apostila física exp

5/14/2018 Apostila F sica Exp - slidepdf.com

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Física Experimental I

Marcelo A Pereira-da-Silva

1

1



SUMARIO

Parte 1 – Noções teóricas

Sistemas de medidas 4

Movimento em uma dimensão 6

Movimento em duas e três dimensões 9

Leis de Newton e aplicações 11

Trabalho e potencia 14

Energia e conservação da energia 16

Momento linear, colisões e impulso 18

Parte 2 – Trabalhos

Bibliografias 20

Medidas físicas, erro e propagação de erro 21

Vetores 23

Matemática essencial para sobrevivência em Física 1 29

Parte 3 – Experimentos

Trilho de ar 33

Queda livre 34

Pendulo simples 35

Lei de Hoook 36

Composição e decomposição de forças 37

Atrito estático e cinético 38

Lançamento obliquo 39

Movimento circular 40

2

2



Parte 4 – Listas de exercícios

Sistemas de Medidas 41

Movimento em uma dimensão 42

Movimento em duas dimensões 43


Conservação da Energia 48

Conservação do momento linear 51

Rotação e momento angular 53

Parte 5 - Exercícios sugeridos

Movimento 55


Trabalho, potencia e energia 62

Momento Linear 67

Rotação e Momento Angular 69

3

3



Sistemas de Medidas

Algarismos signif icativos

3353448275,3

32,2

2,8

cm

g

cm

g

volume

massa Densidade ===

O valor da massa tem dois algarismos

significativos e o valor do volume tem três

algarismos significativos. Os zeros à esquerd

e à direita não são considerados algarismos

significativos

3353,3

32,2

2,8

cm

g

cm

g

volume

massa Densidade ===

Deve-se usar um algarismo além do valor com o

menor numero de algarismos significativos. Nesse

caso a massa é o valor com o menor numero de

algarismos significativos, ou seja 2, assim devemos

usar 3 algarismos. Neste curso usaremos esta

orientação.

35,3cm

g Densidade =

De uma maneira mais rigorosa deve-se usar apenas o numero de

algarismos do valor de menor numero de algarismos significativos.

Unidades físicas básicasUnidades Sistema Internacional de SI (MKS) Símbolo (SI) Grandeza Dimensão

Kilograma kg Massa “mass” (M)

Metro m Comprimento “length” (L)

Segundo s Tempo “time” (T)

Unidades físicas deri vadas Unidades Sistema Internacional de SI (MKS) Símbolo (SI) Grandeza composta Dimensão

Velocidade m/s m/s (L/T)

Aceleração m/s2

m/s2

(L/T2)

Força (N) kg m/s2

= Newton (ML/T2)

Trabalho (j) N m = joule (ML2/T

2)

Energia (j) N m = joule (ML2/T2)Potência (W) j/s = watt (ML

2/T

3)

Potências de 10Prefixo Símbolo Fator

4

4



Múltiplos e submúltiploskilômetro (km) = 1000 m centímetro (cm) = 0,01 m milímetro (mm) = 0,001 m

kilograma (kg) = 1000 gramas (g)

1 hora = 60 minutos = 3600 s

1 km/h = 0,278 m/s 1 m/s = 3,597 km/h

Unidades fora do sistema int ernacional (SI )1 milha = 1609 m 1 pé = 30,49cm 1 polegada = 2,54 cm 1 jarda = 0,914m

A massa de uma libra é de 0,4535 kg

1 libra = 4,448 N 1 kg pesa cerca de 2,205 libras

ALFABETO GREGO

Nome Maiúsculo Minúsculo Nome Maiúsculo Minúsculo

Alfa Α α Ni Ν ν

Beta Β β Ksi Ξ ξ

Gama Γ γ Ómikron Ο ο

Delta ∆ δ Pi Π π

Épsilon Ε ε Ro Ρ ρ

Zeta (Zíta) Ζ ζ Sigma Σ σ ου ϕ

Eta (Íta) Η η Tau Τ τ

Teta (Thita) Θ θ Ípsilon Υ υ

Iota Ι ι Fi Φ φ

Kapa Κ κ Chi (Rí) Χ χ

Lambda Λ λ Psi Ψ ψ

Mi Μ µ Ômega Ω ω

5

5



Movimento em uma dimensão M o v im e n t o em u m a d im e n sã oPosição

Indica a localização de um corpo em um dado instante

x posição em um dado instante

1 x posição inicial do corpo

2 x posição final do corpo

Deslocamento

É a medida, em linha reta, entre a posição inicial e final.

x∆

Deslocamento de um corpo medido em linha reta12 x x x −=∆

Distancia percorri da

É a medida da distancia percorrida entre a posição inicial e final.

s∆ Distancia percorrida por um corpo12 sss −=∆

Tempo decorr idoIndica o tempo decorrido entre o instante inicial e final da trajetória

t Tempo em um dado instante

1t Tempo inicial considerado

2t Tempo final considerado

t ∆ Tempo decorridoi f t t t −=∆

Velocidade MédiaDefinida como o deslocamento dividido pelo tempo decorrido ou o espaço

percorrido dividido pelo tempo decorrido.

mediav Velocidade média

t

x

t t

x xvmedia

∆

∆=

−

−=

12

12

Velocidade instant âneaÉ a velocidade em um dado instante

v Velocidade instantânea

dt

dx

t

x

t v =

∆

∆

→∆=

0

lim

1v Velocidade inicial

2v Velocidade final

v∆ Variação da velocidade12 vvv −=∆

6

6



mediav Velocidade média

2

12 vvvmedia

+=

Aceleração Médi aÉ definida como a taxa de variação da velocidade

médiaa Aceleração média

t

v

t t

vvamedia

∆

∆=

−

−=

12

12

Aceleração I nstant âneaa Aceleração

2

2

0

lim

dt

xd

dt

dv

t

v

t a ==

∆

∆

→∆=

Mov im en to com ace leração cons tan t eEquações do Movim ent o

t v x med =

at vv += 0

2

02

1at t v x +=

axvv 22

0

2+=

Queda livre Lançamento Vert ical

O movimento de queda livre é considerado um

movimento em uma dimensão com aceleraçãoconstante e igual a g = 9,81 m/s

2.

Dado que a aceleração da gravidade é constante, a

posição e velocidade de um lançamento vertical pode sercalculado a partir das equacoes do movimento.

at vv += 0

2

02

1at t v x +=

at vv += 0

2

02

1at t v x +=

7

7



Gráficos em fun ção do t empo

8

8



Movimento em duas e três dimensões Ve t o res

Vetor PosiçãoIndica a localização de um corpo em um dado instante

r posição em um dado instante

k z j yi xr

rrr

r

++=

1r posição inicial do corpo

k z j yi xr r

rrr

1111++=

2r posição final do corpo

k z j yi xr r

rrr

2222++=

Vetor DeslocamentoÉ a distancia entre os pontos inicial e final

r r

∆ Deslocamento de um corpo medido em linha reta12r r r rrr

−=∆

Tempo decorr idoIndica o tempo decorrido entre o instante inicial e final da trajetória

t Tempo em um dado instante

1t Tempo inicial considerado

2t Tempo final considerado

t ∆ Tempo decorridoi f t t t −=∆

Vetor Velocidade MédiaDefinida como o deslocamento dividido pelo tempo decorrido ou o espaço

percorrido dividido pelo tempo decorrido.

mediavr

Velocidade média

t

r

t t

r r vmedia

∆

∆=

−

−=

rrr

r

12

12

1vr

Velocidade inicial

2vr

Velocidade final

vr

∆ Variação da velocidade

12vvvrrr

−=∆

9

9



mediav

Velocidade média

2

12vv

vmedia

rr

r +=

Vet or Velocidade instant âneaÉ a velocidade em um dado instante

vr

Velocidade instantânea

dt

r d

t

r

t v

rr

r

=∆

∆

→∆=

0

lim

Vetor Aceleração MédiaÉ efinida como a taxa de variação da velocidaded

médiaar

Aceleração média

t

v

t t

vvamedia

∆

∆=

−

−=

rrr

r

12

12

Vetor Aceleração I nstant ânea

ar

Aceleração2

2

0

lim

dt

r d

dt

vd

t

v

t a

rrr

r

==∆

∆

→∆=

Mov im en t o com ace leraç ão c ons t an t eEquações do Movim ent o

t vr med

rr

=

t avvrrr

+=0

2

0

2

1t at vr rrr

+=

r avvrrrr

22

0

2+=

Lanç amen t o Ob l i quoEquações gerais

10

10



Leis de Newt on e aplicações Força

Força é uma interação capaz de causar uma aceleração em um corpo

Prim eira Lei de Newt on

Considere um corpo no qual não existe nenhuma forca atuando. Se o corpo estiver em repouso,

ele permanecerá em repouso. Se o corpo estiver em movimento com velocidade constante, ele

continuara com velocidade constante.

Segunda lei de Newt on

ΣF = ma

ΣFx = max ΣFy = may ΣFz = maz

A massa de um corpo é uma característica que relaciona a forca atuando sobre um corpo com a

aceleração resultante desta forca.

Terceira Lei de Newt on

As forças atuam aos pares. Se um corpo A exerce uma forca FAB sobre um corpo B, o corpo B

exercerá uma forca FBA sobre o corpo A de mesmo módulo e direção, porem em sentido oposto.

FAB = - FBA

As forcas de ação e reação atuam sempre em corpos diferentes e nunca se cancelam.

Força Peso

O peso de um corpo é uma força que empurra o corpo diretamente em direção a um corpo

astronômico mais próximo; no nosso dia a dia o corpo astronômico é a Terra. Esta força é devida

a uma atração chamada atração gravitacional entre os dois corpos.

P = mg

Aqui P é a força peso, m a massa do corpo e g a aceleração da gravidade (g = 9,81m/s2)

Força Norm alQuando um corpo está pressionado sobre uma superfície, o corpo experimenta uma forca que é

perpendicular à superfície. A força é chamada de forca normal N, sendo que este nome vem do

termo matemático normal que significa perpendicular.

TensãoQuando uma corda é presa a um corpo e puxada, a corda é dita estar sob tensão. A corda puxa o

corpo com uma força T, cuja direção é a partir do corpo e ao longo da corda a partindo do ponto

de engasgamento.

Atri to

Quando tentamos puxar (ou empurrar) um objeto que está parado sobre uma superfície com uma força F, o objeto

não desliza devido a uma força de resistência que a superfície faz sobre o objeto. Esta força é tanto maior quanto

maior é a força que fazemos para fazer deslizar o objeto até logo antes do momento em que ele inicia o movimento.Esta força de resistência que a superfície faz sobre o objeto é chamada de força de atrito estático f E.

Quando a força F aplicada ao objeto atinge um valor capaz de colocar o objeto em movimento, a

força de resistência que a superfície faz sobre objeto diminui e adquire um valor

aproximadamente constante. A essa força que a superfície faz sobre o objeto enquanto este está

em movimento chamamos força de atrito cinética fC.

11

11



Propriedade 1 – Se o corpo não se movimenta a força de atrito estática fs será igual e oposta à

força aplicada F.

Propriedade 2 - A magnitude de fE tem um valor máximo que é dado por

fE = µE.NOnde µs é chamado de coeficiente de atrito estático.

Propriedade 3 – quando o corpo começa a deslizar ao longo da superfície o tamanho da força de

atrito cai rapidamente para um valor fC dado por

fC = µC.N

Onde µC é chamado de coeficiente de atrito cinético.

Força de arrast oUm fluido é algo que pode fluir, em geral um gás ou um liquido. Quando existe um movimento

relativo entre um corpo e um fluido o corpo experimenta uma força na direção da velocidade do

fluido à qual chamamos força de arrasto que é dada por

D=1/2 C ρ A v2

Onde C é o coeficiente de arrasto, ρ é a densidade do fluido, A é a área efetiva em contato com o

fluido e v é a velocidade relativa entre o corpo e o fluido.

Quando um corpo cai em queda livre no ar, ele estará submetido á força peso, e a força de

arrasto irá aumentar com o aumento da sua velocidade durante a queda. Assim o corpo atingirá

uma velocidade onde a força de arrasto será igual a força da gravidade e o corpo passará a cair

com velocidade cons

tante. Essa velocidade é chamada de velocidade terminal e é dada por

vt=(2mg/CρA)1/2

objeto Velocidade terminal (m/s) 95% da Distancia (m)

esquiador 60 430

Bola de tenis 31 115

Bola de basquete 20 47

Bola de ping pong 9 10

Gota de agua 7 6

paraquedista 5 3

Movimento circular uniform e

Quando um corpo está em movimento circular uniforme dizemos que ele possui

uma aceleração centrípeta dada por

ac= v2/r

Onde v é a velocidade tangencial do corpo e r é o raio da órbita do corpo.

Essa aceleração centrípeta é causada por uma força centrípeta (Fc) que atua

sobre o corpo e é direcionada para o centro do corpo, e, aplicando a segunda leide Newton temos

Fc = ma = mv2/r

12

12



Alguns casos t ípicos de aplicação das leis de New t on

13

13



Trabalho e Potência

TrabalhoRefere-se a uma atividade envolvendo força e movimento na direção da força.

Trabalho é realizado sobre um objeto quando uma força atua sobre um corpo nadireção do movimento ou tem uma componente na direção do movimento.

d F W ⋅=

dF W ⋅= θ cos

Traba lho com o p r odu t o esca l ar

dF d F W ⋅=•= θ cos

rr

Trabal ho i nex i s t en t e

T raba lho : i n t e rp r e t ação g r á f i ca e f o rça va r i áve l

W = F xm m xF W ⋅=

W = ½ K xm 2

F

2

2

1

m xK W ⋅=

∫=m x

Fdxw0

∫ ⋅=m x

dxF W 0

14

14



Genera l i zação da equação do t r aba lho

PotênciaPotencia pode ser definido como a taxa de realização de trabalho ou a taxa de

utilização de energia.

Po t enc i a m éd i a

med med vF t

xF

tempo

trabalhoP ⋅=

⋅== θ

θ cos

cos

Po t enc i a i ns t an t ânea

vF P ⋅= θ cos

vF Pr

r

•=

15

15



Energia e Conservação da Energia

EnergiaÉ a capacidade de realizar trabalho. Deve-se ter energia para se conseguir realizar trabalho.

Energia cinét ica (Ec)Energia cinética é a energia do movimento. A energia cinética de um objeto é a energia que o

objeto possui devido ao seu movimento.

2

2

1mv E c =

Energia potencial (Ep)Energia potencial é a energia que resulta da posição ou configuração. Um objeto deverá ter a

capacidade de realizar trabalho como resultado da sua posição num campo gravitacional, num

campo magnético ou num campo elétrico. Um objeto deve ter energia potencial elástica como

resultado do esticamento de uma mola ou outra deformação elástica.

Energ i a po t enc ia l g rav i t ac iona l ( Epg)

Energia potencial gravitacional é a energia que um objeto possui devido a sua posição no campo

gravitacional. O uso mais comum da energia potencial gravitacional é para objetos próximos à

superfície da terra onde a aceleração da gravidade é g = 9,81m/s2.

mgh E pg =

Energ ia po t enc ia l e lás t i ca (Epe)Energia potencial elástica é a energia potencial armazenada como resultado da deformação de um

objeto elástico como o esticamento ou compressão de uma mola.

