apostila física fap 2

8/14/2019 Apostila Fsica FAP 2

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INTRODUO SMEDIDAS EM FSICA

FAP152

1. Semestre de 2006

Instituto de FsicaUniversidade de So Paulo

roteiros das aulas 8 a 13

Professores:

Alexandre Alarcon do Passo Suaide (coordenador)Marcelo Gameiro Munhoz (coordenador)Flvio Joo AlbaAdriana Delgado

Carlos Eduardo Fiore dos SantosGabriel Rocha de S. Zarnauskas


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ndice

NDICE ................................................... ........................................................... .......................................... 1EXPERINCIA V (AULA 8 E 9)...............................................................................................................3

QUEDA LIVRE...........................................................................................................................................3

1.OBJETIVOS.............................................................................................................................................3 2.INTRODUO .........................................................................................................................................3 3.PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL............................................................................................................5 4.ANLISE DE DADOS ...............................................................................................................................7 5.QUESTES .............................................................................................................................................8 6.REFERNCIAS ........................................................................................................................................8

EXPERINCIA VI (AULAS 10 E 11).......................................................................................................9

CURVAS CARACTERSTICAS...............................................................................................................9

1.OBJETIVOS.............................................................................................................................................9 2.INTRODUO .........................................................................................................................................9 3.PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL .........................................................................................................11 4.ANLISE DE DADOS.............................................................................................................................13 4.REFERNCIAS ......................................................................................................................................13

EXPERINCIA VII (AULA 12) ........................................................ ...................................................... 15

RESFRIAMENTO DE UM LQUIDO....................................................................................................15

1.OBJETIVOS...........................................................................................................................................15 2.INTRODUO .......................................................................................................................................15 3.ARRANJO E PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL .......................................................................................17 4.ANLISE DE DADOS .............................................................................................................................18

Questo:.............................................................................................................................................19 5.REFERNCIAS: ..................................................... ........................................................... ..................... 19

EXPERINCIA VIII (AULA 13).............................................................................................................21

CORDAS VIBRANTES............................................................................................................................21

1.OBJETIVOS...........................................................................................................................................21 2.INTRODUO .......................................................................................................................................21 3.ARRANJO EXPERIMENTAL ....................................................................................................................24

3.1. Tomada de dados .............................................................. .......................................................... 24Parte 1. Estudo da dependncia da freqncia (f) com o modo de vibrao (n).... ....................... ................. 24Parte 2. Estudo da dependncia da freqncia (f) com a tenso aplicada ao fio (T)............ ......................... . 25Parte 3. Estudo da dependncia da freqncia (f) com o comprimento do fio (L)............................ ............. 25

Parte 4. Estudo da dependncia da freqncia (f) com a densidade linear () do fio .................................... 264.ANLISE DOS DADOS ...........................................................................................................................26 5.APNDICE: MODOS NORMAIS DE OSCILAO DE UM FIO TENSIONADO .................................................27 5.REFERNCIAS ......................................................................................................................................29


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Experincia V (aula 8 e 9)Queda livre

1. ObjetivosNesta experincia estudaremos o movimento da queda de um corpo,

comparando os resultados experimentais com o modelo da queda livre.Elaborar um modelo consiste em descrever certo fenmeno a partir de umateoria, adotando um conjunto de hipteses que nos levam a considerar

apenas os efeitos mais importantes. Utilizaremos a anlise grfica paraverificar a validade do modelo empregado e, assim, das hipteses que ooriginaram. Obteremos tambm uma estimativa da acelerao da gravidade.

Com este estudo, tambm iremos discutir como medir a velocidadede um objeto, que uma grandeza derivada de outras duas grandezasfundamentais (o tempo e o espao).

2. Introduo

A elaborao de modelos a partir de hipteses simplificadoras umprocedimento importante para a fsica. Os fenmenos fsicos dependem demuitos fatores e fundamental saber reter apenas aqueles mais relevantes,que influenciam de modo significativo o processo considerado.

Quando uma ma cai de uma rvore podemos dizer que ela sofre ainfluncia da atrao gravitacional, do empuxo relativo ao ar que a circundae da resistncia do ar. A princpio poderamos considerar tambm avariao da atrao gravitacional da Terra com a altura, a influncia dos

outros planetas e galxias. Levar em conta todas estas foras para descrevera queda da ma poderia tornar impraticvel a obteno de qualquer


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resultado numrico. Assim, por meio da anlise da influncia relativa dosfatores mencionados, podemos eleger os mais relevantes e, com a hiptesede que apenas eles governam o movimento do corpo, somos capazes dedescrever o fenmeno de maneira quantitativa.

No modelo de queda livre supe-se que toda a influncia do ar sobreo movimento do corpo desprezvel. Neste caso, a hiptese com quetrabalhamos a de que no h nenhuma outra fora atuando no objeto, ano ser a da atrao gravitacional. Quando se aplica um modelo, semprenecessrio considerar os limites da sua aplicabilidade. Podemos usar omodelo de queda livre para afirmar que uma bolinha de chumbo e de papelcaem de 1 metro de altura em um mesmo intervalo de tempo, por exemplo.Mas ser que a hiptese de desprezar a influncia do ar continua vlidaquando lanamos estes objetos do dcimo andar de um prdio?

Nesta aula estudaremos a queda de um objeto com um formatoaerodinmico dentro da sala do laboratrio, verificando se o modelo dequeda livre descreve adequadamente os resultados empricos dentro danossa preciso experimental.

De acordo com a segunda lei de Newton, podemos relacionar a foraresultante F

r

sobre um certo corpo com a sua quantidade de movimento pr como:

dpF dt=

r

r

,

onde vmp rr = , sendo m a massa do corpo e vr , a sua velocidade.Considerando a situao em que a massa constante, temos:

dvF m ma

dt= =

r

r

r

,

em que ar a acelerao.

