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Geometria Analtica 1/1GEOMETRIA ANALTICA COORDENADAS CARTESIANAS: Um ponto (x,y) no plano tem duas coordenadas:a absissa, que a coordenada x no eixo x,ea ordenada, que a coordenada y no eixo y. POSIES DE UM PONTO EM RELAO AO SISTEMA DE COORDENADAS: Os eixos coordenados dividem o plano em 4 quadrantes: 1 Quadrante x > 0ey > 0 2 Quadrante x < 0ey > 0 3 Quadrante x < 0ey < 0 4 Quadrante x > 0ey < 0 Umpontopertencebissetrizdosquadrantesmparesse,esomentese,tiver coordenadas iguais: Tal bissetriz o conjunto dos pontosde coordenadas (a, a) Geometria Analtica 2/2Um ponto pertence bissetriz dos quadrantes pares se, e somente se, tiver coordenadas opostas: Tal bissetriz o conjunto dos pontosde coordenadas (a, a ) DITNCIA ENTRE DOIS PONTOS: Dados dois pontos A (x1, yl) e B(x2, y2), a distncia entre eles dada por 21 221 2) y y ( ) x x ( d + = _________________________________________________________________________ Exemplo:DadostrspontosA(8,11),B(-4,-5)eC(-6,9)pertencentesauma circunferncia, obtenha o centro da circunferncia e o seu raio. Soluo:OcentroserumpontoP(x,y)eqidistantedeA,BeC.Portanto,temosque impor as seguintes igualdades: 1)dPA = dPB

2)dPB = dPC De (1) obtemos que: (x 8) + (y 11) = (x + 4) + (y + 5) x 16.x + 64 + y 22.x + 121 = x + 8.x + 16 + y + 10.y + 25 3.x + 4.y = 18 De (2) obtemos que: (x + 4) + (y + 5) = (x + 6) + (y 9) x + 8.x + 16 + y + 10.y + 25 = x + 12.x + 36 + y 18.y + 81 x 7.y = 19 Isolando x na equao obtida em (2) e substituindo naquela obtida em (1) obtemos y = 3ex = 2. Portanto, P (2, 3) o centro da circunferncia. O raio obtido calculando-se a distncia entre o ponto P (2, 3) e qualquer um dos pontos A, B ou C. Temos ento: 10 64 36 ) 3 11 ( ) 2 8 ( d raio2 2PA= + = + = =________________________________________________________________________ Geometria Analtica 3/3COORDENADASDOPONTOMDIO:Pontomdioopontodedivideumsegmento ABdadoemduaspartesiguais,ondesodadasascoordenadasdospontosA(x1,yl)eB(x2, y2): 2x xx2 1M+=e2y yy2 1M+= _________________________________________________________________________ Exemplo: Calcule o comprimento da mediana AM do tringulo ABC cujos vrtices so os pontos A(0, 0), B(3, 7) e C(5, 1). Soluo: O ponto M tal que: 425 32x xxC BM=+=+= 32) 1 ( 72y yyC BM= +=+= Ento temos que o comprimento da mediana AM : 5 9 16 ) 0 3 ( ) 0 4 ( d2 2AM= + = + =_________________________________________________________________________ BARICENTRO DE UM TRINGULO: o ponto que surge da interseo das medianas dotringulo.Suascoordenadassocalculadasatravsdasmdiasaritmticasdas coordenadas dos vrtices. 3x x xxC B AG+ += 3y y yyC B AG+ += Geometria Analtica 4/4READEUMPOLGONOQUALQUER:DadososvrticesA(x1,y1),B(x2,y2),C(x3, y3), ... Z(xn, yn) de um polgono qualquer com n lados (e portanto com n vrtices), usamos a frmula: Nafrmulaacimatemosapenasumaanalogiacomoclculodedeterminantes.O clculo fica assim: | ) y x ( ) y x ( ) y x ( ) y x ( ) y x ( ) y x ( |21S1 2 2 3 n 1 1 n 32 2 2 1 + + + = K K_________________________________________________________________________ Exemplo:DadosospontosB(2,3)eC(-4,1),determineovrticeAdotringuloABC, sabendo que o ponto do eixo y do qual se v BC sob ngulo reto. Soluo: O ponto A(x, y) tal que: 1)A da forma (0, y) 2)AB AC Por Pitgoras: 2BC2AB2ACd d d = + De (2) temos que: (x + 4) + (y 1) + (x 2) + (y 3) = (2 + 4) + (3 1) De (1) temos que x = 0 para o ponto A. Fazendo x = 0 na equao acima resulta em: y 4.y 5 = 0 y = 1ouy = 5 Portanto, temos duas solues: A(0, 1) ou A(0, 5) _________________________________________________________________________ Exemplo: Calcule a rea do quadriltero ABCD, dados: A(0, 0), B(4, 2), C(6, 8) e D(0, 4). Soluo: 34 | 12 24 32 |21|0 4 8 2 00 0 6 4 021| rea = + + = = Geometria Analtica 5/5CONDIODEALINHAMENTODE3PONTOS:Usamosamesmafrmulaanteriore impomos que o seu resultado seja zero. Dados 3 pontos A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3, y3), eles so colineares se: 0y y y yx x x x1 3 2 11 3 2 1=_________________________________________________________________________ Exemplo:DadosA(-3,4),B(2,9),C(2, 7) e D(4,5), obtenhaainterseo dasretasAB e CD.Soluo: Sendo P(x, y) o ponto procurado, ento temos que: 1)P, B e A so colineares; e 2)P, C e D so colineares. Usando a frmula para a condio (1) temos: 0y 4 9 yx 3 2 x= 9.x + 8 3.y 4.x + 27 2.y = 0 5.x 5.y = 35 x y = 7 Usando a frmula para a condio (2) temos: 0y 5 7 yx 4 2 x= 7.x + 10 + 4.y 5.x 28 2.y = 0 2.x + 2.y = 18 x + y =9 Somando as equaes encontradas temos: x y = 7 x + y =9 + 2.x = 2 x = 1 1 + y = 9 y = 8P(1, 8) _________________________________________________________________________ EQUAO DA RETA: Existem vrias formas de representar a equao de uma reta: Forma Geral: Umamesmaretaadmiteinfinitasequaesgerais.Issosignificaqueatodaretado plano est associado um conjunto de equaes equivalentes entre si. Essa reta corta o eixo x no ponto ||

