livre, aulas 8 e 9. Relatrio 6 Curvas caractersticas, aulas 10 e 11. Relatrio 7 Resfriamento de um lquido, aula 12. Relatrio 8 Cordas vibrantes, aula 13.

Os relatrios so feitos em grupo (no mximo 3 pessoas por grupo).Com as notasRi de cada relatrio, calcula-se a mdia final de relatrioscomo sendo:

1

N

ii

RMR

N ==

onde N o nmero total de relatrios de atividades.Cada relatrio de atividades deve ser feito no mximo em 3-4

pginas, e deve conter os seguintes itens:

Breve resumo dos objetivos. Descrio do aparato experimental e mtodo de medidas

(colocar figuras, se necessrio).

Medidas efetuadas (em tabelas ou grficos, se for o caso). Resultados obtidos (em tabelas ou grficos, se for o caso) com

descrio do procedimento utilizado para anlise dos dados. Principais concluses.

4.4. ProvasOs alunos tambm sero avaliados atravs de provas, que faro

individualmente. As questes das provas sero baseadas nas atividadesexperimentais efetuadas em sala de aula e nos exerccios propostos para

casa.


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Sero realizadas duas provas, contendo os seguintes tpicos:

P 1 aulas 1 a 6 P 2 aulas 1 a 13.

No h prova substitutiva. Com as notas das provas, calcula-se amdia de provas como sendo:

1 223

P P P +=

ATENO

No ser permitido que voc faa provas fora de sua turma. Os casos

excepcionais devem ser bem justificados perante o coordenador dadisciplina.

4.5. Relatrio cientfico No final do semestre, cada aluno dever escrever um relatrio

cientfico. O relatrio cientfico INDIVIDUAL. Ele um texto formal,cujo objetivo descrever, em detalhes, uma atividade cientfica. O tema dorelatrio ser uma das experincias realizadas ao longo do semestre e sersorteado em sala de aula em dia especificado no calendrio (Seo 6). Cadaaluno ter duas semanas, a partir da data do sorteio, para entregar o relatrio para correo. Veja mais adiante nessa apostila para maiores detalhes sobrea forma do relatrio.

5. Outras observaes

5.1. Cuidados com os equipamentos segurana pessoal

Experincias num laboratrio de fsica sempre envolvem riscos adanos pessoais e tambm a danos aos equipamentos utilizados.O aluno deve seguir as normas de segurana para evitar danos a si

prprio, aos colegas e aos equipamentos do laboratrio. Sempre siga asorientaes dos professores do curso, bem como do corpo tcnico dolaboratrio.

O aluno responsvel pelo equipamento colocado sua disposiodurante a aula e dever reparar o dano que tenha provocado devido a

negligncia.


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5.2. ApostilaCada aluno receber uma apostila contendo o roteiro de todas as

experincias da disciplina e textos complementares nos quais h a possibilidade de se aprofundar o que foi discutido em aula. obrigatrioque o aluno a leve em todas as aulas. Em caso de perda da apostila, o alunodever providenciar uma cpia com um colega. No ser fornecida umasegunda cpia.

5.3. Obteno de material para experincia em salaMaterial e instrumentos mais simples (micrmetro, cronmetro, papel

encerado, etc.), necessrios para o desenvolvimento da experincia, devemser retirados pelo prprio aluno no balco da sala 123, atravs daidentificao e depsito de um documento. Ao final da aula, o aluno deverdevolver o material no mesmo local, retirando ento o documento aps aconferncia do material devolvido.

Os papis para grfico que so utilizados durante o curso devero ser adquiridos pelo aluno. Em geral, 10 folhas de papel milimetrado e 5 folhasde papel mono-log e 5 folhas de papel di-log so suficientes para todo ocurso.

5.4. Atendimento extra-classeOs professores atendero aos alunos fora dos horrios de aula para

auxiliar e resolver dvidas. Para evitar desencontros, pergunte ao seu professor quais so os melhores horrios de disponibilidade e onde omesmo pode ser encontrado.

5.5. Local e horrio das aulasAs aulas desse curso so semanais e sempre realizadas no andar

trreo do Edifcio Principal (Ala Central).A sala de aula pode mudar a cada semana, dependendo da

experincia a ser realizada, havendo um quadro no balco da sala 123 com ainformao necessria para cada dia de aula. Veja tambm o calendrio dadisciplina (Seo 6) para saber a programao de cada aula e sobre feriados,recessos e provas.

As provas sero realizadas no auditrio Abraho de Moraes(auditrio principal do Instituto de Fsica) em horrio especificado no

calendrio da disciplina (Seo 6).


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6. Calendrio da Disciplina

Segue abaixo o calendrio com as aulas de todas as turmas.

Aula 01 (8/3 e 9/3): Introduo ao curso. Discusso sobre o papel da experimentao no mtodo

cientfico. Medida de espao. Noo de ordem de grandeza. Medidas

diretas e indiretas.

Noo de medida e incerteza. Representao numrica ealgarismos significativos. Uso de instrumentos simples (rgua).

Aula 02 (15/3 e 16/3): Uso de instrumentos simples e incertezas instrumentais (rgua,

micrmetro e paqumetro). Algarismos Significativos em operaes matemticas.

Aula 03 (22/3 e 24/3): Noes de estatstica. Medida de tempo. Noo de ordem de

grandeza. Experincia do pndulo simples. Medida de perodo de

oscilao de um nico pndulo para toda a classe. Mdia e desvio padro. Introduo a histogramas e interpretao grfica de mdia e

desvio padro.

Aula 04 (29/3 e 30/3): Medida do tempo de reao humana. Continuao da experincia do pndulo simples. Medida de perodo de oscilao de pndulos de mesmo

comprimento (um para cada grupo de alunos). Medida comcronmetro de resoluo de 0,01 s e relgio de pulso comresoluo de 1 s.

Discusso sobre desvio padro e desvio padro da mdia.


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Aula 05 (5/4 e 6/4): Medidas indiretas. Propagao de incertezas. Medida da massa e densidade de um slido. Determinao do

material que o compe.

Estudo da influncia da preciso do instrumento sobre oresultado da medida. Noo de compatibilidade experimental.

Aula 06 (19/4 e 20/4): Medida da distncia focal de uma lente simples. Combinao de vrias medidas. Mdia ponderada.

Aula 07 (26/4 e 27/4): Primeira Prova.

Aula 08 (3/5 e 4/5): Experincia de queda livre. Medida de movimento de um corpo.

Aula 09 (10/5 e 11/5): Continuao da experincia de queda livre. Anlise grfica do movimento. Determinao grfica da

acelerao do corpo e sua incerteza. Verificao da adequao do modelo (queda livre) aos

resultados experimentais.

Aula 10 (17/5 e 18/5): Estudo da curva caracterstica de resistores e lmpadas. Utilizao de instrumentos de medidas eltricas (voltmetro e

ampermetro). Discusso sobre a influncia do instrumento no resultadoexperimental.

Aula 11 (24/5 e 25/5): Levantamento grfico da curva caracterstica de um resistor e

de uma lmpada. Determinao grfica da resistncia eltrica e sua incerteza. Verificao da adequao do modelo (lei de Ohm) aos

resultados experimentais.


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Aula 12 (31/5 e 1/6): Experincia de resfriamento da glicerina. Utilizao de um experimento para a determinao da lei

emprica de um fenmeno fsico.

Utilizao de papel mono-log.

Aula 13 (7/6 e 8/6): Experincia de cordas vibrantes. Utilizao de um experimento para a determinao da lei

emprica de um fenmeno fsico. Utilizao de papel di-log.

