anotacoes para um curso basico de geometria analitica versao 2014 02

7/24/2019 Anotacoes Para Um Curso Basico de GEOMETRIA ANALITICA Versao 2014 02

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Anota coes para um curso basico de

GEOMETRIA ANAL ITICA

Cleber Haubrichs dos Santos

Instituto Federal de Educa cao, Ciencia e Tecnologia do Rio de Janeiro.

IFRJ / Campus Nil opolis / Licenciaturas (Matem atica e Fsica).

APOSTILA VERS AO 2 o PER IODO LETIVO de 2014.

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Antes de come car...

... algumas informac oes e esclarecimentos a voces, meus alunos.

Essa apostila foi preparada para acompanhar o curso de Geometria Analtica das turmas de Licen-

ciatura em Matem atica e Licenciatura em Fsica do IFRJ (Instituto Federal de Educa cao, Cienciae Tecnologia do Rio de Janeiro), Campus Nil opolis. Trata-se da transcri cao das notas de aulas dos

cursos que ministrei desde 2006, atualizadas ano ap os ano. O texto aqui e resumido ao essencial eassim sendo n ao substitui a leitura dos livros tradicionais de Geometria Analtica recomendados por

mim ou escolhidos por voces. Os exerccios propostos ao longo do texto ser ao todos resolvidos em salade aula durante o andamento do curso. Semelhantemente, na medida do possvel, todas as f ormulas

e metodos apenas enunciados na apostila ser ao justicados em classe. Portanto essa apostila tambemnao isenta voces de assistirem as aula.

A apostila esta divida em oito captulos conforme o programa do curso. No primeiro e segundocaptulos estudamos a geometria analtica no plano, enquanto que nos captulos quarto e sexto es-

tudamos a geometria analtica no espa co. Os vetores, suas operacoes e suas propriedades sao apre-sentados nos captulos terceiro e quinto. O setimo captulo e uma apresenta cao sum aria de outros

t opicos que completam o curso. No captulo oitavo eu transcrevi uma sele cao de exerccios extradosdos textos IEZZI e STEIBRUCH & WINTERLE, dois livros encontrados em grande quantidade na

nossa biblioteca institucional. Eu ainda inseri as provas e avalia coes dos cursos que eu ministrei desde2011 pra c a.

Agradecimentos.

Agrade co aos alunos da turma de calouros da Licenciatura em Fsica do 2 o semestre letivo de 2012

(novembro de 2012 a marco de 2013). Foi por causa do incentivo, das boas perguntas e da participa caodesta minha turma xuxu que eu me animei em transformar as folhinhas soltas numa apostila.

Particularmente agrade co ao meu escriba Thallys Reis, ao meu monitor Andrey Marinho e ` a minhaquerida Myllena Medeiros por todo apoio.

Nilopolis, Outubro de 2013

Cleber Haubrichs dos Santos

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Conte udo

1 Geometria no plano cartesiano: pontos e retas. 12

1.1 Coordenadas cartesianas de um ponto no plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.1 Exerccios para sala de aula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2 Distancia entre dois pontos no plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.1 Recordar e viver... O Teorema de Pit agoras. . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.2 Exerccios para sala de aula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3 Ponto medio de um segmento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14


1.4 Area de um tri angulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.1 Recordar e viver... Calculo de determinantes de matrizes 2 2 e 33. . 151.4.2 Exerccios para sala de aula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5 Condicao de alinhamento de tres pontos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16


1.6 O que e geometria analtica? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.7 Correspondencia entre guras e equacoes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.8 Retas no plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18


1.8.2 Recordar e viver... As tres raz oes trigonometricas basicas num tri anguloret angulo. A relacao fundamental da trigonometria. . . . . . . . . . . . . 19

1.9 Posic oes relativas entre retas no plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

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1.9.1 Recordar e viver... Sistemas lineares 2 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.9.2 Exerccios para sala de aula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.10 Perpendicularidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.11 Distancia entre um ponto e uma reta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.11.1 Exerccios para sala de aula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Geometria no plano cartesiano: curvas de segundo grau. 23

2.1 Circunferencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23


2.2 Posic oes relativas entre retas e circunferencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.1 Exerccios para sala de aula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 Introdu cao geral as curvas conicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4 Elipses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4.1 Equacoes de elipses com eixos de simetria paralelos aos eixos cartesianos. 28

2.4.2 Equacao de uma elipse com eixos de simetria inclinados em rela cao aos

eixos cartesianos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28


2.5 Hiperboles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5.1 Equacoes de hiperboles com eixos de simetria paralelos aos eixos cartesianos. 30

2.5.2 Equacao de uma hiperbole com eixos de simetria inclinados em relacaoaos eixos cartesianos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31


2.6 Parabolas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.6.1 Equacoes de parabolas com eixo de simetria paralelo a um dos eixoscartesianos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32


2.7 Formulario completo de conicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

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2.8 Equacao geral do segundo grau a duas vari aveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34


2.8.2 Um parentesis no curso de geometria analtica: a f ormula que resolve aequacao quadr atica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.9 Inequacoes e regioes no plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35


3 Vetores no plano. 36

3.1 Vetores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2 Vetores no R 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3 Modulo & operacoes elementares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37


3.4 Paralelismo entre vetores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38


4 Geometria no espa co cartesiano: pontos. 40

4.1 Coordenadas cartesianas de um ponto no espaco. . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2 Distancia entre dois pontos no espa co. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.3 Ponto medio de um segmento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5 Vetores no espa co. 42

5.1 Vetores no R 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.2 Modulo & operacoes elementares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.3 Vetores canonicos e vetores unitarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43


5.4 Produto escalar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.4.1 Exerccio para sala de aula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.4.2 Algumas propriedades do produto escalar. . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

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5.5 Angulo entre vetores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44


5.5.2 Recordar e viver... Lei dos cossenos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.5.3 O angulo entre dois vetores s o depende da dire cao e do sentido deles. . . 455.6 Criterio de perpendicularidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.6.1 Observacoes sobre o produto escalar no plano cartesiano. . . . . . . . . . 45


5.7 Produto vetorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.8 Produto vetorial em coordenadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46


5.9 Area de um paralelograno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.9.1 Algumas formulas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47


6 Geometria no espa co cartesiano: retas e planos. 48

6.1 Equacoes da reta no espa co. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48


6.2 Retas em posicoes especiais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.3 Equacao do plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50


6.4 Planos em posicoes especiais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.5 Posic oes relativas entre guras no espa co. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.5.1 Posicoes relativas entre duas retas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.5.2 Posicoes relativas entre dois planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.5.3 Posicoes relativas entre uma reta e um plano. . . . . . . . . . . . . . . . 52


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6.6 Distancia entre guras no espa co. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.6.1 Distancia entre dois pontos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.6.2 Distancia entre um ponto e um plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.6.3 Distancia entre um ponto e uma reta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.6.4 Distancia entre guras paralelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.6.5 Distancia entre duas retas reversas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55


7 Outros t opicos. 56

7.1 Esferas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567.1.1 Exerccios para sala de aula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7.2 Superfcies de segundo grau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7.3 Coordenadas polares (um sistema alternativo de coordenadas no plano). . . . . . 59


8 Exerccios e provas dos perodos anteriores. 618.1 Uma selecao de exerccios extrados de IEZZI, Fundamentos de Matem atica

Elementar, Volume 7, Geometria Analtica, Editora Atual. . . . . . . . . . . . . 61

8.2 Uma selecao de exerccios extrados do livro STEINBRUCH & WINTERLE,Geometria Analtica, Editora McGralHill. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

8.3 Prova (Outubro de 2014). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

8.4 Trabalho (Agosto de 2014). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

8.5 Prova (Agosto de 2014). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

8.6 Prova (Fevereiro de 2014). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

8.7 Prova (Dezembro de 2013). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

8.8 Prova (Setembro de 2013). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

8.9 Trabalho (Agosto de 2013). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

8.10 Prova (Julho de 2013). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

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8.11 Prova (Abril de 2013). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

8.12 Prova (Mar co de 2013). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

8.13 Prova (Janeiro de 2013). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

8.14 Prova (Junho de 2011). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758.15 Prova (Junho de 2011). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

8.16 Prova (Maio de 2011). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

8.17 Prova (Abril de 2011). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

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Lista de Figuras

1.1 O plano cartesiano R 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2 Distancia entre dois pontos em R 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 O ponto medio de um segmento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4 Area de um tri angulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5 Tres pontos colineares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6 Rene Descartes (1596 - 1650). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.7 Uma pagina de A Geometria (1637). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.8 Coeciente angular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.9 (a) Duas retas paralelas ; (b) Duas retas concorrentes. . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.10 Retas perpendiculares em R 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.11 Distancia entre ponto e reta em R 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1 Circunferencia no plano cartesiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 Posic oes relativas entre uma reta e uma circunferencia. . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 As conicas regulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4 As conicas degeneradas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.5 Elipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.6 Elipses com centro na origem do sistema cartesiano. . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.7 Transla cao dos eixos de uma elipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.8 Hiperbole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

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2.9 Hiperboles com centro na origem do sistema cartesiano. . . . . . . . . . . . . . . 31

2.10 Transla cao dos eixos de uma hiperbole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.11 Parabola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.12 Parabolas com vertice na origem do sistema cartesiano. . . . . . . . . . . . . . . 332.13 Transla cao dos eixos de uma parabola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.14 A hiperbole y = 1x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.1 Vetor no plano cartesiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 Vetor de um ponto a outro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3 Interpreta coes geometricas das operacoes elementares. . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.1 O espaco cartesiano R 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.1 Vetores canonicos em R 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43


5.3 Lei dos Cossenos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.4 Produto vetorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46


6.1 Equacao vetorial da reta no espaco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6.2 Um plano e seu vetor normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6.3 (a) Retas concorrentes ; (b) retas paralelas ; (c) retas reversas. . . . . . . . . . . 52

6.4 (a) Planos concorrentes ; (b) planos paralelos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.5 (a) Reta includa num plano ; (b) reta e plano concorrentes ; (c) reta e planoparalelos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.6 Distancia entre ponto e plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.7 Distancia entre ponto e reta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

7.1 Esfera de raio r e centro em ( x 0 , y 0 , z 0 ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

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7.2 Esfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7.3 Elipsoide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7.4 Hiperboloide de duas folhas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

7.5 Hiperboloide de uma folha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587.6 Parabol oide elptico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

7.7 Parabol oide hiperbolico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

7.8 Cilindro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.9 Cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.10 Sistema de coordenadas cartesianas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.11 Sistema de coordenadas polares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.12 Mudanca de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

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Captulo 1

Geometria no plano cartesiano: pontose retas.