No modelo de queda livre trabalhamos com a hiptese de que apenasa fora de atrao gravitacional atua sobre o corpo. Esta pode ser dada por

gmr , onde g

r a acelerao da gravidade, desde que o evento estudado situe-se nas proximidades da Terra. Dessa maneira, escrevemos:

ma mg=r r

.

Considerando que a velocidade e a posio iniciais so dadas por 0vr e

0xr , respectivamente, a soluo da equao acima fornece:

( ) 20 0 2g

x t x v t t = + +

r

r r r

,


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que representa a posio do objeto em funo do tempo. Se a posio evelocidade iniciais e a acelerao da gravidade possuem a mesma direo,podemos reescrever a equao acima, de maneira simplificada, como:

( )2

0 0 2

g

x t x v t t = + + .A velocidade, por sua vez, dada por:

( ) 0v t v gt = + .

Com o modelo de queda livre tiramos uma outra conclusoimportante acerca do movimento do corpo e que empregaremos na anlisedos dados: como se considera que a acelerao constante, podemos dizerque a velocidade mdia entre dois instantes 1t e 2t igual velocidade

instantnea na metade do intervalo, 1 22mt tt += . Dessa forma, temos:

( )( ) ( )

1 2

2 1,

2 1m t t

x t x t v t v

t t

= =

.

Podemos nos questionar em que condies esta aproximao vlida.Ser que ela vlida somente para o caso da queda livre? Ou ser quemesmo para situaes onde a influncia do ar mensurvel, estaaproximao tambm vlida para intervalos de tempo curtos?

3. Procedimento experimentalNesta experincia, o objeto a ser lanado tem a forma de um elipside

de revoluo (parecido com um ovo), que cai entre dois fios metlicos semtoc-los.

Inicialmente, o objeto mantido no topo da haste por meio de umeletrom, que desligado atravs de uma chave, liberando o elipside.

O acionamento continuado desta chave provoca pulsos de alta tensoentre os fios e, devido a um anel metlico em torno do corpo (na figura 5.1ele representado por uma faixa hachurada em torno do elipside, que feito de um material isolante), ocorrem descargas eltricas entre os fios,originando fascas. Os pulsos so gerados por um circuito eltrico, com amesma freqncia da rede eltrica, 60,00 f Hz= (estes quatro algarismossignificativos mostram a grande preciso do perodo de oscilao da redeeltrica). Assim, o intervalo de tempo entre duas fascas

160,00T s= .


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Figura 5.1: equipamento utilizado para o estudo da queda do corpo.As fascas provocadas pelos pulsos de alta tenso entre os dois fiosmarcam um papel encerado.

Para registrar a ocorrncia das fascas emprega-se uma fita de papelencerado (papel de fax), colocada ao longo da haste de suporte dos fios. As

descargas eltricas marcam o papel, determinando a posio do objeto noinstante em que a fasca ocorreu.

Para se realizar a tomada de dados sugerimos os seguintes passos:

1) para garantir que o elipside marque corretamente o papel, importante observar se a haste de suporte dos fios est alinhada com avertical, o que pode ser verificado com um fio de prumo e comalgumas simulaes de queda do corpo. Nestas deve-se notar se oobjeto no toca os fios. Tome muito cuidado para no tomar um

choque eltrico;2) para obter o deslocamento do corpo com o tempo, usamos o papel

encerado que ser marcado pelas fascas em intervalos constantes.Nesta etapa deve-se prender o papel na haste e colocar o elipside notopo dela, preso pelo eletrom;

3) aps garantir que a haste esteja na vertical, a fita presa corretamente eo ovo preso no topo da haste, aciona-se a chave que desliga oeletrom e ao mesmo tempo d incio aos pulsos de alta tenso;


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4) aps a queda do elipside, importante observar se as marcas no papel encerado so regulares, pois isto garante que todas as fascasocorreram corretamente e no houve falhas.

4. Anlise de dadosPara analisarmos o movimento do corpo, podemos determinar a

relao entre a sua velocidade e o tempo. Para isso, medimos o

deslocamento do elipside ( ) ( )ij j ix x t x t = , correspondente ao intervalo

de tempo ij j it t t = , obtendo a velocidade instantnea em 2i j

m

t tt

+= , a

partir de:

( )( ) ( )

,i j

j iijm t t

ij j i

x t x t xv t v

t t t

= = =

.

importante lembrar que ao usarmos esta relao assumimos que aacelerao constante, pelo menos em um breve intervalo de tempo.

Na anlise dos dados, alm da unidade convencional de tempo, osegundo, podemos alternativamente adotar como unidade de tempo o

intervalo entre duas fascas, a qual denominamos de ut, onde ( )sut 60/1= .Por exemplo, podemos dizer que a terceira fasca ocorre em ut3 . Fica acritrio do aluno escolher a unidade de tempo usada na anlise.

A anlise dos resultados feita a partir das seguintes etapas:

Parte I:

1) identificar o primeiro ponto marcado na fita, associando-o com oinstante inicial, ou seja, utt 0= (ou segundo). Localizar os demais,

anotando ao lado deles os tempos correspondentes em ut ousegundos (1ut, 2ut, 3ut e etc);

2) medir a distncia entre os diversos pontos, ) ( )ijij txtxx = , com umargua, anotando os valores em uma tabela com a descrio dointervalo ao qual eles se referem. Um dos integrantes do grupo,denominado de A, obter a distncia entre duas marcas consecutivas(1-2, 3-4, 5-6 e etc) e o B medir, pulando uma marca (1-3, 2-4, 5-7,6-8 e etc). Veja que nenhum ponto foi tomado como extremo de doisintervalos. Isto foi feito para evitar que um dado seja dependente de

outro. No se esquea de estimar a incerteza destes valores;


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3) construir tabelas das velocidades instantneas e dos tempos aos quaiselas se referem, com as respectivas incertezas.

