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Geometria Analtica 1/1GEOMETRIA ANALTICA COORDENADAS CARTESIANAS: Um ponto (x,y) no plano tem duas coordenadas:a absissa, que a coordenada x no eixo x,ea ordenada, que a coordenada y no eixo y. POSIES DE UM PONTO EM RELAO AO SISTEMA DE COORDENADAS: Os eixos coordenados dividem o plano em 4 quadrantes: 1 Quadrante x > 0ey > 0 2 Quadrante x < 0ey > 0 3 Quadrante x < 0ey < 0 4 Quadrante x > 0ey < 0 Umpontopertencebissetrizdosquadrantesmparesse,esomentese,tiver coordenadas iguais: Tal bissetriz o conjunto dos pontosde coordenadas (a, a) Geometria Analtica 2/2Um ponto pertence bissetriz dos quadrantes pares se, e somente se, tiver coordenadas opostas: Tal bissetriz o conjunto dos pontosde coordenadas (a, a ) DITNCIA ENTRE DOIS PONTOS: Dados dois pontos A (x1, yl) e B(x2, y2), a distncia entre eles dada por 21 221 2) y y ( ) x x ( d + = _________________________________________________________________________ Exemplo:DadostrspontosA(8,11),B(-4,-5)eC(-6,9)pertencentesauma circunferncia, obtenha o centro da circunferncia e o seu raio. Soluo:OcentroserumpontoP(x,y)eqidistantedeA,BeC.Portanto,temosque impor as seguintes igualdades: 1)dPA = dPB

2)dPB = dPC De (1) obtemos que: (x 8) + (y 11) = (x + 4) + (y + 5) x 16.x + 64 + y 22.x + 121 = x + 8.x + 16 + y + 10.y + 25 3.x + 4.y = 18 De (2) obtemos que: (x + 4) + (y + 5) = (x + 6) + (y 9) x + 8.x + 16 + y + 10.y + 25 = x + 12.x + 36 + y 18.y + 81 x 7.y = 19 Isolando x na equao obtida em (2) e substituindo naquela obtida em (1) obtemos y = 3ex = 2. Portanto, P (2, 3) o centro da circunferncia. O raio obtido calculando-se a distncia entre o ponto P (2, 3) e qualquer um dos pontos A, B ou C. Temos ento: 10 64 36 ) 3 11 ( ) 2 8 ( d raio2 2PA= + = + = =________________________________________________________________________ Geometria Analtica 3/3COORDENADASDOPONTOMDIO:Pontomdioopontodedivideumsegmento ABdadoemduaspartesiguais,ondesodadasascoordenadasdospontosA(x1,yl)eB(x2, y2): 2x xx2 1M+=e2y yy2 1M+= _________________________________________________________________________ Exemplo: Calcule o comprimento da mediana AM do tringulo ABC cujos vrtices so os pontos A(0, 0), B(3, 7) e C(5, 1). Soluo: O ponto M tal que: 425 32x xxC BM=+=+= 32) 1 ( 72y yyC BM= +=+= Ento temos que o comprimento da mediana AM : 5 9 16 ) 0 3 ( ) 0 4 ( d2 2AM= + = + =_________________________________________________________________________ BARICENTRO DE UM TRINGULO: o ponto que surge da interseo das medianas dotringulo.Suascoordenadassocalculadasatravsdasmdiasaritmticasdas coordenadas dos vrtices. 3x x xxC B AG+ += 3y y yyC B AG+ += Geometria Analtica 4/4READEUMPOLGONOQUALQUER:DadososvrticesA(x1,y1),B(x2,y2),C(x3, y3), ... Z(xn, yn) de um polgono qualquer com n lados (e portanto com n vrtices), usamos a frmula: Nafrmulaacimatemosapenasumaanalogiacomoclculodedeterminantes.O clculo fica assim: | ) y x ( ) y x ( ) y x ( ) y x ( ) y x ( ) y x ( |21S1 2 2 3 n 1 1 n 32 2 2 1 + + + = K K_________________________________________________________________________ Exemplo:DadosospontosB(2,3)eC(-4,1),determineovrticeAdotringuloABC, sabendo que o ponto do eixo y do qual se v BC sob ngulo reto. Soluo: O ponto A(x, y) tal que: 1)A da forma (0, y) 2)AB AC Por Pitgoras: 2BC2AB2ACd d d = + De (2) temos que: (x + 4) + (y 1) + (x 2) + (y 3) = (2 + 4) + (3 1) De (1) temos que x = 0 para o ponto A. Fazendo x = 0 na equao acima resulta em: y 4.y 5 = 0 y = 1ouy = 5 Portanto, temos duas solues: A(0, 1) ou A(0, 5) _________________________________________________________________________ Exemplo: Calcule a rea do quadriltero ABCD, dados: A(0, 0), B(4, 2), C(6, 8) e D(0, 4). Soluo: 34 | 12 24 32 |21|0 4 8 2 00 0 6 4 021| rea = + + = = Geometria Analtica 5/5CONDIODEALINHAMENTODE3PONTOS:Usamosamesmafrmulaanteriore impomos que o seu resultado seja zero. Dados 3 pontos A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3, y3), eles so colineares se: 0y y y yx x x x1 3 2 11 3 2 1=_________________________________________________________________________ Exemplo:DadosA(-3,4),B(2,9),C(2, 7) e D(4,5), obtenhaainterseo dasretasAB e CD.Soluo: Sendo P(x, y) o ponto procurado, ento temos que: 1)P, B e A so colineares; e 2)P, C e D so colineares. Usando a frmula para a condio (1) temos: 0y 4 9 yx 3 2 x= 9.x + 8 3.y 4.x + 27 2.y = 0 5.x 5.y = 35 x y = 7 Usando a frmula para a condio (2) temos: 0y 5 7 yx 4 2 x= 7.x + 10 + 4.y 5.x 28 2.y = 0 2.x + 2.y = 18 x + y =9 Somando as equaes encontradas temos: x y = 7 x + y =9 + 2.x = 2 x = 1 1 + y = 9 y = 8P(1, 8) _________________________________________________________________________ EQUAO DA RETA: Existem vrias formas de representar a equao de uma reta: Forma Geral: Umamesmaretaadmiteinfinitasequaesgerais.Issosignificaqueatodaretado plano est associado um conjunto de equaes equivalentes entre si. Essa reta corta o eixo x no ponto ||

