apostila física química e matemática - pré-vestibular udesc 2005

MUNDO FISICO

A Fısica como voce nunca viu!

Nossa Apostila

A edicao dessa apostila, coroa os esforcos feitos nos ultimosdois anos onde realizou-se o curso pre-vestibular, cada vezmais enfocado no vestibular da UDESC, e cada vez envol-vendo uma equipe maior e mais qualificada de alunos, pro-fessores e colaboradores.

Adaptada ao novo vestibular UDESC 2005, esperamos queesse material seja suficiente para a revisao dos conteudosexigidos pela Universidade.

Advertimos aos alunos que as aulas semanais, oito de Fısica,quatro de Quımica e quatro de Matematica, apenas, naoserao suficientes para a revisao completa dos conteudos danossa Apostila, exigindo dos mesmos, algumas horas de lei-tura e estudo caseiro, trabalhando em exercıcios comple-mentares especialmente selecionados para essas atividadesextra-classe.

Projetos de Extensao

O projeto de extensao Entendendo a Fısica para o Ves-tibular desenvolve atividades de Ensino de Fısica e Ma-tematica para alunos da Rede Estadual de Santa Cata-rina ministrando aulas para os estudantes e preparando-os para ingressarem na Universidade. Havera desta formamaior divulgacao desta Instituicao e dos cursos que ela ofe-rece. Paralelamente, desenvolve-se um programa social deassistencia as comunidades carentes de Joinville, atraves dadoacao de 40 cestas basicas com alimentos. Queremos, comeste projeto, que os futuros licenciados em Fısica estejamcada vez mais compromissados com a formacao de cidadaoscrıticos e melhor preparados para sua insercao social.

Outro o projeto chamado A Fısica na Escola preve aformacao de um grupo de alunos voluntarios que ministraraopalestra nas escolas publicas de ensino medio de Joinville,abordando assuntos relacionados a Fısica e suas aplicacoes.O aluno atendido pelo projeto, tera maior acesso ao conhe-cimento cientıfico e sua relacao com o dia-a-dia, e poderaconhecer um pouco mais da historia da Fısica, suas relacoescom os aspectos culturais, polıticos, sociais e economicos,e tera contato com futuros professores de Fısica, e poderaconhecer um pouco melhor o ofıcio do ensino, essa profissaopromissora e fundamental para o desenvolvimento do nossopaıs.

Outro projeto, o Jornal do Mundo Fısico e uma publicacaomensal, abrangendo como temas assuntos relacionados aFısica, desde aplicacoes, informes, curiosidades e desco-bertas. Este jornal pretende, alem de instrumentalizar osalunos do ensino medio e da propria Universidade paracompreensao e respectiva aplicacao tecnologica, promovercondicoes para que os alunos possam transformar cada vezmais a si e a seu mundo. A tiragem mensal e de 1.500exemplares e o jornal pode ser lido pela internet.

Finalmente, a Home Page Mundo Fısico, resultado de ou-tro projeto, abrangendo como temas assuntos relacionados aFısica, desde aplicacoes, informes, curiosidades e descober-tas. Esta home page pretende auxiliar a instrumentalizaros alunos do ensino medio e da propria Universidade parauma melhor compreensao de conceitos fısicos e aplicacoestecnologicas. Essa pagina centraliza, amplia e divulga osresultados obtidos nos outros projetos, servindo como basede partida para novas ideias e possibilidades sugeridas pe-los alunos da UDESC, e pelos internautas que nos visitamdiariamente. A pagina ainda nao completou um ano de ati-vidades no ar, mas ja conta com mais de 10 mil acessos,chegando hoje a mais de 300 acessos diarios.

Todos os quatro projetos canalizam os esforcos de dezenas,talvez centenas de alunos, alguns professores e colaborado-res, que sem medir esforcos, se dispuzeram a fazer com queideias simples se tronassem realidade.

Nosso Endereco na Internet

http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

Convidamos a todos para que visitem o nosso site!

Joinville-SC, 5 de outubro de 2004

Professor Luciano Camargo MartinsCoordenador do Mundo Fısico

e-Mail: [email protected]

Sumario

FISICA1

Fısica A – Aula 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Uma Forca Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Uma Forca Variavel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Tipos de Forcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Potencia P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Teorema Trabalho-Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Exercıcios de Aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Mais Exercıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Fısica A – Aula 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Energia Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Energia Potencial Gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Forca Elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Energia Potencial Elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4


Mais Exercıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Fısica A – Aula 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Trabalho e Energia Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Forcas Conservativas e Dissipativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

A Conservacao da Energia Mecanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Degradacao da Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6


Mais Exercıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Fısica B – Aula 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Grandezas Fısicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Sistema Internacional(SI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Notacao Cientıfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

i

ii


Mais Exercıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Fısica B – Aula 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Algarismos Significativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Criterios de Arredondamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

REGRAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Operacoes com Algarismos Significativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Relacoes entre Grandezas Fısicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Como Construir um Grafico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11


Mais Exercıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Fısica B – Aula 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Grandezas Escalares e Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Grandezas Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Grandezas Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14


Mais Exercıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Fısica B – Aula 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

A Primeira Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

O Conceito de Forca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

A Primeira Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

O que e Inercia? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Equilıbrio de uma Partıcula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16


Mais Exercıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Fısica C – Aula 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

As Leis de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

A Lei das Orbitas (1609) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

A Lei da Areas (1609) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

A Lei dos Perıodos (1618) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18


Mais Exercıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Fısica C – Aula 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Gravitacao Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Uma Forca Elementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19


Mais Exercıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Fısica C – Aula 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

iii

Densidade e Massa especıfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Pressao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Pressao Hidrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Pressao Manometrica e Absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21


Mais Exercıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Fısica C – Aula 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Hidrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Lei de Stevin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Princıpio de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Princıpio de Arquimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23


1.1 Exercıcios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Fısica D – Aula 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Ponto Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Repouso, Movimento e Referencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Trajetoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Deslocamento × Distancia Percorrida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Deslocamento Escalar ∆s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Velocidade Escalar Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Velocidade Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Aceleracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Aceleracao Escalar Media (am) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26


Mais Exercıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Fısica D – Aula 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Movimento Uniforme (MU) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Equacao Horaria do MU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Grafico da Velocidade v × t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Grafico da Posicao x× t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28


Mais Exercıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Fısica C – Aula 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Movimento Uniformemente Variado (MUV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Aceleracao e Velocidade no MRUV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Posicao versus tempo no MRUV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

A Equacao de Torricelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30


Mais Exercıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

iv

Fısica D – Aula 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Queda Livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Convencoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Velocidade Escalar Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Tempo de Queda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Lancamento Vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33


Mais Exercıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Fısica D – Aula 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Movimento Circular Uniforme (MCU) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Movimento Periodico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Perıodo (T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Frequencia (f) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Velocidade Escalar v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Velocidade Angular ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Vetores no MCU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35


Mais Exercıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Fısica D – Aula 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Escalas Termometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Conversao de Temperaturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Intervalos de Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37


Mais Exercıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Fısica E – Aula 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Eletricidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Carga Eletrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Tipos de Materiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Eletrizacao por Atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Eletrizacao por Contato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Eletrizacao por Inducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39


Mais Exercıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Fısica E – Aula 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Eletricidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Eletroscopio de Folhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

A Lei de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

v


Mais Exercıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Fısica E – Aula 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Campo Eletrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

O Vetor Campo Eletrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Calculo do Campo Eletrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Campo Eletrico Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44


Mais Exercıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Fısica E – Aula 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Potencial Eletrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Diferenca de Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46


Mais Exercıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Fısica E – Aula 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Superfıcies Equipotenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47


Mais Exercıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Fısica E – Aula 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Condutores em Equilıbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Equilıbrio Eletrostatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

O Poder das Pontas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Condutor Oco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Potencial Eletrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Condutor Esferico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Blingdagem Eletrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Como Funciona o Para-Raios? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Saiba Mais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50


Mais Exercıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Capacidade Eletrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Unidades SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Capacitores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52


Mais Exercıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Fısica E – Aula 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Associacao de Capacitores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Associacao de Capacitores em Serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Associacao de Capacitores em Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Energia de um Caacitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

vi

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54


Mais Exercıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

QUIMICA55

Quımica A – Aula 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Estrutura Atomica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Modelos Atomicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Resumo do Modelo de Rutherford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Representacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56


Mais Exercıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Quımica A – Aula 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Modelos Atomicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

O Modelo Atomico de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

O Modelo Atomico Atual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59


Mais Exercıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Quımica A – Aula 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Ligacoes Quımicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Estabilidade dos Atomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Teoria do Octeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Classificacao dos Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Estruturas de Lewis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62


Mais Exercıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Quımica A – Aula 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62


Ligacao Ionica ou Eletrovalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Ligacao Metalica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Ligacao Covalente ou Molecular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64


Mais Exercıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Quımica A – Aula 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

A Estrutura da Materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Propriedades Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Os Gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66


vii

Mais Exercıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Quımica A – Aula 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Teoria Cinetica dos Gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Gas Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Gas Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Leis dos Gases Ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Lei Combinada dos Gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Lei dos Gases Ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Lei das Pressoes Parciais de Dalton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Volumes Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Mudancas de Estado Fısico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Fusao e Solidificacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Vaporizacao e Condensacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Diagrama de Fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Sublimacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69


Mais Exercıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Quımica A – Aula 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Acidos e Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Acidos e Bases de Arrhenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Nomenclatura dos Acidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Caracterısticas das Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Classificacao das Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Outros Conceitos de Acidos e Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Conceitos de Bronsted-Lowry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Par Conjugado Acido–Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Conceito de Lewis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Comparando Coceitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Estequiometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

O mol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73


Mais Exercıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Quımica A – Aula 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Solucoes Quımicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Concentracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Tıtulo τ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Porcentagem em Massa P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Concentracao Comum C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Molaridade M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Equivalente-Grama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Numero de Equivalentes-Gramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Normalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

viii

Resumo das Principais Equacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75


Mais Exercıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Quımica B – Aula 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

O que e Quımica? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Um Pouco de Historia... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

A Importancia da Quımica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Metodo Cientıfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Fenomenos Quımicos e Fısicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76


Mais Exercıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Quımica B – Aula 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Materia e Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Lei da Conservacao da Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Estados da Materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Mudancas de Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Partıculas e Atomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Elementos e Substancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Sistemas e Misturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78


Mais Exercıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Quımica B – Aula 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Metais, Semimetais e Ametais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Isotopos e Isobaros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Classificacao dos Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Ions e Valencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Propriedades Periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81


Mais Exercıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Quımica B – Aula 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Propriedades Periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Tamanho do Atomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Potencial de Ionizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Eletroafinidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Eletronegatividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Reatividade Quımica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Densidade (ρ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Volume Atomico v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Ponto de Fusao (PF ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83


ix

Mais Exercıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Quımica B – Aula 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84


Compostos Ionicos e Moleculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85


Mais Exercıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Quımica B – Aula 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85


Geometria Molecular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Forcas Intermoleculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88


Mais Exercıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Quımica B – Aula 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Equacoes e Reacoes Quımicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Determinacao dos Coeficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Dicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Tipos de Reacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Para Saber Mais! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Voce Sabia? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90


Mais Exercıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Matematica A – Aula 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Relacoes e Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Relacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Tipos de Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95


Mais Exercıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Matematica A – Aula 02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Funcoes Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Funcao Polinomial de 10 Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Funcao Polinomial de 2o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99


Mais Exercıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99


Funcoes Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Funcao Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Cuidado! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

x

Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Funcao Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100


Mais Exercıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101


Funcoes Especiais (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Funcao Logarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Funcoes Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Relacoes trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Transformacoes Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104


Mais Exercıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Matematica B – Aula 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Notacao Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Tipos de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Igualdade de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106


Mais Exercıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106


Operacoes com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Adicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Subtracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Multiplicacao por um Numero Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Multiplicacao de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Inversao de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107


Mais Exercıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108


Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Determinante de 1a Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108



Menor Complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Cofator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Teorema de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Propriedades dos determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110


Mais Exercıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

xi

Matematica C – Aula 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Teoria dos Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Representacao de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Classificacao dos Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Igualdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Subconjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Conjunto das Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Operacoes com Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114


Mais Exercıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114


Conjuntos Numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

O Nascimento do Numero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Conjuntos Numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Operacoes com Numeros Inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Potenciacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116


Mais Exercıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117


Numeros complexos (C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Potencias Naturais de i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Forma Algebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Igualdade de Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Operacoes com Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Representacao Geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Modulo de um numero complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Argumento de um Complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Forma Trigonometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119


Mais Exercıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Matematica C – Aula 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Razoes e Proporcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Razao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Proporcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Grandezas Diretamente Proporcionais: (GDP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Grandezas Inversamente Proporcionais (GIP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121


Mais Exercıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

xii


Regras de Tres Simples e Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Regra de Tres Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

[Regra de Tres Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123


3.1 Exercıcios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123


Juros e Porcentagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Juros Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Porcentagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Razao Centesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Fator de Multiplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125


Mais Exercıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Analise Combinatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Princıpio Fundamental da Contagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Fatorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127


Mais Exercıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127


Arranjo, Combinacao e Permutacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Arranjos Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Combinacoes Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Permutacoes Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Pense um Pouco! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128


Mais Exercıcios... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Tabela Periodica 131

Fısica

Fısica A Aula 1

Energia

A energia se apresenta de diversas formas na natu-reza. Por exemplo os alimentos que nos proporcionamenergia quımica, a combustao da gasolina libera energiatermica, energia eletrica e utilizados em diversos aparelhos,transformando-se em energia sonora, energia luminosa, etc.Para medir a quantidade de energia transferida de um corpopara outro vamos introduzir o conceito de trabalho.

Trabalho

O significado da palavra trabalho, na Fısica, e diferente doseu significado habitual, empregado na linguagem comum.O trabalho, na Fısica e sempre relacionado a uma forcaque desloca uma partıcula ou um corpo. Dizemos que umaforca F realiza trabalho quando atua sobre um determinadocorpo que esta em movimento. A partir dessa descricaopodemos dizer que so ha trabalho sendo realizado se houverdeslocamento, caso contrario o trabalho realizado sera nulo.Assim, se uma pessoa sustenta um objeto, sem desloca-lo,ela nao esta realizando nenhum trabalho sobre o corpo.

Quando uma forca F atua sobre um corpo no mesmo sentidode seu movimento (ou deslocamento) ela esta favorecendoo movimento desse corpo, considera-se positivo o trabalhorealizado pela forca.

Uma Forca Constante

Quando a forca F atua no sentido contrario ao movimentodo corpo, contra o movimento (deslocamento), o trabalhorealizado pela forca e considerado negativo.

Desta maneira podemos escrever que trabalho W realizadopor uma forca horizontal constante, durante um desloca-mento horizontal d e:

W = ±F d (1.1)

onde F e o modulo da forca constante e d e o deslocamento(em modulo). O sinal + e usado quando a forca e o des-locamento possuem o mesmo sentido, e o sinal −, quandopossuem sentidos contrarios.

Importante

Observe que o trabalho e uma grandeza escalar, apesar deser definida a partir de dois vetores (F e d).

Unidades

1 N ·m = 1 J = 1 joule = 107 erg

1 kJ = 103 J

Quando a forca for aplicada ao corpo formando um anguloφ com a horizontal, temos a seguinte formula mais geral:

W = F d cosφ (1.2)

onde F e o modulo da forca constante, d e o deslocamento(em modulo) e φ o angulo entre os vetores F e d, ou seja,entre a direcao da forca e o deslocamento.

Podemos tambem calcular o trabalho W realizado pela forcaF atraves da area sob a curva do grafico F × x:

W ≡ Area sob a curva

Observe que neste caso deveremos descobrir o sinal do tra-balho atraves da analise do grafico, e do sentido relativoentre a forca e o deslocamento (ou do angulo φ).

1

2 Apostila do Curso Pre-Vestibular UDESC 2005 – Modulo I

Uma Forca Variavel

0 grafico abaixo representa a acao de uma forca variavel queage sobre um corpo, provocando um deslocamento linear,desde o ponto x′ ate o ponto x′′.

Neste caso, o trabalho pode ser determinado pela area soba curva, desenhando-se o grafico em papel quadriculado, oude forma aproximada pela area de um trapezio:

W = Fd =

(F ′′ + F ′

2

)(x′′ − x′)

Observe que essa formula considera a forca media (aproxi-mada) multiplicada pelo deslocamento.

Tipos de Forcas

Existem diversos tipos de forcas que podem atuar em umcorpo: forca elastica, forca peso, forca eletrica, forca decontato, etc...

Potencia P

Consideramos duas pessoas que realizam o mesmo trabalho.Se uma delas levar um tempo menor que a outra para arealizacao desse trabalho, tem de fazer um esforco maior e,por tanto, dizemos que desenvolveu uma potencia maior.

Um carro e mais potente que o outro quando ele “ar-ranca”mais rapido e atinge uma dada velocidade num in-tervalo de tempo menor do que o outro carro..

Um aparelho de som e mais potente que o outro quando eleele transforma mais energia eletrica em sonora num menorintervalo de tempo. Uma maquina e caracterizada nao sopelo trabalho que ela efetua, mas pelo trabalho que podeefetuar em determinado tempo.

Entao podemos concluir que potencia e o trabalho realizadodurante um determinado tempo, ou seja:

P = W/t

Figura 1.1: James Watt (1736-1819)

Em alguns casos, pode-se escrever W = Fd e, substituindona equacao acima temos

P =W

t=Fdt

t= Fv .

ja que v = d/t.

Unidade de Potencia

1 J/s = 1 watt = 1 W

Energia cinetica

Para variar a velocidade de um corpo em movimento e pre-ciso o concurso de forcas externas, as quais realizam certotrabalho. Esse trabalho e uma forma de energia que o corpoabsorve (ou perde) pelo fato de estar em movimento emrelacao a um dado sistema de referencia.

Chamamos essa energia de movimento de energia decinetica. Para uma partıcula de massa m e velocidade va energia cinetica e:

Ec =1

2mv2

Fısica A – Aula 1 3

e assim como o trabalho, mede-se a energia cinetica emjoules.

Teorema Trabalho-Energia

Suponhamos que FR seja a resultante das forcas que atuamsobre uma partıcula de massa m. O trabalho dessa resul-tante e igual a diferenca entre o valor final e o valor inicialda energia cinetica da partıcula:

W = ∆Ec =1

2mv2

f −1

2mv2

i

Esse enunciado, conhecido como teorema do trabalho-energia indica que o trabalho da resultante das forcas queatua sobre uma partıcula modifica sua energia cinetica.

Pense um Pouco!

• Que trabalho realizamos sobre um corpo que e levan-tado a uma determinada altura? Esse trabalho seriapositivo ou negativo?

• Se voce pudesse segurar um elefante a uma determinadaaltura, voce estaria realizando trabalho? Por que?

• Um menino puxa um carrinho sem rodas, por um bar-bante.

1. Ha algum trabalho sendo realizado sobre o carri-nho? Por que? O trabalho e positivo ou negativo.

2. O menino desenvolve alguma potencia? Por que?

3. O carrinho tem energia cinetica? Por que?

Exercıcios de Aplicacao

1. (ESAL-MG) Um homem esta em repouso com um cai-xote tambem em repouso as costas.a) Como o caixote tem um peso, o homem esta realizandotrabalho.b) O homem esta realizando trabalho sobre o caixote pelofato de o estar segurandoc) O homem esta realizando trabalho pelo fato de estar fa-zendo forca.d) O homem nao realiza trabalho pelo fato de nao estar sedeslocando.e) O homem nao realiza trabalho pelo fato de o caixote estarsujeito a aceleracao da gravidade.

2. (UFSE) Um corpo esta sendo arrastado por uma su-perfıcie horizontal com atrito, em movimento uniforme.Considere as afirmacoes a seguir: I. O trabalho da forcade atrito e nulo. II. O trabalho da forca peso e nulo. III.A forca resultante que arrasta o corpo e nula. Dentre asafirmacoes:a) E correta a I, somente.b) E correta a II, somente.c) E correta a III, somente.d) Sao incorretas I, II, III.e) Sao corretas II e III.

3. (UMC-SP) Sobre trabalho, potencia e energia, pode-seafirmar que:a) potencia e energia sao sinonimos.b) trabalho e potencia se expressam com a mesma unidade.c) para trabalho e energia usa-se a mesma unidade.d) potencia e a capacidade de realizar trabalho.e) trabalho e a relacao energia-tempo.f) para trabalho e energia usa-se a mesma unidade.

4. O produto da forca pelo deslocamento do corpo em queela atua esta associado com:a) trabalhob) potenciac) distanciad) aceleracaoe) velocidade

Exercıcios Complementares

5. (UFSC) O grafico a seguir representa a resultante dasforcas, em newtons, que atuam num corpo de massa iguala 10, 0 kg, em funcao do deslocamento total em metros.Supondo que a velocidade e de 14 1

2 m/s, determine, emm/s, a velocidade do corpo depois de percorrer 40, 0 m.

6. Um projetil de massa 10, 0 g penetra com velocidadehorizontal de 100 m/s e sai de uma tabua de espessura de10, 0 mm, com velocidade de 90, 0 m/s. Calcule a forca comque a tabua exerce sobre o projetil.


7. Um movel de massa 2, 90 kg e submetido a uma forcaconstante e adquire, a partir do repouso, a velocidade de20, 0 m/s em 8, 00 s. Calcule:a) o trabalho W realizado pela forca;b) a potencia P desenvolvida pela forca;

Fısica A Aula 2

Energia Potencial

Um corpo possui energia quando e capaz de realizar traba-lho. Suponha, entao, um corpo situado a uma certa alturaacima do solo. Se este corpo for abandonado, chegando aosolo, e facil perceber que sera capaz de realizar um certotrabalho: amassar um objeto, perfurar o solo, etc. Pode-sepois concluir que aquele corpo possuıa energia na posicaoelevada.

A energia que um corpo possui, em virtude de estar situadoa uma certa altura acima da superfıcie da Terra, e denomi-nada energia potencial gravitacional. Ha outras situacoes,semelhantes a essa, nas quais um corpo tambem possui ener-gia em virtude da posicao que ele ocupa. Por exemplo, umcorpo situado na extremidade de uma mola comprimida (ouesticada) possui energia em virtude de sua posicao. Se umcorpo comprimir uma mola e soltarmos esse corpo, ele seraempurrado pela mola e podera realizar trabalho. Neste caso,a energia que o corpo possui na ponta da mola comprimidaou esticada e denominada energia potencial elastica.

Energia Potencial Gravitacional

Para uma massa m a uma altura h acima do solo, nossoreferencial usual de energia zero, podemos definir a energiapotencial gravitacional Ep como

Ep = mgh

onde g e a aceleracao da gravidade. No SI, g vale aproxi-madamente 9, 8 m/s2.

Forca Elastica

Chamamos de corpos elasticos aqueles que, ao serem de-formados, tendem a retornar a forma inicial.

Figura 1.1: Robert Hooke (1635-1703)

Uma mola helicoidal, feita geralmente de aco, como carac-terıstica propria uma constante elastica k, que define aproporcionalidade entre a intensidade forca F aplicada e arespectiva deformacao x causada na mola. A lei de Hookerelaciona essas quantidades na forma

F = −kx

Observe que x mede a deformacao linear da mola a partirdo seu tamanho de equilıbrio (sem forca).

Atrves a equacao acima, pode-se ver que a unidade SI daconstante elastica deve ser N/m. Na pratica, a constantek mede a “dureza´´ da mola: quanto maior o valor de k,mais difıcil sera a sua deformacao, ou seja, mais forca seranecessaria para deforma-la uma certa quantidade x.

Energia Potencial Elastica

Quando aplicamos uma forca e deformamos uma mola esta-mos transferindo a ela uma energia, essa energia fica arma-zenada na mola. Definimos que a energia armazenada emuma mola comprimida ou distendida e chamada de energiapotencial elastica, atraves de

Ep =1

2kx2

Pense um Pouco!

• A energia potencial gravitacional depende da ace-leracao da gravidade, entao em que situacoes essa ener-gia e positiva, nula ou negativa?

Fısica A – Aula 3 5

• A forca elastica depende da massa da mola? Por que?

• Se uma mola e comprimida por um objeto de massagrande, quando solto a mola nao consegue se mover, oque acontece com a energia potencial elastica?


1. Um garoto atira uma pedra para cima com um estilin-gue.a) Qual a forma de energia armazenada no estilingue?b) Que forma de energia possui a pedra quando atinge suaaltura maxima?c) Existe energia no estilingue depois do lancamento? Co-mente.

2. Um para-quedista desce com velocidade constante, de-pois de um certo tempo de queda.a) O que acontece com sua energia potencial Ep?b) Sua energia cinetica esta variando? Comente.

3. Um indivıduo encontra-se sobre uma balanca de mola,pisando sobre ela com seus dois pes. Se ele levantar umdos pes e mantiver o outro apoiado, no interior de um ele-vador completamente fechado, quando observa que o pesoindicado na balanca e zero. Entao, conclui que:a) esta descendo com velocidade constanteb) o elevador esta com aceleracao igual a da gravidadec) a forca de atracao gravitacional exercida sobre ele e anu-lada pela reacao normal do elevadord) a balanca esta quebrada, visto que isto e impossıvel

4. Duas pedras, sendo uma de 20 kg e outra de 30 kg, estaoa 500 m de altura em relacao ao solo. Voce diria que:a) ambas as pedras tem igual energia potencial;b) a pedra de menor massa tem maior energia potencialc) nada podemos afirmar com relacao a energia potencialdas pedrasd) a pedra de massa menor tem maior capacidade de realizartrabalhoe) a pedra de maior massa tem maior energia potencial

5. (UFRN) Uma mola heliciodal, de massa desprezıvel,esta suspensa verticalmente e presa a um suporte horizon-tal. Quando se pendura um corpo de 40 kg na extremidadelivre dessa mola, ela apresenta deformacao de 2, 0 cm parao sistema em equilıbrio. Se acrescentarmos a essa massaoutra de 10 kg, no ponto de equilıbrio, a nova deformacaosera de:a) 3,0 mb) 2,5 cmc) 2,0 md) 1,5 cme) 1,0 m


6. Uma mola cuja constate elastica e 1000 N/m encontra-secomprimida em 10 cm.

a) Determine a enregia potencial elastica armazenada namola.b) Se apenas energia da mola for utilizada integralmentepara impulsionar um bloco de 100 g, qual e a velocidademaxima adquirida pelo bloco?

7. Qual o trabalho necessario para se comprimir uma mola,cuja constante elastica e 500 N/m, em 10, 0 cm?

8. Um menino situado no alto de um edifıcio, segura umcorpo de massa 1, 5 kg a uma altura igual a 10 m acima dosolo.a) Qual a energia potencia gravitacional do corpo naquelaposicao?b) Qual a energia potencia gravitacional do mesmo corpo,quando situado a 6, 0 m do chao?

Fısica A Aula 3

Trabalho e Energia Potencial

Figura 1.1: James Prescott Joule (1818-1889).

A energia potencial gravitacional esta relacionada a posicaode um corpo no campo gravitacional. Em geral, quandomovemos o corpo, alteramos sua energia potencial.

Para elevar um corpo em equilıbrio do solo ate uma alturah, devemos aplicar uma forca que prealizara um trabalho(positivo) de mesmo modulo que o trabalho realizado pelaforca peso do corpo (negativo).


m

P

ext.F = −P

Figura 1.2: Um corpo sendo suspenso em equilıbrio.

O trabalho realizado pela forca externa Fext., e armazenadono sistema corpo-Terra na forma de energia potencial gra-vitacional Ep, e vale:

Ep = −mghse definirmos o valor zero (Ep = 0) no chao, onde h = 0.

Ja para o sistema massa-mola, temos uma forca externasendo aplicada no sistema fazendo com que a mola sofrauma deformacao, sendo essa forca

F = −kxo trabalho W externo necessario para esticar a mola umaquantidade x sera

W =1

2kx2

e chamamos essa energia, agora armazenada na mola, deenergia potencial elastica.

Figura 1.3: Uma mola esticada, em equilıbrio.

Forcas Conservativas e Dissipativas

Quando sobre um corpo em movimento atua apenas seupeso, ou forca elastica exercida por uma mola, a energia

mecanica desse corpo se conserva. Por este motivo, as forcascitadas sao denominadas forcas conservativas. Exemplo:ao dar corda em um relogio, voce esta armazenando ener-gia potencial elastica numa mola, e essa energia estara dis-ponıvel para fazer com que o relogio trabalhe durante umcerto tempo. Isso so e possıvel porque a energia elastica foiarmazenada (conservada).

Por outro lado, se existissem forcas de atrito atuando du-rante o deslocamento do corpo, sua energia mecanica nao seconserva, por que parte dela (ou ate ela toda) se dissipa sobforma de calor. Por isso dizemos que as forcas de atrito saoforcas dissipativas. Exemplo: se voce arrastar um caixotepelo chao horizontal, durante um longo percurso, vera quetodo o trabalho realizado foi perdido, pois nenhuma partedessa energia gasta foi armazenada, ou esta disponıvel nocaixote.

A Conservacao da Energia Mecanica

Um sistema mecanico no qual so atuam forcas conservativase dito sistema conservativo, pois a sua energia mecanica(E) se conserva, isto e, mantem-se com o mesmo valor emqualquer momento ou posicao, podendo alternar-se nas suasformas cinetica e potencial (gravitacional ou elastica):

E = Ec + Ep

Degradacao da Energia

A energia esta constantemente se transformando, mas naopode ser criada nem destruıda.

• Em uma usina hidreletrica, a energia mecanica daqueda d’agua e transformada em energia eletrica.

• Em uma locomotiva a vapor, a energia termica e trans-formada em energia mecanica para movimentar o trem.

• Em uma usina nuclear, a energia proveniente da fissaodos nucleos atomicos se transforma em energia eletrica.

• Em um coletor solar, a energia das radiacoes proveni-entes do sol se transforma em energia termica para oaquecimento de agua.

Pense um Pouco!

• Um corpo cai sobre uma plataforma apoiada numamola e volta a subir. Ele pode atingir, na volta, al-tura maior do que aquela de que foi abandonado? Porque?

• Indique algumas fontes de energia e explique a forma deaproveita-las para a realizacao de trabalho mecanico.

• Quando se ergue um objeto a uma certa altura, comose realiza menor trabalho: suspendendo-o diretamentepor uma corda, na vertical, ou transportando-o atravesde um plano inclinado (sem atrito) ate a altura dese-jada? Por que?

Fısica B – Aula 1 7

• Compare a energia necessaria para elevar de 10 m umamassa na Terra e a energia necessaria para elevar de10 m a mesma massa na Lua. Explique a diferenca.


1. Quais as transformacoes de energia que ocorrem quandoum jogador chuta uma bola?

2. Quais as principais diferencas entre energia potencial eenergia cinetica?

3. Uma forca e dita conservativa quando:a) nao realiza trabalhob) o trabalho por ela realizado nao depende da trajetoria deseu ponto de aplicacaoc) realiza apenas trabalhos positivosd) o trabalho por ela realizado nao depende da massa docorpo em que esta aplicadae) dissipa energia termica

4. Um sistema fısico tem energia quando:a) esta sujeito apenas a acoes de forcas conservativas;b) esta sujeito a forcas conservativas e dissipativas;c) esta capacitado a realizar trabalho;d) possui grande quantidade de atomose) perde calor


5. O princıpio da conservacao da energia afirma que:a) a energia cinetica de um corpo e constanteb) a energia potencial elastica mais a energia cinetica e sem-pre constantec) a energia nao pode ser criada nem destruıda, mas apenastransformada em calor devido aos atritosd) a energia total de um sistema, isolado ou nao, permanececonstantee) a energia nao pode ser criada nem destruıda, mas apenastransformada de uma modalidade para outra

6. A energia mecanica de um corpo:a) e a soma da sua energia potencial e cineticab) depende apenas do referencialc) depende da aceleracao do corpod) e sempre constante, independente do tipo de forcas atu-antes sobre elee) depende apenas da velocidade do corpo

7. Para esticar uma mola em 40 cm, e necessaria uma forcade 20 N . Determine:a) A constante elastica da mola;b) O trabalho realizado pelo agente externo que estica amola;c) O trabalho realizado pela mola;d) O trabalho que seria necessario para deformar a mola em80 cm;e) A forca necessaria para esticar a mola em 80 cm.

8. Um corpo de massa 5, 0 kg e elevado do solo a um pontosituado a 3, 0 m de altura. Considere g = 10 m/s2. Deter-mine:a) o trabalho realizado pela forca peso do corpo nesse des-locamento;b) o aumento na energia potencial gravitaconal do corpo.

9. (Fatec-SP) Um corpo de massa 2, 0 kg escorrega, a partirdo repouso do ponto A, por uma pista vertical sem atrito.Na base da pista, o corpo comprime a mola de constanteelastica 800 N/m. Sendo h = 1, 8 m e g = 10 m/s2, qual adeformacao maxima sofrida pela mola?

Figura 1.4: Questao 9.

Fısica B Aula 1

Grandezas Fısicas

Apesar de existirem muitas grandezas fısicas, sao estabele-cidos padroes e definidas unidades para que tenhamos umnumero mınimo de grandezas denominadas fundamentais.Utilizando as grandezas fundamentais definem-se unidadespara todas as demais grandezas, as chamadas grandezas de-rivadas.

A partir de uma das grandezas fundamentais, o compri-mento por exemplo, cuja unidade e o metro (m), pode-sedefinir as unidades derivadas, como area (m2) e volume(m3). Utilizando o metro e outra grandeza fundamental,a de tempo, definem-se as unidades de velocidade (m/s) eaceleracao (m/s2).

Sistema Internacional(SI)

Ate o final do seculo XV III era muito grande a quantidadede padroes existentes. Cada regiao escolhia arbitrariamenteas suas unidades. Por motivos historicos, os paıses de lınguainglesa utilizam ate hoje os seus padroes regionais. O ele-vado aumento nos intercambios economicos e culturais levouao surgimento do Sistema Internacional de Unidades ou SI,o sistema metrico.

Em 1971, a 14a Conferencia Geral de Pesos e Medidas es-colheu sete grandezas como fundamentais, formando assima base do SI. Alem das grandezas, definiu-se tambem ossımbolos, unidades derivadas e prefixos. A tabela 1.1 mos-tra as unidades fundamentais do SI. A tabela 1.2 apresentaalgumas unidades derivadas do SI.


Grandeza Unidade Sımbolocomprimento metro mmassa quilograma kgtempo segundo scorrente eletrica ampere Atemperatura kelvin Kquantidade de materia mol molintensidade luminosa candela cd

Tabela 1.1: Unidades fundamentais do SI.

Grandeza Unidade Sımboloarea metro qua-

dradom2

volume metro cubico m3

densidade quilogramapor metrocubico

kg/m3

velocidade metro por se-gundo

m/s

aceleracao metro porsegundo aoquadrado

m/s2

forca newton N = Kgm/s2

pressao pascal Pa = N/m2

trabalho, energia, calor joule Jpotencia watt W = J/scarga eletrica coulomb C = Asdiferenca de potencial volt V = J/Cresistencia eletrica ohm Ω = V/A

Tabela 1.2: Algumas unidades derivadas do SI.

Prefixo Sımbolo Potencia de dezcorrespondente

pico p 10−12

nano n 10−9

micro µ 10−6

mili m 10−3

centi c 10−2

deci d 10−1

deca D 101

hecto H 102

quilo k 103

mega M 106

giga G 109

tera T 1012

Tabela 1.3: Prefixos, sımbolos e potencias de dez.

Notacao Cientıfica

A medida de uma determinada grandeza fısica pode resultarem um numero que seja extremamente grande ou extrema-mente pequeno, por exemplos temos:

• distancia da Terra a Lua: 384.000.000 m.

• diametro de um atomo de hidrogenio: 0, 0000000001 m.

Para manipular tais numeros, utilizamos a notacao ci-entıfica, fazendo uso das potencias de 10.

O modulo de qualquer numero g pode ser escrito como umproduto de uma mantissa a, entre um e dez, por outro, quee uma potencia de dez:

g = a× 10n ,

onde devemos ter 1 ≤ a < 10.

Exemplos

• 243 = 2, 43× 100 = 2, 43× 102

• 5.315 = 5, 315× 1000 = 5, 315× 103

• 0, 00024 = 2, 4× 0, 0001 = 2, 4× 10−4

• 0, 00458 = 4, 58× 0, 001 = 4, 58× 10−3

Regra Pratica

• Numeros maiores que 1: deslocamos a vırgula paraa esquerda, ate atingir o primeiro algarismo do numero.O numero de casas deslocadas para a esquerda corres-ponde ao expoente positivo da potencia de 10.

• Numeros menores do que 1: deslocamos a vırgulapara a direita, ate o primeiro algarismo diferente dezero. O numero de casas deslocadas para a direita cor-responde ao expoente negativo da potencia de 10.

Pense um Pouco!

• Quais sao as unidades de Peso e de massa? por queelas nao sao iguais?

• Um analgesico deve ser inserido na quantidade de3 mg/kg de massa corporal, mas a dose administradanao pode exceder 200 mg. Cada gota contem 5 mgdo remedio. Quantas gotas devem ser prescritas a umpaciente de 80 kg?


1. (UENF-RJ) A tabela abaixo mostra as dimensoes e asunidades, no sistema internacional,

Grandeza Dimensao Unidades SIComprimento L m (metro)Massa M kg (quilograma)Tempo T s (segundo)

das grandezas mecanicas primarias:a) Sabendo que forca = massa · aceleracao, expresse a uni-dade de forca em unidades de grandezas primarias.b) Determine os valores de n e p, se a expressao MLnTn−p

corresponde a dimensao de energia cinetica.

2. (FGV-SP) A dimensao de potencia em funcao das gran-dezas fundamentais, massa (M), comprimento (L) e tempo(T ) e:


a) ML2T−2

b) ML2T−1

c) ML2T 2

d) ML2T−3

e) MLT−2

3. (Unifor-CE) Considerando que cada aula dura 50 min,o intervalo de tempo de duas aulas seguidas, expresso emsegundos, e de:a) 3, 0× 102.b) 3, 0× 103.c) 3, 6× 103.d) 6, 0× 103.e) 7, 2× 103.


4. (UFPI) A nossa galaxia, a Vıa Lactea, contem cerca de400 bilhoes de estrelas. Suponha que 0, 05% dessas estre-las possuam um sistema planetario onde exista um planetasemelhante a Terra. O numero de planetas semelhantes aTerra, na Vıa Lactea, e:a) 2× 104.b) 2× 106.c) 2× 108.d) 2× 1011.e) 2× 1012.

5. Transforme em quilometros:a) 3600 m;b) 2160000 cm;c) 0, 03 m;d) 5780 dm;e) 27600 m;f) 5800 mm;

6. (Unifor-CE) Um livro de Fısica tem 800 paginas e 4, 0 cmde espessura. A espessura de uma folha do livro vale, emmilımetros:a) 0, 025.b) 0, 050.c) 0, 10.d) 0, 15.e) 0, 20.

7. Escreva os seguintes numeros em notacao cientıfica:a) 570.000b) 12.500c) 50.000.000d) 0, 0000012e) 0, 032f) 0, 72g) 82× 103

h) 640× 105

i) 9.150× 10−3

j) 200× 10−5

k) 0, 05× 103

l) 0, 0025× 10−4

Fısica B Aula 2

Algarismos Significativos

A precisao de uma medida simples depende do instrumentoutilizado em sua medicao. Uma medida igual a 2, 00 cm naodeve ser escrita como 2, 0 cm ou 2 cm.

Denominamos algarismos significativos todos os algarismosconhecidos com certeza, acompanhados de um ultimo duvi-doso, que expressam o valor da medida de uma grandeza,ou seja: todos os algarismos que representam a medida deuma grandeza sao algarismos significativos, sendo chamadosde corretos, com excecao do ultimo, que recebe o nome dealgarismo duvidoso.

O algarismo duvidoso de uma medida sera sublinhado paradestaca-lo, quando for preciso.

Exemplos

1. A medida 2, 35 cm apresenta tres algarismos significa-tivos (2, 3 e 5), sendo dois algarismos corretos (2 e 3)e um algarismo duvidoso (5).

2. A medida 0, 00057 mm apresenta somente dois alga-rismos significativos ( 5 e 7), sendo um correto (5) eum duvidoso (7). Observe que os zeros a esquerdanao sao algarismos significativos, pois servem apenaspara posicionar a vırgula no numero. Nesse caso, eaconselhavel escrever a medida em notacao cientıfica:5, 7× 10−4 mm.

3. A medida 150, 00 km apresenta cinco algarismos signi-ficativos, sendo os quatro primeiros corretos, e o ultimozero e o algarismo duvidoso. Em notacao cientıfica es-crevemos: 1, 5000 × 102 km. Note que ao escrever-mos um numero usando as potencias de 10 mantemosa quantidade de algarismos significativos deste numero,ou seja, mantemos sua precisao.

4. Considere a medida do comprimento de uma haste comregua com divisoes em centımetros:

0 cm 1 2 3 4 5 6 7

Qual das opcoes abaixo melhor representa o compri-mento da haste?

a) 5, 0 cm

b) 5, 40 cm

c) 5 cm

d) 5, 5 cm

e) 5, 2 cm

5. Considere a figura:

0 cm 1 2 3 4 5 6 7


A mesma haste do exemplo anterior, medida agora comuma regua milimetrada:

a) 5, 2 cm

b) 5, 240 cm

c) 5, 45 cm

d) 5, 24 cm

e) 5, 21 cm

6. Indique o numero de algarismos significativos de cadanumero abaixo:

a) 7, 4 2 significativos

b) 0, 0007 1 significativo

c) 0, 034 2 significativos

d) 7, 40× 10−10 3 significativos

Criterios de Arredondamento

Considere a velocidade da luz c = 2, 9979 . . .× 108 m/s.

Como devemos proceder para escrever “c” com um numeromenor de algarismos significativos? Devemos utilizar oscriterios de arredondamento.

Podemos escrever:

c = 2, 998× 108 m/s 4 significativos



REGRAS

• Se o algarismo a ser eliminado e menor que 5, ele esimplesmente eliminado.

Exemplo:√

2 = 1, 41421 . . . = 1, 414

• Se o algarismo a ser eliminado e igual ou maior que5, ele e eliminado, mas acrescentamos uma unidade noalgarismo anterior.

Exemplo: π = 3, 1415926 . . . = 3, 1416

Operacoes com Algarismos Significativos

Adicao e Subtracao

O resultado da adicao e subtracao de dois numeros nao podeter maior numero de casas decimais, do que a parcela maispobre (em casas decimais). Procede-se a operacao normal-mente e arredonda-se o resultado.

Exemplos

• 5, 3 m+ 4, 38 m = 9, 68 m = 9, 7 m

• 138, 95 m− 12, 3 m = 126, 65m = 126, 7 m

Sublinhamos o algarismo duvidoso, identificando-o, para aseguir procedermos o arredondamento.

Multiplicacao e Divisao

O resultado de uma multiplicacao e divisao nao pode termaior numero de algarismos significativos do que o fa-tor mais pobre (em algarismos significativos). Procede-se aoperacao normalmente e arredonda-se o resultado.

Exemplos

• 4, 23 m× 2, 000 m = 8, 46 m2 = 8, 5 m2

• 4, 98 cm÷ 2, 00 s = 2, 49 cm/s = 2, 5 cm/s

Relacoes entre Grandezas Fısicas

Muitos fenomenos fısicos podem ser reduzidos ao estudo darelacao entre duas grandezas. Quando isto ocorre, os dadosobtidos das medicoes podem ser expressos por uma repre-sentacao grafica num plano cartesiano por meio de dois eixoperpendiculares entre si.

Atraves da representacao grafica da relacao entre duas gran-dezas pertencentes a um determinado fenomeno fısico, po-demos obter algumas conclusoes sobre o comportamento deuma das grandezas (variavel dependente) em relacao a outra(variavel independente).

Consideremos o seguinte exemplo: Uma pessoa com febre foimedicada, ingerindo uma dose do medicamento as 8 horase uma outra dose as 12 horas da manha. A temperatura dapessoa foi verificada de hora em hora e os resultados obtidossao mostrados abaixo.

Tempo (h) Temperatura (C)0 39,01 39,02 38,53 38,04 38,55 37,56 37,07 36,58 36,59 36,5

Podemos representar os dados da tabela acima em umgrafico. A representacao grafica das variaveis temperatura(variavel dependente: eixo vertical) e tempo (variavel inde-pendente: eixo horizontal) esta mostrada na Fig. 1.1.

O grafico cartesiano mostrado anteriormente, alem de faci-litar a visualizacao do comportamento da temperatura dapessoa durante as 9 horas de observacao, permite tambem,algumas conclusoes.

Como Construir um Grafico

Para que graficos sejam construıdos de forma objetiva eclara e necessario respeitar algumas regras simples:

• O eixo vertical e chamado de eixo das abscissas e ohorizontal de eixo das coordenadas;


35.0

36.0

37.0

38.0

39.0

40.0

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0

T(oC

)

t(h)

Figura 1.1: Grafico da temperatura em funcao do tempo

• a variavel dependente deve ser colocada no eixo verticale a variavel independente no eixo horizontal;

• os eixos devem se encontrar no canto inferior es-querdo do papel, ou espaco (retangulo) reservado parao grafico;

• as escalas sao independentes e devem ser construıdasindependentemente;

• as divisoes numericas das escalas (lineares) devem serregulares;

• o valor zero (0) nao precisa estar em nenhuma das es-calas;

• as escalas devem crescer da esquerda para a direita, ede baixo para cima;

• antes de iniciar a construcao de um grafico deve-se ve-rificar a escala a ser usada levando em consideracao osvalores extremos, ou seja, o maior e o menor valor assu-mido por ambas as variaveis do grafico. Divide-se entaoo espaco disponıvel, em cada eixo, para que acomodetodos os pontos experimentais;

• o teste final para saber se as escalas estao boas e feitoverificando-se se e facil de ler as coordenadas de qual-quer ponto nas escalas.

Pense um Pouco!

• A funcao da posicao x em relacao ao tempo t de umponto material em movimento retilıneo, expressa emunidades do SI, e

x = 10 + 5, 0t

Determine:a) a posicao do ponto material no instante 5, 0 s;b) o instante em que a posicao do ponto material ex = 50 m;c) esboce o grafico x× t do movimento.


1. Determine o comprimento de cada haste:

a)

0 cm 1 2 3 4 5 6 7

b)

0 cm 1 2 3 4 5 6 7

c)

0 cm 1 2 3 4 5 6 7

d)

0 cm 1 2 3 4 5 6 7

e)

0 cm 1 2 3 4 5 6 7

f)

0 cm 1 2 3 4 5 6 7

2. (UFSE) A escala de uma trena tem, como menor divisao,o milımetro. Essa trena e utilizada para se medir a distanciaentre dois tracos paralelos, muito finos, feitos por um estiletesobre uma superfıcie plana e lisa. Considerando que naohouve erro grosseiro, o resultado de uma so medicao, como numero correto de algarismos significativos, e mais bemrepresentado por:a) 2 mb) 21 dmc) 214 cmd) 2, 143 me) 2.143, 4 m


3. (Cesgranrio) Um estudante deseja medir o comprimentode sua mesa de trabalho. Nao dispondo de regua, decideutilizar um toco de lapis como padrao de comprimento. Ve-rifica entao que o comprimento da mesa equivale ao de 13, 5tocos de lapis. Chegando ao colegio, mede com uma reguao comprimento do seu toco de lapis, achando 8, 9 cm. Ocomprimento da mesa sera corretamente expresso por:a) 120, 15 cmb) 120, 2 cmc) 1× 102 cmd) 1, 2× 102 cme) 102 cm

4. (PUC-MG) Um estudante concluiu, apos realizar a me-dida necessaria, que o volume de um dado e 2, 36 cm3.Levando-se em conta os algarismos significativos, o volumetotal de cinco dados, identicos ao primeiro, sera correta-mente expresso por:a) 6, 8 cm3


b) 7 cm3

c) 13, 8 cm3

d) 16, 80 cm3

e) 17, 00 cm3

5. Medindo a espessura de um caderno comum de 100 fo-lhas, sem considerar as capas, um estudante obteve a me-dida de 1, 0 cm. A ordem de grandeza da espessura mediade uma folha e:a) 10−1 mmb) 10−2 mmc) 10−3 mmd) 10−4 mme) 10−5 mm

Fısica B Aula 3

Grandezas Escalares e Vetoriais

Na Fısica tratamos de dois tipos principais de grandezas: asgrandezas escalares e grandezas vetoriais.

Grandezas Escalares

A grandeza escalar e aquela que fica perfeitamente ca-racterizada quando conhecemos apenas sua intensidadeacompanhada pela correspondente unidade de medida.Como exemplos de grandeza fısica escalar podemos citar amassa de um corpo (por exemplo, 50 kg), a temperatura(por exemplo 36 oC), o volume (5 m3, por exemplo), a den-sidade (para a agua, 1000 kg/m3), a pressao (105 N/m2), aenergia (por exemplo 100 J) e muitas outras.

Para operar com grandezas escalares, segue-se as regras deoperacoes algebricas comuns, arredondando-se quando ne-cessario.

Grandezas Vetoriais

Dada a velocidade instantanea de um movel qualquer (porexemplo, um carro a 80 km/h), constatamos que apenasessa indicacao e insuficiente para dizermos a direcao em queo movel segue. Isso acontece porque a velocidade e umagrandeza vetorial.

Para uma grandeza fısica vetorial ficar totalmente caracte-rizada, e necessario saber nao apenas a sua intensidade oumodulo mas tambem a sua direcao e o seu sentido. Ge-ralmente a grandeza vetorial e indicada por uma letra comuma setinha (por exemplo, ~v) e o modulo ou intensidade,por |~v| ou simplesmente por v.

A grandeza fısica vetorial pode ser representada grafica-mente por um segmento de reta (indicando a direcao dagrandeza) dotado de uma seta (indicativa de seu sentido) etrazendo ainda seu valor seguido da unidade de medida (in-dicacao de seu modulo ou intensidade). Tal representacao edenominada vetor.

No exemplo anterior do carro, poderıamos dizer, por exem-plo, que ele se movimenta num certo instante com veloci-dade ~v, de modulo v = 80 km/h, na direcao norte-sul e sen-tido de sul para norte. Essa velocidade vetorial instantaneapode ser representada por um vetor, como mostra a figura1.1.

Figura 1.1: Exemplo de representacao vetorial

Como afirmamos anteriormente, para representar grande-zas vetoriais e preciso indicar, alem do modulo, a direcao eo sentido da grandeza. Podemos fazer essa indicacao utili-zando um vetor (veja a figura 1.2). O vetor pode ser repre-sentado por um segmento de reta orientado cujo tamanho -intensidade - e proporcional a intensidade da grandeza querepresenta.

Para melhor entendermos o significado e a representacao deum vetor, observe a figura 1.3.

Figura 1.2: A reta s, que contem o vetor, indica a direcaoe a seta indica o sentido

Figura 1.3: Representacao de algums vetores

Na figura de cima os vetores representados possuem mesmadirecao e sentido; na figura de baixo os vetores apresentama mesma direcao e sentidos opostos. Portanto, podemosnotar que vetores de mesma direcao sao paralelos, o quenao garante que tenham o mesmo sentido.


Soma de Vetores Paralelos

Quando os vetores tem a mesma direcao, podemos deter-minar o modulo do vetor soma estabelecendo convencional-mente um sentido como positivo e somando algebricamenteos seus modulos. Observe:

Figura 1.4: De acordo com a convencao adotada, omodulodo vetor sera d = a+ b− c.

Os vetores ~a, ~b e ~c possuem a mesma direcao (horizontal).Adotamos como positivo o sentido horizontal para a direita.Assim, os vetores ~a e ~b sao positivos e o vetor ~c e negativo.O modulo do vetor soma, ~d, e dado por

d = a+ b− c

Se obtermos um valor positivo para ~d, isso significa que seusentido e positivo, ou seja, o vetor e horizontal para a direita;se for negativo, o seu sentido e negativo, isto e, o vetor ehorizontal para a esquerda.

Vetores Perpendiculares

Imaginaremos agora, que um movel parte de um ponto A esofre um deslocamento ~d1 no sentido leste, atingindo umponto B e, em seguida, um deslocamento ~d2 no sentidonorte, atingindo um ponto C (veja a figura 1.5)

Podemos notar facilmente que o deslocamento ~d1, de A paraB, e o ~d2, de B para C, equivalem a um unico deslocamento,~d, de A para C. Desta forma, o deslocamento ~d e a somavetorial ou resultante dos deslocamentos ~d1 e ~d2, ou seja,

~d = ~d1 + ~d2

Este resultado e valido para qualquer grandeza vetorial.Veja a figura 1.6.

Os vetores ~a e ~b tem como vetor soma resultante o vetor ~c.E crucial notar que a colocacao do vetor ~b na origem ou naextremidade do vetor ~a nao altera o vetor soma ~c. Deve-se observar que os vetores ~a, ~b e ~c formam um trianguloretangulo, em que ~c e a hipotenusa ~a e ~b sao catetos. Paraobtermos o modulo do vetor resultante, basta aplicar o te-orema de Pitagoras:

c2 = a2 + b2

Figura 1.5: O deslocamento ~d equivale aos deslocamentos ~d1

e ~d2. Portanto ~d = ~d1 + ~d2.

