ADILSON CARLOS MACHADO DETERMINAO DAS PERDAS SUPLEMENTARES EM MOTORES DE INDUO TRIFSICOS PELO MTODO EH-STAR FLORIANPOLIS 2008 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA PROGRAMA DE PS-GRADUAOEM ENGENHARIA ELTRICA DETERMINAO DAS PERDAS SUPLEMENTARES EM MOTORES DE INDUO TRIFSICOS PELO MTODO EH-STAR Dissertao submetida Universidade Federal de Santa Catarina como parte dos requisitos para a obtenodo grau de Mestre em Engenharia Eltrica. ADILSON CARLOS MACHADO Florianpolis, Julho de 2008. ii iii AGRADECIMENTOS AomeuorientadorProfessorMauricioValenciaFerreiradaLuzpeloestmuloe apoio durante o desenvolvimento deste trabalho. UFSC(UniversidadeFederaldeSantaCatarina)emespecialaoGRUCAD (GrupodeConcepoeAnlisedeDispositivosEletromagnticos)porteremorganizado este curso de mestrado profissionalizante. Aos professores Renato Carlson, Nelson Sadowski, Joo Pedro Assumpo Bastos, Patrick Kuo-Peng, Nelson Jhoe Batistela, Walter Pereira Carpes Jnior e Cursino Brando Jacobina pelas aulas ministradas. Ao Sr. Joo Evangelista Pacheco de Souza pelo auxlio no entendimento do assunto envolvidoeporgentilmentedisporodesenvolvimentoquefezparaquefosseincludo nesta dissertao (cap. 8). Banca Examinadora desta dissertao, pelas sugestes apresentadas. WEGpelainiciativademelhorcapacitarseusengenheirosdisponibilizando gratuitamente aos seus colaboradores a oportunidade de se tornarem mestres. minha esposa Heloisa Maria dos Santos Machado pela pacincia e compreenso da necessidade de muitas horas de dedicao para a realizao deste trabalho. Aos colegas do departamento de P&D da WEG por auxiliar em diversos momentos, em especial Eduardo Duarte que foi autor de diversas figuras. Aos colegas dos Laboratrios Eltricos da WEG pela realizao dos ensaios. iv Resumo da Dissertao apresentada UFSC como parte dos requisitos necessrios para a obteno do grau de Mestre em Engenharia Eltrica DETERMINAO DAS PERDAS SUPLEMENTARES EM MOTORES DE INDUO TRIFSICOSPELO MTODO EH-STAR Adilson Carlos Machado Julho/2008 Orientador: Prof. Mauricio Valencia Ferreira da Luz, Dr. Co-orientador: Prof. Renato Carlson, Dr. rea de Concentrao: Eletromagnetismo e Dispositivos Eletromagnticos Palavras-chave: perdas suplementares, motor de induo trifsico, mtodo eh-star. Nmero de pginas: 104 RESUMO:Estetrabalhoserefereaoestudoeaimplementaodomtodo deensaioeh-starparadeterminaodasperdassuplementaresemmotoresdeinduotrifsicos, propostonanormaIEC60034-2-1.Oensaioeh-starrealizadosemanecessidadede acoplaromotoraumdinammetrooumquinaauxiliar,ouseja,omotortrabalhaem vazio. Durante o teste o motor conectado emestrela, com um resistor, denominado Reh, ligadoentredoisterminaisdealimentaodomotor,sendoomesmoligado a umafonte monofsica.Comoresultadoapareceremseusterminaisumsistematrifsico desequilibrado (assimtrico), que ser decomposto em dois sistemas simtricos: seqncia positiva eseqncia negativa. So apresentados resultados de diversos motores testados na WEG.Tambmapresentadaumasimulaodesteensaiocomoprogramadeclculo utilizadopelaWEGMotores.Opresentetrabalhopropeaindaumnovocircuitopara obteno desta alimentao desequilibrada,ligando os terminais do motor duas fases e o neutro de um gerador trifsico, dispensando anecessidade da utilizao do resistor Reh. v Abstract of Dissertation presented to UFSC as a partial fulfillment of the Requirements for degree of Master in Electrical Engineering DETERMINATION OF STRAY LOAD LOSSES INTHREE-PHASE INDUCTION MOTORSBY EH-STAR METHOD Adilson Carlos Machado July/2008 Advisor: Prof. Mauricio Valencia Ferreira da Luz, Dr. Co-Advisor: Prof. Renato Carlson, Dr. Area of Concentration: Electromagnetism and Eletromagnetic Devices Keywords: stray load losses, three-phase induction motors, eh-star method. Number of pages: 104 ABSTRACT:This workmentions the study and the implementation regarding the eh-star testmethodproposedintheIECStandard60034-2-1forthedeterminationofstrayload losses in three-phase induction motors. This test is accomplished with no load, that is, the motordoesnotneedtobeconnectedtoadynamometeroranauxiliarymachine.During the test, the motor is star connected with a resistor, referred to as Reh, installed between two motor terminals. The motor is fed by a single-phase voltage supply. This will result in an unbalanced(asymmetric)three-phasesystematthemotorsterminals,whichcanbe decomposedintotwosymmetricsystems:positivesequenceandnegativesequence. ResultsofseveraltestsaccomplishedinWEGfacilities,aswellassimulationresults obtainedwiththesoftwareusedinWEGformotorcalculation,arealsopresented. Additionaly, the present work proposes a new circuit for the attainment of this unbalanced voltagesupply,usingtwophasesandtheneutralofathree-phasegenerator,avoidingthe need for the Reh resistor. vi SUMRIO LISTA DE FIGURAS..................................................................................................... ix LISTA DE TABELAS..................................................................................................... x SIMBOLOGIA............................................................................................................... xi 1Introduo................................................................................................................ 1 2Perdas suplementares .............................................................................................. 4 2.1Introduo.......................................................................................................... 4 2.2Origem das perdas suplementares....................................................................... 5 2.3Normas internacionais........................................................................................ 5 2.4Ensaios para determinao das perdas suplementares ......................................... 7 2.4.1Mtodo entrada-sada ..................................................................................... 7 2.4.2Mtodo pump-back ........................................................................................ 8 2.4.3Mtodo do dinammetro diferencial............................................................... 8 2.4.4Mtodo do diferencial mecnico..................................................................... 8 2.4.5Mtodo back-to-back ..................................................................................... 8 2.4.6Mtodo de curto-circuito AC/DC................................................................... 9 2.4.7Mtodo do calormetro................................................................................... 9 2.4.8Mtodo de rotao reversa.............................................................................. 9 2.4.9Mtodo eh-star ............................................................................................. 10 2.5Concluso ........................................................................................................ 10 3Mtodo de ensaio eh-star....................................................................................... 11 3.1Introduo........................................................................................................ 11 3.2Alimentao desequilibrada ............................................................................. 12 3.3Determinao do resistor Reh............................................................................ 14 3.4Determinao das perdas suplementares........................................................... 14 3.5Requerimentos para o teste............................................................................... 15 3.6Procedimentos de ensaio.................................................................................. 16 3.7Rotina de clculo ............................................................................................. 17 3.8Concluso ........................................................................................................ 18 4Ensaios realizados na WEG.................................................................................. 19 4.1Introduo........................................................................................................ 19 4.2Comentrios sobre os ensaios realizados na WEG............................................ 19 4.3Ensaio eh-star do motor 15 cv, 4 plos, 50 Hz, 400/690 V, carcaa IEC 160M. 20 4.4Resultado do ensaio eh-star do motor 15cv 4p.................................................. 23 4.5Resultados dos ensaios eh-star realizados na WEG........................................... 24 4.6Comparativa de perdas suplementares: eh-star x NEMA x IEC 34-2 ................ 25 4.7Concluso ........................................................................................................ 26 5Componentes simtricas........................................................................................ 27 5.1Introduo........................................................................................................ 27 5.2Desenvolvimento ............................................................................................. 27 5.3Exemplos......................................................................................................... 28 5.4Concluso ........................................................................................................ 30 6Desenvolvimento matemtico da rotina eh-star ................................................... 31 vii 6.1Introduo........................................................................................................ 31 6.2Anlise das tenses .......................................................................................... 31 6.3Anlise das correntes ....................................................................................... 32 6.4Correo da resistncia de fase (Rs) pela temperatura....................................... 36 6.5Tenses internas (sobre Rfe e Xm) valores de linha ...................................... 37 6.6Tenses internas de seqncia positiva e negativa valores de linha ............. 38 6.7Tenses internas de seqncia positiva e negativa valores de fase............... 39 6.8Tenses internas para cada uma das fases U-V-W......................................... 39 6.9Correntes na resistncia de perdas no ferro....................................................... 39 6.10Correntes internas para cada uma das fases U-V-W....................................... 39 6.11Correntes internas de seqncia positiva e negativa ....................................... 40 6.12Potncia ativa no entreferro.............................................................................. 40 6.13Correo das perdas mecnicas ........................................................................ 41 6.14Perdas suplementares ....................................................................................... 41 6.15Perdas suplementares devido seqncia negativa........................................... 41 6.16Correo no valor das perdas suplementares..................................................... 42 6.17Concluso ........................................................................................................ 43 7Simulao do ensaio eh-star no clculo da WEG (M2E)...................................... 44 7.1Introduo........................................................................................................ 44 7.2Clculo do motor 15cv, 4 plos, 50 Hz, 400/690 V, carcaa IEC 160M............ 44 7.3Concluso ........................................................................................................ 45 8Ensaio alternativo baseado no mtodo eh-star ..................................................... 46 8.1Introduo........................................................................................................ 46 8.2Ligao do aparelho de medio Norma........................................................... 47 8.3Dados preliminares .......................................................................................... 47 8.4Desenvolvimento matemtico .......................................................................... 47 8.4.1Linha trifsica desequilibrada....................................................................... 47 8.4.2Componentes simtricas............................................................................... 47 8.4.3Clculo dos mdulos das componentes de seqncia positiva e negativa ...... 48 8.4.4Relao entre o valor eficaz e os mdulos das componentes......................... 52 8.4.5O ensaio com alimentao desequilibrada .................................................... 53 8.4.6Determinao de TF e TT.............................................................................. 53 8.4.7Determinao das perdas Joule no estator de seqncia positiva e negativa .. 54 8.4.8Determinao das perdas no ferro de seqncia positiva e negativa.............. 55 8.4.9Determinao da diferena TF -TT................................................................ 55 8.4.10Diferena entre as potncias de entrada das duas seqncias ........................ 57 8.5Correo das perdas mecnicas ........................................................................ 64 8.6Perdas suplementares devido seqncia negativa........................................... 64 8.7Correo no valor das perdas suplementares..................................................... 65 8.8Comparao entre os mtodos de clculo proposto e o eh-star .......................... 65 8.9Comentrios adicionais .................................................................................... 69 8.10Determinao das perdas suplementares utilizando Ief...................................... 69 8.11Concluso ........................................................................................................ 71 9Ensaio do motor 15 cv 4 plos pelo mtodo alternativo ....................................... 72 9.1Introduo........................................................................................................ 72 9.2Resultado do ensaio ......................................................................................... 72 9.3Verificao do ensaio....................................................................................... 74 viii 9.4Comparao do resultado com o ensaio eh-star ................................................ 74 9.5Concluso ........................................................................................................ 74 10Consideraes finais........................................................................................... 75 10.1Artigos provenientes do trabalho de dissertao............................................... 77 10.2Propostas para trabalhos futuros....................................................................... 78 ANEXOS........................................................................................................................ 79 Anexo 1 - Corrente de teste ........................................................................................... 80 Anexo 2 - Temperatura inicial e final do enrolamento ................................................ 81 Anexo 3 - Regresso linear de Iv x Tenr......................................................................... 82 Anexo 4 - Relao entre tenso de fase e de linha num sistema trifsico .................... 84 Anexo 5 - Relao entre as tenses de fase e suas respectivas componentes ............... 86 Anexo 6 - Resistncia do estator de fase e de linha....................................................... 88 Anexo 7 - Relao entre as tenses de fase e de linha para as duas seqncias .......... 90 Anexo 8 Planilha com resultados do ensaio eh-star do motor 11 kW da ref. [2]...... 92 Anexo 9 - Exemplo de ensaio e clculo com a rotina proposta (software Mathcad)... 