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Page 1: geometria analitica

Notas de AulaMatrizes, Determinantes e Sistemas Lineares

Juliana Ramos Fioravante Zuliani

Abril de 2008

Page 2: geometria analitica

Índice

1 Matrizes 21.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 De�nição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Representação dos Elementos de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Tipos Especiais de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Igualdade de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6 Matriz Transposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.7 Adição de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.7.1 Propriedades da adição de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.8 Multiplicação por Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.8.1 Propriedades da multiplicação por escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.9 Multiplicação de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Determinante 142.1 Determinante de matriz quadrada de ordem 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2 Determinante de matriz quadrada de ordem 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Determinante de matriz quadrada de ordem 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Matriz Inversa 17

4 Sistemas Lineares 194.1 Sistemas de equações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.2 Classi�cação de um sistema linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1

Page 3: geometria analitica

Capítulo 1

Matrizes

1.1 Introdução

"Muitas vezes, para designar com clareza certas situações, é necessário formar um grupo orde-nado de números que se apresentam dispostos em linhas e colunas numa tabela. Essas tabelas sãochamadas de Matrizes."(Dante - 2005)

Por exemplo, a tabela a seguir mostra o consumo mensal, em quilogramas, de três alimentosbásicos, durante um bimestre, por uma família.

Janeiro Março MaioArroz 8 7 9Feijão 3 4 3Carne 4 5 6

Para encontrarmos a quantidade de feijão consumida por essa família no mês de Maio, bastaprocurarmos o número da segunda linha e terceira coluna da tabela: 3 kg.

Podemos representar essa tabela na forma de matriz com três linhas e três colunas (matriz 3×3)da seguinte maneira: 8 7 9

3 4 34 5 6

ou

8 7 93 4 34 5 6

.

1.2 De�nição

Matrizes são arranjos para organizar dados.Nas matrizes, cada dado (ou entrada) é chamado de elemento da matriz, as �las horizontais delinhas e as verticais de colunas.Veja a matriz a seguir:

−1 34 −42 10 −2

ou

−1 3

4 −42 10 −2

.

2

Page 4: geometria analitica

Neste exemplo, a matriz tem 4 linhas e 2 colunas. Dizemos que essa é uma matriz 4× 3.

Outros exemplos

a)[−1 1 0

]matriz 1× 3 b)

−1 −2 0

4 2 −1−1 2 −2

0 −2 7

matriz 4× 3

De�nição 1. Uma matriz m×n é um quadro retangular de m ·n números dispostos em m linhashorizontais e n colunas verticais

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

......

...am1 am2 · · · amn

ou A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

......

...am1 am2 · · · amn

Dizemos que a ordem de A é m por n (m× n).

Exercícios

1. Escreva a matriz correspondente à tabela de preços em reais de televisões em três lojas e trêsmodelos diferentes:

Loja 1 Loja 2 Loja 3TV 21" 552 581 522TV 29" 978 931 958TV 42" 1932 1959 1899

2. Observe a matriz e responda:

−7 5 1

23

−2 09 −10 220 −2 0

a) A ordem da matriz;b) Os números da segunda linha;c) O número que está na segunda linha e terceira coluna;d) O número que está na quarta linha e segunda coluna.

3

Page 5: geometria analitica

1.3 Representação dos Elementos de uma Matriz

Observe a seguinte matriz 7 10 −2 −4−5 −22 10 2−8 −12 22 19

Nela podemos veri�car que:

(i) m o elemento 7 está na primeira linha e na primeira coluna. Indica-se a11 = 7.

(ii) o elemento −2 está na primeira linha e terceira coluna. Indica-se a13 = −2.

(iii) o elemento 22 está na terceira linha e terceira coluna. Indica-se a33 = 22.

(iv) o elemento 19 está na terceira linha e quarta coluna. Indica-se a34 = 19.

