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ÂNGULOS e
PARALELISMO Aulas 01 a 03
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz
Sumário ÂNGULOS ................................................................................................................................................................ 2
ÂNGULOS CONGRUENTES (≡) ........................................................................................................................... 2
MEDIDA DE ÂNGULO .......................................................................................................................................... 2
SUBDIVISÕES DO GRAU....................................................................................................................................... 2
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 2
CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS ............................................................................................................................... 2
CLASSIFICAÇÃO QUANTO ÀS MEDIDAS .............................................................................................................. 2
RELAÇÕES ENTRE DOIS ÂNGULOS ........................................................................................................................... 2
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 3
ÂNGULOS FORMADOS POR 2 RETAS CONCORRENTES ....................................................................................... 3
BISSETRIZ DE UM ÂNGULO ................................................................................................................................. 3
PARALELISMO ......................................................................................................................................................... 4
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ................................................................................. Erro! Indicador não definido.
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 2
AULA 01 ÂNGULOS
ÂNGULOS CONGRUENTES (≡) Dois ângulos que têm a mesma abertura são
denominados ângulos congruentes.
Obs.1: Dois ângulos congruentes têm a mesma medida.
MEDIDA DE ÂNGULO
Um ângulo que tem medida igual a 1
90 do ângulo reto,
será adotado como unidade de medida dos ângulos e
sua medida será chamada de 1° (um grau).
SUBDIVISÕES DO GRAU 1° (um grau) pode ser dividido em:
• Minuto (’)
Cada grau equivale a 60 minutos.
1° = 60’ ou 1’ = (1
60)
°
• Segundo (”)
Cada minuto equivale a 60 segundos.
1’ = 60” ou 1” = (1
60)
′
ou ainda
1° = 3600”
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. Determine o valor da expressão a seguir:
13°41’50” + 15°18’43” – 10°12’52”
CLASSIFICAÇÃO DOS
ÂNGULOS
CLASSIFICAÇÃO QUANTO ÀS MEDIDAS
• Ângulo agudo
Um ângulo de medida 𝑥 é agudo, se:
0° < 𝑥 < 90°
• Ângulo obtuso
Um ângulo de medida 𝑥 é obtuso, se:
90° < 𝑥 < 180°
RELAÇÕES ENTRE DOIS
ÂNGULOS
• Ângulos Complementares
Dois ângulos de medidas 𝑥 e 𝑦, em graus, são
complementares se
𝑥 + 𝑦 = 90.
• Ângulos Suplementares
Dois ângulos de medidas 𝑥 e 𝑦, em graus, são
suplementares se
𝑥 + 𝑦 = 180.
Obs.2: Nos problemas a serem resolvidos, é muito
importante que você entenda como definir a medida do
complementar e do suplementar de um ângulo.
Veja alguns exemplos:
Operações com ângulos
Para somar e subtrair ângulos, basta você entender que
1) Você deve operar “grau com grau”, “minutos com
minutos” e “segundos com segundos”.
2) Quando, na parte dos segundos ou dos minutos,
aparece um número maior do que 60, você deve
retirar quantos agrupamentos de 60 forem possíveis,
convertendo-os na unidade à esquerda.
3) Quando devemos subtrair um valor de outro menor
que ele, devemos trocar 1 unidade a esquerda por 60
unidades a mais à direita.
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Medida da referência (em graus)
Medida do seu complementar
(em graus)
Medida do seu suplementar (em graus)
𝑥 90 – 𝑥 180 – 𝑥
3𝛽 90 − 3𝛽 180 − 3𝛽
𝑦
5 90 −
𝑦
5 180 −
𝑦
5
Note que, na tabela, lemos:
3𝛽: o triplo da medida 𝛽 de um ângulo.
𝑦
5: a quinta parte da medida 𝑦 de um ângulo.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.2. A soma da quarta parte da medida do
complemento de um ângulo com o quádruplo da
medida desse ângulo é igual à medida do
suplemento desse ângulo subtraída de 15°.
Determine, em graus, a medida desse ângulo.
AULA 02
ÂNGULOS FORMADOS POR 2 RETAS
CONCORRENTES
• Ângulos Opostos Pelo Vértice (O.P.V.)
Os pares de ângulos que são opostos pelo
vértice são congruentes, enquanto os pares de ângulos
adjacentes são suplementares.
Na figura, temos:
Opostos Pelo Vértice:
𝐴�̂�𝐵 ≡ 𝐶�̂�𝐷 e 𝐴�̂�𝐷 ≡ 𝐵�̂�𝐶.
Pares de ângulos suplementares:
𝐴�̂�𝐵 𝑒 𝐵�̂�𝐶 𝐶�̂�𝐷 𝑒 𝐴�̂�𝐷
𝐵�̂�𝐶 𝑒 𝐶�̂�𝐷 𝐷�̂�𝐴 𝑒 𝐴�̂�𝐵
BISSETRIZ DE UM ÂNGULO A bissetriz de um ângulo é, por definição, a semirreta
de origem no vértice desse ângulo e que o divide em
dois ângulos adjacentes e congruentes.
𝑚𝑒𝑑(𝐵Â𝐸) + 𝑚𝑒𝑑(𝐸Â𝐶) = 𝑚𝑒𝑑(𝐵Â𝐶)
𝑚𝑒𝑑(𝐵Â𝐸) = 𝑚𝑒𝑑(𝐸Â𝐶) =1
2∙ 𝑚𝑒𝑑(𝐵Â𝐶)
TAREFA 2 – PSA 5 e 6.
TAREFA 1 – Ler as Observações 1 e 3 na página 4 do
livro da GD, ler os Exercícios Resolvidos 2 e 3, nas
páginas 7 e 8, e Fazer os PSA 1 a 4 e o TSC 1.
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AULA 03
PARALELISMO Quando duas retas coplanares 𝑟 e 𝑠 são cortadas por
uma transversal 𝑡, são formados 8 ângulos, como
ilustrado na figura a seguir.
Figura 1
Observe a imagem a seguir.
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Daí, você verá, a seguir como podemos nomear e
classificar alguns pares de ângulos.
ÂNGULOS
• CORRESPONDENTES
INTERNOS
• ALTERNOS
EXTERNOS
INTERNOS
• COLATERAIS
EXTERNOS
QUADRO RESUMO
Se 𝒓//𝒔, tem-se:
(CONGRUENTES)
(CONGRUENTES)
(SUPLEMENTARES)
TAREFA 3 – Ler os resolvidos 4 e 5, nas páginas 11 e
12, e fazer os PSA 7 a 16.
Sobre as medidas dos ângulos
Note que, na figura, com r//s, todos os
ângulos agudos são congruentes entre si, assim como
todos os ângulos obtusos também são congruentes
entre si.
Dessa forma, temos que se nos forem dados as
medidas de dois ângulos agudos, basta igualá-las. O
mesmo vale se as medidas forem de dois ângulos
obtusos. E, caso, conheçamos a medida de um dos
ângulos agudos e de um dos ângulos obtusos, basta
soma-las e igualá-las a 180°.