93 Anexo 10 - Eliminao do fator k ............................................................................... 102 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ....................................................................... 104 ix LISTA DE FIGURAS Figura 2.1 Grfico das perdas suplementares em funo do quadrado da carga ............... 6 Figura 3.1 Circuito eltrico para o ensaio eh-star .......................................................... 11 Figura 3.2 Circuito simplificado aps a mudana da chave S para a posio 2 .............. 12 Figura 3.3 Mquinas virtuais simulando a mquina sob teste eh-star............................. 13 Figura 3.4 Grfico (I(-)/ItN)2 x Psup referente ao exemplo da Tabela 3.2.......................... 18 Figura 4.1 Disposio inicial para o teste eh-star no motor 15 cv (Reh = 6) ............... 22 Figura 4.2 Disposio final para o teste eh-star no motor 15 cv (Reh = 9) .................. 22 Figura 4.3 Planilha com resultado do teste eh-star no motor 15cv com Reh de 9 ........ 23 Figura 6.1 Diagrama vetorial de um sistema trifsico desequilibrado............................ 31 Figura 6.2 Tringulo das tenses................................................................................... 32 Figura 6.3 Diagrama vetorial das correntes trifsicas .................................................... 33 Figura 6.4 Tringulo das correntes................................................................................ 33 Figura 6.5 Tenses internas (sobre Rfe e Xm) valores de linha .................................... 38 Figura 6.6 Corrente na fase U....................................................................................... 40 Figura 8.1 - Circuito para o ensaio proposto em [8] ......................................................... 46 Figura 8.2 Grandeza trifsica G com componentes G1, G2 e G3..................................... 48 Figura 8.3 Detalhe do ngulo entre as componentes G1 e G2...................................... 50 Figura 8.4 Paralelogramo formado pelas componentes G1 e G2..................................... 51 Figura 8.5 Tringulo formado pelas componentes G1, G2 e G3...................................... 51 Figura 8.6 - Paralelogramos formados pelas componentes G1G3 e G2G3.......................... 51 Figura 8.7 - Circuito original proposto em [8].................................................................. 54 Figura 8.8 Grfico (I(-)/ItN)2 x Psup(-) a partir da Tabela 8.3............................................. 68 Figura 8.9 Grfico (I(-)/ItN)2 x Psup(-) a partir da Tabela 8.4............................................. 68 Figura 8.10 Grfico (Ief/ItN)2 x Psup a partir da Tabela 8.6.............................................. 70 Figura 8.11 Grfico (Ief/ItN)2 x Psup a partir da Tabela 8.7.............................................. 70 Figura 9.1 Grfico (Ief/ItN)2 x Psup a partir da Tabela 9.2 ................................................ 73 Figura A2.1 Variao da resistncia eltrica do cobre com a temperatura ..................... 81 Figura A3.1 Grfico Iv x Tenr.............................................................................................75 Figura A3.2 Determinao da interseco B.....................................................................76 Figura A4.1 Diagrama vetorial das tenses de fase e de linha de um sistema trifsico....77 Figura A6.1 Enrolamento trifsico ligado em estrela........................................................81 Figura A6.2 Enrolamento trifsico ligado em tringulo (delta)........................................82 x LISTA DE TABELAS Tabela 3.1 Relao entre tenso e corrente de fase e de linha........................................ 15 Tabela 3.2 Exemplo de dois motores 11 kW 4p 400V 50Hz, um Y e outro ................ 16 Tabela 3.3 Exemplo de resultados do ensaio eh-star...................................................... 17 Tabela 4.1 Motores testados com mtodo eh-star na WEG............................................ 19 Tabela 4.2 Parmetros nominais do motor 15 cv 4p...................................................... 21 Tabela 4.3 Relao entre as correntes de seqncia positiva e negativa nos trs ensaios 21 Tabela 4.4 Resumos dos 31 ensaios eh-star realizados na WEG em 2006 e 2007 .......... 24 Tabela 4.5 Comparativo de perdas suplementares de ensaio.......................................... 25 Tabela 7.1 Valores do ensaio eh-star do motor 15cv 4p (retirados da Figura 4.3) .......... 44 Tabela 7.2 Valores de clculo do motor 15cv 4p simulando eh-star (programa M2E) ... 45 Tabela 7.3 Variao percentual entre clculo e ensaio................................................... 45 Tabela 8.1 Resumo das variveis para determinao das perdas suplementares............. 64 Tabela 8.2 Ensaio eh-star motor 11 kW 4p 50 Hz 400V (Y) [2].................................... 66 Tabela 8.3 Resultados determinados pela rotina de clculo do mtodo eh-star [2] ......... 67 Tabela 8.4 Resultados determinados pela rotina de clculo proposta [8] ....................... 67 Tabela 8.5 Variao percentual entre as rotinas de clculo proposta e eh-star................ 67 Tabela 8.6 Resultados determinados pela rotina eh-star considerando (Ief/ItN)2 x Psup.... 69 Tabela 8.7 Resultados determinados pela rotina proposta considerando (Ief/ItN)2 x Psup.. 70 Tabela 8.8 Perdas suplementares em carga nominal ...................................................... 71 Tabela 9.1 Ensaio do motor 15 cv 4p utilizando o mtodo alternativo........................... 72 Tabela 9.2 Resultado do ensaio do motor 15cv 4p utilizando o mtodo alternativo ....... 73 Tabela 10.1 Classificao quanto ao grau de incerteza segundo a IEC 60034-2-1 ......... 76 xi SIMBOLOGIA aFasor de mdulo 1 e ngulo 120 a2Fasor de mdulo 1 e ngulo 240 PabsPotncia absorvida[W] PtilPotncia til[W] PTotal de perdas[W] Pj1Perdas joule no estator[W] Pj2Perdas joule no rotor[W] PfePerdas no ferro[W] PmecPerdas mecnicas[W] PsupPerdas suplementares[W] Psup(-)Perdas suplementares devida seqncia negativa[W] Psupc Perdas suplementares corrigidas (k . psup(-))[W] PsNomPerdas suplementares de carga nominal[W] kFator de correo das perdas suplementares[pu] PwvPotncia absorvida medida entre os terminais W e V do motor[W] PuvPotncia absorvida medida entre os terminais U e V do motor[W] PPotncia no entreferro[W] PpPotncia no entreferro devido seqncia positiva[W] Pn Potncia no entreferro devido seqncia negativa[W] PePotncia total de entrada (igual a Pabs)[W] PeixoPotncia entregue na ponta do eixo[W] RehResistor ligado entre os terminais U e W do motor[] RfeResistncia de perdas no ferro[] RsResistncia de fase do estator[] Rvw,20Resistncia de linha do estator a frio (terminais V e W), referida a 20 C[] Rvw,iniResistncia de linha do estator antes de iniciar o ensaio Eh-star[] Rvw,fimResistncia de linha do estator no final do ensaio Eh-star[] X0Reatncia de dispero (X1 + X2)[] X1Reatncia de dispero do estator[] X2Reatncia de dispero do rotor[] XmReatncia de magnetizao[] ZfImpedncia de fase do motor[] M(+)Torque da mquina alimentada pela seqncia positiva (U-V-W)[Nm] M(-)Torque da mquina alimentada pela seqncia negativa (U-W-V)[Nm] MAVTorque devido ao atrito e ventilao[Nm] sEscorregamento[pu] snom Escorregamento nominal[pu] UNTenso nominal de linha[V] UNfTenso nominal de fase[V] UuvTenso de linha entre os terminais U e V do motor[V] xii UvwTenso de linha entre os terminais V e W do motor[V] UwuTenso de linha entre os terminais W e U do motor[V] UiuTenso interna da fase U do motor[V] UivTenso interna da fase V do motor[V] UiwTenso interna da fase W do motor[V] UiuvTenso interna de linha (sobre Rfe) entre os terminais U e V[V] UivwTenso interna de linha (sobre Rfe) entre os terminais V e W[V] UiwuTenso interna de linha (sobre Rfe) entre os terminais W e U[V] UipTenso interna de fase de seqncias positiva[V] UinTenso interna de fase de seqncias negativa[V] UiLpTenso interna de linhade seqncias positiva[V] UiLnTenso interna de linhade seqncias negativa[V] VabcVetor de tenses trifsicas[V] V012Vetor de tenses trifsicas equivalente em componentes simtricas[V] V0Componente de seqncia zero da tenso[V] V1Componente de seqncia positiva da tenso[V] V2Componente de seqncia negativa da tenso[V] UF+Componente de seqncia positiva da tenso de fase[V] UF-Componente de seqncia negativa da tenso de fase[V] UL+Componente de seqncia positiva da tenso de linha[V] UL-Componente de seqncia negativa da tenso de linha[V] INCorrente nominal de linha[A] INfCorrente nominal de fase[A] IL1Corrente na linha 1 (rede)[A] IL2Corrente na linha 2 (rede)[A] IuCorrente na fase U do motor[A] IvCorrente na fase V do motor[A] IwCorrente na fase W do motor[A] Iv,nCorrente na fase V do motor no ponto n (n = 1, 2, 3, 4)[A] Iv,1Corrente na fase V do motor no ponto 1 (Iv,1 = 150% INf)[A] Iv,4Corrente na fase V do motor no ponto 4 (Iv,4 = 113% INf)[A] 'uIProjeo do fasor corrente na fase U no eixo real[A] 'vIProjeo do fasor corrente na fase V no eixo real[A] 'wIProjeo do fasor corrente na fase W no eixo real[A] "uIProjeo do fasor corrente na fase U no eixo imaginrio[A] "vIProjeo do fasor corrente na fase V no eixo imaginrio[A] "wIProjeo do fasor corrente na fase W no eixo imaginrio[A] IiuCorrente interna na fase U[A] IivCorrente interna na fase V[A] IiwCorrente interna na fase W[A] IipCorrente interna de seqncia positiva[A] xiii IinCorrente interna de seqncia negativa[A] I0Corrente a vazio de linha[A] I0fCorrente a vazio de fase[A] ItNCorrente de teste nominal[A] IufeCorrente na resistncia de perdas no ferro na fase U[A] IvfeCorrente na resistncia de perdas no ferro na fase V[A] IwfeCorrente na resistncia de perdas no ferro na fase W[A] I +Corrente de seqncia positiva[A] I -Corrente de seqncia negativa[A] I1 - Corrente de seqncia negativa no estator[A] I2 - Corrente de seqncia negativa no rotor[A] I0nCorrente no estator em vazio com tenso nominal equilibrada[A] I1nCorrente no estator em carga com tenso nominal equilibrada[A] I2nCorrente no rotor em carga com tenso nominal equilibrada[A] Tenr,nTemperatura no enrolamento no ponto n (n = 1, 2, 3, 4)[C] Tenr,iniTemperatura no enrolamento no ponto 1 (Iv,1 = 150% INf)[C] Tenr,fimTemperatura no enrolamento no ponto 4 (Iv,4 = 113% INf)[C] HVFFator de distoro harmnica da tenso[pu] Rendimento[pu] ngulo entre os fasores de tenses Uuv e Uwu (Figura 6.2)[] ngulo entre o fasor de corrente Iu e o eixo real (Figura 6.3)[] ngulo entre os fasores de corrente Iu e -Iv (Figura 6.3)[] ngulo entre o fasor de corrente Iv e o eixo imaginrio (Figura 6.3)[] eixo dos nmeros reais eixo dos nmeros imaginrios 11INTRODUONo passado, o valor da eficincia das mquinas eltricas era de importncia menor. Atualmente, porm, h uma crescente preocupao mundial com a conservao de energia eltrica,vistoqueoconsumotemcrescidonumritmomaisaceleradodoqueaprpria produo de energia. Entreosprincipaisconsumidoresestoasmquinaseltricas.Eporisso,huma preocupao crescente com a eficincia destas mquinas, passando a ser at mesmo alvo de projetos para as aplicaes na indstria. Aeficinciadeummotoreltrico,tambmchamadaderendimento,representao comportamento energtico da mquina durante a converso da potncia eltrica absorvida da rede em potncia mecnica na ponta do eixo. abstilPP (1.1) Onde rendimento, normalmente dado em % Ptil potncia mecnica na ponta do eixo, dada em W Pabs potncia eltrica absorvida da rede, dada em W A medida da eficincia de uma mquina de induo pode tambm ser executadaa partirdoconhecimentodasperdastotaisdamquina,queresultadasomadasperdas determinadas separadamente. absabsPP P ou P PPtiltil + (1.2) Onde P perdas totais da mquina De maneira geral, podem-se dividir as perdas totais em cinco componentes: Perdas mecnicas (atrito e ventilao) Perdas no ferro (histerese e Foucault) Perdas Joule no estator Perdas Joule no rotor Perdas suplementares 2Asduasprimeirassodeterminadasatravsdoensaioemvazio,enquantoqueas perdas Joule no estator e rotor so determinadas no ensaio em carga. J as perdas suplementares dependem da norma a ser considerada, podendo diferir em muito para um mesmo motor. Inclusive uma mesma norma pode apresentar diferentes mtodos que no conduzem necessariamente a um mesmo valor de perdas. Emoutraspalavras,asquatroprimeirasperdasestobemdefinidasemnormas, sendo as mesmas em qualquer parte do mundo. Porm, as perdas suplementares tm uma interpretao diferente em algumas normas internacionais, sendo ento possvel um mesmo motorapresentardiferentesvaloresdeeficincia,conformeomtodoutilizadopara determinar estas perdas. Com a preocupao de uniformizar um mtodointernacional de medida, foi aberta umadiscussonesteinciodesculoentreosprincipaisfabricanteseuropeus(IEC)e americanos (IEEE - NEMA). Oseuropeusacostumadoscomaconsideraodequeasperdassuplementaresna mquinaequivalema0,5%dapotnciaabsorvida,tememumaquedaacentuadana eficincia de suas mquinas caso venham adotar o procedimento daIEEE 112-B, proposto inicialmente para uma padronizao. Em vista disso, propuseram colocar em pauta outro mtodo: eh-star. Este mtodo foi desenvolvido nos anos 60, por pesquisadores alemes [1][2]. Mas, apesar de ter sido desenvolvido h 4 dcadas, ainda no havia sido explorado, at que em 2004 ele foi includo na proposta de reviso da norma IEC 34-2 (IEC 60034-2), como um terceiromtododeensaioparadeterminaodasperdassuplementaresparamquinasde induo trifsicas. Alguns fabricantes de motores europeus propuseram que este seja adotado como o principalmtododeensaioparadeterminaodasperdassuplementares,substituindoo atual que dita um valor percentual de 0,5% da potncia absorvida.Porm, a posio dos europeus contraria a dos demais fabricantes mundiais, dentre eles a WEG, que preferem que a IEC adote o mtodo B da IEEE 112, semelhantemente ao adotadopelaNBR5383,fazendoassimumapadronizaoentreasprincipaisnormas internacionais. A razo principal destetrabalho entofoi trazer WEG um melhor conhecimento deste novo mtodo de ensaio, para podermos ento apoiar ou no a sua implantao. 3Neste trabalho destacam-se os seguintes objetivos especficos: Realizar ensaios segundo o mtodo eh-star em alguns motores WEG. Comparar os resultados do ensaio com outros mtodos normalizados. Simular o ensaio no programa de clculos da WEG (M2E). Demonstrar a teoria envolvida (anexo B da norma IEC 60034-2-1). Para expor os objetivos especficos, este trabalho divide-se nos seguintes captulos: Cap. 1: introduo geral, apresentando o tema do trabalho e a justificativa do mesmo. Cap. 2: apresenta um breve relato sobre perdas suplementares, com comentrios de alguns pesquisadoresarespeitodesuaorigem.Apresentatambmosprincipaismtodosde medio destas perdas. Cap. 3: apresentao mtodo eh-star e os procedimentos para realizao do ensaio. Cap.4:apresentaosensaioseh-starrealizadosnaWEG,comparandoosresultadosde perdas suplementares deste mtodo com os resultados determinados pela atual IEC 34-2 e pela norma IEEE 112, mtodo B (NEMA). Cap. 5: apresenta uma breve reviso de componentes simtricas. Cap. 6: apresenta o desenvolvimento matemtico do mtodo eh-star. Cap.7:apresentaumasimulaodoensaioeh-stardeummotor15cv4pnoclculode motores de induo da WEG (programa M2E). Cap.8:apresentaapropostadeumensaioalternativo,baseadonomtodoeh-star.Este porm,dispensaanecessidadedoresistorReh.Nestecaptuloapresentadoo desenvolvimento matemtico completo do mtodo proposto. Cap. 9: apresenta o ensaio do motor 15cv 4p realizado com o mtodo proposto no cap. 8. Cap. 10: apresenta as consideraes finais. Anexos 1 a 7: apresentam demonstraes que objetivam facilitar o entendimento em alguns pontos do desenvolvimento matemtico tanto para o mtodo eh-star (cap. 6) quanto para o mtodo alternativo (cap. 8). Anexo 8: apresenta o relatrio de ensaio eh-star mostrado na referncia [2]. Anexo 9: apresenta em uma rotina Mathcad detalhes dos procedimentos para execuo do ensaioalternativo,etambmtodaamarchadeclculousadaparadeterminarasperdas suplementares, conforme itens 8.8 e 8.10. Anexo 10 :apresenta a demonstrao da possibilidade de eliminar o fator k. 42PERDAS SUPLEMENTARES 2.1Introduo Asperdassuplementaresocorrememtodosostiposdemquinaseltricasde correntealternadaeacarretamumareduonorendimentoeaquecimentodamquina quando do funcionamento em carga. Emboraesteassuntosejaobjetodeinvestigaohmuitosanos,existemainda muitas discusses sobre a origem e a avaliao destas perdas. Segundo [3], as perdas suplementares so devidas pulsao nos fluxos dispersos e por correntes de Foucault nas laminaes e partes metlicas adjacentes. Segundo[4],asperdassuplementaressodevidasvariaodapermencia magntica e harmnicas de faixa de fase. Segundo[5],asperdassuplementaresemcargasodevidassvariaesna distribuio de fluxo e pelas correntes de Foucault. Para ele estas perdas so independentes do fluxo principal. Segundo[6],asperdassuplementaresapresentamduasparcelas,sendoumaem vazioeaoutraemcarga.Paraeleasperdassuplementaresemvazioocorremdevido variaodofluxoprincipal,enquantoqueasperdassuplementaresemcargasodevidas aos fluxos dispersos. Segundo [7], as perdas suplementares tambm apresentam duas parcelas, porm ele asclassificacomodefreqnciafundamentalealtafreqncia.Paraeleasperdas suplementaresdefreqnciafundamentalsodevidasscorrentesinduzidasnos condutoresdoestatordevidoaofluxodispersonaranhuradoestator,incluindoaindaas perdasemoutraspartesmetlicasdevidoaofluxodispersonaspartesterminaisda mquina,comoextremidadedopacoteecabeadebobina.Jasdealtafreqnciaso perdasinduzidasnorotordevidoaosharmnicosdeforamagnetomotriz(fmm) produzidospelacorrentedecarganoestator,assimcomotambmperdasinduzidasno estator devido aos harmnicos de fmm produzidos pela corrente no rotor. Segundo [8], as perdas suplementares so entendidas como o acrscimo das perdas de alta freqncia quando se estabelece carga ao motor. 