Dessa forma, podemos representar um elemento de uma matriz utilizando uma letra e doisíndices: o primeiro índice indica a linha a que elemento pertence e o segundo índice indica a colunaa que elemento pertence. Por exemplo, o elemento a32 pertence à terceira linha e segunda coluna.Um elemento genérico pertencente a uma matriz A será representado pelo elemento aij, em que irepresenta a linha e j representa a coluna que ele pertence.

Obs. 1.1. Podemos representar uma matriz com m linhas e n colunas como A = (aij])m×n.

Exemplo: Construa as seguintes matrizes:

a)A = (aij)1×3 tal que aij = 2i− j

b) B = (bij)3×3 tal que bij =

{i + j se i 6 ji− j se i > j

Resolução:

a) A representação genérica da matriz A é A =[

a11 a12 a13

], em que aij = 2i− j. Assim,

a11 = 2 · 1− 1 ⇒ a11 = 1a12 = 2 · 1− 2 ⇒ a12 = 0a13 = 2 · 1− 3 ⇒ a11 = −1

dessa forma, A =[

1 0 −1].

b) A representação genérica da matriz B é B =

b11 b12 b13

b21 b22 b23

b31 b32 b33

, em que bij =

{i + j se i 6 ji− j se i > j

.

Assim,b11 = 1 + 1 ⇒ b11 = 2 b12 = 1 + 2 ⇒ b12 = 3 b13 = 1 + 3 ⇒ b13 = 4b21 = 2− 1 ⇒ b21 = 1 b22 = 2 + 2 ⇒ b22 = 4 b23 = 2 + 3 ⇒ b23 = 5b31 = 3− 1 ⇒ b31 = 2 b32 = 3− 2 ⇒ b32 = 1 b33 = 3 + 3 ⇒ b33 = 6

dessa forma, B =

2 3 41 4 52 1 6

.

4

Page 6: geometria analitica

Exercícios

3. Identi�que os elementos a12, a22 e a31 da matriz A =

2 −3−1 4

0 6

.

4. Escreva as matrizes:a) A = (aij)2×3 tal que aij = 2i + j

b) B = (bij)3×2 tal que aij = 3i + 2j + 3

c) C = (cij)2×2 tal que cij =

{2i, se i 6 j−2j, se i > j

d) D = (dij)4×3 tal que dij =

2i− j, se i < j0, se i = j2i + 2j, se i > j

e) E = (eij)4×4 tal que eij =

i2 − 2j, se i < j2j, se i = ji + j2, se i > j

1.4 Tipos Especiais de Matrizes

Ao trabalharmos com matrizes, observamos que existem algumas que, pela sua ordem ou pelanatureza de seus elementos, possuem propriedades que as diferem de uma matriz qualquer, e, porisso, recebem nomes especiais.

De�nição 2. Matriz linha 1× n

A1×n =[

a11 a12 . . . a1n

]De�nição 3. Matriz Coluna m× 1

Am×1 =

a11

a21...

am1

F

De�nição 4. Matriz Nula: todas as entradas são iguais a zero.

Exemplos: A =

[0 00 0

]e B =

0 00 00 0

5

Page 7: geometria analitica

De�nição 5. Matriz Quadrada n× n

Caracteriza-se por possuir o número de linhas igual ao número de colunas. Se A é uma matrizn× n, dizemos que A é uma matriz quadrada de ordem n.

Numa matriz quadrada de ordem n, os elementos Aij em que i = j constituem a diagonal princi-pal (ou simplesmente diagonal) da matriz. Já os elementos aij que compõem a diagonal secundáriapossuem a propriedade de que i + j = n + 1.

Exemplo: Na matriz quadrada 3× 3

A =

7 10 −2−22 11 4−1 0 3

os elementos da diagonal principal são 7, 11 e 3 e os elementos da diagonal secundária são −2, 11e −1.

De�nição 6. Se A é uma matriz quadrada , então o traço de A, denotado por tr(A), é de�nidopela soma dos elementos da diagonal principal, isto é a11 + a22 + . . . + ann.

Exemplo: O traço da matriz

A =

2 −5 −2−22 1 7−1 −2 5

é tr(A)=2 + 1 + 5 = 8.

