apostila de análise combinatória

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MATEMAacuteTICA

ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA PARA ENSINO MEacuteDIO

PROF LUIZ DANIEL GONCcedilALVES

SETE LAGOAS

2016

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IacuteNDICE

1 ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA

11 A Construccedilatildeo de Grupos

12 Fatorial de um Nuacutemero

121 Exerciacutecios

13 Princiacutepio Fundamental da Contagem

131 Exerciacutecios

14 Princiacutepio Aditivo da Contagem

141 Exerciacutecios

15 Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo

16 Permutaccedilatildeo Simples

161 Exerciacutecios

17 Arranjo Simples

171 Exerciacutecios

18 Arranjo com Repeticcedilatildeo

19 Permutaccedilatildeo Circular


111 Combinaccedilatildeo Simples

1111 Exerciacutecios

112 Permutaccedilatildeo com Repeticcedilatildeo


2 BINOcircMIO DE NEWTON

21 Desenvolvimento (Produtos Notaacuteveis)

211 Exerciacutecios

22 Triacircngulo de Pascal

23 Relaccedilatildeo de Stifel

211 Exerciacutecios

24 Binocircmio de Newton

211 Exerciacutecios

25 Foacutermula do Termo Geral

211 Exerciacutecios


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Um motivo tatildeo mundano quanto os jogos de azar eacute que acabou levando ao desenvolvimento

da Anaacutelise Combinatoacuteria A necessidade de calcular o nuacutemero de possibilidades existentes nos jogos gerou o estudo dos meacutetodos de contagem Grandes matemaacuteticos se ocuparam com o assunto o italiano Niccollo Fontana (1500-1557) conhecido como Tartaglia e os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662) A Anaacutelise Combinatoacuteria visa desenvolver meacutetodos que permitam contar - de uma forma indireta - o nuacutemero de elementos de um conjunto estando esses elementos agrupados sob certas condiccedilotildees


A Anaacutelise Combinatoacuteria eacute um conjunto de procedimentos que possibilita a construccedilatildeo sob certas circunstacircncias de grupos diferentes formados por um nuacutemero finito de elementos de um conjunto

Na maior parte das vezes tomaremos conjuntos Z com n elementos e os grupos formados

com elementos de Z teratildeo k elementos isto eacute k seraacute a taxa do agrupamento com k le n

Dois conceitos satildeo fundamentais para a anaacutelise combinatoacuteria Fatorial de um nuacutemero e o Princiacutepio Fundamental da Contagem

Os trecircs tipos principais de agrupamentos satildeo as Permutaccedilotildees os Arranjos e as Combinaccedilotildees Estes agrupamentos podem ser simples com repeticcedilatildeo ou circulares


Nos problemas de contagem eacute muito comum um tipo de problema em que para se obter o resultado referente ao total das possibilidades deve-se multiplicar um determinado nuacutemero natural pelos seus antecedentes ateacute chegar agrave unidade

Para facilitar a obtenccedilatildeo desses resultados as calculadoras (consideradas cientiacuteficas) vecircm com uma tecla conhecida como fatorial de n que significa produto do nuacutemero natural n pelos seus

antecedentes ateacute chegar agrave unidade

Considere n um nuacutemero inteiro natildeo negativo O fatorial de n indicado por n eacute definido como sendo a seguinte multiplicaccedilatildeo

n = n middot (n-1) middot (n-2) middot middot 3 middot 2 middot 1

A definiccedilatildeo acima refere-se a nuacutemeros maiores ou igual a 2 ou seja n ge 2 Se n for igual a zero ou um define-se

Exemplos

rarr 7 = 7 middot 6 middot 5 middot 4 middot 3 middot 2 middot 1 = 5 040

rarr 0 = 1 e 1 = 1

rarr Quatro pessoas que estatildeo de peacute pretendem ocupar quatro cadeiras Qual o nuacutemero total de maneiras diferentes de ocupaacute-las 4 = 4321 = 24

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121 Exerciacutecios

1) Utilizando uma calculadora verifique se a desigualdade 3100 gt 100 eacute verdadeira ou falsa

2) Se x = 92 E y = 91 entatildeo

a Qual a relaccedilatildeo entre x e y

b Calcule xy

3) Considere as letras da palavra SOMA

a Quantos satildeo os anagramas que podem ser formados com todas as quatro letras

b Quantos anagramas iniciam-se pela letra A

4) Assinale V ou F conforme for verdadeira ou falsa respectivamente cada afirmaccedilatildeo a

seguir

a ( ) 7 = 765

b ( ) 9 = 3 + 6

c ( ) 10 5 = 2

d ( ) 6 4 = 30

e ( ) Se n = 6 entatildeo n = 3

5) Encontre um nuacutemero natural n tal que n ndash 12 (n ndash 1) = 0

6) Calcule o nuacutemero de anagramas que podem ser formados pelas letras da palavra ALUNO

7) Simplifique as expressotildees

a 50 49

b n (n ndash 1)

c 100 + 99 99

d (2n) (2n ndash 1)

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Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes e se a primeira etapa pode

ocorrer de k1 maneiras diferentes a segunda de k2 maneiras diferentes e assim sucessivamente entatildeo o nuacutemero total T de maneiras de ocorrer o acontecimento eacute dado por T = k1 middot k2 middot k3 middot middot kn

Exemplos

rarr Imagine que dispomos de uma moeda e um dado Lanccedilando simultaneamente o dado e a

moeda quantos satildeo os possiacuteveis resultados 6 x 2 = 12

rarr Uma senha eletrocircnica eacute constituiacuteda de uma vogal um algarismo escolhido entre 5 7 e 9 e

uma consoante escolhida entre R e T Qual o nuacutemero de senhas que podem ser formadas 5 x 3 = 15

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131 Exerciacutecios

1) Uma montadora de automoacuteveis apresenta um carro em 3 modelos diferentes e em 6 cores

diferentes Se vocecirc vai adquirir um veiacuteculo dessa montadora quantas opccedilotildees tem de escolha

2) Considere os algarismos 1 3 5 7 e 9 Quantos nuacutemeros naturais de trecircs algarismos

podem ser formados

3) Em relaccedilatildeo agrave questatildeo anterior responda

a Quantos nuacutemeros naturais de trecircs algarismos distintos podem ser formados b Quantos nuacutemeros naturais de trecircs algarismos podem ser formados sabendo que pelo

menos um deles se repete

4) Uma prova de Matemaacutetica eacute constituiacuteda por 10 questotildees do tipo ldquoverdadeiro ou falsordquo Se

um aluno chuta cada uma das questotildees qual o nuacutemero total de maneiras de apresentar o

gabarito

5) Lanccedilando uma mesma moeda 5 vezes consecutivamente qual o nuacutemero total de possiacuteveis resultados

6) Num restaurante haacute 4 tipos de saladas 5 tipos de pratos quentes e apenas 2 tipos de sobremesa Quantas possibilidades temos para fazer uma refeiccedilatildeo com 1 salada 1 prato quente e 1 sobremesa

7) Usando apenas os algarismos 3 4 5 6 7 8 e 9 responda

a Quantos nuacutemeros de 3 algarismos podemos formar

b Quantos nuacutemeros iacutempares de 3 algarismos podemos formar

c Quantos nuacutemeros de 3 algarismos distintos podemos formar

d Quantos nuacutemeros iacutempares de 3 algarismos iacutempares podemos formar

e Quantos nuacutemeros com 3 algarismos iacutempares podemos formar

f Quantos nuacutemeros com 3 iacutempares e distintos podemos formar

8) Dado o conjunto A = a b c obtenha

a O nuacutemero de subconjuntos que ele admite

b Todos os subconjuntos

Um conjunto A que possui n elementos admite 2n subconjuntos

9) A partir da decomposiccedilatildeo em fatores primos de um nuacutemero natural eacute possiacutevel obter o nuacutemero de seus divisores naturais

a Quantos divisores naturais admite o nuacutemero 60

b Quais satildeo os divisores naturais do nuacutemero 60

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Existem situaccedilotildees de contagem em que adicionamos as possibilidades e existem outras nas quais multiplicamos as possibilidades Jaacute estudamos aquelas situaccedilotildees em que tivemos que efetuar uma multiplicaccedilatildeo Em tais situaccedilotildees utilizamos o princiacutepio multiplicativo para justificar Mas como sabemos diante de um experimento se multiplicamos ou adicionamos as possibilidades

Antes de procurarmos dar uma resposta a essa questatildeo o que eacute fundamental para os problemas de contagem eacute importante entender a utilizaccedilatildeo de 2 conectivos em nossa liacutengua portuguesa E ou OU

O conectivo ldquoErdquo eacute utilizado em princiacutepio na Liacutengua Portuguesa no sentido aditivo Poreacutem em Matemaacutetica o mesmo conectivo ldquoErdquo indica simultaneamente dependecircncia

Exemplo da Liacutengua Portuguesa

(I) Tenho aulas as quartas e agraves quintas-feiras

Exemplo da Matemaacutetica

(II) Uma soluccedilatildeo da equaccedilatildeo x + y = 10 eacute x = 2 e y = 8

O conectivo ldquoOUrdquo eacute utilizado em princiacutepio na Liacutengua Portuguesa no sentido excludente Em Matemaacutetica o mesmo conectivo ldquoOUrdquo indica adiccedilatildeo e inclusatildeo como tambeacutem pode acontecer na Liacutengua Portuguesa


(III) Telefonarei pra vocecirc hoje ou amanhatilde


(IV) A igualdade xy = 0 eacute verdadeira para x = 0 ou y = o

Conclusatildeo

Quando num problema de contagem aparecer o conectivo ldquoErdquo devemos pensar em simultaneidade em dependecircncia

Quando aparecer o conectivo ldquoOUrdquo num problema de contagem deveremos interpretaacute-lo no sentido aditivo

Exemplo

Para ir de uma cidade A ateacute uma cidade B existem dois percursos passando pela cidade C ou

pela cidade D Os caminhos possiacuteveis estatildeo indicados no esquema abaixo Quantas satildeo as possibilidades de sair da cidade A e chegar agrave cidade B

A

C D

B

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Atenccedilatildeo

Para obtermos o nuacutemero de elementos de A U B n(A U B) adicionamos o nuacutemero de elementos de A com o nuacutemero de elementos de B e diminuiacutemos o nuacutemero de elementos

pertencentes a A e a B simultaneamente

n(A U B) = n(A) + n(B) ndash n(A cap B)

Subtraiacutemos n(A cap B) porque esses foram contados duas vezes em n(A) e em n(B)

A cap B

A B

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141 Exerciacutecios 1) Explique o significado em cada frase do conectivo ldquoOUrdquo

a Joseacute ou Joatildeo vai passar no vestibular

b Joseacute ou Joatildeo vatildeo passar no vestibular

2) Quantos nuacutemeros naturais de 4 ou cinco algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1 2 3 5 7 e 9

3) Para a diretoria de uma empresa concorrem 4 candidatos agrave presidecircncia e 6 agrave vice-presidecircncia Quantas maneiras distintas podem ocorrer na ocupaccedilatildeo desses dois cargos

4) Para ir de uma cidade A a outra cidade B dispomos de cinco empresas de ocircnibus trecircs de aviotildees e uma de navio De quantos modos podemos viajar de A ateacute B

5) Vocecirc deve pintar cada quadradinho de amarelo ou de verde ou de azul De quantas maneiras diferentes isso eacute possiacutevel

6) Um baralho tem 52 cartas Se retirarmos duas cartas uma de cada vez e sem reposiccedilatildeo

quantas possibilidades existem

7) Quantos nuacutemeros de 5 algarismos distintos haacute em nosso sistema de numeraccedilatildeo

8) Um anfiteatro possui 5 portas

De quantos modos ele pode ser aberto

9) Num estaacutedio de futebol haacute 12 portotildees de entrada Quantas possibilidades existem de uma pessoa

a entrar por um portatildeo e depois sair

b entrar por um portatildeo e depois sair por outro diferente

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15 Exerciacutecios de Processos Baacutesicos de Contagens

1) (PUC-SP) O total de nuacutemeros naturais de trecircs algarismos distintos que existem no nosso

sistema de numeraccedilatildeo eacute

a) 650 b) 615 c) 640 d) 649 e) 648

2) A quantidade de nuacutemeros inteiros compreendidos entre 30000 e 65000 que podemos formar utilizando somente os algarismos 2 3 4 6 e 7 de modo que natildeo figurem algarismos repetidos eacute

a) 48 b) 66 c) 96 d)120

3) (UFU-MG) De quantas maneiras trecircs matildees e seus respectivos trecircs filhos podem ocupar uma fila com seis cadeiras de modo que cada matildee sente junto de seu filho

a) 6 b) 18 c) 12 d) 36 e) 48

4) (PUC-SP) Com os elementos do conjunto A = 1 2 3 4 5 6 satildeo formados nuacutemeros com trecircs algarismos distintos A quantidade de nuacutemeros formados cuja soma dos algarismos eacute um nuacutemero par eacute

a) 30 b) 36 c) 52 d) 60 e) 72

5) (UNIFOR-CE) Um casal e seus quatro filhos vatildeo ser colocados lado a lado para tirar uma foto

Se todos os filhos devem ficar entre os pais de quantos modos distintos os seis podem posar para tirar a foto

a) 24 b) 48 c) 96 d) 120 e) 720

6) (MACK-SP) Os conjuntos M e N satildeo finitos Sabe-se que n(M U N) = 38 n(M cap N) = 12 e

n(M) = 35 entatildeo n(N) vale

a) 23 b) 15 c) 3 d) 26 e) 50

7) (FGV-SP) Um restaurante oferece no cardaacutepio duas saladas distintas 4 tipos de pratos de

carne 5 variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes Uma pessoa deseja uma salada um prato de carne uma bebida e uma sobremesa De quantas maneiras a pessoa poderaacute fazer seu pedido

a) 120 b) 144 c) 14 d) 60 e) 12

8) (UCSAL-BA) Um coacutedigo para leitura oacutetica eacute constituiacutedo por 6 barras brancas ou pretas Nenhum coacutedigo tem barras de uma soacute cor

Quantos desses coacutedigos distintos entre si podem ser formados

a) 128 b) 64 c) 62 d) 32 e) 16

9) (UFR-PE) Qual o nuacutemero de placas de carros que poderiam ser registradas (cada uma contendo apenas trecircs letras) fazendo uso das letras A B C D

a) 34 b) 72 c) 96 d) 64 e) 102

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10) (PUC-RS) O nuacutemero de muacuteltiplos de 11 inteiros e positivos formados por trecircs algarismos eacute

a) 79 b) 80 c) 81 d) 99 e) 100

11) (UFRN) A quantidade de nuacutemeros pares de 5 algarismos sem repeticcedilatildeo que podemos formar com os diacutegitos 2 3 4 5 6 7 e 8 eacute igual a

a) 720 b) 1140 c) 2160 d) 2280 e) 3600

12) (CESESP-PE) Num acidente automobiliacutestico apoacutes se ouvirem vaacuterias testemunhas concluiu-se que o motorista culpado do acidente dirigia o veiacuteculo cuja placa era constituiacuteda de duas vogais distintas e quatro algarismos diferentes e o algarismo das unidades era o diacutegito 2 Assinale entatildeo a uacutenica alternativa correspondente ao nuacutemero de veiacuteculos suspeitos

a) 1080 b) 10800 c) 10080 d) 840 e) 60480

13) (UM-SP) Um trem de passageiros eacute constituiacutedo de uma locomotiva e seis vagotildees distintos sendo um deles restaurante Sabendo-se que a locomotiva deve ir agrave frente e que o vagatildeo-restaurante natildeo pode ser colocado imediatamente apoacutes a locomotiva o nuacutemero de modos diferentes de montar a composiccedilatildeo eacute

a) 120 b) 320 c) 500 d) 600 e) 720

14) (UFBA) Uma firma deseja imprimir calendaacuterios de diversos modelos variando a quantidade de meses em cada folha do calendaacuterio desde que o nuacutemero de meses incluiacutedos em cada folha de determinado modelo seja constante O nuacutemero de modelos que podem ser feitos eacute

a) 6 b) 12 c) 28 d) 794 e) 13345

15) (PUC-RS) Com os algarismos significativos formam-se todos os nuacutemeros de quatro algarismos distintos sendo que ldquoxrdquo deles possuem um algarismo iacutempar na ordem das centenas O valor de ldquoxrdquo eacute

a) 336 b) 567 c) 1680 d) 3335 e) 3403

16) (CESGRANRIO-RJ) Um maacutegico se apresenta em puacuteblico vestindo calccedila e paletoacute de cores diferentes Para que ele possa se apresentar em 24 sessotildees com conjuntos diferentes o nuacutemero miacutenimo de peccedilas (nuacutemero de paletoacutes mais nuacutemero de calccedilas) de que precisa eacute

a) 24 b) 11 c) 12 d) 10 e) 8

17) Se 5 moedas distinguiacuteveis forem lanccediladas simultaneamente o nuacutemero de maneiras possiacuteveis de elas caiacuterem eacute dado por

a) 25 b) 10 c) 32 d) 120 e) 240

18) (MACK-SP) O total de nuacutemeros formados com os algarismos distintos maiores que 50000 e menores que 90000 e que satildeo divisiacuteveis por 5 eacute

a) 1596 b) 2352 c) 2686 d) 2788 e) 4032

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19) (PUC-SP) Chamam-se ldquopaliacutendromosrdquo nuacutemeros inteiros que natildeo se alteram quando eacute invertida a ordem de seus algarismos (por exemplo 383 4224 74847) O nuacutemero total de paliacutendromos de cinco algarismos eacute

a) 900 b) 1000 c) 1900 d) 2500 e) 5000

20) (USP-SP) Quantos nuacutemeros iacutempares de 4 algarismos sem repeticcedilatildeo podem ser formados com os diacutegitos 1 2 3 4 5 e 6

a) 120 b) 60 c) 30 d) 180 e) 90

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Permutaccedilotildees satildeo agrupamentos com n elementos de forma que os n elementos sejam distintos entre si pela ordem As permutaccedilotildees podem ser simples com repeticcedilatildeo ou circulares

Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos O nuacutemero de permutaccedilotildees simples de n objetos distintos eacute representado por Pn = n

Exemplos

Conjunto Z Z = A B C n = 3

Grupos de Permutaccedilatildeo Simples ABCACBBACBCACABCBA Pn

Foacutermula de Caacutelculo Pn = n P3 = 3 = 6

rarr ldquoROMArdquo eacute uma das permutaccedilotildees das letras da palavra ldquoAMORrdquo

No caso de letras cada permutaccedilatildeo formada denomina-se anagrama

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161 Exerciacutecios

1) Vocecirc dispotildee de 9 livros 3 de Matemaacutetica 4 de Fiacutesica e 2 de Quiacutemica Todos satildeo distintos a Qual o nuacutemero de maneiras distintas de dispor esses 9 livros lado a lado numa mesma

prateleira b Qual o nuacutemero de maneiras de dispor esses livros deixando juntos os da mesma

disciplina 2) Considerando as letras da palavra FORTE calcule a o nuacutemero total de anagramas que podem ser formados com as 5 letras b o nuacutemero de anagramas que comeccedilam e terminam por consoante

3) Cinco rapazes e duas moccedilas devem ocupar os sete lugares de uma mesma fila de um

cinema a De quantas maneiras distintas eles podem ocupar esses sete lugares b De quantos modos eles podem ocupar esses sete lugares se as moccedilas devem ficar

juntas c De quantos modos eles podem ocupar esses sete lugares se as moccedilas devem ficar

separadas 4) Permutam-se de todos os modos possiacuteveis os algarismos 1 3 5 7 e 9 e escrevem-se assim

nuacutemeros com cinco algarismos distintos colocando-os em ordem crescente a Qual o lugar ocupado pelo nuacutemero 53719 b Qual a soma dos nuacutemeros assim formados 5) Considere apenas os algarismos 2 4 6 e 8 a Quantos nuacutemeros naturais de 4 algarismos podemos formar b Quantos nuacutemeros naturais de 4 algarismos distintos podemos formar

c Quantos nuacutemeros naturais de 4 algarismos onde pelo menos 1 algarismo se repita podemos formar

6) Suponhamos que vocecirc tenha uma nota de 100 reais uma nota de 50 reais uma nota de 10

reais uma nota de 5 reais e uma nota de 1 real

Colocando-as lado a lado de quantas maneiras diferentes elas podem ser dispostas como na fotografia apenas mudando as posiccedilotildees entre elas

7) Quantos satildeo os anagramas da palavra SENHOR 8) Quantos satildeo os anagramas da palavra SENHOR que comeccedilam e terminam por vogal 9) Considere 5 moccedilas e 5 rapazes que iratildeo sentar-se em 10 cadeiras colocadas uma do lado da

outra (obs cada uma das 10 pessoas ocuparaacute uma cadeira) a De quantas formas diferentes essas cadeiras poderatildeo ser ocupadas b De quantas formas diferentes essas cadeiras poderatildeo ser ocupadas sendo que natildeo pode

haver dois ou mais rapazes (ou duas ou mais moccedilas) juntos 10) Vocecirc deve escolher 6 algarismos para formar uma senha com base nos algarismos 1 2 3

4 5 e 6 Entatildeo calcule a o nuacutemero de senhas que podem ser formadas b o nuacutemero de senhas que podem ser formadas se os algarismos natildeo podem se repetir

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17 Arranjo Simples

Arranjos satildeo agrupamentos formados com k elementos de forma que os k elementos sejam distintos entre si pela ordem ou pela espeacutecie Os arranjos podem ser simples ou com repeticcedilatildeo

Natildeo ocorre a repeticcedilatildeo de qualquer elemento em cada grupo de k elementos Considerando um conjunto com n elementos chama-se arranjo simples de taxa k todo agrupamento de k elementos distintos dispostos numa certa ordem Dois arranjos diferem entre si pela ordem de colocaccedilatildeo dos elementos Veja um exemplo abaixo


Ndeg de elementos dos Grupos k = 2 Taxa de 2 elementos

Grupos de Arranjo Simples AB AC BA BC CA CB Ank

Foacutermula de Caacutelculo Ank = n (n-k) A32 = 3 (3-2) = 6

Jaacute analisamos uma situaccedilatildeo em que 4 pessoas tinham que ocupar 4 cadeiras Calculamos pelo princiacutepio multiplicativo que o nuacutemero total de possibilidades era 24

Agora considere 6 pessoas e 4 cadeiras apenas Qual o nuacutemero de formas de dispor essas pessoas nesses lugares

Na situaccedilatildeo acima tivemos que formar grupos com 4 pessoas a partir de 6 pessoas e em cada grupo tivemos que ordena-las Em Anaacutelise Combinatoacuteria tal procedimento eacute conhecido como Arranjo Simples de 6 elementos 4 a 4

Mas antes de tirarmos alguma conclusatildeo devemos observar uma outra situaccedilatildeo

Utilizando os algarismos 1 3 5 7 e 9 vamos formar nuacutemeros naturais com 3 algarismos distintos Como calcular quantos nuacutemeros podem ser formados

Essa quantidade de arranjos simples poderia ser indicada por A53 ou A53 (lecirc-se arranjo de 5

elementos tomados 3 a 3)

Podemos calcular o nuacutemero de arranjos de 5 elementos tomados 3 a 3 utilizando fatorial ou

seja

A53 = 543 A53 = 5 4 3 2 2

A53 = 5 2 rarr A53 = 5 (5-3)

O caacutelculo do nuacutemero de n elementos tomados p a p com n ge p pode ser efetuado pelo princiacutepio multiplicativo ou seja

Anp = n (n-1) (n-2) [n ndash (p-1)]

Multiplicando e dividindo o 2ordm membro0 por (n-p) teremos

Anp = n (n-1) (n-2) [n ndash (p-1)] (n-p) (n-p)

Logo Anp = n (n-p)

Eacute importante observar que tanto os problemas relacionados ao que aqui denominamos permutaccedilatildeo quanto arranjo simples satildeo resolvidos pelo princiacutepio multiplicativo

Agora responda Qual o valor de P5 e de A55

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171 Exerciacutecios

1) Calcule

a) A73 b) A52 c) A105

2) Quantos nuacutemeros naturais de 2 algarismos distintos podemos formar com os algarismos de 1 ateacute 9

3) De quantas maneiras 7 meninos podem sentar-se num banco que tem apenas 4 lugares

4) Se A eacute um conjunto com 5 elementos e B eacute um conjunto com 8 elementos quantas funccedilotildees f A rarr B satildeo injetoras

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Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo de k elementos Veja o exemplo abaixo



Arranjos com Repeticcedilatildeo AAABACBABBBCCACBCC An(k)

Foacutermula de Caacutelculo An(k) = nk A3

(2) = 32 = 9


Existe um tipo de permutaccedilatildeo denominada circular em que os elementos satildeo dispostos em ciacuterculos ou ao redor de uma mesa circular Por exemplo vamos colocar trecircs objetos A B e C distintos em 3 lugares numa circunferecircncia

Sendo (PC)3 o nuacutemero de permutaccedilotildees circulares de trecircs elementos temos que

(PC)3 = 2

Exemplos

1) Uma famiacutelia eacute composta por seis pessoas o pai a matildee e quatro filhos Num restaurante

essa famiacutelia vai ocupar uma mesa redonda Em quantas disposiccedilotildees diferentes essas pessoas podem se sentar em torno da mesa de modo que o pai e a matildee fiquem juntos

Sabendo que pai e matildee devem ficar juntos vamos amarrar os dois e trataacute-los como se fossem um uacutenico elemento Veja a figura 1 abaixo

Ao tratar o pai e matildee como um uacutenico elemento passamos a ter somente 5 elementos Portanto utilizando a permutaccedilatildeo circular de 5 elementos calculamos o nuacutemero de possibilidades desta famiacutelia sentar-se ao redor da mesa com pai e matildee juntos sendo que o pai

estaacute agrave esquerda da matildee

Permutaccedilatildeo circular (Pc) de 5 elementos calcula-se

Pc5 = P4 = (5-1) = 4 = 4321 = 24

Portanto para o pai agrave esquerda da matildee temos 24 posiccedilotildees diferentes Mas o pai pode estar agrave direita da matildee como na figura 2 e entatildeo teremos mais 24 posiccedilotildees diferentes para contar (novamente Pc5)

Portanto o nuacutemero total de disposiccedilotildees eacute 48

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2) Dois meninos e trecircs meninas formaratildeo uma roda dando-se as matildeos De quantos modos diferentes poderatildeo formar a roda de modo que os dois meninos natildeo fiquem juntos

No total temos 5 elementos para dispor em ciacuterculo ou seja novamente utilizaremos

Permutaccedilatildeo Circular Mas agora a restriccedilatildeo eacute diferente os dois meninos NAtildeO podem ficar juntos Para esta situaccedilatildeo iremos calcular o nuacutemero total de disposiccedilotildees (sem restriccedilatildeo) e diminuir deste resultado o nuacutemero de disposiccedilotildees em que os meninos estatildeo juntos (para calcular o nuacutemero de disposiccedilotildees deles juntos fazemos como no exerciacutecio 1)

O nuacutemero total de disposiccedilotildees eacute Pc5 = (5 - 1) = 4 = 4321 = 24

Agora para calcular o nuacutemero de disposiccedilotildees com os meninos juntos devemos amarraacute-los e trataacute-los como um uacutenico elemento lembrando que podemos ter duas situaccedilotildees

O nuacutemero total de disposiccedilotildees com os meninos juntos eacute 2Pc4 (4 elementos pois os meninos estatildeo juntos e valem por 1) Calculando este valor

2Pc4 = 2(4-1) = 23 = 2321 = 12

Portanto o nuacutemero de disposiccedilotildees em que os meninos natildeo estatildeo juntos eacute 24-12=12

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1) (UFU-MG) De quantas maneiras trecircs matildees e seus trecircs respectivos filhos podem ocupar uma

fila com seis cadeiras de modo que cada matildee sente junto de seu filho

a) 6 b) 12 c) 18 d) 36 e) 48

2) (UNIFOR-CE) Um casal e seus quatro filhos vatildeo ser colocados lado a lado para tirar uma

foto Se todos os filhos devem ficar entre os pais de quantos modos distintos os seis podem posar para tirar a foto

a) 21 b) 48 c) 96 d) 120 e) 720

3) (UFRS) A expressatildeo [(n+1) ndash n] [(n+1) + n] com n inteiro estritamente positivo vale

a) (n2 + n) (1 + n) b) (n2 + n - 1) 2 c) (n2 - n) (1 + n) d) n (n +2)

4) (FUVEST-SP) O nuacutemero de anagramas da palavra FUVEST que comeccedila e termina por vogal eacute

a) 24 b) 48 c) 96 d) 120 e) 144

5) (FEI-SP) Obter o nuacutemero de anagramas da palavra REPUacuteBLICA nos quais as vogais se

mantecircm nas respectivas posiccedilotildees

6) (FGV-SP) Numa sala de reuniotildees haacute 10 cadeiras e 8 participantes De quantas maneiras

distintas podemos sentar os participantes (Duas pessoas ficaratildeo de peacute)

a) 181440 b) 3628800 c) 1814400 d) 40320 e) 403200

7) (FCC-BA) Considerem-se todos os anagramas da palavra MORENA Quantos deles tecircm as

vogais juntas

a) 36 b) 712 c) 120 d) 144 e) 180

8) (PUC-SP) O nuacutemero de anagramas da palavra ALUNO que tem as vogais em ordem alfabeacutetica eacute

a) 20 b) 30 c) 60 d) 80 e) 100

9) (UFOP-MG) Podemos ordenar as pessoas que estatildeo numa certa fila de 24 maneiras

diferentes Entatildeo nessa fila estatildeo quantas pessoas

a) 4 b) 5 c) 6 d) 12 e) 24

10) (TAUBATEacute-SP) Numa estante existem trecircs livros de Matemaacutetica trecircs livros de Histoacuteria e

um de Geografia Se desejarmos sempre um livro de Histoacuteria em cada extremidade entatildeo o nuacutemero de maneiras de se arrumar esses sete livros eacute

a) 720 b) 36 c) 81 d) 126

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11) (UFCE) A quantidade de nuacutemeros inteiros compreendidos entre 30000 e 65000 que podemos formar utilizando somente os algarismos 2 3 4 6 e 7 de modo que natildeo figurem algarismos repetidos eacute

a) 48 b) 66 c) 96 d) 120

12) (UFRN) Quantos nuacutemeros de 7 diacutegitos maiores que 6000000 podem ser formados com

os algarismos 0 1 3 4 6 7 e 9 sem repeti-los

a) 1800 b) 720 c) 5400 d) 5040 e) 2160

13) (UFBA) Para abrir um cofre eletrocircnico deve-se digitar uma sequumlecircncia formada por quatro algarismos distintos sendo que o primeiro eacute o triplo do segundo Uma pessoa que desconhece essa sequumlecircncia pretende abrir o cofre O maior nuacutemero possiacutevel de sequumlecircncias que ela deve digitar eacute

a) 170 b) 240 c) 180 d) 280 e) 168

14) Descubra o nuacutemero de permutaccedilotildees circulares de

a) 4 objetos b) 5 objetos c) n objetos

15) (SANTA CECIacuteLIA-SP) O nuacutemero de maneiras em que podemos dispor vinte pessoas em

torno de uma mesa redonda eacute

a) 20 b) 20 2 c) 19 d) 19 2

6) (PUC-SP) Dois meninos e trecircs meninas formaratildeo uma roda dando-se as matildeos De quantos modos diferentes poderatildeo formar a roda de modo que os dois meninos natildeo fiquem juntos

a) 15 b) 24 c) 18 d) 16 e) 12

17) (UFPE) Qual o maior inteiro n para que 20 Seja divisiacutevel por 3n

a) 2 b) 7 c) 8 d) 9 e) 20

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111 Combinaccedilatildeo

Combinaccedilotildees satildeo agrupamentos de k elementos de forma que os k elementos sejam

distintos entre si apenas pela espeacutecie A posiccedilatildeo dos elementos natildeo importa e natildeo os distingue

Combinaccedilotildees simples de n elementos distintos tomados k a k satildeo subconjuntos formados por k elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados Duas combinaccedilotildees satildeo diferentes quando possuem elementos distintos natildeo importando a ordem em que os elementos satildeo colocados



Grupos de Combinaccedilatildeo Simples AB AC BC Cnk

Foacutermula de Caacutelculo Cnk = n k(n-k) C32 = 3 2(3-2) = 3

O nuacutemero acima tambeacutem eacute conhecido como Nuacutemero Binomial O nuacutemero binomial eacute indicado por

(nk) = n k(n-k)

Numa faculdade os alunos dos cursos foram convidados a participar de um campeonato de futebol de salatildeo Inscreveram-se ao todo 15 times Considerando que todos os times se enfrentaratildeo uma uacutenica vez (um turno) e que o campeatildeo seraacute aquele que formar mais pontos

obtenha o nuacutemero total de jogos disputados

Vocecirc jaacute estudou a teoria dos conjuntos Viu que a partir de um conjunto podemos formar subconjuntos Vamos exemplificar

O conjunto A = 2 3 4 5 6 admite subconjuntos com nenhum elemento com 1 elemento com 2 elementos com 3 elementos com 4 elementos e com 5 elementos Procure a seguir completar indicando os subconjuntos de A

0 elemento rarr

1 elemento rarr

2 elementos rarr

3 elementos rarr

4 elementos rarr

5 elementos rarr

Em Anaacutelise Combinatoacuteria precisamos encontrar um procedimento que nos permita obter por exemplo o nuacutemero de subconjuntos que podem ser formados com uma certa quantidade de elementos de um conjunto dado Entretanto natildeo queremos fazer isso enumerando todos esses subconjuntos apoacutes serem formados

Obs Cada subconjunto eacute uma combinaccedilatildeo simples de elementos

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Assim por exemplo as combinaccedilotildees simples (subconjuntos) com 3 elementos do conjunto

A = a1 a2 a3 a4 a5 satildeo

a1 a2 a3 a1 a2 a4 a1 a2 a5 a1 a3 a4

a1 a3 a5 a1 a4 a5

a2 a3 a4 a2 a3 a5 a2 a4 a5 a3 a4 a5

Satildeo 10 subconjuntos com 3 elementos em cada subconjunto De modo equivalente satildeo 10 combinaccedilotildees simples de 5 elementos agrupados 3 a 3 Em siacutembolos C53 = 10

Mas como podemos calcular o total de combinaccedilotildees simples sem contaacute-las apoacutes obtecirc-las

Vamos considerar o que estudamos ateacute aqui

Precisamos para formar um subconjunto com 3 elementos escolher esses elementos Assim temos

5 possibilidades para o 1ordm elemento



O total de subconjuntos com 3 elementos parece a princiacutepio ser o resultado da multiplicaccedilatildeo dessas possibilidades isto eacute 5 4 3 = 60

O problema nesse raciociacutenio estaacute em que existem combinaccedilotildees idecircnticas que foram contadas como se fossem diferentes ou seja por exemplo

a1 a2 a3 a1 a3 a2 a2 a1 a3

a2 a3 a1 a3 a1 a2 a3 a2 a1

Representam a mesma combinaccedilatildeo Resumindo ao considerarmos 60 como resposta estamos contando cada combinaccedilatildeo uma vez para cada ordem utilizada para dispor seus elementos Como em cada subconjunto haacute 3 elementos em cada combinaccedilatildeo os elementos podem ser escritos em P3 = 3 = 6 ordens diferentes Sendo assim cada combinaccedilatildeo foi contada 6 vezes

Portanto a resposta eacute C53 = 606 = 5 4 3 3 = 10

Logo Cnp = Anp P3

Resumindo

Para escolhermos ldquoprdquo objetos distintos entre ldquonrdquo objetos distintos dados ou o que eacute equivalente para formarmos subconjuntos com ldquoprdquo elementos do conjunto a1 a2 a3 an

temos Cnp possibilidades (ngep) onde

Cnp = n (n-1) (n-2) () (n ndash p+1) p

Cnp = n (n-1) (n-2) () (n ndash p+1) p (n-p)(n-p)

Cnp = n p(n-p)

Observaccedilatildeo

Quando calculamos o nuacutemero de combinaccedilotildees de n objetos tomados p a p estamos calculando o nuacutemero de maneiras de ldquoescolherrdquo p objetos de um agrupamento de n objetos

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1111 Exerciacutecios 1) Em uma turma vocecirc deveraacute escolher 4 pessoas como representantes da turma Qual o nuacutemero total de escolhas possiacuteveis

2) Ao final da aula cada aluno da turma deveraacute apertar a matildeo de todos os colegas uma uacutenica

vez Quantos apertos de matildeo existiratildeo no total 3) Considere 8 veacutertices de um octoacutegono convexo Vocecirc deveraacute formar segmentos ligando

esses pontos dois a dois Qual o nuacutemero total de segmentos que podem ser formados 4) Ao final da aula cada aluno da turma deveraacute apertar a matildeo de todos os colegas uma uacutenica

vez Quantos apertos de matildeo existiratildeo no total 5) Qual o nuacutemero total de diagonais de um octoacutegono convexo

6) Obtenha utilizando combinaccedilotildees simples o nuacutemero de jogos de futebol de salatildeo na

situaccedilatildeo apresentada no iniacutecio da unidade 7) Resolva a equaccedilatildeo Cn2 = 10 8) Cinco pontos distintos A B C D e E foram marcados numa circunferecircncia

a Quantos segmentos com extremidades em 2 desses pontos podem ser formados

b Quantos triacircngulos ficam determinados com veacutertices em 3 desses pontos c Quantos poliacutegonos ficam determinados com veacutertices nesses pontos

9) Considerando os alunos de sua turma responda

a Quantas duplas distintas podem ser formadas b Quantas equipes com 5 elementos podem ser formadas

10) Um poliacutegono convexo com n veacutertices (n lados tambeacutem) possui d diagonais onde D = n(n - 3) 2

Utilizando anaacutelise combinatoacuteria prove tal relaccedilatildeo 11) Considere o conjunto A onde A = 2 3 4 5 6

a Quantos subconjuntos de A podem ser formados com 1 elemento b Quantos subconjuntos de A podem ser formados com 3 elementos

c Quantos subconjuntos admitem (ao todo) o conjunto A 12) Uma comissatildeo de cinco membros seraacute escolhida dentre 8 pessoas Calcule o nuacutemero de comissotildees diferentes que podem ser formadas 13) Considere 6 pontos distintos marcados na reta r e 4 pontos distintos marcados na reta s

Sabendo-se que r e s satildeo retas paralelas qual o nuacutemero total de triacircngulos que podem ser formados com veacutertices nesses pontos

14) Considere um grupo formado por uma menina e cinco rapazes Uma comissatildeo com 3

pessoas seraacute formada Entatildeo a Qual o total de comissotildees distintas que podem ser formadas b Em quantas dessas comissotildees a menina figura c Em quantas dessas comissotildees a menina natildeo figura d Eacute verdadeiro que C63 = C52 + C53

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Se entre os n elementos de um conjunto existem a elementos repetidos b elementos repetidos c elementos repetidos e assim sucessivamente o nuacutemero total de permutaccedilotildees que podemos formar eacute dado por