2

2

1

kx E pe =

Sendo x o valor da deformacao e k a constante de mola

Ug = 0hEPE = ½ K x

2

EPE = ½ K x2

EPE = 0

Um = 0

Um = ½ K x2

16

16



Energia mecânica (E) A energia mecânica é a soma das energias potencial e cinética.

pc E E E +=

Conservação da energ ia mecânica.Nos sistemas onde nãohá dissipação deenergia a energiamecânica se conserva.

i f E E = pei pgiic pef pgf f c E E E E E E ++=++

Energia dissipada no atr it o

A energia dissipada durante o atrito entre dois objetos serátransformada em calor, assim a força de atrito multiplicada pelo espaçoonde ela atua dará a variação da energia térmica perdida devido aoatrito.

termica E s f ∆=∆

Principio do t rabalho/ energia cinéti ca A mudança de energia cinética de um objeto é igual aotrabalho feito sobre o objeto. K mvmvw i f ∆=−=

2

1

2

1

Equação geral para resolução de prob lemas de energia/ t rabalho

s f E w ∆+∆=

17

17



Momento Linear, Colisões e Impulso Momento Linear

vm p .=

Conservação do mom ento linearO momento linear de um sistema isolado é constante

Antes Depois f pi prr

=

f f ii vmvmvmvm 22112211

rrrr

+=+

Conservação da energia cinética – revisando

2

22

2

11

2

22

2

112

1

2

1

2

1

2

1 f f ii vmvmvmvm

rrrr

+=+

Colisões elásti casColisões elásticas são aquelas nas quais a energia cinética é conservada e o momento

linear é conservado.Exemplo : Colisões elásticas com uma das massas inicialmente em repouso

Momento linear é constante

f f i vmvmvm221111

rrr

+=

Energia cinética é constante

2

22

2

11

2

112

1

2

1

2

1 f f i vmvmvm

rrr

+=

m v momento linear = massa x velocidadep = m x v

18

18



Colisões inelásti casColisões inelásticas são aquelas nas quais parte da energia cinética é trocada por outra

forma de energia durante a colisão, no entanto o momento linear se conserva.

Exemplo : Colisões inelásticas com uma das massas inicialmente em repouso

Momento linear é constante

f i vmmvm22111

)(rr

+=

Energia cinética varia

21

1

mm

m

Ki

Kf

+

=

21

2

mm

m

Ki

Kf Ki

+

=−

Relação entr e momento linear e forçaA força externa que atua sobre um objeto pode ser avaliada como a taxa de mudança do

momento linear com o tempo no caso da massa ser constante.

dt

dpF =

Supondo um sistema qualquer, ou seja onde tanto a velocidade quanto a massa possam

variar, como por exemplo em um foguete, teremos:

dt

vdm

dt

mdvF +=

ImpulsoO impulso é o produto da força pelo tempo durante o qual esta força é exercida

mdvdpFdt I dpFdt dt

dpF ===⇒=⇒=

dpFdt I ==

Colisão perfeit amente f ront al

21 mm =

21 mm ≠

i f vmmmmv

1121()21(

+

−= i f v

mmmv

1

1

221(

2+

=

19

19



Trabalho 1

` Pesquisar duas biografias de físicosseguindo tabela abaixo.

Biografia 1 - A primeira biografia será deum físico definido de acordo com a seguinteequação: Y = 0,023248 X - 1,348057

Sendo X o numero formado por quatroalgarismos correspondentes ao dia e mês doaniversario.Exemplo: 25 de agosto = 2508 Y = 0,023248 x 2508 - 1,348057 Y = 58,3059Por aproximação obtém-se 58, assim, otrabalho será sobre o físico ROENTGEN,Wilhelm Konrad.

Biografia 2 – Aqueles com números de 1 a35 farão a biografia de Isaac NEWTON e de36 a 71 farão a biografia de Galileu GALILEI.

Cada biografia deve ser escritaem caneta azul ou preta e conterapenas duas páginas.

01 AMPÈRE, André Marie02 ARISTARCO03 ARISTÓTELES04 ARQUIMEDES05 BECQUEREL, Antoine Henri

06 BELL, Alexander Graham07 BERNOULLI, Daniel08 BOHR, Niels Henrik David09 BORN, Max10 BOYLE, Robert11 BRAHE, Tycho12 BROGLIE, Louis de13 CARNOT, Nicolas Léonard Sadi14 CAVENDISH, Henry15 CELSIUS, Anders16 CHARLES, Jacques A. César17 COPÉRNICO, Nicolau18 COULOMB, Charles Augustin de19 CURIE, Pierre e Marie20 DESCARTES, René21 DOPPLER, Christian Johann22 EDISON, Thomas Alva23 EINSTEIN, Albert24 FAHRENHEIT, Gabriel Daniel25 FARADAY, Michael26 FIZEAU, Armand Hyppolyte Louis27 FOUCAULT, Jean Bernard Léon28 FRANKLIN, Benjamin29 GALILEI, Galileu30 GALVANI, Luigi

31 GAUSS, Carl Friedrich32 GILBERT, William33 GUERICKE, Otto von34 GUTENBERG, Johannes35 HEISENBERG, Werner Karl36 HERTZ, Heinrich Rudolf 37 HIPARCO38 HOOKE, Robert39 HUYGENS, Christiaan40 JOULE, James Prescott41 KELVIN, Lord (William Thomson)42 KEPLER. Johann43 LANDAU, Lev Davidovich44 LORENTZ, Hendrik Antoon45 MARCONI, Guglielmo46 MAXWELL, James Clerk 47 MICHELSON, Albert Abraham48 MILLIKAN, Robert Andrews49 MORSE, Samuel Finley Breese50 NEWTON, Isaac

51 OERSTED, Hans Christian52 OHM, Georg Simon53 PASCAL, Blaise54 PITÁGORAS55 PLANCK, Max K. E. Ludwig56 PLATÃO57 PTOLOMEU, Cláudio58 ROENTGEN, Wilhelm Konrad59 RUTHERFORD, Ernest60 SCHRÖDINGER, Erwin61 SNELL, Willebrord van Roijen62 STEVIN, Simon

63 TALES64 TESLA, Nikola65 THOMSON, Joseph John66 TORRICELLI, Evangelista67 VAN DE GRAAFF, Robert Jemison68 VINCI, Leonardo da69 VOLTA, Alessandro Giuseppe70 WATT, James71 YOUNG, Thomas

20

20



TRABALHO 2 – Medidas e Erros

Grandezas físicas e suas medidas

1. Objetivos :Desenvolver as idéias de grandezas físicas, medidas eerros de medidas.

2. Material necessário:Calculadora.

3. Pré - requisitos:Conceitos sobre medidas, grandezas e erros:

Medida de uma grandeza :

x x λ =

o den

x = grandeza física

λ = valor numérico da grandeza

x = unidade ou padrão da grandeza física.

Exemplo: ht 5,0=∆

t ∆ = grandeza física

5,0 = valor numérico da grandeza

h = horas, unidade da grandeza física.

Medida direta : é a medida obtida através da leitura de

sua magnitude pelo uso de um instrumento.Exemplo: tempo, massa, comprimento.

Medidas indiretas : é o resultado da aplicação de umarelação matemática que vincula a grandeza com outrasmedidas diretas.Exemplo: A velocidade media de um carro que percorreuuma distancia x∆ em um intervalo de tempo . Teremost ∆

t

xv

∆

∆=∆

Erros em medidas diretas.

E ro absoluto: O resultado da medida de uma grandeza

é geralmente indicado da seguinte forma:

r

x x x x ∆±= *

Onde

* x é o valor médio de uma serie de medidas e

x∆ é o erro ou incerteza o qual é chamado de erro

absoluto.

Erro relativo: Esse erro absoluto não é suficientecaracterizar a precisão da medida.Por exemplo ao medirmos uma barra metálica que pcomprimento m L 1= o observador comete um err

mm L 2±=∆ . No entanto ao medir uma dista

km L 1= usando um equipamento sofisticado comemesmo erro mm L 2±=∆ . Chamamos de erro relat

relação matemática

L

L∆ .

Assim no primeiro caso o erro relativo

%2,0002,01000

2

1

2====

∆

mm

mm

m

mm

L

L

e no segundo caso o erro relativo

%0002,0000002,01000000

2

1000

2

1

2=====

∆

mm

mm

m

mm

km

mm

L

L

Dizemos que a precisão no segundo caso é maior dono primeiro caso. Assim definimos erro relativo a re

matemática

x

x∆

Valor Médio . Considere agora que vamos medgrandeza varias vezes, ou seja, x N vezes. A

tomamos as medidas N x x x ,...,, 21

para calcular o

médio de ou seja x x :

N

x

x

N

ii∑

== 1

Desvio . Chamamos desvio de uma medida a diferenç x xd ii −=

Desvio médio absoluto. Chamamos de desvio mabsoluto a relação aritmética:

N

d

d

N

ii∑

== 1

Desvio padrão. Chamamos de desvio padrão a rearitmética:

)1(

)(1

2

−

−

=

∑=

N

x x

s

N

ii

Medida da grandeza . A medida da grandeza

dada da seguinte forma x

d x x ±= ou s x x ±=

21

21



Erros em medidas indiretas: propagação de erros.

Os erros das medidas indiretas são calculados a partir deuma operação matemática entre outras grandezasmedidas diretamente e seus respectivos erros. Utiliza-seas seguintes regras de propagação de erros onde c e n

são constantes quaisquer ee é o algarismo neperiano e

vale ....718,2=e Adição:

( ) ( ) ( ) ( y x y x y y x x ) z z ∆+∆±+=∆±+∆±=∆±

Subtração:

( ) ( ) ( ) ( ) y x y x y y x x z z ∆+∆±−=∆±−∆±=∆±

Multiplicação:

( ) ( ) ( ) ( ) x y y x y x y y x x z z ∆⋅+∆⋅±⋅=∆±⋅∆±=∆±

Multiplicação por uma constante:

( ) xc xc x xc z z ∆⋅±⋅=∆±=∆±

Potencia:

( ) x xn x x x z z nnn ∆⋅⋅±=∆±=∆± −1 Divisão:

( ) x y y x y y

x

y y

x x z z ∆⋅+∆⋅±=

∆±

∆±=∆±

2

1

Logaritmo:

x x

e x x x z z c

cc ∆⋅±=∆±=∆±log

log)(log

Exponencial:

xcccc z z x x x x∆⋅⋅±==∆±

∆± ln

TRABALHO 2

Fazer os seguintes exercícios:

1 – Calcular o valor médio e o desvio padrão para uma das medidas cujos resultados foram tabelabaixo. Justifique o resultado.

a) L(cm)90,3 - 89,9 - 90,1 - 89,7

b) t(s)0,87– 0,89 – 0,89 – 0,82 – 0,83 – 0,84

2 – Considere Z uma grandeza que depende grandezas A e B.

a) para A = 25 ± 1 calcular:Z = A2.

b) para A = 100 ± 3 e B = 45 ± 2 calcularZ = A – 2B

c) para A = 0,100 ± 0,003 – B =1,00 ± 0,05

B

A Z =

d) para A =10,00± 0,06 e B = 100 ± 2 calcular:Z = A lnB

22

22



Trabalho 3 - VETORES

Vetores – Parte A

Vet ores são quantidades que tem t amanho edireção.Esta deve ser a primeira vez que você encontra

o conceito de vetor. Vetores são um conceito

central no estudo da física. Já que deve ser

algo novo pra você, não tente relacioná-lo a

idéias que você já conhece. Isso poderá

complicar o entendimento.

Em pouco tempo você vai descobrir esta

definição. Você vai entender que vetores são

itens que tem duas partes. Vamos primeiro

assegurar que entendemos o significado da

palavra quantidade.

A quant idade é alguma coisa que você medeQuando medimos alguma coisa, como o tempo

que você leva para ler este parágrafo,

podemos escrever a medida como um numero

seguido de uma unidade. Por exemplo, leva 30

segundo para ler este parágrafo. t=30s.

Normalmente nós diremos, o período de tempo

foi de 30 s. Ou diremos passaram-se 30

segundos. Por enquanto, vamos dizer que aquantidade de tempo tem um tamanho de 30s.

Algumas quantidades tem apenas tamanho.No exemplo acima o período de tempo pode ser

completamente explicado e expresso usando

apenas um numero, 30 s. Aquele numero

representa o tamanho do tempo, e, como

quantidade, tudo o que o tempo tem é um

tamanho. Uma outra quantidade que só tem

tamanho é a temperaturao de um cômodo no

qual você está. Dizemos que a tempertura é de

24 graus Celciul. A quantidade de massa,

também, tem apenas um tamanho. Podemos

dizer que a massa de um livro é de 1,2 kg.

Definiremos completamente a quantidade de

massa com apenas um número, 1,2 kg.

Quantidades como estas, que tem apenas

tamanho, são chamadas escalares. Nem todas

as quantidades são iguais a esta. Algumas têm

mais do que o tamanho; algumas quantidades

têm direção. Quantidades com ambos, tamanho

e direção, são chamadas vetores.

Algumas quant idades t em ambos, tamanho edireção.Vamos dar uma olhada no conceito de

velocidade como é usado em física. Velocidade

pode ser medida. É uma quantidade que pode

ser escrita. No entanto, no estudo da física

podemos dizer que a expressão seguinte não

explica completamente nem expressa uma

velocidade: v=25m/s. Lemos a expressão

acima: a velocidade é igual a 25 metros por

segundo. O tamanho da velocidade deve ser de

25 m/s. Esta idéia não é o bastante. Isso revela

que velocidade tem mais do que apenas umtamanho. Velocidade tem também direção. Por

exemplo, uma expressão que expressaria a

velocidade corretamente seria: a velocidade é

de 25 metros por segundo em direção ao norte

Note que duas coisas são necessárias para para

estabelecer uma velocidade, ou seja, tamanho

ou seja, 25 metros Poe segundo, e direção

norte. Agora, é assim que falamos de

velocidade quanto estudamos física. O tamanho

da velocidade é chamado de módulo da

velocidade. Assim, diremos que velocidade écomposta de um módulo e uma

direção.Quantidades como esta que tem

tamanho e direção, são chamadas vetores.

Direção significa algo relacionado com Norte,Sul, Leste e Oeste.Quando dizemos que uma quantidade tem

direção, pensamos uma direção como aquela

indicada por uma bússola. A velocidade de uma

bola arremessada, significa a direção na qual a

bola está se movendo. Não é o mesmo que

dizemos quando falamos, o tempo estapassando, nem quando dizemos, a temperatura

esta subindo. Nem o tempo sem a temperatura

estão apontados para o Norte, Sul, Leste nem

Oeste, nem qualquer outra direção da bússola.

O tamanho de um vetor é um numero e adireção também .Bem, não deve ser difícil de entender que o

tamanho da velocidade, ou seja, 25 metros por

segundo, é um numero. A direção, também, é

23



descrita com um numero. No exemplo anterior

nós estabelecemos a direção como norte.

Quase sempre direções são um pouco mais

complicadas. Em geral direções são indicadas

usando termos como: “A direção é 4 graus

Norte, para o Leste”. Assim, uma descrição

completa da velocidade seria escrita como: “A

velocidade é 38m/s na direção de 52 grausOeste, para o Norte”. É importante entender

que um vetor tem duas partes; uma parte é o

tamanho e a outra parte é a direção. Ambas as

partes podem serr expressas com números.

Vetores são simbol izados por setasExiste um caminho para desenhar vetores. Eles

são desenhados, ou simbolizados com setas.

Uma seta é um símbolo perfeito para um vetor.

Uma seta tem tamanho, seu comprimento, e

uma direção, a direção na qual ela esta

apontando. Assim, para desenhar um vetor nós

necessitamos apenas de desenhar uma seta.

Não é difícil de entender que uma seta pode ter

qualquer direção e qualquer tamanho. Pode,

portanto, representar a velocidade de uma

pessoa sobre uma bicicleta, se movimentando

em qualquer direção e com qualquer

velocidade. O comprimento de uma seta é o

tamanho da seta.. É o comprimento da seta que

representa o tamanho do vetor. Se nós estamos

falando de um vetor velocidade, então o

comprimento da seta representa o tamanho davelocidade. O tamanho da velocidade é

chamado de velocidade escalar. A direção para

onde a seta esta apontando representa a

direção do vetor. Para um vetor velocidade

usado para descrever o movimento de um

objeto, ele representara a direção na qual o

objeto estava se movendo. A ponta da seta é

chamada de cabeça do vetor. O outro lado é

chamado de calda do vetor.