São matrizes quadradas especiais:

1. Matriz Diagonal: aij = 0 se i 6= j. Exemplo: D =

−2 0 00 7 00 0 4

2. Matriz Escalar: aij =

{0 ,se i 6= jk ,se i = j (em que k é um escalar dado)

Exemplo: E =

−3 0 00 −3 00 0 −3

3. Matriz identidade de ordem n: aij =

{0 ,se i 6= j1 ,se i = j

Exemplos: I3 =

1 0 00 1 00 0 1

e I2 =

[1 00 1

]

Obs. 1.2. In será a notação da matriz identidade de ordem n.

6

Page 8: geometria analitica

4. Matriz Triangular Superior: Todos os elementos abaixo da diagonal são nulos, isto é, aij = 0se i > j.

Exemplo: M =

−2 6 3 −1

0 3 1 −20 0 8 30 0 0 1

5. Matriz Triangular Inferior: Todos os elementos acima da diagonal são nulos, isto é, aij = 0

se i < j.

Exemplo: N =

2 0 0−3 5 0

2 5 8

1.5 Igualdade de Matrizes

De�nição 7. Duas matrizes Am×n e Bm×n são iguais se, e somente se, possuem a mesma ordemseus elementos correspondentes são iguais, isto é, aij = bij com i 6 1 6 m e j 6 1 6 n.

Exemplo:

1. Sejam as matrizes A =

[5 −2 32 3 −1

], B =

[5 0 32 3 −1

]e C =

[5 −2 32 3 −1

], temos

A = C e A 6= B.

2. Determine x e y para que as matrizes A =

[2x− 1 4

5 y − 3

]e B =

[x + 5 4

5 3

]sejam

iguais.

As duas matrizes tem a mesma ordem 2 × 2. Para serem iguais devemos ter 2x − 1 = x + 5 ey − 3 = 3, ou seja, x = 6 e y = 6.

Exercícios

5. Determine a, b, x e y para que as matrizes A =

[x + y 2a + b2x− y a− b

]e B =

[3 −10 7

]sejam iguais.

6. Determine m e n para que se tenha[

m + n m0 n

]= I2, em que I2 é a matriz identidade de

ordem 2.

1.6 Matriz Transposta

Dada uma matriz A = (aij)m×n podemos obter uma nova matriz AT = (bij)n×m, onde bij = aji.Chamamos AT como matriz transposta de A. Em resumo: as linhas de AT são iguais às colunasde A e vice-versa.

Exemplos:

7

Page 9: geometria analitica

1. A =

[2 4 −20 1 3

]e AT =

2 04 1−2 3

.2. M =

2 −3 1−3 4 71 7 0

e MT =

2 −3 1−3 4 71 7 0

.Obs. 1.3. Observe que M é uma matriz simétrica e que satisfaz a propriedade : M = MT .

3. A =

0 −2 32 0 1−3 −1 0

e AT =

0 2 −3−2 0 −13 1 0

.Obs. 1.4. Observe que A é uma matriz anti-simétrica e que goza da propriedade: AT = −A,(em que -A é a matriz oposta de A).

Propriedade: (AT )T = A

1.7 Adição de Matrizes

Dadas as matrizes Am×n e Bm×n (de mesma ordem). A soma das matrizes A e B é uma novamatriz Cm×n , em que cij = aij + bij.

Exemplos:

1.[−2 3 01 −4 2

]+

[0 −4 −32 7 −1

]=

[−2 −1 −33 3 1

],

2. Uma fábrica de um certo produto produz três modelos A, B e C. Cada modelo é parcial-mente fabricado na fábrica F1 em Formosa e F2 nos Estados Unidos. O custo total de cada produtoconsiste no custo de manufatura e no custo de transporte. Então, os custos em cada fábrica (emdólares) podem ser descritos pelas tabelas T1 e T2:

T1:

Custo de Fabricação Custo de transporte32 40 Modelo A50 80 Modelo B70 20 Modelo C

T2:

Custo de Fabricação Custo de transporte40 60 Modelo A50 50 Modelo B130 20 Modelo C

Se de�nirmos as matrizes M1 e M2 relativas às tabelas T1 e T2, respectivamente, temos M1 eM2 da seguinte forma:

M1 =

32 4050 8070 20

e M2 =

40 6050 50130 20

8

Page 10: geometria analitica

A matriz M1 + M2 fornece o custo total (manufatura + transporte) de cada produto. Assim, ocusto total do produto C é de 200 na fabricação e 40 dólares no transporte.