Conjunto Z Z = B A B A n = 4

Repeticcedilatildeo de elementos B = 2 A = 2 a = 2 b = 2

Permutaccedilatildeo com Repeticcedilatildeo BABA BAAB BBAA AABB ABAB ABBA Pn(abc)

Foacutermula de Caacutelculo Pn(abc) = n abc P4

(22) = 4 22 = 6

Vocecirc jaacute estudou problemas de Anaacutelise Combinatoacuteria que tratavam da formaccedilatildeo de anagramas das letras de uma palavra qualquer Assim por exemplo a palavra RODA admite um total de 24 anagramas

Para calcular esse nuacutemero de anagrama utilizamos o seguinte raciociacutenio

Temos 4 possibilidades para a escolha da 1ordf letra Temos 3 possibilidades para a escolha da 2ordf letra Temos 2 possibilidades para a escolha da 3ordf letra Temos 1 possibilidade para a escolha da 4ordf letra

Pelo princiacutepio multiplicativo temos 4 3 2 1 = 4 = P4 anagramas possiacuteveis

Agora descubra quantos satildeo os anagramas da palavra ARARA

Na palavra ARARA existem letras repetidas que dificultam a princiacutepio o caacutelculo do nuacutemero total de anagramas Mais tarde voltaremos a essa palavra por enquanto vamos buscar um modo de calcular o nuacutemero total de anagramas de uma palavra que tenha letras repetidas Vamos considerar a palavra TARTARUGA

Sugerimos ler o capiacutetulo 19 Combinaccedilotildees antes de ler a explicaccedilatildeo dada abaixo

Para formar um anagrama de TARTARUGA temos que dispor 3A 2T 2R 1G e 1U em 9 lugares

o nuacutemero de modos de escolher os lugares para os 3A eacute C93

o nuacutemero de modos de escolher os lugares para os 2T eacute C62 (trecircs lugares foram ocupados para os 3A)

o nuacutemero de modos de escolher os lugares para os 2R eacute C42

o nuacutemero de modos de escolher os lugares para G eacute C21

o nuacutemero de modos de escolher os lugares para os U eacute 1 (o que sobrou)

Quando escolhemos elementos natildeo estamos preocupados com a ordem ou seja fazemos uma combinaccedilatildeo

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Agora pelo princiacutepio multiplicativo temos que o nuacutemero total de anagramas das letras de TARTARUGA eacute

C93 C62 C42 C21 1 = 9 322

9 permutaccedilatildeo das 9 letras 3 permutaccedilatildeo dos 3ordf 2 permutaccedilatildeo dos 2T 2 permutaccedilatildeo dos 2R

Se as 9 letras fossem diferentes teriacuteamos P9 = 9 Anagramas Como os A satildeo iguais contamos cada anagrama 3 Vezes (devemos entatildeo dividir por 3) Da mesma forma contamos cada anagrama 2 Vezes e 2 Vezes por serem iguais os T e os R respectivamente

(entatildeo devemos dividir por 2 E por 2)

Isto tudo nos leva a pensar em ldquopermutaccedilatildeo de 9 letras das quais 3 satildeo iguais a A 2 satildeo iguais a T 2 satildeo iguais a R 1 eacute a letra G e 1 a letra U

(3 + 2 + 2 + 1 + 1 = 9)

Em siacutembolos

P932211 = 9 322

Retorne agora agrave palavra ARARA

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113 Exerciacutecios de Fixaccedilatildeo 1) (FGV-SP) Quantos nuacutemeros diferentes obtemos reagrupando os algarismos do nuacutemero

718844

a) 90 b) 720 c) 15 d) 30 e) 180

2) (UFU-MG) O nuacutemero de anagramas da palavra ERNESTO comeccedilando e terminando por consoante eacute

a) 480 b) 720 c) 1440 d) 1920 e) 5040

3) (UFPA) Uma cobaia percorre um labirinto tendo sete pontos em que pode virar agrave direita agrave esquerda ou seguir em frente De quantas maneiras esta cobaia percorre o labirinto se segue um caminho diferente em cada vez

a) A73 b) C73 c) 7 d) 37 e) 7 3

4) (USP) Uma comissatildeo de cinco alunos deve ser formada para discutir e planejar o desenvolvimento das partes esportiva de sua escola Sabendo-se que estes cinco alunos devem ser escolhidos de um grupo de 10 alunos entatildeo o nuacutemero possiacutevel de escolha eacute

a) 360 b) 180 c) 21600 d) 252 e) 210

5) (UFV-MG) Resolvendo a equaccedilatildeo Cx2 = 21 encontramos

a) x = -6 ou x = 7 b) x = -6 c) x = 21 d) x = 13 e) x = 7

6) (UFRGS) A soluccedilatildeo da equaccedilatildeo 2 Ax4 = 4 Cx

x-5 eacute

a) 14 b) 12 c) 10 d) 8 e) 6

7) (CESGRANRIO-RJ) Seja M um conjunto de 20 elementos O nuacutemero de subconjuntos de M que contecircm exatamente 18 elementos eacute

a) 360 b) 190 c) 180 d) 120 e) 18

8) (UFSC) Um experimento consiste em lanccedilar uma moeda 6 vezes Considera-se como resultado desse experimento a sequumlecircncia das faces obtidas no 1ordm 2ordm 3ordm 4ordm 5ordm e 6ordm lanccedilamento respectivamente Por exemplo indicando por c a face ldquocarardquo e por k a face ldquocoroardquo um resultado possiacutevel desse experimento eacute a sequumlecircncia (c c k c k c)

O nuacutemero de resultados possiacuteveis desse experimento apresentando quatro caras e duas coroas eacute

a) 30 b) 24 c) 20 d) 18 e) 15

9) (FGV-SP) Sobre uma mesa satildeo colocadas em linha 6 moedas O nuacutemero total de modos possiacuteveis pelos quais podemos obter 2 caras e 4 coroas voltados para cima eacute

a) 360 b) 48 c) 30 d) 120 e) 15

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10) (UFBA) Dispondo-se de abacaxi acerola goiaba laranja maccedilatilde mamatildeo e melatildeo calcule de quantos sabores diferentes pode-se preparar um suco usando-se trecircs frutas distintas

a) 90 b) 35 c) 15 d) 30 e) 50

11) (PUC-MG) O nuacutemero de maneiras pelas quais 6 pessoas podem ser distribuiacutedas em 3 grupos cada um formado por 2 pessoas eacute

a) 60 b) 75 c) 80 d) 85 e) 90

12) (UFRGS) Em uma classe de doze alunos um grupo de cinco seraacute selecionado para uma viagem De quantas maneiras distintas esse grupo poderaacute ser formado sabendo que entre os doze alunos dois satildeo irmatildeos e soacute poderatildeo viajar se estiverem juntos

a) 30240 b) 594 c) 462 d) 408 e) 372

13) (UFMG) Numa Cacircmara de Vereadores trabalham 6 vereadores do partido A 5 vereadores do partido B e 4 vereadores do partido C O nuacutemero de comissotildees de 7 vereadores que podem ser formadas devendo cada comissatildeo ser constituiacuteda de 3 vereadores do partido A 2 vereadores do partido B e 2 vereadores do partido C eacute igual a

a) 7 b) 36 c) 152 d) 1200 e) 28800

14) (UFSE) Considere todos os produtos de trecircs fatores distintos que podem ser obtidos com os elementos do conjunto A = 1 2 3 5 7 11 Quantos deles satildeo pares

a) 10 b) 18 c) 20 d) 36 e) 60

15) (FUVEST) Numa primeira fase de um campeonato de xadrez cada jogador joga uma vez contra os demais Nessa fase foram realizados 78 jogos Quantos eram os jogadores

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

Sugestatildeo indique por n o nuacutemero de jogadores

16) (UFPA) O elevador de um preacutedio de 12 andares parte lotado do 1ordm andar Sabe-se que as pessoas desceratildeo em 3 andares diferentes na subida De quantas maneiras isso pode ocorrer se ningueacutem descer no 2ordm andar

a) 120 b) 220 c) 720 d) 980 e) 1320

17) (UFRN) Com sete pontos sobre uma circunferecircncia quantos triacircngulos com veacutertices nesses pontos podem ser formados

a) 35 b) 45 c) 47 d) 53 e) 54

18) (UFF-RJ) Uma empresa vai fabricar cofres com senhas de 4 letras usando 18 consoantes e 5 vogais Se cada senha deve comeccedilar com uma consoante e terminar com uma vogal sem repetir letras o nuacutemero de senhas possiacuteveis eacute

a) 3060 b) 24480 c) 37800 d) 51210 e) 53440

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19) (PUC-RS) Dispondo-se de 6 nuacutemeros positivos e 6 negativos o nuacutemero de modos diferentes de escolher 4 nuacutemeros cujo produto seja positivo eacute

a) 720 b) 625 c) 480 d) 300 e) 255

20) (FEI-SP) Sejam duas retas paralelas (r e s) Tomam-se 5 pontos distintos em r e 4 em s A razatildeo entre o nuacutemero total de quadrilaacuteteros convexo e o nuacutemero total de triacircngulos que podem ser formados com veacutertices nesses pontos eacute

a) 12 b) 34 c) 23 d) 67 e) 45

21) (FUVEST-SP) A escrita braile para cegos eacute um sistema de siacutembolos com o qual cada caractere eacute formado por uma matriz de 6 pontos dos quais pelo menos um se destaca em relaccedilatildeo aos outros Assim por exemplo

Qual o nuacutemero maacuteximo de caracteres distintos que podem ser representados nesse sistema de escrita

a) 62 b) 89 c) 26 d) 720 e) 36

22) (ITA) O nuacutemero de soluccedilotildees inteiras e natildeo-negativas da equaccedilatildeo x + y + z + w = 5 eacute

a) 36 b) 48 c) 52 d) 54 e) 56

23) (ITA) Um general possui n soldados para tomar uma posiccedilatildeo inimiga Desejando efetuar um ataque com dois grupos um frontal com r soldados e outro de retaguarda com s soldados (r+s = n) ele poderaacute dispor seus homens de quantas maneiras distintas nesse ataque

a) n (r+s) b) n rs c) n (rs) d) 2(n) (r+s) e) 2(n) rs

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No Ensino Fundamental vocecirc estudou expressotildees algeacutebricas Dentro desse estudo trabalhou com monocircmios binocircmios e de um modo geral polinocircmios Certamente jaacute ouviu falar dos casos de produtos notaacuteveis o quadrado da soma e o quadrado da diferenccedila

O quadrado da soma

Observe que o quadrado maior foi dividido em 4 partes dois quadrados e dois retacircngulos

Para calcular a aacuterea do quadrado maior S podemos proceder de duas formas isto eacute

1ordf maneira Considerando o quadrado de lado medindo a + b a aacuterea seraacute S = (a + b)2

2ordf maneira Considerando os dois retacircngulos iguais e os dois quadrados o meacutedio e o menor teremos como aacuterea S = 2ab + a2 + b2

Como as duas formas representam a aacuterea do mesmo quadrado entatildeo igualamos as duas

expressotildees (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

O quadrado da soma de dois termos eacute o quadrado do primeiro termo mais duas vezes o primeiro pelo segundo termo mais o quadrado do segundo termo

O quadrado de uma diferenccedila

a

a + b

a

b

b

a + b

a

a b

b a-b

a-b

S1 S2

S S2

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Queremos agora obter a aacuterea S do quadrado menor da figura geomeacutetrica acima Podemos fazer isso de duas maneiras

1ordf maneira

Considerando apenas o quadrado da medida de seu lado isto eacute S = (a - b)2

2ordf maneira

Considerando as aacutereas das figuras geomeacutetricas que compotildeem o quadrado de lado a ou seja

S = a2 ndash S1 ndash 2S2

S = a2 ndash b2 - 2b (a ndash b)

S = a2 ndash b2 - 2ab + 2b2 = a2 - 2ab + b2

(a - b)2 = a2 ndash 2ab + b2

O quadrado da diferenccedila de dois termos eacute o quadrado do primeiro termo menos duas vezes o primeiro pelo segundo termo mais o quadrado do segundo termo

Discutindo

Procure obter estes resultados algebricamente ou seja mostre que

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 e (a - b)2 = a2 ndash 2ab + b2

Obtenha uma relaccedilatildeo para o cubo de uma soma e o cubo de uma diferenccedila isto eacute

(a + b)3 e (a ndash b)3

Nesta unidade estudaremos binocircmios do tipo (a + b)n para n IN a e b IR

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211 Exerciacutecios 1) Fatore cada uma das expressotildees algeacutebricas abaixo

a) x2 ndash 2xy + y2 b) x3 ndash 3x2y + 3xy2 ndash y3 c) x2 + 2xy + y2 d) x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 e) x2 ndash y2 f) x4 ndash y4

2) Desenvolva a potecircncia (x + y)4

3) Observando os coeficientes da expressatildeo correspondente ao desenvolvimento de (x + y)4 e

os valores das combinaccedilotildees C40 C41 C42 C43 e C44 o que se pode concluir 4) Considere a expressatildeo algeacutebrica A = a3 ndash 3a2b + 3ab2 ndash b3

Qual o valor numeacuterico que essa expressatildeo assume para a = 2 35 e 35

5) Qual eacute o nuacutemero de termos do desenvolvimento da potecircncia correspondente a a) (2x + y)2 b) (x - y)4 c) (3 + y)3 d) (x + a)4

6) Assinale V ou F conforme as afirmaccedilotildees sejam verdadeiras ou falsas respectivamente

( ) x3 + y3 ne (x + y)3 ( ) x2 ndash y2 ne (x - y)2 para todo x e y ( ) x2 y2 = (x y)2 ( ) -1 + -1 = ( + ) ( ne e ne 0)

7) A figura a seguir foi construiacuteda conforme uma loacutegica Descubra qual eacute essa loacutegica e decirc o valor de x e de y

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 x 20 15 6 1

1 7 21 35 y 21 7 1

8) Considere A = x3 ndash y3 e B = (x ndash y) (x2 + xy + y2)

Sendo x = 212 e y = 43 quem eacute o maior A ou B

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A histoacuteria da matemaacutetica foi e eacute constituiacuteda natildeo apenas por grandes descobertas e famosos gecircnios que conseguem decifrar enigmas e provar ou refutar teorias mas tambeacutem por aqueles natildeo menos ilustres matemaacuteticos que possuem a capacidade de simplificar

Satildeo muitas as contribuiccedilotildees do francecircs Blaise Pascal (1623 ndash 1662) na Matemaacutetica na Filosofia e na Fiacutesica

Blaise Pascal

Blaise Pascal foi um Filoacutesofo e Matemaacutetico francecircs nasceu em Clermont em 1623 e morreu em 1662 na cidade de Paris Era filho de Etienne Pascal tambeacutem Matemaacutetico Em 1632 toda a famiacutelia foi viver em Paris

O pai de Pascal que tinha uma concepccedilatildeo educacional pouco ortodoxa decidiu que seria ele proacuteprio a ensinar os filhos e que Pascal natildeo estudaria Matemaacutetica antes dos 15 anos pelo que mandou remover de casa todos os livros e textos matemaacuteticos Contudo movido pela curiosidade Pascal comeccedilou a trabalhar em Geometria a partir dos 12 anos chegando mesmo a descobrir por si que a soma dos acircngulos de um triacircngulo eacute igual a dois acircngulos retos Entatildeo o seu pai resignou-se e ofereceu a Pascal uma coacutepia do livro de Euclides

Aos 14 anos Pascal comeccedilou a acompanhar o seu pai nas reuniotildees de Mersenne onde se encontravam muitas personalidades importantes Aos 16 anos numa das reuniotildees Pascal apresentou uma uacutenica folha de papel que continha vaacuterios teoremas de Geometria Projetiva

incluindo o hoje conhecido como Hexagrama miacutestico em que demonstra que se um hexaacutegono estiver inscrito numa cocircnica entatildeo as intersecccedilotildees de cada um dos 3 pares de lados opostos satildeo colineares Em Fevereiro de 1640 foi publicado este seu trabalho ndash Ensaio sobre secccedilotildees cocircnicas no qual trabalhou durante 3 anos

Em 1639 a famiacutelia de Pascal deixou Paris e mudou-se para Rouen onde o seu pai tinha sido nomeado coletor de impostos da Normandia Superior

Aos dezoito anos e com o objetivo de ajudar o pai na tarefa de cobrar impostos Pascal inventou a primeira maacutequina digital chamada Pascalinne para levar a cabo o processo de adiccedilatildeo e subtraccedilatildeo e posteriormente organizou a produccedilatildeo e comercializaccedilatildeo destas maacutequinas de calcular (que se assemelhava a uma calculadora mecacircnica dos anos 40) Pelo menos sete destes laquocomputadoresraquo ainda existem uma foi apresentada agrave rainha Cristina da Sueacutecia em 1652

Quando o seu pai morreu em 1651 Pascal escreveu a uma das suas irmatildes uma carta sobre a

morte com um profundo significado cristatildeo em geral e em particular sobre a morte do pai

- 33 -

Estas suas ideacuteias religiosas foram a base para a sua grande obra filosoacutefica Penseacutees que constitui um conjunto de reflexotildees pessoais acerca do sofrimento humano e da feacute em Deus

Em Fiacutesica destacou-se pelo seu trabalho Tratado sobre o equiliacutebrio dos liacutequidos relacionado com a pressatildeo dos fluiacutedos e hidraacuteulica O princiacutepio de Pascal diz que a pressatildeo em qualquer ponto de um fluido eacute a mesma de forma a que a pressatildeo aplicada num ponto eacute transmitida a todo o volume do contentor Este eacute o princiacutepio do macaco e do martelo hidraacuteulicos

Pascal estudou e demonstrou no trabalho do Triacircngulo aritmeacutetico publicado em 1654 diversas propriedades do triacircngulo e aplicou-as no estudo das probabilidades Antes de Pascal jaacute Tartaglia usara o triacircngulo nos seus trabalhos e muito antes os matemaacuteticos aacuterabes e

chineses jaacute o utilizavam Este famoso triacircngulo que se pode continuar indefinidamente aumentando o nuacutemero de linhas eacute conhecido como Triacircngulo de Pascal ou Triacircngulo de Tartaglia Trata-se de um arranjo triangular de nuacutemeros em que cada nuacutemero eacute igual agrave soma do par de nuacutemeros acima de si O triacircngulo de Pascal apresenta inuacutemeras propriedades e relaccedilotildees por exemplo as somas dos nuacutemeros dispostos ao longo das diagonais do triacircngulo geram a Sucessatildeo de Fibonaccirdquo

Em correspondecircncia com Fermat durante o Veratildeo de 1654 Pascal estabeleceu os fundamentos da Teoria das Probabilidades O seu uacuteltimo trabalho foi sobre a Cicloacuteide ndash a curva traccedilada por um ponto da circunferecircncia que gira sem escorregar ao longo de uma linha reta Durante esse ano desinteressou-se pela ciecircncia passou os uacuteltimos anos da vida a praticar caridade e decidiu dedicar-se a Deus e agrave religiatildeo Faleceu com 39 anos devido a um tumor maligno que tinha no estocircmago se ter estendido ao ceacuterebro

Na Matemaacutetica eacute comum relacionarmos o seu nome a um determinado triacircngulo formado por nuacutemeros representados por combinaccedilotildees ou seja

Mas qual eacute a importacircncia do Triacircngulo de Pascal

Embora existam curiosidades numeacutericas relacionadas a esse triacircngulo noacutes o utilizaremos no desenvolvimento de potecircncias de um binocircmio Aguarde

Utilizando o caacutelculo de combinaccedilotildees vamos formar o triacircngulo de Pascal apenas com os resultados

- 34 -

Vocecirc saberia obter os nuacutemeros da proacutexima linha sem calcular as combinaccedilotildees correspondentes Explique

O que vocecirc pode dizer sobre o valor Cn0 sendo n um nuacutemero natural qualquer

Qual o valor de Cn1 (n IN) E o valor de Cnn

Numa mesma linha do triacircngulo de Pascal qual a relaccedilatildeo entre os termos equumlidistantes dos extremos

- 35 -

Vamos retornar alguns fatos da Anaacutelise Combinatoacuteria para justificar alguns importantes resultados

Eacute necessaacuterio voltarmos agraves combinaccedilotildees simples estudadas em Anaacutelise Combinatoacuteria para entendermos alguns resultados que aqui seratildeo uacuteteis

Quando formamos subconjuntos com base em um conjunto qualquer estamos combinando seus elementos

Vamos formar com base nos elementos do conjunto A = 3 4 5 6 7 todos os subconjuntos com 2 elementos e a seguir seus complementares em relaccedilatildeo ao conjunto A

(Vocecirc deveraacute escrevecirc-los)

Subconjuntos Com 2 elementos

Subconjuntos complementares

3 4 rarr

3 5 rarr

3 6 rarr

3 7 rarr

4 5 rarr

4 6 rarr

4 7 rarr

5 6 rarr

5 7 rarr

6 7 rarr

Satildeo C52 = 10 subconjuntos

Satildeo


Como a cada subconjunto de um conjunto finito podemos associar um subconjunto complementar ao conjunto dado dizemos que os totais dessas combinaccedilotildees satildeo iguais Assim no nosso exemplo temos C52 = C53

Combinaccedilotildees complementares 2 + 3 = 5

Observe que C52 e C53 na linha correspondente do Triacircngulo de Pascal satildeo elementos equumlidistantes dos extremos isto eacute C50 C51 C52 C53 C54 C55

Organizando as ideacuteias

Em uma mesma linha do Triacircngulo de Pascal elementos equumlidistantes dos extremos satildeo

iguais Em siacutembolos temos Cnp = Cn n-p

A relaccedilatildeo matemaacutetica acima eacute conhecida como Relaccedilatildeo das Combinaccedilotildees Complementares Vocecirc poderaacute facilmente justificaacute-la no quadro a seguir utilizando combinaccedilotildees

Justificativa

- 36 -

Temos assim que numa linha qualquer do Triacircngulo de Pascal elementos equumlidistantes dos extremos satildeo iguais Entretanto ateacute aqui natildeo conseguimos ainda justificar a compreensatildeo de como esse triacircngulo eacute construiacutedo Falta um pequeno mas importante fato que daremos o

nome de Relaccedilatildeo de Stifel


Novamente vamos utilizar uma situaccedilatildeo envolvendo Anaacutelise Combinatoacuteria e subconjuntos

Situaccedilatildeo

No quadro abaixo estatildeo todos os subconjuntos de A = 3 4 5 6 7 com exatamente 3 elementos Ao todo satildeo 10 subconjuntos pois C52 = 10

3 4 5 3 5 7 4 5 7

3 4 6 3 6 7 4 6 7

3 4 7 4 5 6 5 6 7

3 5 6

Discutindo

Observando o quadro faccedila o que se pede

Quantos e quais satildeo os subconjuntos de A = 3 4 5 6 7 formados com 3 elementos que contecircm o elemento 7

Explique como obter esse total de subconjuntos pela Anaacutelise Combinatoacuteria

Quantos e quais os subconjuntos de A = 3 4 5 6 7 formados com 3 elementos que natildeo contecircm o elemento 7


Somando o nuacutemero de subconjuntos de 3 elementos de A que contecircm o elemento 7 com o nuacutemero de subconjuntos de 3 elementos de A que natildeo contecircm o elemento 7 qual o resultado E a sua conclusatildeo

Voltando ao Triacircngulo de Pascal agora podemos compreender melhor como ele eacute formado

- 37 -

C00

C01 C11

C02 C12 C22

C03 C13 C23 C33

C04 C14 C24 + C34 C44

C05 C15 C25 C35 C45 C55

C06 C16 + C26 C36 C46 C56 C66

C07 C17 C27 C37 C47 C57 C67 C77

Procure completar o quadro a seguir com os valores dentro dos retacircngulos correspondentes agraves combinaccedilotildees mas sem utilizar o caacutelculo combinatoacuterio


Relaccedilatildeo de Stifel somando dois elementos consecutivos de uma mesma linha de um Triacircngulo de Pascal obtemos o elemento da proacutexima linha situado abaixo desses dois elementos

Em siacutembolos

Cn p + Cn p+1 = Cn+1 p+1

Utilizando combinaccedilotildees simples justifique a Relaccedilatildeo de Stifel no quadro a seguir

231 Exerciacutecios

- 38 -

1) Qual eacute o nuacutemero de soluccedilotildees da equaccedilatildeo C10x = C106

2) Construa as 8 primeiras linhas do triacircngulo de Pascal e a seguir calcule a soma dos elementos de uma mesma linha (todos) Qual a conclusatildeo

3) Resolva a equaccedilatildeo C102 + C103 = C11x

4) Calcule

a) C20 + C21 + C22

b) C30 + C31 + C32 + C33

c) C40 + C41 + C42 + C43 + C44

d) Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn

5) Tomando 8 pontos distintos pertencentes a uma circunferecircncia quantos poliacutegonos convexos inscritos podem ser construiacutedos com veacutertices nesses pontos

6) Considere o conjunto A tal que A = a e i o u

a) Qual o nuacutemero de subconjuntos de A

b) Em quantos subconjuntos de A formados por 3 elementos o elemento ldquoerdquo figura

c) Em quantos subconjuntos de A formados por 3 elementos o elemento ldquoerdquo natildeo figura

7) Resolva a equaccedilatildeo Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cn n-1

8) Numa turma com 32 pessoas 5 seratildeo escolhidas para participar de uma viagem Qual eacute o nuacutemero de maneiras de escolher essas 5 pessoas sabendo que duas dessas pessoas soacute iratildeo se forem juntas


- 39 -

Denomina-se Binocircmio de Newton a todo binocircmio da forma (a + b)n sendo n um nuacutemero natural

Exemplo B = (3x - 2y)4 (onde a = 3x b = -2y e n = 4 [grau do binocircmio])

Nota 1

Isaac Newton - fiacutesico e matemaacutetico inglecircs (1642 - 1727)

Suas contribuiccedilotildees agrave Matemaacutetica estatildeo reunidas na monumental obra Principia Mathematica escrita em 1687

Exemplos de desenvolvimento de binocircmios de Newton

a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3

c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4

d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5

Nota 2

Natildeo eacute necessaacuterio memorizar as foacutermulas acima jaacute que elas possuem uma lei de formaccedilatildeo bem definida senatildeo vejamos

Vamos tomar por exemplo o item (d) acima

Observe que o expoente do primeiro e uacuteltimos termos satildeo iguais ao expoente do binocircmio ou seja igual a 5

A partir do segundo termo os coeficientes podem ser obtidos a partir da seguinte regra praacutetica de faacutecil memorizaccedilatildeo

Multiplicamos o coeficiente de a pelo seu expoente e dividimos o resultado pela ordem do termo O resultado seraacute o coeficiente do proacuteximo termo Assim por exemplo para obter o coeficiente do terceiro termo do item (d) acima teriacuteamos 54 = 20 agora dividimos 20 pela

ordem do termo anterior (2 por se tratar do segundo termo) 202 = 10 que eacute o coeficiente do terceiro termo procurado

Observe que os expoentes da variaacutevel a decrescem de n ateacute 0 e os expoentes de b crescem de 0 ateacute n Assim o terceiro termo eacute 10 a3b2 (observe que o expoente de a decresceu de 4 para 3 e o de b cresceu de 1 para 2)

Usando a regra praacutetica acima o desenvolvimento do binocircmio de Newton (a + b)7 seraacute

(a + b)7 = a7 + 7 a6b + 21 a5b2 + 35 a4b3 + 35 a3b4 + 21 a2b5 + 7 ab6 + b7

Como obtivemos por exemplo o coeficiente do 6ordm termo (21 a2b5)

Pela regra coeficiente do termo anterior = 35 Multiplicamos 35 pelo expoente de a que eacute igual a 3 e dividimos o resultado pela ordem do termo que eacute 5

Entatildeo 353 = 105 e dividindo por 5 (ordem do termo anterior) vem 1055 = 21 que eacute o coeficiente do sexto termo conforme se vecirc acima

Observaccedilotildees

- 40 -

1) o desenvolvimento do binocircmio (a + b)n eacute um polinocircmio

2) o desenvolvimento de (a + b)n possui n + 1 termos

3) os coeficientes dos termos equumlidistantes dos extremos no desenvolvimento de (a + b)n satildeo iguais

4) a soma dos coeficientes de (a + b)n eacute igual a 2n

241 Exerciacutecios

1) Desenvolva a potecircncia de binocircmios

a) (x + y)5 =

b) (2x - )5 =

c) (2x + 1)4 =

d) (x ndash 2y)5 =

2) Desenvolvendo a potecircncia (2 + 3)4 obteacutem-se um nuacutemero na forma a + b 6 Calcule a +

b

3) Considere que (x + y)5 = 1 x5 + 5 x4y + 10 x3y2 + 10 x2y3 + 5xy4 + 1 y5

a) Calcule o valor numeacuterico da expressatildeo (x + y)5 para x = y = 1

b) Calcule o valor numeacuterico da expressatildeo 1 x5 + 5 x4y + 10 x3y2 + 10 x2y3 + 5xy4 + 1 y5

para x = y = 1

Atenccedilatildeo

A soma dos coeficientes numeacutericos dos termos do desenvolvimento da potecircncia de um binocircmio

pode ser calculada substituindo as variaacuteveis por 1 sem necessitar desenvolver os termos

4) Obtenha a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento

a) (2x + y)6 =

b) (3x - )10 =

c) (2x - 4)50 =

25 Foacutermula do Termo Geral do

Desenvolvimento do Binocircmio de Newton

- 41 -

(x + y)n = (n0) xny0 + (n

1) xn-1y1 + (n2) xn-2y2 + + (x

n) x0yn com n IN

Tp+1 = (np) xn-p yp

Termo Central ou Meacutedio eacute aquele que fica no meio se o desenvolvimento for de grau par

(p = n2)

Termo Independente da variaacutevel eacute aquele cujo expoente desta variaacutevel eacute igual a zero (x0)

Exemplos

1) Vamos escrever (3x +2)4 usando o teorema binomial

(3x + 2)4 = (40)(3x)420 + (4

1)(3x)321 + (42)(3x)222 + (4

3)(3x)123 + (44)(3x)024

(3x + 2)4 = 81x4 + 216x3 + 216x2 +96x + 16

2) Vamos escrever (a - 2)4 usando o teorema binomial

(a - 2)4 = (40)(a)420 - (4

1)(a)321 + (42)(a)222 - (4

3)(a)123 + (44)(a)024

(a - 2)4 = a4 - 8a3 + 24a2 ndash 32a + 16

3) Encontrar o 7ordm termo do desenvolvimento de (x3 ndash 2y)10

O termo geral eacute (10k)(x

3)10-k(-2y)k = (10k)(-2)kx30 ndash 3kyk

Para encontrarmos o 7ordm termo fazemos k = 6

Assim o termo procurado eacute (106)(-2)6x30-18y6 = 13440 x12 y6

251 Exerciacutecios

1) Determine o 6ordm termo no desenvolvimento da potecircncia (x + a)10

2) No desenvolvimento de (a ndash 1)20 obtenha o coeficiente do termo em a17

3) Determine o coeficiente do termo meacutedio no desenvolvimento de (x3 + y2)8

4) Determine se houver o termo independente de x no desenvolvimento de (x + 1x)6

5) Calcule se existir o termo independente de x no desenvolvimento de (x + 1x)7


- 42 -

1) Calcule a soma dos coeficientes do desenvolvimento de (x + y)5 ou seja

(x + y)5 = 1 x5 + 5 x4y + 10 x3y2 + 10 x2y3 + 5xy4 + 1 y5

2) (FEI-SP) A soma de todos os coeficientes do desenvolvimento de (14x ndash 13y)237 eacute

a) 0 b) 1 c) -1 d) 331237 e) 1973747

3) (UNIVALI-SC) Desenvolvendo o binocircmio (x2 ndash 2)5 temos (x2 ndash 2)5 = x10 + mx8 + 40x6 ndash 80x4 + 80x2 + n portanto m + n eacute

a) +40 b) 42 c) -9 d) -42 e) -48

4) (UFMT) No desenvolvimento de (x ndash 1x)11 verificamos que o termo independente de x

a) eacute o 5ordm b) eacute o 6ordm c) eacute o 7ordm d) eacute o 8ordm e) natildeo existe

5) (CESGRANRIO-RJ) No desenvolvimento de (x + y)n a diferenccedila entre os coeficientes do 3ordm e do 2ordm termos eacute igual a 54 Podemos afirmar que o termo meacutedio eacute o


6) (PUC-RS) O termo independente de x no desenvolvimento do binocircmio (x2 ndash 2x)12 eacute

a) 232 b) 326 c) 924 d) 1012 e) 1214

7) (UFOP-MG) Para que se tenha um dos termos do desenvolvimento de (x + a)11 igual a 1386x5 o valor de a deve ser

a) 63 b) 263 c) 10 d) 3 e) 310

8) (FEI-SP) No desenvolvimento de (1 + 2X2)6 o coeficiente de x8 eacute

a) 60 b) 120 c) 240 d) 480 e) 960

9) (PUC-MG) No desenvolvimento do binocircmio (x + ax)6 o coeficiente do termo em x4 eacute 12 O

valor de a eacute

a) -3 b) -2 c) -1 d) 2 e) 3

10) (USJT-SP) Qual eacute o termo independente de x no desenvolvimento do Binocircmio de Newton (x + 1x)6

a) 16 b) 20 c) 24 d) 28 e) 32

11) (UFPA) No binocircmio (2x + 14x)n a soma dos coeficientes binomiais do segundo e do terceiro termos eacute igual a 36 e o terceiro termo eacute sete vezes maior que o segundo Entatildeo o valor de x + 1x eacute

a) -103 b) -53 c) -35 d) -310 e) -13

12) (UECE-CE) Se n = (5 + 3)3 (5 -3)3 entatildeo o nuacutemero binomial Cn3 eacute igual a

- 43 -

a) 20 b) 35 c) 48 d) 56 e) 70

13) (UFES) Qual o termo central de (x ndash 3)6

a) -540x3 b) -3 240x3 c) 3 240x3 d) 540x3 e) 540x4

14) (UFSE) No desenvolvimento do binocircmio (1 + x)8 a soma dos coeficientes eacute

a) 0 b) 9 c) 18 d) 64 e) 256

15) (UFPA) Qual o valor do termo meacutedio do desenvolvimento de (2x + 3y)8

a) 70x4y4 b) 701681 x4y4 c) 701681 x5y4 d) 701681 x4y5 e) 701681 x5y5

16) (UFC-CE) O valor da expressatildeo

(1 + sen2)5 ndash 5(1 + sen2)4 + 10(1 + sen2)3 - 10(1 + sen2)2 + 5(1 + sen2) ndash 1 eacute igual a

a) (sen2)5 b) (1 + sen2)5 -1 c) -1 d) 0

17) (MACK-SP) Um dos termos no desenvolvimento de (x +3a)5 eacute 360x3 Sabendo que a depende de x o valor de a eacute

a) plusmn1 b) plusmn2 c) plusmn3 d) plusmn4 e) plusmn5

18) (FGV-SP) Desenvolvendo a expressatildeo [(x + 1x)(x ndash 1x)]5 obteacutem-se como termo independente de x o valor

a) 10 b) -10 c) 20 d) -20 e) 36

19) (FATEC-SP) Sabendo que o segredo de um cofre eacute uma sequumlecircncia de quatro algarismos distintos e o primeiro eacute igual ao triplo do segundo o maior nuacutemero de tentativas diferentes que devemos fazer para conseguir abri-lo eacute igual a

a) 56 b) 84 c) 168 d) 253 e) 1054

- 2 -

IacuteNDICE




121 Exerciacutecios


131 Exerciacutecios


141 Exerciacutecios



161 Exerciacutecios

17 Arranjo Simples

171 Exerciacutecios




111 Combinaccedilatildeo Simples

1111 Exerciacutecios





211 Exerciacutecios



211 Exerciacutecios


211 Exerciacutecios

25 Foacutermula do Termo Geral

211 Exerciacutecios


- 3 -

















Exemplos


rarr 0 = 1 e 1 = 1


- 4 -

121 Exerciacutecios




b Calcule xy





seguir

a ( ) 7 = 765

b ( ) 9 = 3 + 6

c ( ) 10 5 = 2

d ( ) 6 4 = 30





a 50 49

b n (n ndash 1)

c 100 + 99 99

d (2n) (2n ndash 1)

- 5 -




Exemplos





- 6 -

131 Exerciacutecios




podem ser formados






gabarito

















- 7 -














Conclusatildeo



Exemplo



A

C D

B

- 8 -

Atenccedilatildeo





A cap B

A B

- 9 -
















- 10 -




a) 650 b) 615 c) 640 d) 649 e) 648


a) 48 b) 66 c) 96 d)120


a) 6 b) 18 c) 12 d) 36 e) 48


a) 30 b) 36 c) 52 d) 60 e) 72



a) 24 b) 48 c) 96 d) 120 e) 720



a) 23 b) 15 c) 3 d) 26 e) 50



a) 120 b) 144 c) 14 d) 60 e) 12



a) 128 b) 64 c) 62 d) 32 e) 16


a) 34 b) 72 c) 96 d) 64 e) 102

- 11 -


a) 79 b) 80 c) 81 d) 99 e) 100


a) 720 b) 1140 c) 2160 d) 2280 e) 3600


a) 1080 b) 10800 c) 10080 d) 840 e) 60480


a) 120 b) 320 c) 500 d) 600 e) 720


a) 6 b) 12 c) 28 d) 794 e) 13345


a) 336 b) 567 c) 1680 d) 3335 e) 3403


a) 24 b) 11 c) 12 d) 10 e) 8


a) 25 b) 10 c) 32 d) 120 e) 240


a) 1596 b) 2352 c) 2686 d) 2788 e) 4032

- 12 -


a) 900 b) 1000 c) 1900 d) 2500 e) 5000


a) 120 b) 60 c) 30 d) 180 e) 90

- 13 -




Exemplos






- 14 -

161 Exerciacutecios

















- 15 -

17 Arranjo Simples















seja

A53 = 543 A53 = 5 4 3 2 2

A53 = 5 2 rarr A53 = 5 (5-3)


Anp = n (n-1) (n-2) [n ndash (p-1)]



Logo Anp = n (n-p)



- 16 -

171 Exerciacutecios

1) Calcule

a) A73 b) A52 c) A105




- 17 -







(2) = 32 = 9




(PC)3 = 2

Exemplos







Pc5 = P4 = (5-1) = 4 = 4321 = 24



- 18 -







2Pc4 = 2(4-1) = 23 = 2321 = 12


- 19 -




a) 6 b) 12 c) 18 d) 36 e) 48



a) 21 b) 48 c) 96 d) 120 e) 720


a) (n2 + n) (1 + n) b) (n2 + n - 1) 2 c) (n2 - n) (1 + n) d) n (n +2)


a) 24 b) 48 c) 96 d) 120 e) 144





a) 181440 b) 3628800 c) 1814400 d) 40320 e) 403200


vogais juntas

a) 36 b) 712 c) 120 d) 144 e) 180


a) 20 b) 30 c) 60 d) 80 e) 100



a) 4 b) 5 c) 6 d) 12 e) 24



a) 720 b) 36 c) 81 d) 126

- 20 -


a) 48 b) 66 c) 96 d) 120



a) 1800 b) 720 c) 5400 d) 5040 e) 2160


a) 170 b) 240 c) 180 d) 280 e) 168





a) 20 b) 20 2 c) 19 d) 19 2


a) 15 b) 24 c) 18 d) 16 e) 12


a) 2 b) 7 c) 8 d) 9 e) 20

- 21 -










(nk) = n k(n-k)