Coordenadas cartesianas de um ponto no plano. Dist ancia entre dois pontos no plano. Ponto mediode um segmento. Area de um triangulo. Condicao de alinhamento de tres pontos. O que e geometria

analtica? Correspondencia entre guras e equa coes. Retas no plano. Posi coes relativas entre retas noplano. Perpendicularidade. Dist ancia entre um ponto e uma reta.

1.1 Coordenadas cartesianas de um ponto no plano.

Figura 1.1: O plano cartesiano R 2 .

Os pontos de um plano podem ser identica-dos por um par ordenado de n umeros reais.

No plano desenha-se um par de retas ortogo-

nais entre si, intersectando-se num ponto quesera chamado de origem . Esse par de eixos

servir a como referencia para os elementos doplano. Usualmente chamamos a reta hori-

zontal de eixo das abscissas ou tambem deeixo x . A reta vertical e chamada de eixo da

ordenadas ou de eixo y .

O plano munido dos eixos de referencia e chamado de plano cartesiano e as coordenadas de um pontonesse plano sao chamadas de coordenadas retangulares .

R 2 = {( a , b ) ; a , bR }

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1.1.1 Exerccios para sala de aula.

Exerccio 1. Marque no plano os seguintes pontos em coordenadas cartesianas ( x , y ).

1 a) ( 1 , 6 ) 1 b) ( 2 , 3 ) 1 c) ( 4 , 1 ) 1 d) ( 5 , 2 )

1 e) ( 3 , 3 ) 1 f ) ( 2 , 2 ) 1 g) ( 3 , 0 ) 1 h) ( 0 , 2 )

1.2 Distancia entre dois pontos no plano.

Dados dois pontos A = ( xA , yA ) e B =

( xB , yB ) podemos calcular a distancia en-

tre eles pela f ormula abaixo, que podeser deduzida usando o celebre Teorema de

Pit agoras.

dA,B = (xA xB )2 + ( yA yB )2Figura 1.2: Distancia entre dois pontos em R 2 .

1.2.1 Recordar e viver... O Teorema de Pitagoras.

Um tri angulo e chamado de tri angulo ret angulo quando um dos seus angulos e reto (e consequentemente

os outros dois angulos s ao agudos). O maior lado de um tri angulo retangulo e o que se op oe ao anguloreto. Este lado chama-se hipotenusa . Os outros dois lados, os que compoem o angulo reto, chamam-secatetos .

O Teorema de Pit agoras diz que num tri anguloret angulo, o quadrado da medida da hipotenusa e igual

a soma dos quadrados das medidas dos catetos.

Na gura ao lado, o angulo reto esta no vertice A. Ahipotenusa tem medida a e os catetos medem b e c.

Ent ao o Teorema de Pit agoras pode ser escrito alge-

bricamente pela formula a 2 = b2 + c2 .

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Exerccio 1. Calcule o permetro do tri angulo de vertices ( 1 , 1 ), ( 3 , 2 ) e (9 , 7 ).Exerccio 2. Qual e o ponto no eixo das abscissas equidistante dos pontos ( 1 , 2 ) e (3 , 6 ) ?

1.3 Ponto medio de um segmento.

O ponto medio de um segmento e o ponto que o

divide em duas partes de comprimento iguais.Dado um segmento com extremidades nos pon-

tos A = ( xA , yA ) e B = ( xB , yB ), as co-ordenadas do ponto medio ser ao a media ar-

itmetica simples das coordenadas das suas ex-tremidades, isto e,

M =xA + xB

2 ,

yA + yB2

.

Figura 1.3: O ponto medio de um segmento.


Exerccio 1. Dado os vertices A = ( 1 , 4 ), B = ( 6 , 3 ) e C = ( 16 , 5 ), calcule o comprimentoda mediana do triangulo ABC baixada a partir do vertice A sobre o lado BC .

1.4 Area de um triangulo.

Figura 1.4: Area de um triangulo.

A area de um triangulo com vertices

A = ( xA , yA ), B = ( xB , yB ) eC = ( xC , yC ) e dada por

area ABC = 12|det D |

onde D =xA yA 1xB yB 1

xC yC 1

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1.4.1 Recordar e viver... Calculo de determinantes de matrizes 22 e 33.

Uma matriz m n e um conjunto de numeros organizados numa tabela de m linhas e n colunas.Uma matriz, sendo meramente uma tabela de n umeros, n ao tem nada de matematicamente especialem si mesmo. Mas existem objetos matem aticos importantes que podem ser melhor visualizados e

manipulados quando s ao apresentados em forma de matriz.1

Uma matriz e chamada de quadrada de ordem n quando for n n, isto e, quando tiver n linhas e n colunas.No que diz respeito a um curso basico de geometria analtica, estamos mesmo interessados e num

conceito chamado de determinante . Trata-se de um n umero que e associado a cada matriz quadradapor meio de uma conta bem especca. Dependendo do contexto em que apare ca, o determinante

pode ter v arias interpetra coes. Veremos isso melhor ao longo desse curso.

a) Como calcular o determinante de uma matriz 2 2 ? O determinante da matriz D = a11 a12a21 a22

e dado pelo numero det D = a11a22 a21a12 . Esquematicamente podemos memorizar o deter-minante 2 2 como na gura abaixo. O produto dos dois elementos da diagonal principal (mantendoo sinal) adicionado ao produto dos dois elementos da outra diagonal (trocando o sinal).

b) Como calcular o determinante de uma matriz 3 3 ? O determinante da matriz D =a11 a12 a13a21 a22 a23a31 332 a33

e dado pelo numero det D = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a32 a21

a13 a31 a22

a23 a32 a11

a12 a21 a33 .

Esquematicamente podemos memorizar o determinante 3 3 como na gura abaixo. Comece ree-screvendo ao lado da matriz 3 3 original as duas primeiras colunas, formando uma grande matriz3 5. A seguir calcule os tres produtos de tres elementos, o da diagonal principal e os das duasdirec oes paralelas, mantendo os sinais. Por m acrescente os tres produtos de tres elementos, o da

outra diagonal e os das duas dire coes paralelas, mas dessa vez trocando os sinais.

Para maiores informa coes sobre matrizes e determinantes, e para o c alculo de determinantes de ordem4 4, 5 5, etc, ... voces podem consultar qualquer bom livro de matem atica de ensino medio.

1 Um exemplo importante que voces ir ao conhecer no curso de Algebra Linear e o conceito de transforma c ao linear .

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Exerccio 1. Qual e a area do triangulo cujos vertices s ao os pontos ( 1, 1), (2, 3) e (3, 5)?Exerccio 2. Qual e a area do quadrilatero cujos vertices s ao os pontos (5 , 7), (3, 4), (0, 0) e (4, 3)?

1.5 Condi cao de alinhamento de tres pontos.

Figura 1.5: Tres pontos colineares.

Quando tres pontos est ao alinhados entaoo tri angulo formado por eles tem area

nula. Assim, tres pontos A = ( xA , yA ),

B = ( xB , yB ) e C = ( xC , yC ) est ao al-

inhados quando vale

detxA yA 1

xB yB 1xC yC 1

= 0 .

Uma outra palavra para designar que tres (ou mais) pontos est ao alinhados e dizer que esses pontos

sao colineares .


Exerccio 1. Verique se os pontos ( 1 , 2 ), (0 , 5 ) e (2 , 11) est ao alinhados ou nao.Exerccio 2. Qual e o valor de p

R de modo que os pontos ( 1 , 4 ), (2 , 9 ) e (0 , p + 15 ) estejamalinhados?

Exerccio 3. Calcule o ponto do eixo das ordenadas que est a alinhado com os pontos (

2 , 15 ) e

( 8 , 5 ).

1.6 O que e geometria analtica?

A geometria analticae um ramo da matem atica cuja ideia principale associar objetos geometricos (tais

como pontos, retas, guras, curvas, angulos, etc) com objetos algebricos (pares ordenados, n umeros,polinomios, equa coes, etc).

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A inven cao da geometria analtica aconteceu em meados do seculo XVII e e reputada ao l osofo frances

Rene Descartes. De fato, essa associa cao entre a algebra e a geometria apareceu bem marcadamenteem 1637, num livreto de Descartes intitulado justamente de A Geometria . Esse livreto junto com

outros dois livretos cientcos, serviram como complemento ao seu celebre tratado los oco Discurso

do Metodo .

