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ÂNGULOS e

PARALELISMO Aulas 01 a 03

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz

Sumário ÂNGULOS ................................................................................................................................................................ 2

ÂNGULOS CONGRUENTES (≡) ........................................................................................................................... 2

MEDIDA DE ÂNGULO .......................................................................................................................................... 2

SUBDIVISÕES DO GRAU....................................................................................................................................... 2

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 2

CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS ............................................................................................................................... 2

CLASSIFICAÇÃO QUANTO ÀS MEDIDAS .............................................................................................................. 2

RELAÇÕES ENTRE DOIS ÂNGULOS ........................................................................................................................... 2

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 3

ÂNGULOS FORMADOS POR 2 RETAS CONCORRENTES ....................................................................................... 3

BISSETRIZ DE UM ÂNGULO ................................................................................................................................. 3

PARALELISMO ......................................................................................................................................................... 4

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ................................................................................. Erro! Indicador não definido.

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 2

AULA 01 ÂNGULOS

ÂNGULOS CONGRUENTES (≡) Dois ângulos que têm a mesma abertura são

denominados ângulos congruentes.

Obs.1: Dois ângulos congruentes têm a mesma medida.

MEDIDA DE ÂNGULO

Um ângulo que tem medida igual a 1

90 do ângulo reto,

será adotado como unidade de medida dos ângulos e

sua medida será chamada de 1° (um grau).

SUBDIVISÕES DO GRAU 1° (um grau) pode ser dividido em:

• Minuto (’)

Cada grau equivale a 60 minutos.

1° = 60’ ou 1’ = (1

60)

°

• Segundo (”)

Cada minuto equivale a 60 segundos.

1’ = 60” ou 1” = (1

60)

′

ou ainda

1° = 3600”

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. Determine o valor da expressão a seguir:

13°41’50” + 15°18’43” – 10°12’52”

CLASSIFICAÇÃO DOS

ÂNGULOS

CLASSIFICAÇÃO QUANTO ÀS MEDIDAS

• Ângulo agudo

Um ângulo de medida 𝑥 é agudo, se:

0° < 𝑥 < 90°

• Ângulo obtuso

Um ângulo de medida 𝑥 é obtuso, se:

90° < 𝑥 < 180°

RELAÇÕES ENTRE DOIS

ÂNGULOS

• Ângulos Complementares

Dois ângulos de medidas 𝑥 e 𝑦, em graus, são

complementares se

𝑥 + 𝑦 = 90.

• Ângulos Suplementares

Dois ângulos de medidas 𝑥 e 𝑦, em graus, são

suplementares se

𝑥 + 𝑦 = 180.

Obs.2: Nos problemas a serem resolvidos, é muito

importante que você entenda como definir a medida do

complementar e do suplementar de um ângulo.

Veja alguns exemplos:

Operações com ângulos

Para somar e subtrair ângulos, basta você entender que

1) Você deve operar “grau com grau”, “minutos com

minutos” e “segundos com segundos”.

2) Quando, na parte dos segundos ou dos minutos,

aparece um número maior do que 60, você deve

retirar quantos agrupamentos de 60 forem possíveis,

convertendo-os na unidade à esquerda.

3) Quando devemos subtrair um valor de outro menor

que ele, devemos trocar 1 unidade a esquerda por 60

unidades a mais à direita.

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 3

Medida da referência (em graus)

Medida do seu complementar

(em graus)

Medida do seu suplementar (em graus)

𝑥 90 – 𝑥 180 – 𝑥

3𝛽 90 − 3𝛽 180 − 3𝛽

𝑦

5 90 −

𝑦

5 180 −

𝑦

5

Note que, na tabela, lemos:

3𝛽: o triplo da medida 𝛽 de um ângulo.

𝑦

5: a quinta parte da medida 𝑦 de um ângulo.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.2. A soma da quarta parte da medida do

complemento de um ângulo com o quádruplo da

medida desse ângulo é igual à medida do

suplemento desse ângulo subtraída de 15°.

Determine, em graus, a medida desse ângulo.

AULA 02

ÂNGULOS FORMADOS POR 2 RETAS

CONCORRENTES

• Ângulos Opostos Pelo Vértice (O.P.V.)

Os pares de ângulos que são opostos pelo

vértice são congruentes, enquanto os pares de ângulos

adjacentes são suplementares.

Na figura, temos:

Opostos Pelo Vértice:

𝐴�̂�𝐵 ≡ 𝐶�̂�𝐷 e 𝐴�̂�𝐷 ≡ 𝐵�̂�𝐶.

Pares de ângulos suplementares:

𝐴�̂�𝐵 𝑒 𝐵�̂�𝐶 𝐶�̂�𝐷 𝑒 𝐴�̂�𝐷

𝐵�̂�𝐶 𝑒 𝐶�̂�𝐷 𝐷�̂�𝐴 𝑒 𝐴�̂�𝐵

BISSETRIZ DE UM ÂNGULO A bissetriz de um ângulo é, por definição, a semirreta

de origem no vértice desse ângulo e que o divide em

dois ângulos adjacentes e congruentes.

𝑚𝑒𝑑(𝐵Â𝐸) + 𝑚𝑒𝑑(𝐸Â𝐶) = 𝑚𝑒𝑑(𝐵Â𝐶)

𝑚𝑒𝑑(𝐵Â𝐸) = 𝑚𝑒𝑑(𝐸Â𝐶) =1

2∙ 𝑚𝑒𝑑(𝐵Â𝐶)

TAREFA 2 – PSA 5 e 6.

TAREFA 1 – Ler as Observações 1 e 3 na página 4 do

livro da GD, ler os Exercícios Resolvidos 2 e 3, nas

páginas 7 e 8, e Fazer os PSA 1 a 4 e o TSC 1.

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 4

AULA 03

PARALELISMO Quando duas retas coplanares 𝑟 e 𝑠 são cortadas por

uma transversal 𝑡, são formados 8 ângulos, como

ilustrado na figura a seguir.

Figura 1

Observe a imagem a seguir.

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Daí, você verá, a seguir como podemos nomear e

classificar alguns pares de ângulos.

ÂNGULOS

• CORRESPONDENTES

INTERNOS

• ALTERNOS

EXTERNOS

INTERNOS

• COLATERAIS

EXTERNOS

QUADRO RESUMO

Se 𝒓//𝒔, tem-se:

(CONGRUENTES)

(CONGRUENTES)

(SUPLEMENTARES)

TAREFA 3 – Ler os resolvidos 4 e 5, nas páginas 11 e

12, e fazer os PSA 7 a 16.

Sobre as medidas dos ângulos

Note que, na figura, com r//s, todos os

ângulos agudos são congruentes entre si, assim como

todos os ângulos obtusos também são congruentes

entre si.

Dessa forma, temos que se nos forem dados as

medidas de dois ângulos agudos, basta igualá-las. O

mesmo vale se as medidas forem de dois ângulos

obtusos. E, caso, conheçamos a medida de um dos

ângulos agudos e de um dos ângulos obtusos, basta

soma-las e igualá-las a 180°.