Parte II:

1) fazer um grfico da velocidade em funo do tempo, empregando os pontos obtidos na etapa anterior, colocando barras de incerteza.Assumindo a validade das hipteses que do origem ao modelo dequeda livre, esperamos obter uma dependncia linear entre avelocidade e o tempo, o que representa que a acelerao do corpo constante. A partir desta idia, avalie a adequao do modelo aosdados. Eles so bem descritos por uma reta?

2)por meio da anlise do grfico, determinar os parmetros da reta comas respectivas incertezas (h uma explicao sobre isto na apostila

anterior, no captulo 3). Teremos ento a velocidade no instanteinicial e a acelerao do corpo;

3) discutir os resultados obtidos, comparando a acelerao da gravidadeobtida com o valor fornecido pelo IAG (Instituto de Astronomia,Geofsica e Cincias Atmosfricas), g = 9,7864 m/s2.

4) Se trocssemos o elipside por um objeto oco, muito mais leve, serque o modelo de queda livre continuaria valendo? Com o objetivo deexplorar esta questo mais a fundo efetuaremos medidas relativas ao

movimento de um carro em um trilho de ar, que oferece pouco atrito.Inicialmente tomam-se os dados relativos ao carro em queda apenas.Em seguida, colocaremos uma vela para observar como os resultadosso alterados. O que se espera para cada situao? Faa um grficopara cada caso, comparando-os.

5. Questes1) Por que importante no tomar intervalos cujos extremos sejam

repetidos?2) A primeira fasca deve obrigatoriamente ocorrer com o acionamento

da chave que desliga o eletrom? Neste sentido, o valor davelocidade tirado do ajuste da reta est de acordo com o esperado?

6. Referncias1. J. H. Vuolo et al, Fsica Experimental 2 para o Bacharelado em

Fsica, Geofsica e Meteorologia, Instituto de Fsica da USP

(2005).


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Experincia VI (aulas 10 e 11)Curvas caractersticas

1. Objetivos

Como no experimento anterior, iremos estudar a adequao de umcerto modelo a resultados experimentais. O objetivo desta experincia estudar alguns elementos resistivos atravs do levantamento de suas curvas

caractersticas. Estudaremos o resistor comercial e a lmpada defilamento. Para isso, iremos aprender a utilizar os instrumentos de medidaeltrica: voltmetro e ampermetro, e vamos verificar a influncia dosinstrumentos no resultado experimental.

Finalizando, iremos verificar a adequao das curvas caractersticasao modelo da Lei de Ohm.

2. Introduo

Define-se como corrente eltrica atravs de um condutor, omovimento dos eltrons livres do material do condutor numa direo preferencial. Quantitativamente a corrente pode ser escrita como aquantidade de carga que atravessa a seo reta do condutor por unidade detempo:

0lim tq dq

it dt

= =

(2.1)

onde q a carga e t o tempo. A unidade de corrente o ampre quecorresponde ao fluxo de um coulomb de carga porsegundo.


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Quando os eltrons livres de um material condutor se movimentam,eles sofrem choques sucessivos com outros eltrons livres e com os tomosdo material e esto sujeitos s foras de atrao e repulso exercidas poreles. Tudo isso dificulta o trnsito das cargas livres que gastam energia.

Portanto, para manter esse trnsito, ou seja, a corrente eltrica, deve-sefornecer energia de uma fonte externa. A dificuldade do trnsito das cargaslivres atravs de um material chamada de resistncia eltrica do material.

A resistncia eltrica de um elemento resistivo definida como arazo entre a voltagem e a corrente que passa por esse elemento:

VR

i= (2.2)

Essa a definio geral de resistncia eltrica, seja o elemento

resistivo hmico (linear), caso em que a resistnciaR constante para todosos pares (V, i), seja ele no hmico (no linear), caso em que a resistnciavaria para os diferentes pares (V,i).

Para estudar elementos resistivos de um circuito levantamos suascurvas caractersticas. A curva caracterstica de qualquer elemento decircuito definida como sendo o grfico da corrente i (ordenada) em funoda tenso V (abscissa). Esse grfico serve para caracterizar ocomportamento do elemento sob determinadas condies ambientais.

A definio (2.2) para um elemento resistivo assegura umapropriedade importante desses elementos que Vx=0 quando ix=0. Isso querdizer que por mais complicada que seja sua curva caracterstica, ela semprepassa pela origem do sistema de coordenadas, como pode ser visto na figura2.1.

Figura 2.1: Curva caracterstica de dois elementos resistivoshipotticos.

O

i

V

Resistor hmico


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3. Procedimento Experimental

ATENO:

Todo experimento que envolve eletricidade deve ser efetuado comcuidado, para evitar danos ao equipamento ou acidentes com os

experimentadores. Por isso, fique atento s orientaes do seu professor.

Inicialmente, os alunos iro se familiarizar com os instrumentos demedida e com as informaes do manual fornecidas pelo fabricante. Depoisdesse primeiro contato, as curvas caractersticas sero levantadas. Para umaexplicao detalhada sobre o princpio de funcionamento e a utilizao de

multmetros, veja a seo 3.2 do Captulo IV da apostila do curso.

