assunto ângulos

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Prof.: Roberto Calazans Blog: http://cantinhodocalazans.blogspot.com/ OBS. ÂNGULOS Ângulo é a união de duas semi-retas distintas de mesma origem e não opostas, onde: O vértice OA e OBlados Indica-se: Ângulos Consecutivos Dois ângulos que tem um lado comum entre outros dois lados. Na figura A seguir, os ângulos AÔC e COB sao consecutivos. Ângulos Adjacentes Dois ângulos que tem um único lado em comum e os lados não comuns são semi retas opostas. Na figura os ângulos AOB e BOC são adjacentes. Medida de um Ângulo A medida de um ângulo corresponde a abertura entre duas semi retas, unidas pelo vértice O. Indica-se: AOB = α ou O = α . A unidade de medida de um ângulo corresponde a razão de um grau (1 0 ). Existem três sistemas que são utilizados para obter a medida de um ângulo. São eles os seguintes: I) Sistema sexagesimal (Unidade: grau) II) Sistema decimal (Unidade: grado) III) Sistema circular (Unidade: radiano) I)SISTEMA SEXAGESIMAL Unidade: grau (simbologia) ( º ) 90 1 do ângulo reto Submúltiplos do grau a) Minuto (simbologia) ( ’ ) b) Segundo (simbologia) ( ” ) TEIA DE ENSINO PROFESSOR: ROBERTO CALAZANS DISCIPLINA: MATEMÁTICA ASSUNTO: ÂNGULOS FINALIDADE: CONCURSO EEAR /EsSA ESCOLARIDADE: NÍVEL MÉDIO

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Page 1: Assunto ângulos

Prof.: Roberto Calazans Blog: http://cantinhodocalazans.blogspot.com/

OBS.

ÂNGULOS

Ângulo é a união de duas semi-retas distintas de mesma origem e não opostas, onde:

•O → vértice

•OA e OB→lados

•Indica-se:

•Ângulos Consecutivos

Dois ângulos que tem um lado comum entre outros dois lados. Na figura A seguir, os ângulos AÔC e COB sao consecutivos.

•Ângulos Adjacentes

Dois ângulos que tem um único lado em comum e os lados não comuns são semi retas opostas. Na figura os ângulos AOB e BOC são adjacentes.

•Medida de um Ângulo

A medida de um ângulo corresponde a abertura entre duas semi – retas, unidas pelo vértice O.

Indica-se: AOB = α ou O = α . A unidade de medida de um ângulo corresponde a razão de um grau (10 ).

Existem três sistemas que são utilizados para obter a medida de um ângulo. São eles os seguintes: I) Sistema sexagesimal (Unidade: grau)

II) Sistema decimal (Unidade: grado)

III) Sistema circular (Unidade: radiano)

I)SISTEMA SEXAGESIMAL

•Unidade: grau (simbologia) ( º )

1º 90

1 do ângulo reto

•Submúltiplos do grau

a) Minuto (simbologia) ( ’ )

b) Segundo (simbologia) ( ” )

TEIA DE ENSINO

PROFESSOR: ROBERTO CALAZANS

DISCIPLINA: MATEMÁTICA

ASSUNTO: ÂNGULOS

FINALIDADE: CONCURSO EEAR

/EsSA

ESCOLARIDADE: NÍVEL MÉDIO

Page 2: Assunto ângulos

2

•Relação entre grau, minuto e segundo

1º = 60’ = 3600” 1’ = 60”

•Transformações

• Ângulos Congruentes

São dois ângulos de medidas iguais, na mesma unidade.

•Ângulos Nulos São ângulos cujos lados coincidem. Na figura , AOB é nulo.

• Ângulos rasos

São ângulos cujos lados são semi – retas opostas. Na figura AOB é raso.

•Ângulo reto

É todo ângulo congruente ao seu adjacente. A medida de um ângulo reto é 90°.

•Ângulo agudo

É todo ângulo cuja medida é menor que um ângulo reto.

•Ângulo obtuso

É todo ângulo cuja medida é maior que um ângulo reto.

•Ângulos Complementares

Dois ou mais ângulos cujas medidas somam 90°.