52.2Origem das perdas suplementares Asperdassuplementarestmmuitasfontes,asquaissoumreflexodanatureza no ideal de uma mquina. Elas so difceis de serem preditas analiticamente e muito mais difceis ainda de serem medidas diretamente. A maioria das perdas suplementares devida ao fluxo de disperso, principalmente zig-zag,responsvelpelasperdassuplementaresdealtafreqncia,quedependemda configurao dos dentes, ranhuras, entreferro e enrolamentos.Quanto maior a abertura das ranhuras de estator e rotor, maiores sero as perdas por pulsao na regio dos dentes prxima ao entreferro. J quanto maior o entreferro, menores sero as perdas suplementares, porm ter-se- neste caso uma corrente magnetizante maior, aumentandoassimasperdasJoule,podendoestasgerarumaquecimentoe uma queda de rendimentomaiornamquinadoqueoganhocomareduodasperdassuplementares. Quanto a reduzir as perdas suplementares atravs dos enrolamentos deve-se procurar usar passo reduzido (enrolamento camada dupla), ao invs de passo pleno (camada nica). Outrafontedeperdassuplementaresnosmotorescomrotordealumnioinjetado soospossveisescapesdealumnioquepodemocorrernapartesuperiordorotor, formando um filme superficial sobre o rotor tendendo a curto-circuitar as bordas expostas daslminas.Ofluxopulsantedealtafreqncianoentreferrocriarentocorrentes parasitas ao longo da superfcie condutora, gerando perdas suplementares. Ascorrentesinter-barrastambmgeramperdassuplementareseumaformade minimiz-las atravs da isolao das barras do rotor. Isto pode ser feito com um processo defosfatizaodasranhurasdorotorcombanhodezinco,porexemplo.Estetratamento dever ser feito obviamente antes da injeo do alumnio. importantenotarqueumareduofortedasperdassuplementarespodeno representar um incremento significativo na eficincia do motor, pois estas perdas so uma parcela pequena das perdas totais. 2.3Normas internacionais AsnormasJEC2137(JapaneseElectrotechnicalCommittee)eIEC34-2 (InternationalElectrotechnicalCommission)atribuemsperdassuplementaresumvalor correspondentea0,5%dapotnciaabsorvidadarede,independentedapotnciatildo motor. Porm, verificaes baseadas em mtodos prticos mostraram que este percentual pequeno para a maioria dos motores eltricos. 6AsnormasNBR-5383,CSAC390eIEEE112-B,determinaminicialmenteas perdassuplementares(Psup)paraseispontosdecarga(25%a150%dacarganominal). Estas so obtidas pela potncia absorvida da rede (Pabs), subtradas a potncia til (Ptil), as perdas Joule no estator (Pj1) e no rotor (Pj2), determinadas para cada ponto, e as perdas no ferro (Pfe) e mecnicas (Pmec), determinadas no ensaio em vazio. Assim: mec fe 2 1 til abs supP P Pj Pj P P P (2.1) feita ento uma regresso linear das perdas suplementares em funo do quadrado dotorquedacargaempudotorquenominal,conformeFigura2.1.Comoasperdas suplementaressoconsideradasnulasemvazio,despreza-seocoeficientelinearB, obtendo-se a reta das perdas suplementares corrigidas (Psupc) passando pela origem.O valor das perdas suplementares de carga nominal (Psup_nom), definido para T = 1, determinado pelo coeficiente angular A. Figura 2.1 Grfico das perdas suplementares em funo do quadrado da carga OutroensaioparadeterminaodasperdassuplementaresoIEEE112-E[10], conhecidocomoensaiodeRotaoReversaeRotorRemovido,quedetermina respectivamente as perdas suplementares de alta freqncia e freqncia nominal. O mtodo E da IEEE no necessita do acoplamento da mquina a um dinammetro, mas sim de um dispositivo auxiliar que fargirar a mquina em teste no sentido contrrio aodoseucampogirante,daonomedoensaioderotaoreversa.Porm,comoorotor estargirandorotaosncrona, as perdas dispersasemcargadevidassharmnicasde campo do rotor no so consideradas, visto que no h corrente fluindo no rotor. AInternationalElectrotechnicalCommissioncomopropsitodereverasua maneiradeindicarasperdassuplementares,criouem2002umprojetodenorma 7denominadoIEC61972[11]apresentandodoismtodosparadeterminaodasperdas suplementares,oprimeiroseguindoumamaneiraaproximadaIEEE112-Beosegundo semelhante IEC 34-2, porm com uma variao com a potncia nominal do motor. A novidade apresentada pela IEC 61972 em relao a IEEE 112-B est no fato dela levar em considerao a variao das perdas no ferro com a carga, visto que a IEEE 112-B mantm constante o valor destas perdas para todos os pontos de carga. O efeito da variao das perdas no ferro com a carga mais forte nos motores pequenos, que apresentam maior resistncia dos enrolamentos. Em 2004 foi criada a IEC 60034-2, trazendo alm dos dois mtodos da IEC 61972, mais o mtodo de rotao reversa (cfe IEEE 112-E) e o novo mtodo eh-star. Em setembro de 2007 foi lanada oficialmente a primeira edio, denominanda IEC 60034-2-1 [12].EstainclusofoiumasolicitaodosfabricantesEuropeus,umavezquecoma mudananaconsideraodasperdassuplementares,osrendimentosdosseusmotores foram reduzidos devido ao aumento no valor destas perdas. 2.4Ensaios para determinao das perdas suplementares Aolongodosanosvriosmtodosexperimentaistmsidodesenvolvidospara determinao das perdas suplementares. Em seguida so relacionados alguns deles [13]: 2.4.1Mtodo entrada-sada Comomotoracopladoaumdinammetro, aplica-setensonominalemede-sea potncia absorvida da rede, a rotao e o torque na ponta do eixo. Este ltimo dividido pela rotaodovalordapotnciatildomotor.Subtraindoapotnciatildapotncia absorvidadaredeobtm-seasperdastotais.Destasperdastotaissubtraem-seasdemais perdasjdeterminadaspreviamente,sendoasperdasnoferroeasdeatritoeventilao obtidasnoensaioemvazioeasperdasJoulenoestatorenorotorobtidasnoensaioem carga. O resultado final da subtrao so as perdas suplementares (Psup), conforme (2.1). Estemtodomuitoimpreciso,poisresultadodadiferenaentrenmeros grandes,ondeumpequenoerrodemediodaspotnciasabsorvidaetilpodegerarum grande erro nas perdas suplementares. Por isso indicado apenas para pequenas mquinas onde a eficincia no seja significativa. 82.4.2Mtodo pump-back Similaraomtodoentrada-sada,pormapotnciatilmedidaapartirdeuma mquina idntica acoplada ao eixo da mesma, usada como gerador. Este mtodo tem a mesma impreciso do mtodo entrada-sada e ainda apresenta o inconvenientedanecessidadedeseobterduasmquinasidnticas,sendoasperdas suplementaresdeterminadasparaasduasmquinas.Outrodetalhequedificilmenteas duas mquinas apresentaro na prtica as mesmas perdas suplementares. 2.4.3Mtodo do dinammetro diferencial Este mtodo uma forma modificada do mtodo pump-back, sendo utilizado agora um dinammetro no lugar do gerador, operando ora como carga, ora como fonte primria paraimpulsionaromotoremteste.Naprimeiraetapaomotoremtesteimpulsionao dinammetroenumasegundaetapaelestrocamdefuno,passandoagoraomotora funcionar como gerador.2.4.4Mtodo do diferencial mecnico Este mtodo necessita de duas mquinas idnticas as quais sero acopladas no eixo principal de um diferencial mecnico e conectadas em uma fonte eltrica comum, de modo quegirememdireesopostas.Agaioladiferencialpermaneceestacionriaenquantoas duasmquinasestiveremgirandonamesmarotao.Quandoagaiolagirada,umadas mquinas acelera e passa a funcionar como gerador e a outra como motor. Ajustando-se a velocidade de rotao da gaiola diferencial, possvel variar a carga. Da potncia total de entrada do sistema subtraem-se as demais perdas j conhecidas, obtendo-se ento as perdas suplementares. Como as duas mquinas so idnticas, divide-se o valor por dois. 2.4.5Mtodo back-to-back Estemtodonecessitadeduasmquinasdeinduo,nonecessariamenteiguais, acopladasaumdinammetrofixo aumachapaestacionria.Osestatoresestarofixados umaooutroelivresparagiraremsobreseusprpriosmancais.Umadasmquinasopera comogeradorcomumavelocidadeng,enquantoaoutraoperacomomotorcomuma velocidadenm.Asduasvelocidadespodemserajustadasatascarcaasnoterema tendncia de girar, o que significa que os torques nos dois acoplamentos so iguais. 92.4.6Mtodo de curto-circuito AC/DC Este mtodo consiste de trs testes separados: - Um teste com rotor removido- Dois testes de curto-circuito: DC ou sncrono e AC ou assncrono TestecomrotorremovidoRetira-seorotor,colocam-seastampaseaplica-seuma tensonosterminaisdoestatordemodoqueacorrentedelinhasejaacorrentedeteste 2021 tI I I .Dovalordapotnciaabsorvidasubtraem-seasperdasJouledoestator, resultando assim nas perdas suplementares de freqncia nominal. Teste de curto-circuito DC Faz-se passar corrente contnua pelo estator enquanto o rotor posto a girar na velocidade sncrona. Esta corrente deve corresponder ao valor de pico da corrente alternada de carga. O aumento na potncia mecnica requerida para girar o rotor nesta circunstncia contm as perdas de freqncia nominal e as de alta freqncia. Teste de curto-circuito AC basicamente o teste de rotor bloqueado. A potncia lquida de entrada assumida como sendo integralmente as perdas na freqncia nominal do rotor. As perdas suplementares finais do mtodo sero, ento, a soma destes trs testes. 2.4.7Mtodo do calormetro Estemtodopodeseraplicadoparamquinasondeogsderesfriamento, usualmenteoar,foradoatravsdepassagensespecficas.Opropsitoavaliara distribuiodadensidadedeperdaspelamediodosgradientesdetemperaturana mquina,sobvriascondiesdecarga.Asperdassuplementaressoentocalculadas pelos resultados da distribuio da densidade de perdas. 2.4.8Mtodo de rotao reversa Este mtodo consiste de duas etapas: - teste com rotor removido (determina as perdas de freqncia nominal - Psfn) - teste de rotao reversa (determina as perdas de alta freqncia - Psaf) Testecomrotorremovidoidnticoaoitem2.4.6,pormsefazasmediesparaseis pontos de carga (25 a 150%). Teste de rotao reversa Com uma mquina auxiliar acelera-se o motor em teste at a rotao sncrona e ento se alimenta o motor de modo que a fora eletromotriz produzida sejacontrriaaosentidoderotaodorotor.Paraasmesmasseiscorrentesdetestecom rotor removido faz-se as leituras da potncia absorvida (Pa) e do torque, sendo este ltimo 10utilizado para determinar a potncia na ponta do eixo do motor (Peixo). Sabendo-se tambm as perdas mecnicas (Pm), as perdas suplementares de alta freqncia em cada ponto sero: Psaf = (Peixo Pm) (Pa Psfn Pj1) Finalmente,determinam-seasperdassuplementaresdomotorpelasomadas parcelas de freqncia nominal e alta freqncia: Psup = Psfn + Psaf 2.4.9Mtodo eh-star Estemtodosebaseianaalimentaomonofsicadeumamquinatrifsicacom ligaodasfasesemestrelaecomumresistor,denominadoReh,conectadoentredois terminaisdamquina.Estaconfiguraoequivalealigaramquinaaumaredetrifsica desequilibrada. Depois de quatro dcadas ele foi incorporado Norma IEC 60034-2-1 [13].Este mtodo o tema central desta dissertao e ser ento visto em detalhes. 2.5Concluso Devido dificuldade em se identificar a origem das perdas suplementares difcil estabelecer regras para a determinao da eficincia de uma mquina. A escolha do teste a ser realizado depende da exatido desejada, o tipo e o tamanho da mquina envolvida e os equipamentos de teste disponveis (fontes, dinammetro ou mquina auxiliar). 113MTODO DE ENSAIO EH-STAR OprenomeEH,vemdoalemoEinphasigmitHilfswiderstand,quesignifica monofsico com resistncia auxiliar. O sufixo star se deve ao fato de que os enrolamentos do estator devem ser obrigatoriamente ligados em estrela durante o teste. 3.1Introduo Omtododeensaioeh-starparadeterminaodasperdassuplementaresfoi desenvolvido em 1967 pelos alemes Jordan, Richter e Rder [1], e se aplica a motores de induo trifsicos com rotor de gaiola.Omotornonecessitaseracopladoaumdinammetrooumquinaauxiliar. Duranteotesteelesubmetidoaumatensotrifsicadesequilibrada,resultantedo acoplamento de um resistor Reh entre dois terminais do motor e o desligamento de uma das fases da rede, aps a mudana da chave S da posio 1 para 2, conforme Figura 3.1 [12]: S 12IRWVIehL1 L2 L3IUUUVAWAAWVVVPUVWVPVWUUwuUuvUvwWVUUVW Figura 3.1 Circuito eltrico para o ensai o eh-star Otorqueeletromagnticodamquinaalimentadaassimetricamentepodeser determinadoconsiderandoamquinaalimentadaporduasfontessimtricas,umano sentido de giro (seqncia positiva) e outra no sentido contrrio (seqncia negativa). O torque eletromagntico varia fortemente com a corrente no estator, indicando que a seqncia negativa faz o papel da carga na ponta do eixo, ou seja, apesar de a mquina estarfuncionandoemvazio,otorqueeletromagnticoproduzidopelaseqnciapositiva deve vencer mais que o torque de atrito e ventilao [1].Uwu 123.2Alimentao desequilibrada ApsamudanadachaveSdaposio1para2,pode-seredesenharocircuito sem os componentes de medio, como mostra a Figura 3.2: UVWIuUvwUuvUwuIL1 = Iu+IwIL2 = IvL2L1IwReh Figura 3.2 Circuito simplificado apsa mudana da chave S para a posio 2 O motor fica ligado a duas fases do sistema trifsico, que o equivalente a lig-lo a umafontemonofsica.Nestasituao,surgiroemseusterminaistrstenses desequilibradas, correspondendo alimentao trifsica assimtrica a qual, pela regra das componentessimtricas,podeserdecompostaemtrssistemassimtricos:seqncia positiva, seqncia negativa e seqncia zero, onde:Acorrentedeseqnciapositivageranomotorumtorquecomescorregamento prximo de zero (vazio), pois no h carga aplicada na ponta do eixo.A corrente de seqncia negativa gera um torque com escorregamento prximo de dois(regiodefreionacurvatorquexrotao),simulandoassimcondiesde carga mesmo com o motor em vazio.A corrente de seqncia zero noexiste, pois o motor est ligado em estrelae com o neutro em aberto, conforme indicado no item 6.4.5.5 da IEC 60034-2-1 [12]. Amquinaalimentadaassimetricamentepodeserconsideradaento,comoduas mquinasdeinduoequivalentes,acopladasaomesmoeixo,emqueumaalimentada pelacomponentedireta(seqnciapositiva),operandocomescorregamentoseaoutra 13alimentadapelacomponenteinversa(seqncianegativa)operandocomum escorregamento 2s [1]. NaFigura 3.3 estas duas mquinas virtuais esto representadas comon1en2,respectivamente.Amquinaalimentadapelacomponentedireta(n1) representa a mquina em teste, enquanto que a alimentada pela componente inversa(n 2) representa a carga aplicada na ponta do eixo. Figura 3.3 Mquinas virtuais simuland o a mquina sob teste eh-star ConsiderandoT(+) otorque da mquina n 1,alimentada pelo sistema de seqncia positiva(U-V-W),eT(-)otorquedamquinan2,alimentadapelosistemadeseqncia negativa (U-W-V), o torque eletromagntico resultante ser T(+) T(-). Como o motor est funcionandoemvazio,estetorquesuprirapenasotorquedevidoaoatritoeventilao TAV e o torque das perdas suplementares TS, ou seja, T(+) T(-) = TAV + TS [8]. Assim, como no ensaio de rotao reversa da norma IEEE 112-E [11], a carga ser simuladacomacomponenteinversa,pormcomavantagemdeaquinoseprecisar acoplar o motor a outro que o faa girar no sentido contrrio ao campo. Nomtodoeh-staracorrentedeseqnciapositivanoconsideradaparao clculodasperdassuplementareseporistonodevesersuperiora30%dacorrentede seqncianegativa.Esteinclusiveumcritriodeaceitaodoensaio,senofor cumpridoemqualquerumdosseispontostestadosdeve-seaumentarovalordoresistor Reh e repetir todos os pontos. Este percentual no justificado na norma IEC e em nenhum artigo sobre o mtodo eh-star[1].Supe-sequesebaseienofatodasperdassuplementaresvariaremcomo quadrado da carga, a qual simulada pela corrente de seqncia negativa. Como a corrente de seqncia positiva tambm produz perdas suplementares, as quais no so consideradas, limitar uma proporo mxima de 30%desta corrente em relao de seqncia negativa limitar a participao dela nas perdas suplementares a apenas 9% do total (0,302 = 0,09). Mquina em testeCarga 143.3Determinao do resistor Reh O valor de Reh estimadoinicialmente comosendo 20% da impedncia de fase do motor (Zf).NfNffIUZ (3.1) f ehZ 2 , 0 R (3.2) Na prtica, Reh deve ser tal que atenda o requisito da corrente de seqncia positiva ser inferior a 30% da corrente de seqncia negativa, ou seja,3 , 0 I / I < +, visto que esta ltima quem representa a carga.3.4Determinao das perdas suplementares Paraseobterasperdassuplementares,determina-seapotncianoentreferro(P) considerandosimultaneamenteasduasmquinas(seqnciapositivaenegativa),ouseja, sodeterminadasPpePn.Paracadamquinaobservadaumaalimentaotrifsica equilibrada,pormdependentedaalimentaotrifsicaoriginal(tensesecorrentes desequilibradas). Considerando positivo o sentido de giro do rotor, tem-se: n pP P P (3.3) Obtm-se P subtraindo as perdas Joule no estator (Pj1) e as perdas no ferro (Pfe) da potncia total de entrada (Pe). Assim: P = Pe Pj1 Pfe(3.4) A potncia no entreferroapresenta duas parcelas: uma referente s perdas Joule no rotor(Pj2)(proporcionalaoescorregamento)eoutrareferentesperdassuplementarese mecnicas (proporcional ao complemento do escorregamento). Desta ltima tira-se Psup: s.P = Pj2(3.5) (1s).P = Psup + Pmec Psup = (1s).P Pmec (3.6) Nocaptulo6destadissertaomostradoodesenvolvimentomatemticodo mtodo eh-star, o qual est resumido no anexo B da norma IEC 60034-2-1 [12]. 153.5Requerimentos para o teste Osenrolamentosdoestatordevemserconectadosemestrela,sendoosdados nominais por fase do motor, referidos a esta conexo, conforme Tabela 3.1. Tabela 3.1 Relao entre tenso e corrente de fase e de linhaSe for ligao YSe for ligao 3UUNNf ;N NfI I N NfU U ;3IINNf Com uma freqncia nominal fixa, dever ser possvel variar a tenso da rede desde 25%datensonominalatumvalorcapazdesuprirumacorrentede150%da corrente nominal de fase do motor na ligao estrela.AformadeondadafontedetensodeveapresentarumHVF(harmonicvoltage factor) menor ou igual a 0,015, conforme definido na norma IEC 60034-1. 015 , 0kuHVF132 k2k (3.7) Uk: valor rms da tenso da harmnica por unidade da tenso nominal (k: 2,...,13) As perdas no ferro (Pfe), as perdas mecnicas (Pmec) (atrito e ventilao), a corrente em vazio (Io) e a resistncia de ligao estrela (Y) do estator a 20 C (Rvw,20) devem ser pr-determinadas de acordo com o teste em vazio padro. Determina-se ento a corrente nominal de teste (ItN) atravs da seguinte relao:2f 02Nf tNI I I (3.8) Nota: No Anexo 1 demonstra-se porque esta considerao vlida. A Tabela 3.2 apresenta exemplos de determinao da resistncia Reh e da corrente de teste, considerando dois motores 11kW, 4 plos,400 V, 50 Hz, IN = 23 A, I0 = 12 A, um com ligao estrela (Y) e outro com ligao tringulo (). 16Tabela3.2 Exemplode doismotores 11 kW 4p 400V 50Hz, um Y e outro Ligao YLigao 34003UUNNf = 231 VUNf = UN = 400 V INf = IN = 23 A 3233IINNf = 13,3 A I0f = I0 = 12 A 3123II0f 0 = 6,9 A 23231IUZNfNff = 10,0 3 , 13400IUZNfNff = 30,0 Reh = 0,2 . 10,0 = 2,0 Reh = 0,2 . 30,0 = 6,0 A 6 , 19 12 23 I I I2 2 2f 02Nf tN A 3 , 11 9 , 6 3 , 13 I I I2 2 2f 02Nf tN 3.6Procedimentos de ensaio Antesdaexecuodoensaioeh-star,deverserrealizadooensaioemvazio padro, para determinao da corrente I0 e das perdas mecnicas e no ferro. Monta-seocircuitodaFigura3.1,mede-searesistnciadoestatorafrioentreos terminais V e W, convertendo-a a temperatura de 20 C (Rvw,20). Pe-seomotoragirarpor20minutossobtensonominal,comachaveSna posio1,paraestabilizarasperdasemvazio(oidealseriarealizarotestelogo apsoensaioemvazio,poisnestemomentoasperdasjestoestabilizadas). Mede-senovamentearesistnciaentreosterminaisVeW,queseraresistncia inicial do ensaio eh-star (Rvw,ini). O motor religado em vazio com uma tenso entre 25% e 40% da tenso nominal. Apsaaceleraodomotor,achaveSacionadadaposio1para2ea resistnciaRehcomeaaatuarentreasfasesUeW,passandoagoraomotora operar com tenses no simtricas (Figura 3.2).Varia-seatensodealimentaoUuv,ajustandoacorrentenafaseV(Iv)em porcentagem da corrente de fase nominal, em seis pontos entre 150% e 75% de INf. Inicia-se com a maior corrente, terminando com a menor, para limitar a variao de temperatura, sugerindo-se 150%, 138%, 125%, 113%, 100% e 75% [2]. Nota: A corrente na fase U (Iu) aproximadamente a mdia entre a menor corrente, na fase W (Iw), e a maior corrente, na fase V (Iv). 17Paracadapontomede-seIu, Iv,Iw,Uuv,Uvw,Uwu,Peearotao.Estadever ficarprximadarotaonominal.AnormaIEClimitaavariaodo escorregamento em no mximo o dobro do nominal. O motor desligado e mede-se novamente a resistncia do estator entre as fases V e W, que ser a resistncia final do ensaio eh-star (Rvw,fim). 3.7Rotina de clculo Apsasmedies,osdadosobtidosnoitem3.6soprocessadosnumarotinade clculoExcel[2].Paraumamelhorqualidadenosresultadosdosensaiosrealizadosna WEG,foidesenvolvidopelodepartamentodeControledeQualidadeumsoftwarepara leitura automtica dos parmetros medidos e execuo da rotina de clculo. Aseqnciadeclculosparadeterminaodasperdassuplementaresest resumidamente colocada no anexo B da norma IEC 60034-2-1 [12]. J o desenvolvimento matemtico com detalhes pode ser observado no captulo 6 desta dissertao. Asperdassuplementaresdeterminadasparaosseispontossocolocadasnum grficoemfunodarelao( )2tNI / I,onde I acorrentedeseqncianegativade cada ponto e ItN a corrente de teste nominal dada em (3.8), fixa para todos os pontos. Com uma regresso linear obtm-se a equao Psup = a. ( )2tNI / I + b. Comoasperdassuplementarespordefiniosonulasemvazio,despreza-seo parmetro b e a equao fica Psupc = a. ( )2tNI / I (perdas suplementares corrigidas). Assim, para( )2tNI / I = 1, ou seja, tNI I , o parmetro a determina o valor das perdas suplementares de carga nominal.Para exemplificar, considerem-se os resultados de um ensaio eh-star da Tabela 3.3. Tabela 3.3 Exemplo de resultados do ensaioeh-star Ponto( )2tNI / I [ ] W Psup [ ] W Pc sup 11,922249,1225,6 21,630212,6191,4 31,324181,3155,4 41,088157,3127,6 50,836131,498,1 60,47572,455,8 18Ogrfico( )2tNI / IxPsupnaFigura3.4,mostraalinhadetendnciatracejada.A linha cheia representa a reta das perdas suplementares corrigidas (Psupc), ou seja, com b = 0. Nesteexemplo,asperdassuplementaresnominaissode117,4W.Asperdas suplementares corrigidas (Psupc) da Tabela 3.3 foram obtidas pelo produto de( )2tNI / I por 117,4, que o coeficiente angular da reta. y = 117,4x + 25,0y = 117,4x0501001502002503000,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5(I(-) / ItN)2Psup [W] Figura 3.4 Grfi co (I(-)/ItN)2 x Psup referente ao exe mplo da Tabela 3.2 Nota:Nocaptulo6pode-severificarqueomtodoeh-starfazumacorreono valordasperdassuplementares,considerandoapenasaparceladevidaseqncia negativa. Esta parcela de perdas identificada como Psup(-). 3.8Concluso Omtododeensaioeh-staremsuaessnciaseapresentacomoumaformafcile rpida para determinao das perdas suplementares de um motor de induo trifsico, visto que no necessita acoplar o motor em teste a um dinammetro ou mquina auxiliar. Alm disso, o mtodo apresenta uma boa conceituao terica, conforme item 3.4, sendoinclusivefontedeinspiraoparaacriaodeummtodoalternativodeensaio, apresentado no captulo 8 [8]. 194 ENSAIOS REALIZADOS NA WEG 4.1Introduo ForamensaiadosnaWEGsetediferentesmotoresde2e4plos,compotncias entre 1 e 220 cv. Quase todos foram testados com mais de um valor de Reh, totalizando 31 ensaios, conforme relacionado na Tabela 4.1: Tabela 4.1 Motores testados commtodo eh-star naWEG cvPlosCarcaaQtde ensaios 1IV804 2IV90S6 4II100L8 10IV132S1 15IV160M3 20IV160M3 60II225S/M3 220IV355M/L3 Total =31 No item 4.3 deste trabalho so mostrados alguns detalhes dos ensaios do motor de 15 cv, 4 plos, 400/690 V, 50 Hz, carcaa IEC 160M, o qual foi testado com trs diferentes valores de Reh.4.2Comentrios sobre os ensaios realizados na WEG Paraarealizaodosensaioseh-starnaWEG,foramadquiridosalgunsresistores de potncia de 1, 6 e 50 ohms.Duranteaexecuodosensaiosforampercebidasalgumasdificuldadestcnicas que tiveram que ser contornadas, conforme relatadas a seguir: A maioria das fontes de alimentao nos laboratrios composta por um variador de tenso e autotrafo, apresentando uma zona morta geralmente entre 140 e 180 V, ou seja, no possvel ajustar a tenso nesta faixa. ParaaexecuodocircuitodaFigura3.1,precisou-semodificaraligaodo analisador de potncia, diferindo do padro utilizado nos laboratrios. 20Para a implantao do mtodo eh-star na WEG, cada laboratrio precisaria ter um conjunto de resistores de potncia. Teve-sedificuldadeparaajustararesistnciaRehprincipalmentenosmotoresde menor potncia. A estimativa inicial de Rehiguala 20% da impedncia de fasedo motor para que a corrente de seqncia positiva no seja superior a 30% da corrente de seqncia negativa se mostrou baixa, sendo necessrio aumentar a resistncia. DevidonecessidadedeajustesdeReh,osresistoresadquiridosnoforam suficientesparaarealizaodetodososensaios,sendonecessriaautilizaode alguns resistores disponveis nos laboratrios da WEG. Destaca-seaindaofatodeque,porseresteumensaioexclusivamentepara determinaodasperdassuplementares,noexcluinenhumoutroensaiorealizado atualmente, visto que ainda se deve fazer o ensaio em carga para determinao das perdas Joule no estator e rotor. Seria, portanto um ensaio complementar e o resultado inserido no clculo de separao de perdas, para ento determinar-se o rendimento. Outro inconveniente que este mtodo no aplicvel para motores com trs cabos ligados emtringulo (delta), pois conforme j visto, o motor precisa ser obrigatoriamente ligado em estrela para ser ensaiado. 4.3Ensaio eh-star do motor 15 cv, 4 plos, 50 Hz, 400/690 V, carcaa IEC 160M Com objetivo de mostrar alguns detalhes de um ensaio eh-star, feita a seguir uma apresentaodostestesrealizadoscomomotorde15cv,4plos,50Hz,400/690V, carcaa IEC 160M.As correntes a plena carga (IN) e em vazio (I0), as perdas no ferro (Pfe) e mecnicas (Pmec), foram obtidas de ensaio padro (realizado em 400 V, ligao ): IN = 23,15 AI0 = 11,76 APfe = 376,85 W Pmec = 97,28 W NaTabela4.2tem-seoclculodoresistorReh,etambmadeterminaoda corrente de teste nominal ItN conforme equao (3.8). 21Tabela 4.2 Parmetros nominais do motor15 cv 4p UNf = UN = 400 V 315 , 233IINNf = 13,37 A 376 , 113II0f 0 = 6,79 A 37 , 13400IUZNfNff 30 Reh = 0,2 . 30 = 6 A 52 , 11 79 , 6 37 , 13 I I I2 2 2f 02Nf tN Com o resistor Reh de 6 a relao entre as correntes de seqncia positiva (+I ) e negativa(I ), ficou acima de 0,3 no penltimo e ltimo ponto do ensaio. Acrescentou-se ento um resistor de 1 em srie, passando o valor de Reh para 7 . Mas ainda assim no ltimo ponto a relao ficou acima de 0,3. Foram acrescentados ento mais dois resistores de 1 em srie, passando o valor de Reh para 9 . Assim finalmente a relao convergiu para um valor abaixo de 0,3 nos seis pontos de ensaio, conforme Tabela 4.3. Tabela4.3 Relao entre as correntes de seqncia positiva e negativa nos trs ensaiosPontos 123456 Reh [] +I / I 60,29310,29240,29390,29800,30850,3393 70,27610,27600,27840,28310,29260,3227 90,25750,25700,25930,26290,26810,2910 22Na Figura 4.1 observa-se a disposio inicial do motor 15 cv para o teste eh-star. Figura 4.1 Disposio inicial para o testeeh-star no motor 15 cv (Reh = 6 ) Na Figura 4.2 observa-se a disposio final do motor 15 cv para o teste eh-star. Figura 4.2 Disposio final para o testeeh-star no motor 15 cv (Reh = 9 ) AsperdassuplementaresnostrsensaiosreferidosnaTabela4.3deram respectivamente:122,3,109,7e117,4W.Considerandoamdiade116,5Wdostrs resultados,percebe-seumavariaomuitopequenaentreosdoisprimeirosensaios reprovados e a mdia (entre 5 e 6%), mostrando que o mtodo tem boa repetibilidade. Reh de 9 representa 30% da impedncia de fase do motor (Zf = 30 ). Contatores Chave S Reh =6 Motor testado 15cv 4p 160M 50Hz Medidores (Norma) Resistor 6 Resistores 1 Reh =6+1+1+1 =9 234.4Resultado do ensaio eh-star do motor 15cv 4p Na Figura 4.3 podem ser observados os resultados do ensaio eh-star realizado com omotor15cv4putilizandoRehde9.OvalorrealdeRehverificadopontoaponto durante o ensaio, sendo determinado pela relao Uwu/Iwph, identificados na tabela. O coeficiente angular da reta (slope A) d o valor das perdas suplementares para o ponto de carga nominal, que neste ensaio deu 117,37 W. Esta planilha Excel foi montada pela Darmstadt University, Germany [2]. Para a realizao dos ensaios na WEG foi criado um software para realizar a leitura automtica dos parmetros medidos e executar os clculos. Algorit hm written by A. Binder/Darmstadt University of Technology 2004load point 1 2 3 4 5 6rated line- line voltage UN [V] 690,0 690, 0 690,0 690,0 690,0 690,0rated line current I N [A] 13,37 13,37 13,37 13,37 13,37 13,37no-load line current I 0 [A] 6,79 6,79 6,79 6,79 6,79 6,79frequency f [Hz] 50 50 50 50 50 50number of poles 2p4 4 4 4 4 4line- linevoltage UUV [V] 366,6 343, 6 314,7 288,07 256,03 198,85line- linevoltage UVW [V] 396,07 371,53 340,6 311,98 277,63 215,3line- linevoltage UWU[V] 123,84 116 104,97 94,68 82,11 59,51phase current I Uph[A] 15,58 14,36 12,98 11,8 10,43 7,97phase current I Vph[A] 20,05 18,46 16,66 15,13 13,3 10,18phase current I Wph [A] 13,23 12,18 10,93 9,85 8,54 6,26speed n [rpm] 1471 1471 1472 1471 1469 1467phase resistance @20C Rs,20C[] 0, 974 0,974 0,974 0,974 0,974 0, 974line- line resistance@ 20C RVW,20C [] 1, 948line-line resistance @ b egin RVW,begin [] 2,17line- line resistance @ end RVW, end[] 2, 276core losses PFeN [W] 376,85 376,85 376,85 376,85 376,85 376,85friction &windage losses PfwN [W] 97,28 97,28 97,28 97,28 97,28 97,28input p ower Pe, in[W] 3666,33 3146,67 2596 2156,63 1682 1012,85eh-resistance (operating) Reh[] 9, 3605 9,5238 9,6038 9,6122 9,6148 9,5064winding temperature temp[C] 49,06 53,54 58,62 62,94 62,94 62,94positive sequence current I1 [A] 4, 1112 3,7802 3,4374 3,1576 2,8233 2,3109negative sequence current I2 [A] 15, 9669 14,7064 13,254 7 12,0109 10,5317 7,9400r atio (positive/negative) I1 / I2 0, 2575 0,2570 0,2593 0,2629 0,2681 0,2910ratedtest c urrent I tN [A] 11, 5175 11,5175 11,517 5 11,5175 11,5175 11,5 175stray load lo sses Pad [W] 249, 1447 212,5541 181,304 5 157,2711 131,3981 72,3 763chek of real power Pkont [W] 3666, 3438 3146,6985 2596,028 2 2156,6547 1682,0478 1012,8 588(I2/ ItN)^2 1, 9219 1,6304 1,3244 1,0875 0,8361 0,4753stray load losses @ ItN InterceptB 25, 0169 SlopeA 117,3714 Co rrelat. Fact 0,99 540corrected str ay load losses Pad, c [W] 225, 5738 191,3625 155,448 1 127,6429 98,1389 55,7 811InputdataOutputdatay = 117,37x + 25, 02R2 = 0,9901002003004005006007000,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0(I-/ I tN)2Ps [W]eh_Pseh_Ps, c Figura 4.3 Planilha com resultado do teste eh-star no motor 15cv com Reh de 9 valores de Reh tenso nominal ligao estrela (Y) I+/ I- 0,95 ) INf e I0f