Parte I:

Cada equipe receber dois multmetros e dois resistores, sendo um devalor conhecido de resistncia Ra e outro de valor desconhecido Rx. Oobjetivo desta parte do procedimento experimental determinar o valor daresistncia Rx de trs maneiras diferentes, analisando a influncia doequipamento de medida em cada caso.

a) Inicialmente, coloque o multmetro na funo ohmmetro, mea e anoteos valores das resistncias Ra e Rx. Verifique as variaes na leitura e amelhor escala de leitura. Utilize o manual do multmetro para verificaros valores de incerteza das medidas na funo ohmmetro. Anote essesvalores.

b)Em seguida, monte o circuito com os dois resistores em srie com afonte de tenso, conforme ilustrado na figura 3.1.

Figura 3.1: Circuito sugerido para se obter a curva caracterstica de

um resistor.

IVFonteDC

i

Vr

ix

VxX

VVRa

Ra


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Ligue os multmetros, na funo voltmetro, em paralelo com osresistores. Ligue a fonte de tenso no valor determinado pelo professor,mea e anote os valores de tenso lidos nos multmetros. Fique atento para aescolha da escala de leitura dos multmetros, utilizando sempre a escala que

fornea maior preciso na medida. Anote a escala utilizada.Utilize o manual do multmetro para verificar os valores de incerteza

das medidas na funo voltmetro. Anote as incertezas das escalasutilizadas.

c) Monte um novo circuito, com um dos multmetros na funoampermetro, conforme ilustrado na figura 3.2.Ligue o ampermetro na

maior escala de leitura e ajuste para escala ideal.

Figura 3.2: Circuito alternativo para se obter a curva caractersticade um resistor.

Anote o valor da corrente i no circuito, medida pelo ampermetro,com sua respectiva incerteza (de acordo com o manual do fabricante).Anote o valor da queda de tenso Vx sobre o resistor.

Parte II:

Monte o circuito da figura 3.2. Varie o valor de tenso da fonte, nointervalo orientado pelo professor, totalizando cerca de 15 medidas

distribudas nesse intervalo. Para cada valor de tenso da fonte, anote osvalores de queda de tenso Vx no resistor. Anote as escalas de leitura dovoltmetro e ampermetro e as incertezas nessas escalas de leitura, de acordocom o manual.

Substitua o resistor desconhecido do circuito 3.2, por uma lmpadade filamento. Efetue o mesmo procedimento de variao da tenso da fonte,medindo as quedas de tenso na lmpada Vx. Procure obter cerca de 15medidas distribudas no intervalo de tenso orientado pelo professor. Anoteas escalas de leitura do voltmetro e ampermetro e as incertezas nessasescalas de leitura, de acordo com o manual.

IVFonteDC

i

Vr

ix

VxX

A


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4. Anlise de DadosParte I:

a) Anote o valor de leitura deRx e sua incerteza.b)Utilizando o valor da queda de tenso Va sobre a resistncia auxiliar e o

valor conhecidoRa, calcule a corrente i do circuito. Em seguida, utilize ovalor calculado de i, e da queda de tenso Vx sobre o resistordesconhecido, para calcular o valor de Rx. Calcule a incerteza no valordeRx utilizando a propagao de erros.

c) Calcule o valorRx, a partir de i e Vx, com sua respectiva incertezatambm utilizando a propagao de erros.

Compare com os valores deRxobtidos com os trs mtodos acima. Voc

observou alguma diferena nesses valores? Em caso positivo, ao que vocatribui essa diferena?

Parte II:

Construa o grfico de i em funo de Vx, com as incertezas de cada ponto, e analise suas caractersticas, comparando os comportamentos doresistor comercial e da lmpada nos intervalos de tenso utilizados.

O comportamento obtido era esperado? Discuta se os elementosresistivos satisfazem o modelo hmico, ou seja, apresentam resistnciaconstante. Como voc pode fazer essa verificao? Em caso negativo,discuta quais fatores devem estar influenciando a mudana decomportamento.

No caso em que o modelo hmico satisfeito, calcule, atravs doinverso do coeficiente angular da reta obtida, o valor da resistncia Rx.Determine sua incerteza utilizando o mtodo grfico de reta mxima e retamnima. Como este resultado se compara queles obtidos na parte I?

4. Referncias1.N. Carlin et al, Fsica Experimental III para o Bacharelado em

Fsica, Geofsica e Meteorologia, Instituto de Fsica da USP(2005)


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Experincia VII (aula 12)Resfriamento de um lquido

1. ObjetivosA partir de um arranjo experimental bastante simples, vamos estudar

a lei de resfriamento de uma soluo de glicerina. Alm da familiarizaocom experimentos envolvendo o conceito de temperatura, vamos extrairempiricamente uma lei fsica atravs de uma anlise grfica dos dados.

2. IntroduoAssim como a Mecnica, a termodinmica uma das reas mais

fundamentais da fsica. Os conceitos de temperatura e calor esto sempre presentes no nosso cotidiano, por exemplo, quando cozinhamos umalimento, ao tomamos banho e etc. Outro conceito diretamente relacionadocom temperatura e calor que tambm est presente no nosso cotidiano oconceito de troca de calor.

A temperatura de um corpo uma medida do grau de agitao desuas molculas. Quando a temperatura de um corpo suficientementebaixa, suas molculas quase no se movimentam, seja esse movimento detranslao, rotao ou ainda de vibrao. Por outro lado, para temperaturassuficientemente altas, as molculas esto em constante agitao. A grandeimportncia da temperatura que alm de ser uma medida de fcilaquisio experimental, podemos relacion-las com vrias outras grandezasde interesse.