\| 0 ,ac e o eixo y no ponto||

\|bc, 0 Forma Reduzida: m o coeficiente angular da reta:m = tg() = a / bq a ordenada do ponto de interseo com o eixo yq = c / b Forma Segmentria: a.x + b.y + c = 0 y = m.x + q x+y=1 pq Geometria Analtica 6/6Forma Paramtrica: Sefordadaaformaparamtrica,podemostransform-lanasoutras,seguindoo esquema: COEFICIENTE ANGULAR _________________________________________________________________________ Exemplo: Ache as coordenadas do ponto de interseo das retas x = 3.t + 1 x = 2.u 2res y = 2 .t + 5 y = 7 + u Soluo: Temos que transformar as retas r e s para a forma geral e ento substituir uma na outra. Isolamos t nas duas equaes de r e igualamos as expresses encontradas: x = 3.t + 1t = x 1 3 x 1=5 y 2.x 2 = 15 3.y y = 2 .t + 5 t = 5 y3 2 2 2.x + 3.y 17 = 0 x = f1(t) ey = f2(t) Forma paramtricaForma geralForma reduzida Forma segmentria Geometria Analtica 7/7Isolamos u nas duas equaes de s e igualamos as expresses encontradas: x = 2.u 2 u = x + 2 2 x + 2=y 7 x + 2 = 2.y 14y = 7 + uu = y 7 2 x 2.y + 16 = 0 Isolando x na segunda equao temos: x = 2.y 16Substituindo na primeira equao temos: 2.(2.y 16) + 3.y 17 = 0 7.y 49 = 0 y = 7 x 14 + 16 = 0 x = 2 Portanto, o ponto de interseo entre as retas res o ponto ( 2, 7). _________________________________________________________________________ a1.x + b1.y + c1 = 0ouy = m1.x + q1 POSIES RELATIVAS ENTRE DUAS RETASa2.x + b2.y + c2 = 0ouy = m2.x + q2