Tabela 4.2 rpm ok! Nominal 1470 24Notas: 1)As correntes de seqncia positiva e negativa na Figura 4.3 so identificadas como I1 e I2, respectivamente. 2)Oscritriosdeaceitaodoensaioforamatendidos: +I / I Ps_NEMA 2)A maioria dos motores Normais (ao 1006) apresentou Ps_eh_star < Ps_NEMA 3)O desvio padro menor nos ensaios eh-star do que nos ensaios NEMA. 4)O desvio padro do mtodo IEC baixo e por isso no foi considerado. 5)Conformejcomentadonanotafinaldocaptulo3,omtodoeh-starconsidera apenas a parcela de perdas suplementares devida seqncia negativa, identificada como Psup(-) no item 6.15 deste trabalho. 4.7Concluso Aps a realizao destes 31 ensaios eh-star na WEG, pode-se destacar os seguintes pontos positivos e negativos a respeito do mtodo: Pontos Positivos:1)No necessrio acoplar o motor a um dinammetro ou mquina auxiliar. 2)Fcil e rpida execuo do ensaio. 3)Boarepetibilidadenosresultadosdasperdassuplementaresparaomesmomotor, mesmo alterando o valor de Reh. Pontos Negativos:1)No aplicvel para motores com trs cabos ligados em tringulo (delta). 2)Necessidade de ajustar Reh para queo ensaioatenda o critrio de +I / I < 0,30 em todos os pontos, sendo necessrio repetir o teste at que o critrio seja atendido. 3)Dificuldades para ajustar a tenso em alguns pontos dos ensaios devido chamada zona morta na maioria das fontes dos laboratrios, geralmente entre 140 e 180 V. 275COMPONENTES SIMTRICAS 5.1Introduo Omtododecomponentessimtricasparaoestudodesistemasdepotncia polifsicos desequilibrados consiste na decomposio dos elementos de tenso ou corrente das fases em parcelas iguais, mas com ngulos de fase diferentes. Desta forma possvel desmembrar o circuito polifsico emn circuitos monofsicos, supondo vlido o princpio dasuperposio,ouseja,queoscircuitossejamlineares.Issosimplificaemmuitoo processo de clculo das grandezas nos sistemas de potncia [14]. Nocasodosistematrifsico,havertrscomponentes:seqnciapositiva, seqncianegativaeseqnciazero.Basicamenteosvaloresdeseqnciapositivaso aquelespresentesdurantecondiestrifsicasequilibradas,representandoascorrentese tenses normais observadas nos sistemas de potncia durante condies tpicas de regime. Asgrandezasdeseqncianegativamedemaquantidadededesequilbrioexistenteno sistema de potncia. J as grandezas de seqncia zero esto comumente associadas ao fato de se envolver a terra em condies de desequilbrio. Pode-se acrescentar ainda que: A componente positiva representa o elemento de tenso ou corrente em condies nominais equilibradas, com um sentido de giro positivo (conveno).A componente negativa representa o elemento de tenso ou corrente com sentido de giro inverso.A componente zero representa o elemento de tenso ou corrente no girante.5.2Desenvolvimento Um vetor de tenses trifsicas pode ser expresso por: 111]1