Como em toda fsica experimental, para efetuarmos uma medida detemperatura tambm necessitamos de um instrumento de medio. O


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instrumento de medida mais conhecido para efetuarmos medidas detemperatura sem dvida o termmetro. Utilizamos esse aparelhofreqentemente para medirmos nossa temperatura quando estamos comfebre. Seu princpio de funcionamento bastante simples. Quando o

material que o compe entra em equilbrio trmico com a temperatura donosso corpo, sua escala estaciona num determinado valor, que atemperatura corporal. Em geral utiliza-se o termmetro de coluna demercrio (ou de lcool) cuja propriedade termomtrica a dilataovolumtrica dos lquidos que se aquecem.

Outro instrumento de medida de temperatura o termopar metlicoque apresenta o efeito termoeltrico pelo qual produzida uma diferena depotencial eltrico na juno de dois materiais distintos (fora eletromotriz)que dependente da temperatura.

do conhecimento comum que dois corpos inicialmente emtemperaturas diferentes, quando colocados em contato depois de um certotempo atingem um estado final em que suas temperaturas so iguais. claro que o tempo necessrio para que as temperaturas dos corpos emcontato se igualem varia muito nas diferentes situaes.

Por exemplo, sabemos que a areia da praia se aquece maisrapidamente que a gua do mar. O tempo gasto para um sistema atingir oequilbrio trmico pode depender de vrios fatores, como a prpria

composio qumica dos materiais e do reservatrio trmico utilizado naexperincia.

Vamos considerar aqui um sistema formado por uma amostra deglicerina dentro de um tubo de ensaio no qual est inserido um termopar para a medio de temperatura. Este sistema colocado dentro de umcilindro no qual h um fluxo de ar comprimido. Vamos aquecer essesistema at temperaturas em torno de 110oC e esperar seu resfriamento atatingir a temperatura ambiente. Desejamos saber qual a funomatemtica que descreve o resfriamento da glicerina.

A fim de explicarmos a lei do resfriamento da glicerina do ponto devista terico, considerou-se um modelo [1] que leva em conta consideraesgeomtricas sobre o reservatrio trmico e a capacidade trmica dosmateriais que compem a glicerina. A partir deste modelo, podemos preverque a temperatura da soluo de glicerina decai exponencialmente daseguinte forma:

( ) tRR eTTTTT

== 0 (1)

onde TO e TR so a temperatura inicial e a temperatura do reservatrio,respectivamente. A partir da equao acima, vemos que temperatura do


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sistema decai exponencialmente com uma constante de decaimento , cujovalor depende das consideraes mencionadas acima. Como conhecemos atemperatura do sistema e as medidas de tempo, possvel determinarmos otempo caracterstico , supondo a lei acima.

3. Arranjo e procedimento experimentalO arranjo experimental utilizado nesta experincia est

esquematizado na figura abaixo. Ele consiste de um tubo de ensaio comuma certa quantidade de glicerina na qual est imerso um termopar para amedio da temperatura. Este conjunto colocado dentro de um cilindro noqual h fluxo de ar comprimido.

Figura 1: Sumrio do arranjo experimental utilizado. Na situao(a) o termopar inserido no tubo de ensaio para a medio de TR,enquanto na situao (b) o termopar inserido no tubo de ensaiocom glicerina.

Inicialmente colocamos o termopar dentro do cilindro de arcomprimido para a medio da temperatura do reservatrio TR, conformemostrado na figura 1a.

O tubo de ensaio vai ser lentamente aquecido a partir de umatemperatura inicial, que a temperatura ambiente. Antes de aquecer aglicerina mea a altura h da glicerina no tubo de ensaio. Em seguida, posicione o termopar aproximadamente no nvel mdio de altura daglicerina conforme esquematizado na figura 1b. Inicie o processo deaquecimento com o auxlio de uma chama, aproximando e afastando achama do tubo de ensaio. Quando o sistema atingir temperaturas da ordemde 112oC insira o tubo de ensaio no cilindro com ar comprimido, tomando ocuidado de no encostar o tubo de ensaio nas laterais e no fundo do cilindro.

Observe a diminuio de temperatura e quando o termopar registrar 110oC,dispare o cronmetro para iniciar a tomada de dados.


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A fim de tomarmos medidas mais precisas, conveniente anotarmosintervalos regulares de temperatura, por exemplo, marcando variaes de 5oC na temperatura da glicerina. Para isso, um dos componentes da equipeobserva o cronmetro e d um aviso ao companheiro a cada decrscimo de

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o

C na temperatura. O companheiro ento anota o tempo correspondente aodecrscimo na temperatura. A tomada de dados deve prosseguir at que atemperatura da glicerina seja aproximadamente 5 oC superior a temperaturaambiente.

4. Anlise de dadosOrganize os dados de temperatura e tempo numa tabela. No se

esquea que a equao (1) descreve a diferena entre a temperatura da

glicerina e a temperatura do reservatrio a cada instante de tempo t.Faa um grfico da temperatura em funo do tempo utilizando um

papel milimetrado. Qual a forma da curva formada pelos pontosexperimentais ?

Isso confirma a descrio terica feita atravs da equao (1)?

Conforme voc j deve ter percebido, o papel milimetrado bastanteapropriado quando desejamos fazer grficos de funes que so lineares.Para outras funes, entretanto, no conseguimos extrair muitas

informaes quando o utilizamos. Isso decorrncia de nossa dificuldadeem trabalhar com funes que no so lineares. Dessa forma, uma maneirade linearizarmos um conjunto de dados consiste em utilizar escalaslogartmicas ao invs de escalas lineares. Para esse propsito, foram criadospapeis grficos especiais nos quais uma (ou ambas) as escalas graduadalogaritmicamente. A escala logartmica construda de tal forma quequando uma quantidadex marcada nessa escala o comprimento (distnciaem relao origem do eixo) proporcional log(x). Os papis grficosque apresentam uma escala logartmica so chamados de monolog. Aqueles

que possuem as duas escalas logartmicas so denominados papeis dilog.Para uma descrio detalhada sobre a utilizao dos papis monolog

e dilog, consulte a Apostila I do curso na pg. 37.