Concorrentes: um s ponto em comum 2121bbaae perpendiculares se Paralelas: nenhum ponto em comum 212121ccbbaa =ou Iguais: infinitos pontos em comum212121ccbbaa= =_________________________________________________________________________ Exemplo: Qual a posio relativa entre as retas3.x y 7 = 0e6.x 2.y + 17 = 0 ? Soluo:Temos que1772163=de onde conclumos que so paralelas e distintas. _________________________________________________________________________ Exemplo: Para qual(is) valor(es) de m as retas r e s se tornam paralelas ? r:(m 1).x + m.y 1 = 0 s:(1 m).x + (m + 1).y + 1 = 0 Soluo: Queremos impor 111 mmm 11 m += m1 = m2

m1 x m2 = 1 Geometria Analtica 8/8Da primeira igualdade temos: == = = + +=21mou1 m0 1 m m 2 m m 1 m m m1 mmm 11 m2 2 2 Para que as setas sejam concorrentes basta que tenhamos m 1oum . Para m = 1 temos r:y 1 = 0 r:y = 1 r paralela a s r // s s: 2.y + 1 = 0s: y = 1/2 Para m = . temos r: (3/2).x (1/2).y 1 = 0r igual a s r = s s:(3/2).x + (1/2).y + 1 = 0 Portanto, apenas para m = 1 temos que as retas r e s se tornam paralelas. ________________________________________________________________________ Exemplo: Determine o ponto Q, simtrico de P( 3, 2)em relao reta r: x + y 1 = 0. Soluo:O coeficiente angular da reta r igual a mr = a/b = 1 A reta s, perpendicular reta r, tem coeficiente angular ms = 1/ mr = 1 O ponto P(3 , 2)pertence reta sA equao da reta s dada por: y 2 = 1.(x + 3) x y + 5 = 0 A interseo com r obtida do sistema: x + y 1 = 0 x y + 5 = 0x = 2ey = 3A interseo o ponto M(2, 3) M o ponto mdio de PQ. A partir disso temos: 1 3 4 x x . 2 x2x xxP M QQ PM = + = = += 4 2 6 y y . 2 y2y yyP M QQ PM= = = += Portanto, a resposta Q(1, 4) _________________________________________________________________________ Geometria Analtica 9/9_________________________________________________________________________ Exemplo: Obtenha uma reta paralela a r: 2.x + y = 0 que define com os eixos um tringulo cuja rea 16. Soluo: A equao da reta paralela tem a forma 2.x + y + c = 0. Como a rea 16, temos: 8 c 64 c 164c2|1c| |2c|2| q | | p |rea22 = = = = ==

Portanto, temos duas respostas possveis: 2.x + y + 8 = 0 ou 2.x + y 8 = 0 _________________________________________________________________________ RETA QUE PASSA POR UM PONTO (x1, y1): RETA QUE PASSA POR DOISPONTOS (x1, y1) E (x2, y2): ( )11 21 21x xx xy yy y |||

\|= ou 0y y y yx x x x2 12 1= DISTNCIA DO PONTO (x1, y1) RETA a.x + b.y + c = 0 b ac y b x ad21 1++ + = y y1 = m. (x x1) Geometria Analtica 10/10 CIRCUNFERNCIA Equao reduzida: Equao normal: surge da expanso da equao reduzida. Se R = 0, ento a equao representa um nico ponto. RECONHECIMENTO: Dada uma equao do 2 grau, em x e y, da forma para que ela possa representar uma circunferncia devemos ter: A = B 0 C = 0 , ou seja, no deve haver termo misto x.y. O centro tem coordenadas||

\| A . 2E,A . 2D O raio deve ser positivo. Faz-seocompletamentodosquadradosparapassardaformanormalparaaforma reduzida (x a) + (y b) = R, onde a leitura das coordenadas do centro C(a, b) e do raio R so imediatas. RETA E CIRCUNFERNCIA Dadasumaequaodaretaeumaequaodacircunferncia,parasaberseocorre interseoentreelasisolamosumadasincgnitasnaequaodaretaesubstitumosna equaodacircunferncia.Dissoresultaumaequaodo2grauaumaincgnita,cujo sinal do discriminante significa que: > 0secante = 0tangente < 0exterior