A direção de um vetor é freqüentemente ditaem t ermos de Nort e, Sul, Lest e e Oeste.Agora, se você tem alguma duvida com relação

as referencias Nordeste, etc, que são usadas

para descrever a direção de um vetor, vamos

esclarecer isso agora. Primeiro, imagina um

sistema de coordenadas x,y. Imagine que a

direção positiva de y a qual esta apontada para

cima, é Norte e que a direção negativa de y é a

direção sul. Imagine que para a direita, ou no

sentido positivo de x seja a direção leste e que

para a esquerda, ou na direção negativa de x

seja oeste. Imagine a calda do vetor na origemdo sistema de coordenadas. Se o vetor repousa

ao diretamente ao longo de um dos eixos então

qual direção o vetor esta apontando. Se ele

repousa entre dois eixos, que será quase

sempre o caso, a sua direção é dita usando os

dois eixos entre os quais ele repousa. Por

exemplo, um vetor apontando para a esquerda

subindo um pouco acima do eixo x estará mais

para leste, mas subindo em direção ao norte

Dizemos que esse vetor esta direcionado algunsgraus para nordeste.

Diferença ent re escalares e vetores.Se uma quantidade tem apenas tamanho ela é

dita escalar. Tempo e temperatura são

exemplos de escalares. Massa é também um

exemplo de um escalar. Se uma quantidade tem

tamanho e direção, ela é chamada um vetor e

pode ser simbolizado, ou desenhado, como uma

seta. Velocidade é um exemplo de vetor.

Diferença entre velocidade e velocidadeescalar.Tecnicamente, velocidade escalar tem apenastamanho. A velocidade escalar é o tamanho davelocidade. Velocidade escalar é um estalar. . Nosdevemos dizer que o objeto viajou a umavelocidade escalar de 8 metros por segundo. Noteque nos não sabemos em qual direção ele esta semovendo. Velocidade, desde que ela é um vetor,tem um tamanho e uma direção. Assim uma

velocidade é composta de uma velocidade escalar euma direção. Devemos dizer: “Os objetos estãomovendo a uma velocidade escalar de 7 metros porsegundo em uma direção de 30 graus sudeste” Issopode parecer um pouco confuso a principio, umavez que freqüentemente nas conversas velocidadee velocidade escalar são usadas indistintamentePortanto em uma discusao de física é importantesaber esta diferença e estar atento a sua aplicação.

Diferença entre distancia e deslocamento.

Distancia é um escalar. Tem apenas um tamanho

É o tamanho do deslocamento. Nós devemos dizer “a distancia viajada por um objeto foi 45 metros”Note que nós não sabemos a direção na qual oobjeto se movimentou. Deslocamento é um vetorcom tamanho e direção. Nós devemos dizer “oobjeto deslocou 30 metros em uma direção 50graus sudeste”. Nós sabemos a que distancia oobjeto se movimentou e em que direção ele semoveu.

Outros exemplos de vetores.

Vetores são um conceito central no estudo d

física, logo você terá contato com quantidadesvetoriais. Alem de deslocamento e velocidade,outros exemplos de vetores incluem aceleração,

24



ao diretamente ao longo de um dos eixos, entãof it i l t lét i

Vetores – Parte B

Vetor é um conceito matemático amplamenteusado para representar fenômenos físicos.

Introdução

Conceitos matemáticos são muitas vezes ligados afenômenos físicos, para adequada representaçãodos mesmos. Grandezas como temperatura,potência e outras são completamente definidas porum único valor numérico. Tais grandezas sãodenominadas escalares, porque, na forma gráfica,podem visualizadas como um ponto em umaescala, conforme Fig 1 A. Outras, como velocidade,força, etc, precisam também de uma direção egraficamente são representadas por um segmentode reta com seta. São chamadas grandezasvetoriais. Portanto, o vetor define corretamente agrandeza através do seu comprimento e do ânguloque faz com uma referência, conforme B da figura.

NotaçãoNesta página, vetores são simbolizados por umcaractere alfabético, maiúsculo ou minúsculo, emnegrito. Exemplos: vetor a, vetor B, vetor v, etc.O comprimento do vetor é também chamado valorabsoluto ou módulo do mesmo e simbolizadopelo caractere sem negrito. Assim, para o vetor v, v

= | v |. Algumas vezes, os vetores são designadospor letras ou números nas suas extremidades.Exemplo: MN da Fig 1 do item anterior. O ponto Mé a origem do vetor.I gualdade e oposição Dois ou mais vetores sãoiguais se têm idênticos módulos e sentidos. Assim,eles estarão em segmentos de reta paralelos,podendo ser coincidentes ou não. Na Fig 2, a = b.Dois vetores são opostos se têm o mesmo móduloe sentidos opostos. De forma similar, estarão emsegmentos de retas paralelos, coincidentes ou não.

A oposição é marcada por sinal negativo, c = -d.Notar que esses conceitos de igualdade e oposiçãode vetores podem não ser suficientes para definircertos fenômenos físicos. Às vezes, é necessária aindicação dos pontos de origem Exemplo: suponha

nenhuma efeito é observado. Se estiveremdeslocados conforme figura, há um esforço derotação (momento) sobre o corpo, tanto maiorquanto maior a distância entre eles. Se vetores têmo mesmo comprimento, os módulos são idênticos,independente da direção. Assim, na Fig 2,| a | = | b | = | c | = | d |.

A diferença de direção é condição suficiente para adesigualdade, independente do módulo. Portantob ≠ c apesar de | b | = | c |.

Multiplicação por um escalar A multiplicação ou divisão por um escalar resultavetores em segmentos de reta paralelos, na mesmalinha ou não, com módulos e sentidos alteradospelo multiplicador ou divisor. Exemplos conformeFigura 3.

Vetor unit ário é um vetor de módulo igual a umaunidade de referência no sistema em que setrabalha. Se u é um vetor unitário, então um vetorgenérico a é dado pora = | a | u = au.

Soma e subtr ação de vetor esPara somar graficamente dois vetores a e bconforme 1 da Fig 4, leva-se a origem de umcoincidir com o final do outro e a origem e o finarestantes será o vetor representativo da somavetorial dos mesmos (2 da figura). O módulo dasoma não é necessariamente igual à soma dosmódulos.

Se | a + b | = | a | + | b |,a e b têm a mesma direção.Para a subtração, considere na Fig 5 os mesmosvetores a e b da figura anterior. Conforme 1, faz-sea coincidência das origens e as outras extremidadesrestantes forma o vetor da diferença.

Alternativamente, pode ser feita como em 2 dafigura: faz-se a soma a + (-b).De forma similar à adição, o módulo da diferençanão é necessariamente igual à diferença dosmódulos.Se | a - b | = | a | - | b |,

a e b têm a mesma direção.Um outro método para a determinação gráfica dasoma é a regra do paralelogramo, indicada em 1

25



indicação dos pontos de origem Exemplo: suponha g p g ,

espaço, pode ser usada a similar regra doparalelepípedo, conforme 2 da mesma figura.

Propriedades da soma e da mu lt ipli cação por

escalar:A + b = b + a

(m + n) a = ma + na

M (na) = (mn)a

A + (b + c ) = (a + b) + c

m (a + b) = ma + mb

Coordenadas de um vet orConsiderando as regras da soma vetorial, se aorigem de um sistema de coordenadas xy coincidecom a origem do vetor, pode-se verificar que estevetor é igual à soma dos vetores formados por suasprojeções em cada eixo. Assim, na Fig 7,A = Ax + Ay.Ou seja, os vetores Ax e Ay são os componentes do vetor no sistema de coordenadas. Se u é umvetor unitário no sistema e chamando oscomponentes de u, ux = i e uy = j , temos:A = Ax i + Ay j .E os escalares Ax e Ay são as coordenadas dovetor no sistema.Para um vetor no espaço conforme Figura 8, pode-se escrever de forma similar (considerando uz = k):

A = Ax i + Ay j + Az k .Para simplificar a notação, muitas vezes é usada aformaaXa, Y a, Za.Exemplos a2,3,0, b-1,12,8, etc.

Módulo do vetorO módulo do vetor pode ser dado por suascoordenadas:

222aaa Z Y X a ++=

Condição de paralelismo: se os vetores a e bsão paralelos, as suas coordenadas sãoproporcionais Xb /Xa = Y b /Y a = Zb /Za = c.Se o coeficiente de proporcionalidade c é positivo,

eles têm a mesma direção. Se negativo, eles sãoopostos (obs: se um dos coeficientes de a é nulo,fica subentendido que o correspondente de btambém é nulo).Soma de vetores: se vetores são somados, oresultado tem as somas das coordenadas. Exemploseja c = a + b.Então, Xc = Xa + Xb, Y c = Y a + Y b e Zc = Za + Zb.Multiplicação ou divisão por um escalar : ascoordenadas do resultado têm a multiplicação oudivisão pelo escalar.Exemplo: seja c = ma.Então, Xc = mXa, Y c = mY a e Zc = mZa.

Produto escalarO produto escalar dos vetores a e b é definidocomo o produto dos seus módulos multiplicado peloco-seno do ângulo entre eles (notação ab ou a.b).Conforme Fig 9,ab = |a| |b| cos α.Notar que é a projeção algébrica de b sobre a,multiplicada pelo módulo de a ou vice-versa

Se dois vetores fazem um ângulo reto entre si, oproduto escalar dos mesmos é nulo.Algumas propr iedades do produ to escalar:ab = ba (a + b)c = ac + bc (ma)b = m (ab)(ma)(nb) = (mn) ab .No caso particular

aa = |a|2,ele tem a denominação quadrado escalar dovetor a.

26



vetor a.

Produt o escalar em termos de coordenadas:Sejam os vetores aXa, Y a, Za e bXb, Y b, Zb. Oproduto escalar é dado por:ab = XaXb + Y a Y b +ZaZb.Ângulo entre dois vetores:

222222.cos

bbbaaa

bababa

Z Y X Z Y X

Z Z Y Y X X

ba

ab

+++++

++==α

Condição de perpendicul aridade:Se a e b são perpendiculares, então ab = 0.E, se ab = 0, a e b são perpendiculares.Signi fi cado físico do produt o escalar:Conforme Fig 10, se um ponto material se deslocade 0 até 1 sob ação de uma força F constante,então o produto escalar de F pelo vetor 01 é otrabalho executado por esta força.

Produt o vetorialSejam, conforme Fig 11, a e b dois vetores nomesmo plano. O produto vetorial dos mesmos,

indicado por , é um vetor tal que:bar

r

×

1) Seu módulo é igual à área do paralelogramo

0123, isto é, α sen⋅⋅=× babar

r

r

r

.

2) A direção é perpendicular ao plano doparalelogramo.

3) O sentido é dado pela regra da mão direita,considerando que a é o multiplicando e b, omultiplicador. A expressão produto vetorial indicaque é realmente um vetor, ao contrário do produtoescalar.

Como o sentido é dado pela regra da mão direita,fica evidente que a ordem dos fatores não éindiferente. Assim, b x a = - (a x b), ou seja, nãohá propriedade comutativa.Algumas propriedades do produto v etorial:

0)( =× aarr

)()( cbcacbar

r

rrr

r

r

×+×=×+

( ) )( bambamr

r

r

r

×=×

( ) )()( bamnbnamr

r

r

r

×=×

Produto vetorial em função dascoordenadas:Sejam ,, aaa Z Y X a =

r

e ,, bbb Z Y X b =

r

Então

k Y X Y X

y Z X Z X i Z Y Z Y ba

abba

baababbar

rr

r

r

)(

)()(

−+

+−+−=×

Signifi cado físico do produto vetorial:Seja, conforme Figura 12, uma força F cujadistância perpendicular até o ponto 0 é dada pelovetor 01. O produto vetorial desses dois vetores dáo momento da força em relação ao ponto 0 (emmecânica, o equilíbrio de um corpo existe se asoma das forças e a soma dos momentos sãonulas. Se todas as forças atuantes estão no mesmoplano ou em planos paralelos, basta considerar osprodutos dos módulos das forças pelas distânciasno cálculo dos momentos. Caso contrário, a

condição de equilíbrio só pode ser verificada comos momentos vetoriais).Obs: este significado físico e o do item anterior sãoapenas exemplos. Não são os únicos aplicáveis.

27



Vetores - Parte C

Exercício: Resolver os testes de 1 a 10.

TRABALHO 3

Justificar a resposta de três testes considerando

o ultimo algarismo do numero de matricula e os

testes anotados na tabela abaixo.

1. Uma grandeza é escalar quando para suadeterminação é suficiente dar:(A) sua intensidade, ou seja, um númeroacompanhado de sua unidade.(B) unidade e direção, num determinado instante.(C) sua direção e sentido.(D) sua intensidade, direção e sentido.

2. Uma grandeza é vetorial quando para sua

determinação é necessário e suficiente conhecer:(A) sua intensidade, ou seja, um númeroacompanhado de sua unidade.(B) sua unidade e direção num determinadoinstante.(C) sua direção e sentido.(D) sua intensidade, direção e sentido.

3. São exemplos de grandezas escalares:(A) massa, área, força e pressão.(B) força, aceleração, velocidade e deslocamento.(C) massa específica, volume, temperatura eenergia.(D) temperatura, peso, deslocamento e velocidade.

4. Num sentido amplo, deve-se entender por vetor:(A) um ente matemático abstrato, definido comoum número (módulo) associado a uma direção e aum sentido.(B) uma semi-reta orientada.(C) um segmento de reta com flechinha numa dasextremidades.(D) todo segmento de reta que indica direção esentido.

5. Dois corpos partem de um mesmo ponto comvelocidade constante de 4 m/s. Logo:(A) suas velocidades são iguais.(B) num mesmo intervalo de tempo, seusdeslocamentos são iguais, em módulo.(C) suas velocidades escalares são diferentes.(D) possuem velocidades de mesmo módulo,mesma direção e sentidos contrários.

6. Dois vetores são iguais quando:(A) são paralelos e possuem mesmo sentido.(B) possuem mesmo módulo e mesma direção.

(C) possuem mesma direção e sentido.(D) são paralelos e possuem mesmo módulo esentido.

7. Dois vetores são ditos simétricos quandotiverem:(A) módulos de sinais contrários.(B) módulos iguais e direções contrárias.(C) o mesmo módulo, a mesma direção e sentidoscontrários.(D) sentidos contrários.

8. Dados os vetores:

Assinale as alternativas falsas:

(A) 1 3V V=

r r

(B) 1 4V V=

r r

(C) 1 4V V= −

r r

(D) 4 1V V=

r r

9. A velocidade escalar (rapidez) de uma partículaP1 é constante e igual a 4 m/s e a velocidadevetorial de uma partícula P2 é constante e demódulo igual a 4 m/s. Então:(A) num mesmo intervalo de tempo, o

deslocamento de P1 é igual ao de P2.(B) P2 efetua um movimento retilíneo uniforme.(C) ambos possuem iguais velocidades.(D) a velocidade de P1 é maior que a de P2.

10. Se 2V =-2V1

r r

, então:

(A) o módulo de 2Vr

é igual à metade do módulo

de 1Vr

.

(B) 1Vr

e 2Vr

são iguais e de sentidos contrários.

(C) 2 1V =2 Vr r

e 1Vr

e possuem sentidoscontrários.

2Vr

(D) suas direções são opostas.