Soma de Vetores

A soma de vetores perpendiculares entre si ou de direcoesquaiaquer nao apresenta muita diferenca. Para um movel,partir de A e atingir B num deslocamento ~d1 e, em seguida,atingir C num deslocamento ~d2 equivale a partir de A e atin-gir C num deslocamento ~d (veja figura 1.7). Desta forma,

~d = ~d1 + ~d2

Na determinacao do modulo do vetor ~d resultante, nao po-demos aplicar o teorema de Pitagoras, tendo em vista queo angulo entre ~d1 e ~d2 nao e reto (90o). Assim, aplicamos aregra do paralelogramo, como mostra a figura 1.8.

Os vetores ~a e ~b formam um paralelogramo cuja diagonal e ovetor resultante ~c. De acordo com a regra do paralelogramo,se ~a e ~b formam entre si um angulo α, o modulo do vetorresultante ~c sera dado pela expressao:

c2 = a2 + b2 + 2ab · cos α

Decomposicao de Vetores

Ao somarmos dois vetores, podemos obter um unico vetor,o vetor resultante, equivalente aos dois vetores somados. Aodecompormos dois vetores, realizamos um processo inverso.Dado um vetor ~a, obtem-se outros dois vetores ~ax e ~ay talque ~ax + ~ay = ~a (veja a figura 1.9).

O vetor ~ay pode ser deslocado para a extremidade do vetor~ax de tal forma que o vetor ~a e seus vetores componentes ~ax e~ay formem um triangulo retangulo (figura 1.10). Aplicandoa trigonometria ao triangulo retangulo, podemos determinaro modulo dos componentes ~ax (horizontal) e ~ay (vertical)de ~a em funcao do angulo α. Desta forma, no triangulo


Figura 1.6: O vetor ~c e a resultante ou soma vetorial de ~ae ~b.

Figura 1.7: O deslocamento ~d equivale aos deslocamentos ~d1

e ~d2.

rachurado da figura 1.10, temos

cosα =cateto adjacente

hipotenusa⇒ cosα =

axa

ax = a · cos αonde ax e o modulo da componente horizontal ~ax do vetor~a. Temos ainda

sinα =cateto oposto

hipotenusa⇒ sin α =

~aya

ay = a · sinαonde ay e o modulo da componente vertical ~ay do vetor ~a.

Podemos relacionar o modulo do vetor e o modulo de seuscomponentes ortogonais, aplicando o teorema de Pitagorasno triangulo formado por ~a e seus componentes ~ax e ~ay:

a2 = a2x + a2

y

Pense um Pouco!

• Qual a condicao para que a soma de dois vetores sejanula?

Figura 1.8: A diagonal do paralelogramo, cujos lados sao osvetores ~a e ~b, e o vetor resultante ~c. Podemos deslocar ovetor ~b para outra extremidade de ~a, reproduzindo a figuraanterior.

• O modulo da soma de dois vetores pode ser igual asoma de seus modulos? Quando?

• O modulo de um vetor pode ser negativo? Por que?


1. Um movel desloca-se 120 m no sentido oeste-leste, e emseguida, 50 m no sentido norte-sul.a) Represente esquematicamente esses deslocamentos.b) Determine o modulo do deslocamento resultante.

2. Na figura, F1 = F2 = 100 N . Determine o modulo daresultante de F1 e F2. (Dado: cos 120o = -0,50.)

3. Um projetil e atirado com velocidade de 400 m/s fa-zendo um angulo de 45 com a horizontal. Determine oscomponentes vertical e horizontal da velocidade do projetil.


Figura 1.9: O vetor ~a pode ser decomposto em um compo-nente horizontal, ~ax, e outro vertical, ~ay.

Figura 1.10: O vetor ~a e seus componentes ~ax e ~ay formamum triangulo retangulo, onde ~a e a hipotenusa e ~ax e ~ay saoos catetos.


4. Na figura abaixo estao representadas duas forcas: ~F1, demodulo F1 = 5, 0 N e ~F2, de modulo F2 = 3, 0 N , formandoentre si um angulo α = 60. Determine a forca resultante~FR para o sistema de forcas mostrado.

5. Um vetor velocidade e decomposto em dois outros, per-pendiculares entre si. Sabendo que o modulo do vetor e10 m/s e que um dos componentes tem modulo igual a8 m/s, determine o modulo do vetor correspondente ao ou-tro componente.

6. Um projetil e lancado do solo segundo uma direcao queforma 53o com a horizontal com uma velocidade de 200 m/s(veja a figura a seguir). Determine o modulo dos componen-tes horizontal, ~vx, e vertical, ~vy, dessa velocidade. (Dados:sen 53o = 0, 80; cos 53o = 0, 60.)

7. Um aviao voa no sentido sul-norte com uma velocidadede 900 km/h. Num determinado instante passa a soprar umforte vento com velocidade 50 km/h, no sentido sudoeste-nordeste.a) Faca um esquema grafico representando a velocidade doaviao e do vento.b) Determine o modulo da velocidade resultante. (Dados:cos 45o = 0, 71).

Fısica B Aula 4

A Primeira Lei de Newton

O Conceito de Forca

Geralmente utilizamos uma forca com o objetivo de empur-rar, puxar ou levantar objetos. Essa ideia e correta, poremincompleta. A ideia de puxar ou empurrar esta quase sem-pre associada a ideia de contato, o que exclui uma carac-terıstica fundamental da nocao de forca: a acao a distancia.A atracao gravitacional entre o Sol e a Terra, por exemplo,e exercida a milhoes de quilometros de distancia.

A palavra forca nao possui uma definicao unica, expressa empalavras. A Fısica moderna admite a existencia de quatrotipos de forca na natureza, chamadas mais adequadamentede interacoes: gravitacional, eletromagnetica, e as forcasnucleares forte e fraca.

Em relacao ao estudo dos movimentos e de suas causas,pode-se dizer que forca e a acao capaz de modificar a velo-cidade de um corpo.

Como muitas outras grandezas em Fısica, a forca e umagrandeza vetorial, ou seja, possui modulo direcao e sentido.


Podemos resumir, entao a definicao de forca da seguinteforma:

Forca e uma grandeza vetorial que caracte-riza a acao de um corpo sobre outro e quetem como efeito a deformacao ou a alteracaoda velocidade do corpo sobre o qual ela estasendo aplicada.

A Primeira Lei de Newton

Figura 1.1: Isaac Newton (1642-1727).

Antes de falarmos da Primeira Lei de Newton, devemos pen-sar em uma pergunta: “o que acontece com o movimentode um corpo livre de qualquer forca?” Essa pergunta podeser respondida em duas partes. A primeira trata do efeitoda inexistencia de forcas sobre o corpo em repouso: se ne-nhuma forca atua sobre o corpo em repouso, ele continua emrepouso. A segunda parte trata do efeito da inexistencia deforcas sobre o corpo em movimento: se nenhuma forca atuasobre o corpo em movimento, ele continua em movimento.

Mas que tipo de movimento? Ja que nao existem forcasatuando sobre o corpo, sua velocidade nao varia de moduloou direcao. Desta forma, o unico movimento possıvel docorpo na ausencia de qualquer forca atuando sobre ele e omovimento retilıneo uniforme.

A Primeira Lei de Newton reune as duas respostas anterio-res em um unico enunciado:

Todo corpo tende a manter seu estado derepouso ou de movimento retilıneo e uni-forme, a menos que forcas externas provo-quem variacao na sua velocidade.

De acordo com a primeira Lei de Newton, podemos afirmarque na ausencia de forcas, todo corpo tende a ficar comoesta: parado se estiver parado, em movimento retilıneo uni-forme, se estiver em movimento (retilıneo uniforme). Poreste motivo essa lei tambem e chamada de Princıpio daInercia.

O que e Inercia?

Todos os corpos apresentam a tendencia de se manter emrepouso ou em movimento retilıneo uniforme. Essa proprie-dade dos corpos e chamada inercia. A palavra inercia e de-rivada do latim inertia, que significa indolencia ou preguica.Os corpos tem uma especie de resistencia as modificacoes desua velocidade.

Equilıbrio de uma Partıcula

Dizemos que uma partıcula se encontra em equilıbrio,quando a resultante das forcas atuando sobre ela for nula.Se a resultante e nula, nao ocorre alteracao na velocidadedo objeto. Assim,se ele estiver em repouso, chamamos oequilıbrio de estatico; se ele estiver em movimento retilıneoe uniforme, o equilıbrio sera chamado de dinamico.

Pense um Pouco!

• Qual a relacao entre a Primeira Lei de Newton e o cintode seguranca? e o encosto para a cabeca no banco docarro?

• Por que quando um onibus freia repentinamente, ospassageiros sao “arremessados” para a frente? e o queocorre quando o onibus e acelerado?


1. (UFMG) Um corpo de massa m esta sujeito a acao de

uma forca ~F que o desloca segundo um eixo vertical em sen-tido contrerio ao da gravidade. Se esse corpo se mover comvelocidade constante e porque:a) a forca ~F e maior do que a da gravidade.b) a forca resultante sobre o corpo e nula.

c) a forca ~F e menor do que a gravidade.d) a diferenca entre os modulos das forcas e diferente dezero.e) a afirmacao da questao esta errada, pois qualquer que

seja ~F o corpo estara acelerado porque sempre existe a ace-leracao da gravidade.

2. (Vunesp-SP) Assinale a alternativa que representa oenunciado da Lei da Inercia, tambem conhecida como pri-meira Lei de Newton.a) Qualquer planeta gira em torno do Sol descrevendo umaorbita elıptica, da qual o Sol ocupa um dos focos.b) Dois corpos quaisquer se atraem com uma forca proporci-onal ao produto de suas massas e inversamente proporcionalao quadrado da distancia entre eles.c) Quando um corpo exerce uma forca sobre outro, este re-age sobre o primeiro com uma forca de mesma intensidadee direcao, mas de sentido contrario.d) A aceleracao que um corpo adquire e diretamente propor-cional a resultante das forcas que nele atuam, e tem mesmadirecao e sentido dessa resultante.

Fısica C – Aula 1 17

e) Todo corpo continua em seu estado de repouso ou de mo-vimento uniforme em uma linha reta, a menos que sobre eleestejam agindo forcas com resultante nao nula.

3. (Vunesp-SP) As estatısticas indicam que o uso do cintode seguranca deve ser obrigatorio para prevenir lesoes maisgraves em motoristas e passageiros no caso de acidentes.Fisicamente, a funcao do cinto esta relacionada com a:a) primeira Lei de Newton.b) lei de Snell.c) lei de Ampere.d) lei de Ohm.e) primeira Lei de Kepler.


4. (Unitau-SP) Uma pedra gira em torno de um apoio fixo,presa por uma corda. Em um dado momento, corta-se acorda. Pela Lei da Inercia, conclui-se que:a) a pedra se mantem em movimento circular.b) a pedra sai em linha reta, segundo a direcao perpendicu-lar a corda no instante do corte.c) a pedra sai em linha reta, segundo a direcao da corda noinstante do corte.d) a pedra para.e) a pedra nao tem massa.

5. (Ucsal-BA) Uma mesa, em movimento uniforme re-tilıneo, so pode estar sob a acao de uma:a) forca resultante nao-nula na direcao do movimento.b) unica forca horizontal.c) forca resultante nula.d) forca nula de atrito.e) forca vertical que equilibre o peso.

6. (Fiube-MG) Uma partıcula se desloca ao longo de umareta com aceleracao nula. Nessas condicoes, podemos afir-mar corretamente que sua velocidade escalar e:a) nula.b) constante e diferente de zero.c) inversamente proporcional ao tempo.d) diretamente proporcional ao tempo.e) diretamente proporcional ao quadrado do tempo.

Fısica C Aula 1

As Leis de Kepler

A Lei das Orbitas (1609)

A orbita de cada planeta e uma elipse, com oSol em um dos focos. Como consequencia da orbitaser elıptica, a distancia do Sol ao planeta varia aolongo de sua orbita.

Lembre-se, a elipse e uma linha plana, com focos no seumesmo plano. Isso implica em que o movimento dos plane-

tas ocorre sobre um plano bem definido, e cada planeta temo seu plano orbital diferente, e todos esses planos devem terpelo menos um ponto em comum, o Sol.

Figura 1.1: 1a Lei de Kepler.

A Lei da Areas (1609)

A reta unindo o planeta ao Sol varre areasiguais em tempos iguais. O significado fısico destalei e que a velocidade orbital nao e uniforme, masvaria de forma regular: quanto mais distante o pla-neta esta do Sol, mais devagar ele se move. Di-zendo de outra maneira, esta lei estabelece que avelocidade areolar (referente a area) e constante.

Figura 1.2: 2a Lei de Kepler.

A Lei dos Perıodos (1618)

O quadrado do perıodo orbital dos planetas ediretamente proporcional ao cubo de sua distanciamedia ao Sol.

Esta lei estabelece que planetas com orbitas maiores se mo-vem mais lentamente em torno do Sol e, portanto, isso im-plica que a forca entre o Sol e o planeta decresce com adistancia ao Sol. Sendo P o perıodo orbital do planeta, ao semi-eixo maior da orbita, que e igual a distancia mediado planeta ao Sol, e K uma constante, Podemos expressara 3a lei como:

P 2

a3= K

Se medimos P em anos (o perıodo orbital da Terra), e a emunidades astronomicas (1 u.a. = distancia media da Terra


ao Sol), entao K = 1, e podemos escrever a 3a lei como:

P 2

a3= 1

e podemos concluir que, para os planetas internos (a <1 u.a.) o perıodo orbital (ano) sera menor do que o anoterrestre. E para os planetas exteriores (a > 1 u.a.), operıodo e maior do que o terrestre.

Pense um Pouco!

• Se um novo planeta for descoberto a meia distanciaentre o Sol e a Terra, qual o seu perıodo orbital.

• Um satelite em orbita na Terra, passando pelo pontomais proximo da Terra, esta mais rapido ou mais lentose comparado ao ponto em que esta mais afastado daTerra?


1. A tabela abaixo mostra como fica a 3a Lei de Keplerpara os planetas visıveis a olho nu. Complete os dados queestao faltando.

Planeta a(u.a.) P (ano) a3 P 2

Mercurio 0,387 0,241 0,058 0,058Venus 0,723 0,615 0,378Terra 1,000 1,000 1,000 1,000Marte 1,524 1,881 3,537Jupter 5,203 11,862 140,700

Saturno 9,534 29,456

2. Adotando o Sol como referencial, aponte a alternativaque condiz com a 1a lei de Kepler da Gravitacao Universal(lei das orbitas):a) As orbitas planetarias sao curvas quaisquer, desde quefechadas;b) As orbitas planetarias sao espiraladas;c) As orbitas planetarias nao podem ser circulares;d) As orbitas planetarias sao elıpticas, com o Sol ocupandoo centro da elipse;e) As orbitas planetarias sao elıpticas, com o Sol ocupandoum dos focos da elipse.

3. A 2a lei de Kepler (Lei das Areas) permite concluir queum planeta possui:a) maior velocidade quando se encontra mais longe do Sol;b) maior velocidade quando se encontra mais perto do Sol;c) menor velocidade quando se encontra mais perto do Sol;d) velocidade constante em toda sua trajetoria;e) n.r.a.

4. Assinale a alternativa que esta em desacordo com as Leisde Kepler da Gravitacao Universal:a) O quociente do cubo do raio medio da orbita pelo qua-drado do perıodo de revolucao e constante para qualquerplaneta de um dado sistema solar;b) quadruplicando-se o raio medio da orbita de um sateliteem torno da Terra, seu perıodo de revolucao fica 8 vezes

maior;c) Quanto mais proximo de uma estrela (menor raio medioda orbita) gravita um planeta, menor e o seu perıodo derevolucao;d) Satelites diferentes gravitando em torno da Terra, namesma orbita tem perıodos de revolucao iguais;e) Devido a sua maior distancia do Sol (maior raio medio daorbita) o ano de Plutao tem duracao menor que o da Terra.


5. Com relacao as leis de Kepler, podemos afirmar que:a) Nao se aplicam ao estudo da gravitacao da Lua em tornoda Terra;b) so se aplicam ao nosso Sistema Solar;c) aplicam-se a gravitacao de quaisquer corpos em torno deuma grande massa central;d) contrariam a mecanica de Newton;e) nao preveem a possibilidade da existencia de orbitas cir-culares.

6. Considere dois satelites de massas ma e mb , sendo ma =2mb, descrevendo a mesma orbita em torno da Terra. Comrelacao a velocidade dos dois teremos:a) va > vbb) va < vbc) va = vbd) va = vb/2e) n.r.a

7. Um planeta descreve uma orbita elıptica em torno doSol. O ponto A e o ponto da orbita mais proximo do Sol; oponto B e o ponto mais distante. No ponto A:a) a velocidade de rotacao do planeta e maxima;b) a velocidade de translacao do planeta se anula;c) a velocidade de translacao do planeta e maxima;d) a forca gravitacional sobre o planeta se anula;e) n.r.a

Fısica C Aula 2

Gravitacao Universal

A lei da gravitacao universal, proposta por Newton, foium dos maiores trabalhos desenvolvidos sobre a interacaoentre massas, pois e capaz de explicar desde o mais simplesfenomeno, como a queda de um corpo proximo a superfıcieda Terra, ate, o mais complexo, como as forcas trocadasentre corpos celestes, traduzindo com fidelidade suas orbitase os diferentes movimentos. Segundo a lenda, Newton, aoobservar a queda de uma maca, concebeu a ideia que elaseria causada pela atracao exercida pela terra. A naturezadesta forca atrativa e a mesma que deve existir entre a Terrae a Lua ou entre o Sol e os planetas; portanto, a atracaoentre as massas e, com certeza, um fenomeno universal.


Uma Forca Elementar

Sejam duas partıculas de massas m1 e m2, separadas poruma distancia r. Segundo Newton, a intensidade da forcaF de atracao entre as massas e dada por

F = Gm1m2

r2

onde G e uma constante, a constante da gravitacao uni-versal, sendo seu valor expresso, no Sistema Internacional,por

G = 6, 67× 10−11 N ·m2/kg2

F

m

m2

1

12

21

F

Figura 1.1: Duas partıculas se massas m1 e m2 sempre seatraem mutuamente, dando origem a um par de forcas F12

e F21.

As forcas F12 e F21 e a da reta que une as partıculas, e osentido tal que as massas sempre se atraem mutuamente,com mesma intensidade de forca, ou seja

F12 = F21

Podemos, ainda, enunciar a lei da gravitacao universal doseguinte modo:

Dois corpos se atraem gravitacionalmente comforca cuja intensidade e diretamente proporcionalao produto de suas massas e inversamente propor-cional ao quadrado da distancia entre seus centrosde massa.

Apos a formulacao da lei da Gravitacao, com o desenvol-vimento do calculo integral, Newton tambem mostrou quea forca gravitacional entre esferas homogeneas tambemsegue a mesma forma estabelecida para as partıculas. Etambem vale a mesma forca para uma partıcula e uma es-fera homogenea. Esse resultado foi tao surpreendente parao prooprio Newton, que inicialmente nem ele acreditou noque havia provado matematicamente!

Aplicando-se a lei de gravitacao para um corpo de massa mna superfıcie da Terra, temos entao

F = GMTm

R2T

=GMT

R2T

m = mg = P

onde RT e MT sao o raio e a massa da Terra, respectiva-mente, e a forca obtida chamamos peso.

Medidas atuais mostram que MT = 5, 98 × 1024 kg eRT = 6, 37×106 m. A constante g que aparece acima e jus-tamente a aceleracao da gravidade na superfıcie da Terra.Experimente calcular g com os dados fornecidos!

OBSERVACOES

1. A forca gravitacional e sempre de atracao;

2. A forca gravitacional nao depende do meio onde os cor-pos se encontram imersos;

3. A constante da gravitacao universal G teve seu valordeterminado experimentalmente por Henry Cavendish,em 1798, por meio de um instrumento denominado ba-lanca de torcao e esferas de chumbo.

Pense um Pouco!

• Qual a direcao e o sentido da forca de atracao gravi-tacional exercida pela Terra sobre os corpos que estaoproximos a superfıcie?

• A aceleracao da gravidade na Lua e 6 vezes menor doque a aceleracao da gravidade proxima a superfıcie daTerra. O que acontece com o peso e a massa de umastronauta na Lua?

• O valor da aceleracao da garvidade e relevante para osesportes?


1. Duas partıculas de massas respectivamente iguais aM e m estao no vacuo, separadas por uma distancia d.A respeito das forcas de interacao gravitacional entre aspartıculas, podemos afirmar que:a) tem intensidades inversamente proporcional a d;b) tem intensidades diretamente proporcional ao produtoMm;c) nao constituem entre si um par acao e reacao;d) podem ser atrativas ou repulsivas;e) teriam intensidade maior se o meio fosse o ar.

2. A razao entre os diametros dos planetas Marte e Terra e1/2 e entre as respectivas massas e 1/10. Sendo de 160 N opeso de um garoto na Terra, pode-se concluir que seu pesoem Marte sera de:a) 160 Nb) 80 Nc) 60 Nd) 32 Ne) 64 N

3. Uma menina pesa 400 N na superfıcie da Terra, ondese adota g = 10m/s2. Se a menina fosse transportada ateuma altura igual ao raio da Terra (6.400 km), sua massa eseu peso seriam, respectivamente:a) 40 kg e 100 Nb) 40 kg e 200 Nc) 40 kg e 400 Nd) 20 kg e 200 Ne) 10 kg e 100 N

4. Um corpo e colocado na superfıcie terrestre e atraıdopor esta com uma forca F . O mesmo corpo colocado na


superfıcie de um planeta de mesma massa da Terra e raioduas vezes menor sera atraıdo pelo planeta com uma forcacujo modulo e:a) 4Fb) 2Fc) Fd) F/2e) F/4


5. Se a massa da Terra nao se alterasse, mas o seu raio fossereduzido a metade, o nosso peso seria:a) reduzido a quarta parteb) reduzido a metadec) o mesmod) dobradoe) quadruplicado

6. Um corpo de massa m gira em torno da Terra, em orbitacircular, com velocidade escalar constante v. Sendo G aconstante gravitacional e M a massa da Terra, o raio datrajetoria descrita pelo corpo sera:a) G/Mv2

b) G/mv2

c) Gm/v2

d) GM/v2

e) GMm/v2

7. Sabe-se que no interior de uma nave em orbita circularem torno da Terra um astronauta pode flutuar, como se naotivesse peso. Esse fato ocorre porque:a) a nave esta fora do campo gravitacional da Terra;b) ha ausencia de atmosfera;c) a atracao exercida pela Lua e maior do que a atracaoexercida pela Terra;d) ambos, astronauta e nave, estao em queda livre no seumovimento circular;e) ha uma reducao na massa dos corpos.

Fısica C Aula 3

Fluidos

Chegou o momento de descrevermos o comportamento dosfluidos, para isso falaremos de temas como densidade,pressao, empuxo e outros temas que nos levarao a um apro-fundamento da Hidrostatica.

Densidade e Massa especıfica

Massa especıfica ρ de uma substancia e a razao entre deter-minada massa desta substancia e o volume correspondente.Temos entao:

ρ =m

v

Para um corpo homogeneo, ρ sera a propria densidade domaterial. Para um corpo nao homogeneo, como por exem-plo uma corpo oco, a expressao acima resulta na densidademedia do corpo.

Unidades SI

m: massa em quilogramas (kg)

V : volume em metro cubico (m3)

ρ: massa especıfica em quilogramas por metro cubico(kg/m3)

Observacao

No caso da agua, cuja massa especıfica vale 1 g/cm3, obser-vamos que cada cm3 de agua tem massa de 1 g. Assim e que,numericamente, massa e volume serao iguais para a agua,desde que medidos em gramas e em centımetros cubicos res-pectivamente. Como 1 litro corresponde a 1000cm3, no casoda agua temos uma densidade de 1 kg/l. E com um metrocubico equivale a 1000 litros, teremos tambem para a agua,a densidade 1000 kg/m3.

Pressao

Pressao p e a forca normal, por unidade de area, que umfluido em equilıbrio exerce em contato com uma parede.Podemos representar matematicamente por:

p =F

A

Unidades SI

p: pressao em N/m2 = pascal = Pa

F : forca normal (ortogonal) em newtons ou N

A: area onde e exercida a forca, em metros quadrados m2

Pressao Atmosferica

Pressao exercida pelo peso da camada de ar existente sobrea superfıcie da Terra. Ao nıvel do mar, a temperatura de0 C e igual a 1 atm.

E comum o uso de unidades de pressao nao pertencentes aoSI: atmosfera (atm) e milımetros de mercurio (mmHg):

1 atm = 760 mmHg = 1, 01× 105 Pa

Pressao Hidrostatica

No estudo da hidrostatica, que faremos a seguir, vamos con-siderar o lıquido ideal, isto e, incompressıvel e sem viscosi-dade.

Suponhamos um recipiente cilındrico de area de base A,contendo um lıquido de massa especıfica ρ. Qual a pressaoque o lıquido exerce no fundo do recipiente ?


ρ h

AFigura 1.1: Vaso cilındrico de area A e altura h, cheio deum lıquido de densidade ρ.

Da definicao de massa especıfica, temos:

ρ =m

v

V = Ah

ρ =m

Ah

e portanto:

m = ρAh

Por outro lado, a forca que o lıquido exerce sobre a area Ae o seu proprio peso:

F = P = mg

mas comom = ρAh

entao temosF = ρAhg

e finalmente, pelaa definicao de pressao,

p =F

A= ρgh .

A pressao que o lıquido exerce no fundo do recipiente de-pende da massa especıfica do lıquido (ρ), da aceleracao dagravidade local (g) e da altura (h) do lıquido acima do pontoconsiderado. Na pratica esse resultado e geral, e pode serusado para a determinacao da pressao hidrostatica em qual-quer fluido (lıquido ou gas) em equilıbrio.

Observe que a pressao total dentro de um fluido homogeneoem equilıbrio sera entao:

p = patm + ρgh

onde patm e a pressao atmosferica, que atua sobre todos oscorpos imersos no ar.

Pressao Manometrica e Absoluta

A pressao absoluta e a pressao total exercida em umadada superfıcie, incluindo a pressao atmosferica, quando foro caso. A pressao absoluta sera sempre positiva ou nula.

Em muitos casos, como na calibracao de um pneu, estamosinteressados apenas na diferenca entre a pressao interna deum reservatorio (o pneu) e a pressao externa (o ar, que estana pressao atmosferica local). A essa diferenca chamamospressao manometrica, e os aparelhos que a medem cha-mamos de manometros.

pman. = pint. − patm.

A pressao manometrica pode ser negativa, positiva ou nula.Sera negativa quando a pressao interna de um reservatoriofor menor do que a pressao atmosferica externa. Exemplos:quando retiramos ar de um recipiente, fazendo-se um vacuoparcial; ou quando sugamos um canudinho de refrigerante,baixamos a pressao interna da boca, criando uma “pressaonegativa”.

Pense um Pouco!

• Porque nao sentimos a pressao atmosferica normal, jaque ela e tao grande?

• Um barco flutua no mar. Quais as forcas relevantespara que isso ocorra?

• Como e possıvel se deitar numa cama de pregos sem semachucar?

• Como funciona o canudinho de refrigerante? Explique.


1. Uma massa de 1 kg de agua ocupa um volume de 1 litroa 40C. Determine sua massa especıfica em g/cm3, kg/m3

e kg/l.

2. Determine a massa de um bloco de chumbo que temarestas de 10 cm, sendo que a densidade do chumbo e igual11, 2 g/cm3.

3. Uma esfera oca, de 1.200 g de massa, possui raio externode 10, 0 cm e raio interno de 9, 0 cm. Sabendo que o volumede uma esfera de raio R e dado por V = 4

3πR3. Usando

π = 3, 14, determine:a) a densidade media da esfera;b) a densidade do material de que e feita a esfera.

4. Um cubo macico de alumınio (densidade = 2,7 g/cm3),de 50 cm de aresta, esta apoiado sobre uma superfıcie ho-rizontal. Qual e a pressao, em Pa e em atm, exercida pelocubo sobre a superfıcie?



5. Existe uma unidade inglesa de pressao – a libra-forcapor polegada quadrada – que se abrevia lbf/pol2, a qual eindevidamente chamada de libra. Assim, quando se cali-bram os pneus de um automovel, muitas pessoas dizem quecolocaram “26 libras” de ar nos pneus. Agora responda:a) por que num pneu de automovel se coloca mais ou me-nos 25lbf/pol2 enquanto que no de uma bicicleta de cor-rida (cujos pneus sao bem finos) se coloca aproximadamente70 lbf/pol2

b) Sendo 1 lbf/pol2 = 0, 07 atm, qual a pressao tıpica (ematm) no pneu de um carro?c) A pressao que nos interessa, neste caso do pneu, e apressao manometrica ou a pressao absoluta. Por que?

Fısica C Aula 4

Hidrostatica

Lei de Stevin

Consideremos um recipiente contendo um lıquido ho-mogeneo de densidade ρ, em equilıbrio estatico. As pressoesque o lıquido exerce nos pontos A e B sao, respectivamente:

pa = ρgha e pb = ρghb

Figura 1.1: Cilindro de area de base A e altura h

A lei de Stevin ou princıpio hidrostatico afirma que adiferenca de pressao entre os pontos A e B sera:

pb − pa = ρg(hb − ha) = ρg∆h

O useja, a diferenca entre dois nıveis diferentes, no interiorde um lıquido, e igual ao produto da sua massa especıficapela aceleracao da gravidade local e pela diferenca de nıvelentre os pontos considerados.

Na realidade, temos que dividir a pressao num determi-nado ponto do lıquido em dois tipos: i) pressao hidrostatica:aquela que so leva em consideracao o lıquido:

phid = ρgh

e ii) pressao absoluta: aquela que leva em consideracao olıquido e o ar sobre o lıquido:

pabs = patm + ρgh

Consequencias da Lei de Stevin

No interior de um lıquido em equilıbrio estatico:

1. pontos de um mesmo plano horizontal suportam amesma pressao;

2. a superfıcie de separacao entre lıquidos nao miscıveis eum plano horizontal;

3. em vasos comunicantes quando temos dois lıquidos naomiscıveis temos que a altura de cada lıquido e inversa-mente proporcional as suas massas especıficas (densi-dades);

Figura 1.2: Vasos comunicantes, com dois lıquidos naomiscıveis em equilıbrio.

py = px

patm + ρyghy = patm + ρxghx

ρyhy = ρxhx

ρyρx

=hxhy

4. a diferenca de pressao entre dois pontos dentro dofluıdo, depende apenas do seu desnıvel vertical (∆h),e nao da profundidade dos pontos.

Princıpio de Pascal

Pascal fez estudos em fluıdos e enunciou o seguinte princıpio:

A pressao aplicada a um fluıdo em equilıbriotransmite-se integral e instantaneamente atodos os pontos do fluıdo e as paredes dorecipiente que o contem.


Figura 1.3: A prensa hidraulica.

A Prensa Hidraulica

Uma das aplicacoes deste princıpio e a prensa hidraulicacomo mostramos a seguir:

Observe que:

p1 = p2

F1

A1=F2

A2

F1

F2=A1

A2

Isso mostra que uma forca pequena F1 e capaz de suportar,no outro embolo, um peso muito grande (F2), isso e muitoutilizado, como por exemplo, em posto de gasolina.

A prensa hidraulica e o equivalente hidraulico do princıpioda alavanca, de Arquimedes, usado na Mecanica. E bomlembrar que estas “engenhocas”multiplicam realmente aforca, mas nao a energia. O trabalho mınimo necessariopara elevar um carro e o mesmo, independente da maquinaque se utilize (Wmin = mgh).

Na prensa mostrada na Fig. 1.3, uma forca − ~F2 (parabaixo) devera sef feita no embolo da direita, para mantero equilıbrio do sistema. Em geral, usa-se o embolo maiorpara suspender uma carga externa, ou levantar um objetodo chao (macaco hidraulico).

Princıpio de Arquimedes

Arquimedes, ha mais de 200 anos a.C., estabeleceu que aperda aparente do peso do corpo e devido ao surgimento doempuxo, quando estamos mergulhados num lıquido, como aagua, por exemplo.

Os corpos mergulhados totalmente ou par-cialmente, num fluido, recebem do mesmouma forca vertical, de baixo para cima, deintensidade igual ao peso do fluido deslo-cado, denominada empuxo.

Ou seja, se um corpo esta mergulhado num fluido de den-sidade ρf e desloca volume Vfd do fluido, num local onde aaceleracao da gravidade e g, temos:

Pf = mfg

e como

ρf =mf

Vfd

a massa do fluido deslocado sera

mf = ρfVfd

e portanto

Pf = ρfVfdg

e, de acordo com o Princıpio de Arquimedes

E = ρfVfdg

ou simplesmente

E = ρV g

ficando a nosso cargo a interpretacao correta dos termosenvolvidos.

Flutuacao

Segundo o princıpio de Arquimedes, quando temos umcorpo na superfıcie de um fluıdo cujo peso (do corpo) eanulado (igual em modulo) pelo empuxo que ele sofre antesde estar completamente submerso, o corpo ira flutuar so-bre ele, quando abandonado. Baseado nessa aplicacao saoconstruıdos todos os tipos de barcos e navios.

Para um corpo de peso P flutuando, a condicao de equilıbriodeve ser satisfeita:

∑Fy = +E − P = 0

ou seja

P = E

Pode-se mostrar tambem que se um corpo tiver uma densi-dade media ρc maior que a densidade ρf de um certo fluido,ele nao podera flutuar nesse fluıdo, e acabara afundando sefor solto na sua superfıcie.

Pense um Pouco!

• A pressao atmosferica varia com a altitude? Por que?

• Como pode um navio de ferro flutuar na agua, ja queρFe > ρH2O?

• Quando fechamos a porta de um pequeno quarto a ja-nela (fechada) balanca. Explique.

• Mergulhando na agua um objeto suspenso por um fio,voce observa que a tracao no fio muda. Explique.



1. (UFRJ) O impacto de uma partıcula de lixo que atin-giu a nave espacial Columbia produziu uma pressao da100 N/cm2. Nessas condicoes e tendo a partıcula 2 cm2,a nave sofreu uma forca de:a) 100 Nb) 200 Nc) 400 Nd) 800 Ne) 1600N

2. Uma piscina com 5, 0 m de profundidade esta cheia comagua. Considere g = 10 m/s2 e patm = 1, 0 × 105 Pa edetermine:a) a pressao hidrostatica a 3, 0 m de profundidade;b) a pressao absoluta no fundo da piscina;c) a diferenca de pressao entre dois pontos separados, ver-ticalmente, por 80 cm.

3. (Classico) Para determinar a pressao atmosferica, Torri-celli fez a seguinte experiencia: um tubo de vidro, de 1 mde comprimento, foi cheio de mercurio e depois emborcadonum recipiente contendo mercurio; constatou que, ao nıveldo mar, o mercurio no tubo mantem uma altura de 760 mmacima da sua superfıcie livre (no recipiente). Se a densidadedo mercurio e 13, 6 g/cm3 e a aceleracao da gravidade locale de 9, 8 m/s2, qual a pressao atmosferica constatada porTorricelli?

4. Num posto de gasolina, para a lavagem de um automovelde massa 1.000 kg, o mesmo e erguido a uma certa altura. Osistema utilizado e uma prensa hidraulica. Sendo os embolosde areas 10 cm2 e 2.000 cm2, e a aceleracao da gravidadelocal de 10 m/s2, pergunta-se:a) em qual embolo deve-se apoiar o carro?b) em qual embolo deve-se pressionar para se sustentar ocarro?c) qual a forca aplicada no embolo para equilibrar o au-tomovel?

1.1 Exercıcios Complementares

5. Agua e oleo de densidades 1, 0 e 0, 8, respectivamente,sao colocados em um tubo em “U”. Sendo de 16 cm aaltura da coluna de oleo, determine a altura da coluna deagua medida acima do nıvel de separacao entre os lıquidos.

6. Os icebergs sao grandes blocos de gelo que vagam emlatitudes elevadas, constituindo um serio problema para anavegacao, sobretudo porque deles emerge apenas uma pe-quena parte, ficando o restante submerso. Sendo V o vo-lume total do iceberg e ρg = 0, 92 g/cm3 a densidade dogelo, determine a porcentagem do iceberg que fica acima dasuperfıcie livre da agua, considerada com densidade igual aρf = 1, 0 g/cm3.

7. Uma bola com volume de 0, 002 m3 e densidade mediade 200 kg/m3 encontra-se presa ao fundo de um recipiente

que contem agua, atraves de um fio conforme a figura. De-termine a intensidade da tracao T no fio que segura a bola(Considere g = 10 m/s2).

T

Fısica D Aula 1

Cinematica

A Cinematica e a parte da Mecanica que estuda e descreveo movimento dos corpos, sem se preocupar com suas causas(forcas).

Movimento

Observando os corpos a nossa volta, podemos ter intuiti-vamente uma ideia do que sao os estados de movimento erepouso. Mas esses dois conceitos (movimento e repouso)sao relativos: ao dormir voce pode estar em repouso emrelacao as paredes de seu quarto; entretanto, em relacao aosol, voce e um viajante espacial. A parte da Fısica que tratado movimento e a Mecanica. Ela procura compreender ascausas que produzem e modificam os movimentos. A se-guir, vamos estudar uma subdivisao da Mecanica chamadaCinematica, que trata do movimento sem se referir as causasque o produzem.

Ponto Material

Em determinadas situacoes, ponto material pode represen-tar qualquer corpo, como um trem, um aviao, um carro,uma bala de canhao, um mıssil etc. Por que ponto e porque material? Ponto, porque, na resolucao de problemas, es-taremos desprezando as dimensoes do corpo em movimento,sempre que as distancias envolvidas forem muito grandes emrelacao as dimensoes do corpo. Material, porque, emboraas dimensoes do corpo sejam desprezadas, sua massa seraconsiderada.

Fısica D – Aula 1 25

Repouso, Movimento e Referencial

Examine as seguintes situacoes:

• Quando estamos dentro de um veıculo em movimento,a paisagem circundante e fundamental para estabele-cermos os conceitos de movimento e repouso

• Quando observamos o movimento do sol atraves daesfera celeste, podemos concluir que a Terra se movi-menta ao redor do Sol.

• Uma pessoa nasce e cresce em um ambiente fechado,sem janelas, nao saindo dali durante toda a suaexistencia. Nesse caso, pode ser que essa pessoa naotenha condicoes de afirmar se aquele ambiente esta emrepouso ou em movimento.

Em todos esses casos, percebemos que o movimento e deter-minado a partir de um referencial: a paisagem e o referencialdo carro e o Sol e o referencial da Terra; se uma pessoa pas-sar a sua vida toda num ambiente absolutamente fechado,nao tera referencial para perceber qualquer movimento, anao ser o de seu proprio corpo.

Trajetoria

Este e outro conceito importante no estudo do movimento.Vamos partir da figura abaixo. Ela representa uma esferaabandonada de um aviao que voa com velocidade constante:

A8−132

Em relacao ao solo, a trajetoria da esfera e um arco deparabola; e em relacao ao aviao, a trajetoria e um segmentode reta vertical.

Entao, podemos concluir que a trajetoria:

• e a linha descrita ou percorrida por um corpo em mo-vimento;

• depende do referencial adotado.

Deslocamento × Distancia Percorrida

A distancia percorrida por um corpo durante um movimentoe a grandeza escalar que corresponde ao comprimento dosegmento que representa a trajetoria descrita pelo corpo

neste movimento, em relacao ao referencial adotado. Odeslocamento de um corpo e uma grandeza vetorial, cujomodulo equivale ao comprimento do segmento de reta, com-preendidos entre os pontos inicial e final do movimento.

A

B C4 m

5 m3 m

Na figura, uma partıcula, saindo do ponto A, percorre a tra-jetoria ABC. A distancia percorrida pela partıcula e a somados trechos AB (3 metros) e BC (4 metros), totalizando 7metros. Ja o deslocamento e representado pela distanciaentre o ponto A e ponto C, que e igual a 5 metros.

A

B C4 m

5 m3 m

Observacoes

• O deslocamento foi representado por um segmento dereta orientado que denominamos de vetor; os vetoresrepresentam as grandezas vetoriais.

• O deslocamento e a menor distancia entre o ponto desaıda e o ponto de chegada do corpo.

• Numa trajetoria retilınea a distancia percorrida e o des-locamento podem ser iguais.

Deslocamento Escalar ∆s

E a variacao de espaco s. E medido em metros, quilometros,centımetros, etc. Ou seja:

∆s = s− s0

onde s0 e o espaco inicial s e o espaco final.

O deslocamento escalar pode ser positivo, negativo ou nulo.

Quando ∆s > 0 o movimento e a favor da orientacao da tra-jetoria; quando ∆s < 0 o movimento e contra a orientacaoda trajetoria, mas se ∆s = 0 a posicao final e igual a inicial.


Importante

Ha duas possibilidades para ∆s = 0:

• o corpo pode nao ter se movimentado;

• o corpo pode ter se movimentado mas retornado aposicao inicial;

Velocidade Escalar Media

Quando falamos que um veıculo percorreu 100 km em 2 he facil determinar que em media ele 50 km a cada 1 h.Nos dividimos a distancia total e o tempo total da viagem.Isso nao significa que o veıculo andou sempre na mesmavelocidade, pois o veıculo pode ter parado em um posto decombustıvel para abastecer.

Nos sabemos apenas a distancia total e o tempo total da vi-agem, nada sabemos dos acontecimentos durante a mesma.Mas se o motorista quisesse a viagem no mesmo tempo e an-dando sempre na mesma velocidade ele deveria andar sem-pre a 50 km/h. E a velocidade escalar media. Normalmentenao usaremos o termo distancia e sim deslocamento escalar(∆s) e, para indicarmos o tempo decorrido usaremos inter-valo de tempo (∆t). Dessa maneira:

Vm =∆s

∆t=s− s0

t− t0A unidade de velocidade no SI e o m/s.

Para transformar velocidades em km/h em m/s fazemos:

1 km/h =1000 m

3600 s=

1

3, 6m/s

e tambem1 m/s = 3, 6 km/h

Velocidade Escalar

Vamos recordar: a velocidade indica a rapidez e o sentidodo movimento.

Exemplos

1. Va = +10 m/s: a cada segundo o movel anda 10 me indica movimento no sentido da orientacao da tra-jetoria.

2. Vb = −10 m/s: a rapidez e a mesma do movel anteriore o movimento e no sentido oposto ao da orientacao datrajetoria.

Aceleracao

Mede a rapidez da mudanca da velocidade, e a variacao davelocidade em funcao do tempo. Imagine um movimentocom a velocidade mudando a cada segundo:

t(s) 0 1 2 3v(km/h) 10,0 13,6 17,2 21,8

A cada segundo a velocidade aumenta 3, 6 km/h, ou seja,a velocidade varia +3, 6 (km/h) a cada segundo. Isso e, aaceleracao e:

a = +3, 6 km/h

s=

1, 0 m/s

s= 1 m/s2

Aqui temos uma aceleracao positiva, pois a velocidade vaiaumentando (em modulo) com o tempo.

Outro Exemplo

Imagine o seguinte movimento:

t(s) 0 1 2 3v(m/s) 50 45 40 35

A cada segundo a velocidade varia (diminui) em −5 m/s,ou seja:

a =−5 m/s

s= −5 m/s2

Nesse caso a aceleracao e negativa, pois a velocidade vaidiminuindo (em modulo) com o tempo.

Aceleracao Escalar Media (am)

E a variacao total da velocidade em relacao ao intervalototal de tempo.

am =∆v

∆t=v − v0

t− t0

Unidades SI

No SI medimos a velocidade em m/s, o tempo em segundos(s), e a aceleracao em m/s2.


1. (PUC) Um atleta fez um percurso de 800 m num tempode 1 min e 40 s. A velocidade escalar media do atleta e de:a) 8, 0 km/hb) 29, 0 m/sc) 29, 0 km/hd) 20, 0 m/se) 15, 0 km/h

2. (UEL) Um movel percorreu 60, 0 m com velocidade de15, 0 m/s e os proximos 60, 0 m a 30, 0 m/s. A velocidademedia durante as duas fases foi de:a) 15, 0 m/sb) 20, 0 m/sc) 22, 5 m/sd) 25, 0 m/se) 30, 0 m/s

3. (VUNESP) Ao passar pelo marco “km 200”de uma rodo-via, um motorista ve um anuncio com a inscricao “ABAS-TECIMENTO E RESTAURANTE A 30 MINUTOS”. Con-siderando que esse posto de servicos se encontra junto ao


marco “km 245”dessa rodovia, pode-se concluir que o anun-ciante preve, para os carros que trafegam nesse trecho, umavelocidade media, em km/h, de:a) 80b) 90c) 100d) 110e) 120


4. (FUVEST) Partindo do repouso, um aviao percorre apista com aceleracao constante e atinge a velocidade de360 km/h em 25 segundos. Qual o valor da aceleracao,em m/s2?a) 9,8b) 7,2c) 6,0d) 4,0e) 2,0

5. (PUC) Um trem esta com velocidade escalar de 72 km/hquando freia com aceleracao escalar constante de moduloigual a 0, 40 m/s2. O intervalo de tempo que o trem gastapara parar, em segundos, e de:a) 10b) 20c) 30d) 40e) 50

6. (ACAFE) Um carro inicia a travessia de uma ponte comuma velocidade de 36 km/h , ao passar a ponte o motoristaobserva que o ponteiro do velocımetro marca 72 km/h. Sa-bendo que a travessia dura 5, 0segundos, a aceleracao docarro durante a travessia e de:a) 1 m/s2

b) 2 m/s2

c) 3 m/s2

d) 4 m/s2

e) n.d.a

Fısica D Aula 2

Movimento Uniforme (MU)

Suponhamos que voce esteja dirigindo um carro de talforma que o ponteiro do velocımetro fique sempre na mesmaposicao, por exemplo 80 km/h, no decorrer do tempo. Nessacondicao, voce ira percorrer 80 km a cada hora de viagem,em duas horas percorrera 160 km, e assim por diante. O mo-vimento descrito nessa situacao e denominado movimentouniforme (MU).

Voce ja deve ter notado, entao, que no movimento uniformeo valor do modulo da velocidade e constante e nao nulo, istoe, o movel percorre espacos iguais em intervalos de tempo

iguais. Se, alem da velocidade apresentar valor constante ea trajetoria for retilınea, o movimento e dito movimentoretilıneo uniforme (MRU).

Equacao Horaria do MU

Ao longo de um movimento, a posicao de um movel varia nodecorrer do tempo. E util, portanto, encontrar uma equacaoque forneca a posicao de um movel em um movimento uni-forme no decorrer do tempo. A esta equacao denominamosequacao horaria do movimento uniforme.

Considere entao, o nosso amigo corredor percorrendo comvelocidade constante v a trajetoria da figura.

x 0

t0

x XO

t

Figura 1.1: Movimento uniforme (MU).

Onde: x0 e a sua posicao inicial no instante t0 = 0 e x e asua nova posicao no instante t posterior. A velocidade docorredor no intervalo de tempo ∆t = t− t0 = t e

v =∆x

∆t=v − v0

t

e se v e sempre constante, para qualquer instante t, entaotemos um movimento uniforme (MU). Neste caso, como atrajetoria do movimento e retilınea, temos um movimentoretilıneo uniforme (MRU).

Invertendo-se a equacao acima, podemos escrever aequacao horaria do movimento:

x(t) = x0 + vt

que nos da a posicao x(t) em cada instante t > 0, para todoo movimento.

Grafico da Velocidade v × tNo movimento uniforme, o diagrama da velocidade emfuncao do tempo v × t x e uma reta paralela ao eixo dostempos, uma vez que a velocidade e constante e nao variaao longo do tempo.

t

v

O

v > 0

t

v

O t

v

O

v < 0

v = 0

Figura 1.2: Grafico v × t para o MU: para a direita v > 0(a); para a esquerda v < 0 (b) e repouso v = 0 (c).


Importante

• Quando o movimento e na direcao positiva do eixo ori-entado (o sentido positivo usual e para a direita) a velo-cidade do movel e positiva (v > 0). Neste caso x crescecom o tempo;

• Quando o movimento e na direcao negativa do eixo ori-entado (sentido negativo usual e para a esquerda) avelocidade do movel e negativa (v < 0), e neste caso, xdecresce com o tempo.

Neste caso como a velocidade esta abaixo do eixo dasabscissas, esta possui valor negativo, ou seja esta emsentido contrario ao da trajetoria.

• E importante notar que a velocidade corresponde a al-tura da reta horizontal no grafico v × t.

• A area de um retangulo e dada pelo produto da basepela altura: o deslocamento, pelo produto da veloci-dade pelo tempo.

∆x = vt = Area

v

O t

Figura 1.3: O deslocamento e igual a area sob a curva dografico v × t.

Grafico da Posicao x× tComo a equacao horaria no movimento uniforme e umaequacao do primeiro grau, podemos dizer que, para o movi-mento uniforme, todo grafico x× t e uma reta inclinada emrelacao aos eixos. Quando o movimento e progressivo (paraa direita) a reta e inclinada para cima, indicando que os va-lores da posicao aumentam no decorrer do tempo; quando omovimento e retrogrado (para a esquerda), a reta e inclinadapara baixo indicando que os valores da posicao diminuemno decorrer do tempo.

Observe no grafico que, de acordo com a equacao horaria, avelocidade pode ser dada pela inclinacao da reta, ou seja

v = tan θ

A inclinacao da reta tambem denominada e chamada dedeclividade ou coeficiente angular da reta.

Lembre-se de que a tangente de um angulo, num trianguloretangulo, e dada pela relacao entre cateto oposto e o catetoadjacente:

Para o movimento progressivo temos o seguinte grafico:

E para o movimento retrogrado observa-se que:

θ

ab

c

Figura 1.4: Inclinacao de uma reta tan θ = b/c.

t

v > 0

O

xo

x

Figura 1.5: Grafico x× t para o movimento uniforme (MU)progressivo.

Pense um Pouco!

• Um trem com 1 km de extensao viaja a velocidade de1 km/min. Quanto tempo leva o trem para atravessarum tunel de 2 km de comprimento?

• Como seria o grafico x× t para um objeto em repouso?

• No grafico x × t, qual a interpretacao fısica da inter-seccao da reta com o eixo do tempo t?


1. (UEL) Um automovel mantem uma velocidade escalarconstante de 72, 0 km/h. Em 1h:10min ele percorre umadistancia igual a:a) 79, 2 kmb) 80, 8 kmc) 82, 4 kmd) 84, 0 kme) 90, 9 km

2. (ITAUNA-RJ) A equacao horaria de um certo movi-mento e x(t) = 40− 8t no SI. O instante t, em que o movelpassa pela origem de sua trajetoria, sera:a) 4 sb) 8 sc) 32 s


t

v < 0

O

xo

x

Figura 1.6: [Grafico x×t para o movimento uniforme (MU)retrogrado.

d) 5 se) 10 s

3. (UEL) Duas pessoas partem simultaneamente de ummesmo local com velocidades constantes e iguais a 2 m/s e5 m/s, caminhando na mesma direcao e no mesmo sentido.Depois de meio minuto, qual a distancia entre elas?a) 1, 5 mb) 60, 0 mc) 150, 0 md) 30, 0 me) 90, 0 m


4. (UEPG-PR) Um trem de 25 m de comprimento, comvelocidade constante de 36 km/h, leva 15s para atravessartotalmente uma ponte. O comprimento da ponte e:a) 120 mb) 100 mc) 125 md) 80 me) nenhuma resposta e correta

5. (TUIUTI-PR) Um motorista passa, sem perceber, emum radar da polıcia a 108 km/h. Se uma viatura esta,logo adiante a uma distancia de 300 m do radar, em quantotempo o motorista passara pela viatura?a) 7 sb) 13 sc) 20 sd) 10 se) 16 s

6. (UESBA) Se dois movimentos seguem as funcoes horariasde posicao x1(t) = 100 + 4t e x2(t) = 5t, com unidades doSI, o encontro dos moveis se da no instante:a) 0 sb) 400 sc) 10 sd) 500 se) 100 s

Fısica C Aula 3

Movimento Uniformemente Variado(MUV)

Analisando um movimento de queda livre, podemos verificarque o deslocamento escalar vai aumentando com o decorrerdo tempo, isso mostra que a velocidade escalar do corpo va-ria com o tempo. Trata-se entao de um movimento variado.

Galileu ja havia descoberto esse movimento e concluiu que,desprezando a resistencia do ar, quando abandonamos do re-pouso os corpos proximos a superfıcie da terra caem com ve-locidades crescentes, e que a variacao da velocidade e cons-tante em intervalos de tempos iguais. Podemos entao con-cluir que este e um movimento uniformemente variado(MUV).

Observamos um MUV quando o modulo da velocidade deum corpo varia de quantidades iguais em intervalos de tem-pos iguais, isto e, apresenta aceleracao constante e diferentede zero.

No caso da trajetoria ser retilınea, o movimento e deno-minado movimento retilıneo uniformemente variado(MRUV). Portanto em um movimento retilıneo uniforme.