Figura 1.6: Rene Descartes (1596 - 1650). Figura 1.7: Uma p agina de A Geometria (1637).

1.7 Correspondencia entre guras e equa coes.

Considere uma equacao envolvendo as incognitas x e y e numeros reais; vamos represent a-la por

F (x, y ) = 0. Os pontos ( a, b) R 2 que satisfazem a equacao, isto e, os pontos tais que F (a, b) = 0,formam uma gura no plano cartesiano. Reciprocamente, dada uma curva plana, muitas vezes

pode-se obter uma equa cao (ou um conjunto de equa coes) para descreve-la.

Por exemplo, as retas no plano cartesiano podem sempre ser representadas por equa coes do tipoax + by + c = 0. Ou ainda, as equa coes do tipo x2 + y2 = r 2 representam circunferencias.

Na primeira parte desse curso estudaremos equa coes que representam as seguintes guras planas: reta,circunferencia, elipse, par abola e hiperbole.

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1.8 Retas no plano.

Toda equacao da forma ax + by+ c = 0, com a, b, cR representa uma reta no plano. Reciprocamente,

dada qualquer reta desenhada no plano cartesiano, e possvel calcular a , b, c R tais que a equacaoax + by + c = 0 descreva essa reta.

Figura 1.8: Coeciente angular.

O coeciente angular (tambem

chamado de inclinac ao ) deuma reta passando pelos pontos

A = ( xA , yA ) e B = ( xB , yB ) edenido pelo n umero

mAB = y x

= yB yAxB xA

.

Essa inclina cao e a tangente doangulo que a reta por A e B faz

com o eixo das abscissas (eixo x).

Casos particulares. Quando uma reta e horizontal sua equa cao reduz-se a forma y = c e suainclina cao e zero. Ja quando uma reta e vertical sua equa cao reduz-se a forma x = c e sua inclina caonao e denida.

Pode-se obter a equa cao de uma reta por duas maneiras:

1) Conhecendo-se a inclinac ao m e um ponto ( xA , yA ) da reta temos a equa cao

y yA = m (x xA ) .

2) Conhecendo-se as coordenadas de dois pontos distintos A = ( xA , yA ) e B = ( xB , yB ) da reta,sua equa cao e dada por

detx y 1

xA yA 1

xB yB 1

= 0 .

Note que em todo caso e sempre necess ario ter duas informa coes iniciais para determinar uma reta.

Observe que quando isolamos a vari avel y na equacao de uma reta, deixando os demais termos do

outro lado da igualdade, o coeciente da vari avel x e o coeciente angular da reta em quest ao.


Exerccio 1. Qual e o coeciente angular da reta determinada pelos pontos ( 1 , 2 ) e (3 , 4 )? Dea equa cao desta reta e esboce-a no plano cartesiano.18


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Exerccio 2. Verique quais dos pontos abaixo pertencem a reta 2 x y + 6 = 0.A = ( 0 , 3 ) ; B = ( 0 , 6 ) ; C = ( 3 , 0 ) ; D = ( 1 , 8 ) ; E = ( 2 , 3 ) ; F = ( 1 , 2 ) .Exerccio 3. Represente no plano cartesiano as retas a seguir:

3 a) 2x + 3 y + 6 = 0 3 b) x + 2 = 0 3 c) 2y

6 = 0 3 d) x

2y + 1 = 0 .

Exerccio 4. Os pontos A = ( xA , 9 ) e B = (6 , yB ) est ao na reta de equacao 3x 2y + 6 = 0.Calcule as coordenadas de A e B e a dist ancia entre eles.

1.8.2 Recordar e viver... As tres razoes trigonometricas b asicas num tri anguloretangulo. A rela cao fundamental da trigonometria.

Dado um triangulo ret angulo, e xando um dos

seus angulos agudos, dene-se as tres rela coestrigonometricas b asicas da seguinte maneira:

seno do angulo = medida do cateto oposto ao angulo

medida da hipotenusa

cosseno do angulo = medida do cateto adjacente ao angulo

medida da hipotenusa

tangente do angulo = medida do cateto opostomedida do cateto adjacente

No tri angulo retangulo da gura acima, xando aten cao no angulo , temos as seguintes relacoes:

sen = ca

cos = ba

tg = cb

.

Pode-se mostrar com facilidade, usando semelhan ca de tri angulos, que as tres rela coes trigonometricasnao dependem do tamanho do tri angulo retangulo inicialmente dado, mas t ao somente do angulo

agudo em questao.

Direto da denicao vem a primeira formula envolvendo as tres rela coes trigonometricas: para qualquer

vale tg = sen cos . Outra formula, dessa vez envolvendo o seno e o cosseno, pode ser deduzida

usando o Teorema de Pit agoras e as deni coes dadas acima. Trata-se da equa cao conhecida comorela c ao fundamental da trigonometria : para qualquer vale sen2 + cos 2 = 1 .

Apesar das tres rela coes trigonometricas serem denidas inicialmente para um angulo agudo (numtri angulo retangulo), pode-se estender essas deni coes para quaisquer angulos, usando um truque

esperto de encaixar tri angulos retangulos de maneira adequada dentro de um crculo de raio 1. Masisso ja e assunto para outro momento. Para maiores detalhes sobre isso, voces podem consultar

qualquer bom livro de matem atica de ensino medio.

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1.9 Posi coes relativas entre retas no plano.

Duas retas distintas no plano s ao concorrentes ou paralelas entre si quando, respectivamente, elas teminterse cao ou n ao. E bom frisar que no caso da concorrencia entre duas retas, o ponto de interse cao

entre elas e unico.

Figura 1.9: (a) Duas retas paralelas ; (b) Duas retas concorrentes.

Analiticamente, podemos decidir quando duas retas s ao concorrentes ou paralelas entre si avaliando

seus coecientes angulares. Duas retas r e s sao paralelas entre si se e somente se os coecientesangulares s ao iguais (isto e, mr = ms ). Claramente vale que se mr = ms , as retas s ao (e so podemser) concorrente entre si.

Pode-se ainda tomar as equa coes r : ax + by + c = 0 e s : px + qy + r = 0 de duas retas e considerar osistema linear 2 2 dado por

ax + by + c = 0

px + qy + r = 0.

Nesse caso, quando o sistema for possvel e determinado as retas s ao concorrentes entre si. A ( unica)solucao (a, b) desse sistema algebrico d a as coordenadas do ponto de interse cao r s. Por outro ladoquando o sistema for impossvel, isso signica que n ao ha ponto ( a, b) que satisfa ca simultaneamenteas equa coes r e s . Portanto as retas s o podem ser paralelas entre si.

1.9.1 Recordar e viver... Sistemas lineares 22.

Um sistema linear 2 2 e um conjunto formado por um par de equa coes, cada uma delas com ateduas vari aveis, e todas as variaveis com expoente um. Dito mais diretamente, um sistema linear 2 2e algo do tipo

Ax + By = P

Cx + Dy = Q, onde A, B , C , D , P e Q sao numeros reais previamente conhecidos.

Ao se deparar com um sistema como esse, temos como objetivo resolve-lo, o que signica encontrarum par ( x0 , y0 ) de numeros reais que satisfa ca simultaneamente ` as duas equacoes. Nem sempre e

possvel encontrar esse par de n umeros. Por isso um sistema linear e classicado inicialmente comopossvel ou impossvel . Ha ainda outro detalhe interessante: quando o sistema e possvel, ele pode ter

uma unica solu cao ou varias solu coes diferentes. Por isso um sistema linear possvel e reclassicadocomo possvel determinado ou possvel indeterminado .

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Sistema Impossvel (SI)

Sistemas lineares Sistema Possvel e Indeterminado (SPI)

Sistema Possvel

Sistema Possvel e Determinado (SPD)

Nao vou entrar em detalhes aqui, mas existe um procedimento chamado Regra de Cramer que usa al-guns calculos de determinantes (aquele n umero apresentado nas se coes anteriores) para decidir quando

um sistema e SI, SPI ou SPD. 2 Maiores detalhes sobre isso pode ser encontrado em qualquer bom

livro de matematica de ensino medio.De um ponto de vista mais direto e elementar, h a duas estrategias muito populares para se resolver

um sistema linear 2 2. Uma delas chama-se metodo da substitui c ao . Consiste em isolar uma dasvari aveis numa das equacoes e a seguir substituir o resultado encontrado na outra equa cao. A nova

equa cao que surge tera uma variavel so. Uma vez calculada esta, podemos voltar ` a primeira equacaopara calcular a outra vari avel. Outra estrategia chama-se metodo da adi c ao . Consiste em preparar

as equa coes, multiplicando-as por n umeros convenientes, de modo que ao som a-las, uma das variaveisseja eliminada. Mas aten cao, infelizmente nem tudo e t ao simples. Quando o sistema e SPD, qualquer

uma das duas estrategias funciona muito bem. Entretanto, caso o sistema seja SI ou SPI, algumascoisas estranhas podem acontecer. 3


Exerccio 1. Considere as retas r : 4x + 3y 11 = 0, s : x + 3y 5 = 0, t : x y + 2 = 0 eu : 4x + 3 y + 1 = 0. (1 a) Verique que as retas r e s sao concorrentes e calcule as coordenadas doponto de concorrencia r s. (1 b) Verique que as retas r e u sao paralelas. (1 c) Obtenha uma retaque seja paralela a t e que passe pelo ponto r s.

