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Vetores e Álgebra Vetorial Prof. Júlio César TOMIO

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## RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS DO MATERIAL BÁSICO DE ESTUDO ##

LISTA DE EXERCÍCIOS – Operações com Vetores na Forma Algébrica [Analítica] no ℝ2 [página 27]

5) Dados os vetores jiu

2 e iw

3 , determine t

de modo que:

wutwut

4

3

2

15)24(3

RESOLUÇÃO:

Inicialmente, antes de substituir os vetores jiu

2 e iw

3 dados, vamos simplificar a expressão. Assim:

wutwut

4

3

2

15)24(3 Eliminando os parênteses:

wutwut

4

15

2

55243 Unindo os termos semelhantes:

wwuutt

24

15

2

5453 Realizando o m.m.c. no 2º membro da equação:

4

81510168

wwuut

Reunindo os termos semelhantes:

4

23268

wut

Isolando o vetor t

:

32

2326 wut

Agora, substituindo os vetores )1,2( u

e )0,3(w

:

32

)0,3(23)1,2(26 t

Multiplicando os vetores pelos respectivos escalares:

32

)0,69()26,52( t

Subtraindo os vetores e “ajustando” a expressão:

)26,121(32

1

32

)26,121(

t

Multiplicando o escalar pelo vetor:

32

26,

32

121t

Simplificando a coordenada “y”:

16

13,

32

121t

Temos o vetor t

procurado!

6) Determine algebricamente o vetor resultante nos casos a seguir e, ao final, represente-o graficamente: a) RESOLUÇÃO:

Observando o gráfico dado no exercício, temos que: )3,0(u

, )1,4( v

, )2,0( t

e )2,3( w

.

E o vetor resultante procurado, que chamaremos de R

,

é dado por: wtvuR

. Assim:

wtvuR

)2,3()2,0()1,4()3,0( R

)2,1( R

A representação gráfica de R

está apresentada ao lado.

1

–2

0

R

y

x

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9

y

x

T

–12 O

LISTA DE EXERCÍCIOS – Paralelismo [ou Colinearidade] de Vetores [página 35]

2) Dado o vetor w

= (3, 2, 5), determinar “a” e “b” de modo que os vetores u

= (3, 2, –1) e v

= (a, 6, b)+2 w

sejam paralelos.

RESOLUÇÃO:

Inicialmente, vamos calcular o vetor v

.

wbav

2),6,( )5,2,3.(2),6,( bav

)10,4,6(),6,( bav

)10,10,6( bav

Agora, como os vetores u

e v

devem ser paralelos, aplicamos a condição de paralelismo:

nz

z

y

y

x

x

2

1

2

1

2

1

1

10

2

10

3

6

ba Observe que: 5n

Resolvendo a expressão separadamente, temos:

2

10

3

6

a

1

10

2

10

b

30122 a 10202 b

182 a 302 b

9a 15b Que são os valores procurados!

LISTA DE EXERCÍCIOS – Cálculo do Módulo de um Vetor + Vetor Unitário [página 39]

6) Calcule a distância do ponto T(–12, 9) à origem. RESOLUÇÃO:

O problema solicita o cálculo da distância do ponto )9,12(T até a origem )0,0(O .

Aplicando a fórmula da distância entre dois pontos no 2R , teremos:

22 )()( OTOTTO yyxxd

22 )09()012( TOd

22581144 TOd

15TOd uc

Observe na representação abaixo, que a distância do ponto )9,12(T até a origem )0,0(O é, na verdade, o módulo do

vetor posição OT . Então poderíamos calcular diretamente, considerando o vetor posição )9,12(OT .

Assim:

22 )9()12(|| OT

81144|| OT

15|| OT 15TOd uc

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P

T 3

P

T 3

9) Dados os pontos A(3 , m – 1, – 4) e B(8 , 2m – 1, m), determinar “m” de modo que 35|AB| .

RESOLUÇÃO:

Inicialmente vamos definir o vetor AB . Então: )4,,5()4,1,3(),12,8( mmmmmABAB

Como )4,,5( mmAB e 35|| AB , aplicando a fórmula do módulo de um vetor, teremos:

222|| zyxAB 222 )4()()5(35 mm

Desenvolvendo os quadrados... 1682535 22 mmm

Elevando ambos os membros ao quadrado.... 222

418235 mm

418235 2 mm

Organizando a equação do 2º grau... 0682 2 mm )2( 0342 mm

Resolvendo-a, teremos: 3m e 1m .

Logo, os valores procurados para m formam o conjunto solução }1,3{ S .

11) Obter um ponto P, do eixo das cotas, cuja distância ao ponto T(–1, 2, –2) seja igual a 3. RESOLUÇÃO: Este exercício tem duas maneiras diferentes para ser resolvido, embora utilizem o mesmo raciocínio.

1ª MANEIRA: Se um ponto P pertence ao eixo da cotas (eixo “z”) então ele tem a forma: ),0,0( zP

Temos então que: 3PTd , conforme o enunciado da questão.