(x a) + (y b) = R x + y 2.a.x 2.b.y + a + b R = 0 A.x + B.y + C.x.y + D.x + E.y + F = 0 Geometria Analtica 11/11________________________________________________________________________ Exemplo: Qual das equaes abaixo representa uma circunferncia? a)x + 3.y 5.x 7.y 1 = 0 b)x + y + x.y 4.x 6.y 9 = 0 c)3.x + 3.y + 4.x 6.y + 15 = 0 d)x + y 2.x 2.y + 2 = 0 e)2.x + 2.y 4.x 6.y 3 = 0 Soluo: a)No, pois A = 1 e B = 3(x e y tem coeficientes diferentes) b)No, pois C = 1 (existe termo misto) c)No,pois a forma reduzida fica (x + (2/3)) +(y 1)= 15 + (4/9) + 1 < 0e o raio seria um nmero complexo. d)No, pois a forma reduzida fica (x 1) + (y 1) = 2 + 1 + 1 = 0 e o raio no pode ser nulo. e)Sim, pois A = B = 2,C = 0,e a forma reduzida fica(x 1) + (y (3/2)) = 3 + 1 + (9/4) = 25/4 = (5/2) _________________________________________________________________________ Exemplo: Qual a posio da retar: 4.x + 3.y = 0 em relao circunferncia x + y + 5.x 7.y 1 = 0 ? Soluo 1: Da 1 equao temos x = (3.y)/4. Substituindo na segunda temos: 0 1 y . 74y . 3. 5 y4y . 322= ||

\| + +||

\|9.y + 16.y 60.y 112.y 16 = 0 25.y 172.y 16 = 0 = b - 4.a.c > 0 r secante

Soluo 2: Acircunfernciatemcentro ||

\|27,25C .Procedendoaocompletamentodequadrados temos: x + y + 5.x 7.y 1 = 0 x + 5.x + (25/4) + y 7.y + (49/4) 1 = (25/4) + (49/4) (x + (5/2)) + (y (7/2)) = 1 + (74/4) = (78/4)(x + (5/2)) + (y (7/2)) =(278) raio R = 278 A distncia do centro C reta r : 1 , 01020 219 16273254d ==+||

\| +||

\| = Como d < R, ento r secante. _________________________________________________________________________ Geometria Analtica 12/12_________________________________________________________________________ Exemplo:Areta(t):y=x2eacircunferncia( ):x+y=2sotangentes,pois substituindo temos: x + (x 2) = 2 2.x - 4.x + 2 = 0 = 0x = 1 (nica soluo)y = 1 S h um ponto comum a t e a , que P(1, 1). Portanto,t = {(1, 1)}. _________________________________________________________________________ Exemplo:Determinecdemodoqueareta(r):4.x3.y+c=0sejaexterior circunferncia ( ): x + y 2.x 2.y + 1 = 0. Soluo 1:Da 1 equao tiramos 3c x . 4y+= e substitumos na 2: 0 13c x . 4. 2 x . 23c x . 4x22= +||

\|+ ||

\|++ donde vem que:25.x + (8.c 42).x + (c 6.c + 9) = 0cujo discriminante = (8.c 42) 100.(c 6.c + 9) = 36.c 72.c + 864 Para que r seja exterior a devemos impor < 0. Portanto: 36.c 72.c + 864 < 0 c + 2.c 24 > 0c < 6 ou c > 4 Soluo 2:Por completamento de quadrados, a circunferncia tem equao reduzida: (x 1) + (y 1) 1 = 0.Portanto, seu centro C(1, 1) e seu raio R = 1. Para que a reta r seja exterior a devemos impor que a distncia entre o centro C e a reta r seja maior que o raio R, ou seja,dCr > R. Portanto: 151 c9 16c ) 1 .( 3 ) 1 .( 4dCr>+=++ =isto , (c + 1) > 25 c + 2.c 24 > 0 c < 6 ouc > 4 _________________________________________________________________________ Geometria Analtica 13/13ELIPSE: o conjunto dos pontos cuja soma das distncias aos focos F1 e F2 a constante 2.a, onde a distncia entre F1 e F2 vale 2.c.