1.10 Perpendicularidade.

A perpendicularidade entre duas retas e um caso particular de concorrencia. Alem das duas retas se

intersectarem, vale ainda que os quatro angulos formados entre elas s ao iguais (e igual ao angulo reto).

2 Ah... Agora entendi o porque da palavra determinante pra aquele n umero...3 Nesse caso ca a dica: se liga nos exemplos que eu ofere co em sala de aula.

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Analiticamente, se r e s sao duas retas perpendiculares entre si, ent ao vale a formula mr m s = 1ou equivalentemente ms =

1m r

.

1.11 Distancia entre um ponto e uma reta.

A dist ancia entre o ponto P = ( xP , yP ) e a reta r : ax + by + c = 0 e dada pela formula

dP,r = |ax P + byP + c| a2 + b2 . Para deduzir esta f ormula, adotamos os seguintes procedimentos. Ini-cialmente determinamos uma reta s que seja perpendicular ` a reta dada r e que passe pelo ponto dado

P . A seguir, calculamos o ponto Q, interse cao das retas r e s. Por m, a distancia entre P e r reduz-sedist ancia entre P e Q.

Figura 1.10: Retas perpendiculares em R 2 . Figura 1.11: Distancia entre ponto e reta em R 2 .


Exerccio 1. Calcule a reta perpendicular a 2 x 3y + 7 = 0 passando pelo ponto ( 4 , 1 ).Exerccio 2. Qual e a equacao da mediatriz do segmento que une os pontos ( 3 , 1) e (7 , 12)?Exerccio 3. Dados o ponto P = ( 1 , 1) e a reta r : 3x + 2 y 6 = 0, forne ca: (3 a) a equa cao dareta perpendicular a r passando por P ; (3 b) a interse cao das duas retas em quest ao; (3 c) o pontosimetrico de P em rela cao a r .

Exerccio 4. Calcule a dist ancia do ponto ( 1 , 5 ) a reta 2 x y 3 = 0.Exerccio 5. Calcule a medida da altura AH sobre a base BC do tri angulo ABC dado por A = ( 3 , 5 ),B = ( 1 , 0 ) e C = ( 7 , 2 ).

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Captulo 2

Geometria no plano cartesiano: curvasde segundo grau.

Circunferencia. Posi coes relativas entre retas e circunferencias. Introdu cao geral as curvas c onicas.Elipses. Hiperboles. Par abolas. Formulario completo de conicas. Equacao geral do segundo grau `a

duas vari aveis. Inequacoes e regioes no plano.

2.1 Circunferencia.

A circunferencia e o lugar geometrico de todos os pontos do plano que est ao a mesma distancia de umponto xo. Este ponto xo e chamado de centro e a dist ancia e chamada de raio .

Figura 2.1: Circunferencia no plano cartesiano.

A equacao da circunferencia de centro

( x0 , y0 ) e raio r e dada por

(x x0 )2 + ( y y0 )

2 = r 2 .

Em particular, quando a circunferenciaest a centrada na origem do sistema carte-

siano, isto e, no ponto (0 , 0), sua equa caosera

x2 + y2 = r 2 .

Observe que se desenvolvermos os produ-tos not aveis da primeira equa cao, obter-

emos a mesma na seguinte forma

x2 + y2 + Ax + By + C = 0 .

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Aten cao, que nem toda equacao com o perl acima fornece a gura de uma circunferencia. Veremos

nos exerccios a seguir que as vezes essas equac oes podem representar apenas um ponto, ou ainda oconjunto vazio.

Dada uma equacao na forma x2 + y2 + Ax + By + C = 0, usamos o metodo do completamento de

quadrados para identicar a gura que ela representa; e caso seja mesmo uma circunferencia, obterseu centro e o raio.


Exerccio 1. Qual e a equacao da circunferencia centrada em ( 1, 7) e com raio 2?Exerccio 2. Qual e a equacao da circunferencia com centro na origem e raio 7?

Exerccio 3. Identique o centro e o raio da circunferencia ( x + 3) 2 + ( y + 2) 2 = 5.

Exerccio 4. Qual e a equacao da circunferencia de raio 3 e centro (1 , 2)? Em que pontos essacircunferencia intersecta os eixos coordenados?

Exerccio 5. Achar a equacao da reta que passa pelo centro da circunferencia ( x 3)2 + ( y 2)2 = 8e e perpendicular ` a reta x y 16 = 0.Exerccio 6. Indentique as guras correspondentes ` as equa coes abaixo usando o metodo do com-pletamento de quadrados.

6 a) x2 + y2 4x+6 y+12 = 0 6 b) x2 + y2 6x10y+32 = 0 6 c) x2 + y2 +8 x2y+21 = 06 d) x2 + y2 + 2 x + 4 y + 5 = 0 6 e) x2 + y2 + 4 x + 3 = 0

Exerccio 7. Um quadrado tem vertices consecutivos A = ( 1 , 0 ) e B = ( 5 , 0 ). Determinar acircunferencia circuscrita ao quadrado.

2.2 Posi coes relativas entre retas e circunferencias.

Existem tres posi coes relativas possveis entre uma reta e uma circunferencia e isso diz respeito ` aquantidade de pontos de interse cao entre essas duas guras.

1) Quando a reta atravessa a circunferencia em dois pontos distintos, dizemos que as guras s aosecantes entre si.

2) Quando a reta e a circunferencia apenas se tocam em um ponto, dizemos que as guras s ao tangentes

entre si.

3) Quando a reta e a circunferencia n ao tem pontos em comum, dizemos que as guras s ao externas uma a outra.

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Analiticamente, considere a reta ax + by + c = 0 e a circunferencia x2 + y2 + Ax + By + C = 0. Para

decidir a posi cao relativa entre as guras precisamos manipular o sistema algebrico

ax + by + c = 0

x2 + y2 + Ax + By + C = 0.

Isolando uma das vari aveis da equa cao de 1o

grau (a da reta) e substituindo-a na equa cao de 2o

grau (a da circunferencia), obtemos uma equa cao de 2o grau de apenas uma vari avel. No calculo dodiscriminante , tres situa coes podem acontecer:

1) Se > 0, ent ao o sistema tem duas soluc oes distintas e portanto as guras s ao secantes entre si.

2) Se = 0, entao o sistema tem apenas uma solu cao e portanto as guras s ao tangentes entre si.

3) Se < 0, ent ao o sistema n ao tem solu cao em R 2 e portanto as guras s ao externas entre si.

Uma observacao importante no caso de tangencia e a seguinte. Uma reta tangente e sempre perpen-

dicular ao raio que passa no ponto de tangencia. Sendo ainda mais especco, este ponto de tangenciae o pe da perpendicularidade.

Figura 2.2: Posicoes relativas entre uma reta e uma circunferencia.


Exerccio 1. Dadas as retas r : x 2y + 11 = 0, s : 3x 4y + 35 = 0, t : 3x + 4y 22 = 0 eu : 4x + 5 y 68 = 0 e a circunferencia x2 + y2 4x 8y 5 = 0; identique as posic oes relativas entrecada reta e a circunferencia. Quando for o caso, calcule os pontos de interse cao.

Exerccio 2. Identique o centro e o raio da circunferencia 9 x2 + 9 y2 + 42 x 45y + 85 = 0.Exerccio 3. A reta 3 x + 4 y = 4 e tangente a uma circunferencia de centro (4 , 3). Calcule o raio, ascoordenadas do ponto de tangencia e a equa cao desta circunferencia.

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2.3 Introdu cao geral as curvas c onicas.

As curvas conicas aparecem ao intersectarmos um cone com planos no

espa co. Dependendo da posicao do plano em relacao aos elementosdo cone as guras regulares que podem aparecer s ao circunferencia,

elipse, par abola ou hiperbole. E possvel que apare cam ainda outrasguras (n ao regulares) que sao: um par de retas, uma reta dupla

ou um ponto isolado.

(As tres guras dessa p agina foram recolhidas no Google Imagens.)

Figura 2.3: As c onicas regulares.

Figura 2.4: As c onicas degeneradas.

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2.4 Elipses.

Elementos e medidas. Fixe dois pontos no plano. Os pontos cuja soma das dist ancias aos doispontos xos e constante formam uma curva chamada elipse . Os pontos xos chamam-se focos . O

ponto medio dos focos e chamado de centro . A maior das cordas da elipse e a que passa pelos focos e

e chamada de eixo maior . A menor das cordas, chamada de eixo menor , e a que passa pelo centro ee perpendicular ao eixo maior.

Figura 2.5: Elipse.

Denotemos por O o centro da elipse, F 1 e F 2 os seus focos e P um ponto qualquer do seu permetro.

A deni cao da elipse como lugar geometrico pode ser (re)escrita como

dP,F 1 + dP,F 2 = constante .

Agora escreva: 2 a = medida do eixo maior; 2 b = medida do eixo menor; 2 c = distancia entre os doisfocos. Colocando o ponto P numa das extremidades do eixo maior, pode-se concluir que

dP,F 1 + dP,F 2 = 2 a .

E colocando o ponto P numa das extremidades do eixo menor, pode-se concluir que

a2 = b2 + c2 .

A excentricidade e o numero denido por e = dist ancia focal

medida do eixo maior =

ca

.

Note que 0 < e < 1. Esse numero mede quanto a elipse est a mais arredondada ou mais

achatada. 1 Quando a excentricidade e pequena (isto e, e e perto de 0), a elipse esta mais pr oxima

de ser uma circunferencia. Caso e esteja perto de 1, a elipse e mais achatada.