\| 0 ,ac e o eixo y no ponto||

\|bc, 0 Forma Reduzida: m o coeficiente angular da reta:m = tg() = a / bq a ordenada do ponto de interseo com o eixo yq = c / b Forma Segmentria: a.x + b.y + c = 0 y = m.x + q x+y=1 pq Geometria Analtica 6/6Forma Paramtrica: Sefordadaaformaparamtrica,podemostransform-lanasoutras,seguindoo esquema: COEFICIENTE ANGULAR _________________________________________________________________________ Exemplo: Ache as coordenadas do ponto de interseo das retas x = 3.t + 1 x = 2.u 2res y = 2 .t + 5 y = 7 + u Soluo: Temos que transformar as retas r e s para a forma geral e ento substituir uma na outra. Isolamos t nas duas equaes de r e igualamos as expresses encontradas: x = 3.t + 1t = x 1 3 x 1=5 y 2.x 2 = 15 3.y y = 2 .t + 5 t = 5 y3 2 2 2.x + 3.y 17 = 0 x = f1(t) ey = f2(t) Forma paramtricaForma geralForma reduzida Forma segmentria Geometria Analtica 7/7Isolamos u nas duas equaes de s e igualamos as expresses encontradas: x = 2.u 2 u = x + 2 2 x + 2=y 7 x + 2 = 2.y 14y = 7 + uu = y 7 2 x 2.y + 16 = 0 Isolando x na segunda equao temos: x = 2.y 16Substituindo na primeira equao temos: 2.(2.y 16) + 3.y 17 = 0 7.y 49 = 0 y = 7 x 14 + 16 = 0 x = 2 Portanto, o ponto de interseo entre as retas res o ponto ( 2, 7). _________________________________________________________________________ a1.x + b1.y + c1 = 0ouy = m1.x + q1 POSIES RELATIVAS ENTRE DUAS RETASa2.x + b2.y + c2 = 0ouy = m2.x + q2