28



Trabalho 4

Matemática essencial para sobrevivência em Física

1 - Notação Cient if ica

As duas expressões importantes em notação cientifica são as seguintes:a) multiplicação

mnmn +=⋅ 101010

b) divisão

mn

m

n−= 10

10

10

Exercícios M01Use notação cientifica para responder os seguintes exercícios:1 – 86.400 =

2 – 9.816.762,5 =3 – 0,0000000398 =4 – (4 x 108) (9 x 109) =

5 – (3 x 107) (6 x 10-12) =

6 -=

⋅

⋅−

−

3

11

105

1075

7 -=

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅ −

)106()102(

)108()103(517

26

2 - ÁlgebraRegras básicas Exemplos

a)

a

b x

a

b

a

axbax =⇒=⇒= 4

8

32

8

8328 =⇒=⇒= x

x x

b)

ab xabaa xba x −=⇒−=−+⇒=+

6282282 =⇒−=−+⇒=+ x x x

c)

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ =⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ ⋅⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

bd

ac

d

c

b

a ⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ =⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ =⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ ⋅⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

636

6

9

3

4

2 x x x

d)

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ =

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

bc

ad

d

cba

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ =⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ =⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

⋅⋅

=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

2

3

12

18

34

92

9

34

2 x x x x

e)

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +

=⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

bd

bcad

d

c

b

a ⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +

=⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +

=⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

⋅⋅+⋅

=⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ +⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

6

23

36

1218

94

4392

9

3

4

2 x x x x

29

29



Exercícios M02Encontre o valor de x nos seguintes exercícios:

1 - ⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

+=

xa

1

1

2 - 1353 =− x

3 - 25 +=− bxax

4 - ⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

+=⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

+ 84

3

62

5

x x

3 - Pot ência

10 = x

x x =1

mnmn x x x

+=⋅ 64242

x x x x ==⋅ +

mn

m

n

x x

x −= 628

2

8

x x x

x== −

nn x x =1

5874,144 33

1

==

( ) mnmn x x ⋅= ( ) 205454

x x x == ⋅

Exercícios M03

1 - =⋅ 3233

2 - =⋅ −85 x x

3 - =−5

10

x

x

4 - =3

1

5

5 - =4

1

60

6 - ( ) =3

4 x

4 - Fator açãoFatoração de fator comum )32(32 y xaayax +=+

Fatoração de quadrado perfeito xy y x y x y x y x 2)()()( 222 ++=+=+⋅+

Fatoração de quadrado perfeito xy y x y x y x y x 2)()()( 222 −+=−=−⋅−

Fatoração diferença de quadrados 22)()( y x y x y x −=−⋅+

30

30



Exercícios M04Encontrar expressões equivalentes às seguintes expressões:

=+ ayax 721

=++ xy y 18936 22

=− 2)35( y x

=−22

169 y x

5 – Equação de segundo grau – Equação quadrát ica0

2 =++ cbxax

acb 42 −=∆

a

b x

2

∆±−=

Exercícios M05Encontre as raízes e desenhe os gráficos das seguintes equações

1 -032

2

=−+ x x

2 - 0252 2 =+− x x

3 - 0942 2 =−− x x

6 – Equação de prim eiro g rau – Equação linearbmx y +=

Coeficiente angular ou inclinação θ tan12

12 =−−

= x x

y yca

Exercícios M061 – Desenhe gráficos das seguintes equações:

a) 35 += x yb) 42 +−= x y

c) 63 −−= x y

2 – Encontre o coeficiente angular das linhas descritas no exercício 13 - Encontre o coeficiente angular das linhas que passam pelos seguintes pontos

a) (0,-4) e (4,2) b) (0,0) e (2,-5) c) (-5,2) e (4,-2)

7 - Sistemas de Equações Lineares85 −=+ y x

422 =− y x Exercícios M07Resolva os seguintes sistemas de equações lineares

a) 8=+ y x 2=− y x

b) aT 1098 =− aT 549=−

c) 626 =+ y x 248 =− y x

31

31



8 – Trigonomet ria no t riangulo retânguloRelações importantes

c

b

hipotenusa

opostocateto==

/ senθ

c

a

hipotenusa

adjacentecateto==

/ cosθ

a

b

adjacentecateto

opostocateto==

/

/ tanθ

Expressões importantes

222bac +=

1cossen 22 =+ θ θ

θ θ arcsensen1 =−

θ θ arccoscos

1

=

−

θ θ arctantan1 =−

Exercícios M081 - Na figura ao lado identifique:

a) o lado oposto a θ b) o lado oposto a φ c)

cosθ d) senφ e) tanφ

2 – Em um certo triangulo retângulo os dois lados perpendiculares um ao outro medem 5 m e 7

m. Qual o valor do outro lado.3 – Em um triangulo retângulo cuja hipotenusa mede 3m, e um dos ângulos mede 30 graus, qualé o valor do ângulo oposto ao ângulo de 30 graus e qual é o valor do ângulo adjacente ao ângulo

de 30 graus.

9 – Triangulo qualquer

Lei dos cossenos

C babac cos2222 ⋅⋅⋅−+=

Abcbca cos2222 ⋅⋅⋅−+=

Bcacab cos2222 ⋅⋅⋅−+=

Lei dos senos

C

c

B

b

A

a

sensensen

==

32

32



Experimento 1

Trilho de ar

1. Teoria e Objetivos GeraisApresentar as equações do movimento e da energia.

CINEMATICA t v x med = at vv +=0 2

0

2

1at t v x += axvv 2

2

0

2

+= 2

i f

med

vvv

+

=

ENERGIA C PE PG M E E E E ++= mgh E PG = 2

2

1Kx E PE = 2

2

1mv E C =

2. Material NecessárioTrilho de ar completo com cronômetro digital.

3. Montagem:O Trilho de ar deve estar em condições de operação. Experimente-o sempre com o fluxo de ar ligado. Descubra comfuncionam os sensores acoplados ao cronômetro digital.

4. Roteiro das Atividades com o trilho na posiçao horizontal4.1. Anote as posições dos sensores 1, 2, 3, 4 e 5 e o deslocamento entre cada posição.

4.2. Construa uma tabela de posições, deslocamentos, intervalos de tempo e velocidade.4.3. Faça o disparo do carro 5 vezes anotando os intervalos de tempo, calcule a médiae anote na tabela.4.4. Calcule a velocidade media em cada intervalo e complete a tabela.4.5. Considerando que no tempo t = 0 o carro esteja na posição do sensor 1 faça um gráfico de posição versus tempo.4.6. Faça um gráfico de velocidade versus tempo.4.7. A partir do gráfico de posição versus tempo determine a velocidade do carro usando a inclinação do gráfico.

5. Roteiro das Atividades com o trilho inclinado ascendente.5.1. Anote as posições dos sensores 1, 2, 3, 4 e 5 e o deslocamento entre cada posição.5.2. Construa uma tabela de posições, deslocamentos, intervalos de tempo e velocidade.5.3. Faça o disparo do carro 5 vezes anotando os intervalos de tempo, calcule a médiae anote na tabela.

5.4. Calcule a velocidade media em cada intervalo e complete a tabela.5.5. Considerando que no tempo t = 0 o carro esteja na posição do sensor 1 faça um gráfico de posição versus tempo.5.6. Faça um gráfico de velocidade versus tempo.5.7. A partir do gráfico de velocidade versus tempo determine a aceleração do carro usando a inclinação do gráfico.

6. Roteiro das Atividades com o trilho inclinado descendente. 6.1. Anote as posições dos sensores 1, 2, 3, 4 e 5 e o deslocamento entre cada posição.6.2. Construa uma tabela de posições, deslocamentos, intervalos de tempo e velocidade.6.3. Faça o disparo do carro 5 vezes anotando os intervalos de tempo, calcule a médiae anote na tabela.6.4. Calcule a velocidade media em cada intervalo e complete a tabela.6.5. Considerando que no tempo t = 0 o carro esteja na posição do sensor 1 faça um gráfico de posição versus tempo.6.6. Faça um gráfico de velocidade versus tempo.6.7. A partir do gráfico de velocidade versus tempo determine a aceleração do carro usando a inclinação do gráfico.

7. Verificando as expressões da cinemática.Utilize os resultados com trilhos ascendente e descendente para verificar a validade das expressões da cinemática.

8. Calculando a variação da energia.Utilize os resultados dos trilhos ascendente e descendente para verificar a variação da energia entre as posições.

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33



Experimento 2

Queda Livre

1. Objetivos GeraisApresentar as equações do movimento de Queda Livre.

t v xmed

= at vv +=0 2

0

2

1at t v x += axvv 2

2

0

2

+=

2. Material NecessárioConjunto completo para queda de corpos com cinco detectores, cronômetro digital e papelmilimetrado.

3. Pré – requisitoConhecimento das equações do MRUA.

4. MontagemO sistema está montado sendo necessários ajustes e o entendimento de seu manejo.

5. Roteiro do experimento5.1. Retenha a bola eletromagneticamente (por no máximo 3 s para evitar queimar o eletro-

ímã) e então solte.5.2. Repita o ensaio 5 vezes. Anote os valores das posições, dos deslocamentos e dos

intervalos de tempo e construa uma tabela com estes valores.5.3. Calcule a velocidade média em cada intervalo e construa uma tabela com estes

valores.5.4. Faça um gráfico de posição versus tempo.5.5. Faça um gráfico de velocidade versus tempo.5.6. Faça um gráfico de posição versus t

2.

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34



Experimento 3

Pêndulo Simples1. Teoria e Objetivos:Definir o conceito de Movimento Periódico.Verificar experimentalmente a Equação do Pêndulo Simples.

g

lT π 2=

2. Material

Um conjunto pendular e um relógio com cronômetro digital.3. Pré – requisitoConceito de um pêndulo simples. Todos os gráficos devem ser feitos em papel milimetrado.4. MontagemVerifique se a montagem apresentada está completa. Nivele o sistema. Verifique se o comprimento do pendulo (pontde suspensão do pêndulo até centro de gravidade do peso, indicado por uma linha) seja 1 m.5. Roteiro das atividades.5.1. Com a massa pendular situada no ponto mais baixo, desloque o Pêndulo de sua posição de equilíbrio de umamplitude aproximada de 10 cm e determine o tempo de uma oscilação completa, ou seja o período de oscilaçã(tempo gasto para ir e voltar ao mesmo ponto).

N

x

x

N

ii∑

== 1

)1(

)(1

2

−

−

=

∑=

N

x x

s

N

ii

5.2. Refaça por 20 vezes esta medida do período, calcule a média e o desvio padrão. Repita este procedimento maiduas vezes. Comente. 5.3. Determine, agora, o intervalo de tempo que o pêndulo leva para executar 20 oscilações completas.Com o dadobtido, calcule o período médio e a variância. Repita este procedimento mais duas vezes. Comente.5.4. Procure justificar o motivo pelo qual se recomenda adotar como Período do Pêndulo Simples o aquele calculadno item 5.3.5.5. Deslocando o Pêndulo de sua posição de equilíbrio, com amplitudes sucessivas de 5, 10, 15, 20 e 25 cm construuma tabela mostrando:

a amplitude A de oscilação (metros - m),o tempo de 5 oscilações (segundos - s),o período de uma oscilação T (segundos - s),a freqüência de oscilação f (hertz - Hz)

e a freqüência angular ω(radianos por segundo – rad/seg).Considera as expressões a seguir:

f T

1=

ω

π 2=T

T f

1=

T

π

ω

2=

π

ω

2= f f ⋅= π ω 2

5.6. A partir dos valores do item 5.5 construa um gráfico do Período versus Amplitude do Pêndulo.5.7 Usando duas massas diferentes meça o tempo de 10 oscilações completas. Construa uma tabela indicando massatempo de 10 oscilações, média e desvio padrão do período de oscilação, freqüência e freqüência angular.5.8. Analisando os dados do item 5.7, o que você pode concluir a respeito do período do pêndulo quando variamos sua massa?5.9. Variando o comprimento (l -[m]) do Pêndulo com 100cm, 80cm, 60cm, 40cm e 20cm construa uma tabeindicando comprimento, período de 10 oscilações e período médio.

5.10. Com os dados obtidos no item 5.9, faça um gráfico do período do pêndulo versus comprimento.

5.11. Sabendo–se que o período do pêndulo é dado pela equaçãog

lT π 2= , verifique a validade da equação acim

usando os valores encontrados no item 5.9.5.12. Use o Pêndulo de teto, meça seu comprimento, use a equação do pêndulo e determine com precisão de até casas depois da vírgula a aceleração da gravidade em São Carlos. Repita o experimento 2 vezes. Mostre os cálculopara encontrar g.

35

35



Experimento 4

Lei de Hooke

1. Teoria e ObjetivosApresentar a Lei de Hooke. Interpretar um gráfico de força versus elongação. Verificar a validadeda lei de Hooke.

Lei de Hooke deve ser escrita como: KxF −= Verificar as expressões:

x

F K = 2

ω mK =

2. MaterialSistema de sustentação com escala milimetrada. Conjunto de 4 massas de 50 g.Molas helicoidais. Suportes.

3. Pré - requisitoConceito de força. Todos os gráficos devem ser feitos em papel milimetrado.

4. MontagemObserve a montagem de acordo com instrução do professor.

5. Roteiro das Atividades.5.1. Meça o peso de 1, 2, 3 e 4 massas com o gancho lastro e anote.5.2. Coloque o gancho lastro na mola e acrescentando uma massa por vez, de 1 a 4, anote osresultados de deformação da mola. Construa uma tabela com esses dados.5.3. Usando os resultados da tabela 1, faça o gráfico de F versus x5.4. A partir do gráfico, pode-se afirmar que existe uma relação linear entre a força que provocou aelongação e própria elongação? Calcule o coeficiente angular. O valor desse coeficiente angular échamado constante da mola, k.

Lembre-se que esta força F, que você mediu, é a força com que as massas esticam a mola.

Portanto a força com que a mola equilibra a força F deverá ter a mesma intensidade, mesmadireção e sentido contrário. Por esta razão é que se escreve a lei de Hooke com um sinal negativo,mostrando que ela é uma força de mola de natureza restitutiva isto é, ela procura sempre trazer asmassas para a posição de equilíbrio. Assim a força tem sempre sinal oposto ao deslocamento x.

5.5. Enganche outra mola de mesmo material àquela mola já medida formando duas molas emsérie. Determine a constante elástica K do sistema procedendo da mesma maneira anterior.5.6. Use um suporte móvel para montar um sistema de duas molas iguais em paralelo e determinea constante elástica do conjunto.5.7 Monte uma mola com uma massa. Puxe a massa levemente para baixo e solte o conjunto paraque oscile para cima e para baixo. Meça o tempo de dez oscilações completas. Calcule o período

de uma oscilação T. Calcule a freqüência angular ω . Calcule valor da constante elástica K. Repitao experimento para 2 e 3 massas.

m

k =ω

f T

1=

ω

π 2=T

T f

1=

T

π

ω

2=

π

ω

2= f f ⋅= π ω 2

36

36



Experimento 5

Composição e Decomposição de Forças

1. Teoria e Objetivos :

Definir força, vetor e soma de vetores desenvolver experimentalmente os conceitos de força

resultante.

2. Material necessário:Mesa de forças básica completa.

3. Pré - requisitos:

Conceitos sobre força resultante e métodos teóricos de solução. Os gráficos devem ser feitos em

papel milimetrado.

4. Montagem para Forças Colineares

Calibre o dinamômetro. Determine os pesos dos conjuntos: 1 massa com suporte, 2 massas com

suporte, 3 massas com suporte.

Coloque uma roldana na posição 0° com um conjunto de 1 massa. Meça a força de equilíbrio

com o dinamômetro.

Faça um gráfico de forças considerando que 1N = 4cm

5 - Montagem para a Composição de Forças não Colineares.

Coloque duas roldanas de tal maneira que o ângulo entre elas seja de 120°.

Conecte respectivamente um suporte com duas massas e outro com três massas. Meça a força e

o ângulo de equilíbrio com o dinamômetro.

Faça um gráfico de forças considerando que 1N = 4cm.

6 - Composição de Forças Ortogonais.

Coloque duas roldanas de tal maneira que o ângulo entre elas seja de 90°.

Coloque uma massa em um suporte e duas no outro suporte. Meça a força e o ângulo de

equilíbrio com o dinamômetro.


Considere a força do dinamômetro como FE e verifique a validade da expressão:

FE = (F12+F2

2)1/2

7 - Montagem para Forças Concorrentes Quaisquer (porem diferente de 90o)

Coloque duas roldanas formando um ângulo qualquer.

Coloque duas massas em um suporte e três no outro suporte. Meça a força e o ângulo de

equilíbrio com o dinamômetro.


Considere a força do dinamômetro como FE e verifique a validade da expressão:

FE2= F22 F3

2+ 2 F2 F3 cos α

α é o ângulo interno entre as direções de F2 e F3.

37

37



Experimento 6

Atrito Estático e Cinético

1 Teoria e ObjetivosDefinir atrito e decomposição de forcas no plano inclinado.. Determinar as forças de atrito estático e cinético eo coeficiente de atrito estático máximo.

2 Material NecessárioPlano Inclinado Básico, corpos de prova de madeira, alumínio e latão

3 Montagem

Execute a montagem do plano inclinado.