1 Dizer que a elipse est a mais perto ou mais longe de ser uma circunferencia e uma condi cao menos matem atica do quepsicologica, j a que a elipse, uma vez xada, n ao vai se deformar num movimento rumo ` a forma de uma circunferencia.

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2.4.1 Equa coes de elipses com eixos de simetria paralelos aos eixos cartesianos.

Inicialmente vamos deduzir a equa cao da elipse desenhada no plano cartesiano de modo que seu centro

esteja na origem do sistema cartesiano e que seus eixos coincidam com os eixos x e y.

Vamos considerar que o eixo maior repouse sobre o eixo x. Neste caso, as coordenadas dos focos ser ao(c, 0) e (c, 0). Ent ao temos

(x + c)2 + y2 + (x c)2 + y2 = 2 a ,de onde se conclui que

x2

a2 +

y2

b2 = 1 .

Quando o eixo maior repousa sobre o eixo y e o centro da elipse ainda esta na origem, a f ormula acimasofre uma pequena adapta cao, tornando-se

x2

b2 +

y2

a2 = 1 .

Por m, no caso do centro da elipse estar na posi cao (x0 , y0 ) que n ao seja a origem, os termos

quadr aticos x2 e y2 que aparecem nas equa coes acima devem ser substituidos pelos bin omios quadr aticos(x x0 )2 e (y y0 )2 . Esse procedimento e chamado em matem atica de transla c ao de eixos .

Figura 2.6: Elipses com centro na origem do

sistema cartesiano.

Figura 2.7: Transla cao dos eixos de uma

elipse.

2.4.2 Equa cao de uma elipse com eixos de simetria inclinados em relacao aoseixos cartesianos.

Apenas para informa cao, eis uma equa cao que descreve uma elipse centrada na origem e com eixos desimetria inclinados. Dito mais exatamente, trata-se da elipse cujo eixo maior est a suportado sobre

a reta y = mx :(x + my )2

a2 + (y

mx )2

b2 = 1 + m2 .

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Embora a deducao desta equacao nao seja essencialmente diferente das dedu coes anteriores, as contas

cam bastante grandes e quase desagradaveis. Num curso posterior, 2 as elipse inclinadas (bem comoas demais c onicas) e suas equacoes serao tratadas com ferramentas algebricas mais ecazes.


Exerccio 1. Para cada equa cao de elipse dada abaixo, identique as posic oes a as medidas dos eixosmaior e menor, calcule a dist ancia focal, calcule a excentricidade, esboce a gura no plano cartesiano

e marque os focos.

1 a) x2

16 +

y2

4 = 1 1 b) (x + 1) 2 +

(y 2)29

= 1

1 c) (x 2)2 + 4( y + 1) 2 = 4 1 d) x2

25 +

y2

49 = 1 .

2.5 Hiperboles.

Elementos e medidas. Fixe dois pontos no plano. Os pontos cuja diferen ca (em valor absoluto) dasdist ancias aos dois pontos xos e constante formam uma curva chamada hiperbole .3 Os pontos xoschamam-se focos . O ponto medio dos focos e chamado de centro . A hiperbole e simetrica em rela cao

a dois eixos de simetria. O eixo de simetria determinado pelos dois focos chama-se eixo real , enquantoque o outro eixo, que e perpendicular ao primeiro e passa pelo centro, e chamado de eixo imaginario .

Os pontos onde a hiperbole intersecta o eixo real chama-se vertices . O tra cado da hiperbole e limitadopor duas retas cujas bissetrizes s ao os eixos de simetria. Essas retas s ao chamadas de assntotas .

Denotemos por O o centro da hiperbole, F 1 e F 2 os seus focos e P um ponto qualquer do seu permetro.A deni cao da hiperbole como lugar geometrico pode ser (re)escrita como

|dP,F 1 dP,F 2 | = constante .

Agora escreva: 2 a = distancia entre os dois vertices; 2 c = distancia entre os dois focos. Colocando o

ponto P num dos vertices, pode-se concluir que

|dP,F 1 dP,F 2 | = 2 a .

As assntotas s ao inclinadas em relacao ao eixo real por angulos cujas tangentes valem c2 a2

a .

Por comodidade, representamos o n umero c2 a2 por b, inspirado na relac ao a2 + b2 = c2 an alogaa uma j a obtida quando do estudo da elipse.

2 Trata-se do curso de Algebra Linear.3 Esta curva, curiosamente, em sua vers ao tradicional, e formada de dois pedacos disjuntos.

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Levando-se em conta essas informa coes, pode-se guiar o desenho da hiperbole usando o seguinte

recurso. Desenhamos um ret angulo de lados 2 a e 2b. As diagonais deste ret angulo ser ao as assntotase os pontos medios dos lados que medem 2 b serao os vertices da hiperbole.

Figura 2.8: Hiperbole.

A excentricidade e o numero denido por e = dist ancia focal

dist ancia entre os vertices =

ca

.

Note que e > 1. Esse numero mede quanto a hiperbole est a mais fechada ou mais aberta. 4

Quando a excentricidade e pequena (isto e, e e perto de 1), a hiperbole est a mais fechada. Caso eesteja longe de 1, a hiperbole e mais aberta.

2.5.1 Equa coes de hiperboles com eixos de simetria paralelos aos eixos cartesianos.

Vamos deduzir a equa cao da hiperbole desenhada no plano cartesiano de modo que seu centro estejana origem do sistema cartesiano e que seus eixos coincidam com os eixos x e y.

Inicialmente vamos considerar que o eixo real repouse sobre o eixo x. Neste caso, as coordenadas dosfocos serao (c, 0) e (c, 0). Ent ao temos

| (x + c)2 + y2 (x c)2 + y2 | = 2 a ,de onde se conclui que

x2

a2 y2

b2 = 1 .

4 Dizer que a hiperbole est a mais fechada ou mais aberta e, de novo, uma condi cao mais psicol ogica do que matematica.

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Quando o eixo real repousa sobre o eixo y e o centro da hiperbole ainda est a na origem, a f ormula

acima sofre uma pequena adapta cao, tornando-se

x2

b2 +

y2

a2 = 1 .

Finalmente, no caso do centro da hiperbole estar fora da origem em ( x0 , y0 ), ent ao acontece aqui omesmo que aconteceu com as equa coes das elipse: os termos x2 e y2 que aparecem nas equa coes devemser substituidos pelos bin omios quadr aticos ( x x0 )2 e (y y0 )2 .

Figura 2.9: Hiperboles com centro na origemdo sistema cartesiano.

Figura 2.10: Transla cao dos eixos de umahiperbole.

2.5.2 Equa cao de uma hiperbole com eixos de simetria inclinados em rela caoaos eixos cartesianos.

Apenas por curiosidade, eis abaixo uma equa cao que descreve uma hiperbole com centro na origem

e com eixos de simetria inclinados. Dito mais exatamente, trata-se da hiperbole cujos focos est aosobre a reta y = mx :

(x + my )2

a2 (y mx )2

b2 = 1 + m 2 .


Exerccio 1. Para cada equacao de hiperbole dada abaixo, identique os eixos real e imagin ario,calcule a dist ancia focal, calcule a excentricidade, esboce a gura no plano cartesiano e marque osfocos.

1 a) x2

4 y2

16 = 1 1 b)

x2

4 +

y2

25 = 1 1 c)

(x 1)29 (y + 2)

2 = 1

1 d) 4(x + 1) 2 + y2 = 1 1 e) x2 y2 = 1

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2.6 Parabolas.

Figura 2.11: Par abola.

Elementos. Fixe um ponto e uma reta no plano.Os pontos que distam igualmente do ponto xo e da

reta xa formam uma curva chamada par abola . Este

ponto xo e chamado de foco enquanto que a reta xa echamada de diretriz . A par abola e simetrica em rela caoa uma reta perpendicular a diretriz e passando pelo

foco. Esta reta e chamada de eixo . A interse cao doeixo de simetria com a propria parabola acontece num

ponto chamado de vertice . Note que a gura de umapar abola tem uma abertura (o nome correto disso econcavidade ) que aparece de costas para a reta dire-triz e contendo o foco.

Denotemos por V o vertice da par abola, F o seu foco, r a sua diretriz e P um ponto qualquer do seu

permetro. A deni cao da par abola como lugar geometrico pode ser (re)escrita como

dP,F = dP,r .

2.6.1 Equa coes de par abolas com eixo de simetria paralelo a um dos eixos carte-sianos.

Vamos deduzir a equa cao da par abola desenhada no plano cartesiano de modo que seu vertice esteja

na origem do sistema cartesiano e que seu eixo coincida com um dos dois eixos x ou y.

Inicialmente vamos considerar que o eixo da parabola repouse sobre o eixo x e que as coordenadas do

foco sejam ( p, 0). Note que nesse caso, a concavidade da par abola est a voltada para a esquerda oupara a direita. O n umero real p e chamado de par ametro da par abola. Vamos supor a princpio que

p > 0. Neste caso, a reta diretriz ser a dada por x = p. Ent ao temos

(x

p)2 + y2 =

|x + p

|,

de onde se conclui que

y2 = 4 px .

Algumas consideracoes sobre o par ametro. Para come car, o sinal de p determina o sentido para o

qual est a voltada a concavidade da par abola. Quanto ao valor absoluto | p |, esse numero mede aabertura dessa concavidade, isto e, quanto a par abola est a mais fechada ou mais aberta. Se

duas parabolas tem o mesmo vertice, as concavidades voltadas para a mesma direc ao, mas parametros

diferentes, o maior parametro (em m odulo) d a uma gura mais fechada, enquanto o menor par ametro(em m odulo) d a uma gura mais aberta.