Aceleracao e Velocidade no MRUV

a = constante 6= 0

Como a aceleracao escalar e constante, ela coincide com aaceleracao escalar media:

a = am =∆v

∆t=v − v0

t− t0fazendo t0 = 0, podemos escrever a equacao horaria da ve-locidade, ou seja

v = v0 + at

t

v

O t

v

Ot

v

O a > 0 a > 0 a = 0v < 0o v > 0ov > 0o

MRUV MRUV MRU

Figura 1.1: v × t para o MRUV com a ≥ 0.

Posicao versus tempo no MRUV

Analisando o grafico de v×t, podemos obter a funcao horariados espaco calculando o deslocamento escalar desde t = 0ate um instante t qualquer. Como:


v < 0ov = 0o

t

v

O t

v

O

v

O

MRUV MRUV MRU a = 0a < 0a < 0v > 0

t

o

Figura 1.2: v × t para o MRUV com a ≤ 0.

∆s = area

∆s =

(v + v0

2

)t

como:

∆s = s− s0

e

v = v0 + at

temos

s− s0 =1

2(v0 + at+ v0)t

s− s0 =1

2(2v0 + at)t = v0t+

1

2at2

logo,

s(t) = s0 + v0t+1

2at2

e a funcao horaria dos espacos s(t).

ov < 0ov = 0

ox = 0

ox = 0

ov < 0ox < 0

t

x

O t

x

Ot

x

O

a > 0a > 0 a > 0

Figura 1.3: x× t para o MRUV com a > 0.

ov = 0ox = 0

a < 0

ov > 0ox = 0

ov = 0ox > 0

t

x

O t

x

Ot

x

O a < 0 a < 0

Figura 1.4: x× t para o MRUV com a < 0.

A Equacao de Torricelli

O fısico italiano Evangelista Torricelli estudou matematicaem Roma. Nos ultimos meses de vida de Galileu, Torricellise tornou seu aluno e amigo ıntimo, o que lhe proporcionoua oportunidade de rever algumas teorias do mestre. Umadas consequencias disso foi a unificacao que Torricelli fez dasfuncoes horarias estabelecidas por Galileu para o movimentouniformemente variado.

Torricelli eliminou o tempo da funcao

v = v0 + at

obtendot = (v − v0)/a

e substituindo o valor de t na funcao horaria dos espacos,temos

s = s0 + vmt = s0 +

(v + v0

2

)(v − v0

a

)

onde vm e a velocidade media do movimento.

Finalmente, obtemos a equacao de Torricelli:

v2 = v20 + 2a∆s

Pense um Pouco!

• Imagine que voce esta no interior de um automovel emmovimento. O automovel e suficientemente silenciosoe macio para que voce nao perceba sua velocidade evariacoes de velocidade. Apenas olhando para o ve-locımetro do automovel, sem olhar pelas janelas e para-brisas, e possıvel classificar o movimento do automovel?

• Pode-se usar a equacao de Torricelli para se determinara altura atingida por um projetil lancdo verticalmentepara cima? Como?


1. (UEL) Uma partıcula parte do repouso e, em 5 segundospercorre 100 metros. Considerando o movimento retilıneouniformemente variado, podemos afirmar que a aceleracaoda partıcula e de:a) 8, 0 m/s2

b) 4, 0 m/s2

c) 20 m/s2

d) 4, 5 m/s2

e) n.d.a.

2. (UFPR) Um carro transitando com velocidade de15 m/s, tem, seu freio acionado. A desaceleracao produ-zida pelo freio e de 10 m/s2. O carro para apos percorrer:a) 15, 5 mb) 13, 35 mc) 12, 15 md) 11, 25 me) 10, 50 m


3. (ACFE-SC) A velocidade de um certo corpo em movi-mento retilıneo e dada pela expressao v(t) = 10− 2t, no SI.Calcule o espaco percorrido pelo corpo entre os instantes 2 se 3 s.a) 3 mb) 5 mc) 8 md) 16 me) 21 m


4. (CEFET) Na decolagem, um certo aviao partindo dorepouso, percorre 500 m em 10, 0 s. Considerando-se suaaceleracao constante, a velocidade com que o aviao levantavoo e:a) 100 m/sb) 200 m/sc) 125 m/sd) 50 m/se) 144 m/s

5. (UNESP) Um movel descreve um movimento retilıneoobedecendo a funcao horaria x(t) = 8 + 6t− t2 no SI. Essemovimento tem inversao de seu sentido no instante:a) 8 sb) 3 sc) 6 sd) 2 se) 4/3 s

6. (UNESP) No instante em que o sinal de transito au-toriza a passagem, um caminhao de 24 m de comprimentoque estava parado comeca atravessar uma ponte de 145 mde comprimento, movendo-se com uma aceleracao constantede 2, 0 m/s2. O tempo que o caminhao necessita para atra-vessar completamente a ponte e:a) 12 sb) 145 sc) 13 sd) 169 se) 14 s

Fısica D Aula 4

Queda Livre

Um corpo e dito em queda livre quando esta sob acao ex-clusiva da gravidade terrestre ( ou da gravidade de outrocorpo celeste).

Foi Galileu quem estudou corretamente pela primeira vez,a queda livre de corpos.

Galileu concluiu que todos os corpos em queda livre, isto e,livres do efeito da resistencia do ar, tem uma propriedadecomum;

Corpos em queda livre tem a mesma aceleracao quaisquerque sejam suas massas.

Esta aceleracao de queda livre e denominada aceleracaoda gravidade e, nas proximidades da terra, e suposta cons-tante e com modulo g = 9.8 m/s2, valor este que por prati-cidade, e usualmente aproximado para g = 10 m/s2.

Na realidade, a aceleracao da gravidade, embora seja inde-pendente da massa do corpo em queda livre, varia com olocal, dependendo da latitude e da altitude do lugar.

Se o corpo em queda livre tiver uma trajetoria retilınea,seu movimento sera uniformemente variado; neste caso, aaceleracao escalar do corpo sera constante e valera semprea = −g, independente do sentido do movimento. Destaforma, se um objeto for lancado para cima (v0 > 0), ele irafrear (desacelerar) ate parar (v = 0) e depois seu sentido demovimento sera invertido (v > 0).

Convencoes

• o sentido positivo do eixo vertical e debaixo para cima;

• quando a e v possuem o mesmo sinal, o movimento eacelerado (v cresce em modulo);

• quando a e v possuem o sinais contrarios, o movi-mento e desacelerado, freado ou entao dito tambem re-tardado (v diminui em modulo);

Velocidade Escalar Final

Em um local onde o efeito do ar e desprezıvel e a aceleracaoda gravidade e constante e com modulo g, um corpo e aban-donado a partir do repouso de uma altura h acima do solo.

Vamos obter a velocidade escalar final de um corpo ao solto(v0 = 0), atingir o solo. Pela equacao de Torricelli:

v2 = v20 + 2a∆s = v2

0 + 2a(s− s0)

sendo s0 = h e s = 0, temos:

v2 = 0 + 2(−g)(0− h) = 2gh

entao

v = −√

2gh

sera a sua velocidade escalar ao atingir o chao. Escolhemoso sinal negativo (−) porque o corpo esta descendo, contra osentido crescente do eixo vertical (que e para cima).

Observe que quanto maior a altura inicial h, maior a ve-locidade final v, como era de se esperar, mas que v nao eproporcional a h.

Tempo de Queda

Vamos obter agora o tempo de queda livre desde que umcorpo e solto (v0 = 0) de uma altura h, ate atingir o solo.Pela equacao horaria da velocidade do MRUV, temos:

v(t) = v0 + at


ov = 0

t

v a = −g

tq

0

Figura 1.1: v × t para a queda livre.

e para a queda livre sera

v(t) = v0 − gte sendo v0 = 0 e v = −√2gh temos

−√

2gh = 0− gte finalmente

t =

√2gh

g=

√2h

g

x

0

ox = hov = 0a = −g

h

qt t

Figura 1.2: x× t para a queda livre.

Observe que quanto maior a altura inicial h, maior o tempode queda t, como tambem era de se esperar, e que t tambemnao e proporcional a h.

Lancamento Vertical

Em um local onde o efeito do ar e desprezıvel e a ace-leracao da gravidade e constante e com modulo igual a g, umprojetil e lancado verticalmente para cima com velocidadede modulo igual a v0.

Estudemos as propriedades associadas a este movimento:

s(t) = s0 + v0t−1

2gt2

ev(t) = v0 − gt

Observa-se que:

• o movimento do projetil e uniformemente variado por-que a aceleracao escalar e constante e diferente de zero;

• como foi lancado para cima, a velocidade inicial doprojetil e positiva (v0 > 0);

• orientando-se o eixo vertical para cima, como de cos-tume, a aceleracao escalar vale −g;

• A partir do ponto mais alto da trajetoria, o projetil in-verte o sentido de seu movimento e , portanto, sua ve-locidade e nula no ponto mais alto (ponto de inversao);

• O tempo de subida ts do projetil e calculado como sesegue:

se

v(t) = v0 − gt

e v(ts) = 0 para a posicao mais alta, temos

0 = v0 − gts

e finalmente

ts =v0

g

Pode-se mostrar que o tempo de descida e igual aotempo de subida. Mostre voce mesmo.

• a velocidade escalar de retorno ao solo e calculada comose segue:

como o tempo total de voo e 2ts, temos

v(2ts) = v0 − g(2ts) = v0 − g(

2v0

g

)

ou seja, a velocidade de retorno sera

v = −v0

A mesma aceleracao que retarda a subida do projetil e aque o acelera na descida e tem modulo constante g, por-tanto concluımos que que ao retornar ao solo, o projetilchaga com a mesma velocidade inicial de lancamento,em modulo.

• A altura maxima atingida pelo projetil e calculada apartir da equacao de Torricelli:

v2 = v20 + 2a∆s

e como v = 0 e ∆s = h, temos

0 = v20 + 2(−g)h

donde

h =v2

0

2g

Observe que quanto maior a velocidade inicial v0, maiora altura h atingida pelo projetil, como era de se esperar,e que h nao e proporcional a v0.


Pense um Pouco!

• Por que uma folha inteira e outra amassada nao chegamjuntas ao chao, quando soltas simultaneamente de umamesma altura?

• Um corpo pode ter aceleracao a 6= 0 e v = 0? Como?

• Um corpo pode estar subindo (v > 0) e acelerando parabaixo (a < 0)? Como?

• por que nao se deve dar um tiro para cima com umaarma de fogo?


1. (UFAL) Uma pedra e abandonada de uma altura de7, 2 m, adotando g = 10 m/s2 e desprezando-se a resistenciado ar, pode-se afirmar que a sua velocidade escalar ao atingiro solo sera:a) 12 m/sb) 36 m/sc) 360 m/sd) 18 m/se) 180 m/s

2. (FUVEST) Um corpo e solto, a partir do repouso, dotopo de um edifıcio de 80 m de altura. Despreze a resistenciado ar e adote g = 10 m/s2. O tempo de queda ate o solo eo modulo da velocidade com que o corpo atinge o solo sao:a) 4, 0 s e 72 km/hb) 2, 0 s e 72 km/hc) 2, 0 s e 144 km/hd) 4, 0 s e 144 km/he) 4, 0 s e 40 km/h

3. (FUVEST) Um corpo e disparado do solo, vertical-mente para cima, com velocidade inicial de modulo iguala 2, 0.102 m/s. Desprezando a resistencia do ar e adotandog = 10 m/s2, a altura maxima alcancada pelo projetil e otempo necessario para alcanca-la sao respectivamente:a) 4, 0 km e 40 sb) 2, 0 km e 40 sc) 2, 0 km e 10 sd) 4, 0 km e 20 se) 2, 0 km e 20 s


4. (FMTM-MG) As gaivotas utilizam um metodo interes-sante para conseguir degustar uma de suas presas favoritas –o caranguejo. Consiste em suspende-lo a uma determinadaaltura e aı abandonar sua vıtima para que chegue ao solocom uma velocidade de modulo igual a 30 m/s, suficientepara que se quebre por inteiro. Despreze a resistencia doar e adote g = 10 m/s2. A altura de elevacao utilizada poressas aves e:a) 15 mb) 45 m

c) 90 md) 30 me) 60 m

5. (UNICAMP) Uma atracao que esta se tornando muitopopular nos parques de diversao consiste em uma plata-forma que despenca, a partir do repouso, em queda livre deuma altura de 75 m. Quando a plataforma se encontra a30 m do solo, ela passa a ser freada por uma forca constantee atinge o repouso quando chega ao solo. A velocidade daplataforma quando o freio e acionado e dada por :a) 10 m/sb) 30 m/sc) 75 m/sd) 20 m/se) 40 m/s

6. (CEFET-PR) Um balao meteorologico esta subindo comvelocidade constante de 10 m/s e se encontra a uma alturade 75 m, quando dele se solta um aparelho. O tempo que oaparelho leva para chegar ao solo e:a) 2 sb) 4 sc) 5 sd) 3 se) 7 s

Fısica D Aula 5

Movimento Circular Uniforme(MCU)

Em um movimento onde a trajetoria e uma circunferencia(ou arco de uma circunferencia) e a velocidade escalar econstante, este e denominado como movimento circularuniforme (MCU). Neste movimento a partıcula e locali-zada pela sua posicao angular θ, que varia uniformementecom o tempo.

No movimento circular uniforme o vetor velocidade muda otempo todo, porem mantem fixo o seu modulo (velocidadeescalar).

Movimento Periodico

Um movimento e chamado periodico quando todas as suascaracterısticas (posicao, velocidade e aceleracao) se repetemem intervalos de tempo iguais.

O movimento circular e uniforme e um exemplo de mo-vimento periodico, pois, a cada volta, o movel repete aposicao, a velocidade e a aceleracao.

Perıodo (T )

Define-se como perıodo (T ) o menor intervalo de tempopara que haja repeticao das caracterısticas do movimento.


v1

v2

v3

v4

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

""""""""""""""""""""""""

R

θ

Figura 1.1: O movimento circular uniforme (MCU).

No movimento circular e uniforme, o perıodo e o intervalode tempo para o movel dar uma volta completa.

Como e uma medida de tempo, a unidade SI do perıodo eo segundo.

Frequencia (f)

Define-se a frequencia (f) de qualquer movimento periodicocomo o numero de vezes que as caracterısticas do movimentose repetem durante uma unidade de tempo, ou seja, 1 s.

No movimento circular uniforme, a frequencia e o numero devoltas realizadas na unidade de tempo. Se o movel realizan voltas em um intervalo de tempo t, a frequencia f e dadapor:

f =n

t

e por definicao, como no MCU o tempo de uma volta com-pleta (n = 1) e o proprio perıodo do movimento, temos que

f =1

T

A unidade SI da frequencia f e s−1 ou tambem chamadode hertz, cuja abreviacao e Hz. Pode-se tambem medir afrequencia em rotacoes por minuto ou rpm.

Exemplo

Se um movimento tem frequencia de 2, 0 Hz, entao sao da-das duas voltas completas por segundo, ou seja, o perıododo movimento deve ser de 1/2 s. Como o minuto tem 60segundos, esse movimento tera uma frequencia de 120 rpm.

Velocidade Escalar v

Para uma volta completa, em uma circunferencia de raio R,temos que

v =∆s

∆t=

2πR

T

logo, para o MCU temos

v = 2πRf

Velocidade Angular ω

Define a velocidade angular ω de forma semelhante a de-finicao de velocidade v, so que nesse caso estamos interes-sados na variacao da posicao angular ocorrida no MCU.Entao:

ω =∆θ

∆t=θ − theta0

tPara uma volta completa, temos que o deslocamento angu-lar sera 2π e t = T , temos

ω =2π

T= 2πf

Unidades SI

A velocidade angular ω e medida em rad/s no SI.

Relacao entre v e ω

Como a velocidade escalar no MCU e v = 2πRf e ω = 2πf ,entao

v = ωR

Ou seja, a velocidade escalar v e proporcional a velocidadeangular ω.

Vetores no MCU

Ja vimos que no movimento circular e uniforme, a veloci-dade vetorial tem modulo constante, porem direcao variavele, portanto o vetor v e variavel. Sendo a velocidade vetorialvariavel, vamos analisar a aceleracao vetorial a.

Sendo o movimento uniforme, a componente tangencial atda aceleracao vetorial e nula:

at =∆v

∆t= 0

Sendo a trajetoria curva, a componente normal an da ace-leracao, ou tambem chamada de aceleracao centrıpeta naoe nula (an 6= 0).

O modulo da aceleracao centrıpeta pode ser calculado pelaseguinte expressao:

ac =∆v

∆t=

2v sin(∆θ/2)

∆t

e como ∆θ = ω∆t, e o angulo ∆θ e pequeno para ∆t pe-queno, temos

sin∆θ

2' ∆θ

2e

ac =2ωR∆θ/2

∆θ/ω= ω2R

ou entao, como v = ωR

ac =v2

R


∆(t+ t)v

v (t)

v (t)

∆(t+ t)v

∆ vca

∆θ=ο∆ t ∆θ=ο∆ t

#$%&%'

(&(&(&(&(&((&(&(&(&(&((&(&(&(&(&((&(&(&(&(&()&)&)&)&)&))&)&)&)&)&))&)&)&)&)&))&)&)&)&)&)

*&**&**&**&**&**&**&**&**&**&**&**&*

+&++&++&++&++&++&++&++&++&++&++&++&+

,,,,,,,,,,,,,

-------------.&.&.&.&.&.&..&.&.&.&.&.&./&/&/&/&/&/&//&/&/&/&/&/&/

0&0&0&0&0&00&0&0&0&0&00&0&0&0&0&00&0&0&0&0&01&1&1&1&1&11&1&1&1&1&11&1&1&1&1&11&1&1&1&1&12&2&2&2&2&2&23&3&3&3&3&3&3

θ = ο t

R

Figura 1.2: A aceleracao centrıpeta (normal).

Pense um Pouco!

• Certos fenomenos da natureza, como a trajetoria daTerra em torno do Sol e o movimento dos satelites apre-sentam movimento circular uniforme? De exemplos.

• Imagine um disco girando em torno do seu centro.As velocidades de todos os seus pontos sao iguias emmodulo? Explique.

• Como sao os vetores de velocidade de diferentes pontosde uma mesma roda (disco) que gira? Faca um esbocodos vetores.

• Qual a velocidade angular do ponteiro dos segundos deum relogio mecanico?


1. (FCC) Uma partıcula executa um movimento uniformesobre uma circunferencia de raio 20 cm. Ela percorre me-tade da circunferencia em 2, 0 s. A frequencia, em hertz, eo perıodo do movimento, em segundos, valem, respectiva-mente :a) 4,0 e 0,25b) 1,0 e 1,0c) 0,25 e 4,0d) 2,0 e 0,5e) 0,5 e 2,0

2. (UFES) Uma pessoa esta em uma roda-gigante que temraio de 5 m e gira em rotacao uniforme. A pessoa passa peloponto mais proximo do chao a cada 20 segundos. Podemosafirmar que a frequencia do movimento dessa pessoa, emrpm, e:a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

3. (ITA) Um automovel percorre uma trajetoria com velo-cidade escalar constante. A roda do automovel, cujo raio e30 cm, da 40 voltas em 2, 0 s. A Velocidade escalar angularda roda e, em rad/s:

a) 20 rad/sb) 30 rad/sc) 40 rad/sd) 50 rad/se) 60 rad/s


4. (ACAFE) Um automovel percorre uma estrada com ve-locidade escalar constante e igual a 8, 0 m/s e suas rodaspossuem raio R = 0, 40 m. A frequencia de rotacao da rodae:a) 5 Hzb) 8 Hzc) 12 Hzd) 6 Hze) 10 Hz

5. (FUVEST) Um ciclista percorre uma pista circular de500 m de raio, com velocidade escalar constante de 20 m/s.A aceleracao do ciclista e:a) 0, 5 m/s2

b) 0, 8 m/s2

c) 1, 4 m/s2

d) 0, 6 m/s2

e) 1, 2 m/s2

6. (CEFET-PR) A orbita da Terra em torno do Sol, emrazao da sua baixa excentricidade, e aproximadamente umacircunferencia. Sabendo-se que a terra leva um ano para re-alizar uma volta completa em torno do Sol e que a distanciamedia da Terra ao Sol e 150 milhoes de km, os modulosdos vetores da velocidade e aceleracao em km/s e m/s2 saorespectivamente:a) 10 e 2, 0× 10−3

b) 20 e 2, 0× 10−3

c) 30 e 6, 0× 10−3

d) 20 e 6, 0× 10−3

e) 10 e 6, 0× 10−3

Fısica D Aula 6

Termodinamica

A Termodinamica e a parte da Fısica Classica que estuda ossistemas termicos, os processos de transformacoes fısicas queocorrem em tais sistemas, bem como as trocas de energia,calor e o trabalho mecanico.

Temperatura

Temperatura e calor sao grandezas basicas no estudo datermofısica e tanto a sua compreensao como a sua perfeitadistincao sao de importancia vital para o entendimento detoda a termofısica. De maneira simplificada pode-se definirque temperatura como uma grandeza que permite avaliar o


nıvel de agitacao das moleculas de um corpo. De acordo coma teoria cinetica dos gases, as moleculas de um gas movem-selivre e desordenadamente em seu interior, separadas umasdas outras, e apenas interagindo entre si durante colisoeseventuais. A medida que se aquece o gas, a velocidade comque suas moleculas se movem aumenta, caracterizando umaumento na energia cinetica dessas moleculas, da mesmaforma um resfriamento do gas provoca a diminuicao da ve-locidade e da energia cinetica de suas moleculas. Como avelocidade e consequentemente a energia cinetica de cadaatomo que constitue uma molecula nao e a mesma, o estadotermico de um corpo e avaliado pela energia cinetica mediade seus atomos: quanto maior for a energia cinetica mediadas partıculas que compoem um corpo, maior sera a suatemperatuta.

Calor

Colocando dois corpos de temperaturas diferentes em con-tato termico, observamos o mais quente esfriar e o maisfrio esquentar. O corpo mais quente perde calor e o corpomais frio ganha calor. Os corpo trocarao calor ate a atingi-rem a mesma temperatura, neste caso estarao em equilıbriotermico. Essa e a chamada lei zero da Termodinamica.

Portanto o calor e a energia em transito do corpo maisquente para o corpo mais frio por causa da diferenca detemperatura dos corpos em contato termico. Entao, a uni-dade de medida de calor e a mesma unidade de energia.

No Sistema Internacional, a unidade de energia e o jouleou J , e na Quımica se usa a caloria ou cal. A equivalenciaentre as unidades e:

1 cal = 4, 186 J

Escalas Termometricas

Dentre os diversos tipos, estudaremos as escalas ter-mometricas a partir do termometro de mercurio, o maissimples e comum. E constituıdo de uma haste oca de vi-dro, ligada a um bulbo contendo mercurio. Ao ser colocadoem contato com um corpo ou ambiente cuja temperatura sequer medir, o mercurio se dilata ou contrai, de forma quecada comprimento de sua coluna corresponde a um valor detemperatura. A parede da haste e graduada conveniente-mente, para indicar a temperatura correspondente a cadacomprimento da coluna de mercurio.

As escalas termometricas mais importantes sao a Celsius,a Fahrenheit e a Kelvin, e sao atribuıdos aos pontos fixos(ponto de fusao PF e ponto de ebulicao da agua PE), osvalores abaixo:

Conversao de Temperaturas

Embora usualmente se empregue o grau celsius (C) comounidade pratica de temperatura, a conversao entre escalas emuito importante, pois o kelvin e a unidade de temperaturado SI, e o grau fahrenheit (F ) ainda e bastante utilizadoem livros e filmes de lıngua inglesa. A relacao entre as

Figura 1.1: Os pontos de referencia nas diferentes escalas.

escalas termometricas pode ser obtida facilmente atraves deproporcoes matematicas. Imagine-se tres termometros deconstrucao identica, cada um graduado em uma das escalas(Celsius , Fahrenheit e Kelvin), em equilıbrio termico comum mesmo corpo. Obviamente, os tres termometros estaraoindicando o mesmo estado termico e, portanto, apresentaraoas colunas de mercurio no mesmo nıvel. Observando-se ospontos fixos ja definidos para cada escala, e chamando deTC ,TF e T , as temperaturas do corpo nas escalas Celsius,Fahrenheit e Kelvin, respectivamente, podem-se estabeleceras proporcoes:

TC − 0 C100 C − 0 C

=TF − 32 F

212 F − 32 F=

T − 273 K

373 K − 273 K

logo:

TC5 C

=TF − 32 F

9 F=T − 273 K

5 K

Observe que ambas as escalas Celsius e Kelvin saocentıgradas, pois o intervalo e calibracao (do ponto de fusaodo gelo ao de ebulicao da agua) e dividido em 100 graus, ou100 partes. Na escala Fahrenheit, este intervalo e subdivi-dido em 180 partes (graus frahrenheit).

Intervalos de Temperatura

Converter temperaturas de uma escala para a outra nao eo mesmo que converter intervalos de temperatura entre asescalas. Exemplo, um intervalo de temperatura de 10 Ccorresponde, na escala absoluta (ou Kelvin) a um intervalode 10 K, e na escala Fahrenheit, o intervalo correspondentesera de 18 F , pois para cada grau celsius, temos 1,8 graufahrenheit.

Fısica E – Aula 1 37

A menor temperatura que existe na natureza e o chamadozero absoluto ou seja, 0 K. Por isso a escala Kelvin edita absoluta. Nas outras escalas, os zeros foram escolhidosarbitrariamente, nao levando em conta a possibilidade dehaver uma menor temperatura possıvel na natureza, o queso foi descoberto depois da criacao das primeiras escalastermicas.

Pense um Pouco!

• Qual a temperatura normal do corpo humano, em F?

• A temperatura ideal da cerveja e em torno de 4 C, an-tes de beber. Se dispomos apenas de um termometrocom escala Kelvin, qual a temperatura absoluta corres-pondente ao mesmo estado termico da cerveja ideal?


1. Ao tomar a temperatura de um paciente, um medico sodispunha de um termometro graduado na escala Fahrenheit.Se o paciente estava com febre de 42 C, a leitura feita pelomedico no termometro por ele utilizado foi de :a) 104 Fb) 107, 6 Fc) 72 Fd) 40 Fe) 106, 2 F

2. (URCAMP-SP) No interior de um forno, um termometroCelsius marca 120C. Um termometro Fahrenheit e umKelvin marcariam na mesma situacao, respectivamente:a) 248 F e 393 Kb) 198 F e 153 Kc) 298 F e 153 Kd) 393 F e 298 Ke) nenhuma resposta e correta

3. (ACAFE) Uma determinada quantidade de agua esta auma temperatura de 55 C. Essa temperatura correspondea:a) 55 Fb) 328 Fc) 459 Kd) 131 Fe) 383 K


4. (UEL) Um termometro foi graduado, em graus Celsius,incorretamente. Ele assinala 1 C para o gelo em fusao e97 C para a agua em ebulicao, sob pressao normal. Pode-se afirmar que a unica temperatura que esse termometroassinala corretamente, em graus Celsius e:a) 12b) 49c) 75

d) 25e) 64

5. (CENTET-BA) Num termometro de escala X, 20 Xcorrespondem a 25 C, da escala Celsius, e 40 X corres-pondem a 122 F , na escala Fahrenheit. Esse termometroapresentara, para a fusao do gelo e a ebulicao da agua, osrespectivos valores, em X:a) 0 e 60b) 0 e 80c) 20 e 60d) 20 e 80e) 60 e 80

6. (PUC) Uma revista cientıfica publicou certa vez um ar-tigo sobre o planeta Plutao que, entre outras informacoes,dizia “...sua temperatura atinge −380 ...”. Embora o au-tor nao especificasse a escala termometrica utilizada, certa-mente se refere a escala:a) Kelvinb) Celsiusc) Fahrenheitd) Kelvin ou Celsiuse) Fahrenheit ou Celsius

Fısica E Aula 1

Eletricidade

Carga Eletrica

No seculo XVIII, Benjamin Franklin verificou experimen-talmente que existem dois tipos de cargas diferentes, a asbatizou como cargas negativas (−) e positivas (+). Nestaepoca os cientistas pensavam que a carga era um fluıdo quepodia ser armazenado nos corpos, ou passar de um para ou-tro.

Atualmente, dizer-se que carga eletrica e uma propriedadeintrınseca de algumas partıculas. Assim como massa, acarga e uma propriedade elementar das partıculas.

A experiencia realizada por Harvey Fletcher e Robert Milli-kan desmosntrou que a quantidade de carga eletrica e umagrandeza quantizada, ou seja, nao pode assumir qualquervalor. Essa descoberta levou a conclusao de que a quan-tidade de carga eletrica Q e sempre um numero inteiro nvezes a quantidade de carga elementar e:

Q = ne

onde e = 1, 60× 10−19 C. A unidade SI da carga eletrica eo coulomb ou C.

Tipos de Materiais

Em relacao a eletricidade, os materiais sao classificadoscomo condutores ou isolantes.

Para que um material seja condutor de energia eletrica, enecessario que ele possua portadores de carga eletrica livres


(eletrons, ıons positivos ou ıons negativos) e mobilidade paraesses portadores. Os metais sao bons condutores de eletrici-dade, pois possuem eletrons ”livres”e mobilidade para esseseletrons; o mesmo acontece com as solucoes eletrolıticas,que apresentam os ıons como portadores de carga eletrica,e com os gases ionizados, que possuem eletrons e ıons comoportadores de carga eletrica.

O vidro, a agua pura, a madeira e os plasticos de modo geralsao bons isolantes de eletricidade. Alem dos condutores edos isolantes, existem os materiais semicondutores, como osilıcio e o germanio.

Eletrizacao por Atrito

Ao atritar vigorosamente dois corpos, A e B, estamos forne-cendo energia e pode haver transferencia de eletrons de umpara o outro. Se os corpos atritados estao isolados, ou seja,nao sofrem a influencia de quaisquer outros corpos, as car-gas eletricas cedidas por um sao exatamente as adquiridaspelo outro:

QA = −QB

Isto e, A e B adquirem quantidades de carga eletrica iguaisem modulo, mas de sinais contrarios. A figura representao que acontece quando um pedaco de metal e atritado comum pano de la.

(a) (b)

Quando esfregamos as maos, nao eletrizamos nenhuma de-las. Para que haja eletrizacao por atrito, uma condicao ne-cessaria e que os corpos sejam de materiais diferentes, istoe, eles nao podem ter a mesma tendencia de ganhar ou per-der eletrons. Em Quımica, essa tendencia e traduzida poruma grandeza denominada de eletroafinidade. Os materi-ais podem ser classificados de acordo com essa tendencia,elaborando-se a chamada serie triboeletricas:

+ + + Vidro → Mica → La → Seda → Algodao →Madeira → Ambar → Enxofre → Metais −−−Ao atritarmos dois materiais quaisquer de uma serie tri-boeletrica, o que estiver posicionado a esquerda ficara eletri-zado positivamente; o que estiver a direita ficara eletrizadonegativamente. Na eletrizacao por atrito, pelo menos umdos corpos deve ser isolante. Se atritarmos dois condutores,eles nao vao manter a eletrizacao.

Eletrizacao por Contato

A eficiencia nessa forma de eletrizacao depende de os cor-pos serem condutores ou isolantes. Se um dos corpos for

isolante, a eletrizacao sera local, isto e, restrita aos pontosde contato.

Se os dois corpos forem condutores - um eletrizado e o ou-tro neutro - e colocados em contato, poderemos imagina-loscomo um unico corpo eletrizado. A separacao entre elesresultara em dois corpos eletrizados com cargas de mesmosinal. Na figura, um dos condutores esta inicialmente neu-tro (a eletrizacao por contato pode ocorrer tambem comdois condutores inicialmente eletrizados).

(a) (b) (c)

Generalizando, podemos afirmar que, na eletrizacao porcontato:

• os corpos ficam ou eletricamente neutros ou com cargasde mesmo sinal;

• quando o sistema e formado por corpos isolados das in-fluencias externas, a quantidade de carga eletrica totalfinal e igual a quantidade de carga eletrica total inicial(princıpio da conservacao de carga eletrica):

QA +QB = Q′A +Q′B

Na expressao acima, Q representa a quantidade decarga eletrica inicial eQ′, a quantidade de carga eletricafinal. Em particular, se os corpos A e B forem iguais:

Q′A = Q′B = (QA+QB)/2

Podemos ainda observar que:

1. se os corpos colocados em contato sao de tama-nhos diferentes, a divisao de cargas e proporcionalas dimensoes de cada um;

2. quando um corpo eletrizado e colocado em contatocom a Terra, ele se torna neutro, uma vez quesua dimensao e desprezıvel se comparada com ada Terra. Simbolicamente, a ligacao a Terra erepresentada conforme a figura.

(a) (b)

Em (a), o corpo esta isolado da Terra e, portanto,mantem sua carga eletrica. Quando o contato coma Terra e estabelecido (b), o corpo se neutraliza


Eletrizacao por Inducao

Nesse tipo de eletrizacao nao ha contato entre os corpos.Vejamos como acontece.

(a) (b)

Primeiramente, precisamos de um corpo eletrizado (a), cha-mado de indutor, que pode ser condutor ou isolante, poisnao tera contato com o outro. O segundo corpo (b) a sereletrizado, chamado de induzido, devera ser condutor, po-dendo ser uma solucao eletrolıtica ou dois corpos B1 e B2ligados eletricamente.

(a) (b)

O indutor (a) eletrizado positivamente, atrai as cargaseletricas negativas do induzido (b). Assim, na face do in-duzido mais proxima do indutor, temos acumulo de cargasnegativas, que nao chegam ao indutor porque o ar entre elese isolante. Por outro lado, a face do induzido mais afastadado indutor fica positiva. A essa altura, podemos nos per-guntar se o corpo (b) esta eletrizado. Ele nao esta, pois onumero de protons no corpo continua igual ao numero deeletrons. Dizemos que o corpo (b) esta induzido, porquehouve apenas uma separacao das cargas. Quando retira-mos o indutor, as cargas no induzido se reagrupam e elevolta a situacao neutra. Para eletrizar o induzido, devemos,na presenca do indutor, estabelecer o contato do induzido(corpo b) com um terceiro corpo, chamado de terra. Esseterceiro corpo pode ser um outro corpo qualquer, ate mesmoo planeta Terra.

(a) (b)

Na presenca do indutor, desfazemos o contato entre b e aTerra; em seguida, afastamos os corpos: o corpo b fica ele-trizado com carga oposta a do indutor a.

Pense um Pouco!

• Uma pessoa pode levar um pequeno choque ao descerde um carro num dia seco. Explique.

• Atritando-se dois materiais diferentes criamos cargaeletrica? Por que?


1. Dispoese de tres esferas metalicas identicas e isoladasuma da outra. Duas delas, A e B, estao neutras, enquantoa esfera C contem uma carga eletrica Q. Faz-se a esfera Ctocar primeiro a esfera A e depois a esfera B. No final desseprocedimento, qual a carga eletrica das esferas A, B e C,respectivamente?

2. ”Serie triboeletrica e um conjunto de substancias orde-nadas de tal forma que cada uma se eletriza negativamentequando atritada com qualquer uma que a antecede e positi-vamente quando atritada com qualquer uma que a sucede.Exemplo: vidro - mica - la - seda - algodao - cobre.”Baseadona informacao acima, responda:a) Atrita-se um pano de la numa barra de vidro, inicial-mente neutros. Com que sinais se eletrizam?b) E se o pano de la fosse atritado numa esfera de cobre,tambem inicialmente neutro?

3. Uma esfera metalica neutra encontra-se sobre um suporteisolante e dela se aproxima um bastao eletrizado positiva-mente. Mantem-se o bastao proximo a esfera, que e entao


ligada a terra por um fio metalico. Em seguida, desliga-seo fio e afasta-se o bastao.a) A esfera ficara eletrizada positivamente.b) A esfera nao se eletriza, pois foi ligada a terra.c) A esfera sofrera apenas separacao de suas cargas.d) A esfera ficara eletrizada negativamente.e) A esfera nao se eletriza, pois nao houve contato com obastao eletrizado.

4. Dispoe-se de uma esfera condutora eletrizada positiva-mente. Duas outras esferas condutoras, B e C, encontram-se inicialmente neutras. Os suportes das tres esferas sao iso-lantes. Utilizando os processos de eletrizacao por inducaoe por contato, descreva procedimentos praticos que permi-tam obter: I. as tres esferas eletrizadas positivamente II. aeletrizada positivamente e B negativamente III. a eletrizadanegativamente e B positivamente


5. (U. Fortaleza-CE) Um bastao e atritado com um pano.A seguir, repele uma esfera eletrızada negativamente. Pode-se afirmar corretamente que o bastao foi eletrizadoa) positivamente, por contacto com o pano.b) positivamente, por ter-se aproximado da esfera.c) negativamente, por ter-se aproximado da esfera.d) negativamente, por atrito com o pano.e) neutralizado, ao aproximar-se da esfera

6. (PUCC-SP) Dispoe-se de uma barra de vidro, um panode la e duas pequenas esferas condutoras, A e B, apoiadasem suportes isolados, todos eletricamente neutros. Atrita-se a barra de vidro com o pano de la; a seguir coloca-se abarra de vidro em contato com a esfera A e o pano com aesfera B. Apos essas operacoes:a) o pano de la e a barra de vidro estarao neutros.b) a barra de vidro repelira a esfera B.c) o pano de la atraira a esfera A.d) as esferas A e B se repelirao.e) as esferas A e B continuarao neutras.

7. (UNIRIO-RJ) Uma esfera metalica, sustentada por umahaste isolante, encontra-se eletrizada com uma pequenacarga eletrica Q. Uma segunda esfera identica e inicialmentedescarregada aproxima-se dela, ate toca-la, como indica afigura ao lado. Apos o contato, a carga eletrica adquiridapela segunda esfera e:a) Q/2b) Qc) 2Qd) 0

8. (UF-PI) Temos uma placa condutora apoiada em um su-porte isolante. Estando ela inicialmente neutra, aproxima-se pela sua esquerda, um bastao carregado negativamente.Em consequencia da inducao eletrostatica, ocorrera uma re-distribuicao de cargas na placa. Esquematicamente, tere-mos:a) — +++b) — —

c) +++ —d) +++ —

Fısica E Aula 2

Eletricidade

Eletroscopio de Folhas

E constituıdo de duas folhas metalicas, finas e flexıveis, liga-das em sua parte superior a uma haste, que se prende a umaesfera, ambas condutoras. O isolante impede a passagem decargas eletricas da haste para a esfera. Normalmente, asfolhas metalicas sao mantidas dentro de um frasco transpa-rente, a fim de aumentar a sua justeza e sensibilidade.

(a) (b)

Figura 1.1: O eletroscopio de folhas (a) na preseca de um-bastao eletrizado negativamente (b)

Aproximando-se da esfera o corpo que se quer verificar, seele estiver eletrizado, ocorrera a inducao eletrostatica, ouseja: se o corpo estiver carregado negativamente, ele repeleos eletrons livres da esfera para as laminas, fazendo comque elas se abram devido a repulsao; se o corpo estiver comcargas positivas, ele atrai os eletrons livres das laminas, fa-zendo tambem com que elas se abram, novamente, devido arepulsao.

A determinacao do sinal da carga do corpo em teste, queja se sabe estar eletrizado, e obtida carregando-se anterior-mente o eletroscopio com cargas de sinal conhecido. Dessaforma, as laminas terao uma determinada abertura inicial.

A Lei de Coulomb

Esta lei diz respeito a intensidade das forcas de atracao oude repulsao, que agem em duas cargas eletricas puntiformes(cargas de dimensoes desprezıveis), quando colocadas empresenca uma da outra.


Figura 1.2: Na presenca de um bastao eletrizado positiva-mente

Considere duas cargas eletricas puntiformes, q1 e q2, sepa-radas pela distancia r. Sabemos que, se os sinais dessascargas forem iguais, elas se repelem e, se forem diferentes,se atraem. Isto acontece devido a acao de forcas de naturezaeletrica sobre elas.

Essas forcas sao de acao e reacao e, portanto, tem a mesmaintensidade, a mesma direcao e sentidos opostos. Deve-senotar tambem que, de acordo com o princıpio da acao ereacao, elas sao forcas que agem em corpos diferentes e,portanto, nao se anulam.

Charles de Coulomb verificou experimentalmente que:

As forcas de atracao ou de repulsao entre duas car-gas eletricas puntiformes sao diretamente propor-cionais ao produto das cargas e inversamente pro-porcionais ao quadrado da distancia que as separa.

A expressao matematica dessa forca e:

F = kq1q2

r2

onde q1 e q2 sao os modulos das cargas eletricas envolvidas,e k uma constante eletrostatica que, no SI, para as cargassituadas no vacuo e

k = 9× 109 N ·m2/C2

Pense um Pouco!

• Baseado na lei de Coulomb, explique como funciona oeletroscopio;

• Se dobrarmos a distancia r entre duas cargas dadas, oque acontece com a forca eletrica entre elas?

• Se colocarmos muitos eletrons no centro de uma chapametalica quadrada, o que acontecera com essa carga?


1. Duas esferas condutoras eletrizadas, de pequenas di-mensoes, atraem-se mutuamente no vacuo com forca de in-tensidade F ao estarem separadas por certa distancia r.Como se modifica intensidade da forca quando a distanciaentre as esferas e aumentada para 4r?

2. As cargas eletricas −q e +q′, puntiformes, atraem-se comforca de intensidade F , estando a distancia r uma da outrano vacuo. Se a carga q′ for substituıda por outra −3q′ e adistancia entre as cargas for duplicada, como se modifica aforca de interacao eletrica entre elas?

3. Considere um eletroscopio de folhas descarregado. Ex-plique o que acontece quando um corpo eletrizado negati-vamente e:a) aproximado da esfera do eletroscopio;b) encostado na esfera do eletroscopio.


4. Duas partıculas eletrizadas com cargas eletricas demesmo valor absoluto mas sinais contrarios atraem-se novacuo com forca de intensidade 4, 0× 10−3 N , quando situ-adas a 9, 0 cm uma da outra. Determine o valor das cargas,sendo k = 9× 109 N ·m2/C2.

5. (Santa Casa-SP) A figura representa um eletroscopio defolhas inicialmente descarregado. A esfera E, o suporte S eas folhas F sao metalicos. Inicialmente, o eletroscopio estaeletricamente descarregado. Uma esfera metalica, positiva-mente carregada, e aproximada, sem encostar, da esfera doeletroscopio. Em qual das seguintes alternativas melhor serepresenta a configuracao das folhas do eletroscopio (e suascargas), enquanto a esfera positiva estiver perto de sua es-fera?

6. Duas cargas puntiformes q1 = −5, 0 µC e q2 = +8, 0 µCestao sobre o eixo horizontal, separadas por uma distanciar. Assinale a alternativa correta:a) As cargas se repelem mutuamenteb) q2 atrai q1 com mais intensidade do que q1 atrai q2

c) o sistema forma um dipolod) As cargas se atraem eletricamentee) A forca sobre as cargas sao verticais


Fısica E Aula 3

Campo Eletrico

Quando empurramos uma caixa, estamos aplicando sobreela uma certa forca. Nao e difıcil imaginar de que forma essaforca foi transmitida a caixa, pois de imediato associamosa aplicacao da forca o contato travado com a caixa. Pen-semos agora na interacao entre cargas eletricas: conformeestudamos anteriormente, se aproximarmos de uma cargaQ uma outra carga q, que denominaremos carga de prova,verificaremos a acao de uma forca ~F (atrativa ou repulsiva,conforme os sinais das cargas) sobre a carga q. Nesse caso,nao ha contato entre os corpos, o que torna mais difıcil acompreensao da forma de transmissao da forca. Durantemuito tempo afirmou-se que a forca eletrostatica era umainteracao direta e instantanea entre um par de partıculaseletrizadas, conceito este denominado acao a distancia.

Se trabalhassemos apenas com cargas em repouso, a acao adistancia nos bastaria para que resolvessemos a maioria dosproblemas do eletromagnetismo. No entanto, o estudo decargas em movimento nao pode ser deixado de lado e nessecaso a teoria da acao a distancia e falha, sendo necessariobuscarmos outra forma de explicar a interacao eletrica. E foicom Faraday (1791-1867) que nasceu a ideia que constituihoje um dos mais importantes recursos em Fısica: a nocaode campo.

Dizemos que a presenca da carga Q afeta a regiao do espacoproxima a ela, ou seja, que a carga Q cria nas suas vizi-nhancas uma “propriedade”que da a essa regiao “algo”maisque atributos geometricos, “algo”que transmitira a qualquercarga de prova colocada nessa regiao a forca eletrica exer-cida pela carga Q. Designamos por campo eletrico tal pro-priedade. Assim, a forca ~F e exercida sobre q pelo campoeletrico criado por Q. Esquematicamente teremos:

Acao a distancia: carga ⇐⇒ carga

Teoria de campo: carga ⇐⇒ campo ⇐⇒ carga

A nocao de campo e utilizada em muitas outras situacoesfısicas, como por exemplo a interacao gravitacional. Na fi-gura a seguir, em vez de pensarmos numa atracao direta daTerra sobre o corpo de massa m, podemos dizer que a Terracria em torno de si um campo gravitacional; em outras pa-lavras, a presenca da Terra faz com que todos os pontos de

sua vizinhanca possuam uma propriedade segundo a qualtodo corpo colocado nesse local sofrera a acao de uma forcaatrativa.

Uma observacao muito importante deve ser feita: o campoeletrico num ponto P qualquer da vizinhanca da carga Q,assim como o campo gravitacional num ponto qualquer nasvizinhancas da Terra, existe independentemente da presencada carga de prova q ou da massa m. Estas apenas testama existencia dos campos eletrico e gravitacional nos pontosconsiderados.

O Vetor Campo Eletrico

O campo eletrico e melhor caracterizado em cada ponto doespaco por um vetor E, denominado vetor campo eletrico.A definicao do vetor campo eletrico e tal, que por seuintermedio poderemos estudar muitas caracterısticas docampo eletrico, a partir do estuco desse vetor num ponto.Consideremos P um ponto generico de um campo eletricogerado por uma fonte qualquer. Coloquemos em P , suces-sivamente, cargas de prova q1, q2, q3, ..., q. A intensidadeda forca eletrica atuante nas cargas de prova ira variar, masa direcao da forca sera a mesma, conforme indicamos nasequencia de figuras seguintes:

(a) (b) (c)

Concluımos que a relacao entre a forca e a carga em que elaatua e uma caracterıstica do ponto P considerado, denomi-nada vetor campo eletrico. Assim, teremos:

~E = ~F/q

Quanto ao sentido do vetor ~E, distinguimos dois casos:a) q e positiva: ~E e ~F tem o mesmo sentido;

b) q e negativa: ~E e ~F tem sentidos contrarios.

Podemos concluir, da equacao, que as unidades de intensi-dade do vetor campo eletrico serao unidades de forca porunidades de carga. Assim, no sistema internacional de uni-dades, teremos:

Unidade SI

por definicao, a unidade de de campo eletrico e ~E seranewton/coulomb, ou seja N/C.

Linhas de Campo

A denominacao linhas de campo ou linhas de forca designauma maneira de visualizar a configuracao de um campoeletrico. Esse artifıcio foi empregado por Faraday e mesmohoje pode ser conveniente seu uso.


Apresentamos a seguir a significacao das linhas de forca:

1. Sao linhas tracadas de forma que a tangente a cadaponto nos fornece a direcao de ~E. Sao orientadas nosentido do vetor campo.

2. As linhas de campo sao tracadas de forma que o numerode linhas que atravessa a unidade de area de uma seccaoperpendicular as mesmas e proporcional ao modulo de~E. Dessa forma, onde elas estiverem mais proximas,| ~E| e maior; onde elas estiverem mais afastadas, | ~E| emenor.

As figuras seguintes mostram linhas de campo de algunscampos eletricos particulares:

• campo gerado por uma carga puntiforme positiva.

As linhas de campo ”nascem”nas cargas positivas.

• carga puntiforme negativa:

As linhas de campo ”morrem”nas cargas negativas

• duas cargas de sinais iguais:

3. Observe que, por definicao, o campo eletrico e unicoem cada ponto do espaco, e portanto, duas linhas decampo nunca se cruzam.

Calculo do Campo Eletrico

Campo de uma Carga Puntiforme

O campo eletrico devido a uma carga puntiforme Q fixa efacilmente determinado analisando-se a figura seguinte:


No ponto P da figura, colocamos urna carga de prova q, ovetor campo eletrico no ponto P tem intensidade dada por:E = F/q.

O campo gerado por uma carga puntiforme Q num pontoP qualquer do espaco tem intensidade dada por:

E =F

q= k

Q

r2

Utilizando uma linguagem nao muito rigorosa, podemos di-zer que as cargas positivas geram campos de afastamento eas cargas negativas geram campos de aproximacao.

Campo Eletrico para Varias de Cargas

Se cada uma das cargas estivesse sozinha, originaria noponto P um campo eletrico devido a sua presenca indi-vidual. Dado o efeito aditivo da forca eletrica, o campoeletrico devido a presenca de n cargas puntiformes sera asoma vetorial dos campos produzidos individualmente porcada uma das cargas, isto e:

~E = ~E1 + ~E2 + ~E3 + . . . =n∑

i=1

~Ei

Importante: esta soma deve ser feita usando-se a soma devetores.

E3

E2

E5

E1

E4

4567 898:9:;9;<9<

=> ?@

A9A9A9A9A9A9A9A9A9A9A9AA9A9A9A9A9A9A9A9A9A9A9AA9A9A9A9A9A9A9A9A9A9A9AA9A9A9A9A9A9A9A9A9A9A9AA9A9A9A9A9A9A9A9A9A9A9AA9A9A9A9A9A9A9A9A9A9A9AA9A9A9A9A9A9A9A9A9A9A9AA9A9A9A9A9A9A9A9A9A9A9A

B9B9B9B9B9B9B9B9B9B9B9BB9B9B9B9B9B9B9B9B9B9B9BB9B9B9B9B9B9B9B9B9B9B9BB9B9B9B9B9B9B9B9B9B9B9BB9B9B9B9B9B9B9B9B9B9B9BB9B9B9B9B9B9B9B9B9B9B9BB9B9B9B9B9B9B9B9B9B9B9BB9B9B9B9B9B9B9B9B9B9B9BC9C9C9C9C9C9C9C9C9C9CC9C9C9C9C9C9C9C9C9C9CC9C9C9C9C9C9C9C9C9C9CC9C9C9C9C9C9C9C9C9C9CD9D9D9D9D9D9D9D9D9D9DD9D9D9D9D9D9D9D9D9D9DD9D9D9D9D9D9D9D9D9D9DD9D9D9D9D9D9D9D9D9D9D

E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9EE9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9EE9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9EE9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9EE9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9EE9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9EE9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9EE9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9EE9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9EE9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9EE9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9EE9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9EE9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9EE9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9EE9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9EE9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E9E

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H9H9H9H9H9H9H9H9H9HH9H9H9H9H9H9H9H9H9HH9H9H9H9H9H9H9H9H9HH9H9H9H9H9H9H9H9H9HH9H9H9H9H9H9H9H9H9HH9H9H9H9H9H9H9H9H9HH9H9H9H9H9H9H9H9H9HH9H9H9H9H9H9H9H9H9HH9H9H9H9H9H9H9H9H9HH9H9H9H9H9H9H9H9H9HH9H9H9H9H9H9H9H9H9HH9H9H9H9H9H9H9H9H9HH9H9H9H9H9H9H9H9H9HI9I9I9I9I9I9I9I9I9I9I9I9I9I9I9I9II9I9I9I9I9I9I9I9I9I9I9I9I9I9I9I9II9I9I9I9I9I9I9I9I9I9I9I9I9I9I9I9II9I9I9I9I9I9I9I9I9I9I9I9I9I9I9I9IJ9J9J9J9J9J9J9J9J9J9J9J9J9J9J9J9JJ9J9J9J9J9J9J9J9J9J9J9J9J9J9J9J9JJ9J9J9J9J9J9J9J9J9J9J9J9J9J9J9J9JJ9J9J9J9J9J9J9J9J9J9J9J9J9J9J9J9JQ

1 Q2

Q3

Q4 Q

5

P

Se todas as cargas Qi estiverem sobre uma mesma linhareta, que tambem comtem o ponto P , entao a intensidadedo campo em P sera

E = kQ1

r21

+ kQ2

r22

+ kQ3

r23

+ . . . =

n∑

i=1

kQir2i

Esta e uma soma escalar, mais facil de fazer do que a ne-cessaria no caso anterior.

Campo Eletrico Uniforme

Trata-se de um campo eletrico em que o vetor campo eletricoe o mesmo em todos os pontos, o que equivale a dizer que emcada ponto o modulo, a direcao e o sentido do vetor ~E seraoos mesmos. Em consequencia dessa definicao, concluimosque as linhas de campo devem ser retas paralelas orientadastodas com o mesmo sentido.

Por exemplo, para uma pequena regiao do espaco, muitolonge de uma carga puntiforme, o campo eletrico se tornaquase uniforme. Proximo a superfıcie da Terra, existe um

campo eletrico vertical, de cima para baixo de intensidadeE ≈ 100 N/C. Este campo e quase uniforme, visto empequena escala (alguns metros), sobre o chao plano.

Pense um Pouco!