Aplicando a fórmula da distância entre dois pontos, teremos: 222 )()()( TPTPTPPT zzyyxxd

Então, substituindo os valores... 222 )2()20()10(3 z

Desenvolvendo os quadrados... 44413 2 zz (*)

Elevando ambos os membros ao quadrado... 222 94)3( zz

949 2 zz 042 zz

Resolvendo a equação do 2º grau, encontramos: 0z e 4z

Logo, o ponto P poderá ser: )0,0,0(P ou )4,0,0( P .

2ª MANEIRA: Se um ponto P pertence ao eixo da cotas (eixo “z”) então ele tem a forma: ),0,0( zP

Podemos considerar então o vetor TP , entre os pontos dados, que escreveremos:

)2,2,1()2,2,1(),0,0( zzTPTP

A distância entre os pontos T e P também é o módulo do vetor TP , ou seja, 3|| TPdPT .

Aplicando a fórmula do módulo de um vetor, temos: 222 )2()2()1(|| zTP

44413 2 zz

E aí segue que a resolução é idêntica à anterior partindo da equação (*) – veja acima.

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A

B C

[Exercício Resolvido Bônus] Prove que o triângulo cujos vértices são os pontos A(0, 5), B(3, –2) e C(–3, –2) é isósceles; e calcule o seu perímetro.

RESOLUÇÃO: Primeiramente, queremos provar que o triângulo ABC (veja o “esquema” ao lado) é isósceles. Podemos então considerar os vetores sobre seus lados:

ABu

, BCv

e CAw

.

Então:

)5,0()2,3( ABABu

)7,3( u

)2,3()2,3( BCBCv

)0,6(v

)2,3()5,0( CACAw

)7,3(w

Calculando as distâncias através dos módulos dos vetores, temos:

58499)7()3(|| 22 udAB

6036)0()6(|| 22 vdBC

58499)7()3(|| 22 wdCA

Como BCCAAB ddd temos que o triângulo ABC é isósceles [como queríamos provar].

Agora, o seu perímetro )2( p é:

586582 CABCAB dddp ucp 58262

16) Determine as distâncias do ponto P(1, – 4, –2) aos eixos coordenados x, y e z, representando “P” no ℝ3. RESOLUÇÃO:

Inicialmente representaremos o ponto “P” no ℝ3.

Veja: Para determinarmos as distâncias solicitadas no

exercício em questão, poderíamos utilizar uma relação

[no ℝ3] que calcule a distância entre um ponto “ P ” e

uma reta qualquer (que neste caso seria um dos eixos

coordenados x , y ou z ). Entretanto, neste

momento, ainda não conhecemos tal relação. Todavia

temos que:

A distância do ponto P ao eixo x será a distância do ponto )2,4,1( P ao ponto )0,0,1(xP .

A distância do ponto P ao eixo y será a distância do ponto )2,4,1( P ao ponto )0,4,0( yP .

A distância do ponto P ao eixo z será a distância do ponto )2,4,1( P ao ponto )2,0,0( zP .

Veja na figura a seguir!

Note que, inicialmente, não sabemos quais os lados do triângulo têm o

mesmo comprimento, e também não estamos preocupados com a posição

desse triângulo no sistema de coordenadas cartesianas.

Assim, o triângulo [acima] do nosso esquema de raciocínio é genérico!

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Desta forma, teremos os vetores:

)2,4,1()0,0,1( PPPP xx

)2,4,0(xPP

)2,4,1()0,4,0( PPPP yy

)2,0,1(yPP

)2,4,1()2,0,0( PPPP zz

)0,4,1(zPP

Calculando as distâncias através dos módulos dos vetores, temos:

204160)2()4()0(|| 222 xxeixoaoP PPd ucd xeixoaoP 52

5401)2()0()1(|| 222 yyeixoaoP PPd ucd yeixoaoP 5

170161)0()4()1(|| 222 zzeixoaoP PPd ucd zeixoaoP 17

PS: uma “boa” observação no ℝ3 permite verificar os valores diretamente através do “Teorema de Pitágoras”.

LISTA DE EXERCÍCIOS – Versor de um Vetor [página 42]

2) Determinar o valor de “a” para que u

= (a, –2a, 2a) seja um versor.

RESOLUÇÃO: Para que um vetor qualquer seja um VERSOR, ele deverá inicialmente ser unitário, ou seja, ter módulo 1.

Se o vetor ),2,( aaau

é um VERSOR, então ele deverá ser unitário.

Assim, aplicando a fórmula do módulo de um vetor unitário, teremos:

1222 zyx 1)2()2()( 222 aaa

144 222 aaa

19 2 a

9

12 a 9

1a

3

1a

3) Dados os pontos A(1 , 2 , 3), B(–6 , –2 , 3) e C(1 , 2 , 1), determinar o versor do vetor w

, tal que

BC2BA3w

.