Aula 14 (14/6 e a combinar com o perodo noturno) Reviso geral da matria do curso. Sorteio dos relatrios cientficos.

Aula 15 (21/6 e 22/6): Segunda Prova.

Entrega dos relatrios cientficos (30/6): Prazo mximo para entrega dos relatrios cientficos.


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Captulo IIRelatrio cientfico

(extrado da apostila de Fsica Experimental I de J. H. Vuolo et. al.)

Nesta seo so apresentadas algumas regras gerais para se escrever um relatrio e tambm os critrios de correo dos mesmos.

1. Objetivos do relatrio na disciplina No h dvida de que escrever um bom relatrio bastante difcil e

parece que no existe outro mtodo de aprender a escrever a no ser escrevendo.

Alm das dificuldades relativas ao contedo do relatrio, existem asdificuldades de organizar e expressar as idias e resultados (sem falar dasdificuldades gramaticais e de vocabulrio). Na verdade, essas dificuldadesno so independentes entre si, pois certamente existe uma estreita relao

entre a compreenso de um fato e a capacidade de expresso deste fato em palavras.A importncia do relatrio na disciplina que o mesmo entendido

como um treinamento para escrever e ajudar a articular idias. Os alunosdeveriam se conscientizar de que escrever relatrio uma parte importanteda disciplina, independentemente do fato que o relatrio serve paraatribuio de nota na disciplina.

O relatrio deve ser um texto completo, dirigido a um leitor comconhecimentos suficientes para entender as experincias da disciplina, masque nunca tenha visto nada sobre tais experincias.

Assim, o relatrio no deve omitir descries, frmulas ou detalhes,com argumentos do tipo isto tem na apostila ou o professor j sabe como. Mas a descrio do bvio dispensvel.

2. Organizao do relatrioUm relatrio pode ser entendido como a descrio detalhada, clara e

objetiva de um trabalho realizado. Descrio detalhada significa que orelatrio deve apresentar todos os detalhes que sejam realmente relevantes,


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omitindo detalhes suprfluos. Clareza e objetividade reduzem o esforo deleitura do relatrio ao mnimo sem prejuzo da perfeita compreenso.

O relatrio exigido nesta disciplina deve ter as seguintes partes:

Resumo do trabalho; Introduo ao assunto; Descrio experimental; Resultados de medies, clculos e anlise de dados; Discusso final e concluses; Referncias bibliogrficas;

Apndices (geralmente desnecessrios);Cada uma das partes acima pode ser subdividida em dois ou mais

itens, quando parecer conveniente. Entretanto, deve-se evitar fragmentaoexcessiva do texto em muitos itens. Geralmente, as divises maiores tm osttulos acima (mas podem ser escolhidos ttulos diferentes), mas aseventuais subdivises tambm devem ter ttulos.

Uma observao importante que o texto do relatrio deve ser escritoem portugus correto, com frases devidamente estruturadas e pontuadas.

Ocorre que um pouco difcil estruturar e pontuar frases quando o textoinclui equaes e resultados numricos, particularmente em dedues defrmulas. Mas deve-se fazer um esforo para escrever frases corretastambm nestes casos.

Uma outra observao que o relatrio uma descrio de umtrabalho j realizado. Por isso, essa descrio no deve ser feita com verbosem tempos futuro, infinitivo ou imperativo.

2.1. ResumoO Resumo deve ter aproximadamente 10 linhas e, como o nome

indica, deve resumir os objetivos da experincia, equipamento usado,resultados principais e concluses. Isto , o resumo deve dar ao leitor umarazovel idia sobre o contedo do relatrio (isto , da experincia e daanlise dos dados) e, portanto, deve ser escrito ao final do trabalho, apesar de ser apresentado no incio do Relatrio. Toda informao contida noResumo deve ser retomada de forma mais extensa no corpo do Relatrio.

Figuras, frmulas ou referncias no devem, evidentemente, ser includas num resumo.


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2.2. IntroduoA Introduo deve conter os objetivos da experincia, discusso do

tema da experincia, apresentao das frmulas e leis fsicas utilizadas,dedues tericas mais relevantes e outros comentrios que soimportantes, mas que no se enquadrem em outras partes do relatrio.

2.3. Descrio experimentalEsta parte do relatrio deve conter uma descrio completa, mas

bastante objetiva, dos seguintes itens:

arranjo experimental (no aceitvel a simples listagem dosequipamentos utilizados);

procedimento experimental; caractersticas de instrumentos e incertezas de leitura; cuidados particulares e detalhes relevantes.

Geralmente, a descrio do arranjo experimental deve incluir figurasmostrando suas caractersticas e dimenses relevantes. A qualidade artsticado desenho menos importante do que a clareza na informao.

Em procedimento experimental, deve-se dar uma descrio resumidado procedimento utilizado para obteno das medidas, dispensando-setambm aqui a descrio do bvio.

Devem tambm ser apresentados nesta parte do relatriocaractersticas e detalhes de instrumentos utilizados, discusso de incertezasinstrumentais e cuidados particulares que tenham sido adotados na tomadade dados.

2.4. Resultados de medies, clculos e anlise de dadosOs resultados das medies e clculos devem ser apresentados nesta

parte do relatrio, sendo obrigatrio o uso de tabelas no caso de quantidadesrepetitivas.

O texto deve explicar claramente os clculos realizados e as frmulasutilizadas devem ser apresentadas explicitamente. Isto , deve-se escrever as frmulas utilizadas, mesmo que tais frmulas j tenham sidoapresentadas antes (na Introduo, por exemplo). Resultados de clculosrepetitivos tambm devem, obrigatoriamente, ser apresentados em tabelas.

Os clculos de incertezas tambm devem ser explicados claramente,inclusive com apresentao das expresses usadas.


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Os grficos devem ser anexados nesta parte do relatrio e osresultados obtidos neles (por exemplo, um coeficiente angular de reta)devem ser explicitamente apresentados no texto.

2.5. Discusso final e conclusesOs resultados devem, evidentemente, ser discutidos e comentados na

parte anterior do relatrio. Mas geralmente existe esta parte final, na qual sedeve discutir a experincia como um todo. Esta parte geralmente incluidiscusso dos seguintes pontos:

acordo entre resultados obtidos na experincia e valoresexperimentais obtidos de outras fontes ou valores dereferncia;

crtica do mtodo de medio e do equipamento utilizado; sugestes e comentrios sobre a experincia.

essencial que se apresentem as concluses s quais os dados permitem chegar, frente aos objetivos que foram colocados na introduode cada experimento.

2.6.Referncias bibliogrficasReferncias bibliogrficas citadas no texto devem ser apresentadas no

final, sob o ttulo Referncias Bibliogrficas.Exemplos:A) referncia de livro B.B. Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature, Freeman, New

York, 1983.onde B.B. Mandelbrot o autor do livro; The Fractal Geometry of Nature ottulo; Freeman a editora; New York a cidade onde o livro foi editado; e1983 o ano da edio (aps o ttulo do livro indicada a edio, se esta nofor a primeira edio).

B) referncia de artigo de revista M.A.F. Gomes, Fractal Geometry in Crumpled Paper Balls, Am. J.

Phys. 55 (1987) 649.

onde M.A.F. Gomes o autor do artigo; Fractal Geometry in CrumpledPaper Balls o ttulo (que nem sempre colocado); Am. J. Phys. (abreviatura


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19

de American Journal of Physics) a revista; 55 o volume; (1987) o ano; e649 a pgina que inicia o artigo.

C) referncia de Internet http://www.if.usp.br

onde http o protocolo de comunicao (hipertexto), www.if.usp.br oendereo da pgina do Instituto de Fsica (if) da Universidade de So Paulo(usp), Brasil (br) na Internet (www - World Wide Web).