• Qual as semelhancas e diferencas entre a forca eletricae a gravitacional? Faca um paralelo.

• Num sistema de cargas puntiformes e possıvel se encon-trar algum ponto P onde o campo eletrico seja nulo?De exemplos.

• Um dipolo e formado por um par de cargas +q e −q.Esboce as linhas de campo de um dipolo.


1. (Fatec-SP) Em um ponto P do espaco existe um campo

eletrico ~E horizontal de 5×104 N/C, voltado para a direita.a) Se uma carga de prova de l, 5 µC, positiva, e colocada emP , qual sera o valor da forca eletrica que atua sobre ela?b) Em que sentido a carga de prova tendera a se mover, sefor solta?c) Responda as questoes a) e b) supondo que a carga deprova seja negativa.

2. (ITA-SP) Uma placa isolante, de dimensoes muitograndes, esta uniformemente carregada. Sabendo-se que ocampo eletrico por ela gerado e o mesmo em todos os pon-tos proximos a placa e que uma pequena esfera tem massade 25 gramas e o angulo de afastamento entre a esfera e aplaca e de 30?, determinar:a) a forca eletrica que atua na esfera, supondo que ela seencontre em equilıbrio;b) o campo eletrico da placa, sabendo-se que a carga naesfera vale −5 µC.

3. (USP-SP) Uma carga eletrica puntiforme q = 2×10−6 Ce de massa 10−5 kg e abandonada em repouso num campoeletrico uniforme de intensidade 104 N/C.a) Qual e a aceleracao adquirida por q?b) Qual a velocidade da partıcula no instante 8, 0 s?


4. (FUVEST-SP) O diagrama da figura seguinte representaa intensidade do campo eletrico gerado por uma carga pun-tiforme fixa no vacuo, em funcao da distancia d a carga.a) Calcule o valor da carga Q que origina o campo.b) Determine a intensidade do campo eletrico em um pontoque dista 30 cm da carga fixa.


0

200

400

600

800

1000

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

E (N/C)

d (m)

5. (PUC-SP) Numa certa regiao da terra, nas proximidadesda superfıcie, a aceleracao da gravidade vale 9, 8 m/s2 e ocampo eletrostatico do planeta (que possui carga negativana regiao) vale 100 N/C, e e na direcao vertical, sentidode cima para baixo. Determine o sinal e o valor da cargaeletrica que uma bolinha de gude, de massa 50 g, deveriater para permanecer suspensa em repouso, acima do solo.Considere o campo eletrico praticamente uniforme no locale despreze qualquer outra forca atuando sobre a bolinha.

6. (Mackenzie-SP) Existe um campo eletrico ~E apontandopara baixo, na atmosfera terrestre, com uma intensidademedia de 100 N/C. Deseja-se fazer flutuar nesse campouma esfera de enxofre de 0, 5kg. Que carga (modulo e sinal)precisa ter a esfera?

Fısica E Aula 4

Potencial Eletrico

Diferenca de Potencial

Consideremos positiva uma carga que se desloca de A paraB, em equilıbrio, ou seja, faz-se uma forca externa ~Fext. talque anule a forca eletrica ~FE sobre a carga:

~Fext. = −~FEAo trabalho realizado pelo agente externo Wext. por unidadede carga que se desloca de A paraB, denominamos diferencade potencial ou tensao eletrica de A para B, habitualmenterepresentada por VB − VA ou simplesmente VAB .

Assim, matematicamente teremos:

VB − VA =WA→Bext.

q= −W

A→BE

q

Sendo o trabalho W e q grandezas escalares, a diferenca depotencial tambem sera uma grandeza escalar.

O trabalho WA→BE independe da trajetoria escolhida entre

os pontos A e B, e isso e um resultado decorrente do fatode a forca eletrica ser conservativa.

Unidades SI

No Sistema Internacional de Unidades, a unidade de dife-renca de potencial (d.d.p.) sera o joule/ coulomb, que edenominada volt ou V .

Assim, uma d.d.p. de 110 V entre dois pontos indica que ocampo (forca eletrica) realiza um trabalho de 110 J sobrecada l C de carga que se desloca de um ponto para outro.

Para analisar o sinal da d.d.p., tente imaginar voce reali-zando o movimento de uma carga de prova entre os pontosA e B, e observe os sentidos da forca externa e do desloca-mento. Por exemplo, se voce deslocar uma carga positiva,contra o campo eletrico numa determinada regiao, observaraque sera realizado um trabalho externo positivo, e o poten-cial da carga deslocada aumenta, porque ela foi deslocadapara uma regiao de maior potencial.

Potencial Eletrico Gerado por uma Carga Punti-forme

Para calcularmos o trabalho WA→BE realizado sobre a carga

+q, sendo deslocada proximo a uma carga puntiforme Q, de-vemos utilizar conceitos matematicos que o estudante veraem seu curso superior: trata-se do calculo integral, que, uti-lizado neste caso, nos fornecera como resultado:

WA→BE = −kQq

(1

rB− 1

rA

)

Dessa maneira a diferenca de potencial no caminho de Apara B sera:

VA→B = VB − VA = −WA→Bext.

q= kQ

(1

rB− 1

rA

)

Se quisermos determinar o potencial de um dos pontos, porexemplo, B, facamos rA tender ao infinito, onde supomosque o potencial seja nulo. Quando isso acontece

VB = kQ

rB

Essa equacao fornece o potencial de B em relacao a umponto no infinito. Se nos depararmos com uma configuracaode n cargas puntiformes, o potencial num ponto P dessaregiao sera a soma algebrica dos potenciais devidos a cadacarga, isto e:

VP = k

(Q1

r1+Q2

r2+ . . .+

Qnrn

)= k

n∑

i=1

Qiri

Potencial dentro de um Campo Eletrico

Seja q uma carga positiva que se desloca de A para B sobreuma linha de forca do campo uniforme mostrado na figuraseguinte:

FE

Fext KLM MN N OPQ QR R S S S ST T T

E

B+q

A


Como o campo e uniforme, a forca eletrica que atua na cargaq e constante e tera intensidade dada por:

F = qE

Sabemos, da mecanica, que o trabalho realizado por umaforca constante e paralela ao deslocamento e dado por

WA→Bext. = −FE · d

Entao a d.d.p. entre os pontos A e B, de A para B, sera:

VB − VA = −E · d

e neste caso dizemos que a tensao cai de A para B. Emgeral, a d.d.p. e negativa na direcao e sentido do campoeletrico.

A relacao obtida acima e de grande utilidade, uma vez que,conhecida a d.d.p. e o deslocamento, obteremos facilmenteo campo eletrico. Observe que o campo eletrico podera serexpresso tambem em volt/metro. Procure demonstrar quel N/C = l V/m.

Rigidez Dieletrica

Sabe-se que o ar e isolante, porem quando submetido aum grande campo eletrico, algumas moleculas sao ioniza-das e o ar se torna condutor. A esse limite de campoeletrico maximo que um isolante suporta chamamos de ri-gidez dieletrica ou Emax. Para o ar de Jonville, sempremuito umido, temos Emax ≈ 800 v/mm.

Pense um Pouco!

• Voce saberia responder o valor da d.d.p. (diferenca depotencial) entre o chao e uma nuvem, num raio?

• Qual a d.d.p. maxima entre dois fios paralelos, separa-dos por uma distancia de 10 cm, em Joinville?

• Num dado instante, a d.d.p. entre os eletrodos de umatomada e de 200 V . O que significa isso fisicamente?


1. Qual o potencial de um ponto P , situado a 20 cm deuma carga positiva de campo cujo valor e 4, 0× xl0−6 C?

2. (FAAP-SP) Duas cargas Q1 e Q2, de valores −2 µC e+2 µC, respectivamente, estao separadas por uma distanciade 40 cm.a) Calcule o potencial no ponto P , situado na metade dosegmento que une as cargas Q1 e Q2.b) Calcule o modulo, a direcao e o sentido do vetor campoeletrico em P .c) O que se pode concluir dos resultados obtidos com essescalculos?

3. (UFSC-SC) O campo eletrico no interior de um sis-tema de placas paralelas eletrizadas com cargas de sinais

contrarios e um bom exemplo de campo eletrico uniforme.Na figura seguinte, a distancia entre as placas vale 5 cm e aintensidade do campo eletrico uniforme E e 2, 0×1O5 N/C.a) Qual a d.d.p. entre os pontos A e B indicados na figura?b) Se o ponto A for tomado como nıvel de referencia para opotencial, qual sera o potencial do ponto B?

UVUWXYZVZ[V[ BA

E


4. (ACAFE-SC) No vacuo, um corpo eletrizado com cargaeletrica Q cria um potencial igual a +3000 V num pontoA, situado a 30 cm de Q. Sendo k = 9 × 109 N ·m2/C2,determine:a) o valor da carga Q;b) a intensidade do vetor campo eletrico no ponto A.

5. (UFRS-RS) Temos as cargas Q1, Q2 e Q3 dispostas emum retangulo de lados 6 cm e 8 cm. Calcule o potencialeletrico total no vertice A, que nao contem nenhuma carga.Dados: Q1 = 8 µC, Q2 = 16 µC, Q3 = −12 µC e k =9× 109 N ·m2/C2.

6. (IME-RJ) Calcular o trabalho das forcas do campoeletrico de uma carga puntiforme Q = 5 µC para trans-portar outra carga puntiforme q = 2, 0 µC de um ponto Aa outro B, distantes 1, 0 m e 2, 0 m da carga Q, respecti-vamente. Esse trabalho e positivo ou negativo? Explique.Dado: k = 9× 109 N ·m2/C2.

Fısica E Aula 5

Superfıcies Equipotenciais

Denomina-se superfıcie equipotencial ao lugar geometricodos pontos que tem mesmo potencial eletrico. Nenhum tra-balho e realizado no deslocamento de uma carga de provaentre dois pontos de uma mesma superfıcie equipotencial.

Para aumentar a separacao entre as cargas, e preciso queum agente externo realize um trabalho, cujo sinal poderaser positivo ou negativo, conforme sejam as cargas de sinaisiguais ou opostos. Como sabemos, a esse trabalho corres-ponde uma energia armazenada no sistema sob a forma deenergia potencial eletrica. Assim, definiremos a energia po-tencial eletrica de um sistema de cargas eletricas puntifor-mes como sendo o trabalho externo realizado para traze-lasem equilıbrio de uma separacao infinita ate a configuracaoatual.


-1.0-0.5

0.00.5

1.0x (m) -1.0

-0.50.0

0.51.0

y (m)

0

50

100

150

V (volts)

Figura 1.1: O potencial eletrico em torno de uma carga pun-tual positiva q = +1 nC. Na base estao as equipotenciais,inicando no cırculo maior onde V = +10 V . Masca-se asequipotenciais a cada 20 V .

O potencial eletrico que uma carga q1 origina no ponto P ,a uma distancia r da carga, e dado por:

V1 =kq1

r

Imaginemos, agora, que uma segunda carga q2 foi trazidado infinito ate o ponto P . O trabalho realizado para tal e,segundo a definicao de potencial eletrico:

W2 = q2V1

-1.0-0.5

0.00.5

1.0x (m) -1.0

-0.50.0

0.51.0

y (m)

-150

-100

-50

0

V (volts)

Figura 1.2: O potencial eletrico em torno de uma carga pun-tual positiva q = −1 nC. Na base estao as equipotenciais,inicando no cırculo maior onde V = −10 V . Masca-se asequipotenciais a cada 20 V .

Como o trabalho e a propria energia potencial eletrica Epotdo sistema de cargas q1, q2, entao

Epot =kq1q2

r12

onde r12 e a distancia entre as cargas q1 e q2.

Pense um Pouco!

• Como seriam as superfıcies equipotenciais de uma cargapuntiforme?

• Qual o trabalho necessario para se deslocar uma cargaq′ em torno de uma carga fixa q, mantendo-se adistancia fixa entre elas?


1. (FATEC-SP) Sabe-se que a carga do proton e igual emvalor absoluto a do eletron, tendo no entanto sinal contrario


ao da referida carga. Um proton tem velocidade relativazero em relacao a um eletron. Quando eles estiverem sepa-rados pela distancia 10-13 cm, calcule a energia potencialdo sistema.

2. (IME-RJ) Tres cargas q1, q2 e q3 estao dispostas, umaem cada vertice de um triangulo equilatero de lado a. Quala energia potencial do sistema? Suponha em q1 = 1, 0 µC,q2 = −4, 0 µC, q3 = 2, 0 µC e a = 10 cm.

3. No esquema abaixo representamos as superfıcies equipo-tenciais e as linhas de forca no campo de uma carga eletricapuntiforme Q. Considere que o meio e o vacuo. SendoV1 = 60 V ; V2 = 30 V ; V3 = 20 V , e do centro da carga ateV2 a distancia r = 0, 30 m. Determine:a) o valor de Q;b) a d.d.p. encontrada no caminho da superfıcie com V1 atea outra com V2;c) o trabalho da forca eletrica que atua sobre uma carga deprova q′ = +1, 0 µC ao ser deslocada de V2 para V3.


4. (USP-SP) Uma partıcula de massa m e carga eletricaq > 0 esta em equilıbrio entre duas placas planas, paralelase horizontais, e eletrizadas com cargas de sinais opostos. Adistancia entre as placas e d, e a aceleracao local da gravi-dade e g.a) Determine a diferenca de potencial entre as placas emfuncao de m, g, q e d.b) Qual placa tem o maior potencial? Explique.

5. (FEI-SP) Uma partıcula da massa m = 200 mg e cargaq = +1µC e abandonada num ponto A e se dirige a outroB. Sendo de −100 V a diferenca de potencial de A e B, avelocidade com que a partıcula alcanca B e:a) 5, 0 m/sb) 4, 0 m/sc) 3, 0 m/sd) 2, 0 m/se) 1, 0 m/s

6. (Santa Casa-SP) Sabe-se que a massa do eletron e 9, 1×10−31 kg, que sua carga eletrica vale −1, 6×10−19 C e que adiferenca de potencial entre os ponto A ate B e 100 V . Umeletron e abandonado em B sob a acao exclusiva do campoeletrico. O modulo da velocidade do eletron ao atingir oponto A e um valor mais proximo de:a) 36× 1012 m/sb) 6, 0× 1012m/sc) 6, 0× 106 m/sd) 35× 106m/se) 6, 0m/s

Fısica E Aula 6

Condutores em Equilıbrio

Vamos estudar o campo eletrico e o potencial eletrico deuma distribuicao de cargas em um condutor em equilıbrioeletrostatico.

Para estudar os campos eletricos, vamos usar nao sistemasde cargas puntiformes e sim distribuicoes de cargas em con-dutores. Deve-se considerar que estes estao em equilıbrioeletrostatico, ou seja, nenhuma carga esta sendo colocadaou retirada do condutor, e todo o movimento interno decargas ja cessou.

Equilıbrio Eletrostatico

Um condutor esta em equilıbrio eletrostatico quandonele nao ocorre movimento ordenado de cargas eletricas.Fornecendo-se ao condutor representado em corte da Fig.1.1, uma a carga eletrica Q, a repulsao mutua das cargaselementares que constituem Q faz com que elas fiquem taolonge uma da outra quanto possıvel. O maior afastamentopossıvel corresponde a uma distribuicao de cargas na su-perfıcie externa do condutor, situacao, alias, que desta-camos nas figuras de condutores que ate agora apareceramem nossas aulas. Nessa configuracao de cargas, todas nasuperfıcie, o condutor possui a sua menor energia potencialeletrica.

Figura 1.1: Um condutor carregado com carga positiva.

O Campo Interno

No interior de um condutor eletrizado, de qualquer formato,o campo eletrico e nulo em todos os pontos, ou seja,~E = ~0.


Isso pode ser constatado simplesmente notando que, se hou-vesse campo eletrico no interior do condutor, ele agiria noseletrons livres, os quais teriam um movimento ordenadosob sua influencia, contrariando o conceito de condutor emequilıbrio eletrostatico.

O Campo Externo

Contudo, da sua superfıcie para fora, o campo eletrico naosera nulo. Porem, nesses pontos, o vetor campo eletrico ~Edeve ser normal a superfıcie, como em A, na Fig. 1.1. Se ovetor campo fosse como ~E′ no ponto B da mesma figura, eleteria uma componente tangencial a superfıcie do condutor,o que provocaria movimento ordenado de cargas ao longoda superfıcie.

O Poder das Pontas

Nas regioes pontiagudas de um condutor carregado (regiaoC da Fig. 1.1), a densidade de carga, isto e, a concentracaode cargas eletricas por unidade de area superficial e maiselevada. Por isso, nas pontas e em suas vizinhancas o campoeletrico e mais intenso.

Quando o campo eletrico nas vizinhancas da ponta atingedeterminado valor, o ar em sua volta se ioniza e o condutorse descarrega atraves da ponta. Esse fenomeno recebe onome de “poder das pontas”. E nele que se baseia, porexemplo, o funcionamento dos para-raios.

Condutor Oco

Evidentemente, nao importa se o condutor e macico ou oco(Fig. 1.2): o campo eletrico no interior do metal e semprenulo e as cargas se distribuem na sua superfıcie externa.

Figura 1.2: Um condutor oco.

Potencial Eletrico

O potencial eletrico em todos os pontos, internos e su-perficiais, de um condutor em equilıbrio eletrostatico, e

constante. Assim, para o condutor da Fig. 1.1, temosVA = VB = VC = VD.

Condutor Esferico

Para se determinar o vetor campo eletrico e o potencialeletrico em pontos externos a um condutor esferico ele-trizado, supoe-se sua carga Q puntiforme e concentrada nocentro:

Eext = kQ

r2

e

Vext = kQ

r

O potencial eletrico do condutor esferico de raio R e o po-tencial de qualquer ponto interno ou superficial, sendo dadopelo valor fixo:

Vint, sup = kQ

R

Blingdagem Eletrostatica

Considere um condutor oco A em equilıbrio eletrostatico e,em seu interior, o corpo C (Fig. 1.3). Como o campo eletricono interior de qualquer condutor em equilıbrio eletrostaticoe nulo, decorre que A protege o corpo C, no seu interior, dequalquer acao eletrica externa. Mesmo um corpo eletrizadoB externo induz cargas em A, mas nao em C. Desse modo,o condutor A constitui uma blindagem eletrostatica para ocorpo C.

Figura 1.3: A blindagem eletrostatica.

Uma tela metalica envolvendo certa regiao do espacotambem constitui uma blindagem satisfatoria – a chamada“gaiola de Faraday”.

A blindagem eletrostatica e muito utilizada para a protecaode aparelhos eletricos e eletronicos contra efeitos externosperturbadores. Os aparelhos de medidas sensıveis estaoacondicionados cm caixas metalicas, para que as medidasnao sofram influencias externas. As estruturas metalicasde um aviao, de um automovel e de um predio constituemblindagens eletrostaticas.

Como Funciona o Para-Raios?

O para-raios tem por finalidade oferecer um caminho maiseficiente para as descargas eletricas, protegendo casas,edifıcios, depositos de combustıveis, linhas de transmissaode energia eletrica, etc.


Saiba Mais

O para-raio foi criado por BENJAMIN FRANKLIN (l706-1790). polıtico, escritor e cientista norte-americano. Atual-mente, e constituıdo essencialmente de uma haste condutoradisposta verticalmente na parte mais alta da estrutura a serprotegida. A extremidade superior da haste apresenta umaou mais pontas de material com elevado ponto de fusao, aoutra extremidade da haste e ligada, atraves de condutoresmetalicos, a barras metalicas que se encontram cravadas,profundamente no solo. Se uma nuvem eletrizada estiversobre as pontas do para-raios, induz nelas cargas eletricasintensificando o campo na regiao ja ionizada pela descargalıder. Produz-se a descarga principal atraves do para-raios.

Pense um Pouco!

• Como funciona um para-raios? Que area ele protege?

• Por que durante uma tempestade para se proteger daschuvas e mais seguro ficar dentro do carro que debaixode uma arvore?


1. (Cefet-BA) Considere um condutor metalico com a formaindicada na figura. O condutor esta eletrizado positiva-mente e em equilıbrio eletrostatico. Observe os pontos A,B e C. Quais sao as afirmacoes corretas?a) ( ) O campo eletrico em A e nulo.b) ( ) A densidade de cargas eletricas e maior em C do queem B.c) ( ) O campo eletrico em B e mais intenso do que em C.d) ( ) Os pontos A, B e C possuem mesmo potencialeletrico.

e) ( ) As cargas eletricas em excesso distribuem-se na su-perfıcie externa do condutor.

\]\^ _]_` a]abB

A C

++

++

+

+

+

+ +

++

+

+ +

+

+

+ +

2. Considere uma esfera metalica oca provida de um orifıcioe eletrizada com carga Q. Uma pequena esfera metalicaneutra e colocada em contato com a primeira. Quais sao asafirmacoes corretas?a) ( ) Se o contato for interno, a pequena esfera nao seeletriza.b) ( ) Se o contato for externo, a pequena esfera se eletriza.c) ( ) Se a pequena esfera estivesse eletrizada, apos um con-tato interno ficaria neutra.d) ( ) Se aproximarmos a pequena esfera, sem tocar na es-fera eletrizada, a carga eletrica da pequena esfera aumenta.

3. (Efei-MG) Um condutor esferico de raio R = 30 cm estaeletrizado com carga eletrica Q = 6, 0 nC. O meio e o vacuo(k = 9× 109 N ·m2/C2). Determine:a) o potencial eletrico e a intensidade do vetor campoeletrico no centro da esfera;b) o potencial eletrico e a intensidade do vetor campoeletrico num ponto externo e situado a 50 cm do centroda esfera.


4. (Efei-MG) Duas esferas metalicas, A e B, de raios R e3R, estao eletrizadas com cargas 2Q e Q, respectivamente.As esferas estao separadas de modo a nao haver inducaoentre elas e sao ligadas por um fio condutor.a) Quais as novas cargas apos o contato?b) Qual opotencial eletrico de cada esfera, depois do con-tato?

5. (ACAFE-SC) Duas esferas metalicas, A e B, de raios10 cm e 20 cm, estao eletrizadas com cargas eletricas 5, 0 nCe −2, 0 nC, respectivamente. As esferas sao postas em con-tato. Determine, apos atingir o equilıbrio eletrostatico:a) as novas cargas eletricas das esferas;b) o potencial eletrico que as esferas adquirem.c) Houve passagem de eletrons de A para B ou de B paraA? Explique.

6. (UNICAMP-SP) Conhecidas duas esferas metalicasidenticas, A e B, de cargas eletricas 5, 0 × 10−6 C e3, 0 × 10−6 C, respectivamente. As esferas sao colocadasem contato.a) Determine o numero de eletrons que passou de um con-dutor para outro.b) Qual das esferas recebe eletrons?


7. Sabendo-se que existe um campo eletrico na superfıcieda Terra, vertical para baixo igual a 100 N/C. Dado o raioda Terra R = 6.400 km, determine:a) O potencial eletrico da Terra (do chao);b) A carga eletrica total da Terra.

Capacidade Eletrica

Denomina-se capacidade eletrica ou capacitacia de um corpocondutor a capacidade que ele possui de armazenar cargas.Da mesma forma que a quantidade de moles de um gasque um balao pode conter depende da pressao a que o gasestiver submetido e tambem das dimensoes e forma do balao,a capacidade eletrica dependera das dimensoes e forma docondutor.

A experiencia mostra que, se fornecemos a um condutorcargas Q1, Q2, Q3, ..., Q, o potencial adquirido pelo mesmosera V1, V2, V3, ..., V , sempre proporcionaias a carga Qfornecida. Isso quer dizer que o quociente Q/V e constante(Fig. 1.4).

cdcdcdcdcdcdcdcdccdcdcdcdcdcdcdcdccdcdcdcdcdcdcdcdccdcdcdcdcdcdcdcdccdcdcdcdcdcdcdcdccdcdcdcdcdcdcdcdccdcdcdcdcdcdcdcdccdcdcdcdcdcdcdcdccdcdcdcdcdcdcdcdc

ededededededededeededededededededeededededededededeededededededededeededededededededeededededededededeededededededededeededededededededeededededededededeQ

V−+

+

++

++

+ +

++

++

++

+

+

+ + +

Figura 1.4: Capacitor metalico carregado com carga positiva+Q.

Essa constante de proporcionalidade C e denominada ca-pacitancia do condutor.

Unidades SI

No Sistema Internacional de Unidades (SI), temos:

1 F = 1 faraday = 1 coulomb/1 volt = 1 Farad

A capacitancia de um condutor que recebe uma carga del coulomb, adquirindo um potencial de l volt, e igual a l F .Na pratica, os capacitores tem capacitancia da ordem tıpicade µFarad.

Capacitores

Na pratica, e impossıvel obter condutores de capacitanciaelevada, sem que suas dimensoes sejam extraordinariamentegrandes. No entanto, e possıvel obtermos dispositivos, dedimensoes pequenas, capazes de armazenar uma razoavelquantidade de cargas com diferencas de potencial nao muitograndes. Esses dispositivos sao denominados capacitaresou condensadores.

Um capacitor e um par de condutores, separados por umisolante (dieletrico).

Os condutores que constituem o capacitor sao denominadosarmaduras do capacitor.

A classificacao dos capacitores e dada em funcao da formade suas armaduras e da natureza do dieletrico que existeentre as mesmas.

Em todo capacitor, existe uma relacao constante entre omodulo da carga (que e a mesma em valor absoluto nasduas armaduras) e a d.d.p. V entre as armaduras. Essarelacao e denominada capacitancia do condensador.

C = Q/V

Num circuito, os capacitores serao representados por duasbarras paralelas.

Capacitores Planos

O capacitor plano e constituıdo por placas condutoras pla-nas e paralelas, separadas por um dieletrico qualquer (ar,mica, papel, polımeros, etc.)

Seja A a area de cada armadura e d a distancia entre asmesmas. Consideremos inicialmente que haja vacuo entre asplacas. E possıvel demonstrar, mediante a aplicacao da leide Gauss, que o campo uniforme que existe entre as placase dado por:

E =Q

ε0A

onde ε0 e a constante de permitividade eletrica dovacuo,

ε0 = 8, 85× 1O−12 F/m

no SI.

Relacao Entre k e ε0

As constantes k, a constante eletrica da lei de Faraday, eε0, a permissividade eletrica do vacuo, estao intimamenterelacionadas, e pode-se mostrar que:

k =1

4πε0

e como ε0 e dado em F/m, entao pode-se escrever a cons-tante k em m/F , ja que estas constantes sao inversamenteproporcionais.


Conforme ja estudamos anteriormente, a d.d.p. entre asplacas vale V = Ed. Assim:

V =Qd

ε0A

A capacitancia do capacitor plano e dada por:

C =ε0A

d

Observe que a capacitancia obtida e diretamente proporci-onal a area A das placas, e inversamente proporcional a suadistancia d.

Se, em vez de ar ou vacuo, houver entre as armaduras umdieletrico de constante dieletrica b, a capacitancia de umcondensador plano sera maior, dada por:

C =bε0A

d

Para que o dieletrico tenha efeito sobre a capacitancia, eledeve ser colocado na regiao de campo eletrico do capaci-tor. Alguns dieletricos como a mica e poliester chegam aaumentar a capacitancia em ate 100 vezes o seu valor novacuo (sem dieletrico).

Capacitor Esferico Simples

Se construirmos um capacitor com uma esfera simples con-dutora de raio R, sua capacitancia sera

C =Q

V=

Q

kQ/R=R

k= 4πε0R

ou seja, a capacitancia da esfera e diretamente proporcionalao seu raio R.

Capacitor Esferico´

Q

R++

+

++

++ +

+

+

++

++

++ +

++

++

+ ++

+

Exemplo

Vamos calcular a capacitancia de uma esfera condutora deraio igual a 1, 0 m.

C =R

k=

1, 0 m

9, 0× 109 m/F≈ 0, 11 nF

Qual seria entao o raio da esfera com capacitancia de 1, 0 F?Como C = R/k entao

R = kC = (9, 0× 109 m/F )(1, 0 F ) = 9, 0× 109 m

Se compararmos esse valor com o raio da Terra, cerca de6.4× 106 m, veremos que o capacitor teria que ter um raiocom aproximadamente 1.400 vezes maior que a Terra!

Pense um Pouco!

• Qual a utilidade dos capacitores em nosso cotidiano?

• Se tentarmos afastar as placas (armaduras) de um ca-pacitor carregado, realizaremos algum trabalho?

• Se conectarmos duas esferas metalicas identicas de ca-pacitancia C cada uma, qual a capcitancia do conjunto?Comente.

• A capacitancia de um corpo metalico depende dele seroco ou macico? Explique.


8. Tres condutores, de capacidades 2 pF , 3 pF e 5 pF ,estao eletrizados com cargas de 4 µC, 12 µC e −20 µC,respectivamente.a) Determine os potenciais eletricos desses corpos.

9. (FUVEST-SP) Um capacitor plano tem uma capa-citancia C. Entre suas armaduras ha uma distancia d. Qualsera sua capacidade se a distancia entre suas placas for au-mentada para 2d?

10. (UFBA) Um capacitor plano possui capacidade C =100 pF , area das armaduras A = 100 cm2, e dieletricocom b = 5. Quando a ddp entre as armaduras for iguala 50V , calcule a intensidade do campo eletrico no interiordo dieletrico. Dado: ε0 = 8, 85× 1O−12 F/m.


11. (UFPR) Uma partıcula de massa 2, 0 × 10−10 kg comcarga positiva e igual a 2, 0×1O−6 C penetra atraves de umorifıcio, com velocidade de 1, 0×104 m/s, numa regiao ondeexiste um campo eletrico uniforme de modulo 4× 105 N/C.A distancia entre as placas vale 10 cm. Determine a ener-gia cinetica com que a partıcula atinge a segunda placa,andando contra o campo eletrico.

12. (UEL-PR) Um capacitor de capacidade C exibe, en-tre seus terminais, uma diferenca de potencial V . A cargaeletrica armazenada nesse capacitor e dada por:a) C/Vb) V/Cc) C2Vd) CV 2

e) CV


13. (Puccamp-SP) Um capacitor de 8, 0× 10−6 F e sujeitoa uma diferenca de potencial de 30 V . A carga que eleacumulou vale:a) 1, 2x10−4 Cb) 2, 4x10−4 Cc) 2, 7x10−7 Cd) 3, 7x106 Ce) 7, 4x106 C

14. (UF-ES) Um equipamento eletrico contem duas pilhasde 1, 5 V em serie, que carregam um capacitor de capa-citancia 6, 0×10−5 F . Qual a carga eletrica que se acumulano capacitor, em coulombs?

Fısica E Aula 8

Associacao de Capacitores

Assim como os aparelhos em geral, os capacitores podemser associados de varios modos, sendo os principais em seriee em paralelo. Se numa associacao encontramos ambos ostipos, chamaremos de associacao mista.

Associacao de Capacitores em Serie

C1 C2

a b

C1

C2

a b

C1

C2

C3

a b

(a) (b) (c)

Figura 1.1: Associacao de capacitores em serie (a), em pa-ralelo (b) e mista (c).

Na associacao em serie, ver Fig. 1.1 (a), quando uma fontebateria de tensao V e ligada nos terminais a e b, as cargasremovidas de um terminal serao deslocadas para o outro,ou seja, as cargas em ambos os terminais sao de mesmomodulo:

Q1 = Q2 = Q

. Entao

V1 =Q

C1e V2 =

Q

C2

Os capacitores adquirem diferentes d.d.p. V1 e V2, respecti-vamente, tal que

V = V1 + V2

e assimQ

Cser.=

Q

C1+

Q

C2

e entao a capacidade equivalente e dada por:

1

Cser.=

1

C1+

1

C2

Propriedades

• Na associacao em serie, a capacitancia equivalente doconjunto, Cser. sera menor do que a menor das capa-citancias utilizadas;

• Como as cargas sao iguals nos dois capacitores em serie,a d.d.p. do maior capacitor sera a menor;

• Se os capacitores ligados em serie forem iguais C1 =C2 = C, a d.d.p. de ambos sera igual a V/2 e a ca-pacitancia equivalente sera Cser. = C/2, a metade dacapacitancia de um dos capacitores;

• Para uma associacao em serie de n capacitores teremos

1

Cser.=

1

C1+

1

C2+ . . .+

1

Cn= sumn

i=1

1

Ci

Associacao de Capacitores em Paralelo

(Veja a Fig. 1.1(b) ).

Neste caso, como os terminais de ambos os capacitores saoligados nos mesmo pontos a e b, conectados a uma bateriade tensao V , a placa positiva de cada capacitor esta ligada aplaca positiva do outro, o mesmo acontecendo com as placasnegativas.

Observamos que a mesma d.d.p. V e aplicada aos capacito-res da associacao.

V = V1 = V2

Cada capacitor adquire uma carga parcial:

Q = Q1 +Q2

A capacidade equivalente e dada por:

Cpar. = C1 + C2

Propriedades

• Na associacao em paralelo, a capacitancia equivalentedo conjunto, Cpar. sera maior do que a maior das ca-pacitancias utilizadas;

• Como as tensoes sao iguals nos dois capacitores em pa-ralelo, a carga do maior capacitor sera a maior das car-gas;

• Se os capacitores ligados em paralelo forem iguais C1 =C2 = C, a carga de ambos sera a mesma e a capa-citancia equivalente sera Cpar. = 2C, o dobro da capa-citancia de um dos capacitores;

• Para uma associacao em paralelo de n capacitores te-remos

Cpar. = C1 + C2 + . . .+ Cn = sumni=1Ci


Energia de um Caacitor

Imaginemos um capacitor carregado. Liguemos agora suasarmaduras por um fio condutor: as cargas negativas vaofluir para a outra armadura ate que ambas se neutralizem.O tempo necessario para isso e muito pequeno, e muitas ve-zes a descarga vem acompanhada de uma faısca que saltados extremos do condutor que une as armaduras. Conformeja estudamos anteriormente, o transporte de cargas eletricasentre pontos que possuem diferentes potenciais eletricos im-plica aparecimento de energia eletrica. Quando uma cargaeletrica e transportada entre dois pontos, entre os quaisexiste uma diferenca de potencial V qualquer, o trabalhorealizado e W = qV

Na descarga do capacitor, porem, a d.d.p. varia, diminuindoa medida que uma parcela da carga vai se transferindo paraa outra armadura.

Como a carga total do capacitor e Q = CV , e a d.d.p. variade V ate zero durante o processo de descarga, podemostomar o valor medio da tensao como sendo V/2 e calcular otrabalho

W = qV = CV · fracV 2 =1

2CV 2

e como esse trabalho foi realizado durante a descarga, pode-mos supor que essa energia estava armazenada no capacitor,como energia potencial eletrica.

Assim, definimos a energia do capacitor como

E =1

2CV 2

Observe que a expressao anterior pode ser reescrita de duasoutras formas equivalentes:

E =1

2QV =

Q2

2C

Pense um Pouco!

• Cite duas aplicacoes direta dos capacitores.

• Alguem disse que os fios usados em circuitos eletricosservem para igualar o potencial eletrico nas partes co-nectadas nas suas duas pontas. O que voce acha disso?

• Na figura 1.1, imagine que se conecte nos terminais ae b, os terminais (polos) de uma bateria de tensao V .Sobre a figura, pinte de uma cor todas as partes quetem o mesmo potencial eletrico de a, e de outra coras partes que tem o mesmo potencial de b. Observe oconclua voce mesmo.


1. (UERJ) Uma associacao de l.000 capacitores de l0 µFcada um, associados em paralelo, e utilizada para armazenarenergia. Qual o custo para se carregar esse conjunto ate50.000 volts, supondo-se R$ l,00 o preco do kWh?

2. (FAAP-SP) Associam-se em serie tres capacitores neu-tros com capacitancias C1 = 20 µF , C2 = 50 µF eC3 = 100 µF . Calcule a capacitancia equivalente do sis-tema.

3. Calcule a capacitancia equivalente da associacao mistamostrada na Fig. 1.1 (c), para os capacitores C1 = 20 µF ,C2 = 10 µF e C3 = 40 µF .


4. (FCC-BA) Determine a energia acumulada num con-junto de capacitores com capacitancia total de 2.000 µF esob tensao de 900 V .

5. (UCS-RS) Dois capacitores de capacitancia C1 = 6, 0 µFe C2 = 3, 0 µF sao associados em paralelo e a associacao esubmetida a uma d.d.p. V. O capacitor de capacitancia C1

se eletriza com carga eletrica Q1 = 1, 2 × 10−4 C, e o decapacitancia C2, com carga eletrica Q2. Determine V e Q2.

6. (Acafe-SC) Qual a d.d.p. que deve ser aplicada a umcapacitor, de capacitancia 2, 0 µF , a fim de que armazeneenergia potencial eletrica de 2, 5× 10−3 J?

7. (UESB-BA) Um capacitor de um circuito de televisaotem uma capacitancia de 1, 2 µF . Sendo a diferenca depotencial entre seus terminais de 3.000 V , a energia que elearmazena e de:a) 6, 7 Jb) 5, 4 Jc) 4, 6 Jd) 3, 9 Je) 2, 8 J

Quımica

Quımica A Aula 1

Estrutura Atomica

Modelos Atomicos

A primeira abordagem sobre a constituicao da materia datade ± 400 anos a.C. Os filosofos gregos Democrito e Leucipoconceberam o atomo como a menor partıcula constituinteda materia e supunham que essa partıcula era indivisıvel.

Lavoisier: em 1780, e considerado o pai da Quımica por tercriado o metodo cientıfico: as leis surgem da observacao daregularidade das teorias, como tentativas de explicacao des-sas regularidades. Provou que “na natureza nada se cria,nada se perde, tudo se transforma”, ou seja, numa trans-formacao quımica da materia, a massa se conserva.

John Dalton: em 1808, criou a Teoria Atomica Classica (ba-seado em modelos experimentais), considerando os atomoscomo esferas macicas (Modelo da Bola de Bilhar), indi-visıveis.

J. J. Thomson: em 1897, atraves de experimentos sobredescargas eletricas em gases rarefeitos, admitiu a existenciade cargas negativas, os eletrons, e de cargas positivas, osprotons. Propos um modelo em que o atomo seria umaesfera de eletricidade positiva, incrustada de eletrons comcarga negativa (Modelo do Pudim de Passas).

Figura 2.1: Aparato Experimental de Rutherford.

Ernest Rutherford: em 1911, bombardeou uma laminametalica delgada com um feixe de partıculas α. Estaspartıculas eram positivas. A maior parte das partıculasatravessava a lamina metalica sem sofrer desvio detectavel,algumas partıculas atravessavam sofrendo desvio e umnumero infımo de partıculas refletiam. Se os atomos fos-sem bolhas de geleia carregados positivamente as partıculasα deveriam passar facilmente atraves das folhas com uma li-geira deflexao ocasional de seus caminhos. Mas, percebeu-se

que algumas destas partıculas defletiam mais de 90 e umaspoucas retornavam no caminho de onde tinham vindo. Vera Fig. 2.1.

Estes resultados sugerem um modelo de atomo no qual hauma densa carga positiva central circundada por um grandevolume vazio. Rutherford chamou esta regiao carregada po-sitivamente de nucleo atomico.

As partıculas carregadas positivamente sao chamadasprotrons.

As partıculas carregadas negativamente continuam sendochamadas de eletrons.

Assim, o modelo de Rutherford consta de nucleo denso,diminuto, carregado positivamente, e de uma parte envol-vendo esse nucleo, uma regiao rarefeita e proporcionalmentemuito grande chamada eletrosfera, com eletrons, de carganegativa.

Resumo do Modelo de Rutherford

Este foi o modelo proposto por Rutherford. Basicamentetinha os seguintes fundamentos:

• O atomo e dividido em duas regioes, nucleo e eletros-fera, no nucleo encontramos os protons e os neutrons,na eletrosfera encontramos os eletrons;

• Os protons apresentam carga positiva, os eletrons apre-sentam carga negativa e os neutrons apresentam carganula;

• A massa de um proton e de um neutron equivalem a 1u.m.a enquanto a massa do eletron e 1836 vezes menorque a massa do proton ou do neutron.

O numero de protons em um nucleo atomico e chamado denumero atomico, Z, do elemento.

O numero total (soma) de protons e neutrons no nucleo echamado de numero de massa, A, do elemento.

A = Z +N

Representacao

ZXA

Mas, o modelo planetario de Rutherford apresenta duas fa-lhas cruciais:

• Uma carga negativa colocada em movimento ao redorde uma carga positiva estacionaria, adquire movimentoespiral ate colidir com ela;

55


• Essa carga perde energia emitindo radiacao, violando oPrincıpio da Conservacao de Energia.

Pense um Pouco!

1. Voce sabe dizer o que significa “tempo de meia-vida”?

2. O que significa Fissao Nuclear e Fusao Nuclear?


1. A palavra atomo e originaria do grego e significa “indi-visıvel”, ou seja, segundo os filosofos gregos, o atomo seriaa menor partıcula da materia que nao poderia ser mais di-vidida. atualmente essa ideia nao e mais aceita. A respeitodos atomos, e verdadeiro afirmar que:a) ( ) Nao podem ser desintgrados;b) ( ) Sao formados por pelo menos tres partıculas funda-mentais;c) ( ) Possuem partıculas positivas denominadas eletrons;d) ( ) Apresentam duas regioes distintas, nucleo e eletros-fera;e) ( ) Apresentam eletrons cuja carga eletrica e negativa;f) ( ) Contem partıculas sem carga eletrica, os neutrons.

2. (UFSC) Analise as afirmativas a seguir e assinale comoV ou F:a) ( ) O primeiro modelo atomico baseado em resultadosexperimentais, ou seja, com base cientifıca foi proposto porDalton;b) ( ) Segubdo Dalton, a materia e formada de partıculasindivisıveis chamadas atomos;c) ( ) Thomson foi o primeiro a provar que que o atomonao era indivisıvel;d) ( ) O modelo atomico proposto por Thomson e o da bolade bilhar;e) ( ) O modelo atomico de Dalton teve como suporte ex-perimental para a sua criacao a interpretacao das leis dasreacoes quımicas.

3. (UFSC) Assinale a(s) alternativa(s) correta(s):a) ( ) Os atomos sao partıculas fundamentais da materia;b) ( ) Os atomos sao quimicamente diferentes quando temnumeros de massa diferentes;c) ( ) Os eletrons sao as partıculas de carga eletrica posi-tiva;d) ( ) Os protons e os eletrons possuem massas iguais ecargas eletricas diferentes;e) ( ) Os atomos apresentam partıculas de carga nula de-nominados neutrons;f) ( ) Os atomos sao partıculas inteiramente macicas.


4. (ACE) Assinale a alternativa falsa:a) o numero de massa de um atomo e dado pela soma donumero de protons e de neutrons existentes no nucleo;b) um elemento quımico deve ter seus atomos sempre como

mesmo numero de neutrons;(c) o numero de protons perma-nece constante, mesmo que os numeros de massa dos atomosde um elemento variem;c) o numero atomico e dado pelo numero de protons exis-tentes no nucleo de um atomo;d) n.d.a

5. (UEL) O uranio-238 difere do uranio-235 por que o pri-meiro possui:a) 3 eletrons a mais;b) 3 protons a mais;c) 3 protons e 3 neutrons a mais;d) 3 protons e 3 eletrons a mais;e) 3 neutrons a mais.

6. (ACAFE) Um sistema e formado por partıculas que apre-sentam a composicao atomica de 10 protons, 10 eletrons, 11neutrons. Ao sistema foram adicionadas novas partıculas. Osistema resultante sera quimicamente puro se as partıculasadicionadas apresentarem a seguinte composicao atomica:a) 21 protons, 10 eletrons e 10 neutrons;b) 20 protons, 10 eletrons e 22 neutrons;c) 10 protons, 10 eletrons e 12 neutrons;d) 11 protons, 11 eletrons e 12 neutrons;e) 11 protons, 11 eletrons e 11 neutrons;

7. (FUVEST) As seguintes representacoes: 2X2, 2X

3e2X4,

referem-se a atomos com:a) igual numero de neutrons;b) igual numero de protons;c) diferente numero de eletrons;d) diferentes numeros atomicos;e) diferentes numeros de protons e eletrons;

Quımica A Aula 2

Modelos Atomicos

O Modelo Atomico de Bohr

Com o objetivo de solucionar estas limitacaoes do modelo deRuthrford entra em cena um cientista chamado Niels Bohr.

Niels Bohr: em 1913, propos que o atomo e constituıdo porum nucleo positivo, onde se concentra praticamente todamassa do atomo, e por eletrons que giram ao seu redor emorbitas circulars bem definidas, formando camadas, desig-nadas pelas letras K,L,M,N,O, P,Q.

Atraves de processos experimentais Bohr, concluiu que:

• Um eletron so pode ter certas energias especıficas, ecada uma destas energias corresponde a uma orbitaparticular. Quanto mais afastado do nucleo maior aenergia do eletron;

• Se o eletron receber energia ele pula para uma orbitamais afastada do nucleo;

• Como esta orbita nao e natural ele tende a retornar

Quımica A – Aula 2 57

Figura 2.1: O modelo Atomico de Bohr.

para sua orbita de maior estabilidade, assim sendo,ocorre liberacao de energia;

• Para calcular a energia emitida pelo eletron, MaxPlanck estabeleceu que a energia se propaga em “pa-cotes”de quantidades mınimas e descontınuas. A essaquantidade mınima chamou de foton ou quantum. Ovalor do quantum e proporcional a frequencia da ondaν, cuja magnitude pode ser calculada por

E = hν

onde h e a famosa constante de Planck, que tem valorde 6, 63× 10−34 J · s.Se os atomos oscilantes transferem uma energia E paraa vizinhanca, radiacao de frequencia ν = E/h sera de-tectada. E importante notar que a intensidade da ra-diacao e uma indicacao do numero de pacotes de ener-gia gerados, enquanto E e a medida de energia de cadapacote.

Sommerfeld: em 1916, estabeleceu que os eletrons descre-vem orbitas circulares e elıpticas em torno do nucleo.

Figura 2.2: Modelo Atomico de Sommerfeld.

O Modelo Atomico Atual

Louis de Broglie: em 1924, foi quem lancou as as basesde uma nova mecanica chamada ondulatoria ou quantica,atraves do Princıpio da Dualidade materia-onda para oeletron: “Toda partıcula em movimento, o eletron, no caso,tem associado a si uma onda”.

A mecanica classica preve, para cada corpo, sua trajetoria,conhecendo sua posicao e velociade.

A mecanica quantica, que trata do universo microscopicodas partıculas, nao se descreve perfeitamente o atomo.

Heisenberg: em 1927, estabeleceu o Prıncipio da Incerteza,segundo o qual “nao e possıvel predizer, ao mesmo tempo,a posicao e a quantidadade de movimento de um eletron”

Tudo que nos podemos conhecer sobre o movimento de umsistema de partıculas se reduz a uma funcao complexa Ψ decoordenadas (x, y, z) das partıculas e do tempo t.

Esta funcao e chamada Funcao de Onda, criada porSchrodinger (1927).

O quadrado do modulo da funcao de onda |Ψ|2 representa aprobabilidade de se encontrar no instante t a determinadapartıcula.

Na concepcao classica, uma partıcula se encontra ou naonum determinado instante em um dado ponto do espaco.Pela mecanica quantica nos so podemos conhecer a proba-bilidade de encontrar a partıcula no ponto considerado.

Schrodinger deduziu matematicamente regioes com proba-bilidades de se encontrar o eletron, simplificadas por meiode modelos geometricos que chamamos de orbitais.

Sommerfeld, de Broglie e Schrodinger formaram a MecanicaQuantica, que nos levou ao modelo atomico atual. O atomopossui nucleo denso com eletrons em orbitais.

Orbital e a regiao, em torno do nucleo, com maior probabili-dade de se encontrar o eletron. O eletron move-se em tornodo nucleo.

Figura 2.3: Representacao Atomica.

Isotopos, Isobaros, Isotonos e Isoeletronicos

Isotopos: sao atomos de um mesmo elemento quımico queapresentam diferentes numero de massa e diferentes numerode neutrons, ou seja sao atomos de mesmo numero atomicoe diferentes numero de massa.

6C12

6C13

6C14 Isotopos de Carbono

8O16

8O17

8O17 Isotopos de Oxigenio


Isobaros: sao atomos de elementos quımicos diferentes mascom mesmo numero de massa.

20Ca40 1840

Ar

Isotonos: sao atomos de elementos quımicos diferentes,mas com mesmo numero de neutrons.

5B11

6C12

Isoeletronicos: sao atomos ou ıons que apresentam omesmo numero de eletrons.

12Mg2+11Na

1+Ne10 9F

1−7N

3−

Nıveis e Subnıveis de Energia

A eletrosfera do atomo esta dividida em 7 regioes denomi-nadas de nıveis de energia ou camadas eletronicas.

Sao as camadas K,L,M,N,O, P,Q, representadas pelosnumeros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 denominados de numeros quanticosprincipais e representados pela letra n.

O numero maximo de eletrons em cada camada e calculadopela equacao

e = 2 · n2 sendo que

K(2), L(8),M(18), N(32), O(50), P (72), Q(98)

Mas para os 112 elementos quımicos existentes temos:

K(2), L(8),M(18), N(32), O(32), P (18), Q(2)

Existem 7 subnıveis de energia (s, p, d, f, g, h, i) que estaodentro das camadas. Mas para os 112 elementos existentesnao sao ocupados todos os subnıveis de energia e sim so-mente quatro, s, p, d, f , que sao representados pela letra lque significa numero quantico secundario e sao numeros quevao de 0 a 3, ou seja, 0, 1, 2, 3 para os subnıveis s, p, d, f ,cada subnıvel comporta um numero maximo de eletronss(2), p(6), d(10), f(14).

Configuracao Eletronica

Diagrama de Linus Pauling

K(2) 1s2

L(8) 2s2 2p6

M(18) 3s2 3p6 3d10

N(32) 4s2 4p6 4d10 4f14

O(32) 5s2 5p6 5d10 5f14

P(18) 6s2 6p6 6d10

Q(2) 7s2

Representamos a distribuicao eletronica de duas formas:

1. ordem energetica, seguindo as diagonais do diagramade Pauling:1s2, 2s2, 2p6, 3s2, 3p6, 4s2, 3d10, 4p6, 5s2, 4d10,5p6, 6s2, 4f14, 5d10, 6p6, 7s2, 5f14, 6d10

2. ordem geometrica, agrupando os subnıveis em camadas:

1s2 K 22s2, 2p6 L 8

3s2, 3p6, 3d10 M 184s2, 4p6, 4d10, 4f14 N 325s2, 5p6, 5d10, 5f14 O 32

6s2, 6p6, 6d10 P 187s2 Q 2

Orbitais Atomicos

Como vimos, orbital e a regiao, em torno do nucleo, commaxima probabilidade de se encontrar eletrons. As for-mas dessas regioes sao calculadas matematicamente e temo nucleo localizado no ponto zero dos eixos x, y e z.

Figura 2.4: Coordenadas espaciais de um atomo.

As formas dos orbitais mais importantes sao:

1. esferica - chamado orbital s:

Figura 2.5: Representacao do Orbital s.

2. halter - chamado orbital p:

Prıncipio de Exclusao

Certas experiencias, em particular a acao de um campomagnetico, mostram que as funcoes de onda construıdas uni-


Figura 2.6: Representacao do Orbital p.

camente sobre as coordenadas de espaco nao sao aptas paraexplicar totalmente os fenomenos, o que levou a se intro-duzir uma nova coordenada chamada spin. Trata-se de umcoosdenada suplementar associada a rotacao do eletron. Osvalores permitidos para a funcao de spin sao − 1

2 e 12 , e sao

de spins opostos.

Dois eletrons podem ocupar um mesmoorbital desde que possuam spins opostos.

Este enunciado e conhecido por “Princıpio de Exclusao, deWolfgang Pauli”.

Cada subnıvel comporta um numero maximo de eletrons(como visto anteriormente). Se cada orbital comporta nomaximo dois eletrons, temos entao:

Representacao do Orbital

s2 ↑↓ 1 orbit.p6 ↑↓ ↑↓ ↑↓ 3 orbit.d10 ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ 5 orbit.f14 ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ 7 orbit.

Pense um Pouco!

1. Voce sabe quais sao os tipos de radiacoes existentes equais as caracterısticas particulares de cada uma?

2. Quais sao os efeitos causados pelas radicoes? E quaisas princıpais aplicacoes das reacoes nucleares?


1. (ACAFE-99) A vitamina B12, anti-anemica, contem ıonsde cobalto Co+2. Dado: Co(Z = 27). A configuracaoeletronica nos orbitais 4s e 3d do Co+2, e:a) 4s0, 3d8.b) 4s2, 3d7.c) 4s2, 3d5.d) 4s1, 3d6.e) 4s0, 3d7.

2. (UDESC) Uma atomo com numero atomico igual a 38,apresentara em seu antepenultimo nıvel:a) 8 eletrons.b) 18 eletrons.c) 16 eletrons.d) 10 eletrons.e) 6 elerons.