cbaabcVVVVCom o equivalente em componentes simtricas: 111]1

210012VVVVOnde V0, V1 e V2 so, respectivamente, as componentes de seqncia zero, positiva e negativa. 28A relao entre as tenses pode ser definida por: abc 012V A V Onde: 111]1

a aa a22111 1 131AAssim: 111]1

+ ++ ++ +111]1

) V . V . V () V . V . V () V V V (31VVVc b2ac2b ac b a210a aa aOnde 32je a = 1120 e 34je2a = 1240. Multiplicarumfasorporafazgiraressefasorde120grausnosentidoanti-horrio.Quandoelevadoaoquadrado(operadora2)fazgirarumfasorem240graus tambm no sentido anti-horrio, que equivalente a girar 120 graus no sentido horrio.5.3Exemplos Paraexemplificar,sejamconsideradastrscondiesdetensestrifsicas,onde para cada caso pode-se determinar as componentes de seqncia zero, positiva e negativa. a)Um sistema trifsico perfeitamente equilibrado Va = 220 0 voltsVb = 220 -120 voltsVc = 220 120 volts V0 =31(Va + Vb + Vc) V0 =31(2200 + 220-120 + 220120)V0 = 0 V V1 =31(Va + a.Vb + a2.Vc) V1 =31(2200 + 1120.220-120 + 1240.220120) V1 =31(2200 + 2200 + 2200)V1 = 2200 V 29V2 =31(Va + a2.Vb + a.Vc) V2 =31(2200 + 1240.220-120 + 1120.220120) V2 =31(2200 + 220120 + 220240) V2 = 0 V b)Um sistema perfeitamente desequilibrado ou rotao de fases invertida Va = 220 0 voltsVb = 220 120 voltsVc = 220 -120 volts V0 =31(Va + Vb + Vc) V0 =31(2200 + 220120 + 220-120)V0 = 0 V V1 =31(Va + a.Vb + a2.Vc) V1 =31(2200 + 1120.220120 + 1240.220-120) V1 =31(2200 + 220240 + 220120) V1 = 0 V V2 =31(Va + a2.Vb + a.Vc) V2 =31(2200 + 1240.220120 + 1120.220-120) V2 =31(2200 + 2200 + 2200)V2 = 2200 V Observa-seassimqueparaumsistematrifsicoperfeitamentedesequilibrado (inversodeduasfases),ascomponentesseseqnciapositivaeseqncianegativase invertem, passando a ser nula a componente positiva. 30c)Uma falta tpica da fase A para a terra Va = 100 0 voltsVb = 220 -120 voltsVc = 220 120 volts V0 =31(Va + Vb + Vc) V0 =31(1000 + 220-120 + 220120)V0 = 40180 V V1 =31(Va + a.Vb + a2.Vc) V1 =31(1000 + 1120.220-120 + 1240.220120) V1 =31(1000 + 2200 + 2200)V1 = 1800 V V2 =31(Va + a2.Vb + a.Vc) V2 =31(1000 + 1240.220-120 + 1120.220120) V2 =31(1000 + 220120 + 220240) V2 = 40180 V Observa-se assim que para uma falta da fase Apara a terra, a tenso de seqncia positiva reduzida e a tenso de seqncia negativa fica defasada de 180 com relao de seqncia positiva. Alm disso, aparece a seqncia zero igual seqncia negativa. 5.4Concluso Viu-senosexemplosaebqueparaumsistematrifsicoequilibrado, independente do sentido de giro, tem-se apenas uma componente resultante. J no exemplo c, quando aparece um desequilbrio no sistema trifsico, aparecem as demais componentes. Porm,acomponentedeseqnciazerosaparecequandoenvolveaterraem condies de desequilbrio. Por isso, na execuo doteste eh-star o ponto estrelano deve estar conectado a um neutro ou aterrado, conforme item 6.4.5.5 da IEC 60034-2-1 [12]. 316DESENVOLVIMENTO MATEMTICO DA ROTINA EH-STAR 6.1Introduo Omtodoeh-starfoidesenvolvidotendocomobaseaalimentaodomotor trifsicocomtensesdesequilibradas.Todaaformulaoutilizadapelomtodoest resumidamente colocada no anexo B da norma IEC 60034-2-1 [12]. So aqui mostrados alguns detalhes do desenvolvimento matemtico, o qual no se encontra em literatura, sendo assim realizado exclusivamente para este trabalho. Nota: Neste captulo a simbologia utilizada paraas tenses e correntes diferem dos outroscaptuloscomoobjetivodefacilitaraindicaodaapstrofenoEquationEditor, passando a ser indicada as referncias das fases como subscrito. 6.2Anlise das tenses Comoastensesnosterminaisdomotornosoequilibradas,deve-seanalisaro diagrama de um sistema trifsico desequilibrado conforme mostrado na Figura 6.1: Figura 6.1 Diagrama vetorial de um sistema trifsico desequilibrado SeguindoanomenclaturadoanexoBdanormaIEC60034-2-1,ascomponentes real e imaginria esto representadas com uma e duas apstrofes, respectivamente. Tomando a tenso Uuv como referncia, pode-se representar o tringulo das tenses conforme Figura 6.2: Uuv Uvw Uwu "wuU'wuU'vwU' 'vwU 32 Figura 6.2 Tringulo das tensesa) Para Uuv tem-se:uv'uvU U (6.1) 0 U"uv (6.2) b) Para Uwu tem-se: Pela lei dos co-senos tem-se: + + cos U U 2 U U Uwu uv2wu2uv2vw Mas'wu wuU cos U Ento se tem 'wu uv2wu2uv2vwU U 2 U U U + + Assim uv2uv2wu2vw 'wuU 2U U UU (6.3) 2 'wu2wu"wuU U U (6.4) c) Para Uvw tem-se: ( )'wu uv'vwU U U + (6.5) "wu"vwU U (6.6) 6.3Anlise das correntes NocircuitodaFigura3.2,apotnciaentreguepelaredeoproduto 'v'uvI U ,ea potnciaabsorvidapelocircuitoasomadasmedidasdoswattmetroscomapotncia dissipada no resistor Reh, onde w wu RI U Peh , assim: w wu wv uv'v'uvI U ) P P ( I U + + Uuv Uvw Uwu 33Comouv'uvU U tem-se uvw wu wv uv 'vUI U ) P P (I + +(6.7) 2 'v2v"vI I I (6.8) Para as demais correntes analisa-se o diagrama vetorial da Figura 6.3: Figura 6.3 Diagrama vetorial das correntes trifsicas Tomando o eixo e o vetor Iu como referncia, pode-se representar o tringulo das correntes conforme Figura 6.4, incluindo as projees de Iv, j conhecidas: Figura6.4 Tringulo das correntes 'wI "wIIv Iw Iu 'uI"uI"vI'vI"vI'vI Iv Iu Iw 34Pela lei dos co-senos tem-se:( ) + cos I I 2 I I Iv u2v2u2w Multiplicando e dividindo o ltimo termo da equao por Iv tem-se ( ) + cos III2 I I I2vvu 2v2u2w Definindo( ) cosIIkvu1 obtm-se 2v2v2u2w1I 2I I Ik A projeo do vetor Iu no eixo ) ( cos I Iu'u Por anlise trigonomtrica verifica-se que Cos () = sen ( + ) Assim: ) ( sen I Iu'u + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + sen cos cos sen I Iu'u ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + sen cos cos cos 1 I I2u'u Do tringulo formado pelo vetor Iv e suas projees, tem-se:v"vII) ( cos v'vII) ( sen Ento ( ) ( )