4. Procedimento4.1. Utilizando um dinamômetro determine o peso do corpo de prova de madeira.4.2. Coloque o corpo de madeira ( com a parte esponjosa para baixo) sobre a rampa, incline-a 20

o. Faça um

diagrama das forças (1 N = 4 cm) que atuam sobre o bloco e justifique porque ele não desce a rampa.4.3. No caso do item 4.2. qual a força de atrito estático?4.4. Com o corpo de madeira (com a parte de madeira para baixo) sobre a rampa, eleve continuamente evagarosamente a rampa até que o corpo de prova comece a deslizar (ângulo de iminência de movimento).Anote o ângulo que ele começou a deslizar. Repita este procedimento por cinco vezes. Ache o ângulo médio .

4.5. Faça um diagrama de forças, considerando agora este ângulo médio. (Escala 1 N = 4 cm). 4.6. Considerando o diagrama de forças feito em 4.5. encontre uma expressão para a força Normal e para aforça de atrito.

4.7.Mostre que o coeficiente de atrito estático é igual a tangente do ângulo de iminência de movimento:µe = tg α

4.8. A partir do ângulo médio α encontrado em 4.4 calcule o coeficiente de atrito estático entre as superfíciesde madeira e a da rampa.4.8. Coloque agora corpos de prova metálicos sobre a rampa (alumínio e latão). Repita todos osprocedimentos feitos para o corpo de prova de madeira e determine o coeficiente de atrito entre as superfíciesde contato.4.9. Descubra o menor ângulo em que ao colocar os objetos (madeira e metal) sobre o plano inclinado osmesmos escorregam. Calcule o coeficiente de atrito cinético:

µc = tg β 4.10. Escolha um ângulo ( θ )de inclinação da rampa para o qual o objeto escorrega imediatamente ao sercolocado dobre a rampa. Escolha uma distancia a ser percorrida pelo objeto e anote o tempo necessário parapercorrer esta distancia. Repita dez vezes este procedimento e calcule a média. Mostre que o coeficiente de

atrito cinético pode ser calculado através da expressão:

2cos

2

t g

xtgc

⋅−=

θ θ µ

.

38

38



1

Experimento 7

Lançamento obliquo

1 – Montagem. - Execute a montagem do conjunto de lançamento obliquo. Garanta que a rampa esteja naposição horizontal. Fixe na mesa uma folha de papel em branco. Marque o ponto zero do lançamento comauxilio de um nível de prumo. Meça a altura “h” do ponto de lançamento até a superfície do papel. Coloquesobre a folha de papel, uma folha de papel carbono.

2 – Obtenção do valor do alcance L. – Escolha 10 posições de lançamento com alturas H diferentes. Solte a esfera a partir da primeira posiçãoescolhida. Cuide para que a esfera bata sobre o papel carbono apenas uma vez para que não haja confusãoao anotar a posição alcançada pela esfera. Observe a posição alcançada pela esfera, marque com um X eanote a posição de lançamento e o numero do lançamento, exemplo: 5a.Meça a distancia “L” entre o ponto alcançado pela esfera e o ponto zero. Repita o lançamento 5 vezes.Calcule a distancia media alcançada. Construa uma tabela onde conste as 10 posições, a altura H da posiçãoe o alcance obtido.

3 – Calculo de v0x usando equações da cinemática. - No lançamento horizontal, o movimento descrito pelocorpo depois de lançado pode ser descrito por dois movimentos independentes, um movimento uniformehorizontal e um movimento uniformemente variado vertical.

Calculo do tempo de descida.Considere:1) ponto de origem vertical o ponto de lançamento2) distancia percorrida em y o valor da altura h3) velocidade vertical inicial no lançamento é igual a zero.Calcule o tempo de descida em função de h e g.

Calculo da velocidade de lançamento horizontal v 0x .

Considere:1) o movimento horizontal é uniforme2) ponto inicial do lançamento o ponto de projeção do prumo.Calcule v0x em função de L, g e h.

4 Construa uma tabela com as 10 posições H de lançamento, o alcance L e a velocidade v0x de lançamento .

5 Faca um gráfico de L em função de v0x .

39

39



Experimento 8

Movimento circular

1. Teoria e Objetivos GeraisApresentar as equações do movimento circular.

RETILINEO MOVIMENTO − t v x x med =−

0 at vv +=0 2

00

2

1 at t v x x +=− xavv ∆+= 22

0

2 2

i f med vvv +=

CIRCULAR MOVIMENTO − t med ω θ θ =−

0 t α ω ω +=0 2

00

2

1t t α ω θ θ +=− θ α ω ω ∆+= 2

2

0

2 2

i f

med

ω ω ω

+=

CIRCULAR MOVIMENTOE LINEAR MOVIMENTOENTRE RELAÇÃO −−−−−− θ r s = ω r v = RT aaa += α r aT = r

r

va R

2

2

ω == nciacircunferedaoCompriment −−

r l π 2= 2. Material NecessárioDisco com acionamento a motor e regulador de voltagem. Cronômetro digital simples.

3. Montagem:O disco deve estar montado e conectado com o motor através de elástico. O acionamento do motor deve estar ligado uma fonte de tensão variável.

4. Roteiro das Atividades4.1. Faça um ponto na circunferência externa do disco PE (ponto externo) e outro ponto a uma distancia de 4,5cm dcentro PI (ponto interno).4.2. Meça o diâmetro do disco.4.3. Ajuste uma tensão na fonte capaz de acionar a rotação do disco.

4.4. Cronometrar o tempo necessário para que o disco realize 1, 2, 3, 4 e 5 voltas. Construa um gráfico t versus θ.

4.5. Calcule a velocidade angular ω inicial e final em cada volta. Construa um gráfico t versus ω.

4.6. Calcule a velocidade angular média ωmed em cada volta.

4.7. Calcule a aceleração angular α em cada volta. Construa um gráfico t versus α.

4.8. Calcule a aceleração angular media αmed das cinco voltas.4.9. Ajuste uma tensão diferente na fonte e repita os itens anteriores.4.10. Calcule o deslocamento linear s para cada um dos pontos PE e PI durante uma volta.4.11. Calcule a velocidade tangencial ao final das voltas 1, 2, 3, 4 e 5 para os pontos PE e PI.4.12. Calcule a aceleração radial aR , a aceleração tangencial aT, e a aceleração a para cada um dos pontos PE e Pao final de cada uma das voltas. Lebre que a soma deve ser vetorial.

40

40



Primeira lista de exercícios - sistemas de medidas

1 Usando a definição 1 milha = 1,61 km calcule o número de quilômetros em 5 milhas.

2 O Concorde é o avião comercial mais veloz do mundo. Ele pode viajar a 1450 mi/h (cerca de duas vezes avelocidade do som, ou Mach 2.

Calcule esta velocidade a) em km/h e b) em m/s.

3 Uma caixa possui volume de 28 cm x 22 cm x 42 cm e está cheia de folhas de papel de 28 cm X 22 cm. Esta caixa

contém aproximadamente 10 mil ou 10 milhões de folhas?

4 Estime a ordem de grandeza do número de palavras de um livro de 100 páginas.

5 Quantos fios de cabelo há em sua cabeça?

6 Quantas pizzas são consumidas durante um ano em São Carlos?

7 Escreva os seguintes dados com prefixos e símbolos:

a) 10.000 metros (b) 1.000.000 watts, (c) 0,002 grama, (d) 3 X 10-6 metros ,(d) 30.000 segundos.

8 Escreva cada dado seguinte sem o auxilio de prefixos:

(a) 40 fW, (b) 4 ns, (c) 3 MW, (d) 25 km.

9 Escreva cada dado seguinte (em unidades que não são SI sem usar qualquer abreviação). Por exemplo, 103

metros= 1 kilômetro. (a) 10-12 grama, (b) 109 passos, (c) 10-6 gota, (d) 10-18 grão (e) 106 fones, (f) 10-9 cabra, (g) 1012

touros.

10 A velocidade do som no ar é de 340 m/ s. Qual a velocidade de um avião supersônico que se desloca com

velocidade igual ao dobro da do som? Dê as respostas em quilômetros por hora e milhas por hora.

11 Complete o seguinte: 100 km/h = milhas/h; 100jardas = metros.

12 Um litro tem 1,057 quartas e um galão, 4 quartas. (a) Quantos litros tem um galão? (b) Um barril tem 42 galões.

Quantos metros cúbicos tem um barril?

13 Um cilindro circular reto tem diâmetro de 6,8 in e altura de 2 ft. Qual o seu volume em (a) pés cúbicos, (b) metros

cúbicos, (c) litros?

14 Mostrar que o produto da massa pela aceleração e pela velocidade tem as dimensões de potência.

15 Escreva como número decimal sem usar a notação de potências de 10:

(a) 3 X 104

(b) 6,2 X 10-3

(c) 4 X 10-6

(d) 2,17 X 105

16 Escreva os seguintes dados em notação científica(a) 3,1 GW = W. (b)10pm= m (c) 2,3 fs = s (d) 4 fJ/s,s = J/s

17 Efetue os seguintes cálculos com o arredondamento no número apropriado de algarismos significativos e escreva o

resultado em notação científica.

(a) (1,14)(9,99 X 104) (b) (2,78 X 10-8) - (5,31 X 10 -9) (c) 12/(4,56 X 10-3)

(d) 27,6 + (5,99 X 102)

18 Efetue os seguintes cálculos, arredonde o resultado com o número apropriado de algarismos significativos e

escreva-o em notação científica. (a) (200,9)(569,3) (b) (0,000000513)(62,3 X 107) (c) 28.401 + (5,78 X 104)

(d) 63,25/(4,17 X 10-3)

19 A membrana de uma célula tem a espessura da ordem de 7 nm. Quantas membranas deveriam ser empilhadas para

se ter uma espessura de 1 in = 2,54 cm?

20 Efetuar os seguintes cálculos, arredondar corretamente o número final e exprimir este resultado em notação

científica. (a) (2,00 X 104)(6,10 X 10

-2)

(b) (3,141592)(4,00 X 105) (c) (2,32 X 103)/(1,16 X 108)(d) (5,14 X 103) + (2,78 X 102) (e) (1,99 X 102) + (9,99 X 10-5)

41

41



Segunda lista de exercícios – movimento em uma dimensão.

1 Você derrapa enquanto esta dirigindo, e seus olhos fecham durante 0,5 segundos durante o derrapamento. Se

você esta dirigindo a 90 Km/h, que distancia o carro irá derrapar durante este tempo?

2 Um objeto tem uma aceleração constante de 3,2 m/s2. Em um certo instante sua velocidade é 10 m/s. Qual foi avelocidade do objeto 5 segundos antes?

3 Um carro aumenta sua velocidade de 20 km/h para 50 km/h em 0,5 minutos. Qual é a aceleração do carro?

4 Para decolar, um avião deve atingir 300 Km/h em uma pista. Qual é a mínima aceleração constante que ele pode

ter para decolar de uma pista de 1,8 Km de comprimento?

5 Em boas condições, os freios de um caro com pneus novos podem desacelerar o carro a 5 m/s2. Se o carro esta

viajando a 25 m/s, quanto tempo ele leva para parar? Que distância ele percorre durante este tempo?

6 Um carro parte do repouso e desce uma ladeira com aceleração constante. Se ele anda 50 m em 10 s, encontre a

aceleração e a velocidade depois de decorrido este tempo.

7 A velocidade de um carro muda de 6 m/s para 20 m/s enquanto percorre 70 m. Qual é a aceleração do carro e

quanto tempo leva para percorrer essa distancia?

8 Uma bola é solta de uma ponde e atinge a água em 5 s. A que velocidade a bola estará quando atingir a água e

qual é a altura da ponte?9 Com que velocidade uma bola deve ser jogada para cima para atingir uma altura máxima de 50 m. Quanto tempo

levará para subir e descer?

10 Você está em uma auto estrada a 140 Km/h. Você vê um carro de policia e você tenta desacelerar o carro

rapidamente. O carro te fornece uma desaceleração de 0,3 m/s2. Quanto tempo vai demorar até a velocidade

atingir 90 Km/h?

11 No instante em que a luz verde do semáforo muda para verde, um carro parte do repouso com uma aceleração

2,2 m/s2. No mesmo instate, um caminhão ultrapassa o carro a uma velocidade constante e igual a 9,5m/s. A que

distancia do semáforo o carro vai ultrapassar o caminhão?

12 Você solta uma pedra de uma ponte, a partir do repouso, e observa que ela atinge o chão 1 s depois. Qual a altura

da ponte?

13 Você arremessa uma pedra para baixo a 5 m/s de cima de uma ponte e observa que ela atinge o chão 1 s mais

tarde. Qual a altura da ponte?

14 Dois trens estão erroneamente diriginto-se um contra o outro. O trem 1 está indo a 72 km/h e o trem 2 a 144km/h. Eles então se percebem e começam a frear quando a distancia entre eles é de 0,95 km. Os freios dos trens

fornecem uma desaceleração de 1 m/s2. Haverá colisão?

15 Você está no alto de um edifício de 20 m de altura, e joga uma bola para cima com velocidade de 5 m/s. No

caminho de descida, a bola acaba caindo fora do prédio em direção ao chão. Quanto tempo a bola demora para

atingir o chão e com que velocidade a bola atinge o chão?

16 Um caminhão parte do repouso e se move com uma aceleração constante de 5 m/s2. Encontre a velocidade e a

distancia percorrida depois de 4 s.

17 Um bloco escorrega em uma rampa com aceleração uniforme. Ele parte do repouso e atinge uma velocidade de

2,7 m/s em 3 s. Qual é a aceleração do bloco, e qual a distancia que ele percorre nos primeiros 6 segundos?

18 Um trem viajando a 30 m/s é desacelerado uniformemente até parar em 44 s. Encontre a aceleração e a distancia

percorrida até parar?

19 Uma bola é jogada para cima e retorna ao ponto de partida em 4 s. Encontre sua velocidade inicial.

20 Um caminhão está se movendo a 21 m/s. O motorista vê um carro bloqueando seu caminho 110 m a frente.Passado o tempo de reflexo, o motorista pisa no freio, o qual imprime uma desaceleração de 3 m/s 2. Qual é o

tempo de reação que o motorista deve ter para parar o carro a tempo de não bater no carro à frente?

42

42



Terceira lista de exercícios – movimento em duas dimensões

1 Uma bola rola com velocidade 0,2 m/s para fora da extremidade de uma mesa de altura0,8 m. Quanto tempo a bola leva para atingir o chão, e a que distancia da extremidade

da mesa a bola atinge o chão?2 Uma bola é chutada para cima a partir do chão fazendo um ângulo de 50 graus com a

horizontal. A velocidade inicial da bola é 40 m/s. Quanto tempo a bola leva para atingir

o chão?

3 Uma bola de canhão é atirada com uma velocidade de 50 m/s. O canhão é apontado

para cima fazendo um ângulo de 30 graus com a horizontal. O chão está nivelado em

qualquer ponto ao redor do canhão. A que distancia do canhão a bola vai cair?

4 Um goleiro de futebol dá um chute em uma bola. A bola sai do pé do goleiro 1 m acima

do chao, fazendo um angulo de 37 graus com a horizontal, com uma velocidade de 20m/s. A que distancia do goleiro a bola vai atingir o chão?

5 Um navio inimigo está ancorado no mar a 560 m de uma ilha onde se localiza a sua

defesa. A velocidade máxima do canhão de defesa da ilha é de 82 m/s. Que ângulo, emrelação a horizontal, o canhão deve ser elevado para atingir o navio inimigo? A que

distancia da ilha o navio deve navegar para ficar fora do alcance do canhão de defesa dailha?

6 Uma pessoa presa na neve, e um avião de resgate quer jogar alguns suprimentos de

emergência. O avião de resgate esta voando a uma altitude de 1200 m a uma velocidadede 180 m/s. A que distancia, antes da pessoa o piloto deve soltar os suprimentos de

emergência, para que eles caiam onde a pessoa se encontra.

7 Você esta jogando handball e chuta uma bola com velocidade 20 m/s a um ângulo de

40 graus acima da horizontal diretamente em direção a uma barreira que esta localizada

a 8 m de distancia. Quanto tempo demora até a bola atingir a barreira? A que distancia

acima da barreira a bola vai passar. Suponha que os jogadores tem a mesma altura.8 Uma bola é chutada para cima com um ângulo de 30 graus com a horizontal e cai no

topo de um edifício que esta a 20 m de distancia. O topo do prédio esta 5 m acima do

ponto de chute. A que velocidade a bola foi chutada?

