RANILDO LOPES

Ângulos nos triângulos

Teorema angular de Tales: a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180º.

a + b + c = 180º

Teorema do ângulo externo: em qualquer triângulo, a medida de um ângulo externo é sempre igual à soma das medidas dos ângulos internos não-adjacentes a ele.

a

b c

x

a

b c

x = a + b

PRIMEIRA PARTE

O paralelismo de retasRESUMO DA TEORIA

1. Sabendo que duas retas m e n são cortadas por umatransversal t, e que t forma com m um ângulo de 100º ecom n um ângulo de 41º, vamos determinar as medidasdos oito ângulos formados pelas retas m, n e t.

a

41º

fe

d

100º

b c

t

m

n

2. Na figura abaixo, onde r // s , calcule os valores de x, y e z.

125º

z45º

x

y r

s

2. Na figura abaixo, onde r // s , calcule os valores de x, y e z.

125º

z45º

x

y r

s

Resolução:

y = 45º (correspondentes)

x = y x = 45º(opostos pelo vértice)

z + 125º = 180º (suplementares)

z =55º

3. Determine as medidas dos ângulos assinalados formados pelas paralelas e a transversal.

a + 50º

3a

3. Determine as medidas dos ângulos assinalados formados pelas paralelas e a transversal.

a + 50º

3a

Resolução:

a + 50º = 3a (Alternos externos)

a - 3a = -50º

-2a = -50º a = 25º

a + 50º = 75º

3a = 75º

4. Sendo r//s, determine o valor de x:

30º

35º

x

r

s

4. Sendo r//s, determine o valor de x:

30º

35º

x

Traçamos uma reta auxiliar paralela

a r e s. Observe que x fica dividido

em dois ângulos de medidas 30º e 35º,

pois são ângulos correspondentes.

Portanto x = 30º + 35º = 65º.

r

s

SEGUNDA PARTE

Os ângulos nos triângulos

O teorema do ângulo externo

6. No triângulo abaixo, que relação podemos estabelecer entre:

a) x e y?

b) y e z?

c) x e z?

z

x x

y

x

6. No triângulo abaixo, que relação podemos estabelecer entre:

a) x e y?

2x + y = 180º

b) y e z?

y + z = 180º

c) x e z?

z = 2x

z

x x

y

TERCEIRA PARTE

Classificação de ângulos

1. O dobro do complemento, somado com a metade do suplemento

de um ângulo é igual a 70º. Quanto mede esse ângulo?

(A)70º

(B) 80º

(C)86º

Resposta: ( )

1. O dobro do complemento, somado com a metade do suplemento

de um ângulo é igual a 70º. Quanto mede esse ângulo?

(A)70º

(B) 80º

(C)86º

Sendo x a medida do ângulo,

Seu complemento será :90º – x

Seu suplemento será :180º – x

Equacionando, teremos:

º702

º180)º90(2

xx

1. O dobro do complemento, somado com a metade do suplemento

de um ângulo é igual a 70º. Quanto mede esse ângulo?

Sendo x a medida do ângulo,

Seu complemento será :90º – x

Seu suplemento será :180º – x

Equacionando, teremos:

º80

º4005

º4005

º140º1804º360

º140)º180()º90(4

º702

º180)º90(2

x

x

x

xx

xx

MMC

xx

Resposta: (B) 80º

2. Calcule o valor de x na figura.

30º70ºx

Solução:

70º + x + 30º = 180º

x = 180º – 70º – 30º

x = 80º

3. A medida de um ângulo é igual à metade da medida do seu

suplemento. Quanto mede esse ângulo?

Solução:

x é a medida do ângulo

180º – x representa o seu suplemento

Equação:

x = ½(180º – x)

Resolvendo:

2x = 180º – x

3x = 180º

x = 60º

Resposta: o ângulo mede 60º.

4. A soma entre os dois terços da medida do complemento de um

ângulo e a metade da medida do seu suplemento é 115º. Quanto

mede esse ângulo?

º30

º2107

º360º540º6907

º6903º5404º360

6

º690º180

6

3º90

6

4

º115º1802

1º90

3

2

x

x

x

xx

xx

xx

Resposta: o ângulo mede 30º.

5. Dois ângulos são complementares e a diferença de suas medidas é

16º. Quanto mede cada um desses ângulos?

37º y

37º y) - (90º

e 53ºx

106º2x

16º x)- (90º -x

:Logo

x).- (90º e x são ângulos os

:modo 1º

Resposta: 53º e 37º.

37ºy

53ºx

106º 2x

que temos

adição, da método Pelo

º16

ares)complement são (pois

º90

Logo

y. e x são ângulos Os

:modo 2º

yx

yx

6. As medidas de dois ângulos complementares são diretamente

proporcionais aos números 3 e 2. Calcule as medidas desses ângulos.