F1 e F2 Focosrelao notvel:a = b + c O centro A1A2 eixo maior B1B2 eixo menor2.c distncia focal 2.a medida do eixo maior2.b medida do eixo menorc/a excentricidade (e) 0 < e < 1

EQUAO DA ELIPSE Equao reduzida: Se a > b, ento temos duas possibilidades: 1byax2222= +para centro O em (0, 0),eixo maior sobre o eixo x efocos F1( c, 0) e F2(c, 0),como a figura anterior. 1bxay2222= +para centro O em (0, 0),eixo maior sobre o eixo y efocos F1(0, c) e F2(0, c),como na figura ao lado. Geometria Analtica 14/14Caso o centro da elipse esteja em um ponto (x0, y0) ento as equaes ficam assim: 1b) y y (a) x x (220220=+e1b) x x (a) y y (220220=+

_________________________________________________________________________ Exemplo: Uma elipse com eixo maior 10 e distncia focal 6, na posio indicada na figura,apresenta a = 5c = 3 b = a c = 25 9 = 16 b = 4 e sua equao a seguinte: 116y25x2 2= + _________________________________________________________________________ Geometria Analtica 15/15HIPRBOLE:oconjuntodospontoscujadiferena(emvalorabsoluto)dasdistncias aos focos F1 e F2 a constante 2.a, onde a distncia entre F1 e F2 vale 2.c. F1 e F2 Focosrelao notvel:c = a + b O centro A1A2 eixo real B1B2 eixo imaginrio2.c distncia focal 2.a medida do eixo real2.b medida do eixo imaginrioc/a excentricidade (e) e > 1 EQUAO DA HIPRBOLE Equao reduzida: Temos duas possibilidades: 1byax2222= para centro O em (0, 0),eixo real sobre o eixo x efocos F1( c, 0) e F2(c, 0),como a figura anterior. 1bxay2222= para centro O em (0, 0),eixo real sobre o eixo y efocos F1(0, c) e F2(0, c), como na figura ao lado. Geometria Analtica 16/16_________________________________________________________________________ Exemplo:Umahiprbolecomeixoreal6edistnciafocal10,naposioindicadana figura, tem c = 10/2 = 5 a = 6 / 2 = 3 b = c - a = 25 9 = 16 b = 4 e sua equao fica assim: 116x9y2 2= que no equivalente equao: 19y16x2 2= _________________________________________________________________________ PARBOLA: o conjunto dos pontos que esto eqidistantes de um ponto (o foco F) e de uma reta (chamada de diretriz d). F foco (p/2, 0)y = 2.p.x d diretriz, cuja equao x = p/2P parmetro(+): foco F direita de V(0,0) V vrtice (): foco F esquerda de V(0,0)

Relao notvel: VF = p / 2 x = 2.p.y (+): foco F acima de V(0,0) (): foco F abaixo de V(0,0) Geometria Analtica 17/17Caso o vrtice da parbola esteja em um ponto (x0, y0) ento as equaes ficam assim: (x x0) = 2.p.(y y0)(y y0) = 2.p.(x x0) (+): foco F acima de V(x0, y0) (+): foco F direita de V(x0, y0) (): foco F abaixo de V(x0, y0) (): foco F esquerda de V(x0, y0) _________________________________________________________________________ Exemplo: Determinar as equaes das parbolas seguintes: Geometria Analtica 18/18Soluo: a) y = 2 . 6 . x = 12.xy = 12.x pois do grfico obtemos queVF = 3p/2 = 3 p = 6O foco F est direita do vrtice V(0,0) o sinal positivo. b) x = 2 . 4 . y = 8.yx = 8.y pois do grfico obtemos queVF = 2p/2 = 2 p = 4O foco F est acima do vrtice V(0,0) o sinal positivo. c) x = 2 . 6 . y = 12.yx = 12.y pois do grfico obtemos queVF = 3p/2 = 3p = 6O foco F est abaixo do vrtice V (0,0) o sinal negativo. d) (y 4) = 2 . 2 . (x 4)(y 4) = 4.(x 4)pois do grfico obtemos queO vrtice est em (4, 4) VF = 1p/2 = 1 p = 2 Como o foco F est direita do vrtice V, o sinal positivo. _________________________________________________________________________ EXERCCIOS 1) Obtenha a equao da circunferncia de centro C(1, 2) e que tangencia a reta de equao 5.x + 12.y + 10 = 0. 2) Determine os pontos P e Q onde a circunferncia x + y + 2.x + 4.y 8 = 0 encontra a reta cuja equao 3.x + 2.y + 7 = 0. 3) Achar o centro e o raio da circunferncia de equaox + y 2.x + y 1 = 0. 4) Determine p de modo que as retas (r):2.x + (p 7).y + 3 = 0 e(s):p.x + y 13 = 0sejam perpendiculares. 5)Determineaequaodaretaquepassapeloponto(5,4)eperpendicularreta5.x 4.y+ 7 = 0 . 6)Determineaequaodaretaquepassapeloponto(3,4)eparalelabissetrizdo2 quadrante. Geometria Analtica 19/197)DetermineaequaodaretaquepassaporP(3,7)eparalelaretadefinidapor||