Faa um grfico de T em funo do tempo utilizando um papelmonolog.

Qual o formato da curva agora? Quantos regimes de decaimento hno resfriamento da glicerina?

A partir dos dados no papel monolog, verifique que a constante dedecaimento simplesmente o inverso do coeficiente angular da curva


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graficada acima. Determine a constante de decaimento . Compare com ovalor do tempo caracterstico obtido pelas outras equipes.

A partir do grfico final feito para a glicerina, obtenha os temposnecessrios para que a temperatura da glicerina atinja as seguintes

temperaturas: 65 oC, 44,5 oC e 31,3 oC.

Questo:

A taxa de decaimento da ocorrncia de uma certa doena descritapela equao

0( ) ktN t N e= Na tabela abaixo, temos alguns valores do nmero de ocorrncias da

doena em funo do nmero de anos.

t

(anos) 1,1 2 4,7 5,5 6,7

N(t) 50 33 10 7 4

Determine os parmetrosNO e k.

5. Referncias:1. J. C. Sartorelli, Y. Hosoume e E. M. Yoshimura, Rev. Bras. Ens. de Fis.,

21, 116 (1999).

2. Introduo as Medidas em Fsica, Notas de Aula, Instituto de Fsica daUSP (2004).


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Experincia VIII (aula 13)Cordas vibrantes

1. ObjetivosEssa experincia tem como objetivo estudar o efeito de ressonncia

em um fio tensionado e, a partir desse estudo, determinar uma expressoemprica que estabelea uma conexo entre as freqncias de ressonnciadesse sistema com todos os parmetros relevantes ao experimento.

2. IntroduoEm muitas situaes do cotidiano, a explicao de um fenmeno

experimental pode ser muito complexa do ponto de vista terico. Apesardisso importante poder prever o efeito causado por esse fenmeno. Nessescasos, costuma-se determinar frmulas empricas que possibilitem apreviso de uma grandeza fsica quando o objeto estudado encontra-se emalguma configurao pr-estabelecida. Nesse contexto, uma frmula

emprica no pode ser considerada uma explicao fsica do fenmenoestudado, mas apenas uma ferramenta de previso para esse fenmeno.

Quando se quer determinar uma expresso emprica para umadeterminada grandeza deve-se, a partir da observao, estabelecer quaisparmetros influenciam a grandeza estudada. Uma vez estabelecida a listade parmetros, estuda-se, atravs de medidas, a dependncia da grandezafsica com cada um desses parmetros, mantendo-se todos os outros fixos.Em seguida, todos os dados obtidos so analisados com o intuito de extrairuma expresso que permita prever o valor da grandeza estudada para um

determinado conjunto de parmetros.


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Nesta experincia, realizaremos o estudo do fenmeno de ressonnciade um fio tensionado com o objetivo de obter uma expresso que relacioneas freqncias de ressonncia observadas com os parmetros doexperimento.

Quando um fio tensionado posto a vibrar, dependendo dafreqncia de vibrao utilizada, o fio pode entrar em um estado deressonncia, na qual a amplitude da vibrao torna-se bastante elevada. Asfreqncias nas quais a ressonncia observada dependem de vrios parmetros do fio. Esse o efeito que permite, por exemplo, que vriosinstrumentos musicais funcionem, como o violo, piano, etc. No caso doviolo, em geral de seis cordas, cada corda vibra em uma freqncia deressonncia bem estabelecida (notas musicais). Para gerar as diferentesnotas, cada corda possui caractersticas fsicas diferentes, como o material

que construda, espessura, etc. Alm disso, outros fatores, como ocomprimento da corda e a tenso aplicada mesma (afinao doinstrumento) influencia a freqncia de ressonncia. Assim, para obter umaexpresso que possibilite prever a freqncia de ressonncia de uma cordadeve-se estudar como a freqncia varia com cada um desses parmetros.

A hiptese mais simples para uma frmula emprica consiste emsupor que a dependncia de uma grandeza (y) com um determinadoparmetro (x) se d atravs da expresso:

b

y Ax= onde A e b so constantes. Outras formas (exponencial, logartmica,trigonomtrica, etc) podem ocorrer. Contudo, somente a observao eanlise das medidas efetuadas nos permitem fazer uma escolha maisadequada.

No nosso exemplo do violo, os parmetros que podem influenciar afreqncia de vibrao do fio so: o comprimento (L), a tenso aplicada ()e as suas caractersticas de construo. No ltimo caso, podemos

representar essas caractersticas de construo atravs da densidade lineardo fio (), sendo /M L= , com M sendo a massa do fio. Assim, umaprimeira aproximao para uma expresso que correlacione a freqncia deressonncia com esses parmetros pode ser escrita como:

f AL T = ,

OndeA, , e so constantes.

Quando observamos um fio de violo, percebemos que, devido a sua

construo, outras freqncias alm da freqncia natural de ressonncia, podem ser obtidas. Devido ao fato da corda estar presa em ambas as


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extremidades, alm da freqncia natural, freqncias de meio tom tambmso possveis de ser obtidas. Na figura 1.1 mostrado um esquema davibrao de uma corda cujo comprimento bem determinado, presa emambas as extremidades. O modo mais simples de vibrao aquele no qual

a corda se movimenta totalmente em fase. Costuma-se denominar essafreqncia de freqncia natural de vibrao. Um segundo modo devibrao, no qual podemos dividir a corda ao meio e que cada metade semovimenta em oposio de fase tambm possvel, pois a corda permanecefixa em suas extremidades e assim sucessivamente, conforme mostra afigura 2.1. Cada um desses modos representado por um nmero,correspondente ao nmero de ventres (mximos de vibrao) observados.Assim, o primeiro modo de vibrao possui n = 1, o segundo, n = 2 e assimindefinidamente. Com base nesses argumentos de se esperar que afreqncia de vibrao de um fio tambm dependa do modo de vibraoobservado. Assim, a frmula emprica para as freqncias de ressonnciapode ser escrita como:

f Cn L T = ,

onde , , e so constantes que podem ser extradas dos dadosexperimentais.