,_

v'vv"v 2u'uIIcosIIcos 1 I I( ) ( ) ( )'v"v2vu 'uI cos I cos 1III Substituindo cos () definido anteriormente em funo da constante k1

( )1uvkIIcos

,_

+ 'v 1uv "v212u2vvu 'uI kIII kII1III 35

,_

+ 'v 1uv "v 2u212v2uvu 'uI kIIIIk I IIII

,_

+ 'v 1uv "vu212v2uvu 'uI kIIIIk I IIII

,_

+ 'v v 1"v212v2uv'uI I k I k I II1I'v 12'v2v2v212v2u 'uI k I IIk I II + ( )2'v2v212v2u 'v 1'uI I kIII k I

,_

+ ( )2v2'v2v2u21'v 1'uI IIIk I k I

,_

+ (6.9) Para a parte imaginria ("uI ) tem-se: ) cos( I Iu"u + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sen sen cos cos I Iu"u ( ) ( )

,_

+ v'v 2v"vu"uIIcos 1IIcos I ISubstituindocos()emfunodaconstantek1efazendoalgumasmanipulaes algbricas, encontra-se:

,_

+ v'v2u212v2uv"v1uvu"uIIIk I IIIkIII I'v212v2u "v 1"uI kIII k I

,_

De (6.9) pode-se obter: 2'v2v'v 1'u21 2v2uI II k IkII

,_

"v'v 1'u212v2uII k IkII

,_

36Substituindo na expresso de "uItem-se: 'v"v'v 1'u "v 1"uIII k II k I

,_

"v2'v 1"v'v'u"v2"v 1 "uII kII III kI+( )"v'v'u2"v2'v"v1 "uII II IIkI + "v'v'u2v 1 "uII I I kI (6.10) Agora para a fase W observa-se pelo diagrama: 0 I I I'w'v'u + + e 0 I I I"w"v"u + +Ento 'v'u'wI I I (6.11) "v"u"wI I I (6.12) 6.4Correo da resistncia de fase (Rs) pela temperatura AresistnciaentreosterminaisVeWdomotor(resistnciadelinha,tambm chamada de resistncia de ligao) medida em trs momentos: 1)Motor a frio, sendo o valor convertido para a temperatura de 20C (Rvw,20) 2)Aps uns 20 minutos com o motor funcionando em vazio ligado rede (Rvw,ini) 3)Ao trmino da medio dos seis pontos do ensaio eh-star (Rvw,fim) Nota: Com o motor ligado em estrela, a resistncia de fase (Rs) igual metade da resistncia de linha (Rvw). Com o valor destas resistncias, determinam-se as temperaturas do enrolamento no incio (Tenr,ini) e no fim (Tenr,fim) do ensaio eh-star, conforme demonstrado no Anexo 2. 235 255RRT20 , vwini , vwini , enr (6.13) 235 255RRT20 , vwfim , vwfim , enr

,_

(6.14) 37Estastemperaturas so usadas para corrigir o valor da resistncia de fase (Rs) para osquatroprimeirospontosdoensaio,ondeacorrentederefernciaIvvariade150%a 113% da corrente nominal de fase do motor, conforme item 3.6 deste trabalho. Para os dois ltimos pontos (100% e 75%), considera-se a mesma temperatura do quarto ponto, Tenr,fim, conforme IEC 60034-2-1, item 6.4.5.5. Para correo da resistncia, faz-se uma regresso linear de Iv x Tenr, onde: 1vIe Tenr,ini so a corrente e a temperatura no primeiro ponto do ensaio (1vI = 150% INf) 4vI e Tenr,fim so a corrente e a temperatura no quarto ponto do ensaio (4vI= 113% INf) A inclinao da reta A e a interseco B, conforme demonstrados no Anexo 3, so: 4 1v vfim , enr ini , enrI IT TA(6.15)

,_

+

,_

+2I IA2T TB4 1v v fim , enr ini , enr (6.16) Assim, para os quatro primeiros pontos (n = 1, 2, 3, 4) tem-se: B I A T) n ( v ) n ( enr+ (6.17) ( )) n ( enr 20 20 , s ) n ( sT 1 R R + (6.18) Onde 20 = 0,00393 o coeficiente de temperatura do cobre a 20 C. 6.5Tenses internas (sobre Rfe e Xm) valores de linha Sendo Rs a resistncia de fase do estator, referida temperatura do ensaio conforme item 6.4, tem-se uma queda de tenso nesta resistncia diretamenteproporcionalaovalor eficaz da corrente da respectiva fase (Iu, Iv ou Iw). Comoomotorestligadoemestreladevem-seconsiderardoisenrolamentosem srieentredoisterminaisdomotor,cadaumcomumaquedadetensodiferenteemRs devidodiferenaentreascorrentesdecadafase.Subtraindoestasquedasdetensodo valor da tenso de linha, obtm-se a tenso interna (Ui), que corresponderia no circuito equivalente tenso sobre a resistncia de perdas no ferro (Rfe). Como pode ser observado na Figura 6.5, este valor corresponde tenso de linha e no de fase. 38L1L2I= II = I+ I UUUIWVURUi uvRsfeRfeRRfesRsRUivwUiwuuvvwwuu wIL1u wL2 veh Figura 6.5 Tenses internas (sobre Rfe e Xm) valores de linha Rfe a resistncia de perdas no ferro, calculada a partir da tensonominalde fase UNf e das perdas totais no ferro (Pfe) determinadas no ensaio em vazio padro. fe2NffePU 3R(6.19) Nota: A reatncia Xm no foirepresentada naFigura 6.5 em paralelo com Rfe para simplificao do desenho. Assim: v s u s uv uvI R I R U Ui + ( )u v s uv uvI I R U Ui + (6.20) w s v s vw vwI R I R U Ui + ( )v w s vw vwI I R U Ui + (6.21) u s w s wu wuI R I R U Ui + ( )w u s wu wuI I R U Ui + (6.22) 6.6Tenses internas de seqncia positiva e negativa valores de linha Tomando-se a tenso Uiuv como referncia, tem-se a tenso de linha definida paraa seqncia positiva (UiLp) e seqncia negativa (UiLn) conforme (6.23) e (6.24): ( )wu2vw uv LpUi Ui Ui31Ui + + a a (6.23) ( )wu vw2uv LnUi Ui Ui31Ui + + a a (6.24) Onde 32je a ;34j2e a 396.7Tenses internas de seqncia positiva e negativa valores de fase A relao entre as tenses de fase de seqncia positiva e negativa (Uip e Uin) e as de linha (UiLp e UiLn), conforme demonstrado no Anexo 4, ser: 6jLppe3UiUi (6.25) 6jLnne3UiUi (6.26) 6.8Tenses internas para cada uma das fases U-V-W Apartirdascomponentesdeseqnciapositivaenegativa,podem-sedefiniras tenses de fase, conforme demonstrado no Anexo 5: n p uUi Ui Ui + (6.27) n p2vUi Ui Ui + a a (6.28) n2p wUi Ui Ui + a a(6.29) 6.9Correntes na resistncia de perdas no ferroPara cada uma das fases tem-se: feufeRUiIu (6.30) fevfeRUiIv (6.31) fewfeRUiIw (6.32) 6.10Correntes internas para cada uma das fases U-V-W Ascorrentesinternas(Ii)soresponsveispelamagnetizaodomotor,ouseja, soascorrentesquepassampelareatnciaXmnocircuitoequivalenteporfase, exemplificada na Figura 6.6 pela fase U: 40IufeuUiuIiIufeRXm Figura 6.6 Corrente na fase U fe u uIu I Ii (6.33) fe v vIv I Ii (6.34) fe w wIw I Ii (6.35) 6.11Correntes internas de seqncia positiva e negativa Tomando-seacorrenteIiucomoreferncia,tm-seascorrentesdeseqncia positiva (Iip) e negativa (Iin) conforme (6.36) e (6.37). ( )w2v u pIi Ii Ii31Ii + + a a (6.36) ( )w v2u nIi Ii Ii31Ii + + a a (6.37) Nota: Ovalorabsolutodacorrentedeseqnciapositiva(Iip)devesermenorque 30% do valor absoluto da corrente de seqncia negativa (Iin). 6.12Potncia ativa no entreferro Comoseesttrabalhandocomvaloresdefase,apotnciaativanoentreferro(P) sertrsvezesaparterealdapotnciaaparenteUi.Ii* (produtoescalar),considerandoas componentes positiva e negativa separadamente. Assim: { } ( )' 'p' 'p'p'p*p p pIi Ui Ii Ui 3 Ii Ui 3 P + (6.38) { } ( )' 'n' 'n'n'n*n n nIi Ui Ii Ui 3 Ii Ui 3 P + (6.39) De (3.3) tem-se: n pP P P (6.40) Ponto da ligao estrela 416.13Correo das perdas mecnicas Asperdasmecnicassocorrigidasemtodososseispontosdoensaio, proporcionalmente relao quadrtica da rotao do ponto pela rotao sncrona. ( )mec2mec2smecP s 1 PrpmrpmPc

,_

(6.41) mecP perdas mecnicas nominais (determinadas no ensaio em vazio padro) cmecP perdas mecnicas corrigidas para cada ponto rpm rotao no ponto de ensaio srpm rotao sncrona s escorregamento [pu] 6.14Perdas suplementares Apotnciaativanoentreferroapresentaduasparcelas:umareferentesperdas Joule no rotor (Pj2) (proporcional ao escorregamento) e outra referente potncia entregue na ponta do eixo (Peixo) (proporcional ao complemento do escorregamento). Assim: ( )n p 2P P s P s Pj (6.42) ( ) ( ) ( )n p eixoP P s 1 P s 1 P (6.43) Como o motor est funcionando em vazio (Ptil = 0), estaltima parcela representa a soma das perdas suplementares e mecnicas [9]: ( ) ( )c mec sup n pP P P P s 1 + Assim: ( ) ( )c mec n p supP P P s 1 P (6.44) Onde c mecPso as perdas mecnicas determinadas em (6.41). 6.15Perdas suplementares devido seqncia negativa Asperdassuplementaresdeterminadasnoensaioeh-starenglobamduasparcelas, umadevidacorrentedeseqnciapositivaeoutradevidacorrentedeseqncia negativa.Comoacargaestsendosimuladapelaseqncianegativa,deve-seconsiderar apenas esta ltima parcela de perdas. 42O mtodo prope ento um fatork, como a relao entre o quadrado da corrente de sequencianegativapelasomadosquadradosdasduascorrentes,conforme(6.45).A definio de k se baseia na variao das perdas suplementares com o quadrado da corrente.2p2n2n) Ii ( ) Ii () Ii (k+(6.45) Dividindo todos os membros de (6.45) por (Iin)2, tem-se a expresso de k conforme aparece no anexo B da norma IEC 60034-2-1 [13]. 2npIiIi11k