9 Uma bola de baseball é lançada pelo batedor com velocidade inicial de 25 m/s a um

ângulo de 30 graus com a horizontal. O catador está 150 m à frente do batedor. Qual é a

velocidade mínima que o pegador deve correr para conseguir pegar a bola?

10 Uma bola de baseball é lançada 1,3 m acima do solo, a um ângulo de 45 com a

horizontal, com uma velocidade inicial de 34 m/s. Esta bola poderá ultrapassar uma

barreira de 7,3 m situada a 98m de distancia?

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Quarta lista de exercícios – Leis de Newton e aplicações 1 Uma força age em uma massa de 2 kg e fornece uma aceleração de 3 m/s2. Qual é o tamanho da força que realiza

isso. Que aceleração essa força provocaria em uma massa de 1,5 kg.

2 Um cabo horizontal puxa um carro de 200 kg ao longo de uma pista horizontal. A tensão no cabo é de 500 N.

Supondo que o movimento comece do repouso:

a) quanto tempo vai demorar para o carro atingir a velocidade de 8 m/s?

b) que distancia ele terá percorrido após este tempo?

3 Um carro de 900 kg esta se movimentando a 20 m/s ao longo de uma estrada plana. De quanto deve ser a força de

retardo para parar o carro em uma distancia de 30 m?

4 Uma caixa de 40 kg está deslizando no chão para a direita. A velocidade dela diminui de 5 m/s para 2 m/s em 6 s.

Assumindo que a força sobre a caixa é constante, encontrar o tamanho, a direção e o sentido da força.

5 Um astronauta tem massa 90 kg. Encontre o peso do astronauta na Terra e em Marte. ( em Marte g = 3,8 m/s2. Qual

é a massa dele em cada um dos planetas.

6 Dois blocos estão conectados por uma corda, através de uma polia como mostrado na figura. O bloco sobre a mesa

tem massa m1= 10 kg e o bloco suspenso tem massa m2 = 10 kg. A mesa e a polia não tem atrito. Encontre T, a

tensão na corda de conexão, e a aceleração dos blocos.

7 Um bloco de massa m = 20 kg está pendurado em uma corda conforme mostrado na figura. Se q1 = 45 graus e q2 =

30 graus. Qual o valor das tensões T1, T2 e T3?

8 Um bloco de massa m = 10 kg situa-se no alto de um plano inclinado de ângulo q = 30 graus. O plano inclinado tem

comprimento d = 10 m e não tem atrito. Quanto tempo o bloco demora para atingir a parte inferior do plano?

9 Um bloco de massa m = 20 kg está suspenso em um plano inclinado cujo ângulo é q = 30 graus como mostrado na

figura. Encontre a tensão T na corda, que está segurando o bloco. O plano não tem atrito.

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10 Dois blocos estão pendurados sobre uma polia sem atrito. Uma tem massa m1 = 10 kg e a outratem massa m2 = 15 kg. Qual é a tensão T na corda e qual é a aceleração dos blocos?

11 Dois blocos de massa m1 = 10 kg e um outro de massa m2 = 10 kg estão em um plano inclinado como mostrado na

figura. O ângulo do plano inclinado é q = 30 graus. Encontre a tensão T na corda que os conecta através de uma polia

sem atrito, e a aceleração dos blocos.

12 Dois blocos, um com massa m1 = 10 kg e outro com massa m2 = 10 kg ambos situados em uma superfície inclinada

como mostrado na figura. O ângulo do plano inclinado da esquerda é q1 = 30 graus e o outro plano inclinado é q2 =

40 graus. Encontre a tensão T na corda que conecta os dois blocos através de um polia sem atrito e a aceleração dos

blocos.

13 Uma pessoa quer acelerar um carrinho a 3 m/s2. O carrinho tem uma massa m = 60 kg. A pessoa empurra o carrinho

com um ângulo q = 30 graus. Com que força F, na direção do cabo, ele deve empurrar para fazer isso. Não existe

nenhuma outra força atuando sobre o carrinho.

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14 Você está vendo um carro viajando em uma estrada circular de raio 50 m, cujo perfil é inclinado de um ângulo q =

30 graus. O dia está muito frio e a pista está recoberta por uma camada de gelo que deixa a pista com atrito zero.

Com que velocidade o carro deve viajar para:

a) não escorregar para fora da pista (para o alto e para a esquerda).

b) não escorregar para baixo15 Um cabo de guerra é realizado usando um pneu como centro. Três pessoas estão puxando o pneu. A pessoa 1 exerce

uma forca F1 = 10 N, a pessoa 2 exerce uma força F2 = 23 N. Com que força F3, a um ângulo de q graus a pessoa 3

deve puxar para que o pneu não saia do lugar?

14

16 Um bloco de massa m = 0,4 kg movendo-se inicialmente a 1,2 m/s percorre 0,7 m sobre uma mesa antes de parar.

Qual é o coeficiente de atrito entre a mesa e o bloco?

17 Dois blocos estão conectados por uma corda, através de uma polia como mostrado na figura.. O bloco sobre a mesa

tem massa m1 = 10 kg e o bloco pendurado tem massa m2 = 10 kg. O coeficiente de atrito entre o bloco e a mesa é

m = 0,1. A polia não tem atrito. Encontre T, a tensão na corda de conexão, e a aceleração dos blocos

18 Um bloco de massa m = 10 kg é empurrado para baixo em um plano inclinado com velocidade v0 = 2 m/s. O ângulo

de inclinação é q = 30 graus, e tem um comprimento de d = 10 m e tem coeficiente de atrito m = 0,1. O bloco vai

parar sobre o plano inclinado?

.

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19 Uma moeda está sobre uma peça de madeira. Você levanta a madeira até um ângulo de 32 graus e de repente a

moeda começa cair. Qual é o coeficiente de fricção entre a moeda e a madeira?

20 Dois blocos estão arranjados como mostrado na figura. m1 tem massa de 10 kg. Existe um coeficiente de atrito

estático m1 = 0,1 entre m1 e a mesa onde ele está. A corda diagonal está equilibrada com um ângulo q = 35 graus.

Qual é a máxima massa que m2 deve ter para que m1 não deslize sobre a superfície da mesa?

21 Marcas de derrapagem sobre uma estrada são medidas resultando 50m de comprimento. Se o coeficiente de atrito

entre os pneus e a estrada é m = 0,6, a que velocidade o carro estava indo?

22 Três blocos são conectados com cordas e polias como mostrado na figura. m1 e m3 estão pendurados nas cordas, e

existe um coeficiente de atrito m = 0,2 entre a mesa e a massa m2. A massa m2 é 10 kg. Para este problema, m1 = 9

kg e m3 = 5 kg. Qual é a aceleração dos blocos e a tensão na corda?

23 Um bloco de massa M = 10 kg está livre para deslizar sobre uma superfície sem atrito. Um outro bloco m = 30 kg é

empurrado contra M com força F. O contato entre m e M tem coeficiente de atrito m = 0,25 como mostrado na

figura. Qual deve ser a forca de contato de modo que m não caia?

24 Um bloco de massa m = 10 kg sobre um plano inclinado é

empurrado com um força horizontal P. O coeficiente de

atrito entre o bloco e a superfície inclinada é m = 0,25 e o

ângulo do plano inclinado é q = 300 graus. Qual deve ser o

tamanho da forca P, para que o bloco tenha uma

aceleração de 2 m/s2.

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Quinta lista de exercícios – conservação da energia1 Uma esfera é deixada cair de 10 m acima do chão.A esfera tem uma massa de 2 Kg. Usando conservação de energia, ca

sua velocidade logo antes de bater na terra. Desprezar a resistência do ar.

2 Uma bola de massa m = 5 Kg é colocada a rolar para baixo, a partir do repouso, em uma pista metálica, começando no

A como mostrado na figura. O ponto A esta 15 m acima do chão, e o raio do laço mede R = 3 m. Qual será a velocida

bola nos pontos B, C, D, E e F?

3 Um carrinho de massa m = 10 kg, parte do repouso, a uma altura h = 15 m como mostrado na figura. O carro deve ati

ponto A com velocidade 10 m/s. Qual a altura hA do ponto A?

4 Um garoto com massa m = 30 Kg escorrega de um escorregador de 2,5 m de altura e tem uma velocidade de 2,25 m/s qu

chega na parte de baixo do escorregador. Quanta energia foi perdida devido ao atrito?

5 Uma bola é lançada para cima em um ângulo θ = 45 graus do alto de uma elevação de 165m de altura, com uma veloc

de 180 m/s. Use a conservação da energia para encontrar a velocidade da bola quanto ela tocar o chão.

6 Um bloco esta inicialmente em repouso no ponto A. O bloco escorrega sem atrito até o ponto B onde subitamen

encontra atrito e pára depois de percorrer 3m. A e B fazem parte de um circulo com raio 2m. a) Qual a velocidade do

no ponto B. Qual é o coeficiente de atrito entre o bloco e a pista depois de passar pelo ponto B?

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7 Um pendulo, com massa m = 5 Kg está pendurado na ponta de uma corda de comprimento L = 1 como mostrado na figu

figura da esquerda mostra a posição de equilíbrio. Se empurrarmos a massa de um ângulo θ = 30 graus como mostrado

figura da direita, e então liberarmos a massa, qual será a velocidade da massa quando esta passar novamente pelo ponto

equilíbrio mostrado na figura? 8 Um bloco de massa m = 5 Kg está se movendo com velocidade v = 10 m/s em direção a um sistema

molas. A mola tem uma constante de mola k = 2 N/m. O bloco colide com o sisteme de mola e fic

colado ao sistema. Que distancia a mola vai comprimir até o bloco parar?

9 Um revolver de brinquedo que atira bolas de borracha de massa m = 0,2 Kg é carregado inserindo uma bola na boca do cdo revolver. A mola dento do revolver tem uma constante k = 100 N/m. Quando o revolver é carregado, a mola é compri

de um comprimento x = 0,05 m. O revolver é apontado para cima. Que distancia irá percorrer a bola de borracha?

10 Algumas pessoas gostam de esportes radicais como o “bungee jumping”. A resistência da corda elástica é medida pela

constante de mola, a qual é em geral de k = 100 N/m. Suponhamos que uma pessoa com massa m = 80 Kg queira saltar.

figura ao lado mostra um exemplo de salto: (1) uma pessoa está pronta para pular de uma plataforma com altura h = 200

(2) depois de cair de uma distancia y1 = 15 m, a corda elástica começa a se esticar. A pessoa irá parar aproximadamente

uma distancia y2 do ponto onde a corda começou a esticar. A corda vai parar a pessoa antes de ela atingir o chão?

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11 Como mostrado na figura, uma bola de massa m = 5 Kg está parada a uma distancia h = 10 m acima do chão. Uma mola

constante de mola k = 1500 N/m, em estado relaxado, possui uma plataforma situada a uma distancia h0 = 1 m acima do

A bola é liberada, e cai até colar na plataforma. Quando a bola é parada pela mola, a mola está comprimida para baixo co

mostrado na figura da direita. De quanto será comprimida a mola?

12 Um bloco de massa m = 10 Kg pode deslizar ao longo de uma pista curvada como mostrado na figura. O bloco, inicialma uma altura h = 3 m acima do chão é liberado. Ele escorrega para baixo da pista sem atrito, e atinge uma plataforma com

mola. A mola tem uma constante de mola k = 50 N/m. Que distancia a mola comprime até fazer o bloco parar?

13 Um bloco de massa m = 10 kg pode deslizar ao longo de uma superfície curvada como mostrado na figura. O bloco,

inicialmente a uma altura h = 3 m acima do chão é liberado. Ele desliza para baixo da pista que não possui atrito, exceto

uma zona que tem comprimento m = 0,5 m. Na zona rugosa, existe atrito entre o blco e a pista com m = 0,25. A mola tem

uma constante de mola de k = 50 N/m. De que distancia a mola será comprimida até que o bloco pare?

14 Um bloco com massa m = 7 Kg pode deslizar em uma pista que possui um anel circular. O anel circuar tem um raio r = 3

De que altura h o bloco deve ser liberado para completar a volta do anel? Assumir que não existe atrito na pista.

15 Dois blocos são conectados por uma corda como mostrado na figura. O bloco m2 que possui massa m2 = 5 Kg está

pendurado livremente na corda. O bloco m1 de massa m1 = 15 Kg está conectado na outra ponta da corda, sobre uma

superfície com coeficiente de atrito m = 0,25. m1 está conectado também a uma mola com constante de mola k = 30 N/m

Que distancia m2 irá mover depois de liberado?

16 Um bloco de massa m = 5 Kg está conectado, através de uma polia, a uma mola com constante de mola k = 15 N/m.

Inicialmente, m é deixado em um nível que deixa a mola sem solicitaçãp. Que distancia m vai cair depois de liberado?

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Sexta lista de exercícios – conservação do momento linear1 Um canhão cuja massa é M = 1300 kg atira uma bala de canhão na direção horizontal. A bala de canhão tem uma mas

de m = 72 Kg e é atirada horizontalmente para a direita com velocidade v = 55 m/s. Com que velocidade o canhão v

recuar?

2 Um homem de massa M = 75 kg está descendo uma estrada em um carro que tem massa m = 40Kg. Quando ele e

carro estão com velocidade 2,3 m/s, ele subitamente pula fora do carro de tal modo que ele tem velocidade horizont

zero. Com que velocidade o carro estará se movimentando logo após o homem pular do carro?

3 Um carro de massa m1 = 5000 Kg está em parado no semáforo (o carro á direita). Atrás deste vem um carro (o carro direita) com massa m2 = 1200 kg e velocidade inicial v2i = 25 m/s e bate no carro que está parado. Ocorre uma gran

colisão e os dois carros acabem juntando-se após a colisão. Que velocidade tem o conjunto de carros após a colisão?

4 Dois blocos, um de massa m1 = 10 Kg e o outro de massa m2 = 50 Kg estão presos com uma corda, como mostrado

figura. Entre eles existe uma mola comprimida por uma distancia d = 0,01m. A mola tem uma constante de mola k

10N/m. Subitamente, a corda arrebenta, e a mola rapidamente expande, empurrando m1 para a esquerda com velocida

v1 e m2 para a direita com velocidade v2. Qual o valor de v1 e v2?

5 Dois carros, um com massa m1 = 1000 Kg e outro com massa m2 = 4000 Kg chocam-se em uma interseção com

mostrado na figura. Antes da colisão, o carro com massa m1 estava indo para leste com uma velocidade v1i = 25 m/s e

carro com massa m2 estava indo para norte com velocidade v2i = 10 m/s. Após o choque, os carros ficam juntos. Qua

a velocidade dos dois carros após a colisão e com que ângulo eles deixam o ponto de colisão.

6 Uma bola de borracha de massa m1 = 10 Kg está se movendo para a direita com velocidade v = 10 m/s. Ela coli

elasticamente com uma outra bola de massa m2 = 50 Kg, a qual está parada em repouso. M2 é maior do que m1. Qua

serão as velocidades das bolas, v1f e v2f, após a colisão?

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7 Um bloco de massa m1 = 10 Kg está em uma pista curvada, a uma distancia h = 3 m acima do chão como mostrado

figura. Quando liberado, o bloco escorrega para baixo da pista e choca-se elasticamente com um outro bloco de masm2 = 50 Kg, o qual está parado em repouso. M2 é maior do que m1. Isto significa que m1 vai bater de volta para ond

veio após a colisão. Que distancia m1 irá subir pela pista de onde veio?

8 Um projétil com massa mb =0,05 Kg está voando em direção a um bloco de massa m = 10 Kg. O projétil está

movimentando com uma velocidade vb = 200 m/s e o bloco está em repouso. O projétil colide com o bloco, e embute-

dentro do bloco, e arremessa o bloco através da extremidade. A extremidade tem uma altura h = 0,5 m acima do chão.

que distancia da extremidade o bloco (com o projétil dentro) irá cair?