Complemento de x

90º - x

•Ângulos Suplementares

Dois ou mais ângulos cujas medidas somam 180°.

Suplemento de x

180º - x

•Ângulos Replementares

Dois ou mais ângulos cujas medidas somam 360°.

Page 3: Assunto ângulos

3

OBS:

Replemento de x

360º - x

•Ângulos explementares Dois ângulos são explementares, quando o módulo da diferença das suas medidas é igual a 180º.

•Ângulos opostos pelo vértice (o.p.v)

Duas retas concorrentes determinam dois pares de ângulos opostos pelo vértice.

Em ângulos opostos pelo vértice,os lados de um são semi-retas opostas aos lados do outro.

RETA TRANSVERSAL

Reta transversal a outras retas, é uma reta que

tem interseção com as outras retas em pontos

diferentes.

t transversal

Na figura anterior, a reta t é transversal às retas m e n e estas três retas formam 8 ângulos, sendo que os ângulos 3, 4, 5 e 6 são ângulos internos e os ângulos 1, 2, 7 e 8 são ângulos externos. Cada par destes ângulos, recebe nomes de acordo com a localização em relação à reta transversal e às retas m e n.

Ângulos alternos e colaterais ainda podem ser internos ou externos:

Ângulos Correspondentes

Estão do mesmo lado da reta transversal.

Um deles é interno e o outro é externo.

1 e 5 2 e 6 3 e 7 4 e 8

Ângulos Alternos

Estão em lados opostos da reta transversal.

Ambos são externos ou ambos são internos.

1 e 8 2 e 7 3 e 6 4 e 5

Ângulos Colaterais

Estão do mesmo lado da reta transversal.

Ambos são externos ou ambos são internos.

1 e 7 2 e 8 3 e 5 4 e 6

Ângulos alternos e colaterais ainda podem ser internos ou externos:

ALTERNOS Alternos internos 3 e 6 4 e 5

Alternos externos 1 e 8 2 e 7

COLATERAIS Colaterais internos 3 e 5 4 e 6

Colaterais externos 1 e 7 2 e 8

DUAS RETAS PARALELAS DISTINTAS

CORTADAS POR UMA TRANSVERSAL

Se as duas retas cortadas pela transversal são paralelas, então:

Page 4: Assunto ângulos

4

OBS.

•Os ângulos alternos internos são

congruentes.

c=e e d=f

•Os ângulos alternos externos são

congruentes.

a=g e b=h

•Os ângulos colaterais internos são

suplementares .

d+e=1800 e c+f=180

0)

•Os ângulos colaterais externos são suplementares.

a+h=1800

e b+g=1800

•Os ângulos correspondentes são congruente.

a=e d=h b=f c=g

Sendo r // s,temos:

• os ângulos agudos são congruentes. •os ângulos obtusos são congruentes. •se um ângulo é agudo e o outro é obtuso, eles são suplementares, ou seja: α + β = 1800

ÂNGULOS DE LADOS

RESPECTIVAMENTE PARALELOS.

São ângulos cujos lados são paralelos, sendo

que tais ângulos podem ser congruentes ou

suplementares

•CONGRUENTES.

Quando ambos os ângulos são agudos, retos ou

obtusos.

•SUPLEMENTARES

Quando ambos os ângulos são retos ou quando um deles for agudo e o outro obtuso.

ÂNGULOS DE LADOS

RESPECTIVAMENTE

PERPENDICULARES

Ângulos de lados perpendiculares são ângulos cujos lados são perpendiculares e também podem ser congruentes ou suplementares.

•CONGRUENTES

Quando os dois ângulos são agudos, retos ou obtusos.

•SUPLEMENTARES

Quando os dois ângulos são retos ou um dos ângulos é agudo e o outro obtuso.