,_

+(6.46) Estefatorrepresentaumareduonasperdassuplementaresemtodososseis pontos. Assim, a parcela de perdas devida corrente de seqncia negativa (Psup(-)), ser o produto do fator k com as perdas suplementares totais (Psup), conforme (6.47): ( ) ( ) { }c mec n p sup ) sup(P P P s 1 k P k P (6.47) Notas: 1)Ovalordek no ensaio do motor 15cv 4p 50 Hz160Mrealizado naWEG,variou entre 0,922 e 0,938 nos seis pontos do teste com Reh de 9, ou seja, a parcela de perdas devida seqncia negativa ficou entre 92,2 e 93,8% do total. 2)De acordo com a nota n 1, a parcela de perdas suplementares devida corrente de seqncia positiva (1k), representa para este motor menos de 8% do total. 6.16Correo no valor das perdas suplementares Definidas as perdas suplementares devidas corrente de seqncia negativa para os seispontos,traa-seumgrfico( )2tNI / IxPsup(-),onde I acorrentedeseqncia negativa do ponto e ItN a corrente de teste, definida na equao (3.8). Com uma regresso linear obtm-se a equao Psup(-) = a. ( )2tNI / I + b. Comoasperdassuplementarespordefiniosonulasemvazio,despreza-seo parmetrobeaequaoficaPsupc=a.( )2tNI / I,ondePsupcrepresentaovalordas perdas suplementares corrigidas para cada ponto.Assim, para( )2tNI / I = 1,ou seja, tNI I , o parmetro a determina o valor das perdas suplementares de carga nominal do motor. 43Pode ser considerado o exemplo no item 3.7 deste trabalho, supondo que os valores de Psup na Tabela 3.3 sejam agora valores de Psup(-). 6.17Concluso A rotina de clculos para determinao das perdas suplementares pelo mtodo eh-star um tanto complexa. Por esta razo procurou-se sempre que possvel usar ilustraes, indicando ainda algumas demonstraes nos anexos deste trabalho. Algunsdetalhesnodesenvolvimentomatemticodomtodoeh-staraqui apresentados no se encontra em literatura, sendo feitos exclusivamente para este trabalho. Informaes adicionais so encontradas no anexo B da norma IEC 60034-2-1 [12], que apresenta de forma resumida as principais relaes aqui demonstradas. 447SIMULAO DO ENSAIO EH-STAR NO CLCULO DA WEG (M2E) 7.1Introduo OprogramadeclculodemotoresdeinduodegaiolautilizadopelaWEG, chamadoM2E(quesignificaMotorem2Eixos,diretoequadratura),deautoriadoSr. Joo Pacheco [8][9], possibilitacalcular o desempenho de um motor eltrico com at seis enrolamentosnoestator,alimentadoporumalinhamonofsica,bifsicaoutrifsica(no necessariamenteequilibrada).Oprogramapermiteconsiderardiferentesligaesentreos enrolamentos do estator, admitindo tambm uma impedncia externa ligada a um terminal. Essaversatilidadedoprogramapermiteentosimularomotortrifsicoligado rede monofsica e ainda com o resistor Reh entre dois terminais, conforme Figura 3.2. 7.2Clculo do motor 15cv, 4 plos, 50 Hz, 400/690 V, carcaa IEC 160M EstemotorfoitestadonaWEG,sendonecessrioaumentaroresistorReh de 6 para 9 , passando de 20% para 30% do valor de Zf (conforme item 4.3). NaTabela7.1soapresentadososresultadosdoensaioeh-starrealizadocomo resistor de 9 , considerando os seis pontos de teste, retirados da planilha na Figura 4.3. Tabela 7.1 Valores do ensaio eh-star do motor 15cv 4p (retirados daFigura 4.3) Pontos 123456 % IN150%138%125%113%100%75% Iref [A]20,0618,4516,7115,1113,3710,03 Medies Iu [A]15,5814,3612,9811,8010,437,97 Iv [A]20,0518,4616,6615,1313,3010,18 Iw [A]13,2312,1810,939,858,546,26 n [rpm]147114711472147114691467 Psup [W]249,1212,5181,3157,3131,472,4 Notas: 1)OsvaloresdeperdassuplementaresdaTabela7.1correspondemaosvaloresno corrigidos, que na Figura 4.3 aparecem em negrito (Pad). 2)AcorrenteIvestdestacadaemnegritonaTabela7.1apenaspararessaltarasua proximidade com a corrente de referncia (Iref). 45NaTabela7.2soapresentadososresultadosdasimulaodoensaioeh-star utilizando o programa de clculo de motores de induo da WEG (programa M2E). Tabela7.2 Valores de clculo do motor 15cv 4p simulando eh-star (programa M2E) Pontos 123456 Iu [A]15,7214,7413,4912,3310,978,54 Iv [A]19,7218,4916,9215,4713,7710,73 Iw [A]12,9712,1210,0210,028,836,64 n [rpm]147114711470147014691467 Psup [W]315,4279,3233,4194,4153,091,1 NaTabela7.3soapresentadososresultadosdavariaopercentualentreos valores de clculo e ensaio. Tabela 7.3 Variao percentual entre clculo e ensaioPontos 123456 Iu [A]0,9%2,6%3,9%4,5%5,2%7,2% Iv [A]-1,6%0,2%1,6%2,2%3,5%5,4% Iw [A]-2,0%-0,5%-8,3%1,7%3,4%6,1% n [rpm]0,0%0,0%-0,1%-0,1%0,0%0,0% Psup [W]26,6%31,4%28,7%23,6%16,4%25,8% 7.3Concluso Obaixopercentualnavariaoentreosresultadosdascorrentesedarotaodo clculoM2Ecomparativamentecomoensaioeh-starcomprovamarobustezea versatilidade deste software para clculo de motores de induo com rotor de gaiola.Quantovariaomaiornosresultadosdasperdassuplementaressupe-se quese devaaofatodesteensaionoconsiderarasperdassuplementaresdefreqncianominal, mas sim apenas as de alta freqncia [9]. Para consider-las teria que ser realizado o ensaio de rotor removido, conforme indicado pela norma IEEE-112, mtodo E [10]. 468ENSAIO ALTERNATIVO BASEADO NO MTODO EH-STAR 8.1Introduo Conformejmencionadonocaptulo3,omtodoeh-starestbaseadona alimentaodesequilibradadomotor.Osistematrifsicodesequilibradotransformado em dois sistemas equilibrados, um de seqncia positiva com o mesmo sentido de giro do rotoreoutrodeseqncianegativacomsentidodegirocontrrioaodorotor,simulando assim a carga aplicada na ponta do eixo, mesmo com o motor em vazio. No ensaio eh-star a alimentao trifsica desequilibrada conseguida utilizando-se um resistor, chamado Reh, em paralelo com duas fases do motor (ligado em estrela) e com o motor ligado a uma rede monofsica, conforme Figura 3.2. Em [8] mostra-se que a essncia do mtodo de ensaio para determinao das perdas suplementaresestemseconseguiraalimentaotrifsicadesequilibradasobreomotor. Parademonstrar issofoidesenvolvidaumarotinadeclculo,apresentadaemdetalhesno item 8.4 deste trabalho de dissertao. Para comprovao prtica ele props a obteno da alimentaodesequilibradaligandoomotoraduasfaseseoneutrodeumgerador trifsico,conformeFigura8.1,dispensandoassimanecessidadedoresistor.Esta configurao foi montada no laboratrio eltrico I da WEG. Figura 8.1 - Circuito para o ensaio propost o em [8] Nota: A utilizao de duas fases e o neutro do gerador apenas uma maneira de se conseguir o desequilbrio. Poder-se-ia, por exemplo, utilizar um transformador por fase. 478.2Ligao do aparelho de medio Norma Comoarotinadeclculodesenvolvidasensvelaosentidodealimentao,foi necessriodefiniraligaodoscanaisdoaparelhodemedioNormaaoscabosdo gerador e aos terminais do motor conforme segue: Canal 1 Entrada: fase R do geradorSada: cabo U1 do motor Canal 2 Entrada: fase S do geradorSada: cabo V1 do motor Canal 3 Entrada: neutro do geradorSada: cabo W1 do motor 8.3Dados preliminares Semelhantementeaoensaioeh-star,precisorealizarpreviamenteoensaioem vazio para determinao da corrente (I0) e das perdas mecnicas (Pmec) e no ferro (Pfe). 8.4Desenvolvimento matemtico Odesenvolvimentodestanovarotinapara determinao das perdas suplementares deummotortrifsicoapartirdaalimentaodesequilibrada,realizadapeloSr.Joo Pacheco,foiconseqnciadestetrabalhodedissertao,vistoqueelefoienvolvido diretamentenoentendimentodomtodoeh-star(cap.6).OSr.JooPachecopresta assessorias WEG e autor de diversos documentos tcnicos, os quais, porm so internos empresa. 8.4.1Linha trifsica desequilibrada Oestudodocomportamentodeummotortrifsicoalimentadoporumalinha trifsicadesequilibradafacilitadopeloempregodascomponentessimtricas.Estasso definidascomo deseqnciapositiva,seqncianegativaeseqnciazero dagrandezaa elas associadas (tenso ou corrente). No caso em estudo a soma fasorial das tenses ou correntes trifsicas nula, tendo como conseqncia a no existncia da seqncia zero. 8.4.2Componentes simtricas Seja G uma grandeza trifsica definida por suas trs componentes G1, G2 e G3, de mdulos g1, g2 e g3, conforme Figura 8.2: 48 Figura 8.2 Grandeza trifsica G com componentes G1, G2 e G3 As componentes de seqncias positiva e negativa so definidas em (8.1) e (8.2): ( ) + + + 3 2 1G / G G31G (8.1) ( ) + + / G G G31G3 2 1(8.2) Onde:23j21e32j+ 23j21e132j (8.3) Podem ser observadas as seguintes relaes: 011 + + 1e34j2 21 (8.4) Notas:1)Comparando(8.1)com(6.23)percebe-sequeem[8]adotou-seosentidodegiro positivo contrrio ao do mtodo eh-star. Isto, porm, no relevante. 2)Tambm h uma troca de notao de a para . 8.4.3Clculo dos mdulos das componentes de seqncia positiva e negativa interessantequeosmdulosdasseqnciaspositiva(g+)enegativa(g)sejam calculados em funo apenas dos mdulos das componentes g1, g2 e g3.Como o produto de uma grandeza G pelo seu conjugado complexo G* corresponde ao quadrado do seu mdulo, tem-se: ( ) ( )* 2G G g+ + + ( ) ( )* 2G G g (8.5) 49Desenvolvendo para g+2 tem-se: ( ) ( ) + + + + +/ G G G G / G G91g*3*2*1 3 2 12 ( ) + + +/ G G G91gc b a2(8.6) Onde *3 3*2 2*1 1 aG G G G G G G + + *1 3*3 2*2 1 bG G G G G G G + + *2 3*1 2*3 1 cG G G G G G G + + Substituindo e 1/ definidos em (8.3) tem-se: ( )

,_

+ + + 23j21G G G G G G G*1 3*3 2*2 1 b ( )

,_

+ + 23j21G G G G G G / G*2 3*1 2*3 1 c Considerando a soma + / G Gc b separada em duas partes, 1 e 2, tem-se: ( )*2 3*1 2*3 1*1 3*3 2*2 1 1G G G G G G G G G G G G21 + + + + + (8.7) ( )*2 3*1 2*3 1*1 3*3 2*2 1 2G G G G G G G G G G G G23j + + (8.8) Definindo Pa e Pb como: ( )1 aG91Pa + (8.9) 291Pb (8.10) De (8.6), (8.9) e (8.10), obtm-se:Pb Pa g2+ +(8.11) Para determinar 1, deve-se lembrar que G1 + G2 + G3 = 0. Assim, pode-se fazer: ( ) 0 ) G G G ( G G G*3*2*1 3 2 1 + + + +0 G G G G G G G G G G G G G G G G G G*3 3*2 3*1 3*3 2*2 2*1 2*3 1*2 1*1