2.7. ApndicesUm apndice geralmente utilizado para apresentar um tpico que

pode ser separado do texto principal do relatrio sem prejudicar muito o seuentendimento, e que por outro lado, se colocado no texto principal viria perturbar a ordem de exposio das idias. Por exemplo, pode-se colocar num apndice uma deduo matemtica longa de uma frmula.

3. Regras gerais para o relatrioA seguir so resumidas as regras bsicas e tambm algumas

sugestes a respeito do relatrio:

tudo no relatrio deve ser perfeitamente legvel; o relatrio deve ser apresentado em papis de tamanhos

normais: A4 (297 mm por 210 mm), carta (270 mm por 216mm) ou ofcio (aproximadamente 33 cm por 22 cm);

o relatrio deve ser escrito em portugus correto, sendo osrelatos em tempo passado, conforme discutido na Seo I.2;

organizar o relatrio nas partes mencionadas na Seo I.2,eventualmente subdividindo cada uma das partes em itens comttulos;

dados obtidos, clculos e resultados finais para umdeterminado assunto nunca devem ser separados em itensdiferentes;

figuras e tabelas devem conter as informaes de forma maiscompleta e sucinta possvel, ser numeradas e ter legendasexplicativas; mesmo que sejam explicadas no texto; devem ser evitadas a fragmentao e repetio de informao nas tabelas;


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20

o relatrio deve conter uma folha de rosto onde constam a datae os nomes da experincia, da disciplina, do aluno e do professor.

4. Critrio de correo e notaPara a atribuio da nota geralmente sero considerados os seguintes

itens:

obteno criteriosa dos dados, conforme os objetivosexplicitados e o instrumental disponvel;

confeco de tabelas e grficos convenientes - com unidades,legendas, incertezas e algarismos significativos adequados;

Introduo e Resumo; Descrio Experimental; Resultados das Medies e Clculos (Anlise de Dados); Discusso Final e Concluses;

e sero tambm examinados os seguintes aspectos:

organizao geral do relatrio (diviso adequada em itens com

respectivos ttulos, ordem e outros aspectos relacionados); diagramao e cuidado na apresentao; se manuscrito, caligrafia (deve ser perfeitamente legvel), se

digitado, a qualidade da mesma;

grafia correta das palavras, com frases devidamenteestruturadas e pontuadas.


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21

Captulo IIIInterpretao grfica de dados

Este texto foi baseado no texto das apostilas Introduo interpretao grfica de dados, grficos e equaes, 1990, dos Profs. FuadSaad, Paulo Yamamura e Kazuo Watanabe; Fsica Geral e Experimental para Engenharia I, 2003, dos Profs. Ewout ter Haar e Valdir Bindilati.

1. Introduo Nas atividades experimentais, muitas vezes, objetiva-se estudar a

maneira como uma propriedade, ou quantidade, varia com relao a umaoutra quantidade, por exemplo:

De que modo o comprimento de um pndulo afeta o seu perodo?

ou ainda:Como se comporta a fora de atrito entre duas superfciesrelativamente fora normal exercida por uma superfcie sobre aoutra?

Tais questes podem ser estudadas e mais bem respondidas, muitasvezes, atravs de mtodos grficos evidenciando, dessa forma, adependncia de uma grandeza em relao outra. Neste captuloapresentaremos os principais tipos de grficos disponveis bem comotcnicas para a sua confeco. Apresentaremos tambm alguns mtodos deanlise grfica de dados de forma a poder extrair informaes e interpretar resultados experimentais.

2. Tipos de grficosOs grficos, de modo geral, podem ser classificados em cinco tipos

bsicos, conforme o esquema apresentado na figura 2.1. Dependendo dotipo de anlise a ser realizada um tipo de grfico torna-se mais adequadoque outro. Nos trabalhos experimentais em Cincias so frequentementeutilizados grficos do tipo diagrama, ou linha, conforme o apresentado nafigura 2.2. Nesse grfico mostrado o comportamento de uma grandezafsica, nesse caso a velocidade de um corpo, em funo do tempo. Pode-se

perceber facilmente que a velocidade aumenta com o passar do tempo. Agrande vantagem de anlises grficas a interpretao direta e fcil de


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dados experimentais. A linha tracejada, nesse caso, representa ocomportamento mdio dos dados obtidos e representa a tendncia dosdados.

Figura 2.1: Principais tipos de grficos

Figura 2.2: Exemplo de grfico linear. Nesse grfico, os pontoscorrespondem s medidas experimentais e a linha representa ocomportamento mdio.

Grficos

diagramas Cartogramas Estereogramas(slidos)

Organogramas Harmogramas oufluxogramas

De linhas superfcies

poligonais

curvas

colunas

barras

histogramas

setores

10

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30

40

15

25

35

45

5

0

v(cm/s)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t (s)

Velocidade dequeda do ovo


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3. Confeco de grficosQuando so realizados experimentos, os dados so adquiridos,

geralmente, de dois modos:

No primeiro modo, quer-se examinar a dependncia de uma grandezaem relao outra, como, por exemplo, os dados apresentados na figura2.2. Nesse caso, mede-se a velocidade do corpo em instantes consecutivosde tempo e analisa-se como a velocidade depende do tempo. Em medidasdesse tipo, costuma-se denominar de varivel independente aquela que sevaria, nesse caso, o tempo. A grandeza na qual se quer estudar adependncia, nesse caso a velocidade, denominada de variveldependente.

No segundo caso, o mesmo experimento repetido muitas vezes nasmesmas condies e, em cada um desses experimentos, repete-se a medidade uma determinada grandeza. Nesse caso, querem-se estudar as variaesde medidas devido s incertezas experimentais. Um caso tpico a medidado perodo de oscilao de um pndulo simples. Dependendo dosinstrumentos utilizados, a medida simples de um nico perodo resulta,geralmente, em incertezas experimentais elevadas que podem ser minimizadas atravs da repetio do experimento muitas vezes. Assim, amedida final seria a mdia aritmtica de todas as medidas efetuadas.

Em ambas as situaes costuma-se organizar os dados em tabelas.Essas tabelas podem-se tornar demasiadamente longas e de difcil leitura. Arepresentao desses dados em forma grfica mostra, de forma mais clara,as propriedades das grandezas medidas. O grfico mostra, igualmente, provveis erros experimentais e permite realizar interpolaes eextrapolaes de modo visvel e fcil.

No primeiro exemplo pode-se visualizar graficamente ocomportamento da velocidade em funo do tempo atravs de um grficode linhas. No segundo caso, contudo, a melhor visualizao grfica feita

atravs de um histograma. Nesse tipo de grfico muito simples obter grandezas como mdia e desvio padro das medidas.Antes de abordar os tipos de grfico acima, devemos estabelecer

algumas regras gerais de confeco de grficos. Essas regras se aplicam aquase todos os tipos disponveis.

3.1. Regras gerais para confeco de grficosA construo de grficos, quando feita sob regras universais, facilita

significativamente a sua interpretao. Nesse sentido, regras rgidas (como


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24

regras de sintaxe de uma linguagem qualquer) so adotadas no mundocientfico e tecnolgico1.

Todo grfico composto dos seguintes itens:

1. Ttulo e legenda do grfico;2. Eixos das variveis com os nomes das variveis, escalas e

unidades;3. Dados experimentais e incertezas;4. Funes tericas ou curvas mdias (esse ltimo item opcional

e, dependendo das circunstncias, pode ser omitido);A figura 3.1 mostra os principais componentes de um grfico.