Page 5: Assunto ângulos

5

QUESTÕES PROPOSTAS

01.(EsSA/1977)O ângulo de 2008'25" equivale

a:

a)9.180" b)2.825" c)625" d)7.705"

Solução:

20

x60

120’

+ 08’

128’

x60

7.680”

+ 25”

7.705”

Resposta:Alternativa D

02.(EsSA/1979)Efetuando 14028' + 15047" +

38056'23", encontramos:

a)67024'10" c)68024'10"

b)68025'10" d)67025'10"

Solução:

Temos:

140 28'

+ 150 00’ 47"

380 56’ 23"

670 84’ 70”

Como 70” = 60” + 10” = 1’ + 10”, vem:

67085’10”

Como 85’ = 60’ + 25’ = 10 + 25’, vem:

68025’10”

Resposta:Alternativa B

03.(EsSA/1981)Sendo A = 33053'41" e

B = 14012'49", o resultado da operação A – B é:

a)19041'52" c)19040'52"

b)19041'08" d)19040'08"

Solução:

330 53' 41"

- 140 12' 49"

Como 53’ = 52’ + 1’ = 52’ + 60”, vem:

330 52’ 101”

-140 12’ 49”

190 40’ 52”

Resposta:Alternativa C

04.(EEAR/2005)O quádruplo da medida

86°28’36’’ é igual a

a) 46°52’24’’. c)345°52’24’’

b)346°54’24’’. d)345°54’24’’

Solução:

86°28’36’’

x4

3440112’144”

Como 144” = 120” + 24” = 2’ + 24” , vem:

3440112’144” = 3440114’24”

Como 114’ = 60’ + 54’ = 10 + 54’ , vem:

3440114’24” = 345054’24”

Resposta:Alternativa D

05.(EsSA/1975)Dividindo o ângulo de 320 em 6

partes iguais, obtemos:

a)5030' b)6020' c)4020' d)5020'

Solução:

320 6

20 50200

x60

120’

Page 6: Assunto ângulos

6

00’

Resposta:Alternativa D

06.(EEAR/2006)O valor da expressão

(27°38'+18°42'20")●3 − 50°52'38" , na forma

mais simplificada possível, é

a)139°59'20" . c)88°51'38" .

b)138°51'38" . d)88°8'22" .

Solução:

(27°38'+ 18°42'20")●3 − 50°52'38"

I) 27°38'+ 18°42'20" = 45080’20” = 46020’20”

II) 46020’20”x3 = 138060’60”

III) 138060’60”- 50°52'38" = 88008’22”

Resposta:Alternativa D

07.(EEAR/2007)Dois ângulos medem 2𝜋

9 rad. e

5𝜋

18 rad. O menor deles, em graus, mede:

a)30 b)40 c)50 d)60

Solução:

O menor desses dois ângulos é 2𝜋

9 rad.,pois

2𝜋

9 rad. =

4𝜋

18 rad. <

5𝜋

18 rad. Sendo assim ,

temos:

900 ----------- 𝜋

2 rad

x ---------- 2𝜋

9 rad.

onde x =

900●2𝜋

9𝜋

2

=> x = 20𝜋𝜋

2

=> x = 20● 2

𝜋

x = 400

Resposta:Alternativa B

08.(EEAR/2013)Ao expressar 16𝜋

9 rad. em

graus, obtém-se:

a)1700 b)2200 c)2800 d)3200

Solução:

900 ----------- 𝜋

2 rad

x ---------- 16𝜋

9 rad.

onde x =

900●16𝜋

9𝜋

2

=> x = 160𝜋

𝜋

2

=>

x = 160●2

𝝅 x = 3200

Resposta:Alternativa D

09.O ângulo convexo formado pelos ponteiros

das horas e dos minutos às 10 horas e 15

minutos é:

a)142° 30' d)141° 30'

b)142° 40' e)141° 40'

c)142°

Solução: 11 12

10 1

2

3

Se em 1 hora = 60 minutos o ponteiro das horas

anda 300 , em 15 minutos ele andará:

15𝑚𝑖𝑛 .●300

60𝑚𝑖𝑛 . =

300

4 = 7030min.