0 elemento rarr

1 elemento rarr

2 elementos rarr

3 elementos rarr

4 elementos rarr

5 elementos rarr



- 22 -



a1 a2 a3 a1 a2 a4 a1 a2 a5 a1 a3 a4

a1 a3 a5 a1 a4 a5

a2 a3 a4 a2 a3 a5 a2 a4 a5 a3 a4 a5










a1 a2 a3 a1 a3 a2 a2 a1 a3

a2 a3 a1 a3 a1 a2 a3 a2 a1



Logo Cnp = Anp P3

Resumindo



Cnp = n (n-1) (n-2) () (n ndash p+1) p


Cnp = n p(n-p)



- 23 -



















- 24 -







(22) = 4 22 = 6















- 25 -


C93 C62 C42 C21 1 = 9 322





(3 + 2 + 2 + 1 + 1 = 9)

Em siacutembolos

P932211 = 9 322


- 26 -


718844

a) 90 b) 720 c) 15 d) 30 e) 180


a) 480 b) 720 c) 1440 d) 1920 e) 5040


a) A73 b) C73 c) 7 d) 37 e) 7 3


a) 360 b) 180 c) 21600 d) 252 e) 210


a) x = -6 ou x = 7 b) x = -6 c) x = 21 d) x = 13 e) x = 7


x-5 eacute

a) 14 b) 12 c) 10 d) 8 e) 6


a) 360 b) 190 c) 180 d) 120 e) 18



a) 30 b) 24 c) 20 d) 18 e) 15


a) 360 b) 48 c) 30 d) 120 e) 15

- 27 -


a) 90 b) 35 c) 15 d) 30 e) 50


a) 60 b) 75 c) 80 d) 85 e) 90


a) 30240 b) 594 c) 462 d) 408 e) 372


a) 7 b) 36 c) 152 d) 1200 e) 28800


a) 10 b) 18 c) 20 d) 36 e) 60


a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14



a) 120 b) 220 c) 720 d) 980 e) 1320


a) 35 b) 45 c) 47 d) 53 e) 54


a) 3060 b) 24480 c) 37800 d) 51210 e) 53440

- 28 -


a) 720 b) 625 c) 480 d) 300 e) 255


a) 12 b) 34 c) 23 d) 67 e) 45



a) 62 b) 89 c) 26 d) 720 e) 36


a) 36 b) 48 c) 52 d) 54 e) 56



- 29 -




O quadrado da soma









a

a + b

a

b

b

a + b

a

a b

b a-b

a-b

S1 S2

S S2

- 30 -


1ordf maneira


2ordf maneira





(a - b)2 = a2 ndash 2ab + b2


Discutindo






- 31 -











1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 x 20 15 6 1

1 7 21 35 y 21 7 1



- 32 -




Blaise Pascal









- 33 -










- 34 -





- 35 -








3 4 rarr

3 5 rarr

3 6 rarr

3 7 rarr

4 5 rarr

4 6 rarr

4 7 rarr

5 6 rarr

5 7 rarr

6 7 rarr


Satildeo









Justificativa

- 36 -





Situaccedilatildeo


3 4 5 3 5 7 4 5 7

3 4 6 3 6 7 4 6 7

3 4 7 4 5 6 5 6 7

3 5 6

Discutindo








- 37 -

C00

C01 C11

C02 C12 C22

C03 C13 C23 C33

C04 C14 C24 + C34 C44

C05 C15 C25 C35 C45 C55

C06 C16 + C26 C36 C46 C56 C66

C07 C17 C27 C37 C47 C57 C67 C77




Em siacutembolos

Cn p + Cn p+1 = Cn+1 p+1


231 Exerciacutecios

- 38 -




4) Calcule

a) C20 + C21 + C22

b) C30 + C31 + C32 + C33

c) C40 + C41 + C42 + C43 + C44

d) Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn









- 39 -



Nota 1




a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3

c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4

d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5

Nota 2














- 40 -





241 Exerciacutecios


a) (x + y)5 =

b) (2x - )5 =

c) (2x + 1)4 =

d) (x ndash 2y)5 =


b




para x = y = 1

Atenccedilatildeo




a) (2x + y)6 =

b) (3x - )10 =

c) (2x - 4)50 =



- 41 -

(x + y)n = (n0) xny0 + (n

1) xn-1y1 + (n2) xn-2y2 + + (x

n) x0yn com n IN

Tp+1 = (np) xn-p yp


(p = n2)


Exemplos


(3x + 2)4 = (40)(3x)420 + (4

1)(3x)321 + (42)(3x)222 + (4

3)(3x)123 + (44)(3x)024

(3x + 2)4 = 81x4 + 216x3 + 216x2 +96x + 16


(a - 2)4 = (40)(a)420 - (4

1)(a)321 + (42)(a)222 - (4

3)(a)123 + (44)(a)024

(a - 2)4 = a4 - 8a3 + 24a2 ndash 32a + 16



3)10-k(-2y)k = (10k)(-2)kx30 ndash 3kyk



251 Exerciacutecios







- 42 -


(x + y)5 = 1 x5 + 5 x4y + 10 x3y2 + 10 x2y3 + 5xy4 + 1 y5


a) 0 b) 1 c) -1 d) 331237 e) 1973747


a) +40 b) 42 c) -9 d) -42 e) -48






a) 232 b) 326 c) 924 d) 1012 e) 1214


a) 63 b) 263 c) 10 d) 3 e) 310


a) 60 b) 120 c) 240 d) 480 e) 960


valor de a eacute

a) -3 b) -2 c) -1 d) 2 e) 3


a) 16 b) 20 c) 24 d) 28 e) 32


a) -103 b) -53 c) -35 d) -310 e) -13


- 43 -

a) 20 b) 35 c) 48 d) 56 e) 70


a) -540x3 b) -3 240x3 c) 3 240x3 d) 540x3 e) 540x4


a) 0 b) 9 c) 18 d) 64 e) 256





a) (sen2)5 b) (1 + sen2)5 -1 c) -1 d) 0




a) 10 b) -10 c) 20 d) -20 e) 36


a) 56 b) 84 c) 168 d) 253 e) 1054

- 3 -

















Exemplos


rarr 0 = 1 e 1 = 1


- 4 -

121 Exerciacutecios




b Calcule xy





seguir

a ( ) 7 = 765

b ( ) 9 = 3 + 6

c ( ) 10 5 = 2

d ( ) 6 4 = 30





a 50 49

b n (n ndash 1)

c 100 + 99 99

d (2n) (2n ndash 1)

- 5 -




Exemplos





- 6 -

131 Exerciacutecios




podem ser formados






gabarito

















- 7 -














Conclusatildeo



Exemplo



A

C D

B

- 8 -

Atenccedilatildeo





A cap B

A B

- 9 -
















- 10 -




a) 650 b) 615 c) 640 d) 649 e) 648


a) 48 b) 66 c) 96 d)120


a) 6 b) 18 c) 12 d) 36 e) 48


a) 30 b) 36 c) 52 d) 60 e) 72



a) 24 b) 48 c) 96 d) 120 e) 720



a) 23 b) 15 c) 3 d) 26 e) 50



a) 120 b) 144 c) 14 d) 60 e) 12



a) 128 b) 64 c) 62 d) 32 e) 16


a) 34 b) 72 c) 96 d) 64 e) 102

- 11 -


a) 79 b) 80 c) 81 d) 99 e) 100


a) 720 b) 1140 c) 2160 d) 2280 e) 3600


a) 1080 b) 10800 c) 10080 d) 840 e) 60480


a) 120 b) 320 c) 500 d) 600 e) 720


a) 6 b) 12 c) 28 d) 794 e) 13345


a) 336 b) 567 c) 1680 d) 3335 e) 3403


a) 24 b) 11 c) 12 d) 10 e) 8


a) 25 b) 10 c) 32 d) 120 e) 240


a) 1596 b) 2352 c) 2686 d) 2788 e) 4032

- 12 -


a) 900 b) 1000 c) 1900 d) 2500 e) 5000


a) 120 b) 60 c) 30 d) 180 e) 90

- 13 -




Exemplos






- 14 -

161 Exerciacutecios

















- 15 -

17 Arranjo Simples















seja

A53 = 543 A53 = 5 4 3 2 2

A53 = 5 2 rarr A53 = 5 (5-3)


Anp = n (n-1) (n-2) [n ndash (p-1)]



Logo Anp = n (n-p)



- 16 -

171 Exerciacutecios

1) Calcule

a) A73 b) A52 c) A105




- 17 -







(2) = 32 = 9




(PC)3 = 2

Exemplos







Pc5 = P4 = (5-1) = 4 = 4321 = 24



- 18 -







2Pc4 = 2(4-1) = 23 = 2321 = 12


- 19 -




a) 6 b) 12 c) 18 d) 36 e) 48



a) 21 b) 48 c) 96 d) 120 e) 720


a) (n2 + n) (1 + n) b) (n2 + n - 1) 2 c) (n2 - n) (1 + n) d) n (n +2)


a) 24 b) 48 c) 96 d) 120 e) 144





a) 181440 b) 3628800 c) 1814400 d) 40320 e) 403200


vogais juntas

a) 36 b) 712 c) 120 d) 144 e) 180


a) 20 b) 30 c) 60 d) 80 e) 100



a) 4 b) 5 c) 6 d) 12 e) 24



a) 720 b) 36 c) 81 d) 126

- 20 -


a) 48 b) 66 c) 96 d) 120



a) 1800 b) 720 c) 5400 d) 5040 e) 2160


a) 170 b) 240 c) 180 d) 280 e) 168





a) 20 b) 20 2 c) 19 d) 19 2


a) 15 b) 24 c) 18 d) 16 e) 12


a) 2 b) 7 c) 8 d) 9 e) 20

- 21 -










(nk) = n k(n-k)





0 elemento rarr

1 elemento rarr

2 elementos rarr

3 elementos rarr

4 elementos rarr

5 elementos rarr



- 22 -



a1 a2 a3 a1 a2 a4 a1 a2 a5 a1 a3 a4

a1 a3 a5 a1 a4 a5

a2 a3 a4 a2 a3 a5 a2 a4 a5 a3 a4 a5










a1 a2 a3 a1 a3 a2 a2 a1 a3

a2 a3 a1 a3 a1 a2 a3 a2 a1



Logo Cnp = Anp P3

Resumindo



Cnp = n (n-1) (n-2) () (n ndash p+1) p


Cnp = n p(n-p)



- 23 -



















- 24 -







(22) = 4 22 = 6















- 25 -


C93 C62 C42 C21 1 = 9 322





(3 + 2 + 2 + 1 + 1 = 9)

Em siacutembolos

P932211 = 9 322


- 26 -


718844

a) 90 b) 720 c) 15 d) 30 e) 180


a) 480 b) 720 c) 1440 d) 1920 e) 5040


a) A73 b) C73 c) 7 d) 37 e) 7 3


a) 360 b) 180 c) 21600 d) 252 e) 210


a) x = -6 ou x = 7 b) x = -6 c) x = 21 d) x = 13 e) x = 7


x-5 eacute

a) 14 b) 12 c) 10 d) 8 e) 6


a) 360 b) 190 c) 180 d) 120 e) 18



a) 30 b) 24 c) 20 d) 18 e) 15


a) 360 b) 48 c) 30 d) 120 e) 15

- 27 -


a) 90 b) 35 c) 15 d) 30 e) 50


a) 60 b) 75 c) 80 d) 85 e) 90


a) 30240 b) 594 c) 462 d) 408 e) 372


a) 7 b) 36 c) 152 d) 1200 e) 28800


a) 10 b) 18 c) 20 d) 36 e) 60


a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14



a) 120 b) 220 c) 720 d) 980 e) 1320


a) 35 b) 45 c) 47 d) 53 e) 54


a) 3060 b) 24480 c) 37800 d) 51210 e) 53440

- 28 -


a) 720 b) 625 c) 480 d) 300 e) 255


a) 12 b) 34 c) 23 d) 67 e) 45



a) 62 b) 89 c) 26 d) 720 e) 36


a) 36 b) 48 c) 52 d) 54 e) 56



- 29 -




O quadrado da soma









a

a + b

a

b

b

a + b

a

a b

b a-b

a-b

S1 S2

S S2

- 30 -


1ordf maneira


2ordf maneira





(a - b)2 = a2 ndash 2ab + b2


Discutindo






- 31 -











1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 x 20 15 6 1

1 7 21 35 y 21 7 1



- 32 -




Blaise Pascal









- 33 -










- 34 -





- 35 -








3 4 rarr

3 5 rarr

3 6 rarr

3 7 rarr

4 5 rarr

4 6 rarr

4 7 rarr

5 6 rarr

5 7 rarr

6 7 rarr


Satildeo









Justificativa

- 36 -





Situaccedilatildeo


3 4 5 3 5 7 4 5 7

3 4 6 3 6 7 4 6 7

3 4 7 4 5 6 5 6 7

3 5 6

Discutindo








- 37 -

C00

C01 C11

C02 C12 C22

C03 C13 C23 C33

C04 C14 C24 + C34 C44

C05 C15 C25 C35 C45 C55

C06 C16 + C26 C36 C46 C56 C66

C07 C17 C27 C37 C47 C57 C67 C77




Em siacutembolos

Cn p + Cn p+1 = Cn+1 p+1


231 Exerciacutecios

- 38 -




4) Calcule

a) C20 + C21 + C22

b) C30 + C31 + C32 + C33

c) C40 + C41 + C42 + C43 + C44

d) Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn









- 39 -



Nota 1




a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3

c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4

d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5

Nota 2














- 40 -





241 Exerciacutecios


a) (x + y)5 =

b) (2x - )5 =

c) (2x + 1)4 =

d) (x ndash 2y)5 =


b




para x = y = 1

Atenccedilatildeo




a) (2x + y)6 =

b) (3x - )10 =

c) (2x - 4)50 =



- 41 -

(x + y)n = (n0) xny0 + (n

1) xn-1y1 + (n2) xn-2y2 + + (x

n) x0yn com n IN

Tp+1 = (np) xn-p yp


(p = n2)


Exemplos


(3x + 2)4 = (40)(3x)420 + (4

1)(3x)321 + (42)(3x)222 + (4

3)(3x)123 + (44)(3x)024

(3x + 2)4 = 81x4 + 216x3 + 216x2 +96x + 16


(a - 2)4 = (40)(a)420 - (4

1)(a)321 + (42)(a)222 - (4

3)(a)123 + (44)(a)024

(a - 2)4 = a4 - 8a3 + 24a2 ndash 32a + 16



3)10-k(-2y)k = (10k)(-2)kx30 ndash 3kyk



251 Exerciacutecios







- 42 -


(x + y)5 = 1 x5 + 5 x4y + 10 x3y2 + 10 x2y3 + 5xy4 + 1 y5


a) 0 b) 1 c) -1 d) 331237 e) 1973747


a) +40 b) 42 c) -9 d) -42 e) -48






a) 232 b) 326 c) 924 d) 1012 e) 1214


a) 63 b) 263 c) 10 d) 3 e) 310


a) 60 b) 120 c) 240 d) 480 e) 960


valor de a eacute

a) -3 b) -2 c) -1 d) 2 e) 3


a) 16 b) 20 c) 24 d) 28 e) 32


a) -103 b) -53 c) -35 d) -310 e) -13


- 43 -

a) 20 b) 35 c) 48 d) 56 e) 70


a) -540x3 b) -3 240x3 c) 3 240x3 d) 540x3 e) 540x4


a) 0 b) 9 c) 18 d) 64 e) 256





a) (sen2)5 b) (1 + sen2)5 -1 c) -1 d) 0




a) 10 b) -10 c) 20 d) -20 e) 36


a) 56 b) 84 c) 168 d) 253 e) 1054

- 4 -

121 Exerciacutecios




b Calcule xy





seguir

a ( ) 7 = 765

b ( ) 9 = 3 + 6

c ( ) 10 5 = 2

d ( ) 6 4 = 30





a 50 49

b n (n ndash 1)

c 100 + 99 99

d (2n) (2n ndash 1)

- 5 -




Exemplos





- 6 -

131 Exerciacutecios




podem ser formados






gabarito

















- 7 -














Conclusatildeo



Exemplo



A

C D

B

- 8 -

Atenccedilatildeo





A cap B

A B

- 9 -
















- 10 -




a) 650 b) 615 c) 640 d) 649 e) 648


a) 48 b) 66 c) 96 d)120


a) 6 b) 18 c) 12 d) 36 e) 48


a) 30 b) 36 c) 52 d) 60 e) 72



a) 24 b) 48 c) 96 d) 120 e) 720



a) 23 b) 15 c) 3 d) 26 e) 50



a) 120 b) 144 c) 14 d) 60 e) 12



a) 128 b) 64 c) 62 d) 32 e) 16


a) 34 b) 72 c) 96 d) 64 e) 102

- 11 -


a) 79 b) 80 c) 81 d) 99 e) 100


a) 720 b) 1140 c) 2160 d) 2280 e) 3600


a) 1080 b) 10800 c) 10080 d) 840 e) 60480


a) 120 b) 320 c) 500 d) 600 e) 720


a) 6 b) 12 c) 28 d) 794 e) 13345


a) 336 b) 567 c) 1680 d) 3335 e) 3403


a) 24 b) 11 c) 12 d) 10 e) 8


a) 25 b) 10 c) 32 d) 120 e) 240


a) 1596 b) 2352 c) 2686 d) 2788 e) 4032

- 12 -


a) 900 b) 1000 c) 1900 d) 2500 e) 5000


a) 120 b) 60 c) 30 d) 180 e) 90

- 13 -




Exemplos






- 14 -

161 Exerciacutecios

















- 15 -

17 Arranjo Simples















seja

A53 = 543 A53 = 5 4 3 2 2

A53 = 5 2 rarr A53 = 5 (5-3)


Anp = n (n-1) (n-2) [n ndash (p-1)]



Logo Anp = n (n-p)



- 16 -

171 Exerciacutecios

1) Calcule

a) A73 b) A52 c) A105




- 17 -







(2) = 32 = 9




(PC)3 = 2

Exemplos







Pc5 = P4 = (5-1) = 4 = 4321 = 24



- 18 -







2Pc4 = 2(4-1) = 23 = 2321 = 12


- 19 -




a) 6 b) 12 c) 18 d) 36 e) 48



a) 21 b) 48 c) 96 d) 120 e) 720


a) (n2 + n) (1 + n) b) (n2 + n - 1) 2 c) (n2 - n) (1 + n) d) n (n +2)


a) 24 b) 48 c) 96 d) 120 e) 144





a) 181440 b) 3628800 c) 1814400 d) 40320 e) 403200


vogais juntas

a) 36 b) 712 c) 120 d) 144 e) 180


a) 20 b) 30 c) 60 d) 80 e) 100



a) 4 b) 5 c) 6 d) 12 e) 24



a) 720 b) 36 c) 81 d) 126

- 20 -


a) 48 b) 66 c) 96 d) 120



a) 1800 b) 720 c) 5400 d) 5040 e) 2160


a) 170 b) 240 c) 180 d) 280 e) 168





a) 20 b) 20 2 c) 19 d) 19 2


a) 15 b) 24 c) 18 d) 16 e) 12


a) 2 b) 7 c) 8 d) 9 e) 20

- 21 -










(nk) = n k(n-k)





0 elemento rarr

1 elemento rarr

2 elementos rarr

3 elementos rarr

4 elementos rarr

5 elementos rarr



- 22 -



a1 a2 a3 a1 a2 a4 a1 a2 a5 a1 a3 a4

a1 a3 a5 a1 a4 a5

a2 a3 a4 a2 a3 a5 a2 a4 a5 a3 a4 a5










a1 a2 a3 a1 a3 a2 a2 a1 a3

a2 a3 a1 a3 a1 a2 a3 a2 a1



Logo Cnp = Anp P3

Resumindo



Cnp = n (n-1) (n-2) () (n ndash p+1) p


Cnp = n p(n-p)



- 23 -



















- 24 -







(22) = 4 22 = 6















- 25 -


C93 C62 C42 C21 1 = 9 322





(3 + 2 + 2 + 1 + 1 = 9)

Em siacutembolos

P932211 = 9 322


- 26 -


718844

a) 90 b) 720 c) 15 d) 30 e) 180


a) 480 b) 720 c) 1440 d) 1920 e) 5040


a) A73 b) C73 c) 7 d) 37 e) 7 3


a) 360 b) 180 c) 21600 d) 252 e) 210


a) x = -6 ou x = 7 b) x = -6 c) x = 21 d) x = 13 e) x = 7


x-5 eacute

a) 14 b) 12 c) 10 d) 8 e) 6


a) 360 b) 190 c) 180 d) 120 e) 18



a) 30 b) 24 c) 20 d) 18 e) 15


a) 360 b) 48 c) 30 d) 120 e) 15

- 27 -


a) 90 b) 35 c) 15 d) 30 e) 50


a) 60 b) 75 c) 80 d) 85 e) 90


a) 30240 b) 594 c) 462 d) 408 e) 372


a) 7 b) 36 c) 152 d) 1200 e) 28800


a) 10 b) 18 c) 20 d) 36 e) 60


a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14



a) 120 b) 220 c) 720 d) 980 e) 1320


a) 35 b) 45 c) 47 d) 53 e) 54


a) 3060 b) 24480 c) 37800 d) 51210 e) 53440

- 28 -


a) 720 b) 625 c) 480 d) 300 e) 255


a) 12 b) 34 c) 23 d) 67 e) 45



a) 62 b) 89 c) 26 d) 720 e) 36


a) 36 b) 48 c) 52 d) 54 e) 56



- 29 -




O quadrado da soma









a

a + b

a

b

b

a + b

a

a b

b a-b

a-b

S1 S2

S S2

- 30 -


1ordf maneira


2ordf maneira





(a - b)2 = a2 ndash 2ab + b2


Discutindo






- 31 -











1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 x 20 15 6 1

1 7 21 35 y 21 7 1



- 32 -




Blaise Pascal









- 33 -










- 34 -





- 35 -








3 4 rarr

3 5 rarr

3 6 rarr

3 7 rarr

4 5 rarr

4 6 rarr

4 7 rarr

5 6 rarr

5 7 rarr

6 7 rarr


Satildeo









Justificativa

- 36 -





Situaccedilatildeo


3 4 5 3 5 7 4 5 7

3 4 6 3 6 7 4 6 7

3 4 7 4 5 6 5 6 7

3 5 6

Discutindo








- 37 -

C00

C01 C11

C02 C12 C22

C03 C13 C23 C33

C04 C14 C24 + C34 C44

C05 C15 C25 C35 C45 C55

C06 C16 + C26 C36 C46 C56 C66

C07 C17 C27 C37 C47 C57 C67 C77




Em siacutembolos

Cn p + Cn p+1 = Cn+1 p+1


231 Exerciacutecios

- 38 -




4) Calcule

a) C20 + C21 + C22

b) C30 + C31 + C32 + C33

c) C40 + C41 + C42 + C43 + C44

d) Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn









- 39 -



Nota 1




a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3

c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4

d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5

Nota 2














- 40 -





241 Exerciacutecios


a) (x + y)5 =

b) (2x - )5 =

c) (2x + 1)4 =

d) (x ndash 2y)5 =


b




para x = y = 1

Atenccedilatildeo




a) (2x + y)6 =

b) (3x - )10 =

c) (2x - 4)50 =



- 41 -

(x + y)n = (n0) xny0 + (n

1) xn-1y1 + (n2) xn-2y2 + + (x

n) x0yn com n IN

Tp+1 = (np) xn-p yp


(p = n2)


Exemplos


(3x + 2)4 = (40)(3x)420 + (4

1)(3x)321 + (42)(3x)222 + (4

3)(3x)123 + (44)(3x)024

(3x + 2)4 = 81x4 + 216x3 + 216x2 +96x + 16


(a - 2)4 = (40)(a)420 - (4

1)(a)321 + (42)(a)222 - (4

3)(a)123 + (44)(a)024

(a - 2)4 = a4 - 8a3 + 24a2 ndash 32a + 16



3)10-k(-2y)k = (10k)(-2)kx30 ndash 3kyk



251 Exerciacutecios







- 42 -


(x + y)5 = 1 x5 + 5 x4y + 10 x3y2 + 10 x2y3 + 5xy4 + 1 y5


a) 0 b) 1 c) -1 d) 331237 e) 1973747


a) +40 b) 42 c) -9 d) -42 e) -48






a) 232 b) 326 c) 924 d) 1012 e) 1214


a) 63 b) 263 c) 10 d) 3 e) 310


a) 60 b) 120 c) 240 d) 480 e) 960


valor de a eacute

a) -3 b) -2 c) -1 d) 2 e) 3


a) 16 b) 20 c) 24 d) 28 e) 32


a) -103 b) -53 c) -35 d) -310 e) -13


- 43 -

a) 20 b) 35 c) 48 d) 56 e) 70


a) -540x3 b) -3 240x3 c) 3 240x3 d) 540x3 e) 540x4


a) 0 b) 9 c) 18 d) 64 e) 256





a) (sen2)5 b) (1 + sen2)5 -1 c) -1 d) 0




a) 10 b) -10 c) 20 d) -20 e) 36


a) 56 b) 84 c) 168 d) 253 e) 1054

- 5 -




Exemplos





- 6 -

131 Exerciacutecios




podem ser formados






gabarito

















- 7 -














Conclusatildeo



Exemplo



A

C D

B

- 8 -

Atenccedilatildeo





A cap B

A B

- 9 -
















- 10 -




a) 650 b) 615 c) 640 d) 649 e) 648


a) 48 b) 66 c) 96 d)120


a) 6 b) 18 c) 12 d) 36 e) 48


a) 30 b) 36 c) 52 d) 60 e) 72



a) 24 b) 48 c) 96 d) 120 e) 720



a) 23 b) 15 c) 3 d) 26 e) 50



a) 120 b) 144 c) 14 d) 60 e) 12



a) 128 b) 64 c) 62 d) 32 e) 16


a) 34 b) 72 c) 96 d) 64 e) 102

- 11 -


a) 79 b) 80 c) 81 d) 99 e) 100


a) 720 b) 1140 c) 2160 d) 2280 e) 3600


a) 1080 b) 10800 c) 10080 d) 840 e) 60480


a) 120 b) 320 c) 500 d) 600 e) 720


a) 6 b) 12 c) 28 d) 794 e) 13345


a) 336 b) 567 c) 1680 d) 3335 e) 3403


a) 24 b) 11 c) 12 d) 10 e) 8


a) 25 b) 10 c) 32 d) 120 e) 240


a) 1596 b) 2352 c) 2686 d) 2788 e) 4032

- 12 -


a) 900 b) 1000 c) 1900 d) 2500 e) 5000


a) 120 b) 60 c) 30 d) 180 e) 90

- 13 -




Exemplos






- 14 -

161 Exerciacutecios

















- 15 -

17 Arranjo Simples















seja

A53 = 543 A53 = 5 4 3 2 2

A53 = 5 2 rarr A53 = 5 (5-3)


Anp = n (n-1) (n-2) [n ndash (p-1)]



Logo Anp = n (n-p)



- 16 -

171 Exerciacutecios

1) Calcule

a) A73 b) A52 c) A105




- 17 -







(2) = 32 = 9




(PC)3 = 2

Exemplos







Pc5 = P4 = (5-1) = 4 = 4321 = 24



- 18 -







2Pc4 = 2(4-1) = 23 = 2321 = 12


- 19 -




a) 6 b) 12 c) 18 d) 36 e) 48



a) 21 b) 48 c) 96 d) 120 e) 720


a) (n2 + n) (1 + n) b) (n2 + n - 1) 2 c) (n2 - n) (1 + n) d) n (n +2)


a) 24 b) 48 c) 96 d) 120 e) 144





a) 181440 b) 3628800 c) 1814400 d) 40320 e) 403200


vogais juntas

a) 36 b) 712 c) 120 d) 144 e) 180


a) 20 b) 30 c) 60 d) 80 e) 100



a) 4 b) 5 c) 6 d) 12 e) 24



a) 720 b) 36 c) 81 d) 126

- 20 -


a) 48 b) 66 c) 96 d) 120



a) 1800 b) 720 c) 5400 d) 5040 e) 2160


a) 170 b) 240 c) 180 d) 280 e) 168





a) 20 b) 20 2 c) 19 d) 19 2


a) 15 b) 24 c) 18 d) 16 e) 12


a) 2 b) 7 c) 8 d) 9 e) 20

- 21 -










(nk) = n k(n-k)





0 elemento rarr

1 elemento rarr

2 elementos rarr

3 elementos rarr

4 elementos rarr

5 elementos rarr



- 22 -



a1 a2 a3 a1 a2 a4 a1 a2 a5 a1 a3 a4

a1 a3 a5 a1 a4 a5

a2 a3 a4 a2 a3 a5 a2 a4 a5 a3 a4 a5










a1 a2 a3 a1 a3 a2 a2 a1 a3

a2 a3 a1 a3 a1 a2 a3 a2 a1



Logo Cnp = Anp P3

Resumindo



Cnp = n (n-1) (n-2) () (n ndash p+1) p


Cnp = n p(n-p)



- 23 -



















- 24 -







(22) = 4 22 = 6















- 25 -


C93 C62 C42 C21 1 = 9 322





(3 + 2 + 2 + 1 + 1 = 9)

Em siacutembolos

P932211 = 9 322


- 26 -


718844

a) 90 b) 720 c) 15 d) 30 e) 180


a) 480 b) 720 c) 1440 d) 1920 e) 5040


a) A73 b) C73 c) 7 d) 37 e) 7 3


a) 360 b) 180 c) 21600 d) 252 e) 210


a) x = -6 ou x = 7 b) x = -6 c) x = 21 d) x = 13 e) x = 7


x-5 eacute

a) 14 b) 12 c) 10 d) 8 e) 6


a) 360 b) 190 c) 180 d) 120 e) 18



a) 30 b) 24 c) 20 d) 18 e) 15


a) 360 b) 48 c) 30 d) 120 e) 15

- 27 -


a) 90 b) 35 c) 15 d) 30 e) 50


a) 60 b) 75 c) 80 d) 85 e) 90


a) 30240 b) 594 c) 462 d) 408 e) 372


a) 7 b) 36 c) 152 d) 1200 e) 28800


a) 10 b) 18 c) 20 d) 36 e) 60


a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14



a) 120 b) 220 c) 720 d) 980 e) 1320


a) 35 b) 45 c) 47 d) 53 e) 54


a) 3060 b) 24480 c) 37800 d) 51210 e) 53440

- 28 -


a) 720 b) 625 c) 480 d) 300 e) 255


a) 12 b) 34 c) 23 d) 67 e) 45



a) 62 b) 89 c) 26 d) 720 e) 36


a) 36 b) 48 c) 52 d) 54 e) 56



- 29 -




O quadrado da soma









a

a + b

a

b

b

a + b

a

a b

b a-b

a-b

S1 S2

S S2

- 30 -


1ordf maneira


2ordf maneira





(a - b)2 = a2 ndash 2ab + b2


Discutindo






- 31 -











1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 x 20 15 6 1

1 7 21 35 y 21 7 1



- 32 -




Blaise Pascal









- 33 -










- 34 -





- 35 -








3 4 rarr

3 5 rarr

3 6 rarr

3 7 rarr

4 5 rarr

4 6 rarr

4 7 rarr

5 6 rarr

5 7 rarr

6 7 rarr


Satildeo









Justificativa

- 36 -





Situaccedilatildeo


3 4 5 3 5 7 4 5 7

3 4 6 3 6 7 4 6 7

3 4 7 4 5 6 5 6 7

3 5 6

Discutindo








- 37 -

C00

C01 C11

C02 C12 C22

C03 C13 C23 C33

C04 C14 C24 + C34 C44

C05 C15 C25 C35 C45 C55

C06 C16 + C26 C36 C46 C56 C66

C07 C17 C27 C37 C47 C57 C67 C77




Em siacutembolos

Cn p + Cn p+1 = Cn+1 p+1


231 Exerciacutecios

- 38 -




4) Calcule

a) C20 + C21 + C22

b) C30 + C31 + C32 + C33

c) C40 + C41 + C42 + C43 + C44

d) Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn









- 39 -



Nota 1




a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3

c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4

d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5

Nota 2














- 40 -





241 Exerciacutecios


a) (x + y)5 =

b) (2x - )5 =

c) (2x + 1)4 =

d) (x ndash 2y)5 =


b




para x = y = 1

Atenccedilatildeo




a) (2x + y)6 =

b) (3x - )10 =

c) (2x - 4)50 =



- 41 -

(x + y)n = (n0) xny0 + (n

1) xn-1y1 + (n2) xn-2y2 + + (x

n) x0yn com n IN

Tp+1 = (np) xn-p yp


(p = n2)


Exemplos


(3x + 2)4 = (40)(3x)420 + (4

1)(3x)321 + (42)(3x)222 + (4

3)(3x)123 + (44)(3x)024

(3x + 2)4 = 81x4 + 216x3 + 216x2 +96x + 16


(a - 2)4 = (40)(a)420 - (4

1)(a)321 + (42)(a)222 - (4

3)(a)123 + (44)(a)024

(a - 2)4 = a4 - 8a3 + 24a2 ndash 32a + 16



3)10-k(-2y)k = (10k)(-2)kx30 ndash 3kyk



251 Exerciacutecios







- 42 -


(x + y)5 = 1 x5 + 5 x4y + 10 x3y2 + 10 x2y3 + 5xy4 + 1 y5


a) 0 b) 1 c) -1 d) 331237 e) 1973747


a) +40 b) 42 c) -9 d) -42 e) -48






a) 232 b) 326 c) 924 d) 1012 e) 1214


a) 63 b) 263 c) 10 d) 3 e) 310


a) 60 b) 120 c) 240 d) 480 e) 960


valor de a eacute

a) -3 b) -2 c) -1 d) 2 e) 3


a) 16 b) 20 c) 24 d) 28 e) 32


a) -103 b) -53 c) -35 d) -310 e) -13


- 43 -

a) 20 b) 35 c) 48 d) 56 e) 70


a) -540x3 b) -3 240x3 c) 3 240x3 d) 540x3 e) 540x4


a) 0 b) 9 c) 18 d) 64 e) 256





a) (sen2)5 b) (1 + sen2)5 -1 c) -1 d) 0




a) 10 b) -10 c) 20 d) -20 e) 36


a) 56 b) 84 c) 168 d) 253 e) 1054

- 6 -

131 Exerciacutecios




podem ser formados






gabarito

















- 7 -














Conclusatildeo



Exemplo



A

C D

B

- 8 -

Atenccedilatildeo





A cap B

A B

- 9 -
















- 10 -




a) 650 b) 615 c) 640 d) 649 e) 648


a) 48 b) 66 c) 96 d)120


a) 6 b) 18 c) 12 d) 36 e) 48


a) 30 b) 36 c) 52 d) 60 e) 72



a) 24 b) 48 c) 96 d) 120 e) 720



a) 23 b) 15 c) 3 d) 26 e) 50



a) 120 b) 144 c) 14 d) 60 e) 12



a) 128 b) 64 c) 62 d) 32 e) 16


a) 34 b) 72 c) 96 d) 64 e) 102

- 11 -


a) 79 b) 80 c) 81 d) 99 e) 100


a) 720 b) 1140 c) 2160 d) 2280 e) 3600


a) 1080 b) 10800 c) 10080 d) 840 e) 60480


a) 120 b) 320 c) 500 d) 600 e) 720


a) 6 b) 12 c) 28 d) 794 e) 13345


a) 336 b) 567 c) 1680 d) 3335 e) 3403


a) 24 b) 11 c) 12 d) 10 e) 8


a) 25 b) 10 c) 32 d) 120 e) 240


a) 1596 b) 2352 c) 2686 d) 2788 e) 4032

- 12 -


a) 900 b) 1000 c) 1900 d) 2500 e) 5000


a) 120 b) 60 c) 30 d) 180 e) 90

- 13 -




Exemplos






- 14 -

161 Exerciacutecios

















- 15 -

17 Arranjo Simples















seja

A53 = 543 A53 = 5 4 3 2 2

A53 = 5 2 rarr A53 = 5 (5-3)


Anp = n (n-1) (n-2) [n ndash (p-1)]



Logo Anp = n (n-p)



- 16 -

171 Exerciacutecios

1) Calcule

a) A73 b) A52 c) A105




- 17 -







(2) = 32 = 9




(PC)3 = 2

Exemplos







Pc5 = P4 = (5-1) = 4 = 4321 = 24



- 18 -







2Pc4 = 2(4-1) = 23 = 2321 = 12


- 19 -




a) 6 b) 12 c) 18 d) 36 e) 48



a) 21 b) 48 c) 96 d) 120 e) 720


a) (n2 + n) (1 + n) b) (n2 + n - 1) 2 c) (n2 - n) (1 + n) d) n (n +2)


a) 24 b) 48 c) 96 d) 120 e) 144





a) 181440 b) 3628800 c) 1814400 d) 40320 e) 403200


vogais juntas

a) 36 b) 712 c) 120 d) 144 e) 180


a) 20 b) 30 c) 60 d) 80 e) 100



a) 4 b) 5 c) 6 d) 12 e) 24



a) 720 b) 36 c) 81 d) 126

- 20 -


a) 48 b) 66 c) 96 d) 120



a) 1800 b) 720 c) 5400 d) 5040 e) 2160


a) 170 b) 240 c) 180 d) 280 e) 168





a) 20 b) 20 2 c) 19 d) 19 2


a) 15 b) 24 c) 18 d) 16 e) 12


a) 2 b) 7 c) 8 d) 9 e) 20

- 21 -










(nk) = n k(n-k)





0 elemento rarr

1 elemento rarr

2 elementos rarr

3 elementos rarr

4 elementos rarr

5 elementos rarr



- 22 -



a1 a2 a3 a1 a2 a4 a1 a2 a5 a1 a3 a4

a1 a3 a5 a1 a4 a5

a2 a3 a4 a2 a3 a5 a2 a4 a5 a3 a4 a5










a1 a2 a3 a1 a3 a2 a2 a1 a3

a2 a3 a1 a3 a1 a2 a3 a2 a1



Logo Cnp = Anp P3

Resumindo



Cnp = n (n-1) (n-2) () (n ndash p+1) p


Cnp = n p(n-p)



- 23 -



















- 24 -







(22) = 4 22 = 6















- 25 -


C93 C62 C42 C21 1 = 9 322





(3 + 2 + 2 + 1 + 1 = 9)