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Quando o eixo de simetria da par abola est a suportado no eixo y e o seu vertice ainda est a na origem, a

formula acima sofre uma pequena adapta cao. Note que nesse caso a concavidade da gura ca voltadapara cima ou para baixo. Eis a equa cao:

x2 = 4 py .

Ha ainda o caso em que o vertice da par abola encontra-se fora da origem do sistema cartesiano, noponto ( x0 , y0 ). Como das vezes anteriores, o efeito dessa transla cao do eixo da gura na sua equacao

e que os termos y2 e x (ou x2 e y, conforme o caso) devem ser substituidos pelos bin omios (y y0 )2 e(x x0 ) (ou (x x0 )2 e (y y0 ), conforme o caso).

Figura 2.12: Parabolas com vertice na origem

do sistema cartesiano.

Figura 2.13: Transla cao dos eixos de uma

parabola.


Exerccio 1. Para cada equacao de par abola dada abaixo, identique o eixo de simetria, o sentidoda concavidade, a reta diretriz, esboce a gura no plano cartesiano e marque o foco.

1 a) (y2)2 = x +1 1 b) (x 1)2 = y +1 1 c) x2 = 4 y +4 1 d) (y1)2 +3 x = 3

2.7 Formulario completo de c onicas.

Um formul ario completo de conicas, com centro nao necessariamente na origem do sistema cartesiano.

1) Circunferencia com centro em ( x0 , y0 ) e raio r : (x x0 )2 + ( y y0 )2 = r 2 .2) Elipse com centro em ( x0 , y0 ), semi-eixo maior a e semi-eixo menor b.

2 a) O eixo maior e paralelo ao eixo x: (x x0 )2

a2 +

(y y0 )2b2

= 1.

2 b) O eixo maior e paralelo ao eixo y: (x x0)

2

b2 + (y y0)

2

a2 = 1.

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3) Hiperbole com centro em ( x0 , y0 ), semi-eixo real a e semi-eixo imagin ario b.

3 a) O eixo focal e paralelo ao eixo x: (x x0 )2

a2 (y y0 )2

b2 = 1.

3 b) O eixo focal e paralelo ao eixo y: (x x0 )2

b2 +

(y y0 )2a2

= 1.

4) Par abola com vertice em ( x0 , y0 ) e distancia do vertice ao foco | p|.4 a) Eixo de simetria paralelo ao eixo x e concavidade para direita: ( y y0 )2 = 4 p(x x0 ) ; p > 0.4 b) Eixo de simetria paralelo ao eixo x e concavidade para esquerda: ( y y0 )2 = 4 p(x x0 ) ; p < 0.4 c) Eixo de simetria paralelo ao eixo y e concavidade para cima: ( x x0 )2 = 4 p(y y0 ) ; p > 0.4 d) Eixo de simetria paralelo ao eixo y e concavidade para baixo: ( x x0 )2 = 4 p(y y0 ) ; p < 0.

2.8 Equa cao geral do segundo grau a duas variaveis.

Observando as equa coes da circunferencia, elipse, hiperbole ou parabola, vemos que todas elas seencaixam numa equacao mais geral de segundo grau a duas vari aveis dada por

Ax 2 + By 2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 .

De fato, uma equacao como a acima sempre representa uma gura de circunferencia, elipse, hiperbole

ou par abola (essas sao chamadas de c onicas regulares), ou ainda as guras de um ponto isolado, um parde retas, uma reta dupla ou o conjunto vazio (essas guras s ao chamadas de conicas degeneradas).


Exerccio. Use atenciosamente o metodo do completamento de quadrados para identicar as gurascorrespondentes `as equa coes abaixo. Esboce o gr aco de cada uma delas no plano cartesiano.

1) x2 + 4 y2

2x

24y + 33 = 0 2)

4x2 + y2

16x

2y

19 = 0

3) 3x2 + 2 y2 6x 12y + 21 = 0 4) y2 3x 4y + 1 = 05) x2 + y2 4x 5 = 0 6) x2 + 6 x 9y2 = 07) x2 + y2 2x 2y = 0 8) 9x2 + 4 y2 16y 20 = 09) x2 + y2 8x 2y + 18 = 0 10) x 2 + 6 x + 2 y + 5 = 011) x2 y2 = 0

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Figura 2.14: A hiperbole y = 1x .

Uma observacao sobre o termo misto Cxy : Quandoesse termo aparece numa equa cao, isso indica que a

conica tem seus eixos de simetria n ao paralelos aos eixoscartesianos. Essas equa coes nao ser ao objetos deste

curso b asico de geometria analtica

Exemplo unico: A hiperbole xy = 1 que aparece noscursos de pre-calculo.

2.8.2 Um parentesis no curso de geometria analtica: a f ormula que resolve aequacao quadr atica.

Dada a fun cao quadr atica y = ax 2 + bx + c, com a

= 0, pode-se deduzir as famosas f ormulas abaixo

usando o metodo do completamento de quadrado.

Os vertice da par abola s ao xV = b2a

e y = 4a

. Os zeros da fun cao x = b b2 4ac2a

.

2.9 Inequa coes e regioes no plano.

As inequa coes (tambem chamadas de desigualdades) envolvendo os sinais > , , < ou , e as vari aveisx e y representam regioes do plano. As fronteiras dessas regi oes sao as curvas cujas equacoes corre-spondem as inequacoes dadas substituindo os sinais > , , < ou por =. Quando as inequac oes foremcom sinais ou ent ao a curva da fronteira faz parte da regi ao. Quando os sinais forem > ou 29)

4x2 + y2 1y x

10) y + 2 x2 3x2 + ( y 3)2 9

11) x < y < xx2 + y2 < 1

12) 1 x2 + y2 4

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Captulo 3

Vetores no plano.

Vetores. Vetores no R 2 . Modulo. Operacoes elementares. Paralelismo entre vetores.

3.1 Vetores.

O termo vetor e usado por cientistas para indicar uma grandeza que tenha tres informa coes: magnitude

(que tambem e chamado de m odulo ), dire c ao e sentido . Os exemplos cl assicos de vetores em fsica saodist ancia, velocidade, forca.

Um vetor e as vezes representado por uma seta. O comprimento da seta d a o seu modulo. A retasuporte da seta d a a dire cao, enquanto que a ponta da seta indica o sentido.

Para um pequeno exerccio visual preliminar, observe os diversos pares de vetores dados na gura

acima e compare-os no que diz respeito aos seus m odulos, dire coes e sentidos.

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3.2 Vetores no R 2.

Para um tratamento algebrico de vetores, utilizamos os pares ordenados no plano cartesiano. Assim,o vetor v = ( a, b) e aquele cuja representa cao e uma seta que parte da origem e cuja ponta esta naposicao (a, b).

Dados dois pontos A = ( xA , yA ) e B = ( xB , yB ) no plano, o vetor cujo incio est a na posi cao A e onal na posi cao B e indicado por AB e e dado por AB = ( xB xA , yB yA ) .Por causa dessa interpretac ao dos pontos do plano como vetores, esse plano as vezes e chamado deespa co vetorial de dimensao 2. Uma observa cao e que no contexto do estudo de vetores, os n umeros

reais geralmente sao chamados de grandezas escalares .

Figura 3.1: Vetor no plano cartesiano. Figura 3.2: Vetor de um ponto a outro.

3.3 Modulo & opera coes elementares.

O modulo do vetor v = ( a, b) e dado pela formula |v | = a2 + b2 .Quanto `as operacoes elementares entre vetores, elas s ao as opera coes aritmeticas executadas coorde-

nada por coordenada. Assim sendo, dados os vetores u = ( a, b) e v = ( p, q ), e o numero m R ,temos as tres seguintes operac oes:

a) Adicao: u + v = ( a + p , b+ q ).b) Subtracao: u v = ( a p , bq ).c) Produto por escalar: m u = ( m a , m b).As interpreta coes geometricas das opera coes elementares entre vetores podem ser conferidas na gura

a seguir.

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Figura 3.3: Interpreta coes geometricas das opera coes elementares.


Exerccio 1. Dados u = ( 2 , 1 ), v = ( 3 , 5 ) e w = ( 0 , 1 ), calcule os vetores a seguir.1 a) u + v 1 b) u

v 1 c) u + v + w 1 d) 3u

1 e) 2w 1 f ) 2u 3w 1 g) 12 (u 2v + 5w )Exerccio 1 (continua cao). Desenhe os vetores u , v , w e mais os vetores obtidos nos exerccios(1a), (1b), (1c), (1d) e (1e).

Exerccio 2. Determinar os numeros reais a e b tais que w = au + bv , onde u = ( 1 , 2 ),v = ( 2 , 0 ) e w = ( 4 , 4 ).Exerccio 3. Dados os pontos A = ( 3 , 4 ), B = ( 1 , 5 ), C = ( 1 , 0 ) e D = ( 0 , 5 ), calcule ovetor v tal que BC = 2( v + AD ) + 3 AC .

3.4 Paralelismo entre vetores.

Dois vetores s ao paralelos quando tem a mesma dire cao; e isso nao depende de seus modulos ou de

seus sentidos. Assim sendo dois vetores s ao paralelos quando diferem entre si pelo produto por umescalar (um numero) real nao nulo qualquer. Dito mais claramente, em termos algebricos, dois vetores

sao paralelos quando suas coordenadas s ao proporcionais entre si.