Ttulo e legenda do grficoTodo grfico dever ter um ttulo. Geralmente, o ttulo do grfico

colocado na parte superior do grfico, em destaque. Ttulos do tipo grficode velocidade vs. tempo" so redundantes e no fornecem informaonecessria para o entendimento do mesmo.

Caso o grfico seja inserido dentro de um texto, o mesmo deve ser acompanhado de uma legenda, logo abaixo do grfico, numerada, que

explique de forma sucinta o seu contedo. No caso da presena de umalegenda, o ttulo do grfico torna-se opcional, j que a legenda acabasuprindo o leitor de informao suficiente para o entendimento do grfico.

Eixos, escalas e unidadesOs eixos de um grfico devem ser explicitamente desenhados. Cada

um dos eixos deve conter o nome (ou smbolo) da varivel representada, aescala de leitura e a unidade correspondente.

A escolha da escala utilizada deve ser tal que represente bem ointervalo medido para a varivel correspondente. A regra prtica paradefinir a escala a ser utilizada consiste em dividir a faixa de variao davarivel a ser graficada pelo nmero de divises principais disponveis.Toma-se, ento, um arredondamento para um valor superior e de fcilleitura. Esses valores so, em geral, 1, 2, 5 ou mltiplos/sub-mltiplos de 10desses valores (10; 20; 500; 0,5; etc.). A figura 3.2 mostra alguns exemplos

1 Programas computacionais de gerao de grficos no destinados rea cientifica,

como o Excel, so muito limitados e possuem vrias falhas no que diz respeito confeco correta de grficos e o seu uso fortemente desaconselhado no mundocientfico e tecnolgico.


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25

de escalas do eixo de um grfico. Mltiplos de 3 so de difcil leitura edevem ser evitados.

Figura 3.1. Componentes tpicos de um grfico cientfico padro.

Figura 3.2. Alguns exemplos de formas CORRETAS de desenhar eixos em um grfico.

As escalas de um grfico no precisam comear na origem (0, 0).Elas devem abranger a faixa de variao que voc quer representar. conveniente que os limites da escala correspondam a um nmero inteiro de

10

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15

25

35

45

5

0

v(cm/s)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t (s)

Velocidade de quedade um corpo

Ttulo

Pontosexperimentais

Curva mdia

Eixo dasordenadas

Eixo dasabscissas

Escala doeixo

Nome davarivel eunidade

0 t(s) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 x (m)2 4 6 8 10 12 14 16 18

0 m (kg)5 10 15 20


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divises principais. Indique os valores correspondentes s divises principais abaixo (eixo-x) ou ao lado (eixo-y) da escala utilizando nmeroslegveis. As unidades devem ser escolhidas de maneira a minimizar onmero de dgitos utilizados na diviso principal (ver a terceira escala, de

cima para baixo, na figura 3.2. Nesse caso, utilizou-se a escala de quilo-grama). Uma regra prtica utilizar no mximo 3 dgitos para representar esses valores. Pode-se tambm fazer o uso de potncias de 10 na expressodas unidades para simplificar a escala.

Ao traar os eixos em papel grfico comum, no use a escala marcadano papel pelo fabricante. Voc quem define a escala. Tambm evite usar os eixos nas margens do papel. Desenhe os seus prprios eixos. Na figura3.3 so mostradas algumas formas INCORRETAS de desenhar eixos degrfico. Um erro muito comum colocar nos eixos os valores medidos paracada varivel. Esse um erro MUITO grosseiro que torna o grfico ilegvel.

Por fim, escreva o nome (ou smbolo) da varivel correspondente aoeixo e a unidade para leitura dos valores entre parntesis (s, kg, 105 N/m2,etc.).

No final das contas, o melhor critrio para desenhar um eixo de umgrfico o bom-senso. O teste final para saber se o eixo utilizado adequado a escolha aleatria de um ponto qualquer. O leitor deve ser capaz de identificar rapidamente o valor correspondente desse ponto atravs

da leitura do eixo no grfico.

Figura 3.3. Algumas formas INCORRETAS de desenhar eixo emum grfico.

0 t(s) 3 6 9 12 15 18 21 24 27

0 x (m)1

0 t(s) 3,4 6,2 11,7 15 18,9 21

0 t(s) 12 3 4 56 7 8 91011

Escala mltipla de 3

Pontos experimentais

Escala comprimida

Escala expandida


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27

Dados, funes tericas e curvas mdiasAssinale no grfico a posio dos pontos experimentais: use marcas

bem visveis (em geral crculos cheios). NUNCA indique as coordenadasdos pontos graficados no eixo. Coloque as barras de incerteza nos pontos, sefor o caso. Se as incertezas so menores que o tamanho dos pontos, indiqueisso na legenda.

NUNCA LIGUE OS PONTOS. Esse um erro grosseiro deconfeco de grficos, muito utilizado em programas de computadores. Afigura 3.4 mostra como desenhar os pontos experimentais em um grfico.

Figura 3.4. Representao de pontos experimentais em um grfico. NUNCA LIGUE OS PONTOS. Indique as barras de incerteza (sefor o caso) em cada ponto nos eixos x e y.

s vezes, dependendo da anlise a ser realizada com os dados, necessrio o desenho de curvas mdias ou funes tericas. Essas curvastm como utilidade permitir a extrapolao e/ou interpolao de pontos, bem como a comparao entre os dados experimentais e uma previsoterica. Esse ponto ser discutido em detalhes adiante.

4. Grficos de linhasGrficos de linhas so normalmente utilizados para representar a

dependncia de uma grandeza em relao outra, como o grficoapresentado na figura 2.2 que mostra a dependncia com o tempo da

Correto

Errado

Barras de incerteza

Marcador


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28

velocidade de queda de um ovo. So muitos os tipos de grficos de linhasque podem ser construdos. Dentre os vrios se destacam trs tiposcomumente utilizados, conforme representado na figura 4.1.

Figura 4.1. Principais tipos de grficos de linhas utilizados no meiocientfico.

Figura 4.2. Papel em escala milimetrada. Nesse caso, ambascoordenadas so igualmente espaadas em centmetros.

Grfico de linhas

Lineares Logartmicos Polares

mono-logartimico di-logartmico


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29

A escolha do tipo de grfico est relacionada com os objetivos que se pretende alcanar. Um dos fatores que pode fornecer a ajuda na escolha analisar a variao dos dados adquiridos. Por exemplo, uma grandeza quevaria entre 10 Hz e 100 kHz (100000 Hz) torna-se impossvel de ser

graficada de forma eficiente em um grfico linear, devido grande variaoentre um extremo e outro. Nesse caso, grficos logartmicos so maisadequados para representar dados desse tipo.

4.1. Escalas linearesGrficos em escalas lineares so os mais simples de serem realizados.

Como o prprio nome diz, grficos em escalas lineares so aqueles nosquais ambos os eixos (x e y) so lineares, ou seja, a escala representada noeixo diretamente proporcional distncia do ponto em relao origemdo eixo.

Grficos em escalas lineares so desenhados normalmente em papismilimetrados, conforme mostra a figura 4.2. Voc pode usar a figura 4.2como modelo para grficos lineares. Basta fazer cpias xrox da figura eutilizar para os seus grficos.

Figura 4.3. Velocidade de queda de um ovo.

10

20

30

40

15

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35

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5

0

v(cm/s)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t (s)

Velocidade dequeda de um corpo


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30

Um exemplo de grfico em escala linear mostrado na figura 4.3. Nesse caso, grafica-se a velocidade instantnea de queda de um ovo comofuno do tempo de queda.