Em siacutembolos

P932211 = 9 322


- 26 -


718844

a) 90 b) 720 c) 15 d) 30 e) 180


a) 480 b) 720 c) 1440 d) 1920 e) 5040


a) A73 b) C73 c) 7 d) 37 e) 7 3


a) 360 b) 180 c) 21600 d) 252 e) 210


a) x = -6 ou x = 7 b) x = -6 c) x = 21 d) x = 13 e) x = 7


x-5 eacute

a) 14 b) 12 c) 10 d) 8 e) 6


a) 360 b) 190 c) 180 d) 120 e) 18



a) 30 b) 24 c) 20 d) 18 e) 15


a) 360 b) 48 c) 30 d) 120 e) 15

- 27 -


a) 90 b) 35 c) 15 d) 30 e) 50


a) 60 b) 75 c) 80 d) 85 e) 90


a) 30240 b) 594 c) 462 d) 408 e) 372


a) 7 b) 36 c) 152 d) 1200 e) 28800


a) 10 b) 18 c) 20 d) 36 e) 60


a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14



a) 120 b) 220 c) 720 d) 980 e) 1320


a) 35 b) 45 c) 47 d) 53 e) 54


a) 3060 b) 24480 c) 37800 d) 51210 e) 53440

- 28 -


a) 720 b) 625 c) 480 d) 300 e) 255


a) 12 b) 34 c) 23 d) 67 e) 45



a) 62 b) 89 c) 26 d) 720 e) 36


a) 36 b) 48 c) 52 d) 54 e) 56



- 29 -




O quadrado da soma









a

a + b

a

b

b

a + b

a

a b

b a-b

a-b

S1 S2

S S2

- 30 -


1ordf maneira


2ordf maneira





(a - b)2 = a2 ndash 2ab + b2


Discutindo






- 31 -











1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 x 20 15 6 1

1 7 21 35 y 21 7 1



- 32 -




Blaise Pascal









- 33 -










- 34 -





- 35 -








3 4 rarr

3 5 rarr

3 6 rarr

3 7 rarr

4 5 rarr

4 6 rarr

4 7 rarr

5 6 rarr

5 7 rarr

6 7 rarr


Satildeo









Justificativa

- 36 -





Situaccedilatildeo


3 4 5 3 5 7 4 5 7

3 4 6 3 6 7 4 6 7

3 4 7 4 5 6 5 6 7

3 5 6

Discutindo








- 37 -

C00

C01 C11

C02 C12 C22

C03 C13 C23 C33

C04 C14 C24 + C34 C44

C05 C15 C25 C35 C45 C55

C06 C16 + C26 C36 C46 C56 C66

C07 C17 C27 C37 C47 C57 C67 C77




Em siacutembolos

Cn p + Cn p+1 = Cn+1 p+1


231 Exerciacutecios

- 38 -




4) Calcule

a) C20 + C21 + C22

b) C30 + C31 + C32 + C33

c) C40 + C41 + C42 + C43 + C44

d) Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn









- 39 -



Nota 1




a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3

c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4

d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5

Nota 2














- 40 -





241 Exerciacutecios


a) (x + y)5 =

b) (2x - )5 =

c) (2x + 1)4 =

d) (x ndash 2y)5 =


b




para x = y = 1

Atenccedilatildeo




a) (2x + y)6 =

b) (3x - )10 =

c) (2x - 4)50 =



- 41 -

(x + y)n = (n0) xny0 + (n

1) xn-1y1 + (n2) xn-2y2 + + (x

n) x0yn com n IN

Tp+1 = (np) xn-p yp


(p = n2)


Exemplos


(3x + 2)4 = (40)(3x)420 + (4

1)(3x)321 + (42)(3x)222 + (4

3)(3x)123 + (44)(3x)024

(3x + 2)4 = 81x4 + 216x3 + 216x2 +96x + 16


(a - 2)4 = (40)(a)420 - (4

1)(a)321 + (42)(a)222 - (4

3)(a)123 + (44)(a)024

(a - 2)4 = a4 - 8a3 + 24a2 ndash 32a + 16



3)10-k(-2y)k = (10k)(-2)kx30 ndash 3kyk



251 Exerciacutecios







- 42 -


(x + y)5 = 1 x5 + 5 x4y + 10 x3y2 + 10 x2y3 + 5xy4 + 1 y5


a) 0 b) 1 c) -1 d) 331237 e) 1973747


a) +40 b) 42 c) -9 d) -42 e) -48






a) 232 b) 326 c) 924 d) 1012 e) 1214


a) 63 b) 263 c) 10 d) 3 e) 310


a) 60 b) 120 c) 240 d) 480 e) 960


valor de a eacute

a) -3 b) -2 c) -1 d) 2 e) 3


a) 16 b) 20 c) 24 d) 28 e) 32


a) -103 b) -53 c) -35 d) -310 e) -13


- 43 -

a) 20 b) 35 c) 48 d) 56 e) 70


a) -540x3 b) -3 240x3 c) 3 240x3 d) 540x3 e) 540x4


a) 0 b) 9 c) 18 d) 64 e) 256





a) (sen2)5 b) (1 + sen2)5 -1 c) -1 d) 0




a) 10 b) -10 c) 20 d) -20 e) 36


a) 56 b) 84 c) 168 d) 253 e) 1054

- 7 -














Conclusatildeo



Exemplo



A

C D

B

- 8 -

Atenccedilatildeo





A cap B

A B

- 9 -
















- 10 -




a) 650 b) 615 c) 640 d) 649 e) 648


a) 48 b) 66 c) 96 d)120


a) 6 b) 18 c) 12 d) 36 e) 48


a) 30 b) 36 c) 52 d) 60 e) 72



a) 24 b) 48 c) 96 d) 120 e) 720



a) 23 b) 15 c) 3 d) 26 e) 50



a) 120 b) 144 c) 14 d) 60 e) 12



a) 128 b) 64 c) 62 d) 32 e) 16


a) 34 b) 72 c) 96 d) 64 e) 102

- 11 -


a) 79 b) 80 c) 81 d) 99 e) 100


a) 720 b) 1140 c) 2160 d) 2280 e) 3600


a) 1080 b) 10800 c) 10080 d) 840 e) 60480


a) 120 b) 320 c) 500 d) 600 e) 720


a) 6 b) 12 c) 28 d) 794 e) 13345


a) 336 b) 567 c) 1680 d) 3335 e) 3403


a) 24 b) 11 c) 12 d) 10 e) 8


a) 25 b) 10 c) 32 d) 120 e) 240


a) 1596 b) 2352 c) 2686 d) 2788 e) 4032

- 12 -


a) 900 b) 1000 c) 1900 d) 2500 e) 5000


a) 120 b) 60 c) 30 d) 180 e) 90

- 13 -




Exemplos






- 14 -

161 Exerciacutecios

















- 15 -

17 Arranjo Simples















seja

A53 = 543 A53 = 5 4 3 2 2

A53 = 5 2 rarr A53 = 5 (5-3)


Anp = n (n-1) (n-2) [n ndash (p-1)]



Logo Anp = n (n-p)



- 16 -

171 Exerciacutecios

1) Calcule

a) A73 b) A52 c) A105




- 17 -







(2) = 32 = 9




(PC)3 = 2

Exemplos







Pc5 = P4 = (5-1) = 4 = 4321 = 24



- 18 -







2Pc4 = 2(4-1) = 23 = 2321 = 12


- 19 -




a) 6 b) 12 c) 18 d) 36 e) 48



a) 21 b) 48 c) 96 d) 120 e) 720


a) (n2 + n) (1 + n) b) (n2 + n - 1) 2 c) (n2 - n) (1 + n) d) n (n +2)


a) 24 b) 48 c) 96 d) 120 e) 144





a) 181440 b) 3628800 c) 1814400 d) 40320 e) 403200


vogais juntas

a) 36 b) 712 c) 120 d) 144 e) 180


a) 20 b) 30 c) 60 d) 80 e) 100



a) 4 b) 5 c) 6 d) 12 e) 24



a) 720 b) 36 c) 81 d) 126

- 20 -


a) 48 b) 66 c) 96 d) 120



a) 1800 b) 720 c) 5400 d) 5040 e) 2160


a) 170 b) 240 c) 180 d) 280 e) 168





a) 20 b) 20 2 c) 19 d) 19 2


a) 15 b) 24 c) 18 d) 16 e) 12


a) 2 b) 7 c) 8 d) 9 e) 20

- 21 -










(nk) = n k(n-k)





0 elemento rarr

1 elemento rarr

2 elementos rarr

3 elementos rarr

4 elementos rarr

5 elementos rarr



- 22 -



a1 a2 a3 a1 a2 a4 a1 a2 a5 a1 a3 a4

a1 a3 a5 a1 a4 a5

a2 a3 a4 a2 a3 a5 a2 a4 a5 a3 a4 a5










a1 a2 a3 a1 a3 a2 a2 a1 a3

a2 a3 a1 a3 a1 a2 a3 a2 a1



Logo Cnp = Anp P3

Resumindo



Cnp = n (n-1) (n-2) () (n ndash p+1) p


Cnp = n p(n-p)



- 23 -



















- 24 -







(22) = 4 22 = 6















- 25 -


C93 C62 C42 C21 1 = 9 322





(3 + 2 + 2 + 1 + 1 = 9)

Em siacutembolos

P932211 = 9 322


- 26 -


718844

a) 90 b) 720 c) 15 d) 30 e) 180


a) 480 b) 720 c) 1440 d) 1920 e) 5040


a) A73 b) C73 c) 7 d) 37 e) 7 3


a) 360 b) 180 c) 21600 d) 252 e) 210


a) x = -6 ou x = 7 b) x = -6 c) x = 21 d) x = 13 e) x = 7


x-5 eacute

a) 14 b) 12 c) 10 d) 8 e) 6


a) 360 b) 190 c) 180 d) 120 e) 18



a) 30 b) 24 c) 20 d) 18 e) 15


a) 360 b) 48 c) 30 d) 120 e) 15

- 27 -


a) 90 b) 35 c) 15 d) 30 e) 50


a) 60 b) 75 c) 80 d) 85 e) 90


a) 30240 b) 594 c) 462 d) 408 e) 372


a) 7 b) 36 c) 152 d) 1200 e) 28800


a) 10 b) 18 c) 20 d) 36 e) 60


a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14



a) 120 b) 220 c) 720 d) 980 e) 1320


a) 35 b) 45 c) 47 d) 53 e) 54


a) 3060 b) 24480 c) 37800 d) 51210 e) 53440

- 28 -


a) 720 b) 625 c) 480 d) 300 e) 255


a) 12 b) 34 c) 23 d) 67 e) 45



a) 62 b) 89 c) 26 d) 720 e) 36


a) 36 b) 48 c) 52 d) 54 e) 56



- 29 -




O quadrado da soma









a

a + b

a

b

b

a + b

a

a b

b a-b

a-b

S1 S2

S S2

- 30 -


1ordf maneira


2ordf maneira





(a - b)2 = a2 ndash 2ab + b2


Discutindo






- 31 -











1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 x 20 15 6 1

1 7 21 35 y 21 7 1



- 32 -




Blaise Pascal









- 33 -










- 34 -





- 35 -








3 4 rarr

3 5 rarr

3 6 rarr

3 7 rarr

4 5 rarr

4 6 rarr

4 7 rarr

5 6 rarr

5 7 rarr

6 7 rarr


Satildeo









Justificativa

- 36 -





Situaccedilatildeo


3 4 5 3 5 7 4 5 7

3 4 6 3 6 7 4 6 7

3 4 7 4 5 6 5 6 7

3 5 6

Discutindo








- 37 -

C00

C01 C11

C02 C12 C22

C03 C13 C23 C33

C04 C14 C24 + C34 C44

C05 C15 C25 C35 C45 C55

C06 C16 + C26 C36 C46 C56 C66

C07 C17 C27 C37 C47 C57 C67 C77




Em siacutembolos

Cn p + Cn p+1 = Cn+1 p+1


231 Exerciacutecios

- 38 -




4) Calcule

a) C20 + C21 + C22

b) C30 + C31 + C32 + C33

c) C40 + C41 + C42 + C43 + C44

d) Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn









- 39 -



Nota 1




a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3

c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4

d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5

Nota 2














- 40 -





241 Exerciacutecios


a) (x + y)5 =

b) (2x - )5 =

c) (2x + 1)4 =

d) (x ndash 2y)5 =


b




para x = y = 1

Atenccedilatildeo




a) (2x + y)6 =

b) (3x - )10 =

c) (2x - 4)50 =



- 41 -

(x + y)n = (n0) xny0 + (n

1) xn-1y1 + (n2) xn-2y2 + + (x

n) x0yn com n IN

Tp+1 = (np) xn-p yp


(p = n2)


Exemplos


(3x + 2)4 = (40)(3x)420 + (4

1)(3x)321 + (42)(3x)222 + (4

3)(3x)123 + (44)(3x)024

(3x + 2)4 = 81x4 + 216x3 + 216x2 +96x + 16


(a - 2)4 = (40)(a)420 - (4

1)(a)321 + (42)(a)222 - (4

3)(a)123 + (44)(a)024

(a - 2)4 = a4 - 8a3 + 24a2 ndash 32a + 16



3)10-k(-2y)k = (10k)(-2)kx30 ndash 3kyk



251 Exerciacutecios







- 42 -


(x + y)5 = 1 x5 + 5 x4y + 10 x3y2 + 10 x2y3 + 5xy4 + 1 y5


a) 0 b) 1 c) -1 d) 331237 e) 1973747


a) +40 b) 42 c) -9 d) -42 e) -48






a) 232 b) 326 c) 924 d) 1012 e) 1214


a) 63 b) 263 c) 10 d) 3 e) 310


a) 60 b) 120 c) 240 d) 480 e) 960


valor de a eacute

a) -3 b) -2 c) -1 d) 2 e) 3


a) 16 b) 20 c) 24 d) 28 e) 32


a) -103 b) -53 c) -35 d) -310 e) -13


- 43 -

a) 20 b) 35 c) 48 d) 56 e) 70


a) -540x3 b) -3 240x3 c) 3 240x3 d) 540x3 e) 540x4


a) 0 b) 9 c) 18 d) 64 e) 256





a) (sen2)5 b) (1 + sen2)5 -1 c) -1 d) 0




a) 10 b) -10 c) 20 d) -20 e) 36


a) 56 b) 84 c) 168 d) 253 e) 1054

- 8 -

Atenccedilatildeo





A cap B

A B

- 9 -
















- 10 -




a) 650 b) 615 c) 640 d) 649 e) 648


a) 48 b) 66 c) 96 d)120


a) 6 b) 18 c) 12 d) 36 e) 48


a) 30 b) 36 c) 52 d) 60 e) 72



a) 24 b) 48 c) 96 d) 120 e) 720



a) 23 b) 15 c) 3 d) 26 e) 50



a) 120 b) 144 c) 14 d) 60 e) 12



a) 128 b) 64 c) 62 d) 32 e) 16


a) 34 b) 72 c) 96 d) 64 e) 102

- 11 -


a) 79 b) 80 c) 81 d) 99 e) 100


a) 720 b) 1140 c) 2160 d) 2280 e) 3600


a) 1080 b) 10800 c) 10080 d) 840 e) 60480


a) 120 b) 320 c) 500 d) 600 e) 720


a) 6 b) 12 c) 28 d) 794 e) 13345


a) 336 b) 567 c) 1680 d) 3335 e) 3403


a) 24 b) 11 c) 12 d) 10 e) 8


a) 25 b) 10 c) 32 d) 120 e) 240


a) 1596 b) 2352 c) 2686 d) 2788 e) 4032

- 12 -


a) 900 b) 1000 c) 1900 d) 2500 e) 5000


a) 120 b) 60 c) 30 d) 180 e) 90

- 13 -




Exemplos






- 14 -

161 Exerciacutecios

















- 15 -

17 Arranjo Simples















seja

A53 = 543 A53 = 5 4 3 2 2

A53 = 5 2 rarr A53 = 5 (5-3)


Anp = n (n-1) (n-2) [n ndash (p-1)]



Logo Anp = n (n-p)



- 16 -

171 Exerciacutecios

1) Calcule

a) A73 b) A52 c) A105




- 17 -







(2) = 32 = 9




(PC)3 = 2

Exemplos







Pc5 = P4 = (5-1) = 4 = 4321 = 24



- 18 -







2Pc4 = 2(4-1) = 23 = 2321 = 12


- 19 -




a) 6 b) 12 c) 18 d) 36 e) 48



a) 21 b) 48 c) 96 d) 120 e) 720


a) (n2 + n) (1 + n) b) (n2 + n - 1) 2 c) (n2 - n) (1 + n) d) n (n +2)


a) 24 b) 48 c) 96 d) 120 e) 144





a) 181440 b) 3628800 c) 1814400 d) 40320 e) 403200


vogais juntas

a) 36 b) 712 c) 120 d) 144 e) 180


a) 20 b) 30 c) 60 d) 80 e) 100



a) 4 b) 5 c) 6 d) 12 e) 24



a) 720 b) 36 c) 81 d) 126

- 20 -


a) 48 b) 66 c) 96 d) 120



a) 1800 b) 720 c) 5400 d) 5040 e) 2160


a) 170 b) 240 c) 180 d) 280 e) 168





a) 20 b) 20 2 c) 19 d) 19 2


a) 15 b) 24 c) 18 d) 16 e) 12


a) 2 b) 7 c) 8 d) 9 e) 20

- 21 -










(nk) = n k(n-k)





0 elemento rarr

1 elemento rarr

2 elementos rarr

3 elementos rarr

4 elementos rarr

5 elementos rarr



- 22 -



a1 a2 a3 a1 a2 a4 a1 a2 a5 a1 a3 a4

a1 a3 a5 a1 a4 a5

a2 a3 a4 a2 a3 a5 a2 a4 a5 a3 a4 a5










a1 a2 a3 a1 a3 a2 a2 a1 a3

a2 a3 a1 a3 a1 a2 a3 a2 a1



Logo Cnp = Anp P3

Resumindo



Cnp = n (n-1) (n-2) () (n ndash p+1) p


Cnp = n p(n-p)



- 23 -



















- 24 -







(22) = 4 22 = 6















- 25 -


C93 C62 C42 C21 1 = 9 322





(3 + 2 + 2 + 1 + 1 = 9)

Em siacutembolos

P932211 = 9 322


- 26 -


718844

a) 90 b) 720 c) 15 d) 30 e) 180


a) 480 b) 720 c) 1440 d) 1920 e) 5040


a) A73 b) C73 c) 7 d) 37 e) 7 3


a) 360 b) 180 c) 21600 d) 252 e) 210


a) x = -6 ou x = 7 b) x = -6 c) x = 21 d) x = 13 e) x = 7


x-5 eacute

a) 14 b) 12 c) 10 d) 8 e) 6


a) 360 b) 190 c) 180 d) 120 e) 18



a) 30 b) 24 c) 20 d) 18 e) 15


a) 360 b) 48 c) 30 d) 120 e) 15

- 27 -


a) 90 b) 35 c) 15 d) 30 e) 50


a) 60 b) 75 c) 80 d) 85 e) 90


a) 30240 b) 594 c) 462 d) 408 e) 372


a) 7 b) 36 c) 152 d) 1200 e) 28800


a) 10 b) 18 c) 20 d) 36 e) 60


a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14



a) 120 b) 220 c) 720 d) 980 e) 1320


a) 35 b) 45 c) 47 d) 53 e) 54


a) 3060 b) 24480 c) 37800 d) 51210 e) 53440

- 28 -


a) 720 b) 625 c) 480 d) 300 e) 255


a) 12 b) 34 c) 23 d) 67 e) 45



a) 62 b) 89 c) 26 d) 720 e) 36


a) 36 b) 48 c) 52 d) 54 e) 56



- 29 -




O quadrado da soma









a

a + b

a

b

b

a + b

a

a b

b a-b

a-b

S1 S2

S S2

- 30 -


1ordf maneira


2ordf maneira





(a - b)2 = a2 ndash 2ab + b2


Discutindo






- 31 -











1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 x 20 15 6 1

1 7 21 35 y 21 7 1



- 32 -




Blaise Pascal









- 33 -










- 34 -





- 35 -








3 4 rarr

3 5 rarr

3 6 rarr

3 7 rarr

4 5 rarr

4 6 rarr

4 7 rarr

5 6 rarr

5 7 rarr

6 7 rarr


Satildeo









Justificativa

- 36 -





Situaccedilatildeo


3 4 5 3 5 7 4 5 7

3 4 6 3 6 7 4 6 7

3 4 7 4 5 6 5 6 7

3 5 6

Discutindo








- 37 -

C00

C01 C11

C02 C12 C22

C03 C13 C23 C33

C04 C14 C24 + C34 C44

C05 C15 C25 C35 C45 C55

C06 C16 + C26 C36 C46 C56 C66

C07 C17 C27 C37 C47 C57 C67 C77




Em siacutembolos

Cn p + Cn p+1 = Cn+1 p+1


231 Exerciacutecios

- 38 -




4) Calcule

a) C20 + C21 + C22

b) C30 + C31 + C32 + C33

c) C40 + C41 + C42 + C43 + C44

d) Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn









- 39 -



Nota 1




a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3

c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4

d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5

Nota 2














- 40 -





241 Exerciacutecios


a) (x + y)5 =

b) (2x - )5 =

c) (2x + 1)4 =

d) (x ndash 2y)5 =


b




para x = y = 1

Atenccedilatildeo




a) (2x + y)6 =

b) (3x - )10 =

c) (2x - 4)50 =



- 41 -

(x + y)n = (n0) xny0 + (n

1) xn-1y1 + (n2) xn-2y2 + + (x

n) x0yn com n IN

Tp+1 = (np) xn-p yp


(p = n2)


Exemplos


(3x + 2)4 = (40)(3x)420 + (4

1)(3x)321 + (42)(3x)222 + (4

3)(3x)123 + (44)(3x)024

(3x + 2)4 = 81x4 + 216x3 + 216x2 +96x + 16


(a - 2)4 = (40)(a)420 - (4

1)(a)321 + (42)(a)222 - (4

3)(a)123 + (44)(a)024

(a - 2)4 = a4 - 8a3 + 24a2 ndash 32a + 16



3)10-k(-2y)k = (10k)(-2)kx30 ndash 3kyk



251 Exerciacutecios







- 42 -


(x + y)5 = 1 x5 + 5 x4y + 10 x3y2 + 10 x2y3 + 5xy4 + 1 y5


a) 0 b) 1 c) -1 d) 331237 e) 1973747


a) +40 b) 42 c) -9 d) -42 e) -48






a) 232 b) 326 c) 924 d) 1012 e) 1214


a) 63 b) 263 c) 10 d) 3 e) 310


a) 60 b) 120 c) 240 d) 480 e) 960


valor de a eacute

a) -3 b) -2 c) -1 d) 2 e) 3


a) 16 b) 20 c) 24 d) 28 e) 32


a) -103 b) -53 c) -35 d) -310 e) -13


- 43 -

a) 20 b) 35 c) 48 d) 56 e) 70


a) -540x3 b) -3 240x3 c) 3 240x3 d) 540x3 e) 540x4


a) 0 b) 9 c) 18 d) 64 e) 256





a) (sen2)5 b) (1 + sen2)5 -1 c) -1 d) 0




a) 10 b) -10 c) 20 d) -20 e) 36


a) 56 b) 84 c) 168 d) 253 e) 1054

- 9 -
















- 10 -




a) 650 b) 615 c) 640 d) 649 e) 648


a) 48 b) 66 c) 96 d)120


a) 6 b) 18 c) 12 d) 36 e) 48


a) 30 b) 36 c) 52 d) 60 e) 72



a) 24 b) 48 c) 96 d) 120 e) 720



a) 23 b) 15 c) 3 d) 26 e) 50



a) 120 b) 144 c) 14 d) 60 e) 12



a) 128 b) 64 c) 62 d) 32 e) 16


a) 34 b) 72 c) 96 d) 64 e) 102

- 11 -


a) 79 b) 80 c) 81 d) 99 e) 100


a) 720 b) 1140 c) 2160 d) 2280 e) 3600


a) 1080 b) 10800 c) 10080 d) 840 e) 60480


a) 120 b) 320 c) 500 d) 600 e) 720


a) 6 b) 12 c) 28 d) 794 e) 13345


a) 336 b) 567 c) 1680 d) 3335 e) 3403


a) 24 b) 11 c) 12 d) 10 e) 8


a) 25 b) 10 c) 32 d) 120 e) 240


a) 1596 b) 2352 c) 2686 d) 2788 e) 4032

- 12 -


a) 900 b) 1000 c) 1900 d) 2500 e) 5000


a) 120 b) 60 c) 30 d) 180 e) 90

- 13 -




Exemplos






- 14 -

161 Exerciacutecios

















- 15 -

17 Arranjo Simples















seja

A53 = 543 A53 = 5 4 3 2 2

A53 = 5 2 rarr A53 = 5 (5-3)


Anp = n (n-1) (n-2) [n ndash (p-1)]



Logo Anp = n (n-p)



- 16 -

171 Exerciacutecios

1) Calcule

a) A73 b) A52 c) A105




- 17 -







(2) = 32 = 9




(PC)3 = 2

Exemplos







Pc5 = P4 = (5-1) = 4 = 4321 = 24



- 18 -







2Pc4 = 2(4-1) = 23 = 2321 = 12


- 19 -




a) 6 b) 12 c) 18 d) 36 e) 48



a) 21 b) 48 c) 96 d) 120 e) 720


a) (n2 + n) (1 + n) b) (n2 + n - 1) 2 c) (n2 - n) (1 + n) d) n (n +2)


a) 24 b) 48 c) 96 d) 120 e) 144





a) 181440 b) 3628800 c) 1814400 d) 40320 e) 403200


vogais juntas

a) 36 b) 712 c) 120 d) 144 e) 180


a) 20 b) 30 c) 60 d) 80 e) 100



a) 4 b) 5 c) 6 d) 12 e) 24



a) 720 b) 36 c) 81 d) 126

- 20 -


a) 48 b) 66 c) 96 d) 120



a) 1800 b) 720 c) 5400 d) 5040 e) 2160


a) 170 b) 240 c) 180 d) 280 e) 168





a) 20 b) 20 2 c) 19 d) 19 2


a) 15 b) 24 c) 18 d) 16 e) 12


a) 2 b) 7 c) 8 d) 9 e) 20

- 21 -










(nk) = n k(n-k)





0 elemento rarr

1 elemento rarr

2 elementos rarr

3 elementos rarr

4 elementos rarr

5 elementos rarr



- 22 -



a1 a2 a3 a1 a2 a4 a1 a2 a5 a1 a3 a4

a1 a3 a5 a1 a4 a5

a2 a3 a4 a2 a3 a5 a2 a4 a5 a3 a4 a5










a1 a2 a3 a1 a3 a2 a2 a1 a3

a2 a3 a1 a3 a1 a2 a3 a2 a1



Logo Cnp = Anp P3

Resumindo



Cnp = n (n-1) (n-2) () (n ndash p+1) p


Cnp = n p(n-p)



- 23 -



















- 24 -







(22) = 4 22 = 6















- 25 -


C93 C62 C42 C21 1 = 9 322





(3 + 2 + 2 + 1 + 1 = 9)

Em siacutembolos

P932211 = 9 322


- 26 -


718844

a) 90 b) 720 c) 15 d) 30 e) 180


a) 480 b) 720 c) 1440 d) 1920 e) 5040


a) A73 b) C73 c) 7 d) 37 e) 7 3


a) 360 b) 180 c) 21600 d) 252 e) 210


a) x = -6 ou x = 7 b) x = -6 c) x = 21 d) x = 13 e) x = 7


x-5 eacute

a) 14 b) 12 c) 10 d) 8 e) 6


a) 360 b) 190 c) 180 d) 120 e) 18



a) 30 b) 24 c) 20 d) 18 e) 15


a) 360 b) 48 c) 30 d) 120 e) 15

- 27 -


a) 90 b) 35 c) 15 d) 30 e) 50


a) 60 b) 75 c) 80 d) 85 e) 90


a) 30240 b) 594 c) 462 d) 408 e) 372


a) 7 b) 36 c) 152 d) 1200 e) 28800


a) 10 b) 18 c) 20 d) 36 e) 60


a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14



a) 120 b) 220 c) 720 d) 980 e) 1320


a) 35 b) 45 c) 47 d) 53 e) 54


a) 3060 b) 24480 c) 37800 d) 51210 e) 53440

- 28 -


a) 720 b) 625 c) 480 d) 300 e) 255


a) 12 b) 34 c) 23 d) 67 e) 45



a) 62 b) 89 c) 26 d) 720 e) 36


a) 36 b) 48 c) 52 d) 54 e) 56



- 29 -




O quadrado da soma









a

a + b

a

b

b

a + b

a

a b

b a-b

a-b

S1 S2

S S2

- 30 -


1ordf maneira


2ordf maneira





(a - b)2 = a2 ndash 2ab + b2


Discutindo






- 31 -











1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 x 20 15 6 1

1 7 21 35 y 21 7 1



- 32 -




Blaise Pascal









- 33 -










- 34 -





- 35 -








3 4 rarr

3 5 rarr

3 6 rarr

3 7 rarr

4 5 rarr

4 6 rarr

4 7 rarr

5 6 rarr

5 7 rarr

6 7 rarr


Satildeo









Justificativa

- 36 -





Situaccedilatildeo


3 4 5 3 5 7 4 5 7

3 4 6 3 6 7 4 6 7

3 4 7 4 5 6 5 6 7

3 5 6

Discutindo








- 37 -

C00

C01 C11

C02 C12 C22

C03 C13 C23 C33

C04 C14 C24 + C34 C44

C05 C15 C25 C35 C45 C55

C06 C16 + C26 C36 C46 C56 C66

C07 C17 C27 C37 C47 C57 C67 C77




Em siacutembolos

Cn p + Cn p+1 = Cn+1 p+1


231 Exerciacutecios

- 38 -




4) Calcule

a) C20 + C21 + C22

b) C30 + C31 + C32 + C33

c) C40 + C41 + C42 + C43 + C44

d) Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn









- 39 -



Nota 1




a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3

c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4

d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5

Nota 2














- 40 -





241 Exerciacutecios


a) (x + y)5 =

b) (2x - )5 =

c) (2x + 1)4 =

d) (x ndash 2y)5 =


b




para x = y = 1

Atenccedilatildeo




a) (2x + y)6 =

b) (3x - )10 =

c) (2x - 4)50 =



- 41 -

(x + y)n = (n0) xny0 + (n

1) xn-1y1 + (n2) xn-2y2 + + (x

n) x0yn com n IN

Tp+1 = (np) xn-p yp


(p = n2)


Exemplos


(3x + 2)4 = (40)(3x)420 + (4

1)(3x)321 + (42)(3x)222 + (4

3)(3x)123 + (44)(3x)024

(3x + 2)4 = 81x4 + 216x3 + 216x2 +96x + 16


(a - 2)4 = (40)(a)420 - (4

1)(a)321 + (42)(a)222 - (4

3)(a)123 + (44)(a)024

(a - 2)4 = a4 - 8a3 + 24a2 ndash 32a + 16



3)10-k(-2y)k = (10k)(-2)kx30 ndash 3kyk



251 Exerciacutecios







- 42 -


(x + y)5 = 1 x5 + 5 x4y + 10 x3y2 + 10 x2y3 + 5xy4 + 1 y5


a) 0 b) 1 c) -1 d) 331237 e) 1973747


a) +40 b) 42 c) -9 d) -42 e) -48






a) 232 b) 326 c) 924 d) 1012 e) 1214


a) 63 b) 263 c) 10 d) 3 e) 310


a) 60 b) 120 c) 240 d) 480 e) 960


valor de a eacute

a) -3 b) -2 c) -1 d) 2 e) 3


a) 16 b) 20 c) 24 d) 28 e) 32


a) -103 b) -53 c) -35 d) -310 e) -13


- 43 -

a) 20 b) 35 c) 48 d) 56 e) 70


a) -540x3 b) -3 240x3 c) 3 240x3 d) 540x3 e) 540x4


a) 0 b) 9 c) 18 d) 64 e) 256





a) (sen2)5 b) (1 + sen2)5 -1 c) -1 d) 0




a) 10 b) -10 c) 20 d) -20 e) 36


a) 56 b) 84 c) 168 d) 253 e) 1054

- 10 -




a) 650 b) 615 c) 640 d) 649 e) 648


a) 48 b) 66 c) 96 d)120


a) 6 b) 18 c) 12 d) 36 e) 48


a) 30 b) 36 c) 52 d) 60 e) 72



a) 24 b) 48 c) 96 d) 120 e) 720



a) 23 b) 15 c) 3 d) 26 e) 50



a) 120 b) 144 c) 14 d) 60 e) 12



a) 128 b) 64 c) 62 d) 32 e) 16


a) 34 b) 72 c) 96 d) 64 e) 102

- 11 -


a) 79 b) 80 c) 81 d) 99 e) 100


a) 720 b) 1140 c) 2160 d) 2280 e) 3600


a) 1080 b) 10800 c) 10080 d) 840 e) 60480


a) 120 b) 320 c) 500 d) 600 e) 720


a) 6 b) 12 c) 28 d) 794 e) 13345


a) 336 b) 567 c) 1680 d) 3335 e) 3403


a) 24 b) 11 c) 12 d) 10 e) 8


a) 25 b) 10 c) 32 d) 120 e) 240


a) 1596 b) 2352 c) 2686 d) 2788 e) 4032

- 12 -


a) 900 b) 1000 c) 1900 d) 2500 e) 5000


a) 120 b) 60 c) 30 d) 180 e) 90

- 13 -




Exemplos






- 14 -

161 Exerciacutecios

















- 15 -

17 Arranjo Simples















seja

A53 = 543 A53 = 5 4 3 2 2

A53 = 5 2 rarr A53 = 5 (5-3)


Anp = n (n-1) (n-2) [n ndash (p-1)]



Logo Anp = n (n-p)



- 16 -

171 Exerciacutecios

1) Calcule

a) A73 b) A52 c) A105




- 17 -







(2) = 32 = 9




(PC)3 = 2

Exemplos







Pc5 = P4 = (5-1) = 4 = 4321 = 24



- 18 -







2Pc4 = 2(4-1) = 23 = 2321 = 12


- 19 -




a) 6 b) 12 c) 18 d) 36 e) 48



a) 21 b) 48 c) 96 d) 120 e) 720


a) (n2 + n) (1 + n) b) (n2 + n - 1) 2 c) (n2 - n) (1 + n) d) n (n +2)


a) 24 b) 48 c) 96 d) 120 e) 144





a) 181440 b) 3628800 c) 1814400 d) 40320 e) 403200


vogais juntas

a) 36 b) 712 c) 120 d) 144 e) 180


a) 20 b) 30 c) 60 d) 80 e) 100



a) 4 b) 5 c) 6 d) 12 e) 24



a) 720 b) 36 c) 81 d) 126

- 20 -


a) 48 b) 66 c) 96 d) 120



a) 1800 b) 720 c) 5400 d) 5040 e) 2160


a) 170 b) 240 c) 180 d) 280 e) 168





a) 20 b) 20 2 c) 19 d) 19 2


a) 15 b) 24 c) 18 d) 16 e) 12


a) 2 b) 7 c) 8 d) 9 e) 20

- 21 -










(nk) = n k(n-k)





0 elemento rarr

1 elemento rarr

2 elementos rarr

3 elementos rarr

4 elementos rarr

5 elementos rarr



- 22 -



a1 a2 a3 a1 a2 a4 a1 a2 a5 a1 a3 a4

a1 a3 a5 a1 a4 a5

a2 a3 a4 a2 a3 a5 a2 a4 a5 a3 a4 a5










a1 a2 a3 a1 a3 a2 a2 a1 a3

a2 a3 a1 a3 a1 a2 a3 a2 a1



Logo Cnp = Anp P3

Resumindo



Cnp = n (n-1) (n-2) () (n ndash p+1) p


Cnp = n p(n-p)



- 23 -



















- 24 -







(22) = 4 22 = 6















- 25 -


C93 C62 C42 C21 1 = 9 322





(3 + 2 + 2 + 1 + 1 = 9)

Em siacutembolos

P932211 = 9 322


- 26 -


718844

a) 90 b) 720 c) 15 d) 30 e) 180


a) 480 b) 720 c) 1440 d) 1920 e) 5040


a) A73 b) C73 c) 7 d) 37 e) 7 3


a) 360 b) 180 c) 21600 d) 252 e) 210


a) x = -6 ou x = 7 b) x = -6 c) x = 21 d) x = 13 e) x = 7


x-5 eacute

a) 14 b) 12 c) 10 d) 8 e) 6


a) 360 b) 190 c) 180 d) 120 e) 18



a) 30 b) 24 c) 20 d) 18 e) 15


a) 360 b) 48 c) 30 d) 120 e) 15

- 27 -


a) 90 b) 35 c) 15 d) 30 e) 50


a) 60 b) 75 c) 80 d) 85 e) 90


a) 30240 b) 594 c) 462 d) 408 e) 372


a) 7 b) 36 c) 152 d) 1200 e) 28800


a) 10 b) 18 c) 20 d) 36 e) 60


a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14



a) 120 b) 220 c) 720 d) 980 e) 1320


a) 35 b) 45 c) 47 d) 53 e) 54


a) 3060 b) 24480 c) 37800 d) 51210 e) 53440

- 28 -


a) 720 b) 625 c) 480 d) 300 e) 255


a) 12 b) 34 c) 23 d) 67 e) 45



a) 62 b) 89 c) 26 d) 720 e) 36


a) 36 b) 48 c) 52 d) 54 e) 56



- 29 -




O quadrado da soma









a

a + b

a

b

b

a + b

a

a b

b a-b

a-b

S1 S2

S S2

- 30 -


1ordf maneira


2ordf maneira





(a - b)2 = a2 ndash 2ab + b2


Discutindo






- 31 -











1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 x 20 15 6 1

1 7 21 35 y 21 7 1



- 32 -




Blaise Pascal









- 33 -










- 34 -





- 35 -








3 4 rarr

3 5 rarr

3 6 rarr

3 7 rarr

4 5 rarr

4 6 rarr

4 7 rarr

5 6 rarr

5 7 rarr

6 7 rarr


Satildeo









Justificativa

- 36 -





Situaccedilatildeo


3 4 5 3 5 7 4 5 7

3 4 6 3 6 7 4 6 7

3 4 7 4 5 6 5 6 7

3 5 6

Discutindo








- 37 -

C00

C01 C11

C02 C12 C22

C03 C13 C23 C33

C04 C14 C24 + C34 C44

C05 C15 C25 C35 C45 C55

C06 C16 + C26 C36 C46 C56 C66

C07 C17 C27 C37 C47 C57 C67 C77




Em siacutembolos

Cn p + Cn p+1 = Cn+1 p+1


231 Exerciacutecios

- 38 -




4) Calcule

a) C20 + C21 + C22

b) C30 + C31 + C32 + C33

c) C40 + C41 + C42 + C43 + C44

d) Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn









- 39 -



Nota 1




a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3

c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4

d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5

Nota 2














- 40 -





241 Exerciacutecios


a) (x + y)5 =

b) (2x - )5 =

c) (2x + 1)4 =

d) (x ndash 2y)5 =


b




para x = y = 1

Atenccedilatildeo




a) (2x + y)6 =

b) (3x - )10 =

c) (2x - 4)50 =



- 41 -

(x + y)n = (n0) xny0 + (n

1) xn-1y1 + (n2) xn-2y2 + + (x

n) x0yn com n IN

Tp+1 = (np) xn-p yp


(p = n2)