RESOLUÇÃO:

Precisamos definir o vetor w

. Para isso, escreveremos inicialmente os vetores BA e BC . Assim:

Px

Py

Pz

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A

B

C

10 10

10

60º 60º

60º

)0,4,7()3,2,6()3,2,1( BABA

)2,4,7()3,2,6()1,2,1( BCBC

Agora, calcularemos o vetor w

, pois: BCBAw 23

)2,4,7.(2)0,4,7.(3 w

)4,8,14()0,12,21( w

)4,4,7(w

O exercício solicita determinar o VERSOR de w

. Então, aplicando a fórmula do VERSOR de um vetor, teremos:

|| w

wwvers

981161649)4()4()7(|| 222 w

9

)4,4,7(wvers

9

4,

9

4,

9

7wvers

Que é a resposta procurada!

5) Determinar o vetor de módulo 5, paralelo ao vetor v

= (1, –1, 2).

RESOLUÇÃO:

Inicialmente, vamos calcular o módulo do vetor dado v

.

222 )2()1()1(|| v

411|| v

6|| v

Agora, calcularemos o seu VERSOR, que é unitário (tem módulo 1), que tem mesma direção (paralelo) e mesmo sentido.

|| v

vvvers

6

)2,1,1( vvers

6

2,

6

1,

6

1vvers

Como queremos um vetor de módulo 5, multiplicamos o vvers

por (5) e teremos o vetor pedido que chamaremos de t

.

vverst

.5

6

2,

6

1,

6

15t

6

10,

6

5,

6

5t

Entretanto, como o sentido do vetor procurado t

não foi definido no problema, poderíamos ter multiplicado o vvers

por

(–5), e assim teríamos um outro vetor que também satisfaz as condições dadas. Então:

vverst

.5

6

10,

6

5,

6

5t

Portanto, os 2 vetores possíveis são:

6

10,

6

5,

6

5

t

LISTA DE EXERCÍCIOS – Produto Escalar [página 50]

4) Os pontos A , B e C são vértices de um triângulo equilátero com lado de 10 cm. Calcule o produto escalar

entre A B e A C.

RESOLUÇÃO:

Observando o esquema ao lado, podemos escrever:

cos.||.|| ACABACAB

º60cos.10.10 ACAB

)2/1(.100 ACAB

50 ACAB Que é a resposta procurada!

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Obs.: Vale lembrar que o vetor j

é o

VERSOR do eixo y e, portanto é fato

que )0,1,0(j

e 1|| j

, tornando

o cálculo do seu módulo (ao lado) desnecessário.

6) Calcular “n” para que seja de 30º o ângulo entre os vetores u

= (1, n, 2) e j

.

RESOLUÇÃO:

Inicialmente vamos calcular o módulo dos vetores u

e j

. Então:

222 )2()()1(|| nu

222 )0()1()0(|| j

41|| 2 nu

222 )0()1()0(|| j

5|| 2 nu

1010|| j

1|| j

Agora, calcularemos o produto escalar entre os vetores u

e j

. Então:

212121 zzyyxxju

)0.(2)1.()0.(1 nju

00 nju

nju

Como sabemos (pelo enunciado) que o ângulo entre os vetores dados é de 30º, aplicamos os valores encontrados

anteriormente na definição geométrica do produto escalar. Assim:

cos.. juju

º30cos).1.(52 nn

2

3.52 nn

2

153 2

nn 1532 2 nn 222 153)2( nn

1534 22 nn 152 n 15n Que é a resposta procurada!

7) Dados os vetores a

= (2, 1, m), b

= (m+2, –5, 2) e c

= (2m, 8, m), determinar o valor de “m” para que o

vetor ba

seja ortogonal ao vetor ac

.

RESOLUÇÃO:

Inicialmente vamos calcular os vetores ba

e ac

. Então:

)2,4,4()2,5,2(),1,2( mmmmba

)0,7,22(),1,2(),8,2( mmmmac

Agora, para que dois vetores sejam ortogonais, o produto escalar entre eles deve ser ZERO.

Conforme o enunciado )( ba

)( ac

, então 0][][ acba

.

Aplicando a definição algébrica do produto escalar, teremos:

212121][][ zzyyxxacba

Substituindo os valores... )0).(2()7).(4()22).(4(0 mmm

Efetuando as multiplicações... 02888220 2 mmm

Organizando... 36620 2 mm )2(

01832 mm

Resolvendo a equação do 2º grau, teremos: 3m e 6m .

Logo, os valores procurados para m formam o conjunto solução }3,6{S .

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9) Sabendo que o ângulo entre dois vetores )1,1,2( u

e )2,1,1( mv

é 3/ , determinar “ m ”.

11) Qual o valor de “m” para que os vetores k4j5ima

e k4j2i1)(mb

sejam ortogonais?

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13) Determinar um vetor unitário ortogonal ao vetor )1,1,2( v

.

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15) Determinar o vetor v

, sabendo que 5|| v

, v

é ortogonal ao eixo Oz , 6wv

e que kjw

32 .

19) Dados os vetores )12,,1( aau

, )1,1,( aav

e )1,1,( aw

, determine o valor de “ a ” de

maneira que wvuvu )( .

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17) Na torre da figura ao lado [veja a figura no Material Básico de Estudo], determine o ângulo formado entre os cabos AB e AC, e o ângulo agudo que o cabo AD forma com a linha vertical.