9 Um carro, chamado carro # 1, está se movendo para a direita. Ele tem uma velocidade inicial de v1i = 20 m/s, e um

massa m1 = 1000 kg. Existe um outro carro, chamado carro # 2. A velocidade do carro 2 é v2i = -10 m/s e a massa

carro 2 é m2 = 3000 Kg. Qual será a velocidade de cada carro após a colisão?

10 Um projétil move-se com velocidade vb = 310 m/s, atinge e embute-se em um bloco de madeira de massa M = 1,4 K

O projétil tem massa mb = 0,021 Kg. Qual distancia que o bloco vai subir depois do projétil ter sido embutido nele?

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Sétima lista de exercícios - rotação e momento angular1 Uma esfera sólida com massa 5 kg e raio 0,1 m esta rolando com velocidade 10 m/s em direção a uma rampa.

momento de inércia da espera é I = 2/5 M r2 sendo M a massa e r o raio da esfera. A rampa tem ângulo de 30 graus.

que distancia,h, a bola vai subir a rampa até parar?

2 Um bloco de massa 10 kg esta pendurado por uma corda preso a uma polia. A polia tem uma massa de 5 kg e um raio

de 0,1 m. O bloco está sendo segurado, quando de repente é liberado. Qual é a aceleração angular da polia? A que

distancia depois de liberado o bloco estará caindo com uma velocidade de 5 m/s? O momento de inércia da polia é I =

½ M r2.

3 Uma esfera sólida com momento de inércia I = 2/5 M r2 rola rampa abaixo. A esfera não para ao longo de todo

trajeto, sendo sua massa 1 kg e seu raio 0,1 m. Ela começa a cair de uma altura de 6 m e chega ao final a uma altura d

1 m quando deixa a pista em lançada horizontalmente. A que distancia do ponto A a esfera irá cair?

4 Um patinador do gelo gira com os braços abertos com uma velocidade angular 1,9 revoluções/Segundo. O momento

de inércia com os braços abertos e de 1,33 kg m2. Ele então recolhe os braços, como mostrado na figura da direita,

declinando o momento de inércia para 0,48 kg m2. Qual é a nova velocidade angular do esquiador.

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5 Um menino de massa 20 kg permanece próximo da extremidade de uma roda que não esta rodando. O sistem

menino+roda tem uma inércia de cerca de 120 kg m2. O menino esta parado a uma distancia de 2 m do centro da rod

quando se lança subitamente para fora da roda com uma velocidade tangencial de 1,5 m/s. Com que velocidade a rod

ira rodar quando o menino deixar a roda.

6 Um menino salta diretamente em direção a uma roda que esta inicialmente em repouso. Ele toca na roda em um pontoque esta a 0,5 m de distância do centro. O menino tem massa de 70 kg e corre com velocidade 5 m/s. A roda tem mass

100 kg e raio 2m. Que velocidade angular terá a roda depois do menino saltar sobre ela.

7 Dois discos estão assentados ao mesmo eixo. O disco superior tem momento de inércia de 10 kg m2 e o de baixo te

momento de inércia de 10 kg m2. Inicialmente apenas o de baixo esta com velocidade angular de 5 rad/s. Subitamente

disco superior cai sobre o disto inferior, e gruda nele sem derrapar. Qual será a velocidade angular final do conjunto?

8 Um bloco de massa 10 kg esta preso a uma corda. A corda estende-se sobre uma mesa sem atrito. O bloco esta se

movendo com velocidade v = 5 m/s ao longo de um circulo, que tem um raio de 1 m. A corda é então puxada para

baixo até que o raio do bloco se reduza para 0,5 m. Qual é a nova velocidade angular do bloco?

9 Uma barra redonda uniforme de comprimento 0,5 m e massa 6 kg pode rodar livremente ao longo de um eix

perpendicular a ela. Um projétil com massa 0,003 kg bate na barra com um ângulo de 60 graus. Se o projétil fic

incrustado na barra e a barra é deixada rodando com rotação 10 rad/s imediatamente após a colisão, qual era

velocidade da bala?

10 Uma bola sólida com raio 0,01 m e massa 7 kg rola ao longo de uma pista com um anel. O anel tem um raio de 3 m. A

que altura deve a bola ser solta para que ela ultrapasse o anel sem cair? Assuma que não exista atrito no anel.

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Exercícios – Movimento1 Uma partícula movendo-se ao longo do eixo x está localizada em xi=12m no tempo ti=1s e xf=4m no tempo tf=3s.

Encontre o deslocamento, a velocidade media e a velocidade escalar media.

2 Uma partícula esta se movendo ao longo do eixo x. A coordenada x varia com o tempo de acordo com a equação x =

- 4t + 2t2 . Note que a partícula se movimenta na direção negativa durante o primeiro segundo, está em repouso no

momento t=1s, e retorna ao movimento no sentido positivo de x para t>1s. (a) determine o deslocamento da partícula

nos intervalos 0s<t<1s e 1s<t<3s. (b) calcule a velocidade media nos intervalos 0s<t<1s e 1s<t<3s. Encontre a

velocidade instantânea da partícula para t=2,5s. (figura 1)

3 A posição de uma partícula é dada por: x=4-27t+t3. (a) encontre v(t) e a(t). (b) existe algum momento onde v=0. (c)

descreva o movimento da partícula para t>0.

4 As equações abaixo fornecem a posição x(t) de uma partícula em quatro situações: (a) x=3t-4 (b)x=-5t2+6 (c) x =

(2/t2) - (4/t) (d) x = 5t

2– 3. Para qual destas situações podemos aplicar as equações do movimento com aceleração

constante?

5 A posição de uma partícula movendo-se ao longo do eixo x varia com o tempo de acordo com a expressão x=3t2

sendo x em metros e t em segundos. Encontre a velocidade da partícula para qualquer tempo. (figura 2)

figura 1 figura 2 6 A posição de um objeto movendo-se ao longo do eixo x varia com o tempo de acordo com o gráfico ao lado. Usand

apenas interpretação gráfica, obter os gráficos de velocidade x tempo e aceleração x tempo. (figura 3)

figura 3

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7 A velocidade de uma partícula movendo-se ao longo do

eixo x varia de acordo com a expressão v=40-5t2 onde t é

dado em segundos. (a) encontre a aceleração media no

intervalo 0s<t<2s. (b) determine a aceleração em t=2s.(figura 4)

8 Um fabricante de automóvel especifica que seu carro

acelera a partir do repouso até uma velocidade de 42m/s

em 8s.(a) determine a aceleração do carro (b) encontre a

distancia que o carro viaja nos 8 primeiros segundos. (c)

qual será a velocidade do carro no instante 10s se ele

mantiver a aceleração?

9 Um elétron dentro de um tubo de raios catódicos de

televisão entra em uma região de aceleração constante

passando de uma velocidade 3x104m/s para uma

velocidade 5x106m/s em uma distancia de 2cm. (a)

durante quanto tempo o elétron fica nessa região onde ele

acelera. (b) qual é a aceleração do elétron nesta região?

figura 4

10 Um carro viajando a uma velocidade de 30m/s passa por uma barreira policial. Um segundo depois o carro policial

inicia a perseguição a uma aceleração constante de 3m/s. Que distancia o carro policial vai percorrer até que alcance

o carro infrator.

11 Uma criança joga para cima uma bola com certa velocidade ao mesmo tempo em que outra solta uma bola. Compare

a aceleração sobre as duas bolas.

12 Uma bola é jogada para cima. O que acontece enquanto a bola estiver no ar: (a) o que acontece com a velocidade?

(b) o que acontece com a aceleração?

13 Uma bola é solta do alto de uma torre. Desprezando a resistência do ar calcular a velocidade e posição da bola nos

instantes 1s, 2s e 3s.14 Uma pedra é lançada verticalmente para cima do alto de um edifício com velocidade 20m/s. O edifício tem 50m de

altura e consideraremos este como ponto de partida de pedra. (a) determine o tempo necessário para a pedra atingir a

altura máxima. (b) qual a altura máxima (c) qual o tempo necessário para a pedra retornar ao topo do edifício (d)

qual a velocidade da pedra neste instante. (e) qual a velocidade e posição da pedra no instante t = 5s.

15 Uma partícula inicia o movimento a partir da origem no tempo t=0 com velocidade em x de 20m/s e velocidade y=-

15m/s. A partícula se movimenta no plano xy sendo sua aceleração em x de 4m/s2 . (a) determine as componentes

das velocidades com relação ao tempo vx e vy. (b) determine a velocidade e a velocidade escalar da partícula no

tempo t=5s. (c) determine as coordenadas x e y como função de tempo e o vetor deslocamento. (d) determine a

distancia do ponto até a origem no instante t=5s.

16 Você esta operando um carro com controle remoto em um campo de tênis vazio. Sua posição é a origem do sistema

de coordenadas, e a superfície do campo é o plano xy. O carro que será representado por um ponto, possui

componentes x e y que variam com o tempo de acordo com: x=2-0,25t2 ; y=t+0,025t3 (a) calcule as coordenadas do

carro e a distancia entre você e o carro no instante t=2s. (b) calcule o vetor deslocamento e o vetor velocidade médiano intervalo de tempo ente t=0s e t=2s. (c) deduza uma expressão geral para o vetor velocidade instantânea do carro

e encontre a velocidade instantânea para t=2S. Expresse a velocidade instantânea usando componentes também em

termos do módulo, direção e sentido.

17 Um saltador de salto a distancia deixa o solo a um ângulo de 20 graus com a horizontal e a uma

velocidade de 11m/s. (a) que distancia ele alcança? (b) qual a máxima altura atingida?

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18 Uma pedra é lançada do alto de um edifício com um ângulo de 30 graus com a horizontal e com uma velocidade

inicial de 20m/s sendo a altura do edifício de 45m. (a) durante quanto tempo a pedra permanece e “voando”. (b) qua

é a velocidade da pedra logo antes dela atingir o solo. 19 Um avião de resgate joga um pacote de emergência para aluem no solo. O avião esta viajando a 40m/s

horizontalmente a uma altura de 100m acima do solo. A que distancia do ponto de lançamento o pacote irá cair?

figura 5 figura 6

20 Uma bola pendurada em uma linha de comprimento 0,5m oscila em movimento circular vertical . Quando a bola faz

um ângulo de 20 graus com a vertical a bola tem uma velocidade de 1,5m/s. (a) encontre a magnitude da aceleração

radial neste instante. (b) quando a bola esta a um ângulo com a vertical ela tem uma aceleração tangencial de

magnitude g sen . Portanto a 20 graus at=gsen20=3,4m/s2. Encontre a magnitude e direção da aceleração total com

ângulo de 20 graus. (figura 8)

21 Uma bola é jogada verticalmente para cima por um passageiro em um trem que viaja a velocidade constante. (a)

descreva a trajetória da bola como visto pelo passageiro no trem. (b) Descreva a trajetória da bola como visto poruma pessoa parada fora do trem. (figura 7)

figura 7 22 Um bote dirige-se para o norte para cruzar um rio com velocidade 10km/h relativamente à água. O rio tem uma

velocidade constante de 5 km/h devido a corrente na direção leste. Determine a velocidade do bote relativamente a

um observador parado na margem do rio. (figura 9)

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23 Se o bote do exercício anterior viaja com a mesma velocidade de 10km/h em relação a água e tem que se dirigir para

o norte, para onde ele deve apontar a sua direção de viagem. (figura 10)

Figura 8

Figura 9 Figura 10

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Exercícios – Leis de Newton e aplicações.24 É possível haver movimento na ausência de força?

25 Um disco de metal de 0,3kg está sobre uma superfícies horizontal sem atrito

(colchão de ar). Duas forças atuam sobre o disco. A força F1 de 5N e a F2 de 8N.Determine a magnitude da aceleração e a direção da aceleração (figura 11).

26 Uma bola de baseball de massa m é arremessada para cima com certa velocidadeinicial. Se desprezarmos a resistência do ar, qual é a forca sobre a bola (a)quando ela atinge metade da altura máxima (b) quando ela atinge o pico.

27 Se um pequeno carro esportivo colide com um pesado caminhão, qual dosveículos experimentará a maior força de impacto? Qual dos veículosexperimentará a maior aceleração?

28 Existe alguma relação entre a força total agindo sobre um objeto e a direção naqual o objeto está se movendo? Figura 11

29 Um caixote de massa m é colocado sobre um plano inclinado sem atrito com ângulo θ. (a) determine a aceleração docaixote após ele ser solto (b) suponha que o caixote é liberado a partir do repouso e a distancia do topo até embaixo

seja d. Quanto tempo o caixote leva até atingir a parte de baixo? (c) Qual a velocidade do caixote quando ele chegalá embaixo? (figura 12)

Figura 1230 Duas massas estão conectadas por um fio de massa desprazível. que passa por uma polia sem atrito de massa

desprezível. O bloco quadrado cai de um plano inclinado sem atrito com angulo q. Encontre o tamanho da aceleraçãodas massas e a tensão no fio. (figura 13)

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Figura 1331 Dois blocos de massas m1 e m2 são colocados em

contato sobre um plano horizontal sem atrito. Uma forçahorizontal constante F é aplicada sobre a massa m1. (a)

encontre o tamanho da aceleração do sistema. (b)determine o tamanho da forca de contato entre os blocos.(figura 14)

32 Uma pessoa pesa um peixe de massa m usando umabalança de mola presa no teto de um elevador. Mostreque se o elevador acelerar em qualquer direção, a balançamostrará leituras diferentes do peso real do peixe. (figura15)

Figura 14

Figura 1533 Se as rodas de um carro estão travadas (pararam de rodar) durante uma frenagem de emergência, o carro desliza dão

longo da estrada. Nesse processo, partículas são arrancadas dos pneu formando o que chamamos marcas dederrapagem. Um carro que derrapou até parar deixou marcas de derrapagem que medem 260 m, e considerando oatrito cinético mk = 0,60, calcular a velocidade do carro. Figura 16

34 Uma pessoa puxa uma carga de massa 75 kg ao longo de uma superfície horizontal com velocidade constate usandouma corda inclinada 42 graus com a horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre a carga e o chão é mk = 0,10.Qual a tensão na corda?. Figura 17

35 Uma caixa de massa m1 = 14kg é arrastada ao longo de um plano que faz um ângulo de 30 graus com a horizontal.Esta caixa esta conectada a uma outra caixa com massa m2 = 14 kg através de uma corda e polia de massasdesprezíveis. A caixa de massa m2 desce com velocidade constante. (a) qual o tamanho e a direção da forca de atritoque o plano exerce sobre a caixa? (b) quanto vale mk? Figura 18

36 Suponha que alguém deseje fazer uma performance ultrapassando uma pista anelar vertical (looping) de 2,7 m deraio com uma bicicleta. (a) Qual a mínima velocidade que a bicicleta deverá ter no topo da pista para que não caia?(b) se desejarmos ter uma força normal igual ao peso (bicicleta mais homem), qual deverá ser a velocidade no topodo anel? Figura 19

37 Um carro de massa 1600 kg viaja a velocidade constante de 20 m/s em uma pista plana e circular de raio 190 km.Qual deve ser o coeficiente de atrito estático mínimo entre os pneus do carro e a estrada para que o carro nãoderrape? Figura 20

38 Algumas vezes não é possível atingir um coeficiente de atrito estático desejável (pista molhada), por isso as curvassão inclinadas. Suponha agora que o carro de massa 1600 kg trafegue com 20 m/s em uma curva, agora inclinadacom raio de 190m. Qual deve ser o ângulo da curva para que o carro não dependa do atrito para fazer a curva? Figura21

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Figura 16 Figura 17

Figura 18

Figura 19 Figura 20

Figura 21

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Exercícios – Trabalho, Potencia e Energia39 Uma pessoa limpando o carpete puxa o aspirador de pó

com uma força F = 50 N. A força faz um ângulo de 30 o

com a horizontal. O aspirador é deslocado 3 m na

horizontal. Calcule o trabalho feito pela forca de 50 N

(figura 22).

40 Uma pessoa levanta um bloco de cimento de massa m até

uma altura h. Então a pessoa se desloca de uma distancia d.