Exemplos


(3x + 2)4 = (40)(3x)420 + (4

1)(3x)321 + (42)(3x)222 + (4

3)(3x)123 + (44)(3x)024

(3x + 2)4 = 81x4 + 216x3 + 216x2 +96x + 16


(a - 2)4 = (40)(a)420 - (4

1)(a)321 + (42)(a)222 - (4

3)(a)123 + (44)(a)024

(a - 2)4 = a4 - 8a3 + 24a2 ndash 32a + 16



3)10-k(-2y)k = (10k)(-2)kx30 ndash 3kyk



251 Exerciacutecios







- 42 -


(x + y)5 = 1 x5 + 5 x4y + 10 x3y2 + 10 x2y3 + 5xy4 + 1 y5


a) 0 b) 1 c) -1 d) 331237 e) 1973747


a) +40 b) 42 c) -9 d) -42 e) -48






a) 232 b) 326 c) 924 d) 1012 e) 1214


a) 63 b) 263 c) 10 d) 3 e) 310


a) 60 b) 120 c) 240 d) 480 e) 960


valor de a eacute

a) -3 b) -2 c) -1 d) 2 e) 3


a) 16 b) 20 c) 24 d) 28 e) 32


a) -103 b) -53 c) -35 d) -310 e) -13


- 43 -

a) 20 b) 35 c) 48 d) 56 e) 70


a) -540x3 b) -3 240x3 c) 3 240x3 d) 540x3 e) 540x4


a) 0 b) 9 c) 18 d) 64 e) 256





a) (sen2)5 b) (1 + sen2)5 -1 c) -1 d) 0




a) 10 b) -10 c) 20 d) -20 e) 36


a) 56 b) 84 c) 168 d) 253 e) 1054

- 11 -


a) 79 b) 80 c) 81 d) 99 e) 100


a) 720 b) 1140 c) 2160 d) 2280 e) 3600


a) 1080 b) 10800 c) 10080 d) 840 e) 60480


a) 120 b) 320 c) 500 d) 600 e) 720


a) 6 b) 12 c) 28 d) 794 e) 13345


a) 336 b) 567 c) 1680 d) 3335 e) 3403


a) 24 b) 11 c) 12 d) 10 e) 8


a) 25 b) 10 c) 32 d) 120 e) 240


a) 1596 b) 2352 c) 2686 d) 2788 e) 4032

- 12 -


a) 900 b) 1000 c) 1900 d) 2500 e) 5000


a) 120 b) 60 c) 30 d) 180 e) 90

- 13 -




Exemplos






- 14 -

161 Exerciacutecios

















- 15 -

17 Arranjo Simples















seja

A53 = 543 A53 = 5 4 3 2 2

A53 = 5 2 rarr A53 = 5 (5-3)


Anp = n (n-1) (n-2) [n ndash (p-1)]



Logo Anp = n (n-p)



- 16 -

171 Exerciacutecios

1) Calcule

a) A73 b) A52 c) A105




- 17 -







(2) = 32 = 9




(PC)3 = 2

Exemplos







Pc5 = P4 = (5-1) = 4 = 4321 = 24



- 18 -







2Pc4 = 2(4-1) = 23 = 2321 = 12


- 19 -




a) 6 b) 12 c) 18 d) 36 e) 48



a) 21 b) 48 c) 96 d) 120 e) 720


a) (n2 + n) (1 + n) b) (n2 + n - 1) 2 c) (n2 - n) (1 + n) d) n (n +2)


a) 24 b) 48 c) 96 d) 120 e) 144





a) 181440 b) 3628800 c) 1814400 d) 40320 e) 403200


vogais juntas

a) 36 b) 712 c) 120 d) 144 e) 180


a) 20 b) 30 c) 60 d) 80 e) 100



a) 4 b) 5 c) 6 d) 12 e) 24



a) 720 b) 36 c) 81 d) 126

- 20 -


a) 48 b) 66 c) 96 d) 120



a) 1800 b) 720 c) 5400 d) 5040 e) 2160


a) 170 b) 240 c) 180 d) 280 e) 168





a) 20 b) 20 2 c) 19 d) 19 2


a) 15 b) 24 c) 18 d) 16 e) 12


a) 2 b) 7 c) 8 d) 9 e) 20

- 21 -










(nk) = n k(n-k)





0 elemento rarr

1 elemento rarr

2 elementos rarr

3 elementos rarr

4 elementos rarr

5 elementos rarr



- 22 -



a1 a2 a3 a1 a2 a4 a1 a2 a5 a1 a3 a4

a1 a3 a5 a1 a4 a5

a2 a3 a4 a2 a3 a5 a2 a4 a5 a3 a4 a5










a1 a2 a3 a1 a3 a2 a2 a1 a3

a2 a3 a1 a3 a1 a2 a3 a2 a1



Logo Cnp = Anp P3

Resumindo



Cnp = n (n-1) (n-2) () (n ndash p+1) p


Cnp = n p(n-p)



- 23 -



















- 24 -







(22) = 4 22 = 6















- 25 -


C93 C62 C42 C21 1 = 9 322





(3 + 2 + 2 + 1 + 1 = 9)

Em siacutembolos

P932211 = 9 322


- 26 -


718844

a) 90 b) 720 c) 15 d) 30 e) 180


a) 480 b) 720 c) 1440 d) 1920 e) 5040


a) A73 b) C73 c) 7 d) 37 e) 7 3


a) 360 b) 180 c) 21600 d) 252 e) 210


a) x = -6 ou x = 7 b) x = -6 c) x = 21 d) x = 13 e) x = 7


x-5 eacute

a) 14 b) 12 c) 10 d) 8 e) 6


a) 360 b) 190 c) 180 d) 120 e) 18



a) 30 b) 24 c) 20 d) 18 e) 15


a) 360 b) 48 c) 30 d) 120 e) 15

- 27 -


a) 90 b) 35 c) 15 d) 30 e) 50


a) 60 b) 75 c) 80 d) 85 e) 90


a) 30240 b) 594 c) 462 d) 408 e) 372


a) 7 b) 36 c) 152 d) 1200 e) 28800


a) 10 b) 18 c) 20 d) 36 e) 60


a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14



a) 120 b) 220 c) 720 d) 980 e) 1320


a) 35 b) 45 c) 47 d) 53 e) 54


a) 3060 b) 24480 c) 37800 d) 51210 e) 53440

- 28 -


a) 720 b) 625 c) 480 d) 300 e) 255


a) 12 b) 34 c) 23 d) 67 e) 45



a) 62 b) 89 c) 26 d) 720 e) 36


a) 36 b) 48 c) 52 d) 54 e) 56



- 29 -




O quadrado da soma









a

a + b

a

b

b

a + b

a

a b

b a-b

a-b

S1 S2

S S2

- 30 -


1ordf maneira


2ordf maneira





(a - b)2 = a2 ndash 2ab + b2


Discutindo






- 31 -











1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 x 20 15 6 1

1 7 21 35 y 21 7 1



- 32 -




Blaise Pascal









- 33 -










- 34 -





- 35 -








3 4 rarr

3 5 rarr

3 6 rarr

3 7 rarr

4 5 rarr

4 6 rarr

4 7 rarr

5 6 rarr

5 7 rarr

6 7 rarr


Satildeo









Justificativa

- 36 -





Situaccedilatildeo


3 4 5 3 5 7 4 5 7

3 4 6 3 6 7 4 6 7

3 4 7 4 5 6 5 6 7

3 5 6

Discutindo








- 37 -

C00

C01 C11

C02 C12 C22

C03 C13 C23 C33

C04 C14 C24 + C34 C44

C05 C15 C25 C35 C45 C55

C06 C16 + C26 C36 C46 C56 C66

C07 C17 C27 C37 C47 C57 C67 C77




Em siacutembolos

Cn p + Cn p+1 = Cn+1 p+1


231 Exerciacutecios

- 38 -




4) Calcule

a) C20 + C21 + C22

b) C30 + C31 + C32 + C33

c) C40 + C41 + C42 + C43 + C44

d) Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn









- 39 -



Nota 1




a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3

c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4

d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5

Nota 2














- 40 -





241 Exerciacutecios


a) (x + y)5 =

b) (2x - )5 =

c) (2x + 1)4 =

d) (x ndash 2y)5 =


b




para x = y = 1

Atenccedilatildeo




a) (2x + y)6 =

b) (3x - )10 =

c) (2x - 4)50 =



- 41 -

(x + y)n = (n0) xny0 + (n

1) xn-1y1 + (n2) xn-2y2 + + (x

n) x0yn com n IN

Tp+1 = (np) xn-p yp


(p = n2)


Exemplos


(3x + 2)4 = (40)(3x)420 + (4

1)(3x)321 + (42)(3x)222 + (4

3)(3x)123 + (44)(3x)024

(3x + 2)4 = 81x4 + 216x3 + 216x2 +96x + 16


(a - 2)4 = (40)(a)420 - (4

1)(a)321 + (42)(a)222 - (4

3)(a)123 + (44)(a)024

(a - 2)4 = a4 - 8a3 + 24a2 ndash 32a + 16



3)10-k(-2y)k = (10k)(-2)kx30 ndash 3kyk



251 Exerciacutecios







- 42 -


(x + y)5 = 1 x5 + 5 x4y + 10 x3y2 + 10 x2y3 + 5xy4 + 1 y5


a) 0 b) 1 c) -1 d) 331237 e) 1973747


a) +40 b) 42 c) -9 d) -42 e) -48






a) 232 b) 326 c) 924 d) 1012 e) 1214


a) 63 b) 263 c) 10 d) 3 e) 310


a) 60 b) 120 c) 240 d) 480 e) 960


valor de a eacute

a) -3 b) -2 c) -1 d) 2 e) 3


a) 16 b) 20 c) 24 d) 28 e) 32


a) -103 b) -53 c) -35 d) -310 e) -13


- 43 -

a) 20 b) 35 c) 48 d) 56 e) 70


a) -540x3 b) -3 240x3 c) 3 240x3 d) 540x3 e) 540x4


a) 0 b) 9 c) 18 d) 64 e) 256





a) (sen2)5 b) (1 + sen2)5 -1 c) -1 d) 0




a) 10 b) -10 c) 20 d) -20 e) 36


a) 56 b) 84 c) 168 d) 253 e) 1054

- 12 -


a) 900 b) 1000 c) 1900 d) 2500 e) 5000


a) 120 b) 60 c) 30 d) 180 e) 90

- 13 -




Exemplos






- 14 -

161 Exerciacutecios

















- 15 -

17 Arranjo Simples















seja

A53 = 543 A53 = 5 4 3 2 2

A53 = 5 2 rarr A53 = 5 (5-3)


Anp = n (n-1) (n-2) [n ndash (p-1)]



Logo Anp = n (n-p)



- 16 -

171 Exerciacutecios

1) Calcule

a) A73 b) A52 c) A105




- 17 -







(2) = 32 = 9




(PC)3 = 2

Exemplos







Pc5 = P4 = (5-1) = 4 = 4321 = 24



- 18 -







2Pc4 = 2(4-1) = 23 = 2321 = 12


- 19 -




a) 6 b) 12 c) 18 d) 36 e) 48



a) 21 b) 48 c) 96 d) 120 e) 720


a) (n2 + n) (1 + n) b) (n2 + n - 1) 2 c) (n2 - n) (1 + n) d) n (n +2)


a) 24 b) 48 c) 96 d) 120 e) 144





a) 181440 b) 3628800 c) 1814400 d) 40320 e) 403200


vogais juntas

a) 36 b) 712 c) 120 d) 144 e) 180


a) 20 b) 30 c) 60 d) 80 e) 100



a) 4 b) 5 c) 6 d) 12 e) 24



a) 720 b) 36 c) 81 d) 126

- 20 -


a) 48 b) 66 c) 96 d) 120



a) 1800 b) 720 c) 5400 d) 5040 e) 2160


a) 170 b) 240 c) 180 d) 280 e) 168





a) 20 b) 20 2 c) 19 d) 19 2


a) 15 b) 24 c) 18 d) 16 e) 12


a) 2 b) 7 c) 8 d) 9 e) 20

- 21 -










(nk) = n k(n-k)





0 elemento rarr

1 elemento rarr

2 elementos rarr

3 elementos rarr

4 elementos rarr

5 elementos rarr



- 22 -



a1 a2 a3 a1 a2 a4 a1 a2 a5 a1 a3 a4

a1 a3 a5 a1 a4 a5

a2 a3 a4 a2 a3 a5 a2 a4 a5 a3 a4 a5










a1 a2 a3 a1 a3 a2 a2 a1 a3

a2 a3 a1 a3 a1 a2 a3 a2 a1



Logo Cnp = Anp P3

Resumindo



Cnp = n (n-1) (n-2) () (n ndash p+1) p


Cnp = n p(n-p)



- 23 -



















- 24 -







(22) = 4 22 = 6















- 25 -


C93 C62 C42 C21 1 = 9 322





(3 + 2 + 2 + 1 + 1 = 9)

Em siacutembolos

P932211 = 9 322


- 26 -


718844

a) 90 b) 720 c) 15 d) 30 e) 180


a) 480 b) 720 c) 1440 d) 1920 e) 5040


a) A73 b) C73 c) 7 d) 37 e) 7 3


a) 360 b) 180 c) 21600 d) 252 e) 210


a) x = -6 ou x = 7 b) x = -6 c) x = 21 d) x = 13 e) x = 7


x-5 eacute

a) 14 b) 12 c) 10 d) 8 e) 6


a) 360 b) 190 c) 180 d) 120 e) 18



a) 30 b) 24 c) 20 d) 18 e) 15


a) 360 b) 48 c) 30 d) 120 e) 15

- 27 -


a) 90 b) 35 c) 15 d) 30 e) 50


a) 60 b) 75 c) 80 d) 85 e) 90


a) 30240 b) 594 c) 462 d) 408 e) 372


a) 7 b) 36 c) 152 d) 1200 e) 28800


a) 10 b) 18 c) 20 d) 36 e) 60


a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14



a) 120 b) 220 c) 720 d) 980 e) 1320


a) 35 b) 45 c) 47 d) 53 e) 54


a) 3060 b) 24480 c) 37800 d) 51210 e) 53440

- 28 -


a) 720 b) 625 c) 480 d) 300 e) 255


a) 12 b) 34 c) 23 d) 67 e) 45



a) 62 b) 89 c) 26 d) 720 e) 36


a) 36 b) 48 c) 52 d) 54 e) 56



- 29 -




O quadrado da soma









a

a + b

a

b

b

a + b

a

a b

b a-b

a-b

S1 S2

S S2

- 30 -


1ordf maneira


2ordf maneira





(a - b)2 = a2 ndash 2ab + b2


Discutindo






- 31 -











1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 x 20 15 6 1

1 7 21 35 y 21 7 1



- 32 -




Blaise Pascal









- 33 -










- 34 -





- 35 -








3 4 rarr

3 5 rarr

3 6 rarr

3 7 rarr

4 5 rarr

4 6 rarr

4 7 rarr

5 6 rarr

5 7 rarr

6 7 rarr


Satildeo









Justificativa

- 36 -





Situaccedilatildeo


3 4 5 3 5 7 4 5 7

3 4 6 3 6 7 4 6 7

3 4 7 4 5 6 5 6 7

3 5 6

Discutindo








- 37 -

C00

C01 C11

C02 C12 C22

C03 C13 C23 C33

C04 C14 C24 + C34 C44

C05 C15 C25 C35 C45 C55

C06 C16 + C26 C36 C46 C56 C66

C07 C17 C27 C37 C47 C57 C67 C77




Em siacutembolos

Cn p + Cn p+1 = Cn+1 p+1


231 Exerciacutecios

- 38 -




4) Calcule

a) C20 + C21 + C22

b) C30 + C31 + C32 + C33

c) C40 + C41 + C42 + C43 + C44

d) Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn









- 39 -



Nota 1




a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3

c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4

d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5

Nota 2














- 40 -





241 Exerciacutecios


a) (x + y)5 =

b) (2x - )5 =

c) (2x + 1)4 =

d) (x ndash 2y)5 =


b




para x = y = 1

Atenccedilatildeo




a) (2x + y)6 =

b) (3x - )10 =

c) (2x - 4)50 =



- 41 -

(x + y)n = (n0) xny0 + (n

1) xn-1y1 + (n2) xn-2y2 + + (x

n) x0yn com n IN

Tp+1 = (np) xn-p yp


(p = n2)


Exemplos


(3x + 2)4 = (40)(3x)420 + (4

1)(3x)321 + (42)(3x)222 + (4

3)(3x)123 + (44)(3x)024

(3x + 2)4 = 81x4 + 216x3 + 216x2 +96x + 16


(a - 2)4 = (40)(a)420 - (4

1)(a)321 + (42)(a)222 - (4

3)(a)123 + (44)(a)024

(a - 2)4 = a4 - 8a3 + 24a2 ndash 32a + 16



3)10-k(-2y)k = (10k)(-2)kx30 ndash 3kyk



251 Exerciacutecios







- 42 -


(x + y)5 = 1 x5 + 5 x4y + 10 x3y2 + 10 x2y3 + 5xy4 + 1 y5


a) 0 b) 1 c) -1 d) 331237 e) 1973747


a) +40 b) 42 c) -9 d) -42 e) -48






a) 232 b) 326 c) 924 d) 1012 e) 1214


a) 63 b) 263 c) 10 d) 3 e) 310


a) 60 b) 120 c) 240 d) 480 e) 960


valor de a eacute

a) -3 b) -2 c) -1 d) 2 e) 3


a) 16 b) 20 c) 24 d) 28 e) 32


a) -103 b) -53 c) -35 d) -310 e) -13


- 43 -

a) 20 b) 35 c) 48 d) 56 e) 70


a) -540x3 b) -3 240x3 c) 3 240x3 d) 540x3 e) 540x4


a) 0 b) 9 c) 18 d) 64 e) 256





a) (sen2)5 b) (1 + sen2)5 -1 c) -1 d) 0




a) 10 b) -10 c) 20 d) -20 e) 36


a) 56 b) 84 c) 168 d) 253 e) 1054

- 13 -




Exemplos






- 14 -

161 Exerciacutecios

















- 15 -

17 Arranjo Simples















seja

A53 = 543 A53 = 5 4 3 2 2

A53 = 5 2 rarr A53 = 5 (5-3)


Anp = n (n-1) (n-2) [n ndash (p-1)]



Logo Anp = n (n-p)



- 16 -

171 Exerciacutecios

1) Calcule

a) A73 b) A52 c) A105




- 17 -







(2) = 32 = 9




(PC)3 = 2

Exemplos







Pc5 = P4 = (5-1) = 4 = 4321 = 24



- 18 -







2Pc4 = 2(4-1) = 23 = 2321 = 12


- 19 -




a) 6 b) 12 c) 18 d) 36 e) 48



a) 21 b) 48 c) 96 d) 120 e) 720


a) (n2 + n) (1 + n) b) (n2 + n - 1) 2 c) (n2 - n) (1 + n) d) n (n +2)


a) 24 b) 48 c) 96 d) 120 e) 144





a) 181440 b) 3628800 c) 1814400 d) 40320 e) 403200


vogais juntas

a) 36 b) 712 c) 120 d) 144 e) 180


a) 20 b) 30 c) 60 d) 80 e) 100



a) 4 b) 5 c) 6 d) 12 e) 24



a) 720 b) 36 c) 81 d) 126

- 20 -


a) 48 b) 66 c) 96 d) 120



a) 1800 b) 720 c) 5400 d) 5040 e) 2160


a) 170 b) 240 c) 180 d) 280 e) 168





a) 20 b) 20 2 c) 19 d) 19 2


a) 15 b) 24 c) 18 d) 16 e) 12


a) 2 b) 7 c) 8 d) 9 e) 20

- 21 -










(nk) = n k(n-k)





0 elemento rarr

1 elemento rarr

2 elementos rarr

3 elementos rarr

4 elementos rarr

5 elementos rarr



- 22 -



a1 a2 a3 a1 a2 a4 a1 a2 a5 a1 a3 a4

a1 a3 a5 a1 a4 a5

a2 a3 a4 a2 a3 a5 a2 a4 a5 a3 a4 a5










a1 a2 a3 a1 a3 a2 a2 a1 a3

a2 a3 a1 a3 a1 a2 a3 a2 a1



Logo Cnp = Anp P3

Resumindo



Cnp = n (n-1) (n-2) () (n ndash p+1) p


Cnp = n p(n-p)



- 23 -



















- 24 -







(22) = 4 22 = 6















- 25 -


C93 C62 C42 C21 1 = 9 322





(3 + 2 + 2 + 1 + 1 = 9)

Em siacutembolos

P932211 = 9 322


- 26 -


718844

a) 90 b) 720 c) 15 d) 30 e) 180


a) 480 b) 720 c) 1440 d) 1920 e) 5040


a) A73 b) C73 c) 7 d) 37 e) 7 3


a) 360 b) 180 c) 21600 d) 252 e) 210


a) x = -6 ou x = 7 b) x = -6 c) x = 21 d) x = 13 e) x = 7


x-5 eacute

a) 14 b) 12 c) 10 d) 8 e) 6


a) 360 b) 190 c) 180 d) 120 e) 18



a) 30 b) 24 c) 20 d) 18 e) 15


a) 360 b) 48 c) 30 d) 120 e) 15

- 27 -


a) 90 b) 35 c) 15 d) 30 e) 50


a) 60 b) 75 c) 80 d) 85 e) 90


a) 30240 b) 594 c) 462 d) 408 e) 372


a) 7 b) 36 c) 152 d) 1200 e) 28800


a) 10 b) 18 c) 20 d) 36 e) 60


a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14



a) 120 b) 220 c) 720 d) 980 e) 1320


a) 35 b) 45 c) 47 d) 53 e) 54


a) 3060 b) 24480 c) 37800 d) 51210 e) 53440

- 28 -


a) 720 b) 625 c) 480 d) 300 e) 255


a) 12 b) 34 c) 23 d) 67 e) 45



a) 62 b) 89 c) 26 d) 720 e) 36


a) 36 b) 48 c) 52 d) 54 e) 56



- 29 -




O quadrado da soma









a

a + b

a

b

b

a + b

a

a b

b a-b

a-b

S1 S2

S S2

- 30 -


1ordf maneira


2ordf maneira





(a - b)2 = a2 ndash 2ab + b2


Discutindo






- 31 -











1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 x 20 15 6 1

1 7 21 35 y 21 7 1



- 32 -




Blaise Pascal









- 33 -










- 34 -





- 35 -








3 4 rarr

3 5 rarr

3 6 rarr

3 7 rarr

4 5 rarr

4 6 rarr

4 7 rarr

5 6 rarr

5 7 rarr

6 7 rarr


Satildeo









Justificativa

- 36 -





Situaccedilatildeo


3 4 5 3 5 7 4 5 7

3 4 6 3 6 7 4 6 7

3 4 7 4 5 6 5 6 7

3 5 6

Discutindo








- 37 -

C00

C01 C11

C02 C12 C22

C03 C13 C23 C33

C04 C14 C24 + C34 C44

C05 C15 C25 C35 C45 C55

C06 C16 + C26 C36 C46 C56 C66

C07 C17 C27 C37 C47 C57 C67 C77




Em siacutembolos

Cn p + Cn p+1 = Cn+1 p+1


231 Exerciacutecios

- 38 -




4) Calcule

a) C20 + C21 + C22

b) C30 + C31 + C32 + C33

c) C40 + C41 + C42 + C43 + C44

d) Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn









- 39 -



Nota 1




a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3

c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4

d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5

Nota 2














- 40 -





241 Exerciacutecios


a) (x + y)5 =

b) (2x - )5 =

c) (2x + 1)4 =

d) (x ndash 2y)5 =


b




para x = y = 1

Atenccedilatildeo




a) (2x + y)6 =

b) (3x - )10 =

c) (2x - 4)50 =



- 41 -

(x + y)n = (n0) xny0 + (n

1) xn-1y1 + (n2) xn-2y2 + + (x

n) x0yn com n IN

Tp+1 = (np) xn-p yp


(p = n2)


Exemplos


(3x + 2)4 = (40)(3x)420 + (4

1)(3x)321 + (42)(3x)222 + (4

3)(3x)123 + (44)(3x)024

(3x + 2)4 = 81x4 + 216x3 + 216x2 +96x + 16


(a - 2)4 = (40)(a)420 - (4

1)(a)321 + (42)(a)222 - (4

3)(a)123 + (44)(a)024

(a - 2)4 = a4 - 8a3 + 24a2 ndash 32a + 16



3)10-k(-2y)k = (10k)(-2)kx30 ndash 3kyk



251 Exerciacutecios







- 42 -


(x + y)5 = 1 x5 + 5 x4y + 10 x3y2 + 10 x2y3 + 5xy4 + 1 y5


a) 0 b) 1 c) -1 d) 331237 e) 1973747


a) +40 b) 42 c) -9 d) -42 e) -48






a) 232 b) 326 c) 924 d) 1012 e) 1214


a) 63 b) 263 c) 10 d) 3 e) 310


a) 60 b) 120 c) 240 d) 480 e) 960


valor de a eacute

a) -3 b) -2 c) -1 d) 2 e) 3


a) 16 b) 20 c) 24 d) 28 e) 32


a) -103 b) -53 c) -35 d) -310 e) -13


- 43 -

a) 20 b) 35 c) 48 d) 56 e) 70


a) -540x3 b) -3 240x3 c) 3 240x3 d) 540x3 e) 540x4


a) 0 b) 9 c) 18 d) 64 e) 256





a) (sen2)5 b) (1 + sen2)5 -1 c) -1 d) 0




a) 10 b) -10 c) 20 d) -20 e) 36


a) 56 b) 84 c) 168 d) 253 e) 1054

- 14 -

161 Exerciacutecios

















- 15 -

17 Arranjo Simples















seja

A53 = 543 A53 = 5 4 3 2 2

A53 = 5 2 rarr A53 = 5 (5-3)


Anp = n (n-1) (n-2) [n ndash (p-1)]



Logo Anp = n (n-p)



- 16 -

171 Exerciacutecios

1) Calcule

a) A73 b) A52 c) A105




- 17 -







(2) = 32 = 9




(PC)3 = 2

Exemplos







Pc5 = P4 = (5-1) = 4 = 4321 = 24



- 18 -







2Pc4 = 2(4-1) = 23 = 2321 = 12


- 19 -




a) 6 b) 12 c) 18 d) 36 e) 48



a) 21 b) 48 c) 96 d) 120 e) 720


a) (n2 + n) (1 + n) b) (n2 + n - 1) 2 c) (n2 - n) (1 + n) d) n (n +2)


a) 24 b) 48 c) 96 d) 120 e) 144





a) 181440 b) 3628800 c) 1814400 d) 40320 e) 403200


vogais juntas

a) 36 b) 712 c) 120 d) 144 e) 180


a) 20 b) 30 c) 60 d) 80 e) 100



a) 4 b) 5 c) 6 d) 12 e) 24



a) 720 b) 36 c) 81 d) 126

- 20 -


a) 48 b) 66 c) 96 d) 120



a) 1800 b) 720 c) 5400 d) 5040 e) 2160


a) 170 b) 240 c) 180 d) 280 e) 168





a) 20 b) 20 2 c) 19 d) 19 2


a) 15 b) 24 c) 18 d) 16 e) 12


a) 2 b) 7 c) 8 d) 9 e) 20

- 21 -










(nk) = n k(n-k)





0 elemento rarr

1 elemento rarr

2 elementos rarr

3 elementos rarr

4 elementos rarr

5 elementos rarr



- 22 -



a1 a2 a3 a1 a2 a4 a1 a2 a5 a1 a3 a4

a1 a3 a5 a1 a4 a5

a2 a3 a4 a2 a3 a5 a2 a4 a5 a3 a4 a5










a1 a2 a3 a1 a3 a2 a2 a1 a3

a2 a3 a1 a3 a1 a2 a3 a2 a1



Logo Cnp = Anp P3

Resumindo



Cnp = n (n-1) (n-2) () (n ndash p+1) p


Cnp = n p(n-p)



- 23 -



















- 24 -







(22) = 4 22 = 6















- 25 -


C93 C62 C42 C21 1 = 9 322





(3 + 2 + 2 + 1 + 1 = 9)

Em siacutembolos

P932211 = 9 322


- 26 -


718844

a) 90 b) 720 c) 15 d) 30 e) 180


a) 480 b) 720 c) 1440 d) 1920 e) 5040


a) A73 b) C73 c) 7 d) 37 e) 7 3


a) 360 b) 180 c) 21600 d) 252 e) 210


a) x = -6 ou x = 7 b) x = -6 c) x = 21 d) x = 13 e) x = 7


x-5 eacute

a) 14 b) 12 c) 10 d) 8 e) 6


a) 360 b) 190 c) 180 d) 120 e) 18



a) 30 b) 24 c) 20 d) 18 e) 15


a) 360 b) 48 c) 30 d) 120 e) 15

- 27 -


a) 90 b) 35 c) 15 d) 30 e) 50


a) 60 b) 75 c) 80 d) 85 e) 90


a) 30240 b) 594 c) 462 d) 408 e) 372


a) 7 b) 36 c) 152 d) 1200 e) 28800


a) 10 b) 18 c) 20 d) 36 e) 60


a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14



a) 120 b) 220 c) 720 d) 980 e) 1320


a) 35 b) 45 c) 47 d) 53 e) 54


a) 3060 b) 24480 c) 37800 d) 51210 e) 53440

- 28 -


a) 720 b) 625 c) 480 d) 300 e) 255


a) 12 b) 34 c) 23 d) 67 e) 45



a) 62 b) 89 c) 26 d) 720 e) 36


a) 36 b) 48 c) 52 d) 54 e) 56



- 29 -




O quadrado da soma









a

a + b

a

b

b

a + b

a

a b

b a-b

a-b

S1 S2

S S2

- 30 -


1ordf maneira


2ordf maneira





(a - b)2 = a2 ndash 2ab + b2


Discutindo






- 31 -











1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 x 20 15 6 1

1 7 21 35 y 21 7 1



- 32 -




Blaise Pascal









- 33 -










- 34 -





- 35 -








3 4 rarr

3 5 rarr

3 6 rarr

3 7 rarr

4 5 rarr

4 6 rarr

4 7 rarr

5 6 rarr

5 7 rarr

6 7 rarr


Satildeo









Justificativa

- 36 -





Situaccedilatildeo


3 4 5 3 5 7 4 5 7

3 4 6 3 6 7 4 6 7

3 4 7 4 5 6 5 6 7

3 5 6

Discutindo








- 37 -

C00

C01 C11

C02 C12 C22

C03 C13 C23 C33

C04 C14 C24 + C34 C44

C05 C15 C25 C35 C45 C55

C06 C16 + C26 C36 C46 C56 C66

C07 C17 C27 C37 C47 C57 C67 C77




Em siacutembolos

Cn p + Cn p+1 = Cn+1 p+1


231 Exerciacutecios

- 38 -




4) Calcule

a) C20 + C21 + C22

b) C30 + C31 + C32 + C33

c) C40 + C41 + C42 + C43 + C44

d) Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn









- 39 -



Nota 1




a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3

c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4

d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5

Nota 2














- 40 -





241 Exerciacutecios


a) (x + y)5 =

b) (2x - )5 =

c) (2x + 1)4 =

d) (x ndash 2y)5 =


b




para x = y = 1

Atenccedilatildeo




a) (2x + y)6 =

b) (3x - )10 =

c) (2x - 4)50 =



- 41 -

(x + y)n = (n0) xny0 + (n

1) xn-1y1 + (n2) xn-2y2 + + (x

n) x0yn com n IN

Tp+1 = (np) xn-p yp


(p = n2)


Exemplos


(3x + 2)4 = (40)(3x)420 + (4

1)(3x)321 + (42)(3x)222 + (4

3)(3x)123 + (44)(3x)024

(3x + 2)4 = 81x4 + 216x3 + 216x2 +96x + 16


(a - 2)4 = (40)(a)420 - (4

1)(a)321 + (42)(a)222 - (4

3)(a)123 + (44)(a)024

(a - 2)4 = a4 - 8a3 + 24a2 ndash 32a + 16



3)10-k(-2y)k = (10k)(-2)kx30 ndash 3kyk



251 Exerciacutecios







- 42 -


(x + y)5 = 1 x5 + 5 x4y + 10 x3y2 + 10 x2y3 + 5xy4 + 1 y5


a) 0 b) 1 c) -1 d) 331237 e) 1973747


a) +40 b) 42 c) -9 d) -42 e) -48






a) 232 b) 326 c) 924 d) 1012 e) 1214


a) 63 b) 263 c) 10 d) 3 e) 310


a) 60 b) 120 c) 240 d) 480 e) 960


valor de a eacute

a) -3 b) -2 c) -1 d) 2 e) 3


a) 16 b) 20 c) 24 d) 28 e) 32


a) -103 b) -53 c) -35 d) -310 e) -13


- 43 -

a) 20 b) 35 c) 48 d) 56 e) 70


a) -540x3 b) -3 240x3 c) 3 240x3 d) 540x3 e) 540x4


a) 0 b) 9 c) 18 d) 64 e) 256





a) (sen2)5 b) (1 + sen2)5 -1 c) -1 d) 0




a) 10 b) -10 c) 20 d) -20 e) 36


a) 56 b) 84 c) 168 d) 253 e) 1054

- 15 -

17 Arranjo Simples















seja

A53 = 543 A53 = 5 4 3 2 2

A53 = 5 2 rarr A53 = 5 (5-3)


Anp = n (n-1) (n-2) [n ndash (p-1)]



Logo Anp = n (n-p)



- 16 -

171 Exerciacutecios

1) Calcule

a) A73 b) A52 c) A105




- 17 -







(2) = 32 = 9




(PC)3 = 2

Exemplos







Pc5 = P4 = (5-1) = 4 = 4321 = 24



- 18 -







2Pc4 = 2(4-1) = 23 = 2321 = 12


- 19 -




a) 6 b) 12 c) 18 d) 36 e) 48



a) 21 b) 48 c) 96 d) 120 e) 720


a) (n2 + n) (1 + n) b) (n2 + n - 1) 2 c) (n2 - n) (1 + n) d) n (n +2)


a) 24 b) 48 c) 96 d) 120 e) 144





a) 181440 b) 3628800 c) 1814400 d) 40320 e) 403200


vogais juntas

a) 36 b) 712 c) 120 d) 144 e) 180


a) 20 b) 30 c) 60 d) 80 e) 100



a) 4 b) 5 c) 6 d) 12 e) 24



a) 720 b) 36 c) 81 d) 126

- 20 -


a) 48 b) 66 c) 96 d) 120



a) 1800 b) 720 c) 5400 d) 5040 e) 2160


a) 170 b) 240 c) 180 d) 280 e) 168





a) 20 b) 20 2 c) 19 d) 19 2


a) 15 b) 24 c) 18 d) 16 e) 12


a) 2 b) 7 c) 8 d) 9 e) 20

- 21 -










(nk) = n k(n-k)





0 elemento rarr

1 elemento rarr

2 elementos rarr

3 elementos rarr

4 elementos rarr

5 elementos rarr



- 22 -



a1 a2 a3 a1 a2 a4 a1 a2 a5 a1 a3 a4

a1 a3 a5 a1 a4 a5

a2 a3 a4 a2 a3 a5 a2 a4 a5 a3 a4 a5










a1 a2 a3 a1 a3 a2 a2 a1 a3

a2 a3 a1 a3 a1 a2 a3 a2 a1



Logo Cnp = Anp P3

Resumindo



Cnp = n (n-1) (n-2) () (n ndash p+1) p


Cnp = n p(n-p)



- 23 -



















- 24 -







(22) = 4 22 = 6















- 25 -


C93 C62 C42 C21 1 = 9 322





(3 + 2 + 2 + 1 + 1 = 9)

Em siacutembolos

P932211 = 9 322


- 26 -


718844

a) 90 b) 720 c) 15 d) 30 e) 180


a) 480 b) 720 c) 1440 d) 1920 e) 5040


a) A73 b) C73 c) 7 d) 37 e) 7 3


a) 360 b) 180 c) 21600 d) 252 e) 210


a) x = -6 ou x = 7 b) x = -6 c) x = 21 d) x = 13 e) x = 7


x-5 eacute

a) 14 b) 12 c) 10 d) 8 e) 6


a) 360 b) 190 c) 180 d) 120 e) 18



a) 30 b) 24 c) 20 d) 18 e) 15


a) 360 b) 48 c) 30 d) 120 e) 15

- 27 -


a) 90 b) 35 c) 15 d) 30 e) 50


a) 60 b) 75 c) 80 d) 85 e) 90


a) 30240 b) 594 c) 462 d) 408 e) 372


a) 7 b) 36 c) 152 d) 1200 e) 28800


a) 10 b) 18 c) 20 d) 36 e) 60


a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14



a) 120 b) 220 c) 720 d) 980 e) 1320


a) 35 b) 45 c) 47 d) 53 e) 54


a) 3060 b) 24480 c) 37800 d) 51210 e) 53440

- 28 -


a) 720 b) 625 c) 480 d) 300 e) 255


a) 12 b) 34 c) 23 d) 67 e) 45



a) 62 b) 89 c) 26 d) 720 e) 36


a) 36 b) 48 c) 52 d) 54 e) 56



- 29 -




O quadrado da soma









a

a + b

a

b

b

a + b

a

a b

b a-b

a-b

S1 S2

S S2

- 30 -


1ordf maneira


2ordf maneira





(a - b)2 = a2 ndash 2ab + b2


Discutindo






- 31 -











1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 x 20 15 6 1

1 7 21 35 y 21 7 1



- 32 -




Blaise Pascal









- 33 -










- 34 -





- 35 -








3 4 rarr

3 5 rarr

3 6 rarr

3 7 rarr

4 5 rarr

4 6 rarr

4 7 rarr

5 6 rarr

5 7 rarr

6 7 rarr


Satildeo









Justificativa

- 36 -





Situaccedilatildeo


3 4 5 3 5 7 4 5 7

3 4 6 3 6 7 4 6 7

3 4 7 4 5 6 5 6 7

3 5 6

Discutindo








- 37 -

C00

C01 C11

C02 C12 C22

C03 C13 C23 C33

C04 C14 C24 + C34 C44

C05 C15 C25 C35 C45 C55

C06 C16 + C26 C36 C46 C56 C66

C07 C17 C27 C37 C47 C57 C67 C77




Em siacutembolos

Cn p + Cn p+1 = Cn+1 p+1


231 Exerciacutecios

- 38 -




4) Calcule

a) C20 + C21 + C22

b) C30 + C31 + C32 + C33

c) C40 + C41 + C42 + C43 + C44

d) Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn









- 39 -



Nota 1




a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3

c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4

d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5

Nota 2














- 40 -





241 Exerciacutecios


a) (x + y)5 =

b) (2x - )5 =

c) (2x + 1)4 =

d) (x ndash 2y)5 =


b




para x = y = 1

Atenccedilatildeo




a) (2x + y)6 =

b) (3x - )10 =

c) (2x - 4)50 =



- 41 -

(x + y)n = (n0) xny0 + (n

1) xn-1y1 + (n2) xn-2y2 + + (x

n) x0yn com n IN

Tp+1 = (np) xn-p yp


(p = n2)