Obs. 1.5. Quando as matrizes tem ordem diferente, a operação soma não está de�nida.

Exemplo:[−2 3 01 −4 2

]+

[1 −20 4

].

1.7.1 Propriedades da adição de matrizes

Dadas as matrizes A , B e C , temos as seguintes propriedades, caso as operações estejam de�nidas:

(Comutativa) A + B = B + A

(Associativa) A + (B + C) = (A + B) + C

(Matriz Nula O de ordem mxn) A + 0 = 0 + A = A

(Transposta e adição) (A + B)T = AT + BT

Exercícios

7. Dadas as matrizes A =

[−2 3 0−1 2 4

], B =

[0 −2 1−3 3 5

]e C =

2 1−5 0−4 3

, resolva, seforem de�nidas, as operações a seguir:a) A + B b) B + A c) A + C d) AT + Be) AT + BT f) A + CT g) (A + B)T h)tr(A)

1.8 Multiplicação por Escalar

Dada a matriz A e o escalar k, de�nimos o produto de k pela matriz A, como sendo uma novamatriz mxn, tal que (kA)ij = k · aij.

Exemplo:

−2 ·[

0 −3 12 5 −4

]=

[0 6 −2−4 −10 8

]

1.8.1 Propriedades da multiplicação por escalar

Sejam A e B matrizes e k, k1 e k2 escalares. Então:

I- k(A + B) = kA + kB;

II- (k1 + k2)A = k1A + k2A

9

Page 11: geometria analitica

III- (k1k2)A = k1(k2A);

IV- (−1)A = −A, (-A é denominada a matriz oposta de A), onde A+(−A) = 0 (onde 0 é a matriznula mxn);

V- 0 · A = 0m×n ( o produto do número zero por uma matriz mxn resulta na matriz nula mxn)

VI- (kA)T = k(AT )

VII- É bom lembrar que A−B = A + (−B)

Exercícios

8. Dada as matrizes A =

−2−13

, B =

5−27

e C =

347

, resolva:a) 2A+B-C b) A-2B-C c) A-2B+3C

9. A e B são duas matrizes quadradas de ordem 2, cujos elementos são dados por aij = 2i− 3je bij = −2j + i. Calcule A− 3B + 2AT .

1.9 Multiplicação de Matrizes

Consideremos, antes de enunciarmos a regra para multiplicação de matrizes, o seguinte problema:

Suponhamos que a seguinte tabela forneça as quantidades de vitaminas A, B e C obtidas emcada grama dos alimentos I e II.

A B CAlimento I 4 5 4Alimento II 5 3 0

a) Se ingerirmos 6 unidades do alimento I e 4 unidades do alimento II, quanto consumiremosde cada tipo de vitaminas?

b) Se o custo dos alimentos depender somente do seu conteúdo de vitaminas e se o preço porunidade das vitaminas A, B e C é, respectivamente, 20, 30 e 50 centavos, quanto pagaríamos pelaingestão dos alimentos I e II?Solução:

Vamos representar o consumo dos alimentos I e II, nesta ordem, pela matriz

M = [6 4]

A quantidade ingerida de cada vitamina será fornecida pela "combinação"da matriz M com ascolunas da matriz das vitaminas. Podemos representar essa combinação através da operação[

6 4]·[

4 5 45 3 0

]=

[6 · 4 + 4 · 5 6 · 5 + 4 · 3 6 · 4 + 4 · 0

]=

[44 42 24

]10

Page 12: geometria analitica

De acordo com o resultado acima podemos a�rmar que serão ingeridas 44 unidades de vitaminaA, 42 de B e 24 de C.

Para respondermos ao quesito b) faremos a seguinte combinação

[44 42 24

0, 200, 300, 50

= [ 44 · 0, 20 + 42 · 0, 30 + 24 · 0, 50 ] = [ 33, 40 ]

Isto é, pagaríamos R33, 40.

Observamos que ao realizarmos os produtos envolvendo as matrizes nas questões (a) e (b), cadaelemento da matriz resultante foi obtido combinando a linha da primeira matriz com uma colunana segunda matriz. Vamos considerar as matrizes

A2×3 =

[a11 a12 a13

a21 a22 a23

]e B3×2 =

b11 b12

b21 b22

b31 b32

A matriz-produto A·B é a matriz C2×2, em que cada elemento de C será obtido pela combinação

dos elementos de uma linha da primeira matriz com os elementos de uma coluna da segunda matriz,isto é:

Cada elemento da matriz C é obtido pela somados produtos dos elementos de uma linha de Apelos respectivos elementos de uma coluna de B

Assim:

c11 = a11 · b11 + a12 · b21 + a13 · b31 (Primeira Linha x Primeira Coluna) (1.1)c12 = a11 · b12 + a12 · b22 + a13 · b32 (Primeira Linha x Segunda Coluna) (1.2)c21 = a21 · b11 + a22 · b21 + a23 · b31( Segunda Linha x Primeira Coluna) (1.3)c22 = a21 · b12 + a22 · b22 + a23 · b32 (Segunda Linha x Segunda Coluna) (1.4)

REGRA GERAL DA MULTIPLICAÇÃO

Dada uma matriz A = (aij) do tipo m × n e uma matriz B = (bij) do tipo n × p, o produtoda matrz A pela matriz B é a matriz C = (cij) do tipo m × p tal que o elemento cij é calculadomultiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i da matriz A pelos elementos da coluna jda matriz B, e somando-se os produtos obtidos.

Obs. 1.6. Observe que só de�nimos o produto AB de duas matrizes quando o número de colunasda matriz A for igual o número de linhas da matriz B; além disso, notamos que o produto ABpossui o número de linhas de A e o número de colunas de B.

11

Page 13: geometria analitica

Exemplo: Dados as matrizes A =

[1 3 20 5 −1

]e B =

3 04 −21 6

, determine AB.

Como A é uma matriz 2× 3 e B é uma matriz 3× 2, o número de colunas de A á igual ao númerode linhas de B; assim o produto AB está de�nido, e será uma matriz de ordem 2× 2.

AB =

[c11 c12

c21 c22

]c11 : usa-se a primeira linha de A e a primeira coluna de Bc11 = 1 · 3 + 3 · 4 + 2 · 1 = 17c12 : usa-se a primeira linha de A e a segunda coluna de Bc12 = 1 · 0 + 3 · (−2) + 2 · 6 = 6c21 : usa-se a segunda linha de A e a primeira coluna de Bc21 = 0 · 3 + 5 · 4 + (−1) · 1 = 19c22 : usa-se a segunda linha de A e a segunda coluna de Bc22 = 0 · 0 + 5 · (−2) + (−1) · 6 = −16Dessa forma temos

AB =

[17 619 −16

]Propriedades da Multiplicação

Sejam A , B e C matrizes cujas operações indicadas estejam de�nidas. Dessa forma, temos asseguintes propriedades:1) AB + AC = A(B + C) (distributiva)2) (AB)C = A(BC)(Associativa)3) k(AB) = (kA)B= A(kB), k = constante4) (AB)T = BT AT .

Obs. 1.7. A multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, é possível que A · B 6= B · A ,para matrizes A e B, ainda que A ·B e B · A estejam de�nidas.

Exercícios

10. Sejam as matrizes M3×2, N3×2, P2×5, Q3×5 e R2×3.

(i) Determine quais das seguintes expressões estão de�nidas:(a) N ·M (b)M · P + Q (c)(M t + R) ·Q (d) Rt ·M(e