3. (FUVEST) De acordo com os postulados de Bohr e cor-reto afirmar que:a) ( ) Os eletrons se movem ao redor do nucleo em orbitasbem definidas, que sao denominadas orbitas estacionarias;b) ( ) Movendo-se numa orbita estacionaria, o eletron naoemite nem absorve energia;c) ( ) Ao saltar de uma orbita mais proxima do nucleo paraoutra orbita mais afastada, o eletron absorve energia;d) ( ) Quando o eletron de um atomo salta de uma ca-mada mais externa para outra mais proxima do nucleo, haemissao de energia;e) ( ) No nucleo de um atomo existem protons e neutros.

4. (UEL) Atomos neutros e ıons de um mesmo elementoquımico tem, necessariamente, o mesmo numero:a) atomico;b) de massa;c) de oxidacao;d) de carga;e) de isomeros.

5. (CESGRARIO) Um atomo Q tem numero atomico dadopor (3x − 5). Um atomo R tem numero de massa 6x. Esabido que R e Q sao isotopos. Assinale a distribuicaoeletronica de Q, no estado fundamental, em ordem cres-cente dos nıveis energeticos:a) [Ar] 4s2, 4p64d8.b) [Ar] 3d10, 4s2, 4p4.c) [Ne] 3d10, 4s2, 4p4.d) [Ar] 3d10, 4s2, 4p2.e) [Ne] 3d10, 4s2, 4p6.

Quımica A Aula 3

Ligacoes Quımicas

Estabilidade dos Atomos

Os gases nobres sao os unicos encontrados na natureza naforma monoatomica, ou seja, nao se ligam se, apresentamna forma de atomos. Isto significa que o atomo e totalmenteestavel.

Os gases nobres (Coluna 8A da Tabela Periodica), comexcecao do helio, apresentam oito eletrons na camada devalencia.

Gases Nobres

He(Z=2) 2Ne(Z=10) 2 8Ar(Z=18) 2 8 18 8Xr(Z=36) 2 8 18 18 8Xe(Z=54) 2 8 18 32 18 8Rn(Z=86) 2 8 18 32 32 18 8

Camada de valencia e a camada eletronica mais externa.Pode receber ou fornecer eletrons na uniao entre atomos.


A valencia de um atomo e o numero de ligacoes que umatomo precisa fazer para adquirir a configuracao de um gasnobre.

Teoria do Octeto

Foi feita uma associacao entre a estabilidade dos gases no-bres e o fato de possuırem 8 eletrons na ultima camada.Surgiu entao a Teoria do Octeto:

Para atingir uma situacao estavel, hauma tendencia dos atomos para conseguirestrutura eletronica de 8 eletrons na camadade valencia igual ao gas nobre de numeroatomico mais proximo.

No caso de atomos menores em numero de eletrons, atendencia e alcancar o dueto, isto e, conseguir dois eletronsna ultima camada, como o helio (Z = 2) : 1s2. E o caso dohidrogenio e do lıtio.

Classificacao dos Elementos

Quanto a Configuracao Eletronica, podemos classificar oselementos quımicos como:

Metais: Sao elementos que possuem menos de quatroeletrons na camada de valencia. Doam eletrons quando fa-zem ligacoes quımicas;

Nao-Metais: Sao elementos que possuem mais de quatroeletrons na camada de valencia. Recebem eletrons quandofazem ligacoes quımicas;

Semimetais: Sao alguns elementos que ora comportam-secomo metais ora como nao-metais, independente do numerode eletrons na camada de valencia;

Hidrogenio: Nao tem classificacao, porem sua tendenciae de ganhar um eletron. Os elementos que possuem qua-tro eletrons na camada de valencia podem ceder ou recebereletrons nas ligacoes.

O carbono por exemplo, tera comportamento de nao-metal,recebendo eletrons.

O silıcio e o germanio sao semimetais: ora cedem eletros,ora recebem.

Estruturas de Lewis

Um sımbolo de Lewis e um sımbolo no qual os eletrons dacamada de valencia de um atomo ou de um ıon simples saorepresentados por pontos colocados ao redor do sımbolo doelemento. Cada ponto representa um eletron. Por exemplo:

(a) (b)

Figura 2.1: Configuracao eletronica e estrutura de Lewispara o atomo neutro de cloro (a) e para o ıon de cloro (b).

Repare nos exemplos acima que o cloro possui sete eletronsde valencia, enquanto que o ıon cloreto, oito.

Uma ligacao covalente e aquela ligacao quımica formadapelo compartilhamento de um par de eletrons entre doisatomos. A Estrutura de Lewis de um composto covalenteou de um ıon poliatomico mostra como os eletrons estaodistribuıdos entre os atomos, de formas a mostrar a conec-tividade entre eles. No caso do metano, por exemplo, quatroeletrons, um de cada hidrogenio, mais os quatro eletrons devalencia do carbono, sao emparelhados na Estrutura, mos-trando como cada atomo se conecta a outro por um par deeletrons.

Figura 2.2: Configuracao da estrutura de Lewis para o me-tano.

Ao inves de utilizarmos dois pontos para indicar o par deeletrons que perpetuam a ligacao covalente, podemos utili-zar um traco. Assim, o traco ira representar os dois eletronsda ligacao covalente.

Figura 2.3: Configuracao da ligacao covalente.

Vamos representar na Figura (2.4) a estrutura de Lewis daagua. Dois hidrogenios sao ligados ao atomo de oxigeniocentral. Os eletrons de ligacao sao indicados pelas linhasentre o oxigenio e cada um dos hidrogenios. Os eletronsremanescentes - dois pares - que constituem o octeto dooxigenio, sao chamados de nao-ligantes, por nao estaremenvolvidos em ligacoes covalentes.

O primeiro passo para se desenhar uma estrutura de Lewise determinar o numero de eletrons de valencia dos atomosque serao conectados. Depois e necessario determinar quale o atomo central, e liga-lo aos atomos perifericos por paresde eletrons.

Considere o dioxido de carbono CO2

carbono(C)→tem 4e− de valencia × 1 carbono = 4e−


Figura 2.4: Estrutura de Lewis da Agua.

oxigenio(O)→tem 6e− de valencia × 2 oxigenio = 12e−

Existe um total de 16 e− para serem colocados na Estruturade Lewis.

Conecte o atomo central aos outros atomos na molecula comligacoes simples.

O carbono e o atomo central, os dois oxigenios sao ligadosa ele; mais tarde iremos adicionar mais eletrons para com-pletar os octetos dos atomos perifericos.

Conecte o atomo central aos outros atomos na molecula comligacoes simples.

O carbono e o atomo central, os dois oxigenios sao ligadosa ele; mais tarde iremos adicionar mais eletrons para com-pletar os octetos dos atomos perifericos.

Figura 2.5: Estrutura do CO2.

Ate aqui foram utilizados quatro eletrons dos 16 a dis-posicao.

Complete a camada de valencia dos atomos da periferia damolecula.

Figura 2.6: Construcao da estrutura de Lewis do CO2-1.

Foram utilizados todos os 16 eletrons disponıveis. Colo-que quaisquer eletrons remanescentes sobre o atomo central.“Nao existem mais eletrons disponıveis nesse exemplo”.

• Se a camada de valencia do atomo central esta com-pleta, voce acaba de desenhar uma Estrutura de Lewis

aceitavel. “O carbono esta deficiente de eletrons - eletem so quatro eletrons em sua volta. Esta nao e umaestrutura de Lewis aceitavel”.

• Se a camada de valencia do atomo central nao estacompleta, use um par solitario de um dos atomos daperiferia para formar uma dupla ligacao daquele atomocom o atomo central. Continue o processo de fazermultiplas ligacoes dos atomos perifericos com o atomocentral, ate que a camada de valencia do atomo centralesteja completa.


Torna-se,


O atomo central ainda esta deficiente de eletrons, por-tanto compartilhe outro par.


Torna-se,

Certifique-se que voce tenha utilizado do numero cor-reto de eletrons na Estrutura de Lewis. Lembre-se quealguns elementos, como o enxofre, por exemplo, po-dem ampliar sua camada de valencia para alem de oitoeletrons.

A melhor Estrutura de Lewis que pode ser escrita parao dioxido de carbono e:



Figura 2.11: Melhor estrutura de Lewis para o CO2

Pense um Pouco!

• De uma possıvel aplicacao para a mesma formulaquımica escrita de formas diferentes. Ou seja, quale a utilidade de escrevermos a formula estrutural eeletronica de um mesmo elemento?

• Os gases nobres tambem sao chamados de gases iner-tes? Explique.


1. Indique a formula estrutural das seguintes moleculas:Dados: Cl (Z = 17), C (Z = 12), N (Z = 7), H (Z =1), O (Z = 8).a) CCl4b) NH3

c) CO2

d) HNO3


2. De as formulas estruturais e eletronicas das segiuntesmoleculas, dados: H (Z=1), O (Z=8) e S (Z=16).a) H2Sb) SO2

c) SO3

d) HNO3

Quımica A Aula 4

Ligacoes Quımicas

Como consequencia da tendencia dos atomos de formar sis-temas eletronicos estaveis, pela doacao ou recebimento deeletrons, os atomos se unem.

Existem tres tipos de ligacoes quımicas;

1. Ionica;

2. Metalica;

3. Covalente.

Ligacao Ionica ou Eletrovalente

A ligacao ionica ocorre quando um metal se liga a um naometal ou ao hidrogenio. O metal doa eletrons formando ocation. O nao-metal ou o hidrogenio recebe eletrons for-mando um anion.

A consequencia da atracao entre os ıons positivos (cations)e negativos (anions) e um agrupamento organizado de ıons,a que chamamos de cristal ionico.

(a) (b)

Figura 2.1: Arranjo Atomico de um Cristal Ionico.

O cristal ionico e representado por uma formula mınima, ouseja, o numero mınimo de cations e anions necessarios paraque ambas as cargas sejam neutralizadas. Por exemplo aFormula Mınima do sal de cozinha e dada por:

NaCl

Esta estrutura de alta coesao de natureza eletrica confereao composto ionico alto ponto de fusao. No estado solidonao conduz eletricidade. Isso so ocorre se os ıons estiveremlivres, em solucao aquosa ou no estado fundido (lıquido).

Montamos uma formula de composto ionico colocando a es-querda o cation e a direita o anion. Verificamos se as cargaspositiva e negativa se anulam. Se as cargas se anularem, aformula sera de um cation para um anion. Caso as cargasse anulem, usaremos o seguinte artifıcio: invertemos a cargado cation para ındice do anion e a carga do anion para ındicedo cation:

Ax+By− → AyBx

Caracterısticas da Ligacao Ionica

• Formacao de ıons;

• Transferencia de eletrons;

• Compostos solidos a temperatura ambiente;


• Formacao de compostos cristalinos;

• Os compostos ionicos quando em meio aquoso condu-zem corrente eletrica.

Ligacao Metalica

Ocorre entre metais. Como sabemos, um metal temtendencia de doar eletrons formando cations. A ligacaometalica ocorre quando muitos atomos de um metal per-dem eletrons ao mesmo tempo, e os cations formados seestabilizam pela ”nuvem” de eletrons que fica ao redor.

Analisando um fio de cobre, excelente condutor de eletrici-dade e calor, encontraremos nos eletrons livres que o ma-terial apresenta a explicacao desta condutibilidade. Os ”n”atomos de cobre cedem seus eletrons perifericos e se tornamcations envoltos por muitos eletrons livres.

Ligacao Covalente ou Molecular

Ligacao covalente e aquela formada como consequencia docompartilhamento de elerons entre seus atomos.

Havera formacao de uma molecula, no sentido em que osatomos se unem como ”socios” dos mesmos eletrons.

Por exemplo: o cloro apresenta 7 eletrons na ultima camadaquando realizada a ligacao covalente forma HCl.

O par compartilhado e formado por dois eletrons, um decada atomo, compartilhado por ambos os atomos.

Figura 2.2: Par Eletronico Compartilhado.

Ambos adquirem configuracao eletronica estavel de gas no-bre.

Representacao Molecular

Ha diferentes maneiras de representar uma molecula. To-memos a molecula de gas oxigenio, formada por dois atomosde oxigenio.

• Formula eletronica ou de Lewis: representa oseletrons da ultima camada dos atomos.

• Formula estrutural: cada par de eletron comparti-lhado e representado por um traco.

O = O

• Formula molecular: indica apenas o tipo e o numerode atomos que formam uma molecula.

O2

Ligacao Dativa ou Coordenada

E o caso de ligacao covalente que ocorre quando o par deeletrons compartilhado entre dois atomos provem apenas deum deles.

Para que o atomo possa fazer uma ligacao coordenada eletem que possuir pares de eletrons livres.

A ligacao coordenada e indicadapor uma seta do atomo queoferece o par de eletrons para o atomo que o aceita.

O numero maximo de ligacoes coordenadas que os nao-metais podem oferecer e:

No caso do monoxido de carbono, temos um bom exemplo: ooxigenio faz uma ligacao dativa com o carbono, isto e, com-partilha coordenadamente com ele seus pares eletronicos.Conforme podemos ver na Fig. (2.3):

Figura 2.3: Ligacao Dativa do CO.

Orbitais Moleculares

Para visualizarmos melhor as ligacoes covalentes (atomosformando moleculas), estudaremos as ligacoes sob o pontode vista dos orbitais atomicos formando orbitais molecula-res.

Orbital molecular e a regiao em torno dos nucleos de maiorprobabilidade de ser encontrado o par eletronico comparti-lhado.

Ha dois tipos de orbital molecular:

Orbital Molecular σ (sigma), ou simplismente ligacao σ, eaquele formado na interpenetracao de orbitais atomicos se-gundo um eixo.

Orbital Molecular π, ou simplismente ligacao π, e aqueleformado na interpenetracao de orbitais atomicos p exclusi-vamente segundo os eixos paralelos.

Exemplo

H2 (molecula H : H ou H −H)

O hidrogenio apresenta apenas um eletron no orbital s, quesabemos ser esferico: 1s1, e precisa de mais um eletron paraadquirir estabilidade.

Quando ocorre a aproximacao de outro atomo de hi-drogenio, o nucleo positivo de um atrai a eletrosfera do


outro.

Figura 2.4: Dois atomos de H.

Como consequencia dessa atracao, teremos a aproximacaoresultando numa interpenetracao de orbitais chamada over-lap.

Overlap e a interpenetracao dos orbitais atomicos formandoum orbital molecular.

Na formacao do overlap ha uma distancia ideal entre osnucleos de cada atomo, onde a repulsao das cargas dememsmo sinal compensa a atracao das cargas de sinais di-ferentes.

Figura 2.5: Overlap.

No caso do H2, H −H, temos orbital σ(s− s). A notacaoσ(s − s) significa orbital molecular σ feito atraves de doisorbitais atomicos do tipo s.

Pense um Pouco!

• Quais sao as principais utilidades das LigacoesQuımicas na natureza?

• Como os elementos quımicos sao encontrados na natu-reza, ”puros ou misturados com outros elementos”?


1. (ACAFE) O grupo de atomos que e encontrado na formamonoatomica pelo fato de serem estaveis saoa) Halogeniosb) Calcogeniosc) Metais Alcalinos Terrososd) Metais Alcalinose) Gases Nobres

2. (ACAFE) O propadieno (H2C = C = CH2) apresentarespectivamente quantas ligacoes sigmas e ligacoes pi?

a) 6 e 2b) 2 e 2c) 4 e 2d) 4 e 0e) 0 e 4

3. (ACAFE) Incrıvel, mas 15% dogas metano existente naatmosfera provem do arroto dos bois, vacas, cabras e car-neiros, contribuindo para o efeito estufa (aquecimento at-mosferico). Assinale a alternativa que descreve os tipos deligacoes quımicas encontradas neste gas:a) 2 ionicas e 2 covalentesb) 2 ligacoes dativasc) 4 ligacoes duplasd) 2 sigmas e 2 pie) 4 ligacoes sigmas


4. (ACAFE-99) Um metal alcalino terroso (M) apresentadois eletrons na sua camada de valencia. A alternativa queindica a formula de um oxido e de cloreto desse metal, res-pectivamente e:a) M2O −M2Clb) M2O −MClc) MO2 −MCl2d) MO −MCl2e) MO −MCl4

5. (UFSC) Na molecula H −O −O −H, existe:a) nenhuma ligacao ionicab) tres ligacoes covalentesc) tres ligacoes sigmasd) tres ligacoes ionicase) duas ligacoes metalicas

Quımica A Aula 5

A Estrutura da Materia

Propriedades Gerais

De acordo com a teoria cinetica molecular, todas as formasde materia sao compostas de partıculas pequenas e que semovem rapidamente. Ha duas razoes principais por queos gases, lıquidos e solidos diferem tanto uns dos outros.Uma e a rigidez do empacotamento das partıculas e outrae a intensidade das forcas atrativas entre elas. Podemoslistar como propriedades influenciadas por estas duas razoeso segiunte:

Compressibilidade

Num gas, as moleculas estao bastante separadas, de formaque ha muito espaco vazio dentro do qual elas podem sercomprimidas, por isso os gases sao bastante compressıveis.


Entretanto, as moleculas num lıquido ou solido estao rigi-damente empacotadase ha muito pouco espaco vazio entreelas, sendo entao virtualmente incompressıveis.

Difusao

Comparadas com as moleculas de um lıquido ou solido, asmoleculas de um gas se difundem rapidamente, uma vezque as distancias que elas se movem entre as colisoes saorelativamente grandes. Em virtude de as moleculas numlıquido estarem tao proximas, a distancia media que elaspercorrem entre as colisoes - o seu livre caminho medio- e muito pequena, onde estas sofrem bilhoes de colisoesantes de percorrer uma distancia muito grande e essas in-terupcoesimpedem-nas de espalhar-se aatraves do lıquido.A difusao dentro dos solidos e muito mais lenta que noslıquidos. Nao so as moleculas estao fortemente compacta-das como, tambem, sao mantidas rigidamente no mesmolugar.

Volume e Forma

A propriedade mais obvia dos gases, lıquidos e solidos e aforma como eles se comportam quando transferidos de umfrasco para outro. Ambos, gases e lıquidos sao fluıdos; elesescoam e podem ser bombeados de um lugar para outro.Um solido, porem, nao e um fluıdo e mantem tanto suaforma quanto seu volume. As forcas intermoleculares deum gas sao tao fracas que as moleculas podem facilmentesuperar essa forca e expandir para encher o recipiente. Oque nao acontece num solido, cujas forcas atrativas mantemas moleculas mais ou menos firmes num lugar, de modo queelas nao podem se mover umas em torno das outras.

Tensao Superficial

Num lıquido cada molecula move-se sempre sob influenciadas moleculas vizinhas. As moleculas na superfıcie de umcerto recipiente sentem uma atracao na direcao do interiordo lıquido. Para uma molecula chegar a superfıcie ela devesuperar esta atracao. Ou seja, a energia potencial deve au-mentar, entao deve-se realizar trabalho para leva-las ate asuperfıcie. Portanto, tornar a superfıcie de um lıquido maiorrequer um gasto de energia e a quantidade de energia ne-cessaria e entao a tensao superfıcial.

Evaporacao

Num lıquido ou num solido, assim como num gas, asmoleculas estao constantemente sofrendo colisoes, dando as-sim origem a uma distribuicao de velocidades molecularesindividuais e, evidentemente, de energias cineticas. se algu-mas dessas moleculas possuırem energia cinetica suficientepara superar as forcas atrativas dentro do lıquido ou dosolido, elas poderao escapar atraves da superfıcie para o es-tado gasoso – elas evaporam. No lıquido existem trs fatoresque influenciam na velocidade de evaporacao: a tempera-tura, a area superficial e a intensidade das atracoes superfi-ciais.

Forcas de Atracao Inter-moleculares

As atracoes dipolo-dipolo sao, normalmente, consideravel-mente mais fracas do que as ligacoe ionicas ou covalentes.A sua forca tambem diminui muito rapidamente a medidaque a distancia entre os dipolos aumenta, de forma que adistancia entre os dipolos aumenta, de forma que o seu efeitoentre as moleculas bastante afastadas de um gas e muito me-nor do que entre moleculas fortemente compactadas numlıquido ou num solido. E por isso que as moleculas de umgas comportam-se quase como se nao houvesse atracao ne-nhuma entre elas.

Pontes de Hidrogenio

Acontece entre moleculas muito polares, onde a diferencade eletronegatividade e muito acentuada, tendo H numadas extremidades da “ponte”. No estado lıquido ha pon-tes de hidrogenio entre moleculas de agua. Como ha movi-mento das moleculas, as pontes de hidrogenio se quebrame se restabelecem em seguida. No estado solido as pontesde hidrogenio entre as moleculas de agua sao fixas e dire-cionadas segundo um angulo de 104, 5 entre suas ligacoes.Devido a direcao das pontes de hidrogenio na agua solida,ficam espacos vazios entre as moleculas, responsaveis peloaumento de volume ao congelar.

Forca de Van der Waals (ou de London)

Essa forca pode aparecer entre atomos de um gas nobre (porexemplo, helio lıquido) ou entre moleculas apolares (CH4,CO2). O gelo seco quando sublima, passa do estado solidopara o estado gasoso, rompendo as forcas de Van der Waalse liberando as moleculas das influencias das outras. Sao asforcas intermoleculares, tipo Van der Waals, que justificama possibilidade de liquefazer os gases nobres. As moleculaspodem se unir atraves de polarizacao induzida temporaria-mente.

Os Gases

Muitos gases sao capazes de sofrer reacoes quımicas uns comoutros. Observacoes experimentais feitas por Gay-Lussacformaram a base da Lei de Combinacao dos Volumes

A Lei de Combinacao de Volumes

os volumes das substancias gasosas que sao produzi-das e consumidas numa reacao quımica estao numarazao de numeros inteiros pequenos, desde que osvolumes sejam medidos nas mesmas condicoes detemperatura e pressao.

A importancia das observacoes de Gay-Lussac foi posterior-mente reconhecida por Amadeo Avogadro. Ele propos queagora e conhecido como princıpio de Avogadro.

O Princıcpio de Avogadro

sob condicoes de temperatura e pressao constantes,


volumes iguais de gases contem numeros iguais demoleculas.

Uma vez que numeros de iguais de moleculas significamnumeros iguais de mols, o numero de mols de qualquer gasesta relacionado com o seu volume:

V ∝ nonde n e o numero de mols do gas. Assim, a lei de Gay-Lussac e facilmente compreeendida, uma vez que os volumesdos gases, reagentes e produtos, ocorrem nas mesmas razoesque os coeficientes na equacao balanceada.

O Mol

Sabemos que os atomos reagem para formar moleculas,mantendo entre si razoes simples de numeros inteiros. Osatomos de hidrogenio e oxigenio, por exemplo, combinam-se numa razao de 2 para 1 a fim de formar a agua, H2O.Entretanto e impossıvel trabalhar com os atomos individu-almente, devido as suas dimensoes minusculas. Assim, emqualquer laboratorio da vida real, devemos aumentar o ta-manho destas quantidades ate o ponto em que possamosve-las e pesa-las.

Infelizmente, por exemplo, uma duzia de atomos oumoleculas e ainda uma quantidade muito pequena para setrabalhar; deve-se, portanto, encontrar uma unidade maiorainda. A “duzia de quımico”chama-se mol (unidade mol).Ele e composto de 6, 022× 1023 objetos. Entao:

1 duzia = 12 objetos

1 mol = 6, 02× 1023 objetos

O Volume Molar

E o volume ocupado por um mol de qualquer gas emcondicoes normais de temperatura e pressao (CNTP).

CNTP:

• temperatura de 0C ou 273 K;

• pressao de 1 atm ou 760 mmHg).

Verifica-se experimentalmente que o volume molar e de22, 4 l (CNTP).

Conclusao:

MM g → 6, 02× 1023 moleculas→ 22, 4 l.

Observe que

1 mol ≈ 602.000.000.000.000.000.000.000

Pense um Pouco!

• Voce tem nocao de como funciona um freio de au-tomovel? Ou que um freio tem em comum com o as-sunto que estamos tratando?

• De exemplos de elementos quımicos solidos que evapo-ram, sem que haja fusao.


1. (FUVEST) Em uma amostra de 1, 15 g de sodio, onumero de atomos existentes sera igual a (Na = 23):a) 6× 1022

b) 3× 1023

c) 6× 1023

d) 3× 1022

e) 1023

2. (ACAFE-00) Qual destas ligacoes e mais fraca?a) Eletrovalenteb) Covalentec) Ponte de hidrogeniod) Van der Waalse) Metalica

3. (PUC) As pontes de hidrogenio aparecem:a) quando o hidrogenio esta ligado a um elemento muitoeletropositivob) quando o hidrogenio esta ligado a um elemento muitoeletronegativoc) em todos os compostos hidrogenadosd) somente em compostos inorganicose) somente em acidos de Arrhenius


4. (Osec-SP) Tem-se 1 litro de He; 1 litro de H2; 1 litrode CO2; e 1 litro de NH3, todos estes gases nas CNTPem recipientes separados. O recipiente que possui maiornumero de moleculas e o que contem:a) Heb) H2

c) CO2

d) NH3

e) o numero de moleculas e o mesmo em cada um dos quatrorecipientes.

5. (PUC-RS) Os elevados pontos de ebulicao da agua, doalcool etılico e do fluoreto de hidrogenio sao explicados:a) atraves das pontes de hidrogenio intermolecularesb) pelas macromoleculas formadasc) atraves de forcas de Van der Waalsd) pelas ligacoes covalentes dativas que se formam entremoleculas destes compostose) atraes das pontes de higrogenio intramoleculares

6. (PUC) Qual a massa total da seguinte mistura: 0, 25 molde oxigenio mais 3× 1022 moleculas de oxigenio mais 3 g deoxigenio? Dado: MMO = 16 g.a) 11, 8 gb) 12, 6 gc) 23, 6 gd) 32 ge) 34 g


Quımica A Aula 6

Teoria Cinetica dos Gases

As moleculas de um gas ocupam o volume do recipienteque as contem. A energia que mantem as moleculas de umgas em movimento e a energia cinetica, que e diretamenteproporcional a temperatura absoluta (Kelvin).

Ec ∝ T onde

Ec = energia cinetica

T = temperatura de Kelvin

Gas Ideal

Um gas e considerado perfeito (ideal) quando obedece asseguintes condicoes:

• No estado gasoso o movimento das moleculas ocorrede maneira contınua e caotica, descrevendo trajetoriasretilıneas;

• O volume da molecula e desprezıvel em relacao ao vo-lume do recipiente que a contem;

• Uma molecula nao sente a presenca da outra (nao hainteracao, forcas de Van der Waals, entre as moleculas);

• Os choques entre as moleculas, se ocorrerem, sao per-feitamente elasticos (a molecula nao ganha nem perdeenergia cinetica)

Gas Real

Um gas real se aproxima do comportamento de um gas per-feito a medida que se torna mais rarefeito (diminui o numerode moleculas) e se encontra a baixa pressao e a alta tempe-ratura.

Leis dos Gases Ideais

O estado de um gas e definido quando sabemos sua pressao,temperatura, e volume Essas grandezas sao as variaveis deestado de um gas e sao interdependentes.

Se mantivermos constante uma de suas variaveis, poderemosestudar de que maneira variam as outras.

Transformacao Isotermica (Lei de Boyle-Mariotte)

a uma temperatura constante, o volume ocupadopor uma quantidade fixa de gas e inversamente pro-porcional a pressao aplicada.

Isso pode ser expresso matematicamente como:

V ∝ 1

P(2.1)

A proporcionalidade pode ser transformada numa igualdadepela introducao de uma constante de prporcionalidade. As-sim,

V ∝ 1

PPV = constante

p1V1 = p2V2

Desta forma, a temperatura constante, se aumentarmos apressao, o volume diminui; se diminuirmos a pressao o vo-lume aumenta.

Transformacao Isobarica (Lei de Charles)

a pressao constante, o volume de uma dada quan-tidade de um gas e diretamente proporcional a suatemperatura absooluta.

Escrevendo esta Lei matematicamente, temos:

V ∝ T (2.2)

Transformando a proporcionalidade em igualdade e rearran-jando, obtemos

V

T= constante (2.3)

V1

T1=V2

T2(2.4)

Desta forma, se a pressao e constante, a medida que aumen-tarmos a temperatura o volume ocupado pelo gas aumen-tara; diminuindo a temperatura, o volume diminuira.

Transformacao Isocorica, Isometrica ou Isovo-lumetrica (Lei de Charles-Gay Lussac)

a volume constante, a pressao e diretamente pro-porcional a temperatura.

Matematicamente temos que:

P ∝ T (2.5)

ou tambem,

P

T= constante (2.6)

p1

T1=p2

T2(2.7)

Se aumentarmos a temperatura, a pressao aumentara; sediminuirmos a temperatura, a pressao diminuira.

Lei Combinada dos Gases

As equacoes correspondentes as leis de Boyle-Mariotte eCharles-Gay Lussac podem ser incorporadas em uma unica


equacao, que e util para muitos calculos. Esta e

PiViTi

=PfVfTf

(2.8)

Da mesma forma que para as leis separadas, a lei combi-nada dos gases verifica-se somente se a quantidade de gasfor constante. Onde o gas deve estar submetido as CNTP .

Lei dos Gases Ideais

Discutimos, assim, tres relacoes (2.1, 2.2, 2.5) de volume aque um gas idel obedece.

Podemos combina-las, para obter

V ∝ n(

1

P

)(T ) ou (2.9)

V ∝(nT

P

)(2.10)

Casos Particulares

• Se n e T forem constantes na equacao (2.10) teremos alei de Boyle-Mariotte;

• Se n e P forem constantes na equacao (2.10) teremos alei de Charles-Gay Lussac;

• Se P e T forem constantes na equacao (2.10) teremoso Princıpio de avogadro;

A prporcionalidade na equacao (2.10) pode ser transfor-mada numa igualdade, pela introducao de uma constantede prporcionalidade, R, chamada de constante universaldos gases. Daı, temos:

V =nRT

Pou (2.11)

PV = nRT (2.12)

onde R = 8, 31J/mol ·K.

A equacao (2.12) e obedecida por apenas um gas ideal hi-potetico e e uma expressao matematica da lei dos gasesideais. E tambem chamada equacao de estado do gas ideal,porque relaciona as variaveis (P, V, n, T ) que especificam aspropriedades fısicas do sistema.

Lei das Pressoes Parciais de Dalton

E simplismente a pressao que o gas exerceria se estivessesozinho no recipiente, ocupando o volume total da misturana mesma temperatura. Segundo as observacoes de JohnDalton, a pressao total e igual a soma das pressoes parci-ais de cada gas, na mistura. Esta afirmativa e conhecidacomo a lei das pressoes parciais de Dalton que podeser expressa por:

PT = pa + pb + pc + · · · (2.13)

onde PT e a pressao totalda mistura e pa , pb , pc sao aspressoes parciais dos gases a, b c.

Pressao parcial (P ′) e o produto da fracao molar pelapressao totaldos gases.

P ′gas = Xgas · Ptotal mistura (2.14)

Volumes Parciais

Volume parcial e o volume que o gas ocuparia estando sozi-nho e sendo submetido a pressao total, na temperatura damistura. O volume total e a soma dos volumes parciais decada gas, na mistura. Esta afirmativa e conhecida como alei de Amagat.

O volume parcial (V) e dado pelo produto de fracao molardo gas pelo volume total da mistura.

V ′gas = Xgas · Vtotal mistura (2.15)

Mudancas de Estado Fısico

Uma substancia pura pode apresentar-se sob tres formas deagregacaoda materia: solido, lıquido, gasoso (aceita-se oquarto estado da materia: plasma). Cada fase depende dascondicoes fısicas de pressao e temperatura.

Fusao e Solidificacao

Na fase solida, as moleculas de uma substancia estao forte-mente ligadas entre si, formando um reticulado cristalino.

Fornecendo calor a um solido, as moleculas absorverao aenergia, aumentando a amplitude de sua vibracao, rom-pendo o reticulado cristalino e passando para a fase lıquida,onde as moleculas estao ligadas entre si com menor intensi-dade do que na fase solida.

• A temperatura em que ocorre a passagem defase solida para a lıquida e denominada ponto defusao.

• A temperatura em que ocorre a passagem defase lıquida para a solida e denominada ponto desolidificacao.

• Nas substancias puras, o ponto de fusao e soli-dificacao coincidem, se a pressao for mantida cons-tante.

Vaporizacao e Condensacao

A vaporizacao e a passagem da fase lıquida para a gasosa.Existem tres maneiras de se efetuar a vaporizacao:

1. Vaporizacao tıpica ou ebulicao: mudanca de fasea determinada pressao e temperatura. Por exemplo, aagua entra em ebulicao a 100 C e a pressao de 1 atm.


2. Evaporacao: fenomeno que se observa a qualquertemperatura, atraves da superfıcie exposta ao meioamiente. Isso ocorre porque as moleculas com maior ve-locidade escapam atraves da superfıcie livre do lıquido.Ao ocorrer uma evaporacao, a temperatura do lıquidodiminue pois ao escaparem as moleculas com maior ve-locidade, diminue a energia cinetica. Quanto maior aarea livre maior a evaporacao.

3. Calefacao: fenomeno que ocorre a temperaturasacima da temperatura normal de vaporizacao. E ob-servavel, por exemplo, ao se deixar cair uma gotad’agua numa chapa de metal, a uma temperatura acimade do ponto de vaporizacao.

A condensacao e a passagem de uma substancia da fasegasosa para a lıquida. Ela pode ocorrer, tambem, a tem-peratura ambiente. Por exemplo, ao se colocar agua geladanum copo, observa-se a condensacao do vapor de agua doar na sua parede externa.

Figura 2.1: Mudancas de estados: solido, lıquido e gas.

Diagrama de Fases

Colocando-se em um unico diagrama, as curvas de equilıbrioentre as fases de uma substancia pura, tem-se o diagramade fases.

Figura 2.2: Diagrama de fase tıpico.

O ponto de equilıbrio entre as tres fases e denominadoponto triplo ou trıplice (PT ).

Figura 2.3: Diagrama de fase da agua.

Para o dioxido de carbono (CO2), o ponto triplo e definidopor:

• temperatura: −56, 6 C

• pressao: 5 atm

A agua tem o seu ponto triplo definido por:

Para o dioxido de carbono (CO2), o ponto triplo e definidopor:

• temperatura: 0, 01 C

• pressao: 4, 58 mmHg

Sublimacao

Abaixo da temperatura do ponto triplo, existe umacurva denominada curva de subimacao, que representaas condicoes de pressao e temperatura nas quais umasubstancia pode passar diretamente da fase solida para fasegasosa ou vice-versa sem se transformar em lıquido.

Pense um Pouco!

• Por que dentro de uma panela de pressao, e possıvelmanter-se a agua na fase lıquida acima dos 100 C?Quais sao os beneficios que isso nos traz?

• E possıvel ferver agua a temperatura ambiente? Como?


1. (MACK-SP) Assinale a afirmacao correta:a) O ponto de fusao e o ponto de ebulicao da agua aumentamcom o aumento da pressao.b) O ponto de fusao e o ponto de ebulicao da agua diminuemcom o aumento da pressao.c) O ponto de fusao da agua diminui e o ponto de ebulicao


da agua aumentam com o aumento da pressao.d) O ponto de fusao da agua aumenta e o ponto de ebulicaoda agua diminui com o aumento da pressao.e) O ponto de fusao e o ponto de ebulicao da agua nao saoalterados com o aumento da pressao.

2. (STA. CASA-SP) Quando voce assopra a sua pele umidade agua, sente que a pele esfria. Isto se deve ao fato de:a) o sopro arrasta ar mais frio que a pele.b) a pele esta mais fria do que a agua.c) a agua e normalmente mais fria do que o ar.d) o sopro e mais frio do que a agua.e) a agua absorve calor da pele para evaporar-se.

3. (ACAFE) Bolinhas de naftalina sao colocadas nos rou-peiros para combater as tracas pois elas danificam as roupas.Com o tempo as bolinhas diminuem de tamanho. A causadisso deve-se:a) a sua liquefacao.b) ao consumo da naftalina pelas tracas.c) a sua condensacao.d) a sua fusao.e) a sua sublimacao.


4. (VUNESP) Indique a alternativa que indica umfenomeno quımico:a) Dissolucao de cloreto de sodio em agua.b) Fusao da aspirina.c) Destilacao fracionada de ar lıquido.d) Corrosao de uma chapa de ferro.e) Evaporacao da agua do mar.

5. (ACAFE) Do petroleo podemos extrair varios materiaisimportantes para o homem, como a gasolina, o GLP, a pa-rafina, o metano e outros. Sobre o petroleo e seus derivadosnao podemos afirmar:a) a gasolina e uma mistura de alcanos.b) GLP e a sigla para Gas Liquefeito de Petroleo e e basi-camente uma mistura homogenea dos gases propano e bu-tano.c) a parafina e uma mistura de alcanos superiores ou sejade grandes massas moleculares.d) o petroleo e uma mistura heterogenea.e) o gas metano principal componente do gas natural, co-nhecido como gas do lixo, so pode ser obtido a partir dopetroleo.

(ACAFE) Algumas substancias em contato com a pele, nosdao uma sensacao de estarem frias. Dentre elas podemosdestacar o eter comum. Isso ocorre por que:f) o eter ao cair na pele, evapora, e este e um processoexotermico.g) o eter ao cair na pele, evapora, e este e um processoendotermico.h) o eter reage endotermicamente com substancias da pele.i) o eter sublima.j) o eter e resfriado.

Quımica A Aula 7

Acidos e Bases

Acidos e Bases de Arrhenius

Funcoes Quımicas sao grupos de substancias com proprieda-des semelhantes. As funcoes inorganicas sao quatro: acidos,bases, sais e oxidos.

Acidos sao compostos com sabor azedo (vinagre, frutascıtricas), que reagem com bases formando sal e agua.

Bases sao compostos de sabor adstringente (leite demagnesia - Mg(OH)2) que reagem com acidos dando sale agua.

Acidos e Bases atuam sobre indicadores coloridos -substancias que possuem duas coloracoes, dependendo domeio em que se encontram.

Indicador Meio Acido Meio Basico

Tornassol Vermelho AzulFenolftaleına Incolor Vermelho

Definicoes de Arrhenius

Acido e qualquer composto molecular que em solucaoaquosa sofre ionizacao liberando como unico cation o ıonH+ ou H3O

+ (hidroxonio ou hidronio).

Exemplos

HCl +H2O → H+ + Cl−

HNO3 +H2O → H+ +NO−3H2SO4 +H2O → 2H+ + SO−2

4

H3PO4 +H2O → 3H+ + PO−34

Dizemos que o acido, que era um composto covalente, napresenca de agua ionizou, e formou ıons.

Grau de ionizacao (α) e a razao do numero de moleculas io-nizadas para um total de moleculas inicialmente dissolvidasem agua. A forca de um acido esta associada ao maior oumenor grau de ionizacao do mesmo.

α =n.o de moleculas ionizadas

total de moleculas dissolvidas

Caracterısticas

• Apresentam sabor azedo;

• Tornam vermelho o papel tornassol azul e a fenolf-taleına de vermelha para incolor;

• Conduzem corrente eletrica em solucao aquosa;

• Quando adicionados ao marmore ou carbonatos, produ-zem uma efervescencia com liberacao de gas carbonico.


Classificacao

Em geral, pode-se classificar os acidos quanto a:

Presenca de Oxigenio

• Hidracidos: nao apresentam oxigenio na molecula;HCl,HCN,H2S

• Oxiacidos: apresentam oxigenio na molecula.HNO3, H2SO4, H3PO4

Numero de Hidrogenios Ionizaveis

• Monoacidos: apenas um hidrogenio ionizavel;HCl,HCN,HNO3

• Diacidos: dois hidrogenios ionizaveis;H2S,H2SO4, H2CO3

• Triacidos: tres hidrogenios ionizaveis. H3SO3, H3PO4

Mas tome cuidado:

H3PO2 → monoacido (um hidrogenio ionizavel)

H3PO3 → diacido (dois hidrogenios ionizaveis)

Volatilidade

• Volatil: todos os hidracidos;

• Fixo: todos os oxiacidos.

Estabilidade

• Instavel: so existem dois acidos instaveis;

H2CO3 → H2O + CO2

H2SO3 → H2O + SO2

• Estaveis: todos com excessao dos acidos carbonico esulfuroso.

Forca

• Para Hidracidos:

– Fortes: HCl,HI,HBr

– Moderado ou Semi-Forte: HF

– Fracos: HCN,H2S

• Para Oxiacidos: m = N0 −NH+

– Fraco: quando m = 0;

– Moderado ou Semi-Forte: quando m = 1;

– Forte: quando m = 2;

– Muito Forte: quando m = 3.

– Exemplos:

HCl→ m = 0 fraco

H2CO3 → m = 1 moderado

H2SO4 → m = 2 forte

HClO4 → m = 3 muito forte

Nomenclatura dos Acidos

Hidracidos

Nomenclatura: Acido (nome do elemento)ıdrico.

Quando ionizado, um hidracido produz ao lado do cationH+ ou H3O

+, um anion com terminacao eto. Conformeexemplo abaixo:

HCl: Acido Clorıdrico H++Cl−: Cloreto. (na presencade H2O)

Oxiacidos

Nomenclatura: Acido (nome do elemento)oso(menos oxigenado)ico(mais oxigenado)

Conforme podemos ver no exemplo abaixo:

H2SO3: Acido Sulfuroso 2H+ + SO−23 : Sulfito. (na

presenca de H2O)

H2SO4: Acido Sulfurico 2H+ + SO−24 : Sulfato. (na

presenca de H2O)

Bases

Bases ou Hidroxidos sao substancias que, ao serem dis-solvidas em agua, sofrem dissociacao ionica, originandoo “anion”OH−, denominado hidroxila ou oxidrila. Oshidroxidos sao compostos formados por um metal ou um ıonpositivo, ligado a hidroxila. Observe abaixo a dissociacaoionica de algumas bases em solucao aquosa:

NaOH → Na+ +OH−

Fe(OH)3 → Fe+3 + 3OH−

NH4OH → NH+4 +OH−

Caracterısticas das Bases

• Apresentam sabor amargo;

• Reagem com os acidos produzindo sal;

• Tornam azul o papel tornassol vermelho e a fenolf-taleına de incolor para vermelha;

• Conduzem corrente eletrica em solucao aquosa;

• Sao untuosas ao tato.

Classificacao das Bases

Classifica-se as bases quanto a:

Numero de Hidroxilas (OH−)

• Monobase: possui apenas uma hidroxila. Exemplo:KOH;


• Dibase: possui apenas duas hidroxilas. Exemplo:Ca(OH)2;

• Tribase: possui tres duas hidroxilas. Exemplo:Al(OH)3;

• Tetrabase; possui apenas quatro hidroxilas. Exemplo:Pb(OH)4.

Solubilidade em Agua

• Soluveis: bases formadas pelas famılias 1A, 2A eNH4OH;

• Insoluveis: todas as demais bases.

Forca

• Forte: quando a base e dissolvida em agua, ocorre dis-sociacao ionica quase que totalmente. Bases de metaisalcalinos (1A) e de metais alcalinos terrosos (2A);

• Fraca: todas as demais bases.

Outros Conceitos de Acidos e Bases

Conceitos de Bronsted-Lowry

Acido

E toda especie quımica (molecula ou ıon) capaz de doar umproton na forma de H+.

Base

E toda especie quımica (molecula ou ıon) capaz de receberum proton na forma de H+.

Exemplos

HCl(Acido) +H2O(Base)H3O

+(Acido) + Cl−(Base) (2.16)

NH3(Acido) +H2O(Base)NH4(Acido) +OH−(Base) (2.17)

Par Conjugado Acido–Base

Chamamos de par conjugado as especies quımicas que di-ferem entre si por um H+. No exemplo (2.16) temos oseguinte par conjugado acido-base:

HCl − (acido forte)(grande facilidade doar eletrons)Cl− − (base fraca)(pequena facilidade de receber eletrons)

Isso explica por que a reacao tende para o sentido direito,ou seja, da esquerda para direita.

Conceito de Lewis

Acido

E toda especie quımica (molecula ou ıon) capaz de aceitarum par de eletrons atraves da ligacao coordenada dativa.

Base

E toda especie quımica (molecula ou ıon) capaz de doar umpar de eletrons atraves da ligacao coordenada dativa.

Exemplo

AlCl3(Acido) + : Cl−(Base)→ AlCl−4

Comparando Coceitos

• Lewis: o mais geral;

• Bronnsted-Lowry: bem amplo;

• Arrhenius: o mais limitado.

• Um acido ou base de Arrhenius sera tambem deBronnsted-Lowry e de Lewis;

• Um acido ou base de Bronnsted-Lowry pode ou nao serde Arrhenius, mas sera de Lewis;

• Existem acidos e bases de Lewis que nao sao deBronnsted-Lowry nem de Arhenius.

Estequiometria

E o calculo da quantidade de reagentes necessarios e de pro-dutos obtidos numa determinada reacao quımica. Baseia-senas Leis de Lavoisier (conservacao das massas), Proust (pro-porcao das massas) e Gay Lussac (proporcao de volumes).

Fundamenta-se no fato de que a prporcao de mols entrereagentes e produtos numa reacao e constante, dada peloscoeficientes estequiometricos.

Outro fundamento do calculo estequiometrico e a definicaode mol.

O mol

• Pesa: MMg (MM=Massa Molecular);

• Possui: 6, 02× 1023 moleculas;

• Ocupa: 22, 4 l (gas nas CNTP).

Exemplo

Dada a reacao de combustao da acetona:

C3H6O → CO2 +H2O


Balanceando a equacao pelo metodo das tentativas, chega-remos aos seguintes coeficientes menores e inteiros:

1 C3H6O (1 mol) + 4 O2 (4 mols)→3 CO2 (3 mols) + 3 H2O (3 mols)

Pense um Pouco!

• O que voce entende por chuva acida? Ela pode trazeralgum malefıcio a vida humana?

• Enumere algumas substancias acidas e basicas de usodiario.


1. Um tanque de automovel esta cheio com 60 litros dealcool hidratado (96% alcool). A densidade e de 0, 9 g/ml.Dada sua equacao de combustao completa

1C2H5OH + 3O2 → 2CO2 + 3H2O

indique:a) a massa da agua obtida ao queimar-se todo o alcool dotanque;b) o volume de gas carbonico que sai do escapamento, su-pondo combustao completa.

2. (ACAFE) Em regioes industriais o anidrido sulfuroso(SO2), resultante da queima de combustıveis fosseis, da ori-gem a chuva acida na atmosfera devido a sua oxidacao econtato com a precipitacao pluviometrica. Em relacao a es-tas regioes, a alternativa falsa e:a) Sao Paulo e Cubatao sao exemplos de cidades onde a in-cidencia de chuvas acidas e bastante acentuada;b) Ocorre uma oxidacao dos portoes de ferro com uma in-tensidade bem maior que em regioes distantes das regioesindustriais;c) As plantacoes sao bastante afetadas, pois a chuva diminuio pH do solo, retardando o crescimento das mesmas;d) A vegetacao pode vir a secar completamente, caso operıodo das chuvas seja prolongado;e) Nao e recomendada a utilizacao de portoes de alumınioporque este e atacado pela chuva acida.

3. (FUVEST) Um elemento metalico M forma um cloretode formula MCl3. A formula de seu sulfato e:a) M2SO4

b) MSO4

c) M2(SO)3

d) M(SO)4

e) M(SO)3


4. (COMVESUMC) O acido que corresponde a classificacaomonoacida, oxiacido, e ternario e:

a) HNO3

b) H2SO4

c) H3PO4

d) HCle) HCNO

5. O amonıaco usado para fins de limpeza e uma solucaoaquosa de amonia que contem ıons:a) hidroxilab) sulfatoc) nitratod) calcioe) sodio

6. Temos a seguinte equacao:

2O3 → 3O2

Os numeros 2 e 3 que aparecem ao lado esquerdo da equacaorepresentam, respectivamente:a) coeficiente estequiometrico e numero de atomos damoleculab) coeficiente estequiometrico e numero de moleculasc) numero de moleculas e coeficiente estequiometricod) numero de atomos da molecula e coeficiente este-quiometricoe) numero de atomos da molecula e numero de moleculas

Quımica A Aula 8

Solucoes Quımicas

Concentracao

Voce ja reparou, por exemplo, que numa dada quantidadede agua podemos dissolver quantidades menores ou maioresde sal comum, desde que evidentemente, nao ultrapassemoso ponto de saturacao.

Pois bem, chama-se concentracao de uma solucao a toda equalquer maneira de expressar a proporcao existente numadada solucao.

Usaremos a seguinte convencao:

ms → massa do soluto

msv → massa do solvente

mt → massa do solucao

onde

mt = ms +msv (2.18)

Tıtulo τ

E o quociente de massa do soluto pela massa total da solucao(soluto + solvente).

T =ms

msv(2.19)

ou


τ =ms

ms +msv(2.20)

sendo o tıtulo uma grandeza adimensional.

Porcentagem em Massa P

E o quociente da massa do soluto (multiplicado por 100)pela massa total da solucao (soluto + solvente).

P =ms

mt× 100% (2.21)

onde a relacao entre porcentagem em massa e tıtulo e

P = τ × 100% (2.22)

Concentracao Comum C

E o quociente da massa do soluto (emgramas), pelo volumeda solucao (emlitros).

C =ms

V(2.23)

onde a relacao entre a concentracao comum, tıtulo e densi-dade da solucao e

C = d · τ · 1000 (2.24)

Onde:

C → Concentracao Comum (g/l)

d→ Densidade (g/ml)

τ → Tıtulo

Molaridade M

Concentracao em Mol/l ou Molaridade M e o quocientedo numero de mols do soluto pelo volume da solucao (emlitros). Sendo:

ns → numero de mols do soluto

d→ massa do soluto (g)

Ms → massa molar do soluto (g)

V → volume da solucao (l)

M → molaridade (mols)

M =nsV

(2.25)

onde

ns =ms

Ms(2.26)

Equivalente-Grama

E a massa molar do soluto dividida pela carga total docation ou do anion de uma substancia.

E =M

x(2.27)

sendo

M → massa molar

x→ carga do ation ou anion

Para um acido: x→ no de H+

Para um base: x→ no de OH−

Numero de Equivalentes-Gramas

Corresponde a massa da amostra pelo equivalente-grama dasubstancia.

NE =ms

E(2.28)

Normalidade

E o numero de equivalentes-gramas do soluto dividido pelovolume da solucao em litros.

N =NEV

(2.29)

Observacao: a melhor maneira de se calcular a normali-dade e a partir da molaridade, usando a expressao:

N = M · x (2.30)

Resumo das Principais Equacoes

Relacoes das Massas

m = m1 +m2

Numero de Mols

n1 =m1

mol1

Densidade

d =m

V

Tıtulo

T =m1

m

Porcentagem em Massa

P = 100 · m1

m

Quımica B – Aula 1 75

Concentracao (g/l)

C =m1

V

Molaridade

M =n1

V

Molalidade (mol/kg) de solvente

W =n1

m2

Concentracao em Equivalentes-Gramas

N =Ne1V

Numero de Equivalentes-Gramas

Ne1 =m

E

Equivalentes-Gramas

E =mol

x

Pense um Pouco!

• Pense em possıveis aplicacoes dos conceitos apresenta-dos ate aqui, referentes a solucoes e cite alguns exem-plos.

• Se fervermos uma solucao de agua+sal, e a agua for eva-porando, o que acontese com as propriedades da solucao(M , τ , P , etc)?


1. (ACAFE) A massa de BaCl2 necessaria para preparar25 litros de solucao 0, 1 M deste sal sera:a) 208 gb) 520 gc) 260 gd) 416 ge) 71 g

2. (ACAFE) A ureia, NH2CONH2, e um produto do me-tabolismo de proteınas. Que massa de ureia e necessariapara preparar 500 ml de uma solucao 0, 20 M?a) 5, 1 gb) 12, 0 gc) 18, 0 gd) 24, 0 ge) 6, 0 g

3. (ACAFE) A concentracao de NaCl na agua do mar e de0, 43 mol/l. O volume em l, de agua do mar que deve ser

evaporado completamente para a producao de 5 kg de salde cozinha e aproximadamente:a) 12 lb) 25 lc) 40 ld) 200 le) 430 l


4. (ACAFE) Para uma solucao a 20 % em massa e densi-dade 4 g/ml, calcule a concentracao em g/l.a) 80 g/lb) 800 g/lc) 8 g/ld) 8000 g/le) 400 g/l

5. (ACAFE) Uma gota de agua ocupa um volume aproxi-mado de 0, 0500 ml. Sabendo-se que a densidade da aguae 1, 00 g/cm3. O numero de moleculas por gota de aguasera:a) 1, 67× 1021

b) 1, 67× 1023

c) 6, 00× 1023

d) 6, 00× 1021

e) 3, 00× 1021

6. Uma solucao de AgNO3 a 1, 00 % em agua e utilizadapara tratar os olhos de recem-nascidos. Sendo a densidadeda solucao 1, 08 g/ml, a sua molaridade em mol/l e:a) 1, 0 mol/lb) 0, 10 mol/lc) 20 mol/ld) 0, 5 mol/le) 0, 06 mol/l

Quımica B Aula 1

O que e Quımica?

Quımica e a ciencia que estuda a natureza da materia, suaspropriedades, suas transformacoes e a energia envolvida nes-ses processos.

A quımica esta presente em toda materia organica einorganica, natural e artificial e tem contato diario e diretocom o homem.