Exemplos


(3x + 2)4 = (40)(3x)420 + (4

1)(3x)321 + (42)(3x)222 + (4

3)(3x)123 + (44)(3x)024

(3x + 2)4 = 81x4 + 216x3 + 216x2 +96x + 16


(a - 2)4 = (40)(a)420 - (4

1)(a)321 + (42)(a)222 - (4

3)(a)123 + (44)(a)024

(a - 2)4 = a4 - 8a3 + 24a2 ndash 32a + 16



3)10-k(-2y)k = (10k)(-2)kx30 ndash 3kyk



251 Exerciacutecios







- 42 -


(x + y)5 = 1 x5 + 5 x4y + 10 x3y2 + 10 x2y3 + 5xy4 + 1 y5


a) 0 b) 1 c) -1 d) 331237 e) 1973747


a) +40 b) 42 c) -9 d) -42 e) -48






a) 232 b) 326 c) 924 d) 1012 e) 1214


a) 63 b) 263 c) 10 d) 3 e) 310


a) 60 b) 120 c) 240 d) 480 e) 960


valor de a eacute

a) -3 b) -2 c) -1 d) 2 e) 3


a) 16 b) 20 c) 24 d) 28 e) 32


a) -103 b) -53 c) -35 d) -310 e) -13


- 43 -

a) 20 b) 35 c) 48 d) 56 e) 70


a) -540x3 b) -3 240x3 c) 3 240x3 d) 540x3 e) 540x4


a) 0 b) 9 c) 18 d) 64 e) 256





a) (sen2)5 b) (1 + sen2)5 -1 c) -1 d) 0




a) 10 b) -10 c) 20 d) -20 e) 36


a) 56 b) 84 c) 168 d) 253 e) 1054

- 16 -

171 Exerciacutecios

1) Calcule

a) A73 b) A52 c) A105




- 17 -







(2) = 32 = 9




(PC)3 = 2

Exemplos







Pc5 = P4 = (5-1) = 4 = 4321 = 24



- 18 -







2Pc4 = 2(4-1) = 23 = 2321 = 12


- 19 -




a) 6 b) 12 c) 18 d) 36 e) 48



a) 21 b) 48 c) 96 d) 120 e) 720


a) (n2 + n) (1 + n) b) (n2 + n - 1) 2 c) (n2 - n) (1 + n) d) n (n +2)


a) 24 b) 48 c) 96 d) 120 e) 144





a) 181440 b) 3628800 c) 1814400 d) 40320 e) 403200


vogais juntas

a) 36 b) 712 c) 120 d) 144 e) 180


a) 20 b) 30 c) 60 d) 80 e) 100



a) 4 b) 5 c) 6 d) 12 e) 24



a) 720 b) 36 c) 81 d) 126

- 20 -


a) 48 b) 66 c) 96 d) 120



a) 1800 b) 720 c) 5400 d) 5040 e) 2160


a) 170 b) 240 c) 180 d) 280 e) 168





a) 20 b) 20 2 c) 19 d) 19 2


a) 15 b) 24 c) 18 d) 16 e) 12


a) 2 b) 7 c) 8 d) 9 e) 20

- 21 -










(nk) = n k(n-k)





0 elemento rarr

1 elemento rarr

2 elementos rarr

3 elementos rarr

4 elementos rarr

5 elementos rarr



- 22 -



a1 a2 a3 a1 a2 a4 a1 a2 a5 a1 a3 a4

a1 a3 a5 a1 a4 a5

a2 a3 a4 a2 a3 a5 a2 a4 a5 a3 a4 a5










a1 a2 a3 a1 a3 a2 a2 a1 a3

a2 a3 a1 a3 a1 a2 a3 a2 a1



Logo Cnp = Anp P3

Resumindo



Cnp = n (n-1) (n-2) () (n ndash p+1) p


Cnp = n p(n-p)



- 23 -



















- 24 -







(22) = 4 22 = 6















- 25 -


C93 C62 C42 C21 1 = 9 322





(3 + 2 + 2 + 1 + 1 = 9)

Em siacutembolos

P932211 = 9 322


- 26 -


718844

a) 90 b) 720 c) 15 d) 30 e) 180


a) 480 b) 720 c) 1440 d) 1920 e) 5040


a) A73 b) C73 c) 7 d) 37 e) 7 3


a) 360 b) 180 c) 21600 d) 252 e) 210


a) x = -6 ou x = 7 b) x = -6 c) x = 21 d) x = 13 e) x = 7


x-5 eacute

a) 14 b) 12 c) 10 d) 8 e) 6


a) 360 b) 190 c) 180 d) 120 e) 18



a) 30 b) 24 c) 20 d) 18 e) 15


a) 360 b) 48 c) 30 d) 120 e) 15

- 27 -


a) 90 b) 35 c) 15 d) 30 e) 50


a) 60 b) 75 c) 80 d) 85 e) 90


a) 30240 b) 594 c) 462 d) 408 e) 372


a) 7 b) 36 c) 152 d) 1200 e) 28800


a) 10 b) 18 c) 20 d) 36 e) 60


a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14



a) 120 b) 220 c) 720 d) 980 e) 1320


a) 35 b) 45 c) 47 d) 53 e) 54


a) 3060 b) 24480 c) 37800 d) 51210 e) 53440

- 28 -


a) 720 b) 625 c) 480 d) 300 e) 255


a) 12 b) 34 c) 23 d) 67 e) 45



a) 62 b) 89 c) 26 d) 720 e) 36


a) 36 b) 48 c) 52 d) 54 e) 56



- 29 -




O quadrado da soma









a

a + b

a

b

b

a + b

a

a b

b a-b

a-b

S1 S2

S S2

- 30 -


1ordf maneira


2ordf maneira





(a - b)2 = a2 ndash 2ab + b2


Discutindo






- 31 -











1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 x 20 15 6 1

1 7 21 35 y 21 7 1



- 32 -




Blaise Pascal









- 33 -










- 34 -





- 35 -








3 4 rarr

3 5 rarr

3 6 rarr

3 7 rarr

4 5 rarr

4 6 rarr

4 7 rarr

5 6 rarr

5 7 rarr

6 7 rarr


Satildeo









Justificativa

- 36 -





Situaccedilatildeo


3 4 5 3 5 7 4 5 7

3 4 6 3 6 7 4 6 7

3 4 7 4 5 6 5 6 7

3 5 6

Discutindo








- 37 -

C00

C01 C11

C02 C12 C22

C03 C13 C23 C33

C04 C14 C24 + C34 C44

C05 C15 C25 C35 C45 C55

C06 C16 + C26 C36 C46 C56 C66

C07 C17 C27 C37 C47 C57 C67 C77




Em siacutembolos

Cn p + Cn p+1 = Cn+1 p+1


231 Exerciacutecios

- 38 -




4) Calcule

a) C20 + C21 + C22

b) C30 + C31 + C32 + C33

c) C40 + C41 + C42 + C43 + C44

d) Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn









- 39 -



Nota 1




a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3

c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4

d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5

Nota 2














- 40 -





241 Exerciacutecios


a) (x + y)5 =

b) (2x - )5 =

c) (2x + 1)4 =

d) (x ndash 2y)5 =


b




para x = y = 1

Atenccedilatildeo




a) (2x + y)6 =

b) (3x - )10 =

c) (2x - 4)50 =



- 41 -

(x + y)n = (n0) xny0 + (n

1) xn-1y1 + (n2) xn-2y2 + + (x

n) x0yn com n IN

Tp+1 = (np) xn-p yp


(p = n2)


Exemplos


(3x + 2)4 = (40)(3x)420 + (4

1)(3x)321 + (42)(3x)222 + (4

3)(3x)123 + (44)(3x)024

(3x + 2)4 = 81x4 + 216x3 + 216x2 +96x + 16


(a - 2)4 = (40)(a)420 - (4

1)(a)321 + (42)(a)222 - (4

3)(a)123 + (44)(a)024

(a - 2)4 = a4 - 8a3 + 24a2 ndash 32a + 16



3)10-k(-2y)k = (10k)(-2)kx30 ndash 3kyk



251 Exerciacutecios







- 42 -


(x + y)5 = 1 x5 + 5 x4y + 10 x3y2 + 10 x2y3 + 5xy4 + 1 y5


a) 0 b) 1 c) -1 d) 331237 e) 1973747


a) +40 b) 42 c) -9 d) -42 e) -48






a) 232 b) 326 c) 924 d) 1012 e) 1214


a) 63 b) 263 c) 10 d) 3 e) 310


a) 60 b) 120 c) 240 d) 480 e) 960


valor de a eacute

a) -3 b) -2 c) -1 d) 2 e) 3


a) 16 b) 20 c) 24 d) 28 e) 32


a) -103 b) -53 c) -35 d) -310 e) -13


- 43 -

a) 20 b) 35 c) 48 d) 56 e) 70


a) -540x3 b) -3 240x3 c) 3 240x3 d) 540x3 e) 540x4


a) 0 b) 9 c) 18 d) 64 e) 256





a) (sen2)5 b) (1 + sen2)5 -1 c) -1 d) 0




a) 10 b) -10 c) 20 d) -20 e) 36


a) 56 b) 84 c) 168 d) 253 e) 1054

- 17 -







(2) = 32 = 9




(PC)3 = 2

Exemplos







Pc5 = P4 = (5-1) = 4 = 4321 = 24



- 18 -







2Pc4 = 2(4-1) = 23 = 2321 = 12


- 19 -




a) 6 b) 12 c) 18 d) 36 e) 48



a) 21 b) 48 c) 96 d) 120 e) 720


a) (n2 + n) (1 + n) b) (n2 + n - 1) 2 c) (n2 - n) (1 + n) d) n (n +2)


a) 24 b) 48 c) 96 d) 120 e) 144





a) 181440 b) 3628800 c) 1814400 d) 40320 e) 403200


vogais juntas

a) 36 b) 712 c) 120 d) 144 e) 180


a) 20 b) 30 c) 60 d) 80 e) 100



a) 4 b) 5 c) 6 d) 12 e) 24



a) 720 b) 36 c) 81 d) 126

- 20 -


a) 48 b) 66 c) 96 d) 120



a) 1800 b) 720 c) 5400 d) 5040 e) 2160


a) 170 b) 240 c) 180 d) 280 e) 168





a) 20 b) 20 2 c) 19 d) 19 2


a) 15 b) 24 c) 18 d) 16 e) 12


a) 2 b) 7 c) 8 d) 9 e) 20

- 21 -










(nk) = n k(n-k)





0 elemento rarr

1 elemento rarr

2 elementos rarr

3 elementos rarr

4 elementos rarr

5 elementos rarr



- 22 -



a1 a2 a3 a1 a2 a4 a1 a2 a5 a1 a3 a4

a1 a3 a5 a1 a4 a5

a2 a3 a4 a2 a3 a5 a2 a4 a5 a3 a4 a5










a1 a2 a3 a1 a3 a2 a2 a1 a3

a2 a3 a1 a3 a1 a2 a3 a2 a1



Logo Cnp = Anp P3

Resumindo



Cnp = n (n-1) (n-2) () (n ndash p+1) p


Cnp = n p(n-p)



- 23 -



















- 24 -







(22) = 4 22 = 6















- 25 -


C93 C62 C42 C21 1 = 9 322





(3 + 2 + 2 + 1 + 1 = 9)

Em siacutembolos

P932211 = 9 322


- 26 -


718844

a) 90 b) 720 c) 15 d) 30 e) 180


a) 480 b) 720 c) 1440 d) 1920 e) 5040


a) A73 b) C73 c) 7 d) 37 e) 7 3


a) 360 b) 180 c) 21600 d) 252 e) 210


a) x = -6 ou x = 7 b) x = -6 c) x = 21 d) x = 13 e) x = 7


x-5 eacute

a) 14 b) 12 c) 10 d) 8 e) 6


a) 360 b) 190 c) 180 d) 120 e) 18



a) 30 b) 24 c) 20 d) 18 e) 15


a) 360 b) 48 c) 30 d) 120 e) 15

- 27 -


a) 90 b) 35 c) 15 d) 30 e) 50


a) 60 b) 75 c) 80 d) 85 e) 90


a) 30240 b) 594 c) 462 d) 408 e) 372


a) 7 b) 36 c) 152 d) 1200 e) 28800


a) 10 b) 18 c) 20 d) 36 e) 60


a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14



a) 120 b) 220 c) 720 d) 980 e) 1320


a) 35 b) 45 c) 47 d) 53 e) 54


a) 3060 b) 24480 c) 37800 d) 51210 e) 53440

- 28 -


a) 720 b) 625 c) 480 d) 300 e) 255


a) 12 b) 34 c) 23 d) 67 e) 45



a) 62 b) 89 c) 26 d) 720 e) 36


a) 36 b) 48 c) 52 d) 54 e) 56



- 29 -




O quadrado da soma









a

a + b

a

b

b

a + b

a

a b

b a-b

a-b

S1 S2

S S2

- 30 -


1ordf maneira


2ordf maneira





(a - b)2 = a2 ndash 2ab + b2


Discutindo






- 31 -











1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 x 20 15 6 1

1 7 21 35 y 21 7 1



- 32 -




Blaise Pascal









- 33 -










- 34 -





- 35 -








3 4 rarr

3 5 rarr

3 6 rarr

3 7 rarr

4 5 rarr

4 6 rarr

4 7 rarr

5 6 rarr

5 7 rarr

6 7 rarr


Satildeo









Justificativa

- 36 -





Situaccedilatildeo


3 4 5 3 5 7 4 5 7

3 4 6 3 6 7 4 6 7

3 4 7 4 5 6 5 6 7

3 5 6

Discutindo








- 37 -

C00

C01 C11

C02 C12 C22

C03 C13 C23 C33

C04 C14 C24 + C34 C44

C05 C15 C25 C35 C45 C55

C06 C16 + C26 C36 C46 C56 C66

C07 C17 C27 C37 C47 C57 C67 C77




Em siacutembolos

Cn p + Cn p+1 = Cn+1 p+1


231 Exerciacutecios

- 38 -




4) Calcule

a) C20 + C21 + C22

b) C30 + C31 + C32 + C33

c) C40 + C41 + C42 + C43 + C44

d) Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn









- 39 -



Nota 1




a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3

c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4

d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5

Nota 2














- 40 -





241 Exerciacutecios


a) (x + y)5 =

b) (2x - )5 =

c) (2x + 1)4 =

d) (x ndash 2y)5 =


b




para x = y = 1

Atenccedilatildeo




a) (2x + y)6 =

b) (3x - )10 =

c) (2x - 4)50 =



- 41 -

(x + y)n = (n0) xny0 + (n

1) xn-1y1 + (n2) xn-2y2 + + (x

n) x0yn com n IN

Tp+1 = (np) xn-p yp


(p = n2)


Exemplos


(3x + 2)4 = (40)(3x)420 + (4

1)(3x)321 + (42)(3x)222 + (4

3)(3x)123 + (44)(3x)024

(3x + 2)4 = 81x4 + 216x3 + 216x2 +96x + 16


(a - 2)4 = (40)(a)420 - (4

1)(a)321 + (42)(a)222 - (4

3)(a)123 + (44)(a)024

(a - 2)4 = a4 - 8a3 + 24a2 ndash 32a + 16



3)10-k(-2y)k = (10k)(-2)kx30 ndash 3kyk



251 Exerciacutecios







- 42 -


(x + y)5 = 1 x5 + 5 x4y + 10 x3y2 + 10 x2y3 + 5xy4 + 1 y5


a) 0 b) 1 c) -1 d) 331237 e) 1973747


a) +40 b) 42 c) -9 d) -42 e) -48






a) 232 b) 326 c) 924 d) 1012 e) 1214


a) 63 b) 263 c) 10 d) 3 e) 310


a) 60 b) 120 c) 240 d) 480 e) 960


valor de a eacute

a) -3 b) -2 c) -1 d) 2 e) 3


a) 16 b) 20 c) 24 d) 28 e) 32


a) -103 b) -53 c) -35 d) -310 e) -13


- 43 -

a) 20 b) 35 c) 48 d) 56 e) 70


a) -540x3 b) -3 240x3 c) 3 240x3 d) 540x3 e) 540x4


a) 0 b) 9 c) 18 d) 64 e) 256





a) (sen2)5 b) (1 + sen2)5 -1 c) -1 d) 0




a) 10 b) -10 c) 20 d) -20 e) 36


a) 56 b) 84 c) 168 d) 253 e) 1054

- 18 -







2Pc4 = 2(4-1) = 23 = 2321 = 12


- 19 -




a) 6 b) 12 c) 18 d) 36 e) 48



a) 21 b) 48 c) 96 d) 120 e) 720


a) (n2 + n) (1 + n) b) (n2 + n - 1) 2 c) (n2 - n) (1 + n) d) n (n +2)


a) 24 b) 48 c) 96 d) 120 e) 144





a) 181440 b) 3628800 c) 1814400 d) 40320 e) 403200


vogais juntas

a) 36 b) 712 c) 120 d) 144 e) 180


a) 20 b) 30 c) 60 d) 80 e) 100



a) 4 b) 5 c) 6 d) 12 e) 24



a) 720 b) 36 c) 81 d) 126

- 20 -


a) 48 b) 66 c) 96 d) 120



a) 1800 b) 720 c) 5400 d) 5040 e) 2160


a) 170 b) 240 c) 180 d) 280 e) 168





a) 20 b) 20 2 c) 19 d) 19 2


a) 15 b) 24 c) 18 d) 16 e) 12


a) 2 b) 7 c) 8 d) 9 e) 20

- 21 -










(nk) = n k(n-k)





0 elemento rarr

1 elemento rarr

2 elementos rarr

3 elementos rarr

4 elementos rarr

5 elementos rarr



- 22 -



a1 a2 a3 a1 a2 a4 a1 a2 a5 a1 a3 a4

a1 a3 a5 a1 a4 a5

a2 a3 a4 a2 a3 a5 a2 a4 a5 a3 a4 a5










a1 a2 a3 a1 a3 a2 a2 a1 a3

a2 a3 a1 a3 a1 a2 a3 a2 a1



Logo Cnp = Anp P3

Resumindo



Cnp = n (n-1) (n-2) () (n ndash p+1) p


Cnp = n p(n-p)



- 23 -



















- 24 -







(22) = 4 22 = 6















- 25 -


C93 C62 C42 C21 1 = 9 322





(3 + 2 + 2 + 1 + 1 = 9)

Em siacutembolos

P932211 = 9 322


- 26 -


718844

a) 90 b) 720 c) 15 d) 30 e) 180


a) 480 b) 720 c) 1440 d) 1920 e) 5040


a) A73 b) C73 c) 7 d) 37 e) 7 3


a) 360 b) 180 c) 21600 d) 252 e) 210


a) x = -6 ou x = 7 b) x = -6 c) x = 21 d) x = 13 e) x = 7


x-5 eacute

a) 14 b) 12 c) 10 d) 8 e) 6


a) 360 b) 190 c) 180 d) 120 e) 18



a) 30 b) 24 c) 20 d) 18 e) 15


a) 360 b) 48 c) 30 d) 120 e) 15

- 27 -


a) 90 b) 35 c) 15 d) 30 e) 50


a) 60 b) 75 c) 80 d) 85 e) 90


a) 30240 b) 594 c) 462 d) 408 e) 372


a) 7 b) 36 c) 152 d) 1200 e) 28800


a) 10 b) 18 c) 20 d) 36 e) 60


a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14



a) 120 b) 220 c) 720 d) 980 e) 1320


a) 35 b) 45 c) 47 d) 53 e) 54


a) 3060 b) 24480 c) 37800 d) 51210 e) 53440

- 28 -


a) 720 b) 625 c) 480 d) 300 e) 255


a) 12 b) 34 c) 23 d) 67 e) 45



a) 62 b) 89 c) 26 d) 720 e) 36


a) 36 b) 48 c) 52 d) 54 e) 56



- 29 -




O quadrado da soma









a

a + b

a

b

b

a + b

a

a b

b a-b

a-b

S1 S2

S S2

- 30 -


1ordf maneira


2ordf maneira





(a - b)2 = a2 ndash 2ab + b2


Discutindo






- 31 -











1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 x 20 15 6 1

1 7 21 35 y 21 7 1



- 32 -




Blaise Pascal









- 33 -










- 34 -





- 35 -








3 4 rarr

3 5 rarr

3 6 rarr

3 7 rarr

4 5 rarr

4 6 rarr

4 7 rarr

5 6 rarr

5 7 rarr

6 7 rarr


Satildeo









Justificativa

- 36 -





Situaccedilatildeo


3 4 5 3 5 7 4 5 7

3 4 6 3 6 7 4 6 7

3 4 7 4 5 6 5 6 7

3 5 6

Discutindo








- 37 -

C00

C01 C11

C02 C12 C22

C03 C13 C23 C33

C04 C14 C24 + C34 C44

C05 C15 C25 C35 C45 C55

C06 C16 + C26 C36 C46 C56 C66

C07 C17 C27 C37 C47 C57 C67 C77




Em siacutembolos

Cn p + Cn p+1 = Cn+1 p+1


231 Exerciacutecios

- 38 -




4) Calcule

a) C20 + C21 + C22

b) C30 + C31 + C32 + C33

c) C40 + C41 + C42 + C43 + C44

d) Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn









- 39 -



Nota 1




a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3

c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4

d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5

Nota 2














- 40 -





241 Exerciacutecios


a) (x + y)5 =

b) (2x - )5 =

c) (2x + 1)4 =

d) (x ndash 2y)5 =


b




para x = y = 1

Atenccedilatildeo




a) (2x + y)6 =

b) (3x - )10 =

c) (2x - 4)50 =



- 41 -

(x + y)n = (n0) xny0 + (n

1) xn-1y1 + (n2) xn-2y2 + + (x

n) x0yn com n IN

Tp+1 = (np) xn-p yp


(p = n2)


Exemplos


(3x + 2)4 = (40)(3x)420 + (4

1)(3x)321 + (42)(3x)222 + (4

3)(3x)123 + (44)(3x)024

(3x + 2)4 = 81x4 + 216x3 + 216x2 +96x + 16


(a - 2)4 = (40)(a)420 - (4

1)(a)321 + (42)(a)222 - (4

3)(a)123 + (44)(a)024

(a - 2)4 = a4 - 8a3 + 24a2 ndash 32a + 16



3)10-k(-2y)k = (10k)(-2)kx30 ndash 3kyk



251 Exerciacutecios







- 42 -


(x + y)5 = 1 x5 + 5 x4y + 10 x3y2 + 10 x2y3 + 5xy4 + 1 y5


a) 0 b) 1 c) -1 d) 331237 e) 1973747


a) +40 b) 42 c) -9 d) -42 e) -48






a) 232 b) 326 c) 924 d) 1012 e) 1214


a) 63 b) 263 c) 10 d) 3 e) 310


a) 60 b) 120 c) 240 d) 480 e) 960


valor de a eacute

a) -3 b) -2 c) -1 d) 2 e) 3


a) 16 b) 20 c) 24 d) 28 e) 32


a) -103 b) -53 c) -35 d) -310 e) -13


- 43 -

a) 20 b) 35 c) 48 d) 56 e) 70


a) -540x3 b) -3 240x3 c) 3 240x3 d) 540x3 e) 540x4


a) 0 b) 9 c) 18 d) 64 e) 256





a) (sen2)5 b) (1 + sen2)5 -1 c) -1 d) 0




a) 10 b) -10 c) 20 d) -20 e) 36


a) 56 b) 84 c) 168 d) 253 e) 1054

- 19 -




a) 6 b) 12 c) 18 d) 36 e) 48



a) 21 b) 48 c) 96 d) 120 e) 720


a) (n2 + n) (1 + n) b) (n2 + n - 1) 2 c) (n2 - n) (1 + n) d) n (n +2)


a) 24 b) 48 c) 96 d) 120 e) 144





a) 181440 b) 3628800 c) 1814400 d) 40320 e) 403200


vogais juntas

a) 36 b) 712 c) 120 d) 144 e) 180


a) 20 b) 30 c) 60 d) 80 e) 100



a) 4 b) 5 c) 6 d) 12 e) 24



a) 720 b) 36 c) 81 d) 126

- 20 -


a) 48 b) 66 c) 96 d) 120



a) 1800 b) 720 c) 5400 d) 5040 e) 2160


a) 170 b) 240 c) 180 d) 280 e) 168





a) 20 b) 20 2 c) 19 d) 19 2


a) 15 b) 24 c) 18 d) 16 e) 12


a) 2 b) 7 c) 8 d) 9 e) 20

- 21 -










(nk) = n k(n-k)





0 elemento rarr

1 elemento rarr

2 elementos rarr

3 elementos rarr

4 elementos rarr

5 elementos rarr



- 22 -



a1 a2 a3 a1 a2 a4 a1 a2 a5 a1 a3 a4

a1 a3 a5 a1 a4 a5

a2 a3 a4 a2 a3 a5 a2 a4 a5 a3 a4 a5










a1 a2 a3 a1 a3 a2 a2 a1 a3

a2 a3 a1 a3 a1 a2 a3 a2 a1



Logo Cnp = Anp P3

Resumindo



Cnp = n (n-1) (n-2) () (n ndash p+1) p


Cnp = n p(n-p)



- 23 -



















- 24 -







(22) = 4 22 = 6















- 25 -


C93 C62 C42 C21 1 = 9 322





(3 + 2 + 2 + 1 + 1 = 9)

Em siacutembolos

P932211 = 9 322


- 26 -


718844

a) 90 b) 720 c) 15 d) 30 e) 180


a) 480 b) 720 c) 1440 d) 1920 e) 5040


a) A73 b) C73 c) 7 d) 37 e) 7 3


a) 360 b) 180 c) 21600 d) 252 e) 210


a) x = -6 ou x = 7 b) x = -6 c) x = 21 d) x = 13 e) x = 7


x-5 eacute

a) 14 b) 12 c) 10 d) 8 e) 6


a) 360 b) 190 c) 180 d) 120 e) 18



a) 30 b) 24 c) 20 d) 18 e) 15


a) 360 b) 48 c) 30 d) 120 e) 15

- 27 -


a) 90 b) 35 c) 15 d) 30 e) 50


a) 60 b) 75 c) 80 d) 85 e) 90


a) 30240 b) 594 c) 462 d) 408 e) 372


a) 7 b) 36 c) 152 d) 1200 e) 28800


a) 10 b) 18 c) 20 d) 36 e) 60


a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14



a) 120 b) 220 c) 720 d) 980 e) 1320


a) 35 b) 45 c) 47 d) 53 e) 54


a) 3060 b) 24480 c) 37800 d) 51210 e) 53440

- 28 -


a) 720 b) 625 c) 480 d) 300 e) 255


a) 12 b) 34 c) 23 d) 67 e) 45



a) 62 b) 89 c) 26 d) 720 e) 36


a) 36 b) 48 c) 52 d) 54 e) 56



- 29 -




O quadrado da soma









a

a + b

a

b

b

a + b

a

a b

b a-b

a-b

S1 S2

S S2

- 30 -


1ordf maneira


2ordf maneira





(a - b)2 = a2 ndash 2ab + b2


Discutindo






- 31 -











1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 x 20 15 6 1

1 7 21 35 y 21 7 1



- 32 -




Blaise Pascal









- 33 -










- 34 -





- 35 -








3 4 rarr

3 5 rarr

3 6 rarr

3 7 rarr

4 5 rarr

4 6 rarr

4 7 rarr

5 6 rarr

5 7 rarr

6 7 rarr


Satildeo









Justificativa

- 36 -





Situaccedilatildeo


3 4 5 3 5 7 4 5 7

3 4 6 3 6 7 4 6 7

3 4 7 4 5 6 5 6 7

3 5 6

Discutindo








- 37 -

C00

C01 C11

C02 C12 C22

C03 C13 C23 C33

C04 C14 C24 + C34 C44

C05 C15 C25 C35 C45 C55

C06 C16 + C26 C36 C46 C56 C66

C07 C17 C27 C37 C47 C57 C67 C77




Em siacutembolos

Cn p + Cn p+1 = Cn+1 p+1


231 Exerciacutecios

- 38 -




4) Calcule

a) C20 + C21 + C22

b) C30 + C31 + C32 + C33

c) C40 + C41 + C42 + C43 + C44

d) Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn









- 39 -



Nota 1




a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3

c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4

d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5

Nota 2














- 40 -





241 Exerciacutecios


a) (x + y)5 =

b) (2x - )5 =

c) (2x + 1)4 =

d) (x ndash 2y)5 =


b




para x = y = 1

Atenccedilatildeo




a) (2x + y)6 =

b) (3x - )10 =

c) (2x - 4)50 =



- 41 -

(x + y)n = (n0) xny0 + (n

1) xn-1y1 + (n2) xn-2y2 + + (x

n) x0yn com n IN

Tp+1 = (np) xn-p yp


(p = n2)


Exemplos


(3x + 2)4 = (40)(3x)420 + (4

1)(3x)321 + (42)(3x)222 + (4

3)(3x)123 + (44)(3x)024

(3x + 2)4 = 81x4 + 216x3 + 216x2 +96x + 16


(a - 2)4 = (40)(a)420 - (4

1)(a)321 + (42)(a)222 - (4

3)(a)123 + (44)(a)024

(a - 2)4 = a4 - 8a3 + 24a2 ndash 32a + 16



3)10-k(-2y)k = (10k)(-2)kx30 ndash 3kyk



251 Exerciacutecios







- 42 -


(x + y)5 = 1 x5 + 5 x4y + 10 x3y2 + 10 x2y3 + 5xy4 + 1 y5


a) 0 b) 1 c) -1 d) 331237 e) 1973747


a) +40 b) 42 c) -9 d) -42 e) -48






a) 232 b) 326 c) 924 d) 1012 e) 1214


a) 63 b) 263 c) 10 d) 3 e) 310


a) 60 b) 120 c) 240 d) 480 e) 960


valor de a eacute

a) -3 b) -2 c) -1 d) 2 e) 3


a) 16 b) 20 c) 24 d) 28 e) 32


a) -103 b) -53 c) -35 d) -310 e) -13


- 43 -

a) 20 b) 35 c) 48 d) 56 e) 70


a) -540x3 b) -3 240x3 c) 3 240x3 d) 540x3 e) 540x4


a) 0 b) 9 c) 18 d) 64 e) 256





a) (sen2)5 b) (1 + sen2)5 -1 c) -1 d) 0




a) 10 b) -10 c) 20 d) -20 e) 36


a) 56 b) 84 c) 168 d) 253 e) 1054

- 20 -


a) 48 b) 66 c) 96 d) 120



a) 1800 b) 720 c) 5400 d) 5040 e) 2160


a) 170 b) 240 c) 180 d) 280 e) 168





a) 20 b) 20 2 c) 19 d) 19 2


a) 15 b) 24 c) 18 d) 16 e) 12


a) 2 b) 7 c) 8 d) 9 e) 20

- 21 -










(nk) = n k(n-k)





0 elemento rarr

1 elemento rarr

2 elementos rarr

3 elementos rarr

4 elementos rarr

5 elementos rarr



- 22 -



a1 a2 a3 a1 a2 a4 a1 a2 a5 a1 a3 a4

a1 a3 a5 a1 a4 a5

a2 a3 a4 a2 a3 a5 a2 a4 a5 a3 a4 a5










a1 a2 a3 a1 a3 a2 a2 a1 a3

a2 a3 a1 a3 a1 a2 a3 a2 a1



Logo Cnp = Anp P3

Resumindo



Cnp = n (n-1) (n-2) () (n ndash p+1) p


Cnp = n p(n-p)



- 23 -



















- 24 -







(22) = 4 22 = 6















- 25 -


C93 C62 C42 C21 1 = 9 322





(3 + 2 + 2 + 1 + 1 = 9)

Em siacutembolos

P932211 = 9 322


- 26 -


718844

a) 90 b) 720 c) 15 d) 30 e) 180


a) 480 b) 720 c) 1440 d) 1920 e) 5040


a) A73 b) C73 c) 7 d) 37 e) 7 3


a) 360 b) 180 c) 21600 d) 252 e) 210


a) x = -6 ou x = 7 b) x = -6 c) x = 21 d) x = 13 e) x = 7


x-5 eacute

a) 14 b) 12 c) 10 d) 8 e) 6


a) 360 b) 190 c) 180 d) 120 e) 18



a) 30 b) 24 c) 20 d) 18 e) 15


a) 360 b) 48 c) 30 d) 120 e) 15

- 27 -


a) 90 b) 35 c) 15 d) 30 e) 50


a) 60 b) 75 c) 80 d) 85 e) 90


a) 30240 b) 594 c) 462 d) 408 e) 372


a) 7 b) 36 c) 152 d) 1200 e) 28800


a) 10 b) 18 c) 20 d) 36 e) 60


a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14



a) 120 b) 220 c) 720 d) 980 e) 1320


a) 35 b) 45 c) 47 d) 53 e) 54


a) 3060 b) 24480 c) 37800 d) 51210 e) 53440

- 28 -


a) 720 b) 625 c) 480 d) 300 e) 255


a) 12 b) 34 c) 23 d) 67 e) 45



a) 62 b) 89 c) 26 d) 720 e) 36


a) 36 b) 48 c) 52 d) 54 e) 56



- 29 -




O quadrado da soma









a

a + b

a

b

b

a + b

a

a b

b a-b

a-b

S1 S2

S S2

- 30 -


1ordf maneira


2ordf maneira





(a - b)2 = a2 ndash 2ab + b2


Discutindo






- 31 -











1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 x 20 15 6 1

1 7 21 35 y 21 7 1



- 32 -




Blaise Pascal









- 33 -










- 34 -





- 35 -








3 4 rarr

3 5 rarr

3 6 rarr

3 7 rarr

4 5 rarr

4 6 rarr

4 7 rarr

5 6 rarr

5 7 rarr

6 7 rarr


Satildeo









Justificativa

- 36 -





Situaccedilatildeo


3 4 5 3 5 7 4 5 7

3 4 6 3 6 7 4 6 7

3 4 7 4 5 6 5 6 7

3 5 6

Discutindo








- 37 -

C00

C01 C11

C02 C12 C22

C03 C13 C23 C33

C04 C14 C24 + C34 C44

C05 C15 C25 C35 C45 C55

C06 C16 + C26 C36 C46 C56 C66

C07 C17 C27 C37 C47 C57 C67 C77




Em siacutembolos

Cn p + Cn p+1 = Cn+1 p+1


231 Exerciacutecios

- 38 -




4) Calcule

a) C20 + C21 + C22

b) C30 + C31 + C32 + C33

c) C40 + C41 + C42 + C43 + C44

d) Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn









- 39 -



Nota 1




a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3

c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4

d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5

Nota 2














- 40 -





241 Exerciacutecios


a) (x + y)5 =

b) (2x - )5 =

c) (2x + 1)4 =

d) (x ndash 2y)5 =


b




para x = y = 1

Atenccedilatildeo




a) (2x + y)6 =

b) (3x - )10 =

c) (2x - 4)50 =



- 41 -

(x + y)n = (n0) xny0 + (n

1) xn-1y1 + (n2) xn-2y2 + + (x

n) x0yn com n IN

Tp+1 = (np) xn-p yp


(p = n2)


Exemplos


(3x + 2)4 = (40)(3x)420 + (4

1)(3x)321 + (42)(3x)222 + (4

3)(3x)123 + (44)(3x)024

(3x + 2)4 = 81x4 + 216x3 + 216x2 +96x + 16


(a - 2)4 = (40)(a)420 - (4

1)(a)321 + (42)(a)222 - (4

3)(a)123 + (44)(a)024

(a - 2)4 = a4 - 8a3 + 24a2 ndash 32a + 16



3)10-k(-2y)k = (10k)(-2)kx30 ndash 3kyk



251 Exerciacutecios







- 42 -


(x + y)5 = 1 x5 + 5 x4y + 10 x3y2 + 10 x2y3 + 5xy4 + 1 y5


a) 0 b) 1 c) -1 d) 331237 e) 1973747


a) +40 b) 42 c) -9 d) -42 e) -48






a) 232 b) 326 c) 924 d) 1012 e) 1214


a) 63 b) 263 c) 10 d) 3 e) 310


a) 60 b) 120 c) 240 d) 480 e) 960


valor de a eacute

a) -3 b) -2 c) -1 d) 2 e) 3


a) 16 b) 20 c) 24 d) 28 e) 32


a) -103 b) -53 c) -35 d) -310 e) -13


- 43 -

a) 20 b) 35 c) 48 d) 56 e) 70


a) -540x3 b) -3 240x3 c) 3 240x3 d) 540x3 e) 540x4


a) 0 b) 9 c) 18 d) 64 e) 256





a) (sen2)5 b) (1 + sen2)5 -1 c) -1 d) 0




a) 10 b) -10 c) 20 d) -20 e) 36


a) 56 b) 84 c) 168 d) 253 e) 1054

- 21 -










(nk) = n k(n-k)





0 elemento rarr

1 elemento rarr

2 elementos rarr

3 elementos rarr

4 elementos rarr

5 elementos rarr



- 22 -



a1 a2 a3 a1 a2 a4 a1 a2 a5 a1 a3 a4

a1 a3 a5 a1 a4 a5

a2 a3 a4 a2 a3 a5 a2 a4 a5 a3 a4 a5










a1 a2 a3 a1 a3 a2 a2 a1 a3

a2 a3 a1 a3 a1 a2 a3 a2 a1



Logo Cnp = Anp P3

Resumindo



Cnp = n (n-1) (n-2) () (n ndash p+1) p


Cnp = n p(n-p)



- 23 -



















- 24 -







(22) = 4 22 = 6















- 25 -


C93 C62 C42 C21 1 = 9 322





(3 + 2 + 2 + 1 + 1 = 9)