Traando curvas mdiasMuitas vezes quer-se extrair informaes mais complexas de um

grfico. Poderamos perguntar, por exemplo, utilizando o grfico da figura4.3, qual seria a velocidade do ovo no instante 15 segundos, caso o tipo demovimento no se altere? Qual a velocidade inicial de queda desse ovo equal a sua acelerao mdia? Perguntas como essas podem ser respondidascombinando-se o conhecimento adquirido de Fsica com algumas tcnicasde anlise grfica.

Existem tcnicas matemticas e testes sofisticados2

para determinar ocomportamento de dados e permitir extrapolaes e interpolaes. Oaprendizado dessas tcnicas foge ao escopo deste curso introdutrio.Contudo, o mtodo descrito a seguir pode, se executado de forma criteriosa,fornecer resultados muito prximos daqueles obtidos a partir de mtodosmatemticos rigorosos.

De modo geral, pode-se desenhar curvas mdias sobre conjunto dedados utilizando-se a curva francesa (ver figuras 4.4 e 4.5). O uso de curvafrancesa exige prtica, porm pode-se conseguir resultados bastantesatisfatrios.

Figura 4.4. Alguns exemplos de curva francesa. A curva francesa comumente utilizada para traar curvas mdias de grficoscientficos.

2 Para mais detalhes ver o livro Fundamentos da Teoria de Erros, Jos HenriqueVuolo, Editora Edgard Blcher ltda.


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31

Figura 4.5. Exemplo da utilizao da curva francesa para traar uma curva mdia em um grfico cientfico.

Um inconveniente do uso geral de curvas francesas o fato de, apesar

das curvas mdias serem bastante satisfatrias, difcil obter informaesnumricas de forma direta. Alm disso, pelo fato da curva obtida ser umguia visual, extrapolaes para valores fora do intervalo onde os dadosforam medidos so muito imprecisas e no devem ser feitas.

Contudo, existe um caso particular onde o traado de curvas mdiasfornece vrias informaes sobre os dados graficados. Isso ocorre quando ogrfico entre duas grandezas pode ser representado por uma reta. Assim, acurva mdia obtida uma reta, que pode ser desenhada utilizando-se umargua simples.

Vamos re-examinar os dados na figura 4.3. Percebe-se que adependncia entre velocidade e tempo ocorre de forma mais ou menoslinear (lembre-se de considerar as incertezas dos pontos experimentais).Para traar uma reta mdia, nesse caso, deve-se utilizar uma rgua e a retadesenhada deve ser tal que os pontos fiquem aleatoriamente distribudos emtorno dessa reta. Esse desenho feito de forma manual e exige senso crtico por parte da pessoa que est realizando a anlise. A figura 4.6 mostra omesmo conjunto de dados com a reta mdia correspondente.


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32

Figura 4.6. Velocidade de queda de um ovo com a sua respectivareta mdia que utilizada para extrair informaes numricas arespeito do movimento de queda.

Note que a reta mdia no necessariamente deve passar por todos os pontos experimentais (veja ponto com t = 5,6 s) e, no necessariamente,deve passar pelo primeiro e ltimo pontos do grfico. O critrio que os pontos fiquem distribudos em torno da reta da forma mais aleatria possvel.

Deve-se ter cuidado com o uso dessa tcnica para traar retas mdias.Em muitos casos, apesar das incertezas experimentais seremsuficientemente grandes, os pontos no ficam aleatoriamente distribudosem torno da reta. Nesse caso, evidente que a funo que descreve a curva

mdia no deve ser uma reta. Um exemplo mostrado na figura 4.7. Noteque os pontos no esto igualmente distribudos em torno da reta mdia. Nota-se que, apesar do nmero de pontos sobre a reta ser equivalente aonmero de pontos sob a reta, h a tendncia de haver pontos na parteinferior somente nos extremos do grfico enquanto os pontos superioresencontram-se na regio central do grfico. Esse um exemplo claro de quea curva mdia selecionada (reta) no adequada para descrever os dadosexperimentais. Mais uma vez, existem mtodos matemticos para avaliar sea funo utilizada a que melhor descreve os dados experimentais, porm oaprendizado desse mtodo foge ao escopo do curso. O desenvolvimento daintuio, nesse caso, importante no julgamento dos resultados obtidos.

10

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15

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0

v(cm/s)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t (s)



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33

Figura 4.7. Conjunto de dados no qual o uso de uma reta mdia no adequado para descrever o comportamento dos dados.

Em um grfico de escalas lineares (papel milimetrado) retas soobjetos geomtricos simples de serem representados matematicamente. Nesse caso, a equao de uma reta pode ser escrita como:

y ax b= +

Onde y a varivel dependente e x a varivel independente.a e b soconstantes, respectivamente denominadas coeficientes angular e linear.

Para obter os coeficientesa e b necessrio escolher dois pontos dareta mdia desenhada no grfico.ESCOLHA PONTOS BASTANTE

DISTANTES!!!!Pontos muito prximos acarretam em incertezas bastanteelevadas e, muitas vezes, fora de controle. De preferncia, escolha um ponto anterior ao intervalo dos dados e um ponto aps o intervalo dasmedidas efetuadas. Vamos denominar esses pontos como sendo ( x1 , y1) e( x2 , y2). Utilizando a equao de reta acima, podemos escrever que:

1 1 2 2eax b y ax b y = + = +

Temos, nesse caso, duas equaes e duas incgnitas (a e b). Podemosresolver o sistema acima de tal modo que:

10

20

30

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15

25

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5

0

v(cm/s)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t (s)

Movimento de queda deum corpo com atrito


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34

2 11 1

2 1e y

x y y

a b y ax x x =

= =

Note que os parmetrosa e b possuem unidades. A unidade dea

[unidade de y]/[unidade de x] enquanto a unidade deb [unidade de y]. Note que, apesar do nome, o coeficiente angular no igual tangente do ngulo entre a reta e o eixo-x, porque as escalas de um grficoso, em geral, diferentes nos eixos x e y, ao contrrio do caso geomtrico.Lembre-se que o coeficiente angular possui unidade enquanto tangente deum ngulo um nmero adimensional. Em geral:

tan y

Avaliao de incertezas nos coeficientes angular e linearA representao grfica, como vimos, importante no sentido de

ilustrar e sintetizar as relaes entre grandezas representativas de umfenmeno. Contudo, medidas experimentais so sempre acompanhadas desuas respectivas incertezas, avaliadas pelos experimentadores. Essasincertezas so representadas graficamente atravs de barras de erro em cada ponto experimental, conforme mostrado nas figuras anteriores.

Uma pergunta natural que surge do ajuste da reta mdia, como orealizado na figura 4.6 reflete o fato das incertezas, bem como as flutuaesnos pontos experimentais, permitirem que mais do que uma reta mdia possa ajustar razoavelmente os dados experimentais. razovel pensar queos coeficientes angular e linear obtidos para a reta mdia possuemincertezas associadas. Como avaliar a incertezas desses coeficientes?

Tanto a escolha da melhor curva, como mencionado, como o clculodas incertezas nos coeficientes, pode ser feito de forma rigorosa. Contudo,assim como h um mtodo grfico razovel para traar a reta mdia, h

tambm um mtodo grfico que pode ser utilizado para estimar asincertezas nos coeficientes obtidos. Esse mtodo consiste em estimar duasretas, uma de mxima inclinao e outra de mnima inclinao, que ainda seadaptem de forma razovel aos dados experimentais. O procedimento aseguir tenta sistematizar esse mtodo de tal forma que as incertezas obtidassejam razoveis.