Concorrentes: um s ponto em comum 2121bbaae perpendiculares se Paralelas: nenhum ponto em comum 212121ccbbaa =ou Iguais: infinitos pontos em comum212121ccbbaa= =_________________________________________________________________________ Exemplo: Qual a posio relativa entre as retas3.x y 7 = 0e6.x 2.y + 17 = 0 ? Soluo:Temos que1772163=de onde conclumos que so paralelas e distintas. _________________________________________________________________________ Exemplo: Para qual(is) valor(es) de m as retas r e s se tornam paralelas ? r:(m 1).x + m.y 1 = 0 s:(1 m).x + (m + 1).y + 1 = 0 Soluo: Queremos impor 111 mmm 11 m += m1 = m2

m1 x m2 = 1 Geometria Analtica 8/8Da primeira igualdade temos: == = = + +=21mou1 m0 1 m m 2 m m 1 m m m1 mmm 11 m2 2 2 Para que as setas sejam concorrentes basta que tenhamos m 1oum . Para m = 1 temos r:y 1 = 0 r:y = 1 r paralela a s r // s s: 2.y + 1 = 0s: y = 1/2 Para m = . temos r: (3/2).x (1/2).y 1 = 0r igual a s r = s s:(3/2).x + (1/2).y + 1 = 0 Portanto, apenas para m = 1 temos que as retas r e s se tornam paralelas. ________________________________________________________________________ Exemplo: Determine o ponto Q, simtrico de P( 3, 2)em relao reta r: x + y 1 = 0. Soluo:O coeficiente angular da reta r igual a mr = a/b = 1 A reta s, perpendicular reta r, tem coeficiente angular ms = 1/ mr = 1 O ponto P(3 , 2)pertence reta sA equao da reta s dada por: y 2 = 1.(x + 3) x y + 5 = 0 A interseo com r obtida do sistema: x + y 1 = 0 x y + 5 = 0x = 2ey = 3A interseo o ponto M(2, 3) M o ponto mdio de PQ. A partir disso temos: 1 3 4 x x . 2 x2x xxP M QQ PM = + = = += 4 2 6 y y . 2 y2y yyP M QQ PM= = = += Portanto, a resposta Q(1, 4) _________________________________________________________________________ Geometria Analtica 9/9_________________________________________________________________________ Exemplo: Obtenha uma reta paralela a r: 2.x + y = 0 que define com os eixos um tringulo cuja rea 16. Soluo: A equao da reta paralela tem a forma 2.x + y + c = 0. Como a rea 16, temos: 8 c 64 c 164c2|1c| |2c|2| q | | p |rea22 = = = = ==

Portanto, temos duas respostas possveis: 2.x + y + 8 = 0 ou 2.x + y 8 = 0 _________________________________________________________________________ RETA QUE PASSA POR UM PONTO (x1, y1): RETA QUE PASSA POR DOISPONTOS (x1, y1) E (x2, y2): ( )11 21 21x xx xy yy y |||

\|= ou 0y y y yx x x x2 12 1= DISTNCIA DO PONTO (x1, y1) RETA a.x + b.y + c = 0 b ac y b x ad21 1++ + = y y1 = m. (x x1) Geometria Analtica 10/10 CIRCUNFERNCIA Equao reduzida: Equao normal: surge da expanso da equao reduzida. Se R = 0, ento a equao representa um nico ponto. RECONHECIMENTO: Dada uma equao do 2 grau, em x e y, da forma para que ela possa representar uma circunferncia devemos ter: A = B 0 C = 0 , ou seja, no deve haver termo misto x.y. O centro tem coordenadas||

\| A . 2E,A . 2D O raio deve ser positivo. Faz-seocompletamentodosquadradosparapassardaformanormalparaaforma reduzida (x a) + (y b) = R, onde a leitura das coordenadas do centro C(a, b) e do raio R so imediatas. RETA E CIRCUNFERNCIA Dadasumaequaodaretaeumaequaodacircunferncia,parasaberseocorre interseoentreelasisolamosumadasincgnitasnaequaodaretaesubstitumosna equaodacircunferncia.Dissoresultaumaequaodo2grauaumaincgnita,cujo sinal do discriminante significa que: > 0secante = 0tangente < 0exterior

(x a) + (y b) = R x