Em siacutembolos

P932211 = 9 322


- 26 -


718844

a) 90 b) 720 c) 15 d) 30 e) 180


a) 480 b) 720 c) 1440 d) 1920 e) 5040


a) A73 b) C73 c) 7 d) 37 e) 7 3


a) 360 b) 180 c) 21600 d) 252 e) 210


a) x = -6 ou x = 7 b) x = -6 c) x = 21 d) x = 13 e) x = 7


x-5 eacute

a) 14 b) 12 c) 10 d) 8 e) 6


a) 360 b) 190 c) 180 d) 120 e) 18



a) 30 b) 24 c) 20 d) 18 e) 15


a) 360 b) 48 c) 30 d) 120 e) 15

- 27 -


a) 90 b) 35 c) 15 d) 30 e) 50


a) 60 b) 75 c) 80 d) 85 e) 90


a) 30240 b) 594 c) 462 d) 408 e) 372


a) 7 b) 36 c) 152 d) 1200 e) 28800


a) 10 b) 18 c) 20 d) 36 e) 60


a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14



a) 120 b) 220 c) 720 d) 980 e) 1320


a) 35 b) 45 c) 47 d) 53 e) 54


a) 3060 b) 24480 c) 37800 d) 51210 e) 53440

- 28 -


a) 720 b) 625 c) 480 d) 300 e) 255


a) 12 b) 34 c) 23 d) 67 e) 45



a) 62 b) 89 c) 26 d) 720 e) 36


a) 36 b) 48 c) 52 d) 54 e) 56



- 29 -




O quadrado da soma









a

a + b

a

b

b

a + b

a

a b

b a-b

a-b

S1 S2

S S2

- 30 -


1ordf maneira


2ordf maneira





(a - b)2 = a2 ndash 2ab + b2


Discutindo






- 31 -











1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 x 20 15 6 1

1 7 21 35 y 21 7 1



- 32 -




Blaise Pascal









- 33 -










- 34 -





- 35 -








3 4 rarr

3 5 rarr

3 6 rarr

3 7 rarr

4 5 rarr

4 6 rarr

4 7 rarr

5 6 rarr

5 7 rarr

6 7 rarr


Satildeo









Justificativa

- 36 -





Situaccedilatildeo


3 4 5 3 5 7 4 5 7

3 4 6 3 6 7 4 6 7

3 4 7 4 5 6 5 6 7

3 5 6

Discutindo








- 37 -

C00

C01 C11

C02 C12 C22

C03 C13 C23 C33

C04 C14 C24 + C34 C44

C05 C15 C25 C35 C45 C55

C06 C16 + C26 C36 C46 C56 C66

C07 C17 C27 C37 C47 C57 C67 C77




Em siacutembolos

Cn p + Cn p+1 = Cn+1 p+1


231 Exerciacutecios

- 38 -




4) Calcule

a) C20 + C21 + C22

b) C30 + C31 + C32 + C33

c) C40 + C41 + C42 + C43 + C44

d) Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn









- 39 -



Nota 1




a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3

c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4

d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5

Nota 2














- 40 -





241 Exerciacutecios


a) (x + y)5 =

b) (2x - )5 =

c) (2x + 1)4 =

d) (x ndash 2y)5 =


b




para x = y = 1

Atenccedilatildeo




a) (2x + y)6 =

b) (3x - )10 =

c) (2x - 4)50 =



- 41 -

(x + y)n = (n0) xny0 + (n

1) xn-1y1 + (n2) xn-2y2 + + (x

n) x0yn com n IN

Tp+1 = (np) xn-p yp


(p = n2)


Exemplos


(3x + 2)4 = (40)(3x)420 + (4

1)(3x)321 + (42)(3x)222 + (4

3)(3x)123 + (44)(3x)024

(3x + 2)4 = 81x4 + 216x3 + 216x2 +96x + 16


(a - 2)4 = (40)(a)420 - (4

1)(a)321 + (42)(a)222 - (4

3)(a)123 + (44)(a)024

(a - 2)4 = a4 - 8a3 + 24a2 ndash 32a + 16



3)10-k(-2y)k = (10k)(-2)kx30 ndash 3kyk



251 Exerciacutecios







- 42 -


(x + y)5 = 1 x5 + 5 x4y + 10 x3y2 + 10 x2y3 + 5xy4 + 1 y5


a) 0 b) 1 c) -1 d) 331237 e) 1973747


a) +40 b) 42 c) -9 d) -42 e) -48






a) 232 b) 326 c) 924 d) 1012 e) 1214


a) 63 b) 263 c) 10 d) 3 e) 310


a) 60 b) 120 c) 240 d) 480 e) 960


valor de a eacute

a) -3 b) -2 c) -1 d) 2 e) 3


a) 16 b) 20 c) 24 d) 28 e) 32


a) -103 b) -53 c) -35 d) -310 e) -13


- 43 -

a) 20 b) 35 c) 48 d) 56 e) 70


a) -540x3 b) -3 240x3 c) 3 240x3 d) 540x3 e) 540x4


a) 0 b) 9 c) 18 d) 64 e) 256





a) (sen2)5 b) (1 + sen2)5 -1 c) -1 d) 0




a) 10 b) -10 c) 20 d) -20 e) 36


a) 56 b) 84 c) 168 d) 253 e) 1054

- 22 -



a1 a2 a3 a1 a2 a4 a1 a2 a5 a1 a3 a4

a1 a3 a5 a1 a4 a5

a2 a3 a4 a2 a3 a5 a2 a4 a5 a3 a4 a5










a1 a2 a3 a1 a3 a2 a2 a1 a3

a2 a3 a1 a3 a1 a2 a3 a2 a1



Logo Cnp = Anp P3

Resumindo



Cnp = n (n-1) (n-2) () (n ndash p+1) p


Cnp = n p(n-p)



- 23 -



















- 24 -







(22) = 4 22 = 6















- 25 -


C93 C62 C42 C21 1 = 9 322





(3 + 2 + 2 + 1 + 1 = 9)

Em siacutembolos

P932211 = 9 322


- 26 -


718844

a) 90 b) 720 c) 15 d) 30 e) 180


a) 480 b) 720 c) 1440 d) 1920 e) 5040


a) A73 b) C73 c) 7 d) 37 e) 7 3


a) 360 b) 180 c) 21600 d) 252 e) 210


a) x = -6 ou x = 7 b) x = -6 c) x = 21 d) x = 13 e) x = 7


x-5 eacute

a) 14 b) 12 c) 10 d) 8 e) 6


a) 360 b) 190 c) 180 d) 120 e) 18



a) 30 b) 24 c) 20 d) 18 e) 15


a) 360 b) 48 c) 30 d) 120 e) 15

- 27 -


a) 90 b) 35 c) 15 d) 30 e) 50


a) 60 b) 75 c) 80 d) 85 e) 90


a) 30240 b) 594 c) 462 d) 408 e) 372


a) 7 b) 36 c) 152 d) 1200 e) 28800


a) 10 b) 18 c) 20 d) 36 e) 60


a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14



a) 120 b) 220 c) 720 d) 980 e) 1320


a) 35 b) 45 c) 47 d) 53 e) 54


a) 3060 b) 24480 c) 37800 d) 51210 e) 53440

- 28 -


a) 720 b) 625 c) 480 d) 300 e) 255


a) 12 b) 34 c) 23 d) 67 e) 45



a) 62 b) 89 c) 26 d) 720 e) 36


a) 36 b) 48 c) 52 d) 54 e) 56



- 29 -




O quadrado da soma









a

a + b

a

b

b

a + b

a

a b

b a-b

a-b

S1 S2

S S2

- 30 -


1ordf maneira


2ordf maneira





(a - b)2 = a2 ndash 2ab + b2


Discutindo






- 31 -











1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 x 20 15 6 1

1 7 21 35 y 21 7 1



- 32 -




Blaise Pascal









- 33 -










- 34 -





- 35 -








3 4 rarr

3 5 rarr

3 6 rarr

3 7 rarr

4 5 rarr

4 6 rarr

4 7 rarr

5 6 rarr

5 7 rarr

6 7 rarr


Satildeo









Justificativa

- 36 -





Situaccedilatildeo


3 4 5 3 5 7 4 5 7

3 4 6 3 6 7 4 6 7

3 4 7 4 5 6 5 6 7

3 5 6

Discutindo








- 37 -

C00

C01 C11

C02 C12 C22

C03 C13 C23 C33

C04 C14 C24 + C34 C44

C05 C15 C25 C35 C45 C55

C06 C16 + C26 C36 C46 C56 C66

C07 C17 C27 C37 C47 C57 C67 C77




Em siacutembolos

Cn p + Cn p+1 = Cn+1 p+1


231 Exerciacutecios

- 38 -




4) Calcule

a) C20 + C21 + C22

b) C30 + C31 + C32 + C33

c) C40 + C41 + C42 + C43 + C44

d) Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn









- 39 -



Nota 1




a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3

c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4

d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5

Nota 2














- 40 -





241 Exerciacutecios


a) (x + y)5 =

b) (2x - )5 =

c) (2x + 1)4 =

d) (x ndash 2y)5 =


b




para x = y = 1

Atenccedilatildeo




a) (2x + y)6 =

b) (3x - )10 =

c) (2x - 4)50 =



- 41 -

(x + y)n = (n0) xny0 + (n

1) xn-1y1 + (n2) xn-2y2 + + (x

n) x0yn com n IN

Tp+1 = (np) xn-p yp


(p = n2)


Exemplos


(3x + 2)4 = (40)(3x)420 + (4

1)(3x)321 + (42)(3x)222 + (4

3)(3x)123 + (44)(3x)024

(3x + 2)4 = 81x4 + 216x3 + 216x2 +96x + 16


(a - 2)4 = (40)(a)420 - (4

1)(a)321 + (42)(a)222 - (4

3)(a)123 + (44)(a)024

(a - 2)4 = a4 - 8a3 + 24a2 ndash 32a + 16



3)10-k(-2y)k = (10k)(-2)kx30 ndash 3kyk



251 Exerciacutecios







- 42 -


(x + y)5 = 1 x5 + 5 x4y + 10 x3y2 + 10 x2y3 + 5xy4 + 1 y5


a) 0 b) 1 c) -1 d) 331237 e) 1973747


a) +40 b) 42 c) -9 d) -42 e) -48






a) 232 b) 326 c) 924 d) 1012 e) 1214


a) 63 b) 263 c) 10 d) 3 e) 310


a) 60 b) 120 c) 240 d) 480 e) 960


valor de a eacute

a) -3 b) -2 c) -1 d) 2 e) 3


a) 16 b) 20 c) 24 d) 28 e) 32


a) -103 b) -53 c) -35 d) -310 e) -13


- 43 -

a) 20 b) 35 c) 48 d) 56 e) 70


a) -540x3 b) -3 240x3 c) 3 240x3 d) 540x3 e) 540x4


a) 0 b) 9 c) 18 d) 64 e) 256





a) (sen2)5 b) (1 + sen2)5 -1 c) -1 d) 0




a) 10 b) -10 c) 20 d) -20 e) 36


a) 56 b) 84 c) 168 d) 253 e) 1054

- 23 -



















- 24 -







(22) = 4 22 = 6















- 25 -


C93 C62 C42 C21 1 = 9 322





(3 + 2 + 2 + 1 + 1 = 9)

Em siacutembolos

P932211 = 9 322


- 26 -


718844

a) 90 b) 720 c) 15 d) 30 e) 180


a) 480 b) 720 c) 1440 d) 1920 e) 5040


a) A73 b) C73 c) 7 d) 37 e) 7 3


a) 360 b) 180 c) 21600 d) 252 e) 210


a) x = -6 ou x = 7 b) x = -6 c) x = 21 d) x = 13 e) x = 7


x-5 eacute

a) 14 b) 12 c) 10 d) 8 e) 6


a) 360 b) 190 c) 180 d) 120 e) 18



a) 30 b) 24 c) 20 d) 18 e) 15


a) 360 b) 48 c) 30 d) 120 e) 15

- 27 -


a) 90 b) 35 c) 15 d) 30 e) 50


a) 60 b) 75 c) 80 d) 85 e) 90


a) 30240 b) 594 c) 462 d) 408 e) 372


a) 7 b) 36 c) 152 d) 1200 e) 28800


a) 10 b) 18 c) 20 d) 36 e) 60


a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14



a) 120 b) 220 c) 720 d) 980 e) 1320


a) 35 b) 45 c) 47 d) 53 e) 54


a) 3060 b) 24480 c) 37800 d) 51210 e) 53440

- 28 -


a) 720 b) 625 c) 480 d) 300 e) 255


a) 12 b) 34 c) 23 d) 67 e) 45



a) 62 b) 89 c) 26 d) 720 e) 36


a) 36 b) 48 c) 52 d) 54 e) 56



- 29 -




O quadrado da soma









a

a + b

a

b

b

a + b

a

a b

b a-b

a-b

S1 S2

S S2

- 30 -


1ordf maneira


2ordf maneira





(a - b)2 = a2 ndash 2ab + b2


Discutindo






- 31 -











1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 x 20 15 6 1

1 7 21 35 y 21 7 1



- 32 -




Blaise Pascal









- 33 -










- 34 -





- 35 -








3 4 rarr

3 5 rarr

3 6 rarr

3 7 rarr

4 5 rarr

4 6 rarr

4 7 rarr

5 6 rarr

5 7 rarr

6 7 rarr


Satildeo









Justificativa

- 36 -





Situaccedilatildeo


3 4 5 3 5 7 4 5 7

3 4 6 3 6 7 4 6 7

3 4 7 4 5 6 5 6 7

3 5 6

Discutindo








- 37 -

C00

C01 C11

C02 C12 C22

C03 C13 C23 C33

C04 C14 C24 + C34 C44

C05 C15 C25 C35 C45 C55

C06 C16 + C26 C36 C46 C56 C66

C07 C17 C27 C37 C47 C57 C67 C77




Em siacutembolos

Cn p + Cn p+1 = Cn+1 p+1


231 Exerciacutecios

- 38 -




4) Calcule

a) C20 + C21 + C22

b) C30 + C31 + C32 + C33

c) C40 + C41 + C42 + C43 + C44

d) Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn









- 39 -



Nota 1




a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3

c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4

d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5

Nota 2














- 40 -





241 Exerciacutecios


a) (x + y)5 =

b) (2x - )5 =

c) (2x + 1)4 =

d) (x ndash 2y)5 =


b




para x = y = 1

Atenccedilatildeo




a) (2x + y)6 =

b) (3x - )10 =

c) (2x - 4)50 =



- 41 -

(x + y)n = (n0) xny0 + (n

1) xn-1y1 + (n2) xn-2y2 + + (x

n) x0yn com n IN

Tp+1 = (np) xn-p yp


(p = n2)


Exemplos


(3x + 2)4 = (40)(3x)420 + (4

1)(3x)321 + (42)(3x)222 + (4

3)(3x)123 + (44)(3x)024

(3x + 2)4 = 81x4 + 216x3 + 216x2 +96x + 16


(a - 2)4 = (40)(a)420 - (4

1)(a)321 + (42)(a)222 - (4

3)(a)123 + (44)(a)024

(a - 2)4 = a4 - 8a3 + 24a2 ndash 32a + 16



3)10-k(-2y)k = (10k)(-2)kx30 ndash 3kyk



251 Exerciacutecios







- 42 -


(x + y)5 = 1 x5 + 5 x4y + 10 x3y2 + 10 x2y3 + 5xy4 + 1 y5


a) 0 b) 1 c) -1 d) 331237 e) 1973747


a) +40 b) 42 c) -9 d) -42 e) -48






a) 232 b) 326 c) 924 d) 1012 e) 1214


a) 63 b) 263 c) 10 d) 3 e) 310


a) 60 b) 120 c) 240 d) 480 e) 960


valor de a eacute

a) -3 b) -2 c) -1 d) 2 e) 3


a) 16 b) 20 c) 24 d) 28 e) 32


a) -103 b) -53 c) -35 d) -310 e) -13


- 43 -

a) 20 b) 35 c) 48 d) 56 e) 70


a) -540x3 b) -3 240x3 c) 3 240x3 d) 540x3 e) 540x4


a) 0 b) 9 c) 18 d) 64 e) 256





a) (sen2)5 b) (1 + sen2)5 -1 c) -1 d) 0




a) 10 b) -10 c) 20 d) -20 e) 36


a) 56 b) 84 c) 168 d) 253 e) 1054

- 24 -







(22) = 4 22 = 6















- 25 -


C93 C62 C42 C21 1 = 9 322





(3 + 2 + 2 + 1 + 1 = 9)

Em siacutembolos

P932211 = 9 322


- 26 -


718844

a) 90 b) 720 c) 15 d) 30 e) 180


a) 480 b) 720 c) 1440 d) 1920 e) 5040


a) A73 b) C73 c) 7 d) 37 e) 7 3


a) 360 b) 180 c) 21600 d) 252 e) 210


a) x = -6 ou x = 7 b) x = -6 c) x = 21 d) x = 13 e) x = 7


x-5 eacute

a) 14 b) 12 c) 10 d) 8 e) 6


a) 360 b) 190 c) 180 d) 120 e) 18



a) 30 b) 24 c) 20 d) 18 e) 15


a) 360 b) 48 c) 30 d) 120 e) 15

- 27 -


a) 90 b) 35 c) 15 d) 30 e) 50


a) 60 b) 75 c) 80 d) 85 e) 90


a) 30240 b) 594 c) 462 d) 408 e) 372


a) 7 b) 36 c) 152 d) 1200 e) 28800


a) 10 b) 18 c) 20 d) 36 e) 60


a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14



a) 120 b) 220 c) 720 d) 980 e) 1320


a) 35 b) 45 c) 47 d) 53 e) 54


a) 3060 b) 24480 c) 37800 d) 51210 e) 53440

- 28 -


a) 720 b) 625 c) 480 d) 300 e) 255


a) 12 b) 34 c) 23 d) 67 e) 45



a) 62 b) 89 c) 26 d) 720 e) 36


a) 36 b) 48 c) 52 d) 54 e) 56



- 29 -




O quadrado da soma









a

a + b

a

b

b

a + b

a

a b

b a-b

a-b

S1 S2

S S2

- 30 -


1ordf maneira


2ordf maneira





(a - b)2 = a2 ndash 2ab + b2


Discutindo






- 31 -











1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 x 20 15 6 1

1 7 21 35 y 21 7 1



- 32 -




Blaise Pascal









- 33 -










- 34 -





- 35 -








3 4 rarr

3 5 rarr

3 6 rarr

3 7 rarr

4 5 rarr

4 6 rarr

4 7 rarr

5 6 rarr

5 7 rarr

6 7 rarr


Satildeo









Justificativa

- 36 -





Situaccedilatildeo


3 4 5 3 5 7 4 5 7

3 4 6 3 6 7 4 6 7

3 4 7 4 5 6 5 6 7

3 5 6

Discutindo








- 37 -

C00

C01 C11

C02 C12 C22

C03 C13 C23 C33

C04 C14 C24 + C34 C44

C05 C15 C25 C35 C45 C55

C06 C16 + C26 C36 C46 C56 C66

C07 C17 C27 C37 C47 C57 C67 C77




Em siacutembolos

Cn p + Cn p+1 = Cn+1 p+1


231 Exerciacutecios

- 38 -




4) Calcule

a) C20 + C21 + C22

b) C30 + C31 + C32 + C33

c) C40 + C41 + C42 + C43 + C44

d) Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn









- 39 -



Nota 1




a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3

c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4

d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5

Nota 2














- 40 -





241 Exerciacutecios


a) (x + y)5 =

b) (2x - )5 =

c) (2x + 1)4 =

d) (x ndash 2y)5 =


b




para x = y = 1

Atenccedilatildeo




a) (2x + y)6 =

b) (3x - )10 =

c) (2x - 4)50 =



- 41 -

(x + y)n = (n0) xny0 + (n

1) xn-1y1 + (n2) xn-2y2 + + (x

n) x0yn com n IN

Tp+1 = (np) xn-p yp


(p = n2)


Exemplos


(3x + 2)4 = (40)(3x)420 + (4

1)(3x)321 + (42)(3x)222 + (4

3)(3x)123 + (44)(3x)024

(3x + 2)4 = 81x4 + 216x3 + 216x2 +96x + 16


(a - 2)4 = (40)(a)420 - (4

1)(a)321 + (42)(a)222 - (4

3)(a)123 + (44)(a)024

(a - 2)4 = a4 - 8a3 + 24a2 ndash 32a + 16



3)10-k(-2y)k = (10k)(-2)kx30 ndash 3kyk



251 Exerciacutecios







- 42 -


(x + y)5 = 1 x5 + 5 x4y + 10 x3y2 + 10 x2y3 + 5xy4 + 1 y5


a) 0 b) 1 c) -1 d) 331237 e) 1973747


a) +40 b) 42 c) -9 d) -42 e) -48






a) 232 b) 326 c) 924 d) 1012 e) 1214


a) 63 b) 263 c) 10 d) 3 e) 310


a) 60 b) 120 c) 240 d) 480 e) 960


valor de a eacute

a) -3 b) -2 c) -1 d) 2 e) 3


a) 16 b) 20 c) 24 d) 28 e) 32


a) -103 b) -53 c) -35 d) -310 e) -13


- 43 -

a) 20 b) 35 c) 48 d) 56 e) 70


a) -540x3 b) -3 240x3 c) 3 240x3 d) 540x3 e) 540x4


a) 0 b) 9 c) 18 d) 64 e) 256





a) (sen2)5 b) (1 + sen2)5 -1 c) -1 d) 0




a) 10 b) -10 c) 20 d) -20 e) 36


a) 56 b) 84 c) 168 d) 253 e) 1054

- 25 -


C93 C62 C42 C21 1 = 9 322





(3 + 2 + 2 + 1 + 1 = 9)

Em siacutembolos

P932211 = 9 322


- 26 -


718844

a) 90 b) 720 c) 15 d) 30 e) 180


a) 480 b) 720 c) 1440 d) 1920 e) 5040


a) A73 b) C73 c) 7 d) 37 e) 7 3


a) 360 b) 180 c) 21600 d) 252 e) 210


a) x = -6 ou x = 7 b) x = -6 c) x = 21 d) x = 13 e) x = 7


x-5 eacute

a) 14 b) 12 c) 10 d) 8 e) 6


a) 360 b) 190 c) 180 d) 120 e) 18



a) 30 b) 24 c) 20 d) 18 e) 15


a) 360 b) 48 c) 30 d) 120 e) 15

- 27 -


a) 90 b) 35 c) 15 d) 30 e) 50


a) 60 b) 75 c) 80 d) 85 e) 90


a) 30240 b) 594 c) 462 d) 408 e) 372


a) 7 b) 36 c) 152 d) 1200 e) 28800


a) 10 b) 18 c) 20 d) 36 e) 60


a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14



a) 120 b) 220 c) 720 d) 980 e) 1320


a) 35 b) 45 c) 47 d) 53 e) 54


a) 3060 b) 24480 c) 37800 d) 51210 e) 53440

- 28 -


a) 720 b) 625 c) 480 d) 300 e) 255


a) 12 b) 34 c) 23 d) 67 e) 45



a) 62 b) 89 c) 26 d) 720 e) 36


a) 36 b) 48 c) 52 d) 54 e) 56



- 29 -




O quadrado da soma









a

a + b

a

b

b

a + b

a

a b

b a-b

a-b

S1 S2

S S2

- 30 -


1ordf maneira


2ordf maneira





(a - b)2 = a2 ndash 2ab + b2


Discutindo






- 31 -











1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 x 20 15 6 1

1 7 21 35 y 21 7 1



- 32 -




Blaise Pascal









- 33 -










- 34 -





- 35 -








3 4 rarr

3 5 rarr

3 6 rarr

3 7 rarr

4 5 rarr

4 6 rarr

4 7 rarr

5 6 rarr

5 7 rarr

6 7 rarr


Satildeo









Justificativa

- 36 -





Situaccedilatildeo


3 4 5 3 5 7 4 5 7

3 4 6 3 6 7 4 6 7

3 4 7 4 5 6 5 6 7

3 5 6

Discutindo








- 37 -

C00

C01 C11

C02 C12 C22

C03 C13 C23 C33

C04 C14 C24 + C34 C44

C05 C15 C25 C35 C45 C55

C06 C16 + C26 C36 C46 C56 C66

C07 C17 C27 C37 C47 C57 C67 C77




Em siacutembolos

Cn p + Cn p+1 = Cn+1 p+1


231 Exerciacutecios

- 38 -




4) Calcule

a) C20 + C21 + C22

b) C30 + C31 + C32 + C33

c) C40 + C41 + C42 + C43 + C44

d) Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn









- 39 -



Nota 1




a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3

c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4

d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5

Nota 2














- 40 -





241 Exerciacutecios


a) (x + y)5 =

b) (2x - )5 =

c) (2x + 1)4 =

d) (x ndash 2y)5 =


b




para x = y = 1

Atenccedilatildeo




a) (2x + y)6 =

b) (3x - )10 =

c) (2x - 4)50 =



- 41 -

(x + y)n = (n0) xny0 + (n

1) xn-1y1 + (n2) xn-2y2 + + (x

n) x0yn com n IN

Tp+1 = (np) xn-p yp


(p = n2)


Exemplos


(3x + 2)4 = (40)(3x)420 + (4

1)(3x)321 + (42)(3x)222 + (4

3)(3x)123 + (44)(3x)024

(3x + 2)4 = 81x4 + 216x3 + 216x2 +96x + 16


(a - 2)4 = (40)(a)420 - (4

1)(a)321 + (42)(a)222 - (4

3)(a)123 + (44)(a)024

(a - 2)4 = a4 - 8a3 + 24a2 ndash 32a + 16



3)10-k(-2y)k = (10k)(-2)kx30 ndash 3kyk



251 Exerciacutecios







- 42 -


(x + y)5 = 1 x5 + 5 x4y + 10 x3y2 + 10 x2y3 + 5xy4 + 1 y5


a) 0 b) 1 c) -1 d) 331237 e) 1973747


a) +40 b) 42 c) -9 d) -42 e) -48






a) 232 b) 326 c) 924 d) 1012 e) 1214


a) 63 b) 263 c) 10 d) 3 e) 310


a) 60 b) 120 c) 240 d) 480 e) 960


valor de a eacute

a) -3 b) -2 c) -1 d) 2 e) 3


a) 16 b) 20 c) 24 d) 28 e) 32


a) -103 b) -53 c) -35 d) -310 e) -13


- 43 -

a) 20 b) 35 c) 48 d) 56 e) 70


a) -540x3 b) -3 240x3 c) 3 240x3 d) 540x3 e) 540x4


a) 0 b) 9 c) 18 d) 64 e) 256





a) (sen2)5 b) (1 + sen2)5 -1 c) -1 d) 0




a) 10 b) -10 c) 20 d) -20 e) 36


a) 56 b) 84 c) 168 d) 253 e) 1054

- 26 -


718844

a) 90 b) 720 c) 15 d) 30 e) 180


a) 480 b) 720 c) 1440 d) 1920 e) 5040


a) A73 b) C73 c) 7 d) 37 e) 7 3


a) 360 b) 180 c) 21600 d) 252 e) 210


a) x = -6 ou x = 7 b) x = -6 c) x = 21 d) x = 13 e) x = 7


x-5 eacute

a) 14 b) 12 c) 10 d) 8 e) 6


a) 360 b) 190 c) 180 d) 120 e) 18



a) 30 b) 24 c) 20 d) 18 e) 15


a) 360 b) 48 c) 30 d) 120 e) 15

- 27 -


a) 90 b) 35 c) 15 d) 30 e) 50


a) 60 b) 75 c) 80 d) 85 e) 90


a) 30240 b) 594 c) 462 d) 408 e) 372


a) 7 b) 36 c) 152 d) 1200 e) 28800


a) 10 b) 18 c) 20 d) 36 e) 60


a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14



a) 120 b) 220 c) 720 d) 980 e) 1320


a) 35 b) 45 c) 47 d) 53 e) 54


a) 3060 b) 24480 c) 37800 d) 51210 e) 53440

- 28 -


a) 720 b) 625 c) 480 d) 300 e) 255


a) 12 b) 34 c) 23 d) 67 e) 45



a) 62 b) 89 c) 26 d) 720 e) 36


a) 36 b) 48 c) 52 d) 54 e) 56



- 29 -




O quadrado da soma









a

a + b

a

b

b

a + b

a

a b

b a-b

a-b

S1 S2

S S2

- 30 -


1ordf maneira


2ordf maneira





(a - b)2 = a2 ndash 2ab + b2


Discutindo






- 31 -











1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 x 20 15 6 1

1 7 21 35 y 21 7 1



- 32 -




Blaise Pascal









- 33 -










- 34 -





- 35 -








3 4 rarr

3 5 rarr

3 6 rarr

3 7 rarr

4 5 rarr

4 6 rarr

4 7 rarr

5 6 rarr

5 7 rarr

6 7 rarr


Satildeo









Justificativa

- 36 -





Situaccedilatildeo


3 4 5 3 5 7 4 5 7

3 4 6 3 6 7 4 6 7

3 4 7 4 5 6 5 6 7

3 5 6

Discutindo








- 37 -

C00

C01 C11

C02 C12 C22

C03 C13 C23 C33

C04 C14 C24 + C34 C44

C05 C15 C25 C35 C45 C55

C06 C16 + C26 C36 C46 C56 C66

C07 C17 C27 C37 C47 C57 C67 C77




Em siacutembolos

Cn p + Cn p+1 = Cn+1 p+1


231 Exerciacutecios

- 38 -




4) Calcule

a) C20 + C21 + C22

b) C30 + C31 + C32 + C33

c) C40 + C41 + C42 + C43 + C44

d) Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn









- 39 -



Nota 1




a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3

c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4

d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5

Nota 2














- 40 -





241 Exerciacutecios


a) (x + y)5 =

b) (2x - )5 =

c) (2x + 1)4 =

d) (x ndash 2y)5 =


b




para x = y = 1

Atenccedilatildeo




a) (2x + y)6 =

b) (3x - )10 =

c) (2x - 4)50 =



- 41 -

(x + y)n = (n0) xny0 + (n

1) xn-1y1 + (n2) xn-2y2 + + (x

n) x0yn com n IN

Tp+1 = (np) xn-p yp


(p = n2)


Exemplos


(3x + 2)4 = (40)(3x)420 + (4

1)(3x)321 + (42)(3x)222 + (4

3)(3x)123 + (44)(3x)024

(3x + 2)4 = 81x4 + 216x3 + 216x2 +96x + 16


(a - 2)4 = (40)(a)420 - (4

1)(a)321 + (42)(a)222 - (4

3)(a)123 + (44)(a)024

(a - 2)4 = a4 - 8a3 + 24a2 ndash 32a + 16



3)10-k(-2y)k = (10k)(-2)kx30 ndash 3kyk



251 Exerciacutecios







- 42 -


(x + y)5 = 1 x5 + 5 x4y + 10 x3y2 + 10 x2y3 + 5xy4 + 1 y5


a) 0 b) 1 c) -1 d) 331237 e) 1973747


a) +40 b) 42 c) -9 d) -42 e) -48






a) 232 b) 326 c) 924 d) 1012 e) 1214


a) 63 b) 263 c) 10 d) 3 e) 310


a) 60 b) 120 c) 240 d) 480 e) 960


valor de a eacute

a) -3 b) -2 c) -1 d) 2 e) 3


a) 16 b) 20 c) 24 d) 28 e) 32


a) -103 b) -53 c) -35 d) -310 e) -13


- 43 -

a) 20 b) 35 c) 48 d) 56 e) 70


a) -540x3 b) -3 240x3 c) 3 240x3 d) 540x3 e) 540x4


a) 0 b) 9 c) 18 d) 64 e) 256





a) (sen2)5 b) (1 + sen2)5 -1 c) -1 d) 0




a) 10 b) -10 c) 20 d) -20 e) 36


a) 56 b) 84 c) 168 d) 253 e) 1054

- 27 -


a) 90 b) 35 c) 15 d) 30 e) 50


a) 60 b) 75 c) 80 d) 85 e) 90


a) 30240 b) 594 c) 462 d) 408 e) 372


a) 7 b) 36 c) 152 d) 1200 e) 28800


a) 10 b) 18 c) 20 d) 36 e) 60


a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14



a) 120 b) 220 c) 720 d) 980 e) 1320


a) 35 b) 45 c) 47 d) 53 e) 54


a) 3060 b) 24480 c) 37800 d) 51210 e) 53440

- 28 -


a) 720 b) 625 c) 480 d) 300 e) 255


a) 12 b) 34 c) 23 d) 67 e) 45



a) 62 b) 89 c) 26 d) 720 e) 36


a) 36 b) 48 c) 52 d) 54 e) 56



- 29 -




O quadrado da soma









a

a + b

a

b

b

a + b

a

a b

b a-b

a-b

S1 S2

S S2

- 30 -


1ordf maneira


2ordf maneira





(a - b)2 = a2 ndash 2ab + b2


Discutindo






- 31 -











1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 x 20 15 6 1

1 7 21 35 y 21 7 1



- 32 -




Blaise Pascal









- 33 -










- 34 -





- 35 -








3 4 rarr

3 5 rarr

3 6 rarr

3 7 rarr

4 5 rarr

4 6 rarr

4 7 rarr

5 6 rarr

5 7 rarr

6 7 rarr


Satildeo









Justificativa

- 36 -





Situaccedilatildeo


3 4 5 3 5 7 4 5 7

3 4 6 3 6 7 4 6 7

3 4 7 4 5 6 5 6 7

3 5 6

Discutindo








- 37 -

C00

C01 C11

C02 C12 C22

C03 C13 C23 C33

C04 C14 C24 + C34 C44

C05 C15 C25 C35 C45 C55

C06 C16 + C26 C36 C46 C56 C66

C07 C17 C27 C37 C47 C57 C67 C77




Em siacutembolos

Cn p + Cn p+1 = Cn+1 p+1


231 Exerciacutecios

- 38 -




4) Calcule

a) C20 + C21 + C22

b) C30 + C31 + C32 + C33

c) C40 + C41 + C42 + C43 + C44

d) Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn









- 39 -



Nota 1




a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3

c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4

d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5

Nota 2














- 40 -





241 Exerciacutecios


a) (x + y)5 =

b) (2x - )5 =

c) (2x + 1)4 =

d) (x ndash 2y)5 =


b




para x = y = 1

Atenccedilatildeo




a) (2x + y)6 =

b) (3x - )10 =

c) (2x - 4)50 =



- 41 -

(x + y)n = (n0) xny0 + (n

1) xn-1y1 + (n2) xn-2y2 + + (x

n) x0yn com n IN

Tp+1 = (np) xn-p yp


(p = n2)


Exemplos


(3x + 2)4 = (40)(3x)420 + (4

1)(3x)321 + (42)(3x)222 + (4

3)(3x)123 + (44)(3x)024

(3x + 2)4 = 81x4 + 216x3 + 216x2 +96x + 16


(a - 2)4 = (40)(a)420 - (4

1)(a)321 + (42)(a)222 - (4

3)(a)123 + (44)(a)024

(a - 2)4 = a4 - 8a3 + 24a2 ndash 32a + 16



3)10-k(-2y)k = (10k)(-2)kx30 ndash 3kyk



251 Exerciacutecios







- 42 -


(x + y)5 = 1 x5 + 5 x4y + 10 x3y2 + 10 x2y3 + 5xy4 + 1 y5


a) 0 b) 1 c) -1 d) 331237 e) 1973747


a) +40 b) 42 c) -9 d) -42 e) -48






a) 232 b) 326 c) 924 d) 1012 e) 1214


a) 63 b) 263 c) 10 d) 3 e) 310


a) 60 b) 120 c) 240 d) 480 e) 960


valor de a eacute

a) -3 b) -2 c) -1 d) 2 e) 3


a) 16 b) 20 c) 24 d) 28 e) 32


a) -103 b) -53 c) -35 d) -310 e) -13


- 43 -

a) 20 b) 35 c) 48 d) 56 e) 70


a) -540x3 b) -3 240x3 c) 3 240x3 d) 540x3 e) 540x4


a) 0 b) 9 c) 18 d) 64 e) 256





a) (sen2)5 b) (1 + sen2)5 -1 c) -1 d) 0




a) 10 b) -10 c) 20 d) -20 e) 36


a) 56 b) 84 c) 168 d) 253 e) 1054

- 28 -


a) 720 b) 625 c) 480 d) 300 e) 255


a) 12 b) 34 c) 23 d) 67 e) 45



a) 62 b) 89 c) 26 d) 720 e) 36


a) 36 b) 48 c) 52 d) 54 e) 56



- 29 -




O quadrado da soma









a

a + b

a

b

b

a + b

a

a b

b a-b

a-b

S1 S2

S S2

- 30 -


1ordf maneira


2ordf maneira





(a - b)2 = a2 ndash 2ab + b2


Discutindo






- 31 -











1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 x 20 15 6 1

1 7 21 35 y 21 7 1



- 32 -




Blaise Pascal









- 33 -










- 34 -





- 35 -








3 4 rarr

3 5 rarr

3 6 rarr

3 7 rarr

4 5 rarr

4 6 rarr

4 7 rarr

5 6 rarr

5 7 rarr

6 7 rarr


Satildeo









Justificativa

- 36 -





Situaccedilatildeo


3 4 5 3 5 7 4 5 7

3 4 6 3 6 7 4 6 7

3 4 7 4 5 6 5 6 7

3 5 6

Discutindo








- 37 -

C00

C01 C11

C02 C12 C22

C03 C13 C23 C33

C04 C14 C24 + C34 C44

C05 C15 C25 C35 C45 C55

C06 C16 + C26 C36 C46 C56 C66

C07 C17 C27 C37 C47 C57 C67 C77




Em siacutembolos

Cn p + Cn p+1 = Cn+1 p+1


231 Exerciacutecios

- 38 -




4) Calcule

a) C20 + C21 + C22

b) C30 + C31 + C32 + C33

c) C40 + C41 + C42 + C43 + C44

d) Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn









- 39 -



Nota 1




a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3

c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4

d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5

Nota 2














- 40 -





241 Exerciacutecios


a) (x + y)5 =

b) (2x - )5 =

c) (2x + 1)4 =

d) (x ndash 2y)5 =


b




para x = y = 1

Atenccedilatildeo




a) (2x + y)6 =

b) (3x - )10 =

c) (2x - 4)50 =



- 41 -

(x + y)n = (n0) xny0 + (n

1) xn-1y1 + (n2) xn-2y2 + + (x

n) x0yn com n IN

Tp+1 = (np) xn-p yp


(p = n2)


Exemplos


(3x + 2)4 = (40)(3x)420 + (4

1)(3x)321 + (42)(3x)222 + (4

3)(3x)123 + (44)(3x)024

(3x + 2)4 = 81x4 + 216x3 + 216x2 +96x + 16


(a - 2)4 = (40)(a)420 - (4

1)(a)321 + (42)(a)222 - (4

3)(a)123 + (44)(a)024

(a - 2)4 = a4 - 8a3 + 24a2 ndash 32a + 16



3)10-k(-2y)k = (10k)(-2)kx30 ndash 3kyk



251 Exerciacutecios







- 42 -


(x + y)5 = 1 x5 + 5 x4y + 10 x3y2 + 10 x2y3 + 5xy4 + 1 y5


a) 0 b) 1 c) -1 d) 331237 e) 1973747


a) +40 b) 42 c) -9 d) -42 e) -48






a) 232 b) 326 c) 924 d) 1012 e) 1214


a) 63 b) 263 c) 10 d) 3 e) 310


a) 60 b) 120 c) 240 d) 480 e) 960


valor de a eacute

a) -3 b) -2 c) -1 d) 2 e) 3


a) 16 b) 20 c) 24 d) 28 e) 32


a) -103 b) -53 c) -35 d) -310 e) -13


- 43 -

a) 20 b) 35 c) 48 d) 56 e) 70


a) -540x3 b) -3 240x3 c) 3 240x3 d) 540x3 e) 540x4


a) 0 b) 9 c) 18 d) 64 e) 256





a) (sen2)5 b) (1 + sen2)5 -1 c) -1 d) 0




a) 10 b) -10 c) 20 d) -20 e) 36


a) 56 b) 84 c) 168 d) 253 e) 1054

- 29 -




O quadrado da soma









a

a + b

a

b

b

a + b

a

a b

b a-b

a-b

S1 S2

S S2

- 30 -


1ordf maneira


2ordf maneira





(a - b)2 = a2 ndash 2ab + b2


Discutindo






- 31 -











1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 x 20 15 6 1

1 7 21 35 y 21 7 1



- 32 -




Blaise Pascal









- 33 -










- 34 -





- 35 -








3 4 rarr

3 5 rarr

3 6 rarr

3 7 rarr

4 5 rarr

4 6 rarr

4 7 rarr

5 6 rarr

5 7 rarr

6 7 rarr


Satildeo









Justificativa

- 36 -





Situaccedilatildeo


3 4 5 3 5 7 4 5 7

3 4 6 3 6 7 4 6 7

3 4 7 4 5 6 5 6 7

3 5 6

Discutindo








- 37 -

C00

C01 C11

C02 C12 C22

C03 C13 C23 C33

C04 C14 C24 + C34 C44

C05 C15 C25 C35 C45 C55

C06 C16 + C26 C36 C46 C56 C66

C07 C17 C27 C37 C47 C57 C67 C77




Em siacutembolos

Cn p + Cn p+1 = Cn+1 p+1


231 Exerciacutecios

- 38 -




4) Calcule

a) C20 + C21 + C22

b) C30 + C31 + C32 + C33

c) C40 + C41 + C42 + C43 + C44

d) Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn









- 39 -



Nota 1




a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3

c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4

d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5

Nota 2














- 40 -





241 Exerciacutecios


a) (x + y)5 =

b) (2x - )5 =

c) (2x + 1)4 =

d) (x ndash 2y)5 =


b




para x = y = 1

Atenccedilatildeo




a) (2x + y)6 =

b) (3x - )10 =

c) (2x - 4)50 =



- 41 -

(x + y)n = (n0) xny0 + (n

1) xn-1y1 + (n2) xn-2y2 + + (x

n) x0yn com n IN

Tp+1 = (np) xn-p yp


(p = n2)