Vamos voltar aos dados apresentados na figura 4.6. Imagine agoradois conjuntos de pontos. Um desses conjuntos tem coordenadas ( x, y+ )enquanto o outro conjunto de pontos tem coordenadas ( x, y- ), sendo aincerteza de cada um dos pontos do conjunto original, conforme mostradona figura 4.8-a. Nessa figura esses conjuntos esto representados por


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35

quadrados e tringulos, respectivamente. VOC NO PRECISADESENHAR ESSES PONTOS NOS SEUS GRFICOS! Eles so apenasguias visuais para fins didticos. A seguir, traa-se duas retas, uma quemelhor se adapte ao conjunto ( x, y+ ) e outra que melhor se adapte ao

conjunto ( x, y- ), conforme mostrado na figura 4.8-b. Note que essas retasno precisam ser paralelas entre si e nem mesmo paralelas reta mdiaajustada.

Figura 4.8. Procedimento para estimar as incertezas noscoeficientes da reta mdia.

A seguir, tomam-se os pontos nessas retas correspondentes ao menor e maior valor da varivel x no conjunto de dados experimentais (ver estrelasna figura 4.8-c). Esses pontos servem de referncia para traar as retasmxima e mnima. Para traar as retas mxima e mnima, ligam-se os

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v(cm/s)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 t (s)


a10

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35

45

5

0

v(cm/s)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 t (s)


b

10

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30

40

15

25

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45

5

0

v(cm/s)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 t (s)


c10

20

30

40

15

25

35

45

5

0

v(cm/s)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 t (s)


d

Reta mnima

Reta mxima


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36

pontos marcados por estrelas, conforme mostrado na figura 4.8-c por retascontnuas.

A figura 4.8-d mostra a figura final obtida. As duas retas contnuasobtidas so denominadas retas mxima e mnima por possurem,respectivamente, mxima e mnima inclinaes. Para cada uma dessas retascalcula-se os coeficientes angulares e lineares, denominados,respectivamentea max, bmax, amin, bmin. As incertezas nos coeficientes da retamdia podem ser obtidas atravs das expresses:

max maxmin mine2 2a ba a b b

= =

Linearizao de dadosProvavelmente por razes biolgicas, o ser humano sabe distinguir

bem entre uma curva e uma reta. Porm, muito difcil para o ser humano perceber, graficamente, a diferena entre uma curva dada por y = x 2 e outradada por y = x 4. Em trabalhos tcnico-cientficos, os dados experimentais,nem sempre, produzem uma curva linear do tipo y = ax + b , fcil de extrair informaes quantitativas, como descritas anteriormente. Nesse caso faz-seuso de tcnicas de linearizao de dados, de tal forma que os dados finaisobtidos, quando graficados, forneam uma linha reta, fcil de ser analisada.Experincia e bom senso so elementos importantes para essa operao, bem como o conhecimento da equao esperada para os dados originais.

O ingrediente bsico para linearizao de dados o conhecimento daequao esperada para descrever os dados originais. A tcnica consiste nouso dessa equao para realizar mudanas de variveis de tal forma que ogrfico dessas novas variveis seja uma reta.

Vamos tomar como exemplo um corpo em queda livre. Em umexperimento, realizou-se a medida da altura desse corpo (h) para diversosinstantes de tempo (t ), conforme mostrado na tabela 4.1. Fazendo o grficode altura como funo do tempo de queda, obtm-se a figura 4.9.Observando esse grfico, percebe-se que ele tem uma forma de parbolacom a concavidade para baixo. De fato, esse o comportamento esperado para um corpo em queda livre. Assim, podemos supor que a equao quemelhor descreveria o comportamento da altura em funo do tempo podeser escrita como:

2( )h t C At = + Onde C e A so constantes que devem ser obtidas a partir da anlise dosdados. Como obt-las?


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37

Tabela 4.1. Altura (h) em funo do tempo (t ) para um corpo emqueda livre.

t (s) h (cm) z = t 2 (s2)0,010 200 0,00010

0,225 173 0,05060,319 151 0,10180,390 124 0,15210,450 99 0,20250,504 76 0,25400,552 48 0,30470,596 26 0,35520,637 1 0,4058

-0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7-50

0

50

100

150

200

250

h (

c m )

t (s)

Movimento de um corpoem queda livre

Figura 4.9 Altura de um corpo em queda livre como funo dotempo de queda.

Podemos testar se, de fato, a expresso2

( )h t C At = + representa bemos dados obtidos utilizando tcnicas de linearizao. Para transformar essaexpresso em uma reta, devemos fazer a mudana de varivel2 z t = .Realizando essa mudana de variveis obtemos a expresso:

( ) z h t C A= + ,que a equao para uma reta. A terceira coluna na tabela 4.1 mostra ovalor da varivel z , calculada a partir dos dados obtidos para o tempo dequeda. A figura 4.10 mostra o grfico da altura de queda em funo davarivel z . Pode-se descrever o grfico obtido atravs de uma reta,


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mostrando que a suposio utilizada para a linearizao funcionaadequadamente.

A partir de um ajuste de reta mdia, como descrita anteriormente, pode-se obter, sem complicaes, os valores para os coeficientesC e A.

-0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

0

50

100

150

200

h (

c m )

z (s2)

Movimento de um corpoem queda livre

Figura 4.10 Altura de um corpo em queda livre como funo dotempo de queda ao quadrado.

Tcnicas de linearizao so muito utilizadas na anlise grfica dedados e simplificam consideravelmente o tratamento desses dados. Deve-selembrar que, caso a mudana de variveis ocorra sobre uma grandeza que possua incertezas, as incertezas associadas nova varivel devem ser obtidas atravs de tcnicas de propagao de erros, como descritas nessaapostila.

4.2. Escalas logartmicasEm muitas situaes comum fazer grficos de grandezas onde a

dependncia com uma outra varivel dada por expresses do tipo:

( ) ou ( ) Bx B y x A y x Ax= = Nesse caso, dependendo das constantes A e B, a grandeza y( x) pode

variar muitas ordens de grandeza a partir de pequenas variaes de x. claro que, nesse caso, mudanas de variveis podem ser realizadas paratornar as equaes acima retas. Em geral, as mudanas de variveis maiscomuns envolvem funes logartmicas. No passado, o clculo delogaritmos era bastante trabalhoso e envolvia consulta a tabelas (ou tbuas)de logaritmos, nem sempre disponveis. Nesse sentido, foram criados papis


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grficos especiais nos quais uma (ou ambas) das escalas graduadalogaritmicamente. A escala logartmica construda de tal forma quequando uma quantidade x marcada nessa escala o comprimento (distnciaem relao origem do eixo) proporcional log( x). Um trecho de uma

escala logartmica mostrado na figura 4.11. Assim, a escala logartmica til quando a mudana de varivel necessria para linearizar o grficoenvolver o logaritmo de um nmero.

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,911 2 3 4 5 6 7 8 9 1010Escala logartmica

log( x) Escala linear

orgem da escala x

Figura 4.11. Escala logartmica (abaixo) em comparao com aescala linear (acima). A escala logartmica construda de talforma que quando uma quantidade x marcada nessa escala ocomprimento (distncia em relao origem do eixo) proporcional a log( x).

Devido forma na qual a escala logartmica construda, deve-seficar atento para algumas regras de uso:

1. No existe zero em escala logartmica. Devido ao fato de( )0lim log( ) x x = impossvel definir o valor zero na escala.

2. A escala logartmica dividida em dcadas. Cada dcadacorresponde a uma ordem de grandeza decimal. A diviso daescala, em cada dcada, idntica de uma dcada para outra.