\|74,32A e||

\|71,31B . 8) Qual a posio relativa das retas (r):12y32x=+e (s):x = t 1,y = 3.t 2 ? 9)DeterminenaretaABospontoseqidistantesdoseixoscartesianos.Dados:A(2,3)e B(5, 1). 10) CFOE 2011 A distncia entre o ponto Q(1, 3) e a reta s: 3.y = 4.x + 2 : a)11/5 b)3/5 c)7/5 d)13/5 11)CFOE2011ParaqueospontosA(4,2)eB(3,1)sejameqidistantesdopontoP(x, 0), o valor de x deve ser: a)5/3 b)3/7 c)5/7 d)3/5 12) CFOE 2011 Sobre a reta r: x + y + 6 = 0 e a circunferncia : x + y + 6.x + 5.y + 12 = 0, correto afirmar que: a)so tangentes e se interseptam no ponto (2, 8) b)so secantes e se interceptam nos pontos (2, 4) e||

\| 23,29

c)so tangentes e se interceptam no ponto ||

\| 23,29 d)so secantes e se interceptam nos pontos (2, 8) e ||

\| 221,29 13) CFOE 2011 As retas r e s so perpendiculares e se interceptam no ponto P(3, 2). Sabendo que o ponto Q(4, 5) pertence reta r, ento a equao da reta s : a)7.y 3.x 23 = 0 b)5.y + 2.x 13 = 0 c)3.y + 7.x + 15 = 0 d)2.y 5.x + 25 = 0 Geometria Analtica 20/2014) CFOE 2009 Qual das alternativas abaixo representa a relao entre as coordenadas x e y do ponto P(x, y) de tal forma que esteja eqidistante de A(1, 2)e B(0, 5) ? a)x + 3.y 5 = 0 b)x + 7.y 10 = 0 c)x 2.y 6 = 0 d)2.x + y 4 = 0 15)CFOE2009Asretasdeequaesy=2.xbey=c.x+dseinterceptam perpendicularmente no ponto (8, 2). Qual o valor do produto b.c.d ? a) 42 b) 63 c)36 d) 27 16) CFOE 2009 Qual o maior valor inteiro de m para que a equaox + y + 4.x 8.y + m = 0 represente uma circunferncia? a)10 b)12 c)16 d)19 17) CFOE 2010 Na figura a seguir, a reta t paralela ao eixo das ordenadas e as retas r e s so perpendiculares. A equao da reta s dada por: a)y = x + 4 b)y = x/2 + 2 c)y = x + 2 d)y = 2.x + 2 18) CFOE 2010 O ponto de interseo das retas s e t opar ordenado: a)(1, 3/2) b)(1, 3) c)(1, 5/2) d)(1, 5) 19)CFOE2010Areadotringulocujosvrticessoasinterseesdosseguintes pares de retas: r e s, r e t, s e t, :a)5/4 b)5/2 c)2 d)1 Geometria Analtica 21/21 20)QualaequaodoconjuntodospontosP(x,y)cujasomadasdistnciasaospontos (0, 5) e (0, 55) igual a 68? 21)Determineaequao da elipsecom centro na origem, que passa peloponto P(, ) e tem um dos focos|||

\| 0 ,36F1. 22) CFOE 2009 O valor de x na elipse abaixo um nmero: a)mpar b)primo c)quadrado perfeito d)mltiplo de 3 23) Determinar as equaes das parbolas seguintes, onde d a diretriz da parbola: Geometria Analtica 22/22GABARITO: 1) (x 1) + (y 2) = 9 2) P(1, 5)eQ(3 , 1) 3) centro ||

\|21, 1 Ce raio 23R =4) p = 7 5) 4.x + 5.y = 0 6) x + y 7 = 0 7) 3.x 7.y + 58 = 0 8) paralelas e distintas 9) ||

\|517,517 e||

\|917,917 10) A 11) C 12) B 13) C 14) B 15) A 16) D 17) B 18) C 19) A20)11156) 25 y (256x2 2=+ 21)131yx22= + 22) C, pois x = 4. 23)(e):(x 7) = 8.(y 5) (f):(x 2) = 12.(y 3)