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Exerccio 1. Dados o ponto P = ( 1 , 2) e o vetor v = ( 3 , 4 ), determine o ponto Q no eixodas ordenadas tal que P Q seja paralelo a v .Exerccio 2. Qual e o m odulo do vetor v = ( 8 ,

6 )? Qual e o vetor paralelo a v que tem m odulo

igual a 5 e sentido contrario a v ?

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Captulo 4

Geometria no espa co cartesiano:pontos.

Coordenadas cartesianas de um ponto no espaco. Dist ancia entre dois pontos no espa co. Ponto mediode um segmento.

4.1 Coordenadas cartesianas de um ponto no espa co.

Os pontos do espaco podem ser identicados por uma tripla ordenada de n umeros reais.

Figura 4.1: O espaco cartesiano R 3 .

No espaco xamos tres eixos perpen-

diculares dois a dois intersectando-senum mesmo ponto chamado de origem.

Usualmente chamamos essas retas deeixo x (abscissa), eixo y (ordenada) e eixo

z (cota).

O espa co munido dos tres eixos ortogo-nais e chamado de espa co cartesiano e as

coordenadas de um ponto nesse espa cosao chamados de coordenadas retangu-

lares.

R 3 = {( a , b , c ) ; a , b , cR }

Fixados os eixos x e y, a dire cao e o sentido do eixo z e dada pela regra da m ao direita (Esta regra edescrita na licao Produto vetorial, no pr oximo captulo).

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4.2 Distancia entre dois pontos no espa co.

Dados os pontos A = ( xA , yA , zA ) e B = ( xB , yB , zB ), a dist ancia entre eles pode ser calculadaaplicando o Teorema de Pit agoras duas vezes, para obter a seguinte formula:

dAB = (xB xA )

2

+ ( yB yA )2

+ ( zB zA )2

.

4.3 Ponto medio de um segmento.

Lembramos que ponto medio de um segmento e o ponto que o divide em duas partes de comprimento

iguais. Dado um segmento com extremidades nos pontos A = ( xA , yA , zA ) e B = ( xB , yB , zB ), ascoordenadas do ponto medio ser ao a media aritmetica simples das coordenadas das suas extremidades,

isto e,

M = xA + xB2

, yA + yB2

, zA + zB2

.

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Captulo 5

Vetores no espa co.

Vetores no R 3 . Modulo & opera coes elementares. Vetores can onicos. Vetores unitarios. Produtoescalar. Angulo entre vetores. Criterio de perpendicularidade. Proje cao ortogonal. Observa coes sobre

o produto escalar no plano cartesiano. Produto vetorial. Produto vetorial em coordenadas. Area de

um paralelograno. Produto misto. Interpreta cao geometrica do produto misto.

5.1 Vetores no R 3.

Um vetor no espaco e uma tripla ordenada de n umeros v = ( a , b , c). A representac ao desse vetorse da na seta cujo incio est a na origem do sistema cartesiano e a ponta est a na posi cao (a,b,c).

Dados dois pontos A = ( xA , yA , zA ) e B = ( xB , yB , zB ) no espaco, o vetor cujo incio est a em Ae o nal em B e indicado por AB e e dado por AB = ( xB xA , yB yA , zB zA ) .Por causa dessa interpreta cao dos pontos do espaco como vetores, esse espa co cartesiano as vezes e

chamado de espaco vetorial de dimensao 3.

5.2 Modulo & opera coes elementares.

O modulo do vetor v = ( a , b , c ) e dado pela formula |v | = a2 + b2 + c2 .Dados os vetores u = ( a,b,c) e v = ( p, q, r), e o numero mR , temos as tres seguintes opera coes:a) Adicao: u + v = ( a + p , b+ q , c + r ).b) Subtracao: u v = ( a p , bq , cr ).c) Produto por escalar: m u = ( m a , m b , m c ).

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5.3 Vetores can onicos e vetores unitarios.

Os vetores de m odulo 1 que tem as direcoes dos eixos

cartesianos e os sentidos positivos desses eixos s ao chama-dos de vetores can onicos . Esses vetores s ao representados

pelas letras i , j e k . Dito mais claramente:i = (1 , 0, 0) , j = (0 , 1, 0) e k = (0 , 0, 1) .

Todo vetor v = ( a , b , c ) pode ser escrito como soma demultiplos de vetores can onicos da seguinte forma

v = ai + b j + ck . Figura 5.1: Vetores canonicos em R 3 .

Um vetor unitario (as vezes tambem chamado de versor ) e qualquer vetor que tenha m odulo 1. Porexemplo, os vetores canonicos sao unitarios. De modo geral, se v = (0 , 0, 0), podemos obter um vetorunitario u que tenha a mesma dire cao e o mesmo sentido de v calculando u = v

|v |.


Exerccio 1. Dados os vetores u = ( 4 , 0 , 3 ) e v = ( 2 , 1 , 5 ), calcule |u |, |v |, u + v , u v ,3v , 2u + 5v e |u + 2v |.Exerccio 2. Determinar a extremidade do segmento que suporta o vetor v = ( 2 , 5 , 1 ) sabendoque sua origem e o ponto A = ( 1 , 3 , 4 ).Exerccio 3. Calcule a e b de modo que os vetores ( 4 , a , 3) e (6 , 1 , b) sejam paralelos.Exerccio 4. Qual e o comprimento do vetor 2 i j 2k ?Exerccio 5. Qual e o vetor unit ario na mesma direcao e sentido de ( 1 , 2 , 2 ) ?Exerccio 6. Qual e o vetor unit ario na mesma direcao de 3i + 3 j k , mas de sentido oposto ?Exerccio 7. Verique se os pontos A = ( 1 , 5 , 0 ), B = ( 2 , 1 , 3 ) e C = ( 2 , 7 , 1) s aocolineares.

Exerccio 8. Mostre que os pontos A = ( 1 , 1 , 0 ), B = ( 2 , 4 , 3 ), C = ( 5 , 7 , 9 ) e D =( 4 , 12 , 6 ) sao vertices de um paralelogramo.

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5.4 Produto escalar.

O produto escalar e um produto entre dois vetores cujo resultado e um n umero real. Sua deni cao ea seguinte: sendo dados u = ( a , b , c ) e v = ( p , q , r ) ent ao

u

v = ap + bq + cr .

5.4.1 Exerccio para sala de aula.

Exerccio 1. Sejam u = ( 1 , 2 , 1 ) e v = 3i + 3 j k . Calcule o que se pede.1 a) u v 1 b) u u 3 c) v v 3 d) u i .1 e) v j 1 f ) (2u ) v 3 g) u k 3 h) i (u 3v ) .

5.4.2 Algumas propriedades do produto escalar.

a) O produto escalar e comutativo, isto e, u v = v u .b) Para qualquer vetor vale que v v 0. Mais do que isso, v v = |v|2 .c) O produto escalar de um vetor qualquer por algum dos vetores can onicos, d a como resposta acoordenada correspondente a esse vetor can onico.

d) Propriedade distributiva: u (v + w ) = u v + u w .e) Quadrado da soma: ( u + v ) (u + v ) = |u |2 + 2 u v + |v |2 .

5.5 Angulo entre vetores.

A interpreta c ao geometrica do produto escalar e a

seguinte. Se u e v sao dois vetores n ao nulos (isto ediferentes de (0 , 0, 0)) ent ao o angulo formado pelos doisvetores (com 0 < < 180 ) e dado pela formula

cos = u v|u | |v |

.Figura 5.2: Angulo entre vetores.


Exerccio 1. Qual e o angulo entre os vetores u = i + j + k e v = 2i + j + 3k ?Exerccio 2. Qual e o angulo entre os vetores u = ( 2 , 2 , 1 ) e v = ( 4 , 3 , 2 ) ?

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5.5.2 Recordar e viver... Lei dos cossenos.

Esta se cao e um parentesis no curso de geometria analtica e um breve retorno ` a geometria plana

classica.

Figura 5.3: Lei dos Cossenos.

Num triangulo qualquer com lados a, b e c e comangulo no vertice oposto ao lado a, vale a formula

a2 = b2 + c2 2 b ccos .Apos demonstrar a formula da lei dos cossenos,podemos utiliza-la para justicar a interpreta cao

geometrica do produto escalar.

5.5.3 O angulo entre dois vetores s o depende da dire cao e do sentido deles.

Dois vetores que mantem a mesma dire cao e o mesmo sentido, diferem apenas pelo produto por umescalar (um numero) real positivo. Se e sao dois numeros reais positivos, e f acil ver que o angulo

entre os vetores u e v e o mesmo que o angulo entre u e v .

5.6 Criterio de perpendicularidade.

Dois vetores u e v sao perpendiculares entre si quando o angulo entre eles e o angulo reto, ou seja,quando o cosseno desse angulo e zero. Assim, dois vetores u e v sao perpendiculares entre si se esomente se u v = 0.

5.6.1 Observa coes sobre o produto escalar no plano cartesiano.

Dados dois vetores u = ( a , b ) e v = ( p , q ) em R 2 , podemos denir o produto escalar como

u v = ap + bq .

No plano cartesiano ainda vale a f ormula cos = u v|u | |v |

.

Tambem continua valendo o criterio de perpendicularidade: os vetores u e v sao ortogonais entre sise e somente se u v = 0. Em particular, dado um vetor ( a , b ) pode-se obter um vetor perpendiculara este tomando (

b , a ).