Um Pouco de Historia...

Podemos dizer que tudo comecou com o homem primitivo,quando ele aprendeu a “produzir o fogo”, a coser seus ali-mentos, a fazer tintas para se pintar, a usar plantas comoremedio para suas doencas, etc. No comeco da era crista,surgiram os chamados alquimistas, que sonhavam em des-cobrir o “elixir da longa vida”, aperfeicoaram tecnicas demetalurgia, introduziram a quımica medicinal, sintetiza-ram varias substancias, isolaram outras, alem de terem re-gistrado um grande numero de experimentos em suas ob-servacoes.

A partir do seculo XVII, a ciencia se transforma, tornando-se mais experimental e menos filosofica. Dentre os cien-tistas com essa nova proposta, destacam-se o ingles Ro-bert Boyle(1627-1691)- com seus estudos sobre o comporta-mento dos gases, a distincao entre mistura e “combinacao”,e o frances Antoine Laurent Lavoisier (1743-1794) publi-cou (Tratado elementar de Quımica) que estabeleceu ummarco na quımica moderna, no qual podemos destacar oPrincıpio da Conservacao da Massa, a descoberta do ele-mento oxigenio e sua analise quantitativa da composicao daagua. Por seu trabalho, Lavoisier e considerado o “pai daQuımica”.

A Importancia da Quımica

Podemos dizer que tudo a nossa volta e quımica, pois to-dos os materiais que nos cercam passaram ou passam poralgum tipo de transformacao. A quımica proporciona pro-gresso, desenvolvimento e atraves do uso dela que supri-mos as necessidades: O uso de materiais de limpeza e higi-ene, roupas de fios artificiais, desenvolvimento da industriafarmaceutica, fertilizantes e pesticidas para plantacao, pro-dutos industrializados cuja obtencao depende de trans-formacoes quımicas como plasticos, vidros, tintas, cimentoetc.

Metodo Cientıfico

Desenvolvido por Galileu Galilei o m¯

etodo cientıfico e a basede toda a Ciencia, pois sintetiza o conjunto de atividadesque visam observar, experimentar, explicar e relacionar osfenomenos da natureza, criando leis, teorias e modelos cada

vez mais gerais, que nos permitam prever e controlar osfenomenos futuros.

Observacao → Hipoteses → Experimentacao →Medicao → Leis experimentais → Modelo cientıfico

Fenomenos Quımicos e Fısicos

Fenomeno e qualquer acontecimento da natureza. Quandoocorre um fenomeno, uma transformacao, ha alteracao nosistema do estado inicial ao estado final.

Figura 2.1: O pai da Quımica: Lavoisier (1743-1794)

Fenomeno Fısico

E qualquer transformacao sofrida por um material sem queocorra alteracao de sua constituicao ıntima de seus cons-tituintes. Ex: o amassar do papel, evaporacao da agua,quebra de um objeto.

Fenomeno Quımico

E qualquer transformacao sofrida por um material de modoque haja alteracao na sua constituicao ıntima de seusconstituintes. Ex: oxidacao do ferro (formacao da ferru-gem), apodrecimento de um alimento.

Pense um Pouco!

• Fatos comuns envolvendo materiais e transformacoesquımicas sao de conhecimento recente ou antigo?

• Quais as atividades do seu dia em que a quımica estapresente?



1. (U.E.CE) Assinale a alternativa correta:a) Oxidacao do ferro e um fenomeno fısicob) Fusao do chumbo e um fenomeno quımico.c) Combustao da madeira e um fenomeno quımico.d) Queima do papel e um fenomeno fısico.

2. (UFSC) Indique na relacao abaixo os fenomenos fısicos(F) e os fenomenos quımicos (Q).a) ( ) Queima da gasolina nos motores dos carrosb) ( ) Digestao dos alimentos ingeridosc) ( ) Formacao de ferrugemd) ( ) Quebra de um objetoe) ( ) Enfiar um prego na madeiraf) ( ) Derretimento de um iceberg

3. (UFPR) Aquecer uma barra de ferro ate o ponto de fusao,recolher o lıquido em uma forma esferica, transformando abarra em uma bola de ferro, e exemplo de fenomeno:a) Quımico, pois altera a forma da barra de ferro.b) Fısico, pois a substancia continua sendo ferro.c) Fısico-quımico, pois ha alteracao na forma dasubstancia.d) Nao e exemplo de fenomeno.


4. (F.E.-SP) Sejam os seguintes fenomenos: I. sublimacaoda naftalina, II. formacao da ferrugem, III.queima do alcoolcomum, IV.fusao do gelo. Sao quımicos:a) todosb) nenhumc) somente II e IIId) somente I e IIIe) somente II e IV

5. (MACKENZIE-SP) I. Fusao do gelo, II. Sublimacao doiodo, III. Digestao dos alimentos, IV. Queima de madeira.Sao exemplos de fenomenos:a) I e II quımicosb) I e IV fısicosc) II e III fısicosd) II e IV quımicose) III e IV quımicos

6. (UDESC) Aquecendo uma fita de magnesio ate a com-bustao, notamos o desprendimento de fumaca, restando umpo branco. Isso e exemplo de fenomeno:a) Fısico, pois alterou a estrutura do magnesio.b) Quımico, pois houve a formacao de novas substancias.c) Fısico, pois podemos juntar o po branco e a fumaca, re-cuperando o magnesio.d) Nao e exemplo de fenomeno.

Quımica B Aula 2

Materia e Energia

Materia e tudo aquilo que tem massa e ocupa lugar noespaco, ou seja, tem volume.

Corpo e qualquer porcao limitada da materia. Se umaporcao de materia se presta a um certo uso, ela e chamadade objeto ou sistema.

Durante a queima de uma vela (materia), ela se desgasta,produzindo fumaca (materia: fuligem e gases) e liberandoenergia (luz: energia luminosa; calor: energia calorıfica).

Desse modo, podemos conceituar energia como tudo aquiloque pode modificar a estrutura da materia, provocar ou anu-lar movimentos e, ainda, iluminar aquecer e resfriar pode atecausar sensacoes.

Princıpio da conservacao de materia e energia: A materiae energia nao podem ser criadas nem destruıdas; podemsomente ser transformadas.

Lei da Conservacao da Massa

”A soma das massas dos reagentes e igual a somadas massas dos produtos”.

Ou ainda,

”Na natureza, nada se cria, nada se perde; tudo setransforma”.

Estados da Materia

Existem varios tipos de materia e cada um e chamado desubstancias que podem se apresentar num dos tres estadosfısicos:

Solido (S)

A substancia apresenta forma e volume constantes(partıculas fortemente unidas, bem arrumadas e com mo-vimento vibratorio discreto);

Lıquido (L)

A substancia apresenta forma variavel e volume constante(partıculas levemente unidas, havendo certa liberdade demovimento);

Gasoso (G)

A substancia apresenta forma e volume variados (partıculaslivres umas das outras, havendo total liberdade de movi-mento);


Mudancas de Estado

• Fusao (S → L): a substancia funde a temperatura fixa(ponto de fusao) a uma certa pressao. Ex.: o gelo fundea 0C ao nıvel do mar.

• Solidificacao (L → S): a substancia solidifica a umatemperatura fixa igual ao ponto de fusao, ja que o pro-cesso e inverso ao da fusao. Ex.: o congelamento daagua tambem ocorre a 0C ao nıvel do mar, quando atemperatura esta baixando;

• Vaporizacao (L → G): e a passagem de umasubstancia do estado lıquido para o estado de gas, queocorre quando suas moleculas atingem o seu chamadoponto de ebulicao. Pode ocorrer de tres modos:

1. Evaporacao: ocorre a temperatura ambiente elenta e espontanea (ex: a agua de um lago eva-pora com o calor do sol);

2. Ebulicao: ocorre quando fornecemos calor aolıquido, e rapida e violenta (ex: uma chaleirad’agua fervendo);

3. Calefacao: ocorre quando se borrifa um lıquidonuma chapa aquecida acima do seu ponto deebulicao (ex.: pingar uma gota d’agua numa chapade ferro muito quente).

• Condensacao G → L: a substancia no estado ga-soso e resultado de um lıquido vaporizado que, ao so-frer um resfriamento, retorna ao estado lıquido porcondensacao. (ex: gotıculas de agua se formam natampa de uma chaleira). Outro processo similar e aLiquefacao: e a condensacao de uma substancia queem condicoes ambientes, e um gas que ao comprimi-la(aumentar a pressao) passa para o estado lıquido (ex.:o gas de cozinha e comprinido num botijao e se liquefaz– gas liquefeito de petroleo (GLP)).

• Sublimacao S → G: a substancia passa da formasolida diretamente para o estado gasoso (ex: naftalina,iodo, canfora).

Partıculas e Atomos

Toda a materia conhecida e formada por tres tipos departıculas elementares fundamentais:

• Proton: partıcula massiva que possui uma cargaeletrica elementar positiva (+e) e participa da formacaodo nucleo dos atomos;

• Neutron: partıcula tambem massiva que nao possuicarga eletrica, mas desempenha um importante pa-pel na estrutura e estabilidade interna do nucleo dosatomos, reduzindo a repulsao coulombiana entre osprotons;

• Eletron: partıcula muito leve que possui uma cargaelementar negativa (−e) e circula o nucleo atomico,formando uma especie de nuvem (orbital). No seu mo-vimento ao redor do nucleo, apresenta um “comporta-mento duplo” de partıcula e onda; daı dizer-se que anatureza do eletron e a de uma partıcula-onda.

O princıpio da incerteza, de Heisenberg, diz que:

“E impossıvel se determinar simultanea-mente a posicao e a velocidade de umeletron.”

Com base nesse princıpio, criou-se modernamente aideia de orbital, como sendo a regiao onde ha grandepossibilidade (probabilidade) do eletron ser encontrado.Na pratica, podemos pensar no eletron como uma “nu-vem” que circunda o nucleo.

Elementos e Substancias

Todos as substancias encontradas na natureza sao cons-tituıdas por combinacoes de atomos, que por sua vez, saoas estruturas fısico-quımicas estaveis elementares.

• Elemento quımico: e o conjunto de todos os atomosquimicamente iguais.

• Substancia Simples: sao substancias formadas poratomos de um amesmo mesmo elemento quımico, e quepor acao de agentes fısicos nao se decompoe, e por-tanto, nao forma outras substancias. Exemplos: H, O,O3. Chama-se de alotropia o fenomeno pelo qual umunico elemento quımico forma duas ou mais substanciassimples diferentes. Exemplo: o carbono pode ser encon-trado na natureza em duas formas diferentes: o grafitee o diamante.

• Substancias Compostas: sao formadas por atomosde dois ou mais elementos quımicos diferentes, e quepor acao de agentes fısicos, se decompoem formandoduas ou mais substancias novas. Exemplos: agua +eletricidade → gas oxigenio + gas hidrogenio.

Sistemas e Misturas

Para acilitar o estudo da Quımica definimos:

• Sistema: e uma parte do universo fısico que contem ounao materia, cujas propriedades estao sob investigacoescientıficas.

• Mistura Homogenea: mistura de substancias queapresenta unico aspecto e as mesmas caracterısticas emtoda a sua extensao. A mistura homogenea pode seruma solucao monofasica, por exemplo agua + acucar,ou uma liga metalica, como exemplos temos o latao(cobre (Cu) + zinco (Zn)) ou o bronze (cobre (Cu) +estanho (Sn)).

• Mistura Heterogenea: mistura que apresenta variosaspectos fısicos, sendo possıvel de distinguir seus com-ponentes (polifasica). Exemplo: agua + oleo + areia.

Pense um Pouco!

• O iodo (I) e um solido de cor castanha. Ao ser aque-cido libera vapores violeta, que se transformam em iodosolido ao encontrarem uma superfıcie fria. Explique ede o nome dos fenomenos observados.


• Durante a ebulicao da agua destilada (agua pura) atemperatura nao se modifica, ao passo que, durantea ebulicao da agua do mar, a temperatura continuaaumentando. Pense um pouco e explique esse fato.


1. (UFSC) Materia e tudo que tem massa e ocupa lugar noespaco. Sao exemplos de materia (marque V ou F):a) ( ) pedrab) ( ) madeirac) ( ) corpo humanod) ( ) are) ( ) aguaf) ( ) carro

2. (PUC-SP) O conceito de elemento quımico esta relacio-nado com a ideia de:a) atomob) moleculac) ıond) substancia purae) mistura

3. (UDESC) Assinale a opcao que apresenta apenassubstancia simples:a) H2, Cl2, N2, CH4

b) MgCl2, H2O, H2O2, CCl4c) Na2O, NaCl, H2, O2

d) CCl4, H2O, Cl2, HCle) H2, Cl2, O2, N2


4. (UFMG) Considerando-se completa ausencia de poluicaoentre os materiais citados a seguir, a substancia pura e:a) arb) aguac) madeirad) cinzae) terra

5. (Acafe-SC) A passagem turbulenta de um lıquido para oestado de vapor, com agitacao em toda sua massa lıquida,denomina-se:a) ebulicaob) evaporacaoc) sublimacaod) calefacaoe) irradiacao

6. (UDESC) A liberacao ou consumo de energia:a) So ocorre em transformacoes fısicas.b) So ocorre em transformacoes quımicas.c) Em geral, e menor nos fenomenos fısicos do que nosquımicos.d) Em geral, e maior nos fenomenos fısicos do que nosquımicos.e) Nunca ocorre nas transformacoes materiais.

Quımica B Aula 3

Metais, Semimetais e Ametais

Para distinguir diferentes tipos de atomos usamos:

• Numero Atomico ou Z: e o numero correspondentea carga nuclear, ou seja, o numero de protons (P ) exis-tente no nucleo. Entao: Z = P ;

• Numero de Massa ou A: e o total de protons P e deneutrons N existente no nucleo. Assim: A = P + N .O numero de massa A define em si a massa do atomo,ja que os eletrons possuem uma massa desprezıvel.

Exemplos

1. Hidrogenio (H): Z = 1, A = 1, N = 0;

2. Helio (He): Z = 2, A = 4, N = 2;

3. Uranio (U): Z = 92, A = 238, N = 146.

Considerando um elemento no estado natural, com atomoseletricamente neutros, temos:

Node protons = Z

Node eletrons = Z

Node neutros = A− Z

Para um atomo de elementoX qualquer representamos, usa-mos a seguinte notacao:

ZXA

para representar o seu numero atomico e sua massa atomica.Exemplo: para um atomo de ferro temos 26Fe

56.

Isotopos e Isobaros

• Isotopos: sao atomos com mesmo numero de protons(Z) e diferente do numero de massa (A); apresentampropriedades quımicas iguais e fısicas diferentes.

Exemplo

O hidrogenio (H) possui tres isotopos conhecidos:

1. o hidrogenio comum (protio): 1H1, com N = 0 e

Z = 1;

2. o deuterio: 1H2, com N = 1 e Z = 1;

3. o trıtio: 1H1, com N = 2 e Z = 1;


Figura 2.1: Alumınio metalico comum.

• I¯sobaros: sao atomos de diferentes numeros de

protons (elementos diferentes), mas que possuem omesmo numero de massa (A); apresentam proprieda-des quımicas e fısicas diferentes;

Exemplo

Alguns isotopos do Calcio e do Argonio possuem omesmo numero de massa A = 40: 20Ca

40 e 19Ar40

• Isotonos: sao atomos que possuem o mesmo numerode neutrons (elementos diferentes), apresentando A e Zdiferentes; apresentam propriedades quımicas e fısicasdiferentes;

Exemplo

Boro e Carbono: 5B11 (N = 6) e 6C

12 (N = 6)

Classificacao dos Elementos

Dobereiner, em 1817, demonstrou a existencia de Trıades deelementos com propriedades quımicas semelhantes, onde opeso atamico de um elemento era aproximadamente a mediaaritmetica dos pesos atomicos dos outros dois. Ex: cloro,bromo e iodo.

Newlands, em 1863, dividiu os elementos de ordem crescentede pesos atomicos, em grupos de sete, analogo as oitavasmusicais, logo, esta ideia foi abandonada.

Dmitri Mendeleyev, em 1869, propos uma tabela muito se-melhante a atual, mas que apresentava os elementos dispos-tos em ordem crescente de pesos atomicos, essa classificacaodefiniu seis elementos desconhecidos.

Moseley, em 1913, verificou que os elementos quımicos naTabela Periodica deveriam obedecer a uma ordem crescentede numero atomico, e chegou-se ate a tabela atual;

Na tabela atual alem de os elementos serem colocados emordem crescente de numero atomico, observa-se a seguintedisposicao (veja Apendice):

• Perıodos ou Series: sao as filas horizontais emnumero de 7 e indicam os nıveis ( K, L, M, N, O, P, Q );elementos do mesmo perıodo apresentam propriedadesquımicas diferentes.

• Famılias: sao as colunas verticais da tabela, elementosda mesma famılia apresentam propriedades quımicassemelhantes.

Algumas famılias importantes:

– Metal: possui de 1 a tres eletrons na camada ex-terna;

– Nao-metal: possui de 5 a 7 eletrons na camadaexterna;

– Elementos Representativos: apresentam subnıveismais energeticos s e p, famılia A e gases nobrescom 1 A, 2 A, 13 A a 18A;

– Elementos de Transicao: apresentam subnıvelmais energetico d nas famılias 3B ate 12B;

– Elementos de Transicao Interna: apresentamsubnıvel mais energetico f . Os lantanıdios e ac-tinıdios;

Figura 2.2: O lıtio, metal da famılia 1A.

Ions e Valencia

Quando um atomo esta com falta ou excesso de eletrons,sua carga lıquida nao e mais zero, e o chamamos de ıon:

• Cation: ıon positivo ou atomo que perdeu um ou maiseletrons;

• Anion: ıon negativo ou atomo que ganhou um ou maiseletrons;

A valencia de um atomo ionizado (ıon) e definida pelonumero de eletrons removidos ou adicionados ao atomo(ıon).

• monovalente: ıon com excesso (ou falta) de um eletron;

• bivalente: ıon com excesso (ou falta) de dois eletrons;

• trivalente: ıon com excesso (ou falta) de tres eletrons;

• tetravalente: ıon com excesso (ou falta) de quatroeletrons;

• . . .


Exemplos

• Ca+ e um cation monovalente de calcio.

• Fe−2 e um anion bivalente do ferro.

• K+3 e um cation trivalente do potassio.

Propriedades Periodicas

Sao as propriedades que dependem da posicao do atomona tabela periodica, e que variam suavemente entre atomosvizinhos.

Exemplos

Pense um Pouco!

• O que ocorre quando um eletron de um atomo e cap-turado por outro atomo diferente?

• Seria possıvel produzirmos agua (H2O) com deuterioou trıtio? Ela teria um gosto diferente? O que seriadiferente nessa nova agua?

• O numero atomico de um atomo ne nitrogenio e 7 e seunumero de massa e 14. Qual e o numero de protons, deeletrons e neutrons desse atomo neutro?


1. (UDESC) Um determinado atomo apresenta 16 protons,16 eletrons e 16 neutrons; outro atomo apresenta 16 protons,16 eletrons e 17 neutrons.”Sobre eles, sao feitas as seguintesafirmativas:I - Os atomos sao isotonos.II - Os atomos sao isobaros.III - Os atomos sao isotopos.IV. - Os atomos tem o mesmo numero atomico.V - Os atomos pertencem elementos quımicos diferentes.Em relacao as afirmacoes acima, podemos dizer que sao cor-retas apenas:a) I e Vb) II e IIIc) III e IVd) I e IVe) II e V

2. (UFSC) Um determinado atomo apresenta 20 protons,20 neutrons e 20 eletrons; outro, apresenta 20 protons, 21neutrons e 20 eletrons. Marque V ou F:a) ( ) Pertencem a elementos quımicos diferentes.b) ( ) Sao isobarosc) ( ) Sao isotoposd) ( ) Tem o mesmo numero atomicoe) ( ) O numero de massa de ambos e de 41

3. (Acafe-SC) Os pares de atomos C12 e C13; K40 e Ar40;Ca40 e Ar38 representam, respectivamente, a ocorrencia de:a) Isotonia, isotopia, isobaria.

b) Isotopia, isobaria, isotonia.c) Isobaria, isotopia, isotonia.d) Isotopia, isotonia, isobaria.e) isobaria, isotonia, isotopia.


4. (UNIFOR) O atomo desconhecido 17X37 tem igual

numero de neutrons que o atomo de calcio 20Ca. O numerode massa A do atomo de Ca e igual a:a) 10b) 17c) 20d) 37e) 40

5. (CESGRANRIO) Um certo atomo X e isobaro do Ca40

e isotopo do 18Ar36. O numero de neutrons do atomo X e:

a) 4b) 18c) 22d) 36e) 40

6. (FEI-SP) Um cation metalico trivalente tem 76 eletronse 118 neutrons. O atomo de elemento quımico do qual seoriginou tem numero atomico e numero de massa, respecti-vamente:a) 76 e 194b) 76 e 197c) 79 e 200d) 79 e 194e) 79 e 197

Quımica B Aula 4

Propriedades Periodicas

A Tabela Periodica foi elaborada com base nas propriedadesquımicpas e fısicas dos elementos, analisando-a, podemosobter informacoes sobre eles, chegando-se assim a propri-edades importantes dos perıodos e famılias (ou grupos)quımicos:

Tamanho do Atomo

Os fatores determinantes do tamanho de ump atomo sao onumeros de camadas eletronicas (Z) e carga nuclear (P ).

Nas famılias: a medida que o Z aumenta, o numero decamadas aumenta, o que leva ao aumento do tamanho doatomo (de cima para baixo);

Nos perıodos: a medida que o Z aumenta, o numerode camadas permanece igual, mas a carga nuclear au-menta, Z aumenta, a atracao do nucleo sobre os eletronsperifericos tambem aumenta, resultando atomos menores.


Figura 2.1: A Tabela Periodica.

Num perıodo, o tamanho do atomo aumenta da direita paraa esquerda.

Potencial de Ionizacao

E a medida de energia fornecida a um atomo isolado noestado gasoso para retirar ou desprender um eletron, for-mando um ıon gasoso positivo(cation). Quanto maior o ta-manho do atomo, menor energia de ionizacao (Ei), numafamılia a (Ei) aumenta debaixo para cima. Nos perıodos(Ei) aumenta da esquerda para direita.

Figura 2.2: Aumento da energia de ionizacao dos atomos.

Exemplo

Considere uma amostra de sodio gasoso (P = 11, Z = 11):

Na(g) + Ei = +119 kcal/mol→ Na+(g) + e−(g)

Neste caso, a energia de ionizacao (Ei) do sodio e de119 kcal/mol, e o sinal positivo indica que a energia deveser absorvida.

Eletroafinidade

E a medida de energia liberada por um atomo isolado noestado gasoso ao receber um eletron, formando o ıon gasosonegativo(anion).

Exemplo

Ionizacao do cloro (Cl):

Cl(g) + e− → Cl−(g) + 83, 3Kcal/mol

e nesnte caso a energia e liberada na reacao.

Nas famılias a eletroafinidade aumenta debaixo para cima;e nos perıodos aumenta da esquerda para direita.

Eletronegatividade

Propriedade que o atomo apresenta maior ou menortendencia de atrair eletrons para si, resultando da acao con-junta da (Ei) e da eletroafinidade, ou seja, compara a forcade atracao exercida pelo atomo sobre seus eletrons.

Figura 2.3: Aumento da eletroafinidade dos atomos.

Nas famılias aumenta debaixo para cima e nos perıodos au-menta da esquerda para direita.

Reatividade Quımica

Esta relacionada com o carater metalico ou nao-metalico deum elemento, quanto maior a capacidade de perder eletronsmais metalico e o elemento.

Quanto maior o tamanho do atomo menor o potencial deionizacao (Ei) e menor a eletronegatividade = maior caratermetalico = maior reatividade quımica do metal.

Quanto menor o tamanho do atomo maior a eletroafinidade,maior a eletronegatividade e maior carater nao-metalico =maior a reatividade quımica do nao-metal.


Figura 2.4: Aumento da Reatividade quımica.

Densidade (ρ)

A densidade ou massa especıfica de um corpo e a razao entresua massa m e seu volume V , ou seja,

ρ =m

V

e sera medida em kg/m3 no SI, ou tambem em g/cm3.Exemplo: a densidade do alumınio (Al) e ρAl =2, 700 g/cm3 = 2.700 kg/m3.

Figura 2.5: Aumento da densidade dos atomos.

Nas famılias aumenta de cima para baixo, e nos perıodosaumenta das laterais para o centro.

Volume Atomico v

Mede o volume molar especıfico do material solido, e estarelacionado com a estrutura cristalina do elemento (distri-buicao dos atomos no espaco):

v =massa molar

densidade=M

ρ.

Nas famılias o volume atomico aumenta de cima para baixo,e nos perıodos aumenta do centro para as laterais.

Figura 2.6: Aumento do volume atomico dos atomos.

Ponto de Fusao (PF )

E a temperatura em que um solido passa do estado solidopara o estado lıquido.

Figura 2.7: Aumento do Ponto de Fusao (PF ).

Nas famılias, o PF aumenta de cima para baixo, exceto em1(1A) e 2(2A), que e o contrario; nos perıodos, aumenta daslaterais para o centro.

Pense um Pouco!

• Dentre as propriedades periodicas estudadas, quais saofısicas e quais sao quımicas?

• Qual o elemento mais denso que voce ja viu? Consulte atabela periodica do Apendice e verifique se existe algumelemento ainda mais denso.

• Cite exemplos de semi-metais e nao-metais conhecidos.


1. (UDESC) Observe os elementos representados na TabelaPeriodica e julgue os itens (V = verdadeiro e F = falso), naordem:I - A eletronegatividade dos elementos boro(B) , carbono


(C), nitrogenio (N), oxigenio (O) e fluor(F ) diminui da di-reita para a esquerda.II - O elemento de menor eletropositividade e o cesio (Cs).III - Dentre os elementos conhecidos, o boro (B) e o unicosemimetal.IV - A energia de ionizacao do criptonio (Kr) e maior quea do potassio (K).V - O raio atomico do magnesio (Mg) e maior que o desodio (Na) porque ele possui um eletron a mais.Assinale a alternativa que julga corretamente os itens acima,na sequencia de I a V.a) F, V, V, F, Fb) F, V, F, F, Vc) F, F, F, V, Fd) V, F, F, V, Fe) V, V, F, F, V

2. (UFSC) Sobre os elementos Na, Mg e Al, podem serfeitas as afirmacoes:I - Na+, Mg++ e Al+++ possuem o mesmo numero deeletrons.II - A ordem decrescente de eletronegatividade destes ele-mentos e Na, Mg e Al.III - Mg++ e Al+++ possuem o mesmo numero de protons.IV - A ordem crescente de reatividade com o H2O e: Al,Mg e Na.A opcao que contem apenas afirmacoes corretas e:a) I e IVb) I e IIIc) II e IVd) III e IVe) II e III

3. Na reacao F (g) + e−(g) → F−(g) + 402 kcal/mol, amedida de energia 402 quilocalorias por mol representa:a) a eletronegatividade do fluorb) a eletropositividade do fluorc) o potencial de ionizacao do fluord) a eletroafinidade do fluore) a polaridade do fluor


4. Para que o ıon 7N−3 se transforme no atomo neutro de

nitrogenio, ele deve:a) receber 3 protonsb) perder 3 eletronsc) receber 3 eletronsd) perder 7 protonse) receber 7 eletrons

5. Para que um atomo neutro de calcio se transforme noıon Ca+2, ele deve:a) perder 2 protonsb) receber 2 eletronsc) perder 2 eletronsd) receber 2 protonse) perder 1 proton

Quımica B Aula 5

Ligacoes Quımicas

Compostos Ionicos e Moleculares

A uniao de atomos formam diversas substancias, essa uniao(ligacao quımica) pode ocorrer de tres formas:

1. ligacao ionica;

2. ligacao covalente simples e dativa;

3. ligacao metalica.

Os gases nobres sao elementos estaveis, pois apresentam oitoeletrons na sua camada de valencia, excecao do gas helio.

Estabilidade Eletronica

Oito eletrons na camada de valencia.

Ligacao Ionica

Ocorre entre metal que tem tendencia de perder eletron,com nao-metal, que tem tendencia de receber eletron, for-mando ıons de cargas contrarias, que se atraem mutua-mente.

Exemplos

Fazer o esquema de Lewis:

Na+Cl− :

K+ + Cl− :

Ion Formula

Conhecendo as valencias dos elementos cujos atomos vao seligar para formar um composto ionico, podemos calcular aıon formula:

20Ca = 1s22s22p63s23p64s2 perde 2e−

15P = 1s22s22p63s23p3 ganha 3e−

Escrevemos os sımbolos na ordem crescente de eletronega-tividade, de modo que o ındice corresponda a valencia dooutro (regra de 3):

Ca→ valencia 2 + P → valencia 3 = Ca3P2

Ligacao Covalente Simples

Ocorre entre nao-metais, e entre nao-metal e hidrogenio, eseu princıpio e o compartilhamento de eletrons.

O conjunto estavel de atomos ligados entre sı apenas porligacoes covalentes, ou seja por pares eletronicos, recebe onome de molecula.


Exemplos

Cl + Cl→ Cl2

H + Cl→ HCl

H +O → HO

O +O → O2

Formula eletronica:

Formula Estrutural Plana:

Formula Molecular:

Ligacao Covalente Dativa

So ocorre se o atomo que vai contribuir com o par deeletrons estiver estabilizado pela covalente simples e tiverpares eletronicos disponıveis:

Exemplos

HNO3

H2SO4

H3PO4

Ligacao Covalente Apolar

Ocorre entre ametais de mesmo elemento quımico (soluveisem agua) (mesma eletronegatividade). Por exemplo: H−H.

Ligacao Covalente Polar

Ocorre entre ametais de elementos diferentes (insoluveis emagua) (eletronegatividade diferentes). Exemplo: moleculaHCl, pois o cloro e mais eletronegativo que o hidrogenio,ou seja, apresenta maior capacidade de atrair eletrons; por-tanto o par de eletrons da ligacao e atraıdo por ele, criando-se nesse extremo uma maior densidade eletronica. Assim,surgem polos distintos (representado pela letra δ), formandouma ligacao covalente polar: δ+HClδ−.

Pense um Pouco!

• Analisando a variacao da eletronegatividade na tabelaperiodica, indique a ligacao menos polar e a mais polar:

H – O :

H – H :

H – I :

H – P :

H – N :

H – F :


1. (UFSC) Considerando-se a ligacao quımica entreoxigenio e o alumınio, sob a luz da teoria do octeto, para aformacao do oxido de alumınio, e correto afirmar (some osnumeros correspondentes as alternativas corretas):01. Cada atomo de alumınio, perdera 3 eletrons;02. O Oxigenio sera o anion, com carga negativa igual atres para cada atomo;04. O envolvidos dois atomos de alumınio na ligacao;08. Cada atomo de oxigenio recebera dois eletrons;16. O numero de cargas positivas, por formula, sera seis.32. A configuracao eletronica do Al+3 sera 1s2 2s2 2p6.64. A formula mınima do oxido de alumınio contera quatroatomos no total.

2. (UniRio-RJ) Atomos de um elemento X (numero atomico20) e de outro elemento Y (numero atomico 7) unem-se porligacoes ionicas, originando o composto de formula:a) XYb) X2Yc) X3Y2

d) X2Y3

e) X3Y4

3. (Acafe-SC) A forca de atracao entre ıons positivos enegativos caracteriza a ligacao:a) coordenadab) covalentec) metalicad) dativae) ionica


4. (Supra-SC) No cloreto de magnesio, a uniao entremagnesio e cloro ocorre atraves de ligacao:a) molecularb) covalentec) metalicad) ionicae) dativa

5. (UFRGS) O conceito de ligacao covalente se refere aideia de:a) atracao eletrostaticab) par ionicoc) atracao intermoleculard) eletrons livrese) emparelhamento de eletrons

6. (Supra-SC) Entre os atomos dos compostos KBr, NH3,e HCN , as ligacoes quımicas predominantes sao, respecti-vamente:a) covalente, ionica, ionicab) covalente, ionica, covalentec) covalente, covalente, ionicad) Ionica, ionica, covalentee) Ionica, covalente, covalente


Quımica B Aula 6

Ligacoes Quımicas

Geometria Molecular

Teoria da Repulsao dos pares eletronicos, desenvolvida nadecada 1960:

“Os pares de eletrons ao redor do atomo centraldistribuem-se no espaco de tal forma que a repulsaoentre eles e a menor possıvel, garantindo maior es-tabilidade”.

Os pares de eletrons podem ou nao fazer parte de ligacoes.Quando os eletrons sao ligantes, os pares podem constituirligacoes simples, duplas, triplas ou dativas.

As posicoes relativas dos atomos ligantes sao dadaspela disposicao de todos os pares de eletrons, masa geometria da molecula e considerada apenas pelaposicao relativa de seus nucleos.

Exemplos

Figura 2.1: O gas carbonico (CO2) apresenta geometria mo-lecular linear, distribuicao espacial dos pares eletronicos elinear e possui 2 atomos ao ligados ao atomo central.

Forcas Intermoleculares

As substancias moleculares podem ser encontradas nos tresestados fısicos, o que nos leva a concluir que, entre asmoleculas, existem forcas de atracao de diferentes intensida-des. A essas forcas damos o nome de forcas intermoleculares,elas podem ser de dois tipos:

• forcas de Van der Waals

• pontes de hidrogenio

Figura 2.2: O composto SO3 apresenta geometria moleculare trigonal plana, a distribuicao espacial dos pares eletronicosforma um triangulo equilatero e possui 3 atomos ligados aoatomo central.

Forcas de Van der Waals

Sao forcas de fraca intensidade que se classificam em dipolo–dipolo e dipolo instantaneo–dipolo induzido.

A polaridade da ligacao apresenta uma direcao, um sentidoe uma intensidade, podendo ser representada por um vetor(~p : vetor momento dipolo), este vetor se orienta sempre nosentido do polo negativo para o positivo. Para moleculascom mais de dois atomos, conhecendo-se a geometria mole-cular, e possıvel determinar se a molecula apresenta dipolo,ou seja, se na molecula ha distribuicao desigual de carga ne-gativa e positiva. Essa determinacao e feita levando-se emconta os vetores momento de cada ligacao. Conforme te-nham ou nao dipolo eletrico, as moleculas sao classificadasem polares ou apolares, respectivamente.

Exemplos

CO2 e apolar (~p = ~0). Veja a simetria da molecula na Fig.2.1.

H2O e polar (~p 6= ~0). Veja a assimetria da molecula naFig. 2.3.

Forcas de Van der Waals dipolo–dipolo

Este tipo de interacao ocorre entre moleculas polares.

Exemplo

A molecula δ+HClδ−.

A formacao do dipolo ocorre devido a diferenca de eletro-negatividade entre o hidrogenio e o cloro. A extremidadenegativa de uma molecula atrai a extremidade positiva damolecula vizinha. Esse tipo de atracao e o mesmo que ocorrena ligacao iomica, mas com intensidade bem menor.

Forcas de Van der Waals dipolo instaneo–dipolo in-duzido

Sao forcas de atracao que aparecem nas substancias forma-das por moleculas apolares, no estado solido ou lıquido. Anuvem eletronica nas moleculas apolares e uniforme, nao


Figura 2.3: A agua (H2O) apresenta geometria molecu-lar angular, mas a distribuicao dos pares de eletrons e te-traedrica e possui 2 atomos ligados ao atomo central.

aparecendo cargas. Essa nuvem pode sofrer deformacao poracao externa, ou flutuacoes estatısticas (colisoes), ou como aumento da pressao e diminuicao de temperatura, provo-cando, entao, uma distribuicao desigual de cargas, o que fazcom que surja um dipolo temporario. O dipolo instantaneoinduz a polarizacao da molecula vizinha, resultando umaacao fraca entre elas. Esse tipo de interacao tambem e cha-mado de forca de London, em homenagem ao cientistaFritz London (1900-1957), que elaborou todo o desenvolvi-mento teorico.

Pontes de Hidrogenio

As pontes de hidrogenio sao casos particulares da interacaodipolo-dipolo, em que o dipolo molecular e fixo e de grandeintensidade. Esse fenomeno ocorre quando o hidrogenio estaligado a um dos tres elementos mais eletronegativos – fluor,oxigenio e nitrogenio – pois a diferenca de eletronegativi-dade entre o hidrogenio e esses elementos e muito grande.

Exemplo

A agua H2O e uma molecula muito polarizada (polar) e aspontes de hidrogenio produzem forca suficiente para manteras moleculas unidas no estado lıquido. Veja a Fig. 2.3.

Para Aprender Mais!

Tensao superficial e uma propriedade que faz com que umasuperfıcie lıquida se comporte como uma pelıcula elastica.Esta propriedade ocorre com todos os lıquidos e e observadacom maior intensidade na agua. As moleculas no interiordo lıquido mantem-se unidas pelas forcas de atracao, queocorrem em todas as direcoes. As moleculas da superfıcie,no entanto, sofrem apenas atracao lateral e inferior, quegeram a tensao superficial, criando uma pelıcula elastica.Quanto mais intensas as forcas de atracao, maior sera atensao superficial.

Voce Sabia?

Os icebergs sao massa de gelo flutuante que geralmente se

Figura 2.4: O metano (CH4) apresenta geometria moleculartetraedrica e distribuicao dos pares eletronicos tambem etetraedrica e possui 4 atomos ligados ao atomo central

Figura 2.5: O PCl5 apresenta geometria molecular bi-piramide trigonal e possui 5 atomos ligantes.

desprende numa geleira polar e, portanto, sao constituıdospor agua doce. Eles flutuam por que a densidade da aguasolida e menor do que a da agua lıquida. Na agua lıquida,as moleculas estao unidas por pontes de hidrogenio e dis-postas de forma menos organizada do que no estado solido.Neste estado, a organizacao e maior, formando estruturashexagonais tridimensionais, mais espacadas, que diminuema densidade, permitindo assim que o gelo flutue sobre aagua. Esta propriedade explica tambem a quebra de gar-rafa de bebidas esquecidas no congelador.

Forcas Intermoleculares e Ponto de Ebulicao

: O importante fator que influencia o ponto de ebulicaode uma substancia e o tamanho da molecula, pois quantomaior a molecula, mais facil a ocorrencia de distorcao danuvem eletronica; consequentemente, mais facil a formacaode polos, ou seja, a medida que o tamanho da molecula au-menta (aumento da massa molecular), o ponto de ebulicao


tambem deve aumentar. OBS: Na passagem do estado li-quido para o gasoso ocorre uma separacao das moleculas as-sim, quanto maior a atracao entre as moleculas no liquido,maior sera o ponto de ebulicao. Quanto maior a moleculamais facil e a formacao de polos.

Pense um Pouco!

• Quando se ferve a agua, qual o tipo de ligacao e rom-pida na mudanca de estado?

• Temos duas substancias, HX e HY. O que podemosdizer com relacao ao ponto de ebulicao (PE) dessassubstancias, sabendo que em HX ocorrem forcas de Vander Waals e em HY ocorrem pontes de hidrogenio?


1. Qual dessas ligacoes e mais fraca?a) eletrovalenteb) covalentec) ponte de hidrogeniod) Van der Waalse) ionica

2. (Acafe-SC) Cada molecula de agua e capaz de efetuar,no maximo:a) 5 pontes de hidrogenio.b) 2 pontes de hidrogenio.c) 4 pontes de hidrogenio.d) 1 pontes de hidrogenio.e) 3 pontes de hidrogenio.

3. (UFSM-RS) Dentre os compostos abaixo:I. H3C–CH2–O–CH3

II. H3C–CH2–NH2

III. H3C–CH2–OHApresentam pontes de Hidrogenio entre suas moleculas:a) apenas Ib) apenas IIc) apenas I e IIId) apenas II e IIIe) I, II e III


4. (UEFS - BA) Por acao de energia, o hidrogeniodoatomico se dissocia de acordo com a equacao: H–H(g)→2H(g). Nesta dissociacao, ocorre rompimento de ligacaoquımica do tipo:a) ponte de hidrogenio.b) de Van der Waals.c) metalicad) ionicae) covalente

5. (ITA-SP) Os hidretos do tipo H2X dos elementos dafamılia do oxigenio sao todos gasosos em condicoes ambien-tais, com excecao do hidreto de oxigenio. Esta situacao e

consequencia:a) da baixa massa molecular da aguab) das ligacoes covalentesc) das pontes de hidrogenio entre as moleculasd) do fato de o oxigenio ter o maior raio atomico dessafamıliae) do fato de que o gelo e menos denso que a agua lıquida

6. Dentre as seguintes substancias, qual apresenta pontesde hidrogenio entre as moleculas?a) metano (CH4)b) cloroformio (CHCl3)c) benzeno (C6H6).d) Eter-etılico (H2C2–O–C2H5)e) Agua (H2O)

Quımica B Aula 7

Equacoes e Reacoes Quımicas

Uma reacao quımica e representada pela equacao geral

c1R1 + c2R2 + . . .+ cnRn → c′1P1 + c′2P2 + . . .+ c′mPm

onde n reagentes R1, R2,. . .,Rn foram usados para formaros m produtos P1, P2,. . .,Pm. Os coeficientes ci indicam onumero de moleculas de cada reagente utilizado na reacao,e os coeficientes c′j, o numero de moleculas de cada pro-duto resultante da reacao. Em ambos os casos, se utilizamcoeficientes inteiros.

Como cada molecula, de reagente ou produto, pode contervarios atomos de diferentes elementos quımicos, o numerototal de atomos de cada especie quımica deve ser o mesmoem ambos os lados da equacao acima, e chamamos de ba-lanceamento quımico o calculo dos menores coeficientesci e c′j para que essa igualdade seja satisfeita.

Exemplos

A sıntese (formacao) da agua e descrita pela equacao

2H2(g) (reagente) +O2(g) (reagente) → 2H2O(l) (produto)

onde a proporcao da reacao de sıntese da agua e 2:1:2, o quesignifica que, para cada duas moleculas de H2O formadas,reagiram duas moleculas H2 e uma molecula de O2. Cadareacao tem a sua proporcao, que, como vimos pela lei dasProporcoes Constantes.

Determinacao dos Coeficientes

Na reacao de combustao:

C2H6O +O2 → CO2 +H2O

observamos primeiro a quantidade de atomos de hidrogenio.No primeiro membro, existem seis (C2H6O), e no segundo,


dois (H2O). Para igualar o numero de atomos, fazemos atransposicao dos ındices, obtendo:

2C2H6O +O2 → CO2 + 6H2O

Vamos agora acertar a quantidade de atomos de car-bono. No primeiro membro existem agora quatro carbonos(2C2H6O); no segundo, um (CO2). Entao, devemos multi-plicar CO2, no lado direito da equacao, por 4.

2C2H6O +O2 → 4CO2 + 6H2O

Finalmente, acertamos a quantidade de atomos de oxigenio.No segundo membro, ja acertado, existem quatorze atomosde oxigenio (4CO2 e 6H2O), e no primeiro, quatro (2C2H6Oe O2). Entao o coeficiente da molecula O2 sera 6, para seobter 12 atomos que, com outros dois perfazem os quatorze:

2C2H6O + 6O2 → 4CO2 + 6H2O

Observe que em ambos os lados da reacao (reagentes e pro-dutos) temos um total de 4 atomos de C, 12 atomos de H e14 atomos de O. Como todos os coeficientes sao multiplosde 2, entao podemos reduzı-los, dividindo-os por 2:

C2H6O + 3O2 → 2CO2 + 3H2O

e obtemos os menores coeficientes para o balanco quımicoda reacao dada.

Dicas

Algumas consideracao para o balanceamento de umaequacao quımica:

1. Deve-se comecar o acerto dos coeficientes pelo elementoque aparece uma unica vez nos dois membros;

2. Se os ındices do elemento escolhido forem multiplos, asimplificacao pode ser feita antes da transposicao;

3. As formulas das substancias nao podem ser modifica-das; por isso, nunca coloque numeros entre os sımbolosde uma mesma formula.

Tipos de Reacoes

Quanto ao Calor

Quanto ao envolvimento (absorcao ou liberacao) de calor:

Reacoes Endotermicas

Veja que endo=para dentro e termica = calor. E toda reacaoquımica em que ocorre com absorcao de calor.

Por exemplo, a decomposicao do calcareo:

CaCO3@ >> ∆ > CaO + CO2

onde ∆ indica que ha a necessidade de aquecimento dosreagentes para que ocorra a reacao quımica.

Reacoes Exotermicas

Observe que exo=para fora e termica = calor.

E toda reacao quımica em que ocorre com liberacao decalor.

Por exemplo, temos a combustao do hidrogenio:

2H2 +O2 → 2H2O + calor

Quanto a Velocidade

Reacoes Rapidas

As que ocorrem rapidamente e de forma explosiva, porexemplo, a combustao (queima) do alcool etılico:

C2H6O + 3O2 → 2CO2 + 3H2O + calor

Reacoes Lentas

Ocorrem devagar, por exemplo, a formacao da ferrugem(oxidaxao do ferro):

4Fe+ 3O2 → 2Fe2O3 + calor

Quanto a Reversibilidade

Reacoes Reversıveis

Ocorrem simultaneamente nos dois sentidos (indicado peladupla seta):

CaO + CO2 CaCO3

Reacoes Irreversıveis

Reacoes que ocorrem num so sentido.

Por exemplo:

NaCl +AgNO3 → AgCl +NaNO3

Quanto aos Reagentes e Produtos

Sıntese ou Adicao

Reacao entre duas ou mais substancias (simples ou com-posta) que originam uma unica substancia composta:

2CO +O2→ 2CO2

neste caso a reacao e do tipo

composta+ simples→ composta

.

Analise ou Decomposicao

Reacao em que uma unica substancia composta se desdobraem outras substancias simples ou compostas:

2HCl→ H2 + Cl2

Dupla Troca

Reacao em que as duas substancias compostas produzemduas outras substancias compostas (o nome resulta no fatode as substancias permutarem entre si parte de suas estru-turas):

HCl +NaOH → NaCl +H2O


ou

NaCl +AgNO3→ AgCl +NaNO3

Deslocamento ou Simples Troca

Reacao em que uma substancia simples reage com outracomposta, produzindo outra substancia composta e outrasimples:

Fe+ CuSO4 → FeSO4 + Cu

Para Saber Mais!

O oxigenio e o hidrogenio liquefeitos sao os combustıveislıquidos mais comuns, usados para impulsionar os foguetespela expulsao dos gases de combustao, gerados pela reacaode sıntese:

2H2 +O2→ 2H2O

nos motores de combustıvel lıquido, tambem usados naoperacao de mısseis, o combustıvel e o comburente de-vem ser armazenados isoladamente e a reacao so ocorre nacamara de combustao, o que torna esses motores bastantecomplexos.

Voce Sabia?

Para combater a acidez estomacal, causada pelo sucogastrico existente (HCl ou acido clorıdrico) que em ex-cesso so causa azia. O uso de leite de magnesia, uma sus-pensao de hidroxido de magnesio, ou medicamentos a basede hidroxido de alumınio, diminuem a acidez, aliviando aazia. As reacoes que ocorrem sao:

Mg(OH)2 + 2HCl→MgCl2 + 2H2O

Al(OH)3 + 3HCl→ AlCl3 + 3H2O

Tambem pode-se usar o bicarbonato de sodio:

NaHCO3 +HCl→ NaCl +H2O + CO2

Pense um Pouco!

• Explique porque o bicarbonato de amonio misturadoem uma massa de bolo, ao ser aquecido, faz a massa dobolo crescer deixando o bolo fofo? Que tipo de reacaoocorre ? Faca a reacao.


1. Considere as seguintes reacoes do metano:I. CH4 +2O2 → CO2 +2H2O com ∆H = −212, 8 kcal/molII. CH4 +H2O → CO + 3H2 com ∆H = −49, 3kcal/molIII.CH4 + CO2→ 2CO + 2H2 com ∆H = −59kcal/molIV. CH4 + 1

2O2 → CO + 2H2 com ∆H = −8, 5kcal/molPode-se afirmar que a reacao:a) I e endotermicab) II libera mais calor do que a Ic) III e espontanea

d) III libera menos calor do que IVe) IV absorve calor para ocorrer

2. (Unisinos-RS) Considerando a equacao termoquımicaabaixo representada, S(s) + 3

2O2(g) → SO3(g) com ∆H =−94, 4kcal/mol. Podemos afirmar que, na formacao de200 g de trioxido de enxofre:a) Ocorre a liberacao de 94, 4 kcal, uma vez que a reacao eexotermicab) Ocorre a absorcao de 94, 4 kcal, uma vez que a reacao eendotermicac) Ocorre a liberacao de 169, 5 kcal, uma vez que a reacaoe exotermicad) Ocorre a absorcao de 236 kcal, uma vez que a reacao eendotermicae) Ocorre a liberacao de 236 kcal, uma vez que a reacao eexotermica

3. Dadas as equacoes das reacoes:I. H2SO4 +H2O → H3O +HSO−4 + calorII. C2H5OH + 3O2 → 2CO2 + 3H2O + calorIII. NH4Cl(s) +H2O(l) + calor → NH+

4 (aq) + Cl−(aq)IV. C2H2 + 3

22O2 → CO2 +H2O + C + calorV. 2Fe2O3 + 3C + calor → 4Fe+ 3CO2

Consideram-se as reacoes endotermicas:a) III e Vb) I , II e IVc) II, III e Vd) I, III e IVe) II e III


4. A analise da reacaoH2(g) + 1

2O2(g)→ H2O(l) + 68 kcalpermite concluir que:a) a reacao e endotermicab) a reacao tem ∆H positivoc) a entalpia dos reagentes e maior que a dos produtosd) a entalpia dos reagentes e menos que a dos produtose) a entalpia dos reagentes e igual a dos produtos

5. (PUC-RS) A equacao a seguir representa: HNO3(aq) +NaOH(aq) → NaNO3(aq) + H2O(l) com ∆H =−13, 69 kcal/mola) um processo endotermicob) a neutralizacao parcial de um acidoc) um processo que ha a liberacao de calord) um processo nao espontaneoe) uma reacao de analise

6. As reacoes endotermicas caracterizam-se por:I. serem espontaneasII. ocorrerem co absorvicao de calorIII. apresentam sinal positivo para a variacao da entalpia

a) somente a afirmativa I e corretab) somente a afirmativa II e corretac) somente a afirmativa III e corretad) somente as afirmativas I e II sao corretase) somente as afirmativas II e III sao corretas

Matematica

Matematica A Aula 1

Relacoes e Funcoes

Relacoes

Definimos relacao como:

Dados dois conjuntos nao vazios S e T chama-se relacao Rde S em T qualquer subconjunto de Sxt. Assim, R estacontido em Sxt (R ⊂ SxT ).

Exemplo

R = (x, y)/x < y

Notacao

Podemos escrever uma relacao de A em B das seguintesformas:

• Nomeando os pares ordenados, por exemplo: R =(0, 1), (1, 2), (2, 3).

• Atraves de uma sentenca matematica, por exemplo:R = (x, y) ∈ AxB/y = x+ 1, sendo queA = 0, 1, 1, 2, 3 e B = 1, 3, 4, 9.

Domınio e Imagem

Ao conjunto formado por todos os primeiros elementos dospares ordenados (x, y) de uma relacao damos o nome dedomınio e representamos por D(R).

Os segundos elementos desses pares formam o conjuntoimagem da relacao: Im(R). Assim, na relacao R =(−1, 3), (0, 4), (1, 5), D(R) = −1, 0, 1 e Im(R) =3, 4, 5.

Representacao

Podemos representar uma relacao por um diagrama de setasou no plano cartesiano: Consideremos os conjuntos A =−1, 0, 1, 2 e B = 1, 0, 1, 4 e a relacao R = (x, y) ∈AxB/y = x2.

Funcoes

O conceito basico de funcao e o seguinte: toda vez que temosdois conjuntos e algum tipo de associacao entre eles, quefaca corresponder a todo o elemento do primeiro conjuntoum unico elemento do segundo conjunto, ocorre uma funcao.Observemos os pares de conjuntos abaixo.

Exemplos

1. Dados L = 2, 5, 9, 12 e A = 4, 25, 81, 144 e a relacaoR = (x, y) ∈ LxA/y = x2.

Figura 3.1: E funcao.

2. Dados A = 10, 12, 15, 16, 13 e B = 20, 24, 30, 26 ea relacao R = (x, y) ∈ AxB/y = 2x.

3. Dados A = 5, 12, 23 e B = 7, 14, 25 e a relacaoR = (x, y) ∈ AxB/y = x+ 2.

4. Dados A = 16, 81 e B = −2, 2, 3 e a relacao R =(x, y) ∈ AxB/y4 = x

91


Figura 3.2: Nao e funcao.

Figura 3.3: E funcao.

Serao reconhecidas como funcao as relacoes que tiverem to-dos os elementos de A associados a elementos de B, sendoque cada elemento de A deve estar ligado somente a umunico elemento de B.

Domınio, Imagem e Contradomınio

Tomemos os exemplos acima que representam funcoes(Ex01, Ex03):

Figura 3.4: Nao e funcao.