36º. e 54º Resposta

º36)º90( e º54

5

º270

º2705

3º2702

) (2

º90

3

xx

x

x

xx

credocruzxx

Vamos resolver usando equação:

7. As bissetrizes de dois ângulos adjacentes formam um ângulo de

25º. Um desses ângulos mede 20º. Quanto mede o outro ângulo?

Resposta: o outro ângulo mede 30º.

15º15º

10º10º

8. Dois ângulos suplementares são tais que o dobro do menor é igual

ao maior aumentado de 30º. Quais as medidas desses ângulos?

Vamos resolver recorrendo a um sistema:

º70

º110º180

º110

º3303

º302º360

º30º1802

º302

º180

º302

º180

x

x

y

y

yy

yy

yx

yx

yx

yx

Resposta: o maior mede 110º e o menor, 70º.

9. Qual o complemento do ângulo de medida 72,25º?

Temos que:

72,25º = 72º + 0,25º

72,25º = 72º + 0,25x60’

72,25º = 72º15’

Então, o seu complemento é dado por 90º - 72º15’

Mas 90º = 80º60’

Vem, que o complemento é igual a 89º60’- 72º15’,

que resulta em 17º45’.

Resposta: o complemento de 72,25º é 17º45’.

10. As medidas de dois ângulos suplementares são inversamente

proporcionais a 3 e 2. Calcule as medidas desses ângulos.

º108

º72º180

º72

º3605

2º3603

)º180(23

º180

23

º180

y

y

x

x

xx

xx

xy

yx

yx

Montaremos um sistema de equações:

Resposta: 72º e 108º.

38o 29’ 51’’ + 15o 45’ 24’’

1) OPERAÇÃO COM ÂNGULOS

38o 29’ 51’’

+ 15o 45’ 24’’53º 74’ 75’’

54º 15’ 15’’

Ângulo agudo:

Ângulo obtuso:

Ângulo raso:

Ângulo reto:

2) CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS

90º

= 90º

> 90º

= 180º

Ângulo nulo:

Ângulos adjacentes:

Ângulos consecutivos:

Ângulo de 1 volta:

2) CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS

(lados coincidentes) = 0o

= 360o

Mesmo vértice e um lado

comum entre os lados não

comuns

Mesmo vértice e, dois a dois, um

lado comum.

Ângulos complementares:

Ângulos replementares:

Ângulos suplementares:

2) CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS

+ = 90º

+ = 180º

+ = 360º

3) ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS PARALELAS

E UMA TRANSVERSAL.

r

s

ab

cd

ef

gh

t

Correspondentes: a e e; d e h; b e f; c e g.

Opostos pelo vértice: a e c; b e d; e e g; f e h.

Alternos internos: d e f; c e e.

Alternos externos: a e g; b e h.

Colaterais internos: d e e; c e f.

Colaterais externos: a e h; b e g.

Questão 3:

(UFES) O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça

parte do suplemento deste ângulo. Este ângulo mede:

a) 45º b) 48o 30’ c) 56o 15’ d) 60o

e) 78o 45’

O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça parte do

suplemento deste ângulo.

Solução:

'4578

6308

1809810

)180.(3

13270

)180.(3

1)90.(3

ox

x

xx

xx

xx

630º 8

6º 78º

360º 8

0 45’

x 60’

Questão 13:

(UF-ES) Se as retas r e s da figura abaixo são paralelas então

3 + vale:

a) 225o

b) 195o

c) 215o

d) 1750

e) 1850

Questão 13:

Solução:

15º

60º

60º 30º

30º

= 60º

= 45º

o1953

6045.33

3) NÚMERO DE DIAGONAIS

no de diagonais de um polígono c/ n lados:

no de diagonais determinadas a partir

de 1 vértice: (n – 3)

2

)3.(

nnd

2. POLÍGONOS

Questão 4:

(ESAF/2006) Em um polígono de n lados, o número de

diagonais determinadas a partir de um de seus vértices é igual

ao número de diagonais de um hexágono. Desse modo, n é

igual a:

a) 11 b)12 c)10 d) 15 d)18

O número de diagonais determinadas a partir de um de seus

vértices é igual ao número de diagonais de um hexágono.

Diagonais a partir de um dos vértices: (n – 3)

Diagonais de um hexágono:

9

2

)36.(6

2

)3.(

d

d

nnd

Então:

n – 3 = 9

n = 12

Questão 8:

Na figura seguinte, o valor de é:

a) 90o

b) 95o

c) 100o

d) 110o

e) 120o

Solução:

75º

110º