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Exerccio 1. Verique se os vetores u = 2i + 2 j k e v = 5 i 4 j + 2k sao perpendicularesentre si ou n ao.

Exerccio 2. Determine o valor de m

R para que os vetores u = mi + j + ( m

1)k e

v = 2 i + m j 6k sejam ortogonais entre si.Exerccio 3. Dado o vetor u = 2 i j + k , escreva um vetor que lhe seja perpendicular, um outroque lhe seja paralelo e um terceiro que n ao lhe seja nem perpendicular e nem paralelo.

Exerccio 4. Identique o vertice onde est a o angulo reto no triangulo retangulo dado pelos pontos( 10 , 3 , 5 ), ( 2 , 2 , 1 ) e (1 , 3 , 4 ).Exerccio 5. Considere no plano cartesiano os pontos A = ( 5 , 4 ) e B = ( 9 , 1 ), vertices conse-cutivos de um quadrado. Determine os outro dois vertices.

5.7 Produto vetorial.

Figura 5.4: Produto vetorial.

O produto vetorial e uma multiplica cao entre dois vetores cujo re-

sultado da um terceiro vetor. Escrevemos o produto vetorial de upor v como u v . O vetor u v e simultaneamente ortogonalaos dois vetores u e v . Seu sentido e dado pela regra da mao dire-ita. Esta regra da m ao direita e uma convencao que funciona assim:ponha a m ao direita aberta sobre o vetor u de modo que ao fech a-laos dedos estejam indo ao encontro de v . Ent ao o vetoru v tem o sentido que aponta o dedo polegar esticado.

Joinha!

O produto vetorial n ao e comutativo, isto e, u v = v u . Para ser mais exato, esses dois vetoresdiferem entre si pelo sentido, ou seja, u v = v u .Entre os vetores can onicos vale i

j = k , j

k = i e k

i = j .

5.8 Produto vetorial em coordenadas.

Dados os vetores u = ( a , b , c ) e v = ( p , q , r ) dene-se u v = deti j ka b c p q r

, isto e,

u v = ( br cq , cpar , aq bp) .

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Observamos que o produto vetorial e exclusivo apenas para os vetores do R 3 e nao tem correspondente

no plano R 2 .


Exerccio 1. Dados os vetores u = ( 1 , 2 , 3 ) e v = ( 2 , 7 , 5), fa ca o que se pede.1 a) Calcule u v ; 1 b) Calcule v u e verique que difere do anterior pelo sinal ;1 c) Verique que realmente o vetor u v e simultaneamente perpendicular aos vetores u e v .Exerccio 2. Obtenha um vetor perpendicular ao plano determinado pelos pontos P = ( 1 , 4 , 6 ),Q = ( 2 , 5 , 1 ) e R = ( 1 , 1 , 1 ).

5.9 Area de um paralelograno.

A interpreta c ao geometrica do produto vetorial e a seguinte. Se u e v sao dois vetores n ao nulos (istoe diferentes de (0 , 0, 0)) ent ao o modulo do produto vetorial u v fornece a area do paralelogramocujos lados s ao u e v .5.9.1 Algumas f ormulas.

Para chegar a essa conclus ao, veremos uma sequencia de

formulas:a) Uma formula que mistura produto escalar com pro-duto vetorial:

|u v |2 + ( u v )

2 = |u |2

|v |2 .

b) Duas formulas diferentes, uma para cada produto (es-calar e vetorial), mas parecidas:

cos = u v|u | |v |

e sen = |u v ||u | |v |

.

c) Por m a area: Area = |u v |. Figura 5.5: Angulo entre vetores.


Exerccio 1. Calcule a area do paralelogramo cujos lados s ao os vetores ( 1 , 0 , 1 ) e (3 , 5 , 1 ).Exerccio 2. Qual e a area do triangulo dado pelos pontos ( 1 , 4 , 6 ), (

2 , 5 ,

1) e (1 ,

1 , 1 ) ?

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Captulo 6

Geometria no espa co cartesiano: retase planos.

Equa coes da reta no espaco. Retas em posi coes especiais. Equa cao do plano. Planos em posicoesespeciais. Posi coes relativas entre duas retas no espaco. Posi coes relativas entre dois planos. Posi coes

relativas entre uma reta e um plano. Mais exerccios. Dist ancia entre dois pontos (de novo). Dist anciaentre um ponto e um plano. Dist ancia entre um ponto e uma reta. Dist ancia entre guras paralelas.

Dist ancia entre retas reversas.

6.1 Equa coes da reta no espa co.

Lembramos que em R 2 , uma das maneiras de se conhecer uma reta era saber previamente sua inclina caoe um de seus pontos. Semelhantemente em R 3 , uma reta r e bem determinada ao se conhecer um

ponto P = ( x0 , y0 , z0 ) r e a sua dire cao. Essa dire cao e dada por um vetor v = ( a , b , c )chamado de vetor diretor da reta .

A equa c ao vetorial da reta e dada por r = P + tv ; tR .

Figura 6.1: Equacao vetorial da reta no espa co.

Cada par ametro tR da a posi cao de um ponto da reta r . O par ametro t = 0 corresponde ao ponto

P = ( x0 , y0 , z0 ) conhecido inicialmente. Para os par ametros t > 0 temos os pontos da reta a partir

de P pra frente, isto e, seguindo o sentido do vetor diretor v . Para os parametros t < 0 temos ospontos a partir de P pra tras, isto e, seguindo no sentido oposto ao do vetor v .

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Alem da equacao vetorial, ha outros dois modos de escrever a equa cao de uma reta. Ao calcular os

seus pontos por coordenadas, escrevemos r = ( x , y, z ). Temos entao as equa c oes parametricas dadaspor

r :x = x0 + at

y = y0 + bt

z = z0 + ct

.

O outro modo de representar a reta e eliminando o par ametro t nas tres equa coes acima. Se nem a,nem b e nem c sao zeros, ent ao temos as equa c oes simetricas dadas por

r : x x0

a =

y y0b

= z z0

c .


Exerccio 1. Escreva as equacoes parametricas e as simetricas da reta r passando pelo ponto P =(5, 1, 3) e paralela ao vetor i + 4 j 2k . Calcule dois outros pontos quaisquer nessa reta, um decada lado do ponto P .

Exerccio 2. Calcule as equa coes parametricas e simetricas da reta determinada pelos pontos A =( 2 , 4 , 3 ) e B = ( 3 , 1 , 1 ). Em que pontos essa reta fura cada um dos planos coordenados?

6.2 Retas em posi coes especiais.

Quando uma ou duas das coordenadas do vetor diretor e zero ent ao a reta que tem a dire cao dessevetor sera paralela a um dos eixos ou um dos planos coordenados. Dizemos que essa reta est a em

uma posi c ao especial . As equa coes parametricas podem ser escritas sem restri cao, mas as equacoessimetricas sofrem pequenas adaptac oes. Veremos a seguir os seis casos de reta em posi cao espacial.

Caso 1. v = ( a , b , 0 ) coma = 0 e b = 0.

A reta e paralela ao plano xy.

r :x = x0 + at

y = y0 + btz = z0

r : x x0

a =

y y0b

; z = z0

Caso 2. v = ( a , 0 , c ) coma = 0 e c = 0.

A reta e paralela ao plano xz.

r :x = x0 + at

y = y0z = z0 + ct

r : x x0

a =

z z0c

; y = y0

Caso 3. v = ( 0 , b, c) comb = 0 e c = 0.

A reta e paralela ao plano yz.

r :x = x0y = y0 + btz = z0 + ct

r : y y0

b =

z z0c

; x = x0

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Caso 4. v = ( a , 0 , 0 ) coma = 0.

Nao ha equa coes simetricas.

O vetor diretor tem a mesma

direc ao do vetor canonico i .A reta e paralela ao eixo x.

r :x = x0 + aty = y0z = z0

Caso 5. v = ( 0 , b , 0 ) comb = 0.

Nao ha equacoes simetricas.


dire cao do vetor canonico j .A reta e paralela ao eixo y.

r :x = x0y = y0 + bt

z = z0

Caso 6. v = ( 0 , 0 , c ) comc = 0.

Nao ha equa coes simetricas.


dire cao do vetor canonico k .A reta e paralela ao eixo z.

r :x = x0y = y0z = z0 + ct

6.3 Equa cao do plano.

Figura 6.2: Um plano e seu vetor normal.

Toda equacao da forma ax + by + cz + d = 0 coma, b, c e d R representa um plano espa co. Paradeterminar um plano no espaco precisamos con-hecer um ponto pelo qual ele passa e um vetor que

lhe seja ortogonal. Esse vetor e chamado de vetor

normal do plano e eventualmente representado pela

letra n .

Note bem que a inclinacao de um plano ca bemdeterminada quando se conhece uma dire cao que

lhe seja perpendicular.

Em coordenadas, suponha que o ponto seja dado por P = ( x0 , y0 , z0 ) e o vetor normal sejan = ( a , b , c ). Se ( x , y, z ) e outro ponto qualquer do plano, ent ao o vetor ( x x0 , y y0 , z z0 )e um vetor contido no plano (isto e, est a paralelo a uma reta contida no plano). Este vetor eperpendicular ao vetor normal n , e portanto o produto escalar entre eles e nulo. Assim

a(x

x0 ) + b(y

y0 ) + c(z

z0 ) = 0

anotacoes para um curso basico de geometria analitica versao 2014 02

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