Logo, às 10 horas e 15 minutos o ângulo

formado pelos ponteiros das horas e dos

minutos é :

5●300 – 7030’

1500 - 7030’

Page 7: Assunto ângulos

7

149060’ - 7030’

142030’

Resposta:Alternativa A

10.(EEAR/2006)De acordo com a figura, é

falsa a afirmação:

a)> 1000 c)1250 < <1380

b)<1500 d)1120 < <1450

Solução:

Temos:

I)x + y = 2x – y => y + y = 2x – x 2y = x

II) = 4x – 2y => = 4x – x = 3x

III) + x + y = 1800(●2)

2 + 2x + 2y = 3600 => 2●3x + 2x + x = 3600

6x + 2x + x = 3600 => 9x = 3600(÷9)

x = 400

Como = 3x, vem:

= 3●400 = 1200

Resposta:Alternativa C

11.(EEAR/2006)Dadas duas semi-retas

colineares opostas OA e OB , e um ponto C não

pertencente à reta AB, é correto afirmar que

os ângulos AÔC e CÔB são

a) suplementares e não consecutivos.

b) consecutivos e não suplementares.

c) não consecutivos e não suplementares.

d) consecutivos e suplementares.

Solução:

Resposta:Alternativa D

12.(EEAR/2009)Dois ângulos são adjacentes

se eles forem consecutivos e

a)os lados de um forem semi-retas

coincidentes com os lados do outro.

b)os lados de um forem as semi-retas opostas

aos lados do outro.

c)não possuírem pontos internos comuns

d)possuírem pontos internos comuns.

Solução:

Dois ângulos são adjacentes quando têm o

mesmo vértice, um lado em comum e seus

interiores não se interceptam(não têm pontos

internos comuns).

Resposta:Alternativa C

13.(EEAR/2009)Na figura , AOC é um ângulo

raso.O valor de x é

a)133032’ c) 134032’

b) 133028’ d) 134028’

Solução:

Da figura, temos:

x + 46028’ = 1800 . Logo, vem:

x + 46028’ = 179060’

Page 8: Assunto ângulos

8

x = 179060’ - 46028’ x = 133032’

Resposta:Alternativa A

14.(EEAR/2007)Na figura, OC é bissetriz de

BOD . Então o ângulo EOC mede

a)140° b)130° c)120° d)110°

Solução:

Como OC é bissetriz do ângulo BOD,temos:

Ângulo DOC = Ângulo COB =

Logo, vem:

900 + 2x = 1300 => 2x = 1300 - 900

2x = 400(÷2) x = 200

Portanto, o ângulo EOC mede:

900 + 200

1100 Resposta:Alternativa D

15.(EsSA/1976)A metade do complemento de

um ângulo é 30030'. Esse ângulo mede:

a)270 b)390 c)29030' d)290

Solução:

Sendo o ângulo em questão igual a x, temos:

900− 𝑥

2 = 30030’

900 – x = 2(30030’) => 900 – x = 60060’

Como 60’ = 10 , vem:

900 – x = 610 => 900 – 610 = x 290 = x

Resposta:Alternativa D

16.(EsSA/2003) O suplemento do ângulo

45º17’27” foi dividido em três partes iguais. A

medida de cada parte é:

a)22º54’41” d)34º42’33”

b)44º54’11” e)11º34’51”

c)54º44’33”

Solução:

O suplemento do ângulo 45º17’27” é igual a:

1800 - 45º17’27”

179º60’ - 45º17’27”

179º59’60” - 45º17’27”

134042’33”

Dividindo este ângulo por 3, obtemos:

134042’33” 3

140 44054’11”

20

x60

120’

+42’

162’

12’

0’

+ 33”

33”

0”

Resposta:Alternativa B

17.(EsSA/1978)O suplemento de um ângulo

excede o dobro do seu complemento de 30. A

medida desse ângulo é:

a)600 b)500 c)300 d)450

Solução:

Sendo o ângulo igual a x, temos:

1800 – x = 2(900 – x) + 300

Page 9: Assunto ângulos

9

1800 – x = 1800 – 2x + 300

- x + 2x = 300 x = 300

Resposta:Alternativa C

18.(EsSA/1982) Se dois ângulos são

suplementares e a medida de um deles é triplo

da medida do outro, então as medidas dos

ângulos são:

a)20 e 60 c)30 e 90

b)25 e 75 d)45 e 135

Solução:

Sendo x e y as medidas dos ângulos em

questão,temos:

I)x = 3y

II)x + y = 1800

3y + y = 1800 => 4y = 1800(÷4) y = 450

Logo, x = 1350

Resposta:Alternativa D

19.(EEAR/2008)A razão entre o complemento

e o suplemento de um ângulo é 2

7 . Esse ângulo

mede

a) 28° b)32° c)43° d)54°

Solução:

Sendo o ângulo igual a x, temos:

900−𝑥

1800−𝑥 =

2

7

2(1800 – x) = 7(900 – x)

3600 – 2x = 6300 – 7x => -2x + 7x = 6300 - 3600

5x = 2700(÷5) x = 540

Resposta:Alternativa D

20.(EEAR/2008)Se OP é bissetriz de AÔB,

então o valor de x é

a)10° b)12° c)15° d)18°

Solução:

Como OP é bissetriz do ângulo AOB, temos:

3x – 50 = 2x + 100

3x – 2x = 100 + 50 x = 150

Resposta:Alternativa C

21.(EEAR/2010)A bissetriz de um ângulo AOB

forma 600 com o lado OB.Assim,AOB pode ser

classificado como

a)reto b)raso c)agudo d)obtuso

Solução:

Como OC é bissetriz o ângulo AOB mede 1200,

portanto ele é obtuso.

Resposta:Alternativa D

22.A medida do ângulo formado pelas

bissetrizes de dois ângulos adjacentes que

medem, respectivamente, 24º30’ e 105º30’ é

igual a:

a)760 b)650 c)580 d)860 e)590

Solução:

Page 10: Assunto ângulos

10

A medida do ângulo formado pelas bissetrizes

de dois ângulos adjacentes é igual a semi-

soma das medidas dos mesmos.Sendo x o ângulo

em questão, temos:

x = 24030′ +105030′

2 => x =

129060′

2 =>

x = 1300

2 x = 650

Resposta:Alternativa B

23(EEAR/1997)Dois ângulos adjacentes a e b,

medem, respectivamente, 1/5 do seu

complemento e 1/9 do seu suplemento.Assim

sendo, a medida do ãngulo formado por suas

bissetrizes é:

a)80030’ d)24030’

b)74030’ e)16030’

c)35030’ Solução:

Temos:

I)a = 900− 𝑎

5 => 5a = 900 – a => 5a + a = 900

6a = 900(÷6) a = 150

II) b = 1800− 𝑏

9 => 9b = 1800 – b =>

9b + b = 1800 => 10b = 1800(÷10) b = 180

A medida do ângulo formado pelas bissetrizes

de dois ângulos adjacentes é igual a semi-

soma das medidas dos mesmos.Sendo o

ângulo em questão, temos:

= 150+180

2 => =

330

2

330 2 130 16030’

10

x60

60’

00’

= 16030' Resposta:Alternativa E

24.(EsSA/1981) Se dois ângulos â e b são

opostos pelo vértice, então â e b são

necessariamente:

a)suplementares b)replementares

c)adjacentes d)congruentes

Solução:

Se dois ângulos são opostos pelo vértice, eles

são congruentes.

Resposta:Alternativa D

25.O ângulo cujo dobro do seu complemento,

mais a metade do suplemento de sua metade é

igual a 130º,mede:

a)620 13’ 20’’ d)540 18’ 24’’

b)710 23’ 10’’ e)630 13’ 23’’

c)420 53’ 30’’

Solução:

Sendo x o ângulo em questão,temos:

2(900–x) + 1

2 (1800 -

𝑥

2) = 1300(●2)

4(900–x) + 1800 - 𝑥

2 = 2600 (●2)

8(900–x) + 3600 - x = 5200

7200 – 8x + 3600 – x = 5200

10800 – 9x = 5200 => 10800 – 5200 = 9x

5600 = 9x => x = 5600

9

5600 9

200 62013’20”

20

x60

120’

30’

3’

x60

180”

Page 11: Assunto ângulos

11

00”

x = 62013’20”