Para ambos os exemplos, chamamos de domınio o conjuntoA, indicado pela letra D:

Ex01: D = 2, 5, 9, 12; Ex03: D = 5, 12, 23.A imagem sera o conjunto dos elementos y que tem cor-respondencia com x.EX01: I = 4, 25, 81, 144;Ex03: D = 7, 14, 25.O contradomınio sera o conjunto B:EX01: CD = 2, 4, 6; Ex03: CD = 5, 7, 14, 15, 16, 25, 26.

Tipos de Funcoes

Funcao Par

E a funcao em que qualquer que seja o valor de x ∈ D ocorref(x) = f(−x).

Exemplos

f(x) = x2

f(x) = |x|

f(x) = cos(x)

Matematica A – Aula 1 93

Funcao Impar

E a funcao em que para todo valor de x ∈ D ocorre f(x) =−f(−x).

Exemplos

f(x) = 2x

f(x) = sin(x)

f(x) = x3

Funcao Crescente

Uma funcao y = f(x) e crescente num conjunto A se,somente se, para quaisquer x1 e x2 pertencentes ao conjuntoA, com x1 < x2, tivermos f(x) < f(x2).

Exemplos

f(x) = x+ 2

f(x) = 10x

f(x) = x3

Funcao Decrescente

Uma funcao y = f(x) e decrescente num conjunto A se,somente se, para quaisquer x1 e x2 pertencentes ao conjuntoA, com x1 < x2, tivermos f(x1) > f(x2).

Figura 3.5: Esquema para compreender funcao crescente.

Exemplos

f(x) = −x+ 2

f(x) = 10−x

f(f) = −2x

Figura 3.6: Esquema para compreender funcao decrescente.

Funcao Injetora

Uma funcao y = f(x) : A → B e injetora, se somentese, num conjunto A, dois elementos distintos quaisquer dodomınio de f(x) possuem imagens distintas em B.

Exemplos

Funcao Sobrejetora

Uma funcao y = f(x) : A → B e sobrejetora se, e so-mente se, o seu conjunto imagem e igual ao contradomınio:Im(f) = B

Exemplos


Figura 3.7: Funcao injetora

Figura 3.8: Funcao nao injetora

Funcao Bijetora

Uma funcao y = f(x) : A→ B e bijetora, se somente se, einjetora e sobrejetora.

Na figura 3.11 temos que a funcao:

• E injetora, pois quaisquer elementos distintos de A pos-suem imagens distintas em B;

• E sobrejetora, poisIm = B = 4, 25, 81, 144;

• E bijetora porque e injetora e sobrejetora.

Funcao Inversa

Considere uma funcao y de L → A, sendo que D = L eIm = A. A funcao inversa de y sera aquela funcao que fizercorretamente a relacao de A→ L onde D = A e Im = L.

Ou seja, a funcao inversa “transforma” o que antes eradomınio em imagem e imagem em domınio. Porem, istoso podera ocorrer se y for bijetora.

Entao, podemos definir:

Dada funcao bijetora y = f(x) : A → B, chama-se funcao

Figura 3.9: Funcao sobrejetora

Figura 3.10: Funcao nao sobrejetora

inversa de f a funcao f−1 : B → A tal que (a, b) ∈⇔ (b, a) ∈f−1.

Exemplos

y = f(x) = x2;D = 2, 5, 9, 12Im = 4, 25, 81, 144A funcao inversa sera:y = f(x) =

√(x)

D = 4, 25, 81, 144Im = 2, 5, 9, 12

Funcao Composta

Dados os conjuntos A = 1, 2, B = 2, 4,C = 4, 16, vamos considerar as funcoes:f : A→ B definida por f(x) = 2x;g : B → C definida por g(x) = x2.

Observamos que:

• A cada x pertencente a A associa-se um unico y per-tencente a B tal que y = 2x;

• A cada y pertencente a B associa-se um unico z per-


Figura 3.11: Funcao bijetora

(a) (b)

Figura 3.12: Fique atento ao sentido das setas!

tencente a C tal que z = x2;

• A cada x pertencente a A associa-se um unico z per-tence C tal que z = y2 = (2x)

2= 4x2.

Entao, podemos afirmar que vai existir uma funcao h de Aem C definida por h(x) = 4x2, que indicamos por gof oug(f(x)) (le-se: g composta com f).

Logo: h(x) = gof = g(f(x)) = (1, 4), (2, 16).

Funcao Definida por Partes

E aquela funcao que e definida por mais de uma relacao.

Exemplo

x+ 1, se x > 2;x2, se -2 ≤ x ≤ 2;2, se x < −2

Funcao Constante

Toda funcao f : R → R, definida por f(x) = C, com Cpertencendo ao conjunto dos reais, e denominada funcaoconstante.

Figura 3.13: f = (1, 2), (2, 4); g = (2, 4), (4, 16)

Pense um Pouco!

A funcao n : A → R, definida por n(t) = 6t + t2, ex-pressa o numero de colonias de bacterias em uma placa,onde n e o numero de colonias, t e tempo em horas eA = 1, 2, 3, 4, 5, 6 tem seus elementos representando osinstantes em que as colonias foram contadas. Com essesdados, determine:a) O numero de colonias para t = 3h;b) O conjunto contradomınio;c) O conjunto imagem (Im(n)).


1. (UFRGS) Se a funcao f : R∗ em R e tal que f(x) = 2x+2x ,

entao f(2x) e:a) 2b) 2xc) 2x+1

xd) 4x+1

x

2. (Fuvest-SP) As funcoes f e g sao dadas por f(x) =3/5x− 1 e g(x) = 4/3x+ a. Sabe-se que f(0)− g(0) = 1/3.O valor de f(3) e g(1/5) e:a) 0b) 1c) 2d) 3e) 4

3. (FCC-SP) A funcao inversa da funcao 2x−1x+3 e:

a) f−1(x) = x+32x−1

b) f−1(x) = 3x−1x−2

c) f−1(x) = 3x+12−x

d) f−1(x) = 1−2x3−x


4. (UFSC) Dada a funcao f : R em R+, definida porf(x) = x2 + 1, determine a soma dos numeros associados asafirmacoes verdadeiras.01. A funcao e sobrejetora.02. A imagem da funcao e R+.04. A funcao e bijetora.


08. Para x =√

5, temos f(x) = 6.16. O grafico de uma funcao e uma reta.32. A funcao e par.

5. (UA) Se f e g sao funcoes tais que f(x) = 2x − 3 ef(g(x)) = x, entao e igual a:a) (x+ 3)/2b) 3x+ 2c) 1/(2x− 3)d) 2x+ 3

6. (UDESC) Seja f(x) = c−ax2. Se f(−1) = 1 e f(2) = 2,entao f(5) e igual a:a) 3b) 11/3c) 7/3d) 9e) -3

Matematica A Aula 02

Funcoes Polinomiais

Funcao Polinomial de 10 Grau

Uma funcao f com A,B ⊂ R e uma funcao polinomial do10 grau se a cada x ∈ A se associa o elemento (ax+ b) ∈ B,com a pertencendo a R∗ e b pertencendo a R:

f : A→ B definida por f(x) = ax+ b ou y = ax+ b

Na sentenca matematica y = ax + b, as letras x e y re-presentam as variaveis, enquanto a e b sao denominadascoeficientes.

Na funcao real f(x) = ax + b, a e o coeficiente angular eb e o coeficiente linear. Pelo coeficiente angular, sabemosse a funcao e crescente (a > 0) ou descrescente (a < 0). Ocoeficiente linear indica a ordenada do ponto em que a retaintercepta o eixo 0y.

Grafico

Para construirmos graficos de funcoes devemos seguir os se-guintes passos:

• atribuımos valores a variavel x;

• substituımos na funcao;

• encontramos o valor de f(x), ou seja, o valor de y.

Tendo encontrado o y, temos agora o par ordenado (x, y)que devemos encontrar no plano cartesiano.

x y = x− 2 (x, y)0 y = 0− 2 = −2 (0,−2)1 y = 1− 2 = −1 (1,−1)2 y = 2− 2 = 0 (2, 0)

Zero da Funcao de 1o Grau

Denomina-se zero ou raiz da funcao f(x) = ax + b o valorx que anula a funcao, isto e, torna f(x) = 0. O zero dafuncao de primeiro grau e unico e corresponde a abscissa doponto em que a reta corta o eixo x. Observando o grafico,

x y = x− 2 (x, y)0 y = 0− 2 = −2 (0,−2)1 y = 1− 2 = −1 (1,−1)2 y = 2− 2 = 0 (2, 0)

verificamos que: f(x) = 0 para x = 2.

Estudo do Sinal

Para fazermos o estudo dos sinais vamos considerar umexemplo:Dada a funcao f(x) = 2x − 4, determinar os valores reaisde x para os quais:


a) f(x) = 0b) f(x) > 0c) f(x) < 0Solucao: Podemos verificar que a funcao e crescente poisa = 2 > 0. O zero da funcao e: 2x − 4 = 0 ⇒ 2x = 4 ⇒x = 2

A reta corta o eixo x no ponto de abscissa x = 2. Obser-vando essas consideracoes, vamos fazer um esboco do graficoda funcao:

Figura 3.1: A direita do eixo y os pontos da reta tem orde-nada positiva e a esquerda os pontos da reta tem ordenadanegativa.

Resposta:f(x) = 0 x = 2f(x) > 0 para x ∈ R/x > 2f(x) < 0 para x ∈ R/x < 2

Funcao Polinomial de 2o grau

A funcao dada f(x) : R→ R dada por f(x) = ax2 + bx+ c,com a,b,c reais e a 6= 0, denomina-se funcao do 2ograu oufuncao quadratica.Exemplos:

f(x) = x2 − 4x− 3 (a = 1, b = −4, c = −3)

f(x) = −2x2 + 5x+ 1(a = −2, b = 5, c = 1)

O grafico da funcao de 1o grau e uma curva aberta cha-mada parabola. Se o grafico da funcao tem a parabola comconcavidade voltada para cima, a > 0.

Se o grafico da funcao tem a parabola com concavidadevoltada para baixo, a < 0.

Zero da Funcao de 2Grau

Denominam-se zeros ou raızes de uma funcao quadraticaos valores de x que anulam a funcao, ou seja, que tornamf(x) = 0.

Para determinar os zeros de f(x) = ax2 +bx+c, basta fazerf(x) = 0:

ax2 + bx+ c = 0⇒ x = −b∓√

∆2a

⇒ x = −b+√

∆2a ⇒ x = −b−

√∆

2aem que ∆ = b2 − 4ac.

Assim, x1 e x2 sao as abscissas nas quais a parabola corta oeixo x, ou seja, (x1, 0) e (x2, 0) sao os pontos de interseccaoda parabola com o eixo x.

• Quando ∆ > 0, x1 6= x2 e a parabola intercepta o eixox em dois pontos diferentes.

• ∆ = 0, x1 = x2 e a parabola intercepta o eixo x em umunico ponto.

• ∆ > 0, nao existem raızes reais e a parabola nao inter-cepta o eixo x.

Grafico Parabolico

No grafico abaixo, da funcao f(x) = x2−8x+12, marcamosum ponto v. Esse ponto tem o nome de vertice da parabola.As coordenadas de V (xv, yv) sao dadas por:

xv = − b2a

yv = − ∆4a

v

(− b

2a,−∆

4a

)


xv = −−82

yv = − 164

v (4,−4)

Se tracarmos uma reta paralela ao eixo y que passe pelovertice, estaremos determinando o eixo de simetria daparabola.

Interseccao com o Eixo y

Para determinar as coordenadas desse ponto, basta substi-tuir x por 0 (zero) na funcao:

y = ax2 + bx+ c⇒ y = a(0)2

+ b(0) + c⇒ y = c

Exemplo

Para f(x) = x2 − 8x + 12 as coordenadas para o ponto deinterseccao com o eixo y:y = x2 − 8x+ 12⇒ y = (0)

2 − 8(0) + 12⇒ y = 12

Entao, encontramos (0, 12).

Mınimo ou Maximo da Parabola

Quando y assume o menor valor da funcao, ele e a ordenadado ponto mınimo da funcao (yv):

Quando y assume o maior valor da funcao, ele e a ordenadado ponto maximo da funcao (yv):

Estudo do Sinal

Para estudar o sinal da funcao f(x) = ax2 + bx+ c, a 6= 0,temos que considerar o valor do discriminante (∆) e o sinaldo coeficiente a. Assim:

• ∆ > 0, f(x) possui duas raızes reais e diferentes: x =x1 ou x = x2 ⇒ f(x) = 0

x < x1 ou x > x2 ⇒ f(x) > 0x1 < x < x2 ⇒ f(x) < 0

x = x1 ou x = x2 ⇒ f(x) = 0x < x1 ou x > x2 ⇒ f(x) < 0x1 < x < x2 ⇒ f(x) > 0

• ∆ > 0, f(x) possui raiz dupla:

x = x1 = x2 ⇒ f(x) = 0x 6= x1 = x2 ⇒ f(x) > 0

x = x1 = x2 ⇒ f(x) = 0x 6= x1 = x2 ⇒ f(x) < 0

• ∆ > 0, f(x) possui duas raızes reais:

Qualquer x pertencente aos reais ⇒ f(x) > 0


Qualquer x pertencente aos reais ⇒ f(x) < 0

Pense um Pouco!

• O grafico de um polinomio de primeiro grau e sempreuma reta?

• O grafico de um polinomio de segundo grau e sempreuma parabola?

• Quantos zeros pode ter, no maximo, uma funcao deprimeiro grau? E a de segundo grau?

• A esquerda e a direita de um zero, a funcao de segundograu tem sempre sinais contrarios?


1. (FGV-SP) O grafico da funcao f(x) = mx+n passa pelospontos A(1,−2) e B(4, 2). Podemos entao afirmar que:a) m+ n = −2b) m− n = −2c) m = 3/4d) n = 5/2e) m.n = −1

2. (PUC-SP) Para que a funcao do 1o grau dada por f(x) =(2− 3k)x+ 2 seja crescente, devemos ter:a) k = 2/3b) k < 2/3c) k > 2/3d) k < −2/3e) k > −2/3

3. (UFC-CE) Considere a funcao f : R → R, definida porf(x) = x2 − 2x+ 5. Pode-se afirmar corretamente que:a) o vertice do grafico de f e o ponto (1, 4).b) f possui dois zeros reais distintos.c) f atinge um maximo para x = 1.d) O grafico de f e tangente ao eixo das abscissas.


4. (UFPA) A funcao y = ax + b passa pelo ponto (1, 2) eintercepta o eixo y no ponto de ordenada 3. Entao, a − 2be igual a:a) -12b) -10

c) -9d) -7e) 0

5. (Mack-SP) Um valor k para que uma das raızes daequacao x2 − 4kx+ 6k = 0 seja o triplo da outra e:a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

6. (Santa Casa-SP) As dimensoes de um retangulo sao nu-mericamente iguais as coordenadas do vertice da parabolade equacao y = −128x2 + 32x+ 6. A area do retangulo e:a) 1b) 8c) 64d) 128e) 256

7. O lucro mensal de uma empresa e dado por L = −x2 +30x− 5, onde x e quantidade mensal vendida.a) Qual e o lucro mensal maximo possıvel?b) Entre que valores deve variar x para que o lucro mensalseja no mınimo igual a 195?

Matematica A Aula 3

Funcoes Especiais

Funcao Modular

O modulo, ou valor absoluto, de um numero real x, indicadopor |x|, e definido assim:

|x| =x, se, x ≥ 0

−x, se, x < 0

Pela definicao, podemos concluir que o modulo de umnumero real e sempre maior ou igual a zero.

Cuidado!√x2 = ±|x|

Exemplos

| − 10| = 10

|1| = 1

|1/3| = 1/3

|0| = 0

Definimos entao a uncao modular se a cada x real se associa|x|, ou seja:

f(x) = |x|


.

Observa-se que o domınio da funcao modulo e R e a imagemR+.

Representacao Grafica

Pela definicao de |x|, temos de considerar duas sentencaspara f(x), de RemR:

f(x) =

x, se, x ≥ 0

−x, se, x < 0

Construindo os dois graficos num unico plano cartesiano,obtemos o grafico de f(x) = |x|:

Figura 3.1: Funcao modulo: f(x) = |x|.

Funcao Exponencial

A funcao f : R→ R dada por f(x) = ax (com a 6= 1 e a > 0)e denominada funcao exponencial de base a e definida paratodo x real. Assim, sao funcoes exponenciais:

f(x) = 2x

g(x) = (1/3)x

Grafico da Funcao Exponencial

Vamos representar no plano cartesiano o graficos dasfuncoes f(x) = 2x e f(x) = (1/2)x.

Caracterısticas

• D(ax) = R

• Im(ax) = R+

• ax e uma funcao crescente se a > 1

• ax e uma funcao decrescente se 0 < a < 1

• ax) passa pelo ponto (0, 1) pois a0 = 1

2x

(1/2)x

fg

o

y

x

(0,1)

Figura 3.2: Funcoes exponenciais: f(x) = 2x e g(x) =(1/2)x.

Figura 3.3: Exponencial crescente ax com a > 1.

Pense um Pouco!

• O numero de bacterias em um meio de cultura cresceaproximadamente segundo a funcao , sendo t o numerode dias apos o inıcio do experimento. Calcule:a)o numero n de bacterias no inıcio do experimento;b)em quantos dias o numero inicial de bacterias ira tri-plicar.


1. (ITA-SP) Considere a equacao |x| = x−6. Com respeitoa solucao real dessa equacao, podemos afirmar que:a) a solucao pertence ao intervalo [1,2]b) a solucao pertence ao intervalo [-2,-1]c) a solucao pertence ao intervalo ]-1,1[d) a solucao pertence ao intervalo [3,4]e) nehuma resposta e correta


Figura 3.4: Exponencial decrescente ax com a < 1.

2. (PUC-SP) A equacao |2x− 1| = 5 admite:a) duas raızes positivasb) das raızes negativasc) ua raiz positiva e outra negativad) smente uma raiz real e positivae) smente uma raiz real e negativa

3. (PUC-PR) A equacao 16 ·52x = 25 ·20x, onde x pertenceaos reais, admite:a) os numeros -2 e 2 como solucoesb) apenas o numero 2 como solucaoc) apenas o numero 1

2 como solucaod) os numeros 2 e 1

2 como solucoese) apenas o numero como solucao


4. (UEL-PR) Quaisquer que sejam os numeros reais x e y,a) se |x| < |y|, entao x < yb) |xy| = |x||y|c) |x+ y| = |x|+ |y|d) | − |x|| = −xe) se x < 0, entao |x| < x

5. (PUC-SP) Resolvendo a equacao 4+4 = 5·2x , obtemos:a) x1 = 0 e x2 = 1b) x1 = 1 e x2 = 4c) x1 = 0 e x2 = 2d) x1 = −1 e x2 = −2e) x1 = −4 e x2 = −5

6. (PUC-MG) Se 2x = 4y e 25x = 25 · 5y, o valor de x+ ye:a) 4/3b) 2/3c) 1/3d) 1e) 2f) -3

Matematica A Aula 4

Funcoes Especiais (II)

Funcao Logarıtmica

O logaritmo de um numero real e positivo a, na base b,positiva e diferente de 1, e o numero x ao qual se deveelevar a base b para se obter a

logb a = x⇐⇒ bx = a

Observacao

Aos logaritmos que se indicam com loga chamamos de sis-tema de logaritmos de base a. Existe uma infinidade desistemas de logaritmos. Dentre todos os sistemas, o maisimportante e o sistema de logaritmos decimais, ou de base10. Indica-se: log10 ou log. Quando o sistema e de base 10,e comum omitir-se a base na sua representacao.

Exemplo

Considerando a definicao dada, calcular o valor dos logarit-mos:

log6 36 = 2

log2 16 = 4

log3 0 = 1

log1 01000 = 3

Propriedades dos Logaritmos

• O logaritmo de um produto e igual a soma dos logarit-mos dos fatores tomados na mesma base, isto e:

logb(x · y) = logb x+ logb y

• O logaritmo de um quociente e igual ao logaritmo donumerador menos o logaritmo do denominador toma-dos na mesma base, isto e:

logb(x/y) = logb x− logb y

• O logaritmo de uma potencia e igual ao produto doexpoente pelo logaritmo da base da potencia, isto e:

logb xn = n logb x

Caso particular

logbn√x = logb x

(1/n) =1

nlogb x


Mudanca de Base

Suponha que aparecam logaritmos de bases diferentes e queprecisamos reduzir os logaritmos de bases diferentes parauma base conveniente. Essa operacao e chamada mudancade base:

logb a =logc a

logc b

onde c e a nova base.

Exemplo

log2 10 =log1 010

log1 02=

1

log1 02

Representacao Grafica

Ao estudar a funcao exponencial, vimos que ela e bijetora,portanto admite funcao inversa, que e a logarıtmica. Doestudo das funcoes inversas, descobrimos que, no plano car-tesiano, seus graficos sao simetricos em relacao a bissetrizdo 1 e 3 quadrantes. Assim, para as funcoes exponenciale logarıtmica, de base 0 < a < 1 e a > 1, temos:

Figura 3.1: Funcao logarıtmica com base a > 1

Funcoes Trigonometricas

Arco de Circunferencia

Observemos que os pontos A e B dividem a circunferenciaem duas partes. Cada uma dessas partes e denominado arcode circunferencia. Assim, temos:

arco AB= arco BA

Figura 3.2: Funcao logarıtmica com base 0 < a < 1

Os ponto A e B sao chamados de extremidades dos arcos.

Medida de um arco

Grau e o arco umitario equivalente a 1/360 da circunferenciaque o contem.

Observacao: 1 = 60′ e 1′ = 60′′

Radiano e o arco cujo comprimento e igual ao comprimentodo raio da circunferencia que o contem.


Observacao: O raio da circunferencia quando utilizado comoinstrumento de medida e denominado raio unitario, isto e,se o comprimento de um arco e x raios, sua medida e xradianos. Lembrando que qualquer circunferencia tem 360,temos que: 360 corresponde a 2π rad e 180 correspondea π rad.

Angulo Plano

E a abertura de duas semi-retas que partem do mesmoponto.

Angulo Central de uma Circunferencia

E o angulo que tem o vertice no centro dessa circunferencia.

Circunferencia Trigonometrica

Uma circunferencia orientada, de raio unitario (r = 1), so-bre a qual um ponto A e a origem de medida de todos osarcos nela contidos, e uma circunferencia trigonometrica.Vamos considerar uma circunferencia cujo centre coincidecom a origem do sistema cartesiano e o ponto A(1, 0), que ea origem de todos os arcos, como mostra a figura a seguir:

Os eixos 0x e 0y do plano cartesiano dividem a circun-ferencia em quatro arcos de mesma medida, numerados nosentido anti-horario. Esses eixos dividem o plano em qua-tro regioes, denominadas quadrantes, tambem numeradasno sentido anti-horario.

Funcao Seno

Chamamos de funcao seno a funcao f : R→ R que, a cadanumero real x, associa o seno desse numero:

f(x) = sen x

O domınio dessa funcao e R e a imagem e intervalo [-1,1],visto que, na circunferencia trigonometrica, o raio e unitario.

Sinal da funcao seno

O sinal da funcao seno e dada seguindo o esquema abaixo:

Funcao Cosseno

Chamamos de funcao cosseno a funcao f : R → R que, acada numero real x, associa o cosseno desse numero.

f(x) = cosx

O domınio dessa funcao e R e a imagem e o intervalo real[-1,1], visto que, na circunferencia trigonometrica, o raio eunitario.

Sinal da Funcao Cosseno

O sinal da funcao cosseno e dada seguindo o esquemaabaixo:

Funcao Tangente

A funcao f definida em R que a cada numero x associa atangente desse numero:

f(x) = tanx

O domınio da funcao tan x e R − nπ/2, com n =0,±1,±2, . . ., e a imagem da funcao e R.

Sinal da Funcao Tangente

O sinal da funcao tangente e dada seguindo o esquemaabaixo:


Cotangente

Por definicao temos:

cotg x =1

tan x

para todo x|tan x 6= 0

Secante


sec x =1

cosx

para todo x|cos x 6= 0

Cossecante


cossec x =1

sen x

para todo x|sen x 6= 0

Relacoes trigonometricas

tanx = fracsen xcos x

sen2x+ cos2x = 1

1 + tan2x = sec2x

1 + cotan2x = cossec2

Transformacoes Trigonometricas

Formulas da Adicao

Sejam a e b dois arcos positivos, do primeiro quadrante,cuja soma ainda pertence ao primeiro quadrante. Valempara esses arcos as seguintes identidades:

sen (a± b) = sen a · cos b± sen b · cos a

cos (a± b) = cos a · cos b± sen a · sen b

tan (a± b) =tan a ± tabb

1∓ tan a · tan b

Lei dos Senos

E a relacao valida para qualquer triangulo que se traduzpela seguinte formula:

a

sen A=

b

sen B=

c

sen C

A

BC

a

b

c

Lei dos Cossenos

E a relacao valida para qualquer triangulo que se traduzpela seguinte formula:

a2 = b2 + c2 − 2bc · cos A

Com essa formula, dadas as medidas de dois lados e doangulo compreendido entre eles, calcula-se o terceiro lado dequalquer triangulo. Como se pode ver, e uma generalizacaodo Teorema de Pitagoras.

Pense um Pouco!

• Dado o sen x como voce acharia o cos x? E a tan x?

• A tan x pode ser maior do que 1?

• Para que valores de x temos sen x > cos x?


1. (FCC-Ba) Indica-se por log x o logaritmo do numero xna base 10. A equacao xlog x = 10000 admite duas raızes:a) iguaisb) opostas entre sic) inteirasd) cujo produto e 1e) cuja soma e 101

2. (MACK-SP) Se

1

log2 x+

1

log3 x+

1

log6 x= 2

entao x2 e igual a:a) 25b) 36c) 16d) 81e) 100

Matematica B – Aula 01 105


3. (FGV-SP) Determine a de forma que se tenha simulta-neamente sem x = 1/a e cosx =

√1 + a/a

a) a = −1 ou a = −2b) a = 1 e a = 2c) a = −1 e a = 2d) a = 2 e a = −2e) a = 1 ou a = −1

4. (UEL-PR) Para todo numero real, tal que que 0 < x <1/2, a expressao

sec x+ tg x

cos x+ cot x

e equivalente a:a) (sen x)(cotg x)b) (sec x)(cotg x)c) (cos x)(tg x)d) (sec x)(tg x)e) (sen x)(tg x)

Matematica B Aula 01

Matrizes

Uma tabela de numeros dispostos em linhas e colunas, comopor exemplo:

3 1 4 26 −5 0 −17 11 −3 5

e chamada matriz.

Se essa tabela e formada por m linhas e por n colunas,dizemos que a matriz e do tipo m por n, e indicamos m×n.No exemplo, a matriz A tem 3 linhas e 3 colunas; entao, Ae do tipo 3× 4: A(3× 4).

De modo geral, apresentamos uma matriz cercando as li-nhas e as colunas por parenteses como na matriz A acima.Podemos tambem utilizar colchetes ou duplas barras.

Exemplos

1. B =

(2 1/2 −35 0 −1

)e uma matriz (2× 3)

2. C =

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 45 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣ e uma matriz de ordem 2

3. D =[−1 0 3 5

]e uma matrix (1× 4)

Notacao Geral

Normalmente representamos as matrizes por letrasmaiusculas e seus elementos por letras minusaculas, acom-panhadas por dois ındices que indicam, respectivamente, a

linha e a coluna que o elemento ocupa. Uma matriz A dotipo m× n e representada por:

A =

a11 a12 a13 · · · a1n

a21 a22 a23 · · · a2n

a31 a32 a33 · · · a3n

......

... · · ·...

am1 am2 am3 · · · amn

ou, abreviadamente, A = [aij ]m×n, em que i e j represen-tam, respectivamente, a linha e a coluna que o elementoocupa. Por exemplo, na matriz anterior, a31 e o elementoda 3a linha e da 1a coluna.

Exemplo

Na matriz:

A =

[2 6−5 0

]

temos

a11 = 2a12 = 6a21 = −5a22 = 0

Tipos de matrizes

Algumas matrizes recebem nomes especiais, devido suas ca-racterısticas.

• Matriz linha : matriz do tipo 1 × n, ou seja,com uma unica linha. Por exemplo, a matriz A =[

5 8 −2 3], do tipo 1× 4.

• Matriz coluna : matriz do tipo m × 1, ou seja, com

uma unica coluna. Por exemplo,

3−52

, do tipo

3× 1.

• Matriz quadrada : matriz do tipo n × n, ou seja,com o mesmo numero de linhas e colunas; dizemos quea matriz e de ordem n. Os elementos da forma aiiconstituem a diagonal principal. Os elementos aij emque i + j = n + 1 constituem a diagonal secundaria.Por exemplo, a matriz

C =

[7 −92 4

]

e do tipo 2× 2, isto e, quadrada de ordem 2.

• Matriz nula: matriz em que todos os elementos saonulos; e representada por 0m×n. Por exemplo,

02×3 =

[0 0 00 0 0

]

.


• Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos oselementos que nao estao na diagonal principal sao nu-los. Por exemplo:

B3×3 =

4 0 00 5 00 0 −3

.

• Matriz identidade: matriz quadrada em que todos oselementos da diagonal principal sao iguais a 1 e os de-mais sao nulos; e representada por In, sendo n a ordemda matriz. Por exemplo:

I3 =

1 0 00 1 00 0 1

Para uma matriz identidadeaij = 1 se i = jaij = 0 se i 6= j

• Matriz transposta: Dada uma matriz A(m × n), amatriz que se obtem trocando ordenadamente as linhaspelas colunas chama-se transposta de A, e e indicadapor At (ou por At). Por exemplo

A =

2 35 −10 6

=⇒ At =

[2 5 03 −1 6

]

• Matriz simetrica: matriz quadrada de ordem n talque A = At. Por exemplo

A =

3 5 65 2 46 4 8

e simetrica pois temos aij = aji.

• Matriz anti-simetrica: Uma matriz quadrda A =[aij ] e anti-simetrica se At = −A. Por exemplo

A =

0 3 4−3 0 −6−4 6 0

• Matriz oposta: matriz −A obtida a partir de Atrocando-se o sinal de todos os elementos de A. Porexemplo, se

A =

(3 04 −1

)

entao

−A =

(−3 0−4 1

)

Igualdade de Matrizes

Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m × n, sao iguaisse, e somente se, todos os elementos que ocupam a mesmaposicao sao iguais. Por exemplo, se

A =

[x yz t

]e B =

[8 −15 3

]

A = B se, e somente se, x = 8, y = −1, z = 5 e t = 3.

Pense um Pouco!

• Qual a relacao entre uma matriz A e sua oposta?

• No que a matriz antisimetrica difere da matrizsimetrica?


1. Escreva a matriz A(3 × 3) = [aij ], onde aij = i + 2j.Determine, em seguida, At (a matriz transposta de A).

2. Escreva a matriz A(2 × 2) = [aij ] ondeaij = 2i, se i = jaij = j − 10 se i 6= j

3. (ACAFE) Seja A = B, onde

A =

(x2 + 1 0

logx81 y2

)e B =

(10 y − 24 4

)

entao os valores de x e y serao, respectivamente:a) 2 e 3b) ±2 e ±3c) 3 e 2d) −3 e −2e) ±3 e ±2


4. Sendo A = [aij ]2×3 tal que aij = i + j, determinde x, y

e z tais que A =

(2 y − 1 4x z 5

).

5. Dada a matriz A = (aij)3×3 tal que aij = i2 + 2j − 5,calcule a12 + a31.

6. Calcule a soma dos elementos da 2a coluna da matrizB = (bij)2×3, em que bij = 2i+ j − 1


Operacoes com Matrizes

Adicao

Dadas as matrizes A e B, ambas do mesmo tipo (m × n),somar A com B e obter a matriz A + B, do tipo m×n, ondecada elemento e a soma dos elementos de mesma posicao deA e B. Por exemplo:

Se A =

[2 3 5−1 4 −2

]e B =

[8 −7 32 4 6

]

entao

A+B =

[2 + 8 3− 7 5 + 3−1 + 2 4 + 4 −2 + 6

]


A+B =

[10 −4 81 8 4

]

Propriedades da Adicao

Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo (m× n), temos asseguintes propriedades para a adicao:a) comutativa: A+B = B +Ab) associativa: (A+B) + C = A + (B + C)c) elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, sendo 0 a matriznula m× nd) elemento oposto: A+ (−A) = (−A) +A = 0

Subtracao

Para entendermos a subtracao de matrizes devemos sabero que e uma matriz oposta. A oposta de uma matriz M ea matriz −M , cujos elementos sao os numeros opostos demesma posicao de M . Por exemplo:

M =

[2 −3−5 7

]=⇒ −M =

[−2 35 −7

]

Com a matriz oposta podemos definir a diferenca de matri-zes:

A−B = A+ (−B)

ou seja, para subtrair matrizes, somamos a primeira com aoposta da segunda. Assim para as matrizes A e B acima,temos:

A−B = A+ (−B)

A−B =

[2 3 5−1 4 −2

]+

[−8 7 −3−2 −4 −6

]

Logo,

A−B =

[−6 10 2−3 0 −8

]

Multiplicacao por um Numero Real

Multiplicar um numero k por uma matriz A e obter a matrizkA, cujos elementos sao os elementos de A multiplicados,todos por k.

A =

2 14 −3−1 5

=⇒ 3A =

6 312 −9−3 15

Propriedades

Sendo A e B matrizes do mesmo tipo m×n e x e y numerosreais quaisquer, valem as seguintes propriedades:a) associativa: x · (yA) = (xy) ·Ab) distributiva de um numero real em relacao a adicao dematrizes: x · (A+B) = xA+ xBc) distributiva de uma matriz em relacao a adicao de doisnumeros reais: (x+ y) ·A = xA+ yAd) elemento neutro: xA = A, para x = 1, ou seja, 1 ·A = A

Multiplicacao de Matrizes

Dadas as matrizes A = (aik)m×n e B = (bik)m×p, define-se como produto de A por B a matriz C = (cij)m × p talque o elemento cij e a soma dos produtos da i-esima linhade A pelos elementos correspondentes da j-esima coluna deB.

C = A ·B ⇒ cij =∑pk=1(Aik ·Bik)

Observacao

Somente existe o produto de uma matriz A por outra matrizB se o numero de colunas de A e igual ao numero de linhasde B. Se existir o produto de A por B, o tipo da matrizproduto e dado pelo numero de linhas de A e pelo numerode colunas de B. Pode existir o produto de A por B, masnao existir o produto de B por A.

Propriedades

Verificadas as condicoes de exixtencia para a multiplicacaode matrizes, valem as seguintes propriedades:a) associativa: (A ·B) · C = A · (B · C)b) distributiva em relacao a adicao: A·(B+C) = A·B+A·Cou (A+B) · C = A · C +B · Cc) elemento neutro: A · In = In · A = A, sendo In a matrizidentidade de ordem n

Geralmente a propriedade comutativa nao vale para a mul-tiplicacao de matrizes (A · B 6= B · A). Nao vale tambemo anulamento do produto, ou seja: sendo 0m×n uma ma-triz nula, A · B = 0m×n nao implica, necessariamente, queA = 0m×n ou B = 0m×n.

Inversao de Matrizes

Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se exixtir umamatriz A′, de mesma ordem, tal que A · A′ = A′ · A = In,entao A′ e matriz inversa de A. Representamos a matrizinversa por A−1.

Pense um Pouco!

• Sempre podemos multiplicar matrizes de mesma ordem(iguais) ?

• (ACAFE) Sejam as matrizes A3×2, B3×3 e C2×3. Aalternativa em que a expressao e possıvel de ser deter-minada e:a) B2 · (A+ C)b) (B ·A) + Cc) (C ·B) +Ad) (A · C) +Be) A · (B + C)



1. Sendo A =

(1 2−2 1

), determine sua inversa, se exix-

tir. A =

(1/5 −2/52/5 1/5

)

2. (ACAFE) Dada a matriz A =

(0 12 −2

), seja At a sua

matriz transposta. O produto A ·At e a matriz:

a)

(0 12 −2

)

b)

(0 21 −2

)

c)

(1 −2−2 0

)

d)

(1 02 1

)

e

(1 −2−2 8

)

3. (ACAFE) Considre as matrizes

A =

(1 2−2 −1

), B =

(xy

)e

C =

(69

). Sabendo que A ·B = C, o valor de |x|+ |y| e:

a) 15b) 1c) 57d) 9e) 39


4. Dadas as matrizes A =

1 03 25 4

e

B =

(2 −1 01 3 4

), calcule X = 2A− 3Bt.

5. A matriz A = (aij)3×3 e definida, de tal forma que:

aij =

i−j se i>ji∗j se i=j

i+ j se i < j

Determinar a matriz inversa de A.

6. Dada a matriz

M =

cos θ −sen θ 0sen θ cos θ 0

0 0 1

Calcule M ·M t.

7. (ITA-SP) Considere P a matriz inversa da matriz M =(1/3 01/7 1

). A soma dos elementos da diagonal principal

da matriz P e:

a) 94

b) 49

c) 4d) 5

9e) − 1

9

8. (UECE) O produto da inversa da matriz

A =

(1 11 2

)pela matriz I =

(1 00 1

)e igual a:

a)

(−2 1−1 1

)

b)

(2 −11 −1

)

c)

(−2 11 −1

)

d)

(2 −1−1 1

)


Determinantes

Determinante e um numero que se associa a uma matrizquadrada. De modo geral, um determinante e indicadoescrevendo-se os elementos da matriz entre barras ou ante-cedendo a matriz pelo sımbolo det.

Assim, se A =

[a bc d

], o determinante de A e indicado

por:

detA = det

[a bc d

]=

∣∣∣∣a bc d

∣∣∣∣O calculo de um determinante e efetuado atraves de regrasespecıficas que estudaremos mais adiante. E importanteressaltarmos alguns pontos:

1. Somente as matrizes quadradas e que associamos de-terminantes.

2. O determinante nao representa o valor de uma matriz.Lembre-se, matriz e uma tabela, e nao ha significadofalar em valor de uma tabela.

Determinante de 1a Ordem

Dada uma matriz quadrada de 1a ordem M = [a11], o seudeterminante e o numero real a11:

det M = |a11| = a11

Exemplo

M = [5]⇒ det M = 5 ou |5| = 5


Dada a matrizM =

[a11 a12

a21 a22

], de ordem 2, por definicao

o determinante associado a M , determinante de 2a ordem,


e dado por:∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21


Para o calculo de determinantes de ordem 3 podemos utili-zar uma regra pratica, conhecida como Regra de Sarrus,que so se aplica a determinantes de ordem 3. A seguir, ex-plicaremos detalhadamente como utilizar a Regra de Sarruspara calcular o determinante

D =

∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣

1o passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado daterceira:

a13

a23

a33

a11

a31

a12

a21

a32

a22

a11

a31

a12

a21

a32

a22

2o passo: Devemos encontrar a soma do produto dos ele-mentos da diagonal principal com os dois produtos obtidospela multiplicacao dos elementos das paralelas a essa diago-nal:

a13

a23

a33

a11

a31

a12

a21

a32

a22

a11

a31

a12

a21

a32

a22

multiplicar e somar

3o passo: Encontramos a soma do produto dos elementosda diagonal secundaria com os dois produtos obtidos pelamultiplicacao dos elementos das paralelas a essa diagonal:

a13

a23

a33

a11

a31

a12

a21

a32

a22

a11

a31

a12

a21

a32

a22

multiplicar e somar

Assim, subtraindo o segundo produto do primeiro, pode-mos escrever o determinante como:

D = (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32)

− (a13a22a31 + a11a23a32 + a12a21a33)

Menor Complementar

Chamamos de menor complementar relativo a um elementoaij de uma matriz M , quadrada de ordem n > 1, o determi-nante MCij , de ordem n− 1, associado a matriz obtida deM quando suprimimos a linha e a coluna que passam poraij . Por exemplo, dada a matriz

M =

[a11 a12

a21 a22

]

de ordem 2, para determinar o menor complementar relativoao elemento a11 (MC11), eliminamos a linha 1 e a coluna 2:

∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣⇒MC11 = |a22| = a22

De modo analogo, para obtermos o menor complementarrelativo ao elemento a12, eliminamos a linha 1 e a coluna 2:

∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣⇒MC12 = |a21| = a21

Para um determinante de ordem 3, o processo de obtencaodo menor complementar e o mesmo utilizado anteriormente,por exemplo, sendo

M =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

de ordem 3, temos:

MC11 =

∣∣∣∣a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣ = a22a33 − a23a32

Cofator

Chama-se de cofator de um elemento aij de uma matrizquadrada o numero Aij tal que

Aij = (−1)i+j ·MCij

Exemplo

Considerando M =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

calcularemos o cofator A23. Temos que i = 2 e j = 3, logo:A23 = (−1)

2+3 ·MC23. Devemos calcular MC23.

MC23 =

∣∣∣∣a11 a12

a31 a32

∣∣∣∣ = a11a32 − a12a31

Assim A23 = (−1) · (a11a32 − a12a31)


Teorema de Laplace

O determinante de uma matriz quadrada M =[aij ]m×n (m ≥ 2) pode ser obtido pela soma dos produ-tos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) damatriz M pelos respectivos cofatores.

Desta forma, fixando j ∈ N, tal que 1 ≤ j ≤ m, temos:

det M =∑mi=1 aijAij

em que∑mi=1 e o somatorio de todos os termos de ındice i,

variando de 1 ate m, m ∈ N.

Exemplo: Calcule o determinante a seguir utilizando oTeorema de Laplace:

D =

∣∣∣∣∣∣

2 3 −4−2 1 20 5 6

∣∣∣∣∣∣

Aplicando o Teorema de Laplace na coluna 1, te-

mos: D = 2(−1)1+1

∣∣∣∣1 25 6

∣∣∣∣ + (−2)(−1)2+1

∣∣∣∣3 −45 6

∣∣∣∣ +

0(−1)3+1

∣∣∣∣3 −41 2

∣∣∣∣D = 2(+1)(−4) + (−2)(−1)38 + 0 = −8 + 76 = 68

Observacao

Se calcularmos o determinante utilizando a Regra de Sarrus,obteremos o mesmo numero real.

Propriedades dos determinantes

P1) Quando todos os elementos de uma fila (linha ou co-luna) sao nulos, o determinante dessa matriz e nulo.P2) Se duas filas de uma matriz sao iguais, entao seu deter-minante e nulo.P3) Se duas filas paralelas de uma matriz sao proporcionais,entao seu determinante e nulo.P4) Se os elementos de uma matriz sao combinacoes linearesdos elementos correspondentes de filas paralelas, entao seudeterminante e nulo.P5) Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriznao se altera quando somamos aos elementos de uma fila,uma combinacao linear dos elementos correspondentes defilas paralelas.P6) O determinante de uma matriz e o de sua transpostasao iguais.P7) Multiplicando-se por um numero real todos os elemen-tos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matrizfica multiplicado por esse numero.P8) Quando trocamos as posicoes de duas filas paralelas, odeterminante de uma matriz muda de sinal.P9) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixoda diagonal principal sao todos nulos, o determinante e igualao produto dos elementos dessa diagonal.P10) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixoda diagonal secundaria sao todos nulos, o determinante e

igual ao produto dos elementos dessa diagonal multiplica-

dos por (−1)n(n−1)

2 .P11) Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n,det(AB) = det A · det B. Como A · A−1 = I, det A−1 =1/det A.P12) Se k ∈ R, entao det (k ·A) = kn · det A.

Pense um Pouco!

• Podemos associar um determinante apenas a matrizesquadradas?


1. (ACAFE) O valor do determinante

∣∣∣∣log2

8 log10

4−1/2 312

∣∣∣∣ e:

a) 0b) 4c) 7d) 17

2e) 53

2

2. (UDESC) Sejam as matrizes quadradas de ordem 2, A =(aij) com aij = i2 − j2 e B = (bij) com bij = aij − 3 sei > j, e bij = aij + 3 se i ≤ j.Determine:a) a matriz Ab) a matriz Bc) a matriz A ·Bd) o determinante da matriz A ·B

3. (UDESC) A partir da matriz A = [aij ]2×2, onde aij =−1 se i≥ji+j se i<j , calcular o determinante do produto da matriz

A pela sua transposta, ou seja: det(A × At), onde At e amatriz transposta de A.


4. (UNIFENAS) Dada a matriz A =

[1 02 −4

]o deter-

minate de sua matriz inversa A−1 e:a) −2b) −4c) 1

2d) 4e) − 1

4

5. (MACK) A e B sao matrizes quadrdas de ordem 3 eB = k ·A. Sabe-se que det A = 1, 5 e det B = 96. Entao:a) k = 64b) k = 96c) k = 1

4d) k = 3

2e) k = 4

Matematica C – Aula 01 111

6. (PUC) O cofator do elemento a23 da matriz A =∣∣∣∣∣∣

2 1 31 2 20 1 2

∣∣∣∣∣∣e:

a) 2b) 1c) −1d) −2e) 3

7. (UDESC) Seja A uma matriz quadrada de ordem 3,apresentada abaixo, cujo determinante e igual a 0, 75.

A =

sen x 0 1

0 −1 22 sen x 0

Considerando π/2 < x < π, determinar o valor de tg x.

Matematica C Aula 01

Teoria dos Conjuntos

Historia

As nocoes que deram origem a Teoria dos conjuntos, estaodiretamente ligadas aos estudos dos matematicos ingle-ses Augustus De Morgan (1806 − 1871) e George Boole(1815− 1864), considerados fundadores da logica moderna.Boole publicou em 1854 uma obra onde eram apresentadosos fundamentos de uma algebra especıfica para o estudoda logica. Em seus trabalhos, ele utilizou frequentementerelacoes entre “conjuntos”de objetos. Entretanto, nao che-gou a desenvolver o conceito de conjunto de modo adequado.

(a) (b)

Figura 3.1: George Boole (1815–1864) (a) e George Cantor(1845-1918) (b)

Somente em 1890, o matematico russo George Cantor(1845 − 1918), que desenvolvia estudos sobre a Teoria dosNumeros, publicou na Alemanha uma serie de proposicoes edefinicoes que vieram a se constituir na linguagem simbolica

para a logica, a Teoria dos Numeros e outros ramos da Ma-tematica. Em funcao disso, Cantor e conhecido como o cri-ador da Teoria dos Conjuntos. Na formulacao dessa teoria,Cantor utilizou tambem formas de representacao em diagra-mas que ja tinham sido utilizadas no estudo da Logica porLeonard Euler (1707−1783) e por John Venn (1834−1923).

Conjunto

A nocao de conjunto e aceita sem definicao, como conceitoprimitivo, formada a partir da ideia de colecao: Assim, po-demos nos referir a conjunto de animais, pessoas, objetos,numeros, letras, etc . . . Existem certos conjuntos que temum nome especial chamado coletivo. Exemplo: O coletivode cavalos e manada, o coletivo de estrelas e constelacao,o coletivo de lobos e alcateia. Cada um dos integrantes deum conjunto e chamado de elemento do conjunto. Em ge-ral, indicamos o nome de um conjunto por letras maiusculas(A,B,C,. . . ,Z) e o de seus elementos, que se supoe distintosentre si, dois a dois, por letras minusculas (a,b,c,. . . ,z).

A nocao de constituir associamos, em matematica, o con-ceito tambem primitivo de pertencer.

Dessa forma, tomando o conjunto V das vogais, dizemosque o elemento a pertence ao conjunto V . Simbolizamosessa relacao por:

a ∈ V

Para indicar que a consoante m nao pertence a V , escreve-mos:

m /∈ V

Os sımbolos ∈ (pertence) e /∈ (nao pertence), sao sempreutilizados no sentido do elemento para o conjunto.

Representacao de Conjuntos

Um conjunto pode ser representado de varias formas dis-tintas: por enumeracao, por uma propriedade caracterısticaou por diagramas. Enumeracao: Neste caso, escrevemosseus elementos entre chaves, separados por vırgulas e semrepeticao.

Exemplo: O conjunto P dos numeros inteiros e positivos,compreendidos entre 3 e 8.P = 4, 6, 8, 10, 12, 14.

Propriedade Caracterıstica

Para representar um conjunto atraves de uma propriedadecaracterıstica α , escrevemos:

A = a/a tem a propriedade α.Exemplo

Para o conjunto do exemplo anterior, temos:

P = x/x e Natural maior do que 7.


Diagramas de Venn

Na representacao por diagrama, tracamos uma linha fe-chada em torno dos seus elementos associados a pontos.

Exemplo

O diagrama abaixo representa o conjunto A das vogais.

a

e i

ou

U = alfabeto

A

Figura 3.2: Diagrama de Venn para o conjunto A das vogais.

Em geral, o diagrama de Venn representa tambem o con-junto universo U , que contem o conjunto representado. Paraisso, desenha-se em torno do diagrama um retangulo repre-sentando o conjunto U .

Classificacao dos Conjuntos

Podemos classificar um conjunto de acordo com o seunumero de elementos n(D). Portanto, um conjunto D echamado conjunto vazio se nao possui elementos. Isto e:

n(D) = 0⇔ vazio

Representamos o conjunto vazio por:

D = ou D = Ø

Por outro lado, um conjunto D e dito conjunto unitario,quando tiver apenas um elemento, isto e: n(D) = 1.

n(D) = 1 ⇔ D e unitario

Ainda: Quando nao se pode contar o numero de elemen-tos, temos um conjunto infinito, caso contrario, temos umconjunto finito.

Igualdade

Um conjunto A sera igual a um conjunto B, se ambospossuırem os mesmos elementos, isto e, se cada elementoque pertence a A pertencer tambem a B e vice-versa.

A = B ⇔ ∀ x, x ∈ A ex ∈ B

Exemplo

Seja A = 5, 7, 9 e B = 5, 7, 9. Veja que: A = B, poistodo elemento que pertence a A e tambem elemento de B,e todo elemento de B e elemento de A.

Subconjunto

Se cada elemento de um conjunto A pertence a um outroconjunto B, dizemos que A e subconjunto de B. Assim:A ⊂ B, que se le: A esta contido em B. Simbolicamenteescrevemos:

A ⊂ B ⇔ (∀ x) (x ∈ A e x ∈ B)

Exemplos

O conjunto A = 2, 3, 4, 5 e um subconjunto de B =1, 2, 3, 4, 5, 6, pois cada um dos elementos de A se achaem B (note que a recıproca nao e verdadeira). Quandodois conjuntos C e D tem todos os elementos em comum(C = D), implica em:

C ⊂ D e D ⊂ C

O conjunto C = 3, 6, 9 esta contido em D = 9, 3, 6 evice-versa. Caso exista pelo menos um elemento de A quenao pertenca a B, dizemos que A nao esta contido em B,ou que A nao e subconjunto de B.

(∃x/x ∈ A e x 6∈ B) ⇒ A 6⊂ B

Conjunto das Partes

Em geral, para qualquer conjunto A, pode-se construir umnovo conjunto, cujos elementos sejam todos os subconjun-tos possıveis de A. A esse novo conjunto chamamos de:Conjunto das partes de A, que e representado por P (A).

P (A) = x/x ⊂ A

Exemplo

Sendo o conjunto A = 2, 3, 5,podemos escrever seus subconjuntos como segue:Com zero elemento - ∅Com um elemento - 2,3,5Com dois elementos - 2, 3,2, 5,3, 5Com tres elementos - 2, 3, 5Assim, temos:

P (A) = ∅, 2, 3, 5, 2, 3, 2, 5, 3, 5, 2, 3, 5Pode-se demonstrar que, se n(A) = k entao, o numero deelementos que formam o conjunto das partes de A n(P (A)),e dado por 2k.

Operacoes com Conjuntos

Uniao

A uniao entre dois conjuntos A e B consiste num outroconjunto C de todos os elementos que pertencem a A ou a


B ou a ambos. Simbolicamente, temos: C = A ∪ B, le-se:C e igual a A uniao B. De uma maneira mais concisa adefinicao dada acima pode ser escrita simbolicamente por:

A ∪B = x/x ∈ A ou x ∈ B

Exemplo

Fazendo a uniao dos conjuntos A = 2, 4, 7 e B = 1, 3, 4,temos: A∪B = 1, 2, 3, 4, 7 Tambem podemos representara uniao usando diagramas:

A

B

2 7

34

U = N

1

Figura 3.3: Uniao de conjuntos.

Obs.: Nao e necessario que se repitam os elementos comunsaos dois conjuntos. Assim, no exemplo anterior o 4 e comumtanto a A como a B, no conjunto uniao ele deve ser escritouma so vez.

Propriedades da Uniao

• A ∪A = A, pois: A ∪A = x/x ∈ A ou x ∈ A.

• A∪B = B∪A, ou seja a uniao e comutativa, visto que:A ∪B = x/x ∈ A ou x ∈ B = x/x ∈ Bou x ∈ A =B ∪A.

• A ⊂ (A ∪ B) = B ⊂ (A ∪ B), isto e: Tanto A como Bsao subconjuntos do conjunto A ∪B.

• ∅ ∪ A = A , visto que: ∅ ∪ A = x/x ∈ ∅ ou x ∈ A,como se sabe o conjunto vazio nao tem elementos, logo;resta-nos que x ∈ A, o que implica que ∅ ∪A = A.