3. Pelo fato da posio da escala ser proporcional a log( x) no podemos escolher qualquer escala para fazer o grfico. A posio equivalente ao 1 na escala logartmica da figura 4.11 pode ser atribuda somente a nmeros do tipo 1; 0,1; 10; 1000;etc. Do mesmo modo, a posio 3 s pode ser atribuda anmeros do tipo 3; 0,3; 30; 3000; etc.

4. Uma dcada subseqente tem que, necessariamente, possuir escala de tal forma que os nmeros so marcados uma ordemde grandeza acima da dcada anterior. Por exemplo, caso a

dcada anterior varie de 0,01 0,1; a dcada subseqente devevariar de 0,1 1 e assim sucessivamente.


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Um uso interessante para a escala logartmica diferente de fazer grficos a forma simples de calcular logaritmos. Como a posio de umvalor x, na escala, proporcional a log( x), e como o tamanho de umadcada corresponde a variao de 1 em logaritmos (log(10 ) log( ) 1 x x = ,

qualquer que seja x) podemos usar essa informao para o clculo delogaritmos. Para isso, basta medir a distnciad (em centmetros) da posiode x na escala logartmica e o tamanho da dcada D, conforme mostra afigura 4.12. Desse modo, log( x) vale:

(cm)log( ) (cm)d x

D=

0,911 2 3 4 5 6 7 8 9 1010

d (cm)

Escala logartmica

x D (cm)

Figura 4.12. Clculo de log( x) utilizando a escala logartmica

Grfico mono-logO grfico mono-log um grfico com escala linear no eixo-x e escala

logartmica no eixo-y, conforme mostra a figura 4.14. Esse tipo de escala bastante til para grficos com comportamentos exponenciais, do tipo:

( ) Ax y x CB= onde A e B so os coeficientes da expresso. Vamos agora calcular o

logaritmo da expresso acima. Desse modo:

log( ( )) log( ) log( ) log( )ou

log( ( )) log( ) log( )

Ax AxC y x CB B

y x Ax B C

= = +

= +

Fazendo uma mudana de variveis( ) log( ( )) z x y x= , podemos reescrever

a equao acima como sendo:


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( ) z x ax c= + ,onde log( )a A B= e log( )c C = .

Desse modo, situaes nas quais os dados se comportam comofunes exponenciais tornam-se retas quando graficados em papel mono-log . Pode-se, a partir desse grfico, desenhar a reta mdia, bem como asretas mnima e mxima para clculo das incertezas nos coeficientes. Depoisde desenhada as retas ajustadas aos dados, o coeficiente angular (a) podeser calculado a partir de dois pontos quaisquer sobre a reta ajustada ( x1 , y1) e( x2 , y2) utilizando a expresso (ver figura 4.13):

2 1

2 1

2 1

2 1

log( ) log( ) z z x x

y ya

x x =

=

Ou, simplesmente, medindo-se a distncia, em centmetros, entre os pontos y1 e y2 (d ) bem como o tamanho da dcada no grfico ( D) e utilizando aexpresso:

2 1

d Da x x

=

A constante C pode ser obtida diretamente pela leitura da escala noeixo-y para o qual x = 0 .

0 2 4 6 8 100,1

1

10

D ( c m )

y1

y2

x2

g r a n

d e z a y

grandeza x x

1

d c m

Figura 4.13. Clculo do coeficiente angular em um papel mono-log.


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Figura 4.14. Papel mono-log. Voc pode usar essa figura comomodelo para grficos mono-logs. Basta fazer cpias xrox.

Grfico di-logComo o prprio nome diz, o grfico di-log aquele onde ambos os

eixos x e y esto em escala logartmica (figura 4.16). Esse grfico til paralinearizar expresses do tipo:

( ) A y x Bx= .


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Aplicando-se log na equao acima obtemos:

log( ( )) log( ) log( ) log( ) A y x Bx B A x= = + Fazendo as mudanas de variveis

( ) log( ( ))e( ) log( )

z x y x

k x x

=

=

Podemos escrever a equao acima como sendo( ) ( ) z x ak x b= +

Ou seja, a equao de uma reta. Nesse caso, as constantesa e b valem,respectivamente,a A= e log( )b B= .

0,1 1 100,1

1

10

D x (cm)

d x

(cm)

Dy

( c m ) y1

y2

x2

g r a n

d e z a y

grandeza x

x1

d y

c m

Figura 4.15. Clculo do coeficiente angular em um papel di-log.

Da mesma forma que no grfico mono-log, caso o grfico resulte emuma reta, pode-se traar a reta mdia para o clculo dos coeficientesa e b, bem como as retas mxima e mnima para a estimativa das incertezas noscoeficientes. Escolhendo-se dois pontos sobre as retas ajustadas ( x1 , y1) e( x2 , y2), o coeficientea , vale, nesse caso:


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2 1 2 1

2 1 2 1

log( ) log( )log( ) log( )

z z y ya

k k x x = =

Ou, simplesmente, medindo-se a distncia, em centmetros, entre os pontos

y1 e y2 (d y); x1 e x2 (d x) bem como o tamanho das dcadas no grfico ( D y e D x) e utilizando a expresso:

y y

x x

d Da

d D=

A constante B pode ser obtida diretamente pela leitura da escala noeixo-y para o qual x = 1 (caso onde log( x) = 0).

Figura 4.16. Papel di-log. Voc pode usar essa figura como modelo para grficos di-log. Basta fazer cpias xrox.


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5. HistogramasVamos imaginar o seguinte experimento. Um cientista resolve medir

o perodo de oscilao de um pndulo. Aps realizar o experimento umanica vez ele obtm um determinado valor T para o perodo de oscilaodesse pndulo. Contudo, aps repetir o experimento vrias vezes eleobserva que cada experimento, mesmo que efetuado sob as mesmascondies experimentais (aquelas controladas pelo experimentador),fornece um valor diferente para o perodo de oscilao. Nesse caso, oexperimentador conclui que o perodo de oscilao do pndulo pode ser dado pela mdia de todas as medidas efetuadas. Contudo, outras questes podem ser igualmente importantes: como as medidas se distribuem emtorno desse valor mdio? O valor mdio tambm o valor mais provvel deser medido? Qual a probabilidade de realizar uma medida na qual o perodode oscilao obtido duas vezes maior que o valor mdio?

Muitas dessas questes podem ser resolvidas atravs da anliseestatstica das medidas efetuadas. Contudo, uma ferramenta importante paraanlise estatstica o histograma das medidas. Um histograma um grficono qual o conjunto de pontos ( x, y) tem um significado especfico. Um certovalor y est diretamente relacionado com a probabilidade de efetuar umadeterminada medida e obter, como resultado, o valor x. Voltando ao nossoexemplo do pndulo, a varivel graficada no eixo-x poderia ser o perodo deoscilao enquanto que a varivel no eixo-y pode ser o nmero de vezesque aquele determinado perodo foi medido pelo experimentador.

Por ter um significado especfico, muitas vezes um histograma no graficado colocando pontos nas coordenadas ( x, y) de um papel milimetradoe sim atravs dos desenhos de barras verticais cuja altura corresponde aovalor y obtido para o ponto x.

A figura 5.1 mostra um histograma tpico para o nosso experimentofictcio. Nesse caso, o experimentador realizou a mesma medida 200 vezes.Cada barra vertical no histograma corresponde a um intervalo de perodos.Por exemplo, a barra mais alta corresponde a medidas cujo perodo deoscilao estava entre 0,40 e 0,43 segundos. Aps repetir 200 vezes oexperimento, o experimentador obteve 39 medidas cujo perodo deoscilao do pndulo encontrava-se nesse intervalo de tempo. Para ointervalo de tempo entre 0,50 e 0,53 segundos, o experimentador obtevesomente 6 medidas nesse intervalo. Cada um desses intervalos de medidas,que corresponde a uma barra no histograma denominado de um canal dohistograma. Em geral, histogramas possuem canais cujas larguras so fixas para todo o histograma. Casos especiais de histograma possuem canais delarguras variadas, porm so mais difceis de serem analisados.