Qual o trabalho realizado pela pessoa? (figura 23)

41 Uma partícula se movimentando no plano xy se desloca de

uma distancia s = (2.0 i + 3.0 j) m enquanto uma força

constante F = (5.0 i + 2.0j) N atua sobre a partícula. a)

calcular a magnitude do deslocamento e da força b) calcular

o trabalho feito pela força F. Figura 2242 Uma força agindo sobre uma partícula varia com x de acordo com a figura. Calcule o trabalho feito pela força

quando a partícula se move em x desde x = 0 m até x = 6 m. (figura 24).

Figura 23 Figura 2443 Um bloco de massa m = 6 kg, inicialmente em repouso, é empurrado para a direita sobre uma superfície sem atrito

com uma força constante F = 12 N. Encontre a velocidade do bloco após ele se deslocar 3 m. (figura 25)

44 Um bloco de massa m = 6 kg, inicialmente em repouso, é empurrado para a direita sobre uma superfície com

coeficiente de atrito cinético 0,15 com uma força constante F = 12 N. Encontre a velocidade do bloco após ele se

deslocar 3 m.

45 Uma equipe deseja carregar uma geladeira usando uma rampa. O carrinho no qual a geladeira é assentada pode andar

sem atrito sobre a rampa. Discuta se o trabalho realizado comparado ao trabalho de se levantar diretamente a

geladeira e colocá-la sobre o caminhão. (figura 26)

46 Um carro viajando a uma velocidade v é freado e para depois de se deslocar uma distancia d. Que distancia ele iria

percorrer se a velocidade inicial fosse 2v.

47 Um elevador de massa 1000 kg carrega uma carga máxima de 800 kg. Uma força de atrito constante de 4.000 N atua

sobre o elevador quando ele se desloca para cima.

a) qual deve ser a mínima potencia fornecida pelo motor para que o elevador se levante com uma velocidadeconstante de 3m/s2.

b) Qual a potencia necessária para o motor caso se deseje que ele se eleve com uma aceleração constante de 1 m/s2.

(figura 27)

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Figura 25

Figura 26 Figura 2748 Um carro pequeno tem massa de 800 kg e a taxa de eficiência do sistema carro/combustível é de 18%. Encontre

quanta gasolina será necessária para tirar o carro do repouso e elevar sua velocidade a 27 m/s. A energia equivalente

de queima de 1 litro de gasolina é de 0.3433 J.

49 Suponha que o carro do exercício anterior faça 10,61 km por litro quando viajando a 96,48 km/h. Quanta potencia

deve ser fornecida para as rodas?50 Considere um carro de massa m acelerando para subir uma ladeira. Assuma que a forca resistiva dos pneus tenha

magnitude proporcional a velocidade f = 218 + 0,7 v2. Calcule a potencia que o motor deve fornecer para as rodas.

(figura 28).

figura 28

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51 Uma massa esta conectada a uma mola de massa desprezível que esta suspensa verticalmente a partir do teto. Se a

massa é deslocada para baixo a partir do ponto de equilíbrio e liberada, ela vai oscilar para cima e para baixo. Se

desprezarmos a resistência do ar a energia mecânica do sistema será conservada? Quais os tipos de energia potencial

temos neste sistema? (figura 29)

52 Discuta a transformação de energia que ocorre durante um salto com vara. Ignore o movimento rotacional. (figura30)

53 Três bolas idênticas são lançadas a partir do topo de um edifício, todas com a mesma velocidade inicial. A primeira

bola é lançada horizontalmente. A segunda para cima com um ângulo q e a terceira para baixo com um ângulo q.

Desprezando a resistência do ar descreva seus movimentos e compare as velocidades das bolas no momento em que

elas tocam o chão. (figura 31)

Figura 29 Figura 30 Figura 3154 Uma bola de massa m é solta a partir de uma altura h acima do solo. (a) Desprezando a resistência do ar determine a

velocidade que a bola vai ter quando ela está a uma altura y acima do solo. (b) determine a velocidade da bola a uma

altura y do solo se for dada uma velocidade inicial vi na altitude inicial h. (figura 32)

55 Um pendulo consiste de uma esfera de massa m pendurada em uma corda leve de comprimento L como mostrado na

figura. A esfera é liberada a partir do repouso quando a corda faz um ângulo q com a vertical e o ponto de giro em P

não tem atrito. (a) determine a velocidade da esfera quando ela estiver no ponto mais baixo, b. (b) qual a tenção na

corda no ponto b? (figura 33)

56 Uma criança de massa m desce de um escorregador curvado de altura h = 6m. A criança começa a partir do repouso

no ponto mais alto. (a) determine a velocidade da criança na parte mais baixa assumindo que não existe atrito. (b) se

existe uma força de atrito que atua na criança, quanto de energia mecânica será dissipado por essa força? Assuma

que vf = 8 m/s e a massa m=20kg. (figura 34)

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Figura 32 Figura 33 Figura 3457 Um engradado de 3 kg escorrega para baixo de uma rampa de um terminal de carga. A rampa tem 1 m de

comprimento e esta inclinada a 30 graus com a horizontal. O engradado começa a escorregar a partir do repouso,experimenta uma forca de atrito constante de magnitude 5 N e continua a se movimentar por uma distancia curta no

chão plano. Use os métodos de energia para saber a velocidade que o caixote terá no ponto mais baixo da rampa.

(figura 35)

Figura 3558 Um esquiador parte do repouso no topo de uma inclinação sem atrito

de altura 20m. Na parte baixa da inclinação de 20 graus o esquiador

encontra uma superfície horizontal onde o coeficiente de atrito

cinético ente o esqui e a neve é de 0.201. Que distancia o esquiador

vai alcançar na superfície horizontal antes de parar? (figura 36)

59 O mecanismo de lançamento de uma espingarda de brinquedo

consiste de uma mola de constante de mola desconhecida. Quando a

mola é comprimida a 0.12 m, o a espingarda é capas de lançar um

projétil de 35 g a uma altura máxima de 20 m quando atirado

verticalmente a partir do repouso. (a) Desprezando todas as forcasresistivas, determinar a constante de mola. (b) encontre a velocidade

do projétil quando ele passa pela posição de equilíbrio da mola (onde

x = 0). (figura 37)

Figura 37

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60 Dois blocos estão conectados por uma corda leve que passa sobre uma polia sem atrito. O bloco de massa m1

escorrega sobre uma superfície horizontal e esta cone3ctato a uma mola de forca constante k. O sistema é liberado a

partir do repouso quando a mola não está solicitada. Se a massa m2 cair uma distancia h antes de parar, calcule o

coeficiente de atrito cinético entre m1 e a superfície. (figura 38).

61 Uma força horizontal de 25 N é aplicada a um bloco de 4 kg que esta inicialmente em repouso sobre uma mesahorizontal. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o tampo da mesa é 0,35. Calcular (a) o trabalho externo

feito sobre o sistema bloco-mesa depois do bloco percorrer 3m. (b) a energia dissipada pelo atrito, (c) a energia

cinética do bloco depois de ser empurrado ao longo de 3m sobre a mesa e (d) a velocidade do bloco depois de ser

empurrado 3 m sobre a mesa.

Figura 36

Figura 38

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Exercícios – Momento Linear62 Um jogador usa uma maquina de arremessos para ajudá-lo no treinamento. Ele apóia a maquina de 50 kg numa pista de

gelo sem atrito. A máquina atira bolas de 0,15 kg horizontalmente com velocidade 36 i m/s. Qual é a velocidade de

recuo da máquina? (figura 39)

63 Em uma batida contra uma parede um carro de 1500 kg colide com a parede. A velocidade inicial do automóvel é –15

i m/s e a velocidade final é de 2,6 i m/s. Se a colisão durar 0,15 s, encontre o impulso devido a colisão e a força média

exercida sobre o automóvel. (figura 40)

64 Um carro de 1800 kg parado no semáforo é atingido na traseira por um carro de 900 kg e os dois ficam engatados. Se o

carro menor estava com velocidade 20 m/s antes da colisão, qual será a velocidade das massas engatadas depois da

colisão?

65 Num ensaio de tiro, uma bala atinge o pendulo esquematizado na figura. O bloco do pendulo com a bala cravada oscila

para cima. A altura atingida pelo bloco permite a determinação da velocidade da bala. Sendo as massas m1 e m2 e

sendo a altura h, como se calcula a velocidade da bala? (figura 41)

Figura 39

Figura 41 Figura 4066 Um bloco de massa m1 = 1,6 kg inicialmente se movendo para a direita com velocidade 4 m/s sobre um plano

horizontal sem atrito colide com uma mola incrustada em um bloco de massa m2 = 2,1 kg movendo-se para a esquerda

com velocidade 2.5 m/s como ilustrado na figura. A mola tem uma constante de mola de 600N/m. (a) no instante em

que m1 estiver se movendo para a direita com velocidade 3 m/s, determine a velocidade de m2. (b) Determine a

distancia de compressão da mola naquele instante. (figura 42)67 Num outro exercício de tiro a bala atinge a caixa e atravessa completamente. Um medidor a laser mostra que a bala sai

da caixa com metade da velocidade inicial. Que altura atinge a caixa? (figura 43)

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Figura 42

68 Um carro de 1500 kg viajando para leste com velocidade de 25 m/s bate com uma perua de 2500 kg viajando a 20 m/s

para o norte. Encontre a direção e o tamanho da velocidade da massa trombada assumindo que os carros realizaram

uma colisão perfeitamente inelástica.(figura 44)

69 Em um jogo de bilhar, um jogador deseja colocar uma bola na caçapa do canto. Se o ângulo da trajetória até a caçapa éde 35 graus, qual deve ser o ângulo q da bola atirada? Assuma que a colisão é elástica. (figura 45)

70 Um vagão aberto de 14000 kg esta rolando a 4 m/s sobre os trilhos. Uma tempestade súbita enche de água o vagão com

2000 kg. Depois da tempestade quanto tempo leva para o vagão cobrir uma distancia de 500? Admitir que a chuva cai

verticalmente e que o atrito é desprezível. (figura 46).

Figura 43 Figura 44

Figura 45 Figura 46

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Exercícios – Rotação e Momento Angular71 Um volante roda com uma aceleração constante de 3,5 rad/s2. Se a velocidade angular da roda é 2 rad/s em t = 0 s,

(a) qual ângulo o volante irá rodar em 2 s? (b) qual é a velocidade angular em t = 2 s?

72 Quando um volante de raio R roda em torno de um eixo fixo, todos os pontos do volante em a mesma velocidade

angular? Todos os pontos tem a mesma velocidade linear? Se a velocidade angular é constante e igual a w,

descreva a velocidade linear e a aceleração linear de um ponto localizado em r = 0, r = R/2 e r = R, onde tos pontos

são medidos a partir do centro da roda.

73 O volante de um toca disco roda inicialmente a uma taxa de 33 ver/min e demora 20 s para parar. (a) Qual é a

aceleração angular do volante assumindo que a aceleração é uniforme? (b) Quantas vezes o volante roda antes de

parar? (c) Se o raio do volante é 14 cm, qual é o tamanho da aceleração radial e tangencial de um ponto na borda

no tempo t = 0?

74 Quatro massas são colocadas para girar. Se a rotação do sistema ocorre em relação ao eixo y com uma velocidade

angular w: (a) encontre o momento de inércia relativamente ao eixo y e (b) a energia cinética relativamente a este

eixo. Suponha que o sistema gire em torno do eixo z. (c) Calcule o momento de inércia e (d) a energia cinética em

relação ao eixo z. Figura 47

75 Um cilindro está livre para rodar em torno de um eixo central. Duas cordas exercem forca sobre o cilindro. (a)

Qual é o torque resultante em torno do eixo de rotação? (b) Suponha F1 = 5 N, R1 = 1 m F2 = 6 N, R2 = 0,5 m.

Qual será o torque resultante e o sentido de rotação do cilindro? Figura 48

Figura 47 Figura 4876 Uma barra de comprimento L e massa M esta livre para rodar em torno de um pino sem atrito na extremidade de

um plano vertical. A barra é solta a partir do repouso na posição horizontal. Qual é a aceleração angular da barra e

a aceleração linear na extremidade do lado direito da barra.? Figura 49

Figura 49

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77 Duas massas m1 e m2 estao conectadas por uma corda leve que passa sobre duas polia idênticas, cada uma tendo

um momento de inércia I. Encontre a aceleração de cada massa e as tensões T1 e Te e T3 na corda. Figura 50

78 Um volante de raio R, massa M e momento de inércia I esta montado em um eixo horizontal sem atrito. Uma

corda leve assentada sobre a roda suporta um objeto de massa m. Calcular a aceleração linear do objeto, a

aceleração angular do volante e a tensão na corda. Figura 5179 Uma barra uniforme de comprimento L e massa M é livre para rodar sobre um pino sem atrito em uma de suas

extremidades. A barra é solta a partir do repouso da posição horizontal. (a) qual é a velocidade angular da barra na

posição mais baixa? (b) Determinar a velocidade linear do centro de massa da barra e do ponto mais baixo da barra

na posição mais baixa. Figura 52

80 Considere duas massas conectadas por uma corda passando sobre uma polia que tem um momento de inércia I. O

sistema é solto a partir do repouso. Encontre a velocidade linear das massas depois que a massa m2 desce uma

distancia h, e a velocidade angular da polia neste instante. Figura 53

Figura 50 Figura 51

Figura 52 Figura 53

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81 Considere uma esfera sólida rolando em um plano inclinado. Encontre a aceleração do seu centro de massa. Figura

54

82 Uma partícula de massa m se move no plano xy com velocidade v ao longo de uma linha reta. Qual é o tamanho e

a direção do seu momento angular (a) com relação a origem O (b) com relação a origem O’. Figura 55

83 Uma partícula se move no plano xy em movimento circular de raio r. (a) encontre o tamanho e a direção domomneot angular relativamente a O quando a velocidade é v. (b) encontre uma expressão alternatipa para o

momento angular em termos da velocidade angular. Figura 56

84 Um sólido esférico uniforme de raio R = 0,5 m e massa 15 kg roda em torno do eixo z. Encontre o tamanho do seu

momento angular quando a velocidade angular é 3 rad/s. Figura 57

85 Uma barra rígida de massa M e comprimento L roda no plano vertical ao redor de um pino sem atrito localizado

em seu centro. Partículas de massas m1 e m2 estão anexadas nas extremidades da barra. (a) determinar o tamanho

do momento angular do sistema quando a velocidade angular é w. (b) determinar o tamanho da aceleração angular

do sistema quando a barra faz um angulo q com a horizontal. Figura 58

86 Duas massas m1 e m2 estão conectadas por uma corda leve que passa sobre uma polia de raio R e momento de

inércia I. A massa m2 escorrega sobre uma superfície horizontal sem atrito. Determine a aceleração das massas

usando conceito de momento angular e torque. Figura 59

Figura 54 Figura 55 Figura 56


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87 Um projétil de massa m e velocidade v0 é atirado sobre um cilindro de massa M raio R. O cilindro esta

inicialmente em repouso e é montado sobre um eixo horizontal que roda ao redor de seu centro de massa. A linha

de movimento do projétil é perpendicular ao eixo de giro do cilindro e tem distancia d<R do centro. Encontre a

velocidade angular do sistema depois que o projétil aderir a superfície do cilindro. Figura 60

88 Uma plataforma horizontal com formato de um disco circular esta rodando no plano horizontal em torno de umeixo vertical sem atrito. A plataforma tem massa M = 100 kg e um raio R = 2 m. Um estudante com massa m = 60

kg caminha vagarosamente desde a borda até o centro da plataforma. Se a velocidade angular do sistema é de 2

rad/s quando o estudante esta na extremidade: ·(a) calcular a velocidade angular quando o estudante atingir um

ponto distante 0,5 m do centro. (b) Calcular a energia rotacional inicial e final do sistema. Figura 61

89 Um estudante esta sentado em um banco rotativo enquanto segura um par de pesos. O banco rotativo roda

livremente em um eixo vertical com atrito desprezível. O estudante esta em movimento rotacional com os braços

esticados. Porque a velocidade angular vai aumentar quando ele encolher os braços? Figura 62

90 Um estudante segura o eixo de uma roda de bicicleta girando na vertical. Explicar o que acontece quando o eixo da

bicicleta é colocado a girar na horizontal. Figura 63 Figura 64


Figura 63 Figura 64

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apostila física exp

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