Resposta:Alternativa A

26.O triplo do complemento de um ângulo é

igual à terça parte do suplemento deste

ângulo. Este ângulo mede:

a) 7𝜋

16 rad d)

7𝜋

4 rad

b) 7𝜋

8 rad e)

5𝜋

8 rad

c) 5𝜋

16 rad

Solução:

Sendo x o ângulo em questão,temos:

3(900 – x) = 1800−𝑥

3

3●3(900 – x) =1800 – x => 9(900 – x) =1800 – x

Como 900 = 𝜋

2 radianos e 1800 = radianos,vem:

9(𝜋

2 – x) = – x =>

9𝜋

2 – 9x = – x(●2)

x = 2x => 2x + 18x

= x => x = 7𝜋

16 rad

Resposta:Alternativa A

27.A soma de dois ângulos explementares é

igual a 2350. A medida do menor desses ângulos

é:

a)360 11’ d)380 40’

b)260 34’ e)540 48’

c)270 30’

Solução:

Dois ângulos são explementares quando a

diferença positiva entre as suas medidas é

igual a um ângulo raso.Sendo x e y os ângulos

em questão, temos:

I)x – y = 1800 x = 1800 + y

II)x + y = 2350

1800 + y + y = 2350 => 2y = 2350 - 1800

2y = 550 => y = 550

2

550 2

150 27030’

10

x60

60’

00’

y = 27030’

Como x = 1800 + y,vem:

x = 1800 + 27030’ x = 207030’

Resposta:Alternativa C

28.(EsSA/1976)O suplemento do complemento

de um ângulo de 30 é:

a)60 b)120 c)90 d)110 Solução:

O suplemento do complemento de um ângulo x é

dado por 900 + x.Sendo assim,temos:

900 + 300

1200 Resposta:Alternativa B

29.(EsSA/1979)O complemento do suplemento

de um ângulo de 115 mede:

a)650 b)1800 c)350 d)250

Solução:

Page 12: Assunto ângulos

12

O complemento do suplemento de um ângulo x é

dado por x - 900.Sendo assim, temos:

1150 - 900

250 Resposta:Alternativa D

30.O ângulo cujo replemento do suplemento

do seu complemento é igual a oito vezes o valor

do mesmo, mede:

a)300 b)400 c)500 d)600 e)650

Solução:

O replemento do suplemento do complemento

de um ângulo x é dado por 2700 – x.Sendo

assim, temos:

2700 – x = 8x

2700 = 8x + x => 2700 = 9x(÷9) 300 = x

Resposta:Alternativa A

31.Na figura abaixo a = c = 300 e a + b + c =

1200.Então x é:

a)agudo b)obtuso c)reto d)raso

Solução:

Temos:

a = c = 300.Logo, a + c = 600.Como

a + b + c = 1200, podemos concluir que b = 600.A

medida do ângulo x é igual a a + b.Portanto, o

ângulo x mede:300 + 600 = 900

Resposta:Alternativa C

32.(EsSA/1988) Na figura x e y são ângulos

retos. Então:

a)a = 2b d)b = 2a

b)a = b e)b < a

c)a < b

Solução:

Da figura ,temos:

900 – a = 900- b => b = a

Resposta:Alternativa B

33.(EEAR/2010)Sejam três ângulos

adjacentes AOB, BOC e COD tais que AOB é o

triplo de COD, e este é a metade de BOC.Se

AOD é um ângulo raso,então a medida de AOB

é

a)1200 b)900 c)600 d)450

Solução:

Page 13: Assunto ângulos

13

Sendo e q, respectivamente, as medidas

dos ângulos AOB,BOC e COD, do

enunciado,temos:

e = 𝛽

2

Como AOD é um ângulo raso,vem:

= 1800

= 1800 => 6 = 1800(÷6) = 300

Como = 3 , temos:

= 3●300 = 900

Resposta:Alternativa B

34.Na figura abaixo, r // s. O valor de y, é:

a)1080 b)1100 c)1070 d)1150 e)1200

Solução:

x = 450 + 620 x = 1070

Resposta:Alternativa C

35.Na figura abaixo as retas r e s são

paralelas. A medida do ângulo 𝛼 é igual a:

a)1000 b)800 c)780 d)650 e)840

Solução:

1300 + + 1500 = 3600

+ 2800 = 3600 => = 3600 - 2800

= 800 Resposta:Alternativa B

36.(EEAR/2002)Na figura , BA // EF . A

medida X é

a)1050 b)1060 c)1070 d)1080

Solução:

x + 420 = 960 + 520 => x = 1480 - 420

x = 1060 Resposta:Alternativa B

37.Dada a figura a seguir, determine o valor

de 𝛼:

Page 14: Assunto ângulos

14

a)600 b)7000 c)800 d)900 e)1000

Solução:

Dois ângulos agudos(ou obtusos) de lados

respectivamente perpendiculares são

congruentes.Sendo assim, temos:

𝛼

2 = 40 => = 2●400 = 800

Resposta:Alternativa C

38.Dada a figura a seguir, determine o valor

de :

2

400

a)600 b)700 c)800 d)900 e)1000

Solução:

Se dois ângulos, um agudo e o outro obtuso,

possuem os lados respectivamente

perpendiculares, eles são suplementares.Sendo

assim, temos:

400 + 2x = 1800

2x = 1800 – 400 => 2x = 1400(÷2) x = 700

Resposta:Alternativa B

39.(EEAR/2007)Na figura, r // s. O valor de x

+ y é:

a)18° b)38° c)42° d)60°

Solução:

I)Como as retas r e s são paralelas, os ângulos

agudos 2x e 5y são congruentes.Logo, temos:

2x = 5y(●3) 6x = 15y

II)Como as retas r e s são paralelas, o ângulo

agudo 3x – 500 e o ângulo obtuso 2y + 1160 são

suplementares.Sendo assim, temos:

3x – 500 + 2y + 1160 = 1800

3x + 2y = 1800 + 500 - 1160

3x + 2y = 1140(●2) => 6x + 4y = 2280

15y + 4y = 2280 => 19y = 2280(÷19)

y = 120

Como 6x = 15y,vem:

6x = 15●120 => 6x=1800(÷6) x = 300

Portanto,temos:

x + y = 120 + 300 x + y = 420

Resposta:Alternativa C

40.(EEAR/2007)Quando uma transversal

intercepta duas retas paralelas, formam-se

ângulos alternos internos, cujas medidas são

expressas por 4x – 20° e 2x + 42°. A medida de

um desses ângulos é

a)31° b)62° c)104° d)158°

Page 15: Assunto ângulos

15

Solução:

Os ângulos alternos internos são

congruentes.Sendo assim,temos:

4x – 200 = 2x + 420

4x – 2x = 420 + 200 => 2x = 620(÷2) x = 310

Logo, temos:

4x – 200 = 4●310 – 200 = 1240 – 200 = 1040

Resposta:Alternativa C

41.(EsSA/2.000)Duas retas paralelas ,

cortadas por uma transversal, determinam dois

ângulos alternos externos cujas medidas são

a = 2x + 57º e b = 5x + 12º . Calcule , em graus,

as medidas de a e b :

a)a = 70º e b = 70º d)a = 87º e b = 87º

b)a = 60º e b = 60º e)a = 93º e b = 93º

c)a = 78º e b = 78º

Solução:

Os ângulos alternos externos são

congruentes.Sendo assim,temos:

a = b

2x + 570 = 5x + 120 => 570 - 120 = 5x – 2x

450 = 3x(÷3) 150 = x

Como a = 2x + 570 ,vem:

a = 2●150 + 570 => a = 300 + 570 a = 870

Logo, b = 870

Resposta:Alternativa D

42.(EEAR/2005)Duas retas r e s, cortadas por

uma transversal t, determinam ângulos

colaterais internos de medidas 3p + 14° e

5p – 30°. O valor de p, para que as retas r e s

sejam paralelas, é

a)5°30' b)23°40' c)24°30' d)30°40'

Solução:

Para que as retas sejam paralelas, os ângulos

colaterais internos devem ser

suplementares.Sendo assim , temos:

3p + 140 + 5p – 300 = 1800

8p = 1800 - 140 + 300 => 8p = 196 => p = 1960

8

1960 8

360 24030’

40

x60

240’

00’

p = 24030’

Resposta:Alternativa C

43.(EEAR/2009)Algumas pessoas têm o hábito

de “cortar o sete”.No “sete cortado” da figura ,

o “corte” é paralelo ao traço horizontal acima

dele.O valor de x é

a)400 b)410 c)420 d)430

Solução:

Como o corte é paralelo ao traço, o ângulo

agudo x e o ângulo obtuso 3x + 80 são

suplementares.Sendo assim, temos:

x + 3x + 80 = 1800

4x = 1800 - 80 => 4x = 1720(÷4) x = 430

Resposta:Alternativa D

Page 16: Assunto ângulos

16

44.(EsSA/1976) Na figura abaixo, as retas r e

s são paralelas. Quanto mede o ângulo z se y é

o triplo de x?

a)600 b)900 c)450 d)300

Solução:

Como as retas r e s são paralelas, o ângulo

agudo x e o ângulo obtuso y são suplementares.

Sendo assim ,temos:

x + y = 1800

Do enunciado , sabemos que y = 3x,logo, vem:

x + 3x = 1800 => 4x = 1800(÷4)

x = 450

Como as retas r e s são paralelas, o ângulo

agudo x e o ângulo agudo z são congruentes.

Portanto, z = x z = 450

Resposta:Alternativa C

45.As retas r e s são interceptadas pela

transversal "t", conforme a figura. O valor de x

para que r e s sejam, paralelas é:

a)200 b)260 c)280 d)300 e)350

Solução:

Como as retas r e s são paralelas, o ângulo

agudo x + 200 e o ângulo obtuso 4x + 300 são

suplementares. Sendo assim ,temos:

x + 200 + 4x + 300 = 1800

6x = 1800 – 200 – 300 => 5x = 1300(÷5)

x = 260 Resposta:Alternativa B

46.Na figura abaixo, r // s. O valor de y, é:

a)720 b)180 c)1360 d)1440 e)1800

Solução:

Como as retas r e s são paralelas, o ângulo

agudo x - 360 e o ângulo agudo 𝑥

4 são

congruentes.Sendo assim, temos:

x - 360 = 𝑥

4 + 180

(●4)

4x – 1440 = x + 720 => 4x – x = 720 + 1440 =>

3x = 2160(÷3) x = 720

Como as retas r e s são paralelas, o ângulo

agudo x - 360,ou seja 720 – 360 = 360 e o ângulo

obtuso y são suplementares.Sendo assim,

temos: y = 1440

Resposta:Alternativa D

47.Considere as retas r, s, t, u, todas num

mesmo plano, com r // u. O valor em graus de

( 2x + 3y ) é:

Page 17: Assunto ângulos

17

a)640 b)5000 c)5200 d)6600 e)5800

Solução:

Como as retas r e u são paralelas, o ângulo

obtuso 200 + y e o ângulo obtuso 1200 são

congruentes.Sendo assim, temos:

200 + y = 1200 => y = 120 – 20 y = 1000

Na figura, os ângulos x e y são opostos pelo

vértice.Logo, eles são congruentes, ou seja,

x = y = 1000.Portanto, temos que 2x + 3y é igual

a:

2●1000 + 3● 1000

2000 + 3000

5000 Resposta:Alternativa B

48.(UFGO) Na figura abaixo as retas r e s

são paralelas. A medida do ângulo b é igual a:

a)1000 b)1200 c)1100 d)1050 e)1300

Solução:

Como as retas r e s são paralelas, o ângulo

obtuso 4x + 2x e o ângulo obtuso 1200 são

congruentes..Sendo assim, temos:

4x + 2x = 1200 => 6x = 1200(÷6) x = 200

Logo, o ângulo 4x mede 4●200 = 800.

Como os ângulos 4x, ou seja , 800 e b são

colaterais internos eles são

suplementares.Logo, b = 1000.

Resposta:Alternativa A

“As pessoas vencedoras não são aquelas que

nunca falham,e sim, aquelas que nunca

desistem.”