O objetivo desse experimento estudar o fenmeno de ressonnciaem um fio tensionado e verificar se a suposio acima para a dependncia

da freqncia com os parmetros experimentais vlida e, caso seja,determinar o valor das constantes na expresso acima.

n

L

= 1

= 2

n

L

= 2

=

n

L

= 3

= 2 /3

L

ventre

n

Figura 2.1. Modos normais de vibrao de um fio de comprimento

L.


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3. Arranjo experimentalO Arranjo experimental utilizado para o estudo da ressonncia de um

fio est esquematizado no figura 3.1. Nesse arranjo, um fio de nylon presoa um suporte e tensionado atravs de um sistema de polia. A tenso no fio controlada atravs da massa acoplada a esse sistema.

Um alto-falante acoplado ao fio, prximo a uma das suasextremidades. Este alto-falante excitado por meio de um gerador de ondasharmnicas senoidais cuja freqncia pode ser controlada peloexperimentador.

O experimento consiste em selecionar diversos fios de densidadeslineares e comprimentos diferentes, mont-los no arranjo experimental etension-los. Em seguida, o gerador de udio tem sua freqncia ajustada de

modo a observar os modos normais de vibrao desse fio.

Figura 2.1. Arranjo experimental utilizado para estudar o fenmenode ressonncia de um fio tensionado.

Devem-se tomar os dados necessrios para avaliar a dependncia dasfreqncias de ressonncia com cada um dos parmetros envolvidos noexperimento (modo de vibrao, densidade linear do fio, tenso aplicada aofio e comprimento). Sendo assim, a tomada e anlise de dados est dividida

em 4 partes, cada uma delas relacionada a uma das grandezas queinfluenciam as freqncias de vibrao do fio.

3.1. Tomada de dados

Parte 1. Estudo da dependncia da freqncia (f) com o modo devibrao (n)

Selecione um determinado fio de nylon de comprimento L (o maior

comprimento possvel, de modo a aproveitar o fio para as medidasseguintes), monte-o no arranjo experimental e aplique uma tenso que deve


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permanecer fixa durante a tomada de dados. No se esquea de anotar essesparmetros (densidade linear do fio, comprimento e tenso aplicada).

Com o gerador de udio, ajuste a freqncia do mesmo de modo aobservar o modo fundamental de ressonncia (n = 1, ou seja, observa-se

apenas um ventre). Essa freqncia observada quando a amplitude deoscilao do fio mxima. Leia e anote o valor para a freqncia deressonncia para esse modo de vibrao no gerador de udio (no esquea aincerteza).

Repita o procedimento acima para modos de vibrao de maiorordem (n = 2, 3, 4, ...) para o maior nmero possvel de modos. Note que aamplitude de oscilao diminui com o aumento do nmero de ventresobservados de modo que modos muito elevados (n = 5, 6, 7, ...) podem serdifceis ou impossveis de observar.

Organize todos os dados obtidos em uma tabela que estabelea adependncia da freqncia de ressonncia (f) com o modo de vibrao (n)

Parte 2. Estudo da dependncia da freqncia (f) com a tensoaplicada ao fio (T)

Utilizando o fio da tomada de dados anterior, ajuste a freqncia dogerador de udio para observar o segundo modo de vibrao (n = 2). Leia e

anote o valor para a freqncia de ressonncia para esse modo de vibraono gerador de udio e para a tenso (T) aplicada ao fio (no esquea aincerteza).

Repita a medida acima alterando apenas a tenso que aplicada aofio. Para isso, deposite ou retire os lastros presos ao sistema de polia doarranjo experimental. No se esquea de medir a massa que est sendoutilizada para tensionar o fio. Repita esse processo para 6-8 tensesdiferentes e organize os dados em uma tabela que estabelea a relao entrea freqncia do segundo modo de vibrao do fio com a tenso aplicada ao

mesmo.Deve-se tomar o cuidado de no selecionar valores de massa muito

prximos entre uma medida e outra, pois nesse caso a anlise grfica torna-se difcil de ser realizada. Variaes de aproximadamente 50 g entre umamedida e outra fornecem dados satisfatrios.

Parte 3. Estudo da dependncia da freqncia (f) com ocomprimento do fio (L)

Utilizando o fio da tomada de dados anterior, com os mesmosparmetros utilizados na parte I da tomada de dados, ajuste a freqncia do


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gerador de udio para observar o segundo modo de vibrao (n = 2). Leia eanote o valor para a freqncia de ressonncia para esse modo de vibraono gerador de udio e para o comprimento (L) do fio utilizado (no esqueaa incerteza).

Repita o procedimento acima, reduzindo o comprimento do fio. Meaa freqncia de ressonncia do segundo modo de vibrao para esse novocomprimento (no esquea de anotar o comprimento e sua incerteza).Repita esse procedimento, variando o comprimento do fio deaproximadamente 10 cm entre uma medida e outra. Organize os dados emuma tabela de tal forma a correlacionar a freqncia de vibrao com ocomprimento utilizado para o fio.