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Figura 5.1. Histograma do perodo de oscilao de um pndulosimples para um experimento realizado 200 vezes.

A amplitude a ser graficada em um histograma, para cada intervalode variao da medida, depende de como esse histograma ser utilizado posteriormente. comum, contudo, utilizar uma das seguintes opes:

Histograma de nmero de ocorrncias (N)A amplitude do histograma, N ( x), simplesmente o nmero de

ocorrncias verificadas em cada canal do histograma cujo centro vale x.Apesar de ser o histograma mais simples de se construir, pois exige apenasa contagem do nmero de ocorrncias, a anlise do mesmo maistrabalhosa. Por exemplo, para calcular a probabilidade de efetuar umamedida em um intervalo necessrio saber o nmero total de medidasutilizadas no histograma.

Histograma de freqncia de ocorrncia (F)A freqncia na qual ocorre uma determinada medida definida

como sendo a razo entre o nmero de ocorrncias em um canal dohistograma cujo centro vale x e o nmero total de medidas efetuada, ou seja:


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( )( )total

N x F x N

=

A vantagem de utilizar essa varivel como amplitude do histograma

bvia. A simples leitura da amplitude do histograma em um determinadocanal, no limite de um grande nmero de medidas, N total , tende probabilidade de realizar uma medida no intervalo correspondente ao canalestudado. No caso mostrado na figura 5.1, como o experimento foirealizado 200 vezes, a freqncia de ocorrncia para um dado canal onmero de contagens daquele canal, dividido por 200.

Apesar de os histogramas de ocorrncias (N) e freqncias (F) seremsimples de construir eles possuem algumas limitaes. A maior delas ofato das amplitudes nesses histogramas serem fortemente dependentes da

largura escolhida para os canais. Caso a largura escolhida seja duas vezesmaior, tanto os nmeros de ocorrncias como as freqncias sero tambmduas vezes maiores. Esse aspecto torna histogramas de ocorrncias efreqncias difceis de serem comparados com outros histogramas, bemcomo com curvas tericas. Um terceiro tipo de histograma, definido comohistograma de densidades de probabilidade, elimina essa limitao.

Histograma de densidade de probabilidades (H)A densidade de probabilidade definida como sendo a razo entre a

probabilidade de realizar uma medida no intervalo x e x+dx e o tamanho dointervalo,dx, no limite no qual esse intervalo muito pequeno, ou seja:

( ) dP H xdx

=

Se a densidade de probabilidade conhecida, a probabilidade deocorrer um resultado em um intervalo ( x, x+ x), com x pequeno, ,aproximadamente:

( , ) ( ) P x x x H x x+ A grande vantagem de utilizar a densidade de probabilidade para

montar histogramas o fato das amplitudes em cada canal ser independentedo nmero de medidas efetuadas bem como da largura escolhida para oscanais do histograma. Experimentalmente, a densidade de probabilidade pode ser obtida como sendo a freqncia de ocorrncia de eventos em umcanal, dividida pela largura do canal no histograma, ou seja:

( ) ( )( )total

F x N x H x x N x

=


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5.1. Construo de histogramasDepois de realizadas as medidas, o experimentador tem em mos uma

tabela na qual esto listados os valores obtidos para a grandeza que se quer histogramar. Construir um histograma consiste nos seguintes passos:

1. Escolher a largura dos canais do histograma, x;2. Escolher os centros de cada canal, tomando o cuidado que no

sobrem espaos vazios entre os canais.3. Contar o nmero de ocorrncias para cada um dos canais, N ( x).

Nesse ponto possvel construir o histograma de nmero deocorrncias. Caso uma ocorrncia ocorra na borda entre doiscanais, considere a ocorrncia como pertencendo ao canal cujo

centro possua maior valor.4. Caso queira-se construir o histograma de freqncias, F ( x)

dividir o nmero de ocorrncias em cada canal pelo total demedidas efetuadas.

5. Caso queira-se construir o histograma de densidade de probabilidades, H ( x), dividir a freqncia de cada canal pelalargura de cada um dos canais.

Alguns problemas ocorrem na criao do histograma, principalmente

quando o nmero total de medidas ( N total ) estatisticamente pequeno.O problema mais freqente a escolha da largura do canal, x.

Evidentemente, para que a densidade de probabilidade experimental seja omais prxima possvel da definio terica, deve-se escolher x de talforma a ser o menor valor possvel. Entretanto, diminuindo x estamostambm diminuindo o nmero de ocorrncias em cada canal do histograma,correndo o risco de que, em casos extremos, ocorram canais onde no sejaregistrada nenhuma ocorrncia.

A figura 5.2 mostra dois histogramas onde foram realizadas 20medidas. No histograma da esquerda, a largura do canal utilizada cincovezes mais larga que no histograma da direita. Note que o histograma comlargura de canal menor apresenta flutuaes elevadas de um canal paraoutro, alm de haver canais onde no h ocorrncias. Isso resulta em algunscanais com elevada densidade de probabilidade enquanto outros canaisapresentam densidade de probabilidade nula.

Esse fator deixa de ser um problema quando o nmero de medidas bastante elevado, como mostrado na figura 5.3. Nesse caso, o experimentohipottico foi realizado 20 mil vezes. Note que, alm do tamanho dos


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canais, no h diferena entre as densidades de probabilidade entre oshistogramas.

Figura 5.2. Histogramas de densidade de probabilidades paramedidas do perodo de um pndulo simples. O conjunto de dadosutilizado o mesmo em ambos os casos. O histograma da esquerdafoi montado de tal forma que a largura do canal seja 5 vezes maior que no caso da direita. O total de medidas utilizadas para montar oshistogramas ( N total ) foi 20.

Figura 5.3. Histogramas de densidade de probabilidades paramedidas do perodo de um pndulo simples, conforme explicado na

figura 5.2. Nesse caso, o total de medidas utilizadas para montar oshistogramas ( N total ) foi 20000.


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Em muitas situaes experimentais muito difcil realizar um

nmero elevado de medidas de tal forma que a escolha da largura doscanais no histograma possa ser arbitrariamente pequena. Como regra prtica, a largura dos canais, x, deve ser escolhida de tal forma que onmero de ocorrncias, N ( x), seja pelo menos 10 para os canais prximosao valor mdio das medidas. Outro fator importante a escolha das posies centrais dos canais do histograma. Deve-se, nesse caso, escolher as posies centrais de tal forma que uma delas seja aproximadamente igual aovalor mdio das medidas.

5.2. Interpretao de um Histograma

Quando medimos N vezes uma grandeza, normalmente obtemosvalores diferentes para cada medida devido incerteza estatstica oualeatria associada ao procedimento de medida. Se a incerteza aleatria, razovel supor que ela pode fazer com que o resultado da medida sejaigualmente maior, ou menor, que o valor verdadeiro da grandeza. Portanto,esperamos que um histograma tenha uma forma simtrica em torno do valor que representa a melhor estimativa para o valor verdadeiro da medida,como podemos observar no histograma da figura 5.4.

Figura 5.4 Obteno de mdia e desvio padro a partir da anlise

grfica do histograma.

mdia

2/3 x

2


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A largura do histograma deve refl

apostila física fap 1

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