Interseccao

Chamamos de interseccao de um conjunto A com outro con-junto B, ao conjunto constituıdo pelos elementos x que per-tencem tanto a A como a B, simultaneamente. A esse con-junto indicamos:A ∩ B, le-se: “A interseccao B”, ou porsimplicidade “A inter B”. Esquematicamente temos:

A ∩B = x/x ∈ A e x ∈ B

Exemplo

Sejam L = c, a, r, l, o, s e V = a, e, i, o, u, temos: L ∩V = a, o. Em diagramas:

Propriedades da Interseccao

ao e

i

lc

r

u

U=a,b,c,...,x,y,z

sL

V

Figura 3.4: Interseccao de conjuntos.

• A ∩B = A.

• A ∩B = B ∩A.

• (A ∩B) ⊂ A = (A ∩B) ⊂ B.

• ∅ ∩A = ∅.

Complemento e Universo

Em muitos casos, faz-se necessario que consideremos umconjunto mais amplo que os demais. A esse conjunto (quecontem todos os outros como subconjuntos) e denominadode conjunto Universo. Para representa-lo, usamos a le-tra maiuscula U . Obs.: A nocao de conjunto Universoe relativa, dependendo das circunstancias e amplitude docontexto que desejamos emprega-la.

Exemplos

• para os conjuntos de numeros inteiros, Z o conjuntouniverso;

• para os conjuntos de letras, o alfabeto e o conjuntouniverso;

• para os resultados da loteria, N e o conjunto universo;

• para o conjunto das raızes de 4, +2,−2 e o conjuntouniverso.

Na maioria dos assuntos estudados em matematica, o con-junto dos numeros reais e o conjunto universo.

Diferenca

Denominamos diferenca A − B (le-se: A menos B), o con-junto formado pelos elementos pertencentes a A e nao a B,ou seja:

A−B = x/x ∈ A e x 6∈ B

Exemplo

Considerando os conjuntos: L = c, a, r, l, o, s e V =a, e, i, o, u, temos que a diferenca A−B = c, r, l, s.Em diagramas:

Propriedades


ao e

i

lc

r

u

U=a,b,c,...,x,y,z

sL

V

Figura 3.5: Diferenca de conjuntos.

• A−A = ∅

• A−∅ = A

• ∅−A = ∅

• A ⊂ B ⇒ A−B = ∅

Complementar de um Conjunto

Sejam dois conjuntos A e B, tais que: B ⊂ A. Chamamosa diferenca A−B de: Complementar de B em relacao a A.

Exemplo

Temos os conjuntos A = 1, 2, 3, 4, 5, 6 e B = 5, 6. Noteque B ⊂ A; Assim, temos que A−B sera:

U = N

13

42

A

65

B

Figura 3.6: Complementar de B em relacao a A.

Pense um Pouco!

• Qual o conjunto universo para os resultados de umlancmentos de um dado?

• Qual o conjunto uniao das letras do seu nome?

• Qual o conjunto de dinossauros vivos?

• ∅ e o mesmo que ? Explique.


1. (OSEC) Numa escola de 360 alunos, onde as unicasmaterias dadas sao portugues e matematica, 240 alunosestudam portugues e 180 alunos estudam matematica. Onumero de alunos que estudam portugues e matematica e:a) 120b) 60c) 90d) 120e) 180

2. Se um conjunto A possui 1024 subconjuntos, entao onumero mınimo de elementos de A e?a) 5b) 6c) 7d) 9e) 10

3. (ACAFE-SC) Dados os conjuntos A = x ∈ R| − 3 <x < 5 e B = x ∈ Z| − 1 < x < 7. Quantos elementospossui A ∩B?a) infinitosb) 8c) 7d) 6e) 5


4. (PUC-CAMPINAS) Numa industria, 120 operarios tra-balham de manha, 130 trabalham a tarde, 80 trabalham anoite; 60 trabalham de manha e a tarde, 50 trabalham demanha e a noite, 40 trabalham a tarde e a noite e 20 traba-lham nos tres perıodos. Assim:a) 150 operarios trabalham em 2 perıodos;b) ha 500 operarios na industria;c) 300 operarios nao trabalham a tarde;d) ha 30 operarios que trabalham so de manha;e) N.d.a.

5. (PUC-SP) - Se A = ∅ e B = ∅, entao:a) A ∈ Bb) A ∪B = ∅c) A = Bd) A ∩B = Be) B ⊂ A

6. Em uma pesquisa sobre o consumo de dois produtos A eB, foram entrevistas “n”pessoas, das quais descobriu-se que:40 consomem o produto A, 27 consomem B, 15 consomemA e B e 20 pessoas nao consomem o produto A. Qual onumero de pessoas “n”que foram entrevistadas?a) 85b) 75c) 60d) 90e) n.d.a


7. (CESGRANRIO) Em uma universidade sao lidos doisjornais A e B; exatamente 80% dos alunos leem o jornalA e 60% o jornal B. Sabendo-se que todo aluno e leitor depelo menos um dos jornais, o percentual de alunos que leemambos e:a) 48%b) 60%c) 40%d) 140%e) 80%


Conjuntos Numericos

O Nascimento do Numero

A nocao de numero tem provavelmente a idade do homeme certamente sempre esteve ligada a sua necessidade de re-gistrar e interpretar os fenomenos que o cercavam.

Os primeiros sımbolos numericos conhecidos surgiram como intuito de representar a variacao numerica em conjuntoscom poucos elementos. Com a ampliacao e a diversificacaode suas atividades, o homem sentiu a necessidade de criarnovos sımbolos numericos e processos de contagem e desen-volver sistemas de numeracao.

A maioria dos sistemas de numeracao tinha como base osnumeros 5 ou 10, numa clara referencia ao numero de dedosque temos nas maos. Esses sistemas ainda nao possuıam anotacao posicional nem o numero zero.

Os primeiros registros da utilizacao da notacao posicionalocorreram na Babilonia, por volta de 2500 a.C. Ja o apare-cimento do zero data do seculo IX e e atribuıdo aos hindus.

Tambem se atribuiu aos hindus o atual sistema de nu-meracao posicional decimal, que foi introduzido e difun-dido na Europa pelos arabes. Por essa razao, esse sistema ecostumeiramente chamado de sistema de numeracao indo-arabico.

Deve-se a Leonardo de Pisa (1175-1240), tambem cha-mado Fibonacci, a difusao do sistema indo-arabico na Eu-ropa, atraves de sua obra Lıber Abacci, de 1202.

Conjuntos Numericos

1. Conjunto dos numeros naturais (N):N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . N∗ = 1, 2, 3, 4, 5, . . .

2. Conjunto dos numeros inteiros (Z):Z = . . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .Z+ = 0, 1, 2, 3, . . .Z∗+ = 1, 2, 3, 4, . . .

3. Conjunto dos numeros racionais (Q): Todonumero que puder ser representado na forma de umafracao com numerador e denominador inteiros e cha-

Figura 3.1: Leonardo Pisano Fibonacci (1175-1240).

mado “numero racional”.

Q = x|x =a

b, a ∈ Z, b ∈ Z∗

Exemplos

13 ∈ Q; 7

5 ∈ Q; 31 ∈ Q.

4. Conjunto dos numeros irracionais (Q′): Todonumero que nao pode ser representado na forma deuma fracao, com numerador e denominador inteiros echamado “numero irracional”.

Exemplos

π = 3, 1415926535 . . .√2 = 1, 414213562 . . .√3 = 1, 7320508 . . .

e = 2, 718281827 . . .

Observacao

Note que as dızimas periodicas sao numeros racionais,enquanto as dızimas nao periodicas sao numeros irra-cionais.

5. Conjunto dos numeros reais (R): E o conjuntoobtido com a uniao do conjunto dos numeros racionaiscom o dos numeros irracionais.

Representando em diagramas temos:

Operacoes com Numeros Inteiros

I) Adicao e Subtracao

I.a) Sinais iguais: Soma-se e conserva-se o mesmo sinal.


U=R

ZQ N

Q´

Figura 3.2: Os conjuntos numericos.

I.b) Sinais diferentes: Diminui-se e da-se o sinal domaior.

II) Multiplicacao e Divisao: Aplica-se a regra dos si-

nais:

+ + = +− + = −+ − = −− − = +

Observacao: Pela ordem, resolver

( ); [ ]; .Exercıcio resolvido:−3 · 14 ÷ (−7) − 3 · [4 − (10 − 12 + 9 − 7 − 4) ÷ 2] −3 ·−2− 3 · [4− (−4)÷ 2]−3 · −2− 3 · [4 + 2]−3.−2− 3 · [+6]−3.−2− 18−3.−20+6

Potenciacao

An = X

onde:A = Base;B = Expoente;X = Potencia;

Casos Especiais

X1 = X1n = 10n = 0X0 = 1

Regras

1. Expoente par:Resultado positivo.

2. Expoente ımpar:Repete-se o sinal da base.

Propriedades

1. am · an = am+n

2. am ÷ an = am−n

3. (am)n = am·n

4. (am · bn)n = am·x · bn·x

5. (am/an)x = amx/bnx

6. a−m = 1/am

Potencias de “Base 10”

A) 10n = 1 000 . . . 0︸︷︷︸“n”zeros

B) 10−n = 1/1 000 . . . 0︸︷︷︸“n”zeros

⇒ 0, 000 . . . 01︸︷︷︸“n”casas

Pense um Pouco!

• Quantos numeros inteiros tem no intervalo real 0 < x <3?

• Quantos numeros racionais tem no intervalo anterior?

• Quanto e −1100?


1. O valor de ((23)3)3 e:a) 212

b) 1024c) 281

d) 1e) n.d.a.

2. O valor de:[13− (8÷ 2− 3− 7 + 2 · 3)]÷ [25÷ (−3− 22)], e:a) −13b) 14c) 13d) 0e) n.d.a.

3. A expressao (a7 · b3 · c5 · b4)/(c3 · b6 · a7 · c) e igual a:a) a2 · bb) b · cc) b

cd) 1e) n.d.a.



4. Resolvendo 108·102·105·104

103·10·108

a) 5 · 1012

b) 100c) 103

d) 107

e) n.d.a.

5. O valor da expressao

72÷ (−12) + 2 · [4 · (−2) + (30− 20 + 10)÷ 5]

e:a) +20b) −20c) −14d) +14e) n.d.a.

6. O valor de(

1622

)3 − 232e:

a) 0b) 9

4c) 1d) 2e) n.d.a.

7. 223 · (23)2:

a) 215

b) 229

c) 1024d) 214

e) n.d.a.

8. O valor de (24)5 · 2−8 e:

a) 218

b) 212

c) 215

d) 20

e) n.d.a.


Numeros complexos (C)

No conjunto dos numeros reais algumas equacoes nao pos-suem solucao, por exemplo, a equacao:

2x2 + 18 = 0

Como se trata de uma equacao incompleta (b = 0), podemosresolve-la isolando a variavel. Assim:

x2 =−18

2⇒ x =

√−9

Como nao existe raiz quadrada de numero negativo no con-junto dos reais, a equacao acima dada nao tem solucao. Paraque equacoes sem solucoes reais, como a dada acima, os ma-tematicos comecaram a utilizar novos entes matematicos.

Essa representacao foi considerada, a princıpio, como umpassatempo.

Particularmente, o numero√−1 foi denominado unidade

imaginaria, devido a desconfianca que os matematicos ti-nham dessa nova criacao.

Unidade Imaginaria

Para simplificar a notacao, criou-se ”i”para designar onumero

√−1, isto e:

i =√−1 ⇔ i2 = −1

Com isso, a solucao da equacao proposta acima e:

X = ±√

9 · (−1) ⇒ x = ±3 · i

Logo, S = +3i,−3i.

Potencias Naturais de i

Consideremos as potencias do tipo in, em que n e natural.Vejamos alguns exemplos:

n in

0 11 i2 -13 -i4 15 i6 -17 -i8 1

Resumindo:

i4n = 1 i4n+1 = i 4i4n+2 = −1 i4n+3 = −i

Assim:i4n + i4n+1 + i4n+2 + i4n+3 = 0Ou seja: A soma das quatro potencias de i cujos expoentessao numeros naturais consecutivos e igual a zero.

Note que, a medida que n cresce, os resultados de in, vao serepetindo periodicamente, assumindo sempre um dos quatrovalores da sequencia:1, i,−1,−i.Ou seja:

in ∈ 1, i,−1,−i, (n ∈ N)

Para n ≥ 4, temos:

N 4R q

⇒ n = 4 · q + r e r < 4

Entao, in = i4·q+r = i4·q · ir = (i4)q · ir = (1)

q · ir = ir, ouseja:

in = ir

Exemplo

Calcule o valor de i3795.

3795 43 3948

, como r = 3 temos i3795 = i3 = −i


Forma Algebrica

Todo numero complexo pode ser escrito na forma z = a+b·i,com a e b ∈ R. Tal forma e denominada forma algebrica.

O numero real a e denominado parte real de z, e o numeroreal b e denominada parte imaginaria de z.

z = a+ b · i⇒z = a+ 0i⇒ z = az = 0 + b · i⇒ z = b · i

Igualdade de Complexos

Dois numeros complexos sao iguais quando suas partes reaise imaginarias forem respectivamente iguais.

a+ b · i = c+ d · i⇒a = cb = d

Exemplo

Determinar x e y de modo que:(2x+ 3) + 6 · i = 7 + (2 + 4y) · i.Para que os complexos sejam iguais devemos ter:2x+ 3 = 7⇒ x = 2e2 + 4y = 6⇒ y = 1Logo, para que (2x + 3) + 6 · i = 7 + (2 + 4y) · i, devemoster x = 2 e y = 1.

Operacoes com Complexos

Adicao e Subtracao

Para somarmos ou subtrairmos dois ou mais numeros com-plexos, somamos ou subtraımos, respectivamente, suas par-tes reais e imaginarias, separadamente. Ou seja:

(a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (b+ d)i

(a+ bi)− (c+ di) = (a− c) + (b− d)i

Exemplo

Seja

z1 = 5− 3i

z2 = 2 + 4i

z3 = −3− 5i

calcule:

a) z2 − z3

z2 − z3 = (2 + 4i)− (−3− 5i)z2 − z3 = (2 + 3) + (4 + 5)i = 5 + 9ib) z1 + z2

z1 + z2 = (5− 3i) + (2 + 4i)z1 + z2 = 7 + i

Multiplicacao por um Real

Para multiplicar um complexo por um numero real bastamultiplicar a parte real e a parte imaginaria pelo respectivonumero.

Exemplo

Sejam os complexos: z1 = 6− 3i e z2 = 3 + 2i. Determinaro valor de 3 · z1 − 5 · z2.3 · z1 − 5 · z2 = 3 · (6− 3i)− 5 · (3 + 2i)3 · z1 − 5 · z2 = 18− 9i− 15− 10i3 · z1 − 5 · z2 = 3− 19i

Multiplicacao de Complexos

Multiplicamos dois numeros complexos de acordo com a re-gra da multiplicacao de binomios. Devemos lembrar quei2 = −1. Com isso temos que:

(a+ bi) · (c+ di) = (ac− bd) + (ad+ bc) · i

Exemplos

a) (3− 3i) · (−2 + 2i):(3− 3i) · (−2 + 2i) = −6 + 6i+ 6i+ 6i2

(3− 3i) · (−2 + 2i) = −6 + 6i+ 6i− 6(3− 3i) · (−2 + 2i) = −12 + 12ib) (5− 3i)2:(5− 3i)2 = (5− 3i) · (5− 3i)(5− 3i)2 = 25− 15i− 15i+ 9i2

(5− 3i)2 = 25− 15i− 15i− 9(5− 3i)2 = 16− 30i

Conjugado de um Complexo

Sendo z = a + bi um numero complexo qualquer, defini-secomo o conjugado de z o numero complexo z = a− bi.Exemplos

1. Sendo z = 6− 5i, temos que: z = 6 + 5i.

2. O conjugado de z = −3 + 2i e o complexo z = −3− 2i.

Observacao

O produto de um numero complexo z pelo seu conjugado Ze sempre um numero real e positivo. Esse produto chama-senorma de z.

Exemplo

Sendo z = 5− 3i, o produto z · Z e:(5− 3i) · (5 + 3i) = 25 + 15i− 15i− 9i2

Lembrando que i2 = −1, temos que:z · Z = 25 + 9 = 34

Divisao de Complexos

Para dividirmos dois complexos, escrevemos o quociente soba forma de uma fracao, a seguir, usando o procedimento deracionalizacao de denominadores, multiplicamos ambos ostermos da fracao pelo conjugado do denominador. Ou seja:

z1

z2=z1

z2· z1

z2

Exemplo

Sendo z1 = 3 + 2i e z2 = −2− 3i, obter: z1z2

.

z1

z2=

3 + 2i

−2− 3i


z1

z2=

3 + 2i

−2− 3i· −3 + 2i

−2 + 3i

−6 + 9i− 4i+ 6i2

−22 − (3i)2 =

−6 + 9i− 4i− 6

4 + 9

logo,z1

z2=−12 + 5i

13⇒ z1

z2=−12

13+

5i

13

Representacao Geometrica

Consideremos num plano, chamado plano de Argand-Gauss ou plano complexo, um sistema de coordenadas car-tesianas ortogonais x O y e nele um ponto P de coordena-das x e y. Lembrando que um numero complexo na formaalgebrica tem a forma de: z = (x, y) = x + yi, podemosestabelecer uma correspondencia entre os pontos do planoe os numeros complexos. Ou seja: Podemos representar oscomplexos geometricamente, pelos pontos do plano.

θ

Re

Im

x

y z = x + yi

Figura 3.1: O plano complexo.

O ponto P e a imagem geometrica de z ou afixo de z.Observacao

- A parte real de um complexo tem seus afixos no eixo Re;eixo real.

- A parte imaginaria de um complexo e representada noeixo Im, que por essa razao e chamado de: eixo ima-ginario.

Modulo de um numero complexo

Na representacao geometrica de um numero complexo z =x + yi, vamos considerar a distancia entre o afixo P dessenumero e a origem. A essa distancia denominamos modulode z e indicamos por |z| ou ρ.

Calculando a referida distancia, temos:

dop =

√(x− 0)

2+ (y − 0)

2=√x2 + y2

Portanto,temos:

|z| = ρ =√x2 + y2

Exemplo

Calcular o modulo do numero complexo z = 3 + 4i. Comovimos:|z| = ρ =

√x2 + y2, assim;

|z| = ρ =√

32 + 42 =√

9 + 16 =√

25 = 5logo: |z| = ρ = 5

Argumento de um Complexo

Sendo um numero complexo z = z + yi, com z 6= 0; Define-se como o argumento de z, o numero real θ(0 ≤ θ ≤ 2π)que corresponde a medida do angulo formado pelo segmentoorientado OP e o eixo Ox, no sentido anti-horario.

Indicamos por:

arg(z) = θ

A partir da figura (plano complexo), obtemos as importan-tes relacoes:

cos θ =x

ρe sen θ =

y

ρ

Forma Trigonometrica

Com as definicoes de modulo e argumento, podemos re-presentar os numeros complexos de outra forma, alem daalgebrica, ja conhecida.

Assim, para o complexo z = x+ yi, temos:

cos θ =x

ρ⇒ x = ρ cos θ

e

sen θ =y

ρ⇒ y = ρ sen θ

Como z = x+ yi

z = ρ cos θ + iρ sen θ

De outra forma:

z = ρ(cos θ + i sen θ)

A igualdade acima e denominada forma trigonometricaou polar do numero complexo.

O numero complexo z = 0, para o qual nao e possıvel de-terminar o argumento θ, nao pode ser escrito na forma tri-gonometrica.

Observe que, quando multiplicamos um numero complexopor i, ele gira 90 no sentido anti-horario, no plano com-plexo.

Pense um Pouco!

• Pode-se dizer que R ⊂ C? Por que?

• Existe alguma semelhanca entre o plano complexo e oplano cartesiano? Quais?

• 1/i e um numero complexo?



1. (UFPA-PA) O numero complexo z = x+ (x2− 4)i e realse, e somente se:a) x = 0b) x 6= 0c) x = ±2d) x 6= ±2e) x 6= 0 e x 6= 2

2. (UFRN-RN) Se z = 4 + 2i, entao z − 3z vale :a) 6 + ib) 1 + 8ic) −8 + 8id) 1− 8ie) 12 + 6i

3. (UFSE-SE) Se o numero complexo z e tal que z = 3−2i,

entao (z)2

e igual a:a) 5b) 5− 6ic) 5 + 12id) 9 + 4ie) 13 + 12i

4. Sendo i2 = −1, o valor de i58 + i85 e:a) 0b) 1 + ic) −1 + id) 1− ie) −1− i

5. (Sta Casa -SP) O valor de 2−i2+i e igual a:

a) 35 + 4

5 ib) 2

3 − 43 i

c) 35 − 4

5 id) 3− 4ie) 4 + 3i


6. (PUC-SP) O conjugado do numero complexo 1+3i2−i e:

a) (−1− 7i)/5b) (1− i)/5c) (1 + 2i)/7d) (−1 + 7i)/5e) (1 + i)/5

7. A soma S = i7 + i8 + i9 + . . .+ i93 + i94 + i95 e:a) 1b) ic) -1d) -ie) 1 - i

8. (UFRG-RG) Efetuando as operacoes indicadas naequacao 5−i

1+i − 4−3i2+i , obtemos :

a) 1− ib) 1 + ic) −1− i

d) ie) −i

9. (U.C.SALVADOR-BA) Sejam os numeros x e y tais que12−x+(4+y)i = y+xi. O conjugado do numero complexoz = x+ yi e:a) 4 + 8ib) 4− 8ic) 8 + 4id) 8− 4ie) −8− 4i

10. (FATEC-SP) Se i e a unidade imaginaria e z = (2 −i)2/(1 + i), entao:a) z = (5− 5i)/2b) z = (7− i)/2c) z = (5 + 5i)/2d) z = (7 + i)/2e) z = (−5− 5i)/2

Matematica C Aula 4

Razoes e Proporcoes

Razao

A razao entre dois numeros a e b (com a e b reais e b 6= 0),nessa ordem, e o quociente a

b . O numero a e chamadoantecedente e o numero b e chamado consequente.

Exemplos

1. A razao entre 4 e 6 e:

4

6=

2

3

2. A razao entre 2 m e 30 cm e:

2 m

30 cm=

200 cm

30 cm=

20

3

Observe que a razao deve ser calculada numa unidadecomum, a fim de ser cancelada. Finalmente, a razaoobtida nao dependera da unidade escolhida, pois e adi-mensional.

Escala

E a razao entre um comprimento no desenho e o correspon-dente comprimento real.

Exemplo

Um edifıcio tem 30 m de altura. Essa medida foi represen-tada no projeto por 15 cm. Qual foi a escala usada nesseprojeto?


comprimento no desenho

comprimento real=

15 cm

30 m=

15 cm

3000 cm

E = 1100 ou E = 1 : 200

Proporcao

Os numeros a, b, c e d, com b e d nao nulos (6= 0, formamnessa ordem, uma proporcao se, e somente se, a razao entrea e b e igual a razao entre c e d. Ou seja:

a

b=c

d

Le-se: a esta para b, assim como c esta para d.

Os numeros a e d sao chamados de extremos e os numerosb e c sao chamados de meios.

Propriedades

I) O produto dos meios e igual ao produto dos extremos

a

b=c

d⇔ a · d = b · c

II) A soma dos dois primeiros termos esta para o segundo,assim como, a soma dos dois ultimos esta para o ultimo.

a

b=c

d⇔ a+ b

b=c+ d

d

III) Cada antecedente esta para o seu consequente, assimcomo; a soma dos antecedentes esta para a soma dos con-sequentes.

a

b=c

d=a+ c

b+ d

Grandezas Diretamente Proporcionais:(GDP)

Uma grandeza A e diretamente proporcional a uma gran-deza B, se, e somente se, as razoes entre os valores de A eos correspondentes valores de B forem constantes.

Se A = (a1, a2, a3, . . .) e B = (b1, b2, b3, . . .), forem grande-zas diretamente proporcionais, entao

a1

b1=a2

b2=a3

b3= . . . = k

Exemplo

Se considerarmos a distancia percorrida por um movel comvelocidade constante de 50 km/h viajando a 3 horas tere-mos a seguinte tabela : como 50

1 = 1002 = 150

3 = 50, temos

Distancia (km) 50 100 150tempo (h) 1 2 3

que distancia e tempo, neste exemplo, sao grandezas dire-tamente proporcionais.

Grandezas Inversamente Proporcionais(GIP)

Uma grandeza A e inversamente proporcional a uma gran-deza B se, e somente se, os produtos entre os valores de Ae os correspondentes valores de B forem constantes.

Se A = (a1, a2, a3, . . .) e B = (b1, b2, b3, . . .), forem grande-zas inversamente proporcionais, entao:

a1 · b1 = a2 · b2 = a3 · b3 = . . . = k

Exemplo

Se considerarmos que a distancia que separa duas cidades Ae B e de 300 km e que um movel viaja de A para B com umacerta velocidade, vamos observar pela tabela abaixo que otempo gasto para percorrer essa distancia varia conforme avelocidade do movel.

Velocidade (km/h) 50 60 100Tempo (h) 6 5 3

Temos que 50 · 6 = 60 · 5 = 100 · 3, logo as grandezas velo-cidade e tempo, neste exemplo, sao grandezas inversamenteproporcionais.

Pense um Pouco!

• Determine o valor de x nas proporcoes:a) x

4 = 96

b) 3x+22x−1 = 24

9

• Calcule o valor de x e y na proporcao xy = 2

5 , sabendoque x+ y = 42.

• Determine x e y, sabendo que as sucessoes de numerossao diretamente proporcionais:

2 x 93 9 y


1. Determine m e n, sabendo que as sucessoes numericassao inversamente proporcionais:

3 m 912 4 n

2. Antonio, Joao e Pedro trabalham na mesma firma ha 10,4 e 6 anos, respectivamente. A firma distribuiu uma grati-ficacao de R$ 80.000,00 entre os tres, em partes diretamenteproporcionais ao tempo de servico de cada um. Quantos re-ais cada um ira receber?

3. Divida 210 em partes inversamente proporcionais a 1/2,1/5 e 1/7.



4. Represente a razao entre:a) 18 e 12 =b) 6 m e 4 m =c) 150 g e 2 kg =d) 750 litros e 1 m3 =e) 600 s e 1 hora =f) 8 km e 1600 m =

5. Um comprimento real de 25 m foi representado numdesenho por 10 cm. Nesse caso, qual foi a escala usada?a) 1 : 250b) 1 : 300c) 1 : 150d) 1 : 500e) n. d. a.

6. A distancia entre duas cidades, em linha reta, e 120 kme foi representada num mapa rodoviario por um segmentode 60 cm. Qual foi a escala usada nesse mapa?a) 2 : 125b) 1 : 120.000c) 1 : 200.000d) 1 : 12.000e) n. d. a.

7. Em geral, num adulto, a altura da cabeca esta paraa altura do restante do corpo, assim como 1 esta para 7.Quanto mede uma pessoa cuja cabeca tem 22 cm de altura?a) 1,54mb) 1,60mc) 1,76md) 1,82me) n. d. a.

Matematica C Aula 5

Regras de Tres Simples e Composta

Regra de Tres Simples

Sendo a e b dois valores da grandeza A e, c e d os valo-res correspondentes da grandeza B, chama-se de regra detres simples ao metodo pratico para determinar um dessesquatro valores, sendo conhecidos os outros tres.

Tecnica Operatoria

Conforme a definicao acima temos:

GRANDEZA A GRANDEZA Ba cb d

Se A e B forem grandezas diretamente proporcionais entao:

a

c=b

d⇔ a

b=c

d

Se A e B forem grandezas inversamente proporcionais entao:

a · c = b · d⇔ a

b=d

c

Exemplos

1. Uma torneira que despeja 15 l/min enche um tanqueem 80 min. Uma outra torneira, despejando 25 l/min,em quanto tempo encheria esse tanque?Temos um exemplo que envolve grandezas inversa-mente proporcionais, pois; ao aumentarmos a vazao,o tempo necessario para encher o mesmo tanque dimi-nuira. Com isso:

15 · 80 = 25 ·X ⇔ 15

25=X

80⇒ X = 48

Logo, enchera o tanque em 48 min.

2. Um automovel percorre 132 km com 12 litros decombustıvel. Quantos litros de combustıvel serao ne-cessarios para que ele percorra 550 km?Neste exemplo temos grandezas diretamente proporcio-nais, pois; aumentando a distancia, tambem aumentarao consumo de combustıvel. Com isso:

132

12=

550

x⇔ 132 · x = 550 · 12⇒ x = 50

logo, serao necessarios 50 litros de combustıvel.

[Regra de Tres Composta

Chama-se regra de tres composta, ao metodo pratico empre-gado para resolver problemas que envolvem mais de duasgrandezas, diretamente ou inversamente proporcionais.

Propriedade

Considere uma grandeza A (a1, a2, a3, . . .) diretamente pro-porcional a uma grandeza B (b1, b2, b3, . . .) e a uma gran-deza C (c1, c2, c3, . . .), entao :

a1

a2=b1b2

=c1c2

Exemplo

Com 16 maquinas de costura aprontaram-se 720 uniformesem 3 dias de trabalho. Quantas maquinas serao necessariaspara confeccionar 2160 uniformes em 24 dias.

No de Maquinas Uniformes Dias16 720 3x 2160 24

A grandeza No de maquinas, onde esta a variavel deve sercomparada com as grandezas Uniformes e Dias. Assim te-mos que:

1. No de maquinas e Uniformes sao grandezas direta-mente proporcionais, pois mais maquinas produzemmais uniformes.


2. No de maquinas e Dias sao grandezas inversamente pro-porcionais, pois, quanto maior o numero de maquinas,menor o numero de dias necessarios. Com isso 16

x =7202160 · 24

3 ⇒ x = 6, logo serao necessarias 6 maquinas.

Pense um Pouco!

• Se um fio pesa 10N g/cm, quanto pesara por metro?

• Se uma copia xerografica custa 9 centavos, quanto cus-tou essa apostila (so o xerox)?

• Cite exemplos de onde voce ja usou as regras de tresestudadas?


1. Na merenda escolar, 320 criancas consumiram 1440 litrosde leite em 15 dias. Quantos litros de leite deverao serconsumidos por 400 criancas em 30 dias?a) 2500b) 3600c) 7200d) 4440e) n.d.a

2. Calcular a altura de uma torre que projeta uma sombrade 45 m, o mesmo instante em que uma arvore de 6 mde altura, plantada verticalmente, projeta uma sombra de3, 6 m.a) 75mb) 90 mc) 55 md) 70 me) n.d.a

3. (PUC-MG)Uma pessoa viajando de automovel, com ve-locidade media de 88 km/h, leva 5 horas para ir de BeloHorizonte - Pocos de Caldas.

Na volta para Belo Horizonte, fez o mesmo percurso em 4h. Portanto, a velocidade media, em km/h, ao retornar foide:a) 93b) 96c) 100d) 110e) 120

3.1 Exercıcios Complementares

4. Um certo trabalho pode ser realizado por um grupo de12 operarios em 20 dias de trabalho de 8 horas diarias. Seesse mesmo trabalho tivesse que ser feito em apenas 16 dias,com 16 operarios igualmente eficientes, quantas horas pordia eles deveriam trabalhar?a) 7,5 h/db) 6,0 h/dc) 8,5 h/d

d) 9,0 h/de) n.d.a

5. Em uma fabrica de refrigerante, uma maquina encheu4000 garrafas em 8 dias, funcionando 8 horas por dia. Quan-tos dias s essa maquina levara, para encher 6000 garrafas,trabalhando 16 horas diarias?a) 9b) 5c) 11d) 6e) n.d.a

6. Em um zoologico, a alimentacao de 15 animais durante90 dias custa R$ 2.700,00. Qual sera o custo da alimentacaode 25 animais por um perıodo de 12 dias?a) R$ 900,00b) R$ 750,00c) R$ 600,00d) R$ 450,00e) n.d.a

Matematica C Aula 6

Juros e Porcentagens

Juros Simples

Juro e a importancia cobrada por unidade de tempo, peloemprestimo de dinheiro, expressa como porcentagem dasoma emprestada.

Nocao Intuitiva e Nomenclatura Usual

Em “A quantia de R$ 2.000,00, emprestada a 10% ao ano,durante 3 anos, rendeu R$ 600,00 de juros simples”.

O raciocınio e:

Se o capital 100 produz 10 em um ano, entao o capital 2.000produzira 600 em 3 anos.

Temos os seguintes dados:

O Capital e 99K C = 2.000A Taxa e 99K i = 10(em % ao ano)O tempo e 99K t = 5(em anos)Os juros sao 99K J = 600

Observacoes:

Denominamos juros simples aqueles que nao sao somadosao capital, durante o tempo em que foi empregado.

Se a taxa “i”for referida ao ano, mes, dia etc, o tempo“t”tambem devera ser tomado correspondentemente emanos, meses, dias, etc.

Para efeito de calculo o ano e considerado de 12 meses de30 dias cada.


Tecnica Operatoria

Os problemas envolvendo juros simples, na verdade sao deRegra de tres composta, que obedecem ao seguinte esquema;

Grandezas

100 . . . i . . . lC . . . j . . . t

Interpretacao

Se o capital 100 produz i em 1 ano, entao; o capital“c”produzira j em t anos.

Quando resolvemos isolando “j”, temos:

J =C · i · t

100

Exemplos

1. Quanto rendera um capital de R$ 5.000,00 empregadoa taxa de 5% a.a, em regime de juros simples, durante3 anos?

Temos:

C = 5000;I = 5;T = 3;

Substituindo os respectivos valores na formula, temos:

J =5000 · 5 · 3

100= 750

Assim, tera um rendimento de R$ 750, 00.

2. Calcular os juros de R$ 8.500,00 a taxa de 36% a.a,durante 6 meses.

Observe que a taxa esta expressa em anos, enquanto otempo em meses. Como devemos trabalhar com as duasgrandezas em unidades de tempos iguais, tomaremos otempo como sendo 6

12 anos.

Assim:

J =8500 · 36 · 6

12

100⇒ J =

8500 · 36 · 61200

= 1530

Portanto, os juros sao de R$ 1.530,00.

3. Calcular os juros produzidos por um capital de R$25.000,00 durante 2 meses e 15 dias, a uma taxa de1% a.m.

Como nao ha concordancia entre a taxa e o tempo,devemos fazer algumas modificacoes para que possa-mos resolver o problema. Faremos as seguintes trans-formacoes:

2 meses e 15 dias correspondem a 75 dias, ou entao: 75360

anos. Ainda; a taxa 1% ao mes, corresponde a 1% vezes12 meses, o que da 12% a.a.

Aplicando a formula, temos:

J =2500 · 12 · 75

360

100=

2500 · 12 · 75

36000= 625

Logo, os juros produzidos sao de R$ 625,00.

Porcentagem

Comumente usamos expressoes que refletem acrescimos oureducoes em precos, numeros ou quantidades, sempre to-mando por base 100 unidades.

Exemplos

1. A gasolina tera um aumento de 10%, na proxima se-mana.

Significa que em cada R$ 100,00 havera um acrescimode R$ 10,00.

2. Numa pesquisa de intencao de votos, o candidato Aaparece em 2o lugar, com 25% da preferencia dos elei-tores, ao cargo de prefeito municipal.

Quer dizer que; em media, a cada 100 pessoas que foramentrevistadas, 25 preferem o candidato A.

Razao Centesimal

Toda a razao que tem por denominador o numero 100denomina-se razao centesimal.

Exemplos

a) 25100 = 25% (le-se: 25 por cento)

b) 47100 = 47% (le-se: 47 por cento)

c) 125100 = 125% (le-se:125 por cento)

Chamamos as expressoes 25% ; 47% ; 9% de taxas cente-simais ou taxas percentuais.

Porcentagem e o valor obtido ao aplicarmos uma taxapercentual a um determinado valor. Dessa forma; pode-mos resolves problemas de porcentagem, utilizando taxaspercentuais.

Exemplos

1. Um jogador de voleibol efetuou 25 finalizacoes no de-correr de uma partida, obtendo um aproveitamento de80%. Qual o numero de sucessos que ele obteve?

80% de 25 =80

100· 25 = 20

Logo, ele obteve 20 sucessos.

2. Um investidor comprou um lote de acoes por R$1.500,00 e as revendeu um mes depois, por R$ 2.100,00.Qual foi o percentual de lucro por ele obtido?

Para resolver o problema, vamos montar um esquemaem que somaremos o percentual de lucro obtido, aosR$ 1.500,00 investidos inicialmente, chegando assim aovalor final de venda das acoes.

1.500 + x100 · 1.500 = 2.100

15x = 2.100− 1.500x = 600

15 ⇒ x = 40

Desse modo, ele obteve um lucro de 40%.


Fator de Multiplicacao

Quando um dado valor sofre um acrescimo percentual, po-demos incorporar tal acrescimo, obtendo assim o que cha-mamos de “fator de multiplicacao”.

Exemplo

Um valor que sofre um aumento de 25%, tera um fator demultiplicacao igual a 1, 25, pois:

100% + 25% = 125%, ou seja:125% = 125

100 = 1, 25

Da mesma forma, podemos estender esse raciocınio paraoutros valores, como mostra a tabela abaixo:

Lucro ou Acrescimo Fator de Multiplicacao10% 1,1015% 1,1520% 1,2047% 1,4767% 1,67

Exemplo

Quanto passara a receber um funcionario, que tem umsalario de R$ 950,00 e, obtem um aumento de 35%?

Para chegarmos ao valor do novo salario, basta que usemosum fator multiplicativo igual a 1,35 sobre o valor atual,assim:

950 · 1, 35 = 1.282, 50

Portanto, o novo salario sera de R$ 1.282,50.

Para os casos em que ocorrem decrescimos, o fator de mul-tiplicacao sera dado por:

Fator de Multiplicacao = 1 - taxa de desconto (na formadecimal).

Veja a tabela abaixo:

Desconto Fator de Multiplicacao10% 0,9025% 0,7534% 0,6660% 0,4090% 0,10

Exemplo

Qual sera o valor do desconto de um produto, que custa R$350,00 , mas que em promocao e vendido por 22% abaixodo preco?

Nesse caso, o fator de multiplicacao e:Fator = 1 - 0,22 = 0,78

Assim 350 · 0, 78 = 273

Portanto, quando descontados 22%, o produto passa a cus-tar R$ 273,00.

Pense um Pouco!

• Tomando-se uma quantidade inicial X e adicionando-se a ela um certo percentual p obtemos um valor finalX ′. Se tomarmos agora o valor X ′ e descontarmos omesmo percentual p obteremos o valor X? Discuta.


1. Uma compra foi efetuada no valor de R$ 1.500,00.Obteve-se um desconto de 20%. Qual foi o valor pago emreais?a) 1350b) 1300c) 1250d) 1200e) n.d.a

2. Um carro, que custava R$ 12.000,00, sofreu uma valo-rizacao (acrescimo) de 10% sobre o seu preco. Quanto elepassou a custar?a) 12.400,00b) 13.200,00c) 13.800,00d) 14.600,00e) n.d.a

3. Uma impressora a laser custou R$ 2.000,00 para umagrafica. No perıodo de um mes, ela apresentou um lucro deR$ 100,00. De quanto porcento foi o lucro sobre o preco decompra?a) 5b) 10c) 6d) 11e) n.d.a


4. Se a taxa de uma aplicacao e de 150% ao ano, quan-tos meses serao necessarios para dobrar um capital aplicadoatraves de capitalizacao simples?a) 10 mesesb) 9 mesesc) 8 mesesd) 7 mesese) n.d.a

5. Qual o capital, em reais, que aplicado a juros simples de1, 5%a.m. rende R$ 250,00 de juros em 50 dias?a) 10.000b) 15.000c) 25.000d) 17.500e) n.d.a

6. (Desafio) Um determinado produto teve um acrescimode 20%, sobre o seu preco de tabela. Apos certo perıodo,teve um decrescimo tambem de 20% sobre o preco que foi


aumentado, obtendo assim o preco atual. Qual e o percen-tual que o preco atual corresponde em relacao ao primeirovalor (preco de tabela)?a) 100%b) 96%c) 90%d) 85%e) n.d.a

7. O valor de 10 % e igual a:a) 100b) 10c) 1d) 0,1e) n.d.a

Analise Combinatoria

Princıpio Fundamental da Contagem

O princıpio fundamental da contagem nos mostra ummetodo algebrico, para determinar o numero de possibi-lidades de ocorrencia de um acontecimento, sem precisar-mos descrever todas as possibilidades. Se um acontecimentopode ocorrer por varias etapas sucessivas e independentesde tal modo que:

p1 e o no de possibilidades da 1a etapap2 e o no de possibilidades da 2a etapa...pn e o no de possibilidades da n-esima etapa

Entao, o numero total P de possibilidades do acontecimentoocorrer e dado por:

P = p1 × p2 × p3 × . . .× pn

Exemplos

1) Quantas placas (distintas) de automoveis, poderao seremitidas; com o sistema atual de emplacamento?

O atual sistema de emplacamento de automoveis no Brasilutiliza tres letras e quatro algarismos. No novo alfabeto saoconsideradas 26 letras e temos dez dıgitos entre os numeros.Logo o numero de possibilidades sera :

P = 26× 26× 26× 10× 10× 10× 10 = 175.760.000

2) Obtenha o total de linhas telefonicas que podem ser ins-taladas, com o prefixo 436:

Para resolver este problema, e preciso escolher um algarismopara a casa das milhares, outro para as centenas, outro paraas dezenas e um outro para as unidades. Os algarismos a se-rem utilizados em cada uma das casas, podem ser escolhidosentre os dez dıgitos do sistema decimal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9. Como cada uma das casas podem ser preenchidas comum dos 10 algarismos acima, temos que: O total de linhaspossıveis com o prefixo 436 e o produto das possibilidadesque se tem para preencher cada uma das casas. Logo:

As linhas podem ter numeros no formato 436-ABCD, ondeos quatro dıgitos ABCD de 0 a 9 indicam que podemos ter

numeros de 0000 a 9999, ou seja, 10 mil linhas diferentes.Ou, de outro modo:

P = 10× 10× 10× 10 = 10.000

3) Quantos numeros ımpares de 3 algarismos distintos, saopossıveis utilizando os algarismos: 1, 3, 4, 5, 7, 8.

Ao iniciar a resolucao de um problema de analise combi-natoria, e aconselhavel que se faca alguns grupos dos quaisqueremos calcular o total. No caso do nosso atual problema,veja alguns exemplos de numeros ımpares de 3 algarismosdistintos: 347, 815, 135, 451,etc. Note que o numero 533 naonos serve, pois houve repeticao do algarismo 3; o numero 534tambem nao serve, pois e par. Um outro ponto importantee, por onde comecar a resolver o problema. Procure sempreatacar o problema, por onde houver um maior numero derestricoes. Veja:

centena dezenas unidades

Em nosso caso, temos a restricao de que os numeros devemser ımpares.

Logo, para a casa das unidades, temos 4 possibilidades(1,3,5,7). A seguir, vamos analisar a casa das centenas, naqual; podemos usar qualquer um do 6 algarismos dados peloproblema, porem eliminando-se um deles (aquele que esti-ver na casa das unidades), ja que nao pode haver repeticao.Portanto, temos para a casa das centenas 5 possibilidades.Finalmente, analisando a casa das dezenas, concluımos querestaram 4 possibilidades, pois: nao podemos repetir o alga-rismo que estiver na casa das unidades e nem o que estiverna casa das centenas. Portanto: O total de possibilidadese: P = 5× 4× 4 = 80, o que da um total de 80 numeros.

Fatorial

Sendo n um numero natural, define-se fatorial de n, e indica-se ”n!”a expressao

n! = n× (n− 1)× (n− 2)× . . .× 3× 2× 1

Propriedade

Para fins de calculo, define-se que:

0! = 1

1! = 1

Observe que: fatorial e uma definicao por recorrencia, ouseja: cada fatorial e calculado com a utilizacao do fatorialanterior. Assim:

0! = 11! = 12! = 23! = 64! = 245! = 1206! = 720...

...n! = n · (n− 1) · (n− 2) · · · 3 · 2 · 1


Exemplos

10!

8!=

10× 9× 8!

8!= 90

(x+ 3)!

(x+ 1)!=

(x+ 3)(x+ 2)(x+ 1)!

(x+ 1)!= (x+3)(x+2) = x2+5x+6

Pense um Pouco!

• De quantas formas diferentes pode resultar olancamento de dois dados simultaneos?

• Na serie de numeros de 0 a 100, quantos algarismosnoves sao usados?

• Quantos numeros pares se pode formar com os algaris-mos 1, 2, 3, 4?


8. O resultado de22!8!

11!19!

e:a) 25b) 28/3c) 31/7d) 15e) n.d.a

9. Numa eleicao de uma empresa, ha 4 candidatos a presi-dente, 3 a vice-presidente, 5 a supervisor-geral e 3 a tesou-reiro. Quantos podem ser os resultados da eleicao?a) 120b) 180c) 150d) 210e) n.d.a

10. Simplifique as expressoes:a) (x+ 5)!/(x+ 3)!b) (3x+ 1)!/(3x− 1)!

11. (Mack-SP) Quantos numeros de 5 dıgitos podem serescritos com os algarismos 1, 2, 3, 4, sem que aparecamalgarismos consecutivos iguais?a) 20b) 32c) 40d) 120e) n. d. a.


12. Sobre uma circunferencia marcam-se 6 pontos, igual-mente espacados. Quantas retas eles determinam:a) 21b) 16

c) 5d) 12e) n.d.a.

13. (Saem) A quantidade de numeros que podemos formarcom os algarismos 3, 4, 5, 6, sem repeti-los, maiores que4000, e:a) 64b) 09c) 06d) 18e) n.d.a

14. Quantos carros podem ser licenciados, se cada placacontem duas vogais e tres dıgitos?a) 125.000b) 110.000c) 95.000d) 154.000e) n.d.a

15. Resolvendo a equacao, (x + 3)!/(x + 1)! = 12, temosque:a) x = 0b) x = 1c) x = 2d) x = 3e) n.d.a

16. (Ufes) Um shopping center possui 4 portas de entradapara o andar terreo, 5 escadas rolantes ligando o terreo aoprimeiro pavimento e 3 elevadores que conduzem do pri-meiro para o segundo pavimento. De quantas maneias di-ferentes uma pessoa, partindo de fora do shopping centerpode atingir o segundo pavimento, usando os acessos men-cionados?a) 25b) 30c) 45d) 125e) n.d.a

17. (Puc-SP) Chamam-se polındromos os numeros inteirosque nao se alteram quando e invertida a ordem de seus al-garismos (por exemplo: 383, 4224, 74847). O numero totalde polındromos de cinco algarismos e:a) 900b) 780c) 560d) 640e) n.d.a


Matematica C Aula 8

Arranjo, Combinacao e Permutacao

Arranjos Simples

Arranjo simples e o tipo de agrupamento sem repeticao emque um grupo e diferente de outro pela ordem ou pela na-tureza dos elementos componentes. O numero de arranjossimples de n elementos em grupos de p elementos e dadopor:

An,p =n!

(n− p)!

Esta formula mostra que os arranjos dos n elementos toma-dos p a p podem ser escritos utilizando-se fatoriais.

Exemplos

1) Quantos numeros de 3 algarismos podemos formar comos algarismos 1,2,3,4,5 e 7, sem repeti-los?

Os numeros formados devem ter 3 algarismos, por exem-plo 123. Invertendo-se a ordem destes algarismos, obtemosnovos numeros, portanto, o problema e de arranjo simples.Logo

A6,3 =6!

(6− 3)!=

6 · 5 · 4 · 3!

3!= 120

2) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 sao formados numerosde quatro algarismos distintos. Dentre eles, quantos sao di-visıveis por 5. Como os numeros devem ser divisıveis por 5,os mesmos devem obrigatoriamente terminar em 5, logo, dos6 algarismos que tınhamos para trabalhar nos restam 5, dosquais vamos tomar 3 a 3. Se tomarmos uma das possıveisrespostas, por exemplo 2345 e invertermos a ordem dos seuselementos teremos o numero 4325, que e outra resposta doproblema. Logo o problema proposto e de arranjos simples.Com isso temos que:

A5,3 =5!

(5− 3)!=

5 · 4 · 3 · 2!

2!= 60

Combinacoes Simples

Combinacao simples e o tipo de agrupamento, sem repeticaoem que um grupo e diferente de outro apenas pela naturezados elementos componentes. O numero de combinacoes den elementos de grupos de p elementos e igual ao numero dearranjos de n elementos tomados p a p, dividido por p!, istoe:

Cn,p =An,pp!

=n!

p!(n− p)!

Exemplos

1) Quantas comissoes constituıdas de 3 pessoas podem serformadas com 5 pessoas ?

As comissoes formadas devem Ter 3 pessoas, por exemploA , B e C. Invertendo-se a ordem destas pessoas, obtemosa mesma comissao. Portanto, o problema e de combinacao.

C5,3 =5!

3!2!=

5 · 4 · 3!

3!2!= 10

Logo, podemos formar 10 comissoes.

2) Sobre uma reta, marcam-se 8 pontos e sobre uma outrareta, paralela a primeira, marcam-se 5 pontos. Quantostriangulos obteremos unindo 3 quaisquer desses pontos?

Com os 13 pontos, podemos obter C13,3 triangulos.

Se tomarmos os tres pontos sobre a mesma reta, nao forma-remos um triangulo, com isso, o total de triangulos obtidose dado por

C13,3 − C8,3 − C5,3 = 286− 56− 10 = 220

Permutacoes Simples

Permutacoes simples e o tipo de agrupamento ordenado,sem repeticao, em que entram todos os elementos em cadagrupo.

A permutacao simples e um caso particular de arranjo sim-ples.

O numero de permutacoes simples que se pode formar comn elementos e igual ao fatorial de n, ou seja:

Pn = n!

Exemplos

1) Quantos numeros de 5 algarismos distintos podem serformados, usando-se os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9?

Como usaremos todos os algarismos dados, em cada res-posta do problema, temos agrupamentos do tipo per-mutacoes simples, logo o numero de algarismos e igual a

P5 = 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

2) Quantos anagramas tem a palavra MITO?

Qualquer ordenacao das letras de uma palavra e denomi-nada anagrama. Como a palavra MITO tem 4 letras, temos:

P4 = 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24

Pense um Pouco!

• Qual a diferenca basica entre combinacao e arranjo?

• Se houverem elementos repetidos num conjunto, qual onumero de permutacoes diferentes possıveis? Exemplo:quantos anagramas tem a palavra MARIA?


1. Quantos numeros de 5 algarismos distintos podemos for-mar com os algarismos 1, 4, 5, 7, 8 e 9?


a) 120b) 720c) 1.296d) 15.625e) n.d.a

2. De quantas maneiras podemos escalar um time de futebolde salao dispondo de 8 jogadores?a) 48b) 56c) 72d) 28e) n.d.a

3. Considere o conjunto A = 2, 4, 5, 6. Quantos numeros,distintos, multiplos de 5 se podem formar, com todos oselementos de A?a) 24b) 12c) 18d) 06e) n.d.a

4. Quantas palavras de 3 letras, sem repeticao, podemosformar com as 9 primeiras letras do nosso alfabeto?a) 504b) 324c) 27d) 81e) n.d.a

5. Quantos numeros de 4 algarismos distintos podemos for-mar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?a) 2560b) 1440c) 4536d) 2866e) n.d.a

6. Numa sala, temos 5 rapazes e 6 mocas. Quantos grupospodemos formar de 2 rapazes e 3 mocas?a) 30b) 200c) 300d) 150e) n.d.a

7. Quantos numeros de 7 algarismos distintos podem serformadas, usando-se os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 ?a) 5040b) 3640c) 2320d) 720e) n.d.a

8. Quantos sao os numeros compreendidos entre 2.000 e3.000, formados por algarismos distintos escolhidos entre 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?a) 210b) 175c) 336d) 218e) n.d.a


9. Quantas comissoes com 6 membros podemos formar com10 alunos?a) 210b) 120c) 75d) 144e) n.d.a

10. Uma empresa e formada por 6 socios brasileiros e 4 ja-poneses. De quantos modos podemos formar uma diretoriade 5 socios, sendo 3 brasileiros e 2 japoneses?a) 10b) 15c) 6d) 12e) n.d.a

11. (PUC-SP) Numa sala ha 5 lugares e 7 pessoas. Dequantos modos diferentes essas pessoas podem ser coloca-das, ficando 5 sentadas e 2 em pe?a) 5.040b) 21c) 120d) 2.520e) n.d.a.

12. Quantos anagramas da palavra EDITORA, comecamcom A e terminam com E?a) 120b) 720c) 840d) 24e) n.d.a

13. (UFCE) A quantidade de numeros pares de 4 algaris-mos distintos que podemos formar com os algarismos 1, 2,4, 5, 7, 8 e 9 e:a) 20b) 60c) 240d) 360e) n.d.a.

14. (Aman-RJ) As diretorias de 4 membros que podemosformar com 10 socios de uma empresa sao:a) 5.040b) 40c) 2d) 210e) n.d.a.

15. (UFPA-PA) Quantos sao os anagramas da palavraBRASIL comecados por B e terminados por L?a) 24b) 120c) 720d) 240e) 1.440

apostila física química e matemática - pré-vestibular udesc 2005

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