Parte 4. Estudo da dependncia da freqncia (f) com a densidadelinear () do fioO estudo da dependncia da freqncia de ressonncia com a

densidade linear do fio necessita a troca do fio utilizado entre uma medida eoutra. Deve-se tomar o cuidado de reproduzir todos os outros parmetros(L, T e n), dentro das incertezas experimentais, de tal modo que o nicoparmetro varivel seja a densidade linear ().

Mea a freqncia do segundo modo de vibrao (n = 2) para cadaum dos fios disponveis no laboratrio. Organize os dados em uma tabela de

tal forma a correlacionar a freqncia de vibrao com a densidade lineardo fio.

4. Anlise dos dadosA nossa suposio inicial para a determinao de uma expresso

emprica para as freqncias de ressonncia de um fio tensionado tal que afreqncia de ressonncia pode ser escrita como:

f Cn L T

= ,onde , , e so constantes que podem ser extradas dos dadosexperimentais.

Faa, inicialmente, uma anlise dimensional da expresso acima e,com base nessa anlise, determine os valores para as constantes acima. possvel obter todos os valores a partir de uma anlise dimensional daexpresso acima?

Agora vamos determinar o valor das constantes da expresso acima a

partir dos dados experimentais. Caso a expresso acima seja representativa


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do fenmeno de ressonncia em um fio, temos que, variando apenas um dosparmetros a dependncia da freqncia de ressonncia com esse parmetro uma expresso da forma:

a f K x= ,

onde K uma constante que depende de como os outros parmetros foramfixados, x o parmetro que est sendo variado (n, L, T ou ) e a aconstante relacionada a esse parmetro (, , ou ). Nesse caso, fazendo-se um grfico da freqncia de ressonncia como funo deste parmetroem um papel di-log, obtm-se uma reta cuja inclinao a constante a. Faaum grfico di-log para cada um dos conjuntos de dados obtidosanteriormente. Esses grficos so, de fato, compatveis com retas? Obtenha,a partir dos grficos obtidos, valores experimentais para as constantes , ,

e . Os valores experimentais so compatveis com aqueles extrados a partir da anlise dimensional realizada com a expresso emprica para afreqncia de ressonncia? Compare tambm com os valores tericosesperados, conforme descrito no Apndice desse captulo. Como voc poderia obter a constante de proporcionalidade (C) da frmula emprica?Discuta os resultados?

5. Apndice: modos normais de oscilao de um fio

tensionadoTexto baseado na apostila de laboratrio do curso de

Fsica Experimental II para Engenharia

Quando aplicamos a segunda lei de Newton a trechos de um fio queest tensionado e executando uma oscilao transversal, chegamos a umaequao diferencial da forma:

2 2

2 2 21( , ) ( , ) 0y x t y x t

x v t

=

que corresponde equao de uma onda com velocidade de propagao v.(x, y) so as posies, no espao, de um ponto do fio que, quando emrepouso, est contido no eixo x (y = 0). A oscilao se d na direo y,transversal ao eixo x e t corresponde ao tempo. A associao da equaoacima com a de propagao de uma onda no imediata. Esse fato pode serpercebido empiricamente, quando damos um chacoalho no fio e fazemospulsos caminharem pelo fio tensionado. A demonstrao terica fica maisclara quando vemos que uma funo qualquer dada por ( , ) ( )y x t f x vt =

uma soluo da equao acima. Nesse caso, para t fixo temos uma formabem estabelecida para o fio em funo dex e, caso deixemos o tempo fluir,


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essa forma viaja no sentido de x, com velocidade v. A direo dedeslocamento dada pelo sinal positivo ou negativo na expresso x vt .

No caso particular de um fio tensionado de comprimentoL e fixo emambas as extremidades, no qual aplicamos uma perturbao transversal ao

fio e peridica, observamos o fenmeno de ressonncia toda vez que afreqncia da perturbao externa for igual a uma dasfreqncias prpriasdo fio tensionado.

Para determinar quais so as freqncias de ressonncia dessearranjo, devemos recordar a correspondncia entre a freqncia de oscilao(f) de uma onda qualquer com o seu comprimento de onda (). Essacorrespondncia depende da velocidade de propagao da onda e dadapor:

vf=

A determinao dos possveis comprimentos de onda pode serrealizada com argumentos puramente geomtricos. Na figura 1.1 somostrados alguns modos possveis de vibrao. Como o fio est preso emambas as extremidades, somente modos cujos comprimentos de ondasatisfazem essa condio so possveis. Esses modos so classificados deacordo com o nmero de ventres observados. Modos com apenas 1 ventre possui modo n = 1 e assim sucessivamente. Da figura 1.1 pode-se extrair

que o comprimento de onda est relacionado ao modo de vibrao, bemcomo ao comprimento do fio, segundo a expresso:

2n

L

n = , com n = 1, 2, 3, 4 ...

Nesse caso, o ndice n em n representa o modo de vibrao observado.

Para um fio fixo e de comprimento L, as freqncias naturais devibrao podem ser escritas atravs da expresso:

2nnv

fL

= , com n = 1, 2, 3, 4 ...

A velocidade de propagao da onda no fio depende das suaspropriedades e da tenso longitudinal aplicada ao mesmo (maiores detalhespara a determinao da velocidade pode ser obtida na referncia 1). Para umfio cuja densidade linear vale ( /M L= , sendo M a massa do fio) esujeito a uma tenso longitudinal T a velocidade de propagao de umaonda por esse fio vale:


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Tv

=

Desse modo, as freqncias naturais de vibrao de um fio

tensionado so dadas por:

2nn T

fL

= , com n = 1, 2, 3, 4 ...

5. Referncias[1] H. Moyss Nussenzveig, Curso de Fsica Bsica, vol. 2,

Editora Edgard Blcher ltda.

apostila física fap 2

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