Exemplos


(3x + 2)4 = (40)(3x)420 + (4

1)(3x)321 + (42)(3x)222 + (4

3)(3x)123 + (44)(3x)024

(3x + 2)4 = 81x4 + 216x3 + 216x2 +96x + 16


(a - 2)4 = (40)(a)420 - (4

1)(a)321 + (42)(a)222 - (4

3)(a)123 + (44)(a)024

(a - 2)4 = a4 - 8a3 + 24a2 ndash 32a + 16



3)10-k(-2y)k = (10k)(-2)kx30 ndash 3kyk



251 Exerciacutecios







- 42 -


(x + y)5 = 1 x5 + 5 x4y + 10 x3y2 + 10 x2y3 + 5xy4 + 1 y5


a) 0 b) 1 c) -1 d) 331237 e) 1973747


a) +40 b) 42 c) -9 d) -42 e) -48






a) 232 b) 326 c) 924 d) 1012 e) 1214


a) 63 b) 263 c) 10 d) 3 e) 310


a) 60 b) 120 c) 240 d) 480 e) 960


valor de a eacute

a) -3 b) -2 c) -1 d) 2 e) 3


a) 16 b) 20 c) 24 d) 28 e) 32


a) -103 b) -53 c) -35 d) -310 e) -13


- 43 -

a) 20 b) 35 c) 48 d) 56 e) 70


a) -540x3 b) -3 240x3 c) 3 240x3 d) 540x3 e) 540x4


a) 0 b) 9 c) 18 d) 64 e) 256





a) (sen2)5 b) (1 + sen2)5 -1 c) -1 d) 0




a) 10 b) -10 c) 20 d) -20 e) 36


a) 56 b) 84 c) 168 d) 253 e) 1054

- 30 -


1ordf maneira


2ordf maneira





(a - b)2 = a2 ndash 2ab + b2


Discutindo






- 31 -











1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 x 20 15 6 1

1 7 21 35 y 21 7 1



- 32 -




Blaise Pascal









- 33 -










- 34 -





- 35 -








3 4 rarr

3 5 rarr

3 6 rarr

3 7 rarr

4 5 rarr

4 6 rarr

4 7 rarr

5 6 rarr

5 7 rarr

6 7 rarr


Satildeo









Justificativa

- 36 -





Situaccedilatildeo


3 4 5 3 5 7 4 5 7

3 4 6 3 6 7 4 6 7

3 4 7 4 5 6 5 6 7

3 5 6

Discutindo








- 37 -

C00

C01 C11

C02 C12 C22

C03 C13 C23 C33

C04 C14 C24 + C34 C44

C05 C15 C25 C35 C45 C55

C06 C16 + C26 C36 C46 C56 C66

C07 C17 C27 C37 C47 C57 C67 C77




Em siacutembolos

Cn p + Cn p+1 = Cn+1 p+1


231 Exerciacutecios

- 38 -




4) Calcule

a) C20 + C21 + C22

b) C30 + C31 + C32 + C33

c) C40 + C41 + C42 + C43 + C44

d) Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn









- 39 -



Nota 1




a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3

c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4

d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5

Nota 2














- 40 -





241 Exerciacutecios


a) (x + y)5 =

b) (2x - )5 =

c) (2x + 1)4 =

d) (x ndash 2y)5 =


b




para x = y = 1

Atenccedilatildeo




a) (2x + y)6 =

b) (3x - )10 =

c) (2x - 4)50 =



- 41 -

(x + y)n = (n0) xny0 + (n

1) xn-1y1 + (n2) xn-2y2 + + (x

n) x0yn com n IN

Tp+1 = (np) xn-p yp


(p = n2)


Exemplos


(3x + 2)4 = (40)(3x)420 + (4

1)(3x)321 + (42)(3x)222 + (4

3)(3x)123 + (44)(3x)024

(3x + 2)4 = 81x4 + 216x3 + 216x2 +96x + 16


(a - 2)4 = (40)(a)420 - (4

1)(a)321 + (42)(a)222 - (4

3)(a)123 + (44)(a)024

(a - 2)4 = a4 - 8a3 + 24a2 ndash 32a + 16



3)10-k(-2y)k = (10k)(-2)kx30 ndash 3kyk



251 Exerciacutecios







- 42 -


(x + y)5 = 1 x5 + 5 x4y + 10 x3y2 + 10 x2y3 + 5xy4 + 1 y5


a) 0 b) 1 c) -1 d) 331237 e) 1973747


a) +40 b) 42 c) -9 d) -42 e) -48






a) 232 b) 326 c) 924 d) 1012 e) 1214


a) 63 b) 263 c) 10 d) 3 e) 310


a) 60 b) 120 c) 240 d) 480 e) 960


valor de a eacute

a) -3 b) -2 c) -1 d) 2 e) 3


a) 16 b) 20 c) 24 d) 28 e) 32


a) -103 b) -53 c) -35 d) -310 e) -13


- 43 -

a) 20 b) 35 c) 48 d) 56 e) 70


a) -540x3 b) -3 240x3 c) 3 240x3 d) 540x3 e) 540x4


a) 0 b) 9 c) 18 d) 64 e) 256





a) (sen2)5 b) (1 + sen2)5 -1 c) -1 d) 0




a) 10 b) -10 c) 20 d) -20 e) 36


a) 56 b) 84 c) 168 d) 253 e) 1054

- 31 -











1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 x 20 15 6 1

1 7 21 35 y 21 7 1



- 32 -




Blaise Pascal









- 33 -










- 34 -





- 35 -








3 4 rarr

3 5 rarr

3 6 rarr

3 7 rarr

4 5 rarr

4 6 rarr

4 7 rarr

5 6 rarr

5 7 rarr

6 7 rarr


Satildeo









Justificativa

- 36 -





Situaccedilatildeo


3 4 5 3 5 7 4 5 7

3 4 6 3 6 7 4 6 7

3 4 7 4 5 6 5 6 7

3 5 6

Discutindo








- 37 -

C00

C01 C11

C02 C12 C22

C03 C13 C23 C33

C04 C14 C24 + C34 C44

C05 C15 C25 C35 C45 C55

C06 C16 + C26 C36 C46 C56 C66

C07 C17 C27 C37 C47 C57 C67 C77




Em siacutembolos

Cn p + Cn p+1 = Cn+1 p+1


231 Exerciacutecios

- 38 -




4) Calcule

a) C20 + C21 + C22

b) C30 + C31 + C32 + C33

c) C40 + C41 + C42 + C43 + C44

d) Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn









- 39 -



Nota 1




a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3

c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4

d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5

Nota 2














- 40 -





241 Exerciacutecios


a) (x + y)5 =

b) (2x - )5 =

c) (2x + 1)4 =

d) (x ndash 2y)5 =


b




para x = y = 1

Atenccedilatildeo




a) (2x + y)6 =

b) (3x - )10 =

c) (2x - 4)50 =



- 41 -

(x + y)n = (n0) xny0 + (n

1) xn-1y1 + (n2) xn-2y2 + + (x

n) x0yn com n IN

Tp+1 = (np) xn-p yp


(p = n2)


Exemplos


(3x + 2)4 = (40)(3x)420 + (4

1)(3x)321 + (42)(3x)222 + (4

3)(3x)123 + (44)(3x)024

(3x + 2)4 = 81x4 + 216x3 + 216x2 +96x + 16


(a - 2)4 = (40)(a)420 - (4

1)(a)321 + (42)(a)222 - (4

3)(a)123 + (44)(a)024

(a - 2)4 = a4 - 8a3 + 24a2 ndash 32a + 16



3)10-k(-2y)k = (10k)(-2)kx30 ndash 3kyk



251 Exerciacutecios







- 42 -


(x + y)5 = 1 x5 + 5 x4y + 10 x3y2 + 10 x2y3 + 5xy4 + 1 y5


a) 0 b) 1 c) -1 d) 331237 e) 1973747


a) +40 b) 42 c) -9 d) -42 e) -48






a) 232 b) 326 c) 924 d) 1012 e) 1214


a) 63 b) 263 c) 10 d) 3 e) 310


a) 60 b) 120 c) 240 d) 480 e) 960


valor de a eacute

a) -3 b) -2 c) -1 d) 2 e) 3


a) 16 b) 20 c) 24 d) 28 e) 32


a) -103 b) -53 c) -35 d) -310 e) -13


- 43 -

a) 20 b) 35 c) 48 d) 56 e) 70


a) -540x3 b) -3 240x3 c) 3 240x3 d) 540x3 e) 540x4


a) 0 b) 9 c) 18 d) 64 e) 256





a) (sen2)5 b) (1 + sen2)5 -1 c) -1 d) 0




a) 10 b) -10 c) 20 d) -20 e) 36


a) 56 b) 84 c) 168 d) 253 e) 1054

- 32 -




Blaise Pascal









- 33 -










- 34 -





- 35 -








3 4 rarr

3 5 rarr

3 6 rarr

3 7 rarr

4 5 rarr

4 6 rarr

4 7 rarr

5 6 rarr

5 7 rarr

6 7 rarr


Satildeo









Justificativa

- 36 -





Situaccedilatildeo


3 4 5 3 5 7 4 5 7

3 4 6 3 6 7 4 6 7

3 4 7 4 5 6 5 6 7

3 5 6

Discutindo








- 37 -

C00

C01 C11

C02 C12 C22

C03 C13 C23 C33

C04 C14 C24 + C34 C44

C05 C15 C25 C35 C45 C55

C06 C16 + C26 C36 C46 C56 C66

C07 C17 C27 C37 C47 C57 C67 C77




Em siacutembolos

Cn p + Cn p+1 = Cn+1 p+1


231 Exerciacutecios

- 38 -




4) Calcule

a) C20 + C21 + C22

b) C30 + C31 + C32 + C33

c) C40 + C41 + C42 + C43 + C44

d) Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn









- 39 -



Nota 1




a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3

c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4

d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5

Nota 2














- 40 -





241 Exerciacutecios


a) (x + y)5 =

b) (2x - )5 =

c) (2x + 1)4 =

d) (x ndash 2y)5 =


b




para x = y = 1

Atenccedilatildeo




a) (2x + y)6 =

b) (3x - )10 =

c) (2x - 4)50 =



- 41 -

(x + y)n = (n0) xny0 + (n

1) xn-1y1 + (n2) xn-2y2 + + (x

n) x0yn com n IN

Tp+1 = (np) xn-p yp


(p = n2)


Exemplos


(3x + 2)4 = (40)(3x)420 + (4

1)(3x)321 + (42)(3x)222 + (4

3)(3x)123 + (44)(3x)024

(3x + 2)4 = 81x4 + 216x3 + 216x2 +96x + 16


(a - 2)4 = (40)(a)420 - (4

1)(a)321 + (42)(a)222 - (4

3)(a)123 + (44)(a)024

(a - 2)4 = a4 - 8a3 + 24a2 ndash 32a + 16



3)10-k(-2y)k = (10k)(-2)kx30 ndash 3kyk



251 Exerciacutecios







- 42 -


(x + y)5 = 1 x5 + 5 x4y + 10 x3y2 + 10 x2y3 + 5xy4 + 1 y5


a) 0 b) 1 c) -1 d) 331237 e) 1973747


a) +40 b) 42 c) -9 d) -42 e) -48






a) 232 b) 326 c) 924 d) 1012 e) 1214


a) 63 b) 263 c) 10 d) 3 e) 310


a) 60 b) 120 c) 240 d) 480 e) 960


valor de a eacute

a) -3 b) -2 c) -1 d) 2 e) 3


a) 16 b) 20 c) 24 d) 28 e) 32


a) -103 b) -53 c) -35 d) -310 e) -13


- 43 -

a) 20 b) 35 c) 48 d) 56 e) 70


a) -540x3 b) -3 240x3 c) 3 240x3 d) 540x3 e) 540x4


a) 0 b) 9 c) 18 d) 64 e) 256





a) (sen2)5 b) (1 + sen2)5 -1 c) -1 d) 0




a) 10 b) -10 c) 20 d) -20 e) 36


a) 56 b) 84 c) 168 d) 253 e) 1054

- 33 -










- 34 -





- 35 -








3 4 rarr

3 5 rarr

3 6 rarr

3 7 rarr

4 5 rarr

4 6 rarr

4 7 rarr

5 6 rarr

5 7 rarr

6 7 rarr


Satildeo









Justificativa

- 36 -





Situaccedilatildeo


3 4 5 3 5 7 4 5 7

3 4 6 3 6 7 4 6 7

3 4 7 4 5 6 5 6 7

3 5 6

Discutindo








- 37 -

C00

C01 C11

C02 C12 C22

C03 C13 C23 C33

C04 C14 C24 + C34 C44

C05 C15 C25 C35 C45 C55

C06 C16 + C26 C36 C46 C56 C66

C07 C17 C27 C37 C47 C57 C67 C77




Em siacutembolos

Cn p + Cn p+1 = Cn+1 p+1


231 Exerciacutecios

- 38 -




4) Calcule

a) C20 + C21 + C22

b) C30 + C31 + C32 + C33

c) C40 + C41 + C42 + C43 + C44

d) Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn









- 39 -



Nota 1




a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3

c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4

d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5

Nota 2














- 40 -





241 Exerciacutecios


a) (x + y)5 =

b) (2x - )5 =

c) (2x + 1)4 =

d) (x ndash 2y)5 =


b




para x = y = 1

Atenccedilatildeo




a) (2x + y)6 =

b) (3x - )10 =

c) (2x - 4)50 =



- 41 -

(x + y)n = (n0) xny0 + (n

1) xn-1y1 + (n2) xn-2y2 + + (x

n) x0yn com n IN

Tp+1 = (np) xn-p yp


(p = n2)


Exemplos


(3x + 2)4 = (40)(3x)420 + (4

1)(3x)321 + (42)(3x)222 + (4

3)(3x)123 + (44)(3x)024

(3x + 2)4 = 81x4 + 216x3 + 216x2 +96x + 16


(a - 2)4 = (40)(a)420 - (4

1)(a)321 + (42)(a)222 - (4

3)(a)123 + (44)(a)024

(a - 2)4 = a4 - 8a3 + 24a2 ndash 32a + 16



3)10-k(-2y)k = (10k)(-2)kx30 ndash 3kyk



251 Exerciacutecios







- 42 -


(x + y)5 = 1 x5 + 5 x4y + 10 x3y2 + 10 x2y3 + 5xy4 + 1 y5


a) 0 b) 1 c) -1 d) 331237 e) 1973747


a) +40 b) 42 c) -9 d) -42 e) -48






a) 232 b) 326 c) 924 d) 1012 e) 1214


a) 63 b) 263 c) 10 d) 3 e) 310


a) 60 b) 120 c) 240 d) 480 e) 960


valor de a eacute

a) -3 b) -2 c) -1 d) 2 e) 3


a) 16 b) 20 c) 24 d) 28 e) 32


a) -103 b) -53 c) -35 d) -310 e) -13


- 43 -

a) 20 b) 35 c) 48 d) 56 e) 70


a) -540x3 b) -3 240x3 c) 3 240x3 d) 540x3 e) 540x4


a) 0 b) 9 c) 18 d) 64 e) 256





a) (sen2)5 b) (1 + sen2)5 -1 c) -1 d) 0




a) 10 b) -10 c) 20 d) -20 e) 36


a) 56 b) 84 c) 168 d) 253 e) 1054

- 34 -





- 35 -








3 4 rarr

3 5 rarr

3 6 rarr

3 7 rarr

4 5 rarr

4 6 rarr

4 7 rarr

5 6 rarr

5 7 rarr

6 7 rarr


Satildeo









Justificativa

- 36 -





Situaccedilatildeo


3 4 5 3 5 7 4 5 7

3 4 6 3 6 7 4 6 7

3 4 7 4 5 6 5 6 7

3 5 6

Discutindo








- 37 -

C00

C01 C11

C02 C12 C22

C03 C13 C23 C33

C04 C14 C24 + C34 C44

C05 C15 C25 C35 C45 C55

C06 C16 + C26 C36 C46 C56 C66

C07 C17 C27 C37 C47 C57 C67 C77




Em siacutembolos

Cn p + Cn p+1 = Cn+1 p+1


231 Exerciacutecios

- 38 -




4) Calcule

a) C20 + C21 + C22

b) C30 + C31 + C32 + C33

c) C40 + C41 + C42 + C43 + C44

d) Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn









- 39 -



Nota 1




a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3

c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4

d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5

Nota 2














- 40 -





241 Exerciacutecios


a) (x + y)5 =

b) (2x - )5 =

c) (2x + 1)4 =

d) (x ndash 2y)5 =


b




para x = y = 1

Atenccedilatildeo




a) (2x + y)6 =

b) (3x - )10 =

c) (2x - 4)50 =



- 41 -

(x + y)n = (n0) xny0 + (n

1) xn-1y1 + (n2) xn-2y2 + + (x

n) x0yn com n IN

Tp+1 = (np) xn-p yp


(p = n2)


Exemplos


(3x + 2)4 = (40)(3x)420 + (4

1)(3x)321 + (42)(3x)222 + (4

3)(3x)123 + (44)(3x)024

(3x + 2)4 = 81x4 + 216x3 + 216x2 +96x + 16


(a - 2)4 = (40)(a)420 - (4

1)(a)321 + (42)(a)222 - (4

3)(a)123 + (44)(a)024

(a - 2)4 = a4 - 8a3 + 24a2 ndash 32a + 16



3)10-k(-2y)k = (10k)(-2)kx30 ndash 3kyk



251 Exerciacutecios







- 42 -


(x + y)5 = 1 x5 + 5 x4y + 10 x3y2 + 10 x2y3 + 5xy4 + 1 y5


a) 0 b) 1 c) -1 d) 331237 e) 1973747


a) +40 b) 42 c) -9 d) -42 e) -48






a) 232 b) 326 c) 924 d) 1012 e) 1214


a) 63 b) 263 c) 10 d) 3 e) 310


a) 60 b) 120 c) 240 d) 480 e) 960


valor de a eacute

a) -3 b) -2 c) -1 d) 2 e) 3


a) 16 b) 20 c) 24 d) 28 e) 32


a) -103 b) -53 c) -35 d) -310 e) -13


- 43 -

a) 20 b) 35 c) 48 d) 56 e) 70


a) -540x3 b) -3 240x3 c) 3 240x3 d) 540x3 e) 540x4


a) 0 b) 9 c) 18 d) 64 e) 256





a) (sen2)5 b) (1 + sen2)5 -1 c) -1 d) 0




a) 10 b) -10 c) 20 d) -20 e) 36


a) 56 b) 84 c) 168 d) 253 e) 1054

- 35 -








3 4 rarr

3 5 rarr

3 6 rarr

3 7 rarr

4 5 rarr

4 6 rarr

4 7 rarr

5 6 rarr

5 7 rarr

6 7 rarr


Satildeo









Justificativa

- 36 -





Situaccedilatildeo


3 4 5 3 5 7 4 5 7

3 4 6 3 6 7 4 6 7

3 4 7 4 5 6 5 6 7

3 5 6

Discutindo








- 37 -

C00

C01 C11

C02 C12 C22

C03 C13 C23 C33

C04 C14 C24 + C34 C44

C05 C15 C25 C35 C45 C55

C06 C16 + C26 C36 C46 C56 C66

C07 C17 C27 C37 C47 C57 C67 C77




Em siacutembolos

Cn p + Cn p+1 = Cn+1 p+1


231 Exerciacutecios

- 38 -




4) Calcule

a) C20 + C21 + C22

b) C30 + C31 + C32 + C33

c) C40 + C41 + C42 + C43 + C44

d) Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn









- 39 -



Nota 1




a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3

c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4

d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5

Nota 2














- 40 -





241 Exerciacutecios


a) (x + y)5 =

b) (2x - )5 =

c) (2x + 1)4 =

d) (x ndash 2y)5 =


b




para x = y = 1

Atenccedilatildeo




a) (2x + y)6 =

b) (3x - )10 =

c) (2x - 4)50 =



- 41 -

(x + y)n = (n0) xny0 + (n

1) xn-1y1 + (n2) xn-2y2 + + (x

n) x0yn com n IN

Tp+1 = (np) xn-p yp


(p = n2)


Exemplos


(3x + 2)4 = (40)(3x)420 + (4

1)(3x)321 + (42)(3x)222 + (4

3)(3x)123 + (44)(3x)024

(3x + 2)4 = 81x4 + 216x3 + 216x2 +96x + 16


(a - 2)4 = (40)(a)420 - (4

1)(a)321 + (42)(a)222 - (4

3)(a)123 + (44)(a)024

(a - 2)4 = a4 - 8a3 + 24a2 ndash 32a + 16



3)10-k(-2y)k = (10k)(-2)kx30 ndash 3kyk



251 Exerciacutecios







- 42 -


(x + y)5 = 1 x5 + 5 x4y + 10 x3y2 + 10 x2y3 + 5xy4 + 1 y5


a) 0 b) 1 c) -1 d) 331237 e) 1973747


a) +40 b) 42 c) -9 d) -42 e) -48






a) 232 b) 326 c) 924 d) 1012 e) 1214


a) 63 b) 263 c) 10 d) 3 e) 310


a) 60 b) 120 c) 240 d) 480 e) 960


valor de a eacute

a) -3 b) -2 c) -1 d) 2 e) 3


a) 16 b) 20 c) 24 d) 28 e) 32


a) -103 b) -53 c) -35 d) -310 e) -13


- 43 -

a) 20 b) 35 c) 48 d) 56 e) 70


a) -540x3 b) -3 240x3 c) 3 240x3 d) 540x3 e) 540x4


a) 0 b) 9 c) 18 d) 64 e) 256





a) (sen2)5 b) (1 + sen2)5 -1 c) -1 d) 0




a) 10 b) -10 c) 20 d) -20 e) 36


a) 56 b) 84 c) 168 d) 253 e) 1054

- 36 -





Situaccedilatildeo


3 4 5 3 5 7 4 5 7

3 4 6 3 6 7 4 6 7

3 4 7 4 5 6 5 6 7

3 5 6

Discutindo








- 37 -

C00

C01 C11

C02 C12 C22

C03 C13 C23 C33

C04 C14 C24 + C34 C44

C05 C15 C25 C35 C45 C55

C06 C16 + C26 C36 C46 C56 C66

C07 C17 C27 C37 C47 C57 C67 C77




Em siacutembolos

Cn p + Cn p+1 = Cn+1 p+1


231 Exerciacutecios

- 38 -




4) Calcule

a) C20 + C21 + C22

b) C30 + C31 + C32 + C33

c) C40 + C41 + C42 + C43 + C44

d) Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn









- 39 -



Nota 1




a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3

c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4

d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5

Nota 2














- 40 -





241 Exerciacutecios


a) (x + y)5 =

b) (2x - )5 =

c) (2x + 1)4 =

d) (x ndash 2y)5 =


b




para x = y = 1

Atenccedilatildeo




a) (2x + y)6 =

b) (3x - )10 =

c) (2x - 4)50 =



- 41 -

(x + y)n = (n0) xny0 + (n

1) xn-1y1 + (n2) xn-2y2 + + (x

n) x0yn com n IN

Tp+1 = (np) xn-p yp


(p = n2)


Exemplos


(3x + 2)4 = (40)(3x)420 + (4

1)(3x)321 + (42)(3x)222 + (4

3)(3x)123 + (44)(3x)024

(3x + 2)4 = 81x4 + 216x3 + 216x2 +96x + 16


(a - 2)4 = (40)(a)420 - (4

1)(a)321 + (42)(a)222 - (4

3)(a)123 + (44)(a)024

(a - 2)4 = a4 - 8a3 + 24a2 ndash 32a + 16



3)10-k(-2y)k = (10k)(-2)kx30 ndash 3kyk



251 Exerciacutecios







- 42 -


(x + y)5 = 1 x5 + 5 x4y + 10 x3y2 + 10 x2y3 + 5xy4 + 1 y5


a) 0 b) 1 c) -1 d) 331237 e) 1973747


a) +40 b) 42 c) -9 d) -42 e) -48






a) 232 b) 326 c) 924 d) 1012 e) 1214


a) 63 b) 263 c) 10 d) 3 e) 310


a) 60 b) 120 c) 240 d) 480 e) 960


valor de a eacute

a) -3 b) -2 c) -1 d) 2 e) 3


a) 16 b) 20 c) 24 d) 28 e) 32


a) -103 b) -53 c) -35 d) -310 e) -13


- 43 -

a) 20 b) 35 c) 48 d) 56 e) 70


a) -540x3 b) -3 240x3 c) 3 240x3 d) 540x3 e) 540x4


a) 0 b) 9 c) 18 d) 64 e) 256





a) (sen2)5 b) (1 + sen2)5 -1 c) -1 d) 0




a) 10 b) -10 c) 20 d) -20 e) 36


a) 56 b) 84 c) 168 d) 253 e) 1054

- 37 -

C00

C01 C11

C02 C12 C22

C03 C13 C23 C33

C04 C14 C24 + C34 C44

C05 C15 C25 C35 C45 C55

C06 C16 + C26 C36 C46 C56 C66

C07 C17 C27 C37 C47 C57 C67 C77




Em siacutembolos

Cn p + Cn p+1 = Cn+1 p+1


231 Exerciacutecios

- 38 -




4) Calcule

a) C20 + C21 + C22

b) C30 + C31 + C32 + C33

c) C40 + C41 + C42 + C43 + C44

d) Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn









- 39 -



Nota 1




a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3

c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4

d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5

Nota 2














- 40 -





241 Exerciacutecios


a) (x + y)5 =

b) (2x - )5 =

c) (2x + 1)4 =

d) (x ndash 2y)5 =


b




para x = y = 1

Atenccedilatildeo




a) (2x + y)6 =

b) (3x - )10 =

c) (2x - 4)50 =



- 41 -

(x + y)n = (n0) xny0 + (n

1) xn-1y1 + (n2) xn-2y2 + + (x

n) x0yn com n IN

Tp+1 = (np) xn-p yp


(p = n2)


Exemplos


(3x + 2)4 = (40)(3x)420 + (4

1)(3x)321 + (42)(3x)222 + (4

3)(3x)123 + (44)(3x)024

(3x + 2)4 = 81x4 + 216x3 + 216x2 +96x + 16


(a - 2)4 = (40)(a)420 - (4

1)(a)321 + (42)(a)222 - (4

3)(a)123 + (44)(a)024

(a - 2)4 = a4 - 8a3 + 24a2 ndash 32a + 16



3)10-k(-2y)k = (10k)(-2)kx30 ndash 3kyk



251 Exerciacutecios







- 42 -


(x + y)5 = 1 x5 + 5 x4y + 10 x3y2 + 10 x2y3 + 5xy4 + 1 y5


a) 0 b) 1 c) -1 d) 331237 e) 1973747


a) +40 b) 42 c) -9 d) -42 e) -48






a) 232 b) 326 c) 924 d) 1012 e) 1214


a) 63 b) 263 c) 10 d) 3 e) 310


a) 60 b) 120 c) 240 d) 480 e) 960


valor de a eacute

a) -3 b) -2 c) -1 d) 2 e) 3


a) 16 b) 20 c) 24 d) 28 e) 32


a) -103 b) -53 c) -35 d) -310 e) -13


- 43 -

a) 20 b) 35 c) 48 d) 56 e) 70


a) -540x3 b) -3 240x3 c) 3 240x3 d) 540x3 e) 540x4


a) 0 b) 9 c) 18 d) 64 e) 256





a) (sen2)5 b) (1 + sen2)5 -1 c) -1 d) 0




a) 10 b) -10 c) 20 d) -20 e) 36


a) 56 b) 84 c) 168 d) 253 e) 1054

- 38 -




4) Calcule

a) C20 + C21 + C22

b) C30 + C31 + C32 + C33

c) C40 + C41 + C42 + C43 + C44

d) Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn









- 39 -



Nota 1




a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3

c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4

d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5

Nota 2














- 40 -





241 Exerciacutecios


a) (x + y)5 =

b) (2x - )5 =

c) (2x + 1)4 =

d) (x ndash 2y)5 =


b




para x = y = 1

Atenccedilatildeo




a) (2x + y)6 =

b) (3x - )10 =

c) (2x - 4)50 =



- 41 -

(x + y)n = (n0) xny0 + (n

1) xn-1y1 + (n2) xn-2y2 + + (x

n) x0yn com n IN

Tp+1 = (np) xn-p yp


(p = n2)


Exemplos


(3x + 2)4 = (40)(3x)420 + (4

1)(3x)321 + (42)(3x)222 + (4

3)(3x)123 + (44)(3x)024

(3x + 2)4 = 81x4 + 216x3 + 216x2 +96x + 16


(a - 2)4 = (40)(a)420 - (4

1)(a)321 + (42)(a)222 - (4

3)(a)123 + (44)(a)024

(a - 2)4 = a4 - 8a3 + 24a2 ndash 32a + 16



3)10-k(-2y)k = (10k)(-2)kx30 ndash 3kyk



251 Exerciacutecios







- 42 -


(x + y)5 = 1 x5 + 5 x4y + 10 x3y2 + 10 x2y3 + 5xy4 + 1 y5


a) 0 b) 1 c) -1 d) 331237 e) 1973747


a) +40 b) 42 c) -9 d) -42 e) -48






a) 232 b) 326 c) 924 d) 1012 e) 1214


a) 63 b) 263 c) 10 d) 3 e) 310


a) 60 b) 120 c) 240 d) 480 e) 960


valor de a eacute

a) -3 b) -2 c) -1 d) 2 e) 3


a) 16 b) 20 c) 24 d) 28 e) 32


a) -103 b) -53 c) -35 d) -310 e) -13


- 43 -

a) 20 b) 35 c) 48 d) 56 e) 70


a) -540x3 b) -3 240x3 c) 3 240x3 d) 540x3 e) 540x4


a) 0 b) 9 c) 18 d) 64 e) 256





a) (sen2)5 b) (1 + sen2)5 -1 c) -1 d) 0




a) 10 b) -10 c) 20 d) -20 e) 36


a) 56 b) 84 c) 168 d) 253 e) 1054

- 39 -



Nota 1




a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3

c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4

d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5

Nota 2














- 40 -





241 Exerciacutecios


a) (x + y)5 =

b) (2x - )5 =

c) (2x + 1)4 =

d) (x ndash 2y)5 =


b




para x = y = 1

Atenccedilatildeo




a) (2x + y)6 =

b) (3x - )10 =

c) (2x - 4)50 =



- 41 -

(x + y)n = (n0) xny0 + (n

1) xn-1y1 + (n2) xn-2y2 + + (x

n) x0yn com n IN

Tp+1 = (np) xn-p yp


(p = n2)


Exemplos


(3x + 2)4 = (40)(3x)420 + (4

1)(3x)321 + (42)(3x)222 + (4

3)(3x)123 + (44)(3x)024

(3x + 2)4 = 81x4 + 216x3 + 216x2 +96x + 16


(a - 2)4 = (40)(a)420 - (4

1)(a)321 + (42)(a)222 - (4

3)(a)123 + (44)(a)024

(a - 2)4 = a4 - 8a3 + 24a2 ndash 32a + 16



3)10-k(-2y)k = (10k)(-2)kx30 ndash 3kyk



251 Exerciacutecios







- 42 -


(x + y)5 = 1 x5 + 5 x4y + 10 x3y2 + 10 x2y3 + 5xy4 + 1 y5


a) 0 b) 1 c) -1 d) 331237 e) 1973747


a) +40 b) 42 c) -9 d) -42 e) -48






a) 232 b) 326 c) 924 d) 1012 e) 1214


a) 63 b) 263 c) 10 d) 3 e) 310


a) 60 b) 120 c) 240 d) 480 e) 960


valor de a eacute

a) -3 b) -2 c) -1 d) 2 e) 3


a) 16 b) 20 c) 24 d) 28 e) 32


a) -103 b) -53 c) -35 d) -310 e) -13


- 43 -

a) 20 b) 35 c) 48 d) 56 e) 70


a) -540x3 b) -3 240x3 c) 3 240x3 d) 540x3 e) 540x4


a) 0 b) 9 c) 18 d) 64 e) 256





a) (sen2)5 b) (1 + sen2)5 -1 c) -1 d) 0




a) 10 b) -10 c) 20 d) -20 e) 36


a) 56 b) 84 c) 168 d) 253 e) 1054

- 40 -





241 Exerciacutecios


a) (x + y)5 =

b) (2x - )5 =

c) (2x + 1)4 =

d) (x ndash 2y)5 =


b




para x = y = 1

Atenccedilatildeo




a) (2x + y)6 =

b) (3x - )10 =

c) (2x - 4)50 =



- 41 -

(x + y)n = (n0) xny0 + (n

1) xn-1y1 + (n2) xn-2y2 + + (x

n) x0yn com n IN

Tp+1 = (np) xn-p yp


(p = n2)


Exemplos


(3x + 2)4 = (40)(3x)420 + (4

1)(3x)321 + (42)(3x)222 + (4

3)(3x)123 + (44)(3x)024

(3x + 2)4 = 81x4 + 216x3 + 216x2 +96x + 16


(a - 2)4 = (40)(a)420 - (4

1)(a)321 + (42)(a)222 - (4

3)(a)123 + (44)(a)024

(a - 2)4 = a4 - 8a3 + 24a2 ndash 32a + 16



3)10-k(-2y)k = (10k)(-2)kx30 ndash 3kyk



251 Exerciacutecios







- 42 -


(x + y)5 = 1 x5 + 5 x4y + 10 x3y2 + 10 x2y3 + 5xy4 + 1 y5


a) 0 b) 1 c) -1 d) 331237 e) 1973747


a) +40 b) 42 c) -9 d) -42 e) -48






a) 232 b) 326 c) 924 d) 1012 e) 1214


a) 63 b) 263 c) 10 d) 3 e) 310


a) 60 b) 120 c) 240 d) 480 e) 960


valor de a eacute

a) -3 b) -2 c) -1 d) 2 e) 3


a) 16 b) 20 c) 24 d) 28 e) 32


a) -103 b) -53 c) -35 d) -310 e) -13


- 43 -

a) 20 b) 35 c) 48 d) 56 e) 70


a) -540x3 b) -3 240x3 c) 3 240x3 d) 540x3 e) 540x4


a) 0 b) 9 c) 18 d) 64 e) 256





a) (sen2)5 b) (1 + sen2)5 -1 c) -1 d) 0




a) 10 b) -10 c) 20 d) -20 e) 36


a) 56 b) 84 c) 168 d) 253 e) 1054

- 41 -

(x + y)n = (n0) xny0 + (n

1) xn-1y1 + (n2) xn-2y2 + + (x

n) x0yn com n IN

Tp+1 = (np) xn-p yp


(p = n2)


Exemplos


(3x + 2)4 = (40)(3x)420 + (4

1)(3x)321 + (42)(3x)222 + (4

3)(3x)123 + (44)(3x)024

(3x + 2)4 = 81x4 + 216x3 + 216x2 +96x + 16


(a - 2)4 = (40)(a)420 - (4

1)(a)321 + (42)(a)222 - (4

3)(a)123 + (44)(a)024

(a - 2)4 = a4 - 8a3 + 24a2 ndash 32a + 16



3)10-k(-2y)k = (10k)(-2)kx30 ndash 3kyk



251 Exerciacutecios







- 42 -


(x + y)5 = 1 x5 + 5 x4y + 10 x3y2 + 10 x2y3 + 5xy4 + 1 y5


a) 0 b) 1 c) -1 d) 331237 e) 1973747


a) +40 b) 42 c) -9 d) -42 e) -48






a) 232 b) 326 c) 924 d) 1012 e) 1214


a) 63 b) 263 c) 10 d) 3 e) 310


a) 60 b) 120 c) 240 d) 480 e) 960


valor de a eacute

a) -3 b) -2 c) -1 d) 2 e) 3


a) 16 b) 20 c) 24 d) 28 e) 32


a) -103 b) -53 c) -35 d) -310 e) -13


- 43 -

a) 20 b) 35 c) 48 d) 56 e) 70


a) -540x3 b) -3 240x3 c) 3 240x3 d) 540x3 e) 540x4


a) 0 b) 9 c) 18 d) 64 e) 256





a) (sen2)5 b) (1 + sen2)5 -1 c) -1 d) 0




a) 10 b) -10 c) 20 d) -20 e) 36


a) 56 b) 84 c) 168 d) 253 e) 1054

- 42 -


(x + y)5 = 1 x5 + 5 x4y + 10 x3y2 + 10 x2y3 + 5xy4 + 1 y5


a) 0 b) 1 c) -1 d) 331237 e) 1973747


a) +40 b) 42 c) -9 d) -42 e) -48






a) 232 b) 326 c) 924 d) 1012 e) 1214


a) 63 b) 263 c) 10 d) 3 e) 310


a) 60 b) 120 c) 240 d) 480 e) 960


valor de a eacute

a) -3 b) -2 c) -1 d) 2 e) 3


a) 16 b) 20 c) 24 d) 28 e) 32


a) -103 b) -53 c) -35 d) -310 e) -13


- 43 -

a) 20 b) 35 c) 48 d) 56 e) 70


a) -540x3 b) -3 240x3 c) 3 240x3 d) 540x3 e) 540x4


a) 0 b) 9 c) 18 d) 64 e) 256





a) (sen2)5 b) (1 + sen2)5 -1 c) -1 d) 0




a) 10 b) -10 c) 20 d) -20 e) 36


a) 56 b) 84 c) 168 d) 253 e) 1054

- 43 -

a) 20 b) 35 c) 48 d) 56 e) 70


a) -540x3 b) -3 240x3 c) 3 240x3 d) 540x3 e) 540x4


a) 0 b) 9 c) 18 d) 64 e) 256





a) (sen2)5 b) (1 + sen2)5 -1 c) -1 d) 0




a) 10 b) -10 c) 20 d) -20 e) 36


a) 56 b) 84 c) 168 d) 253 e) 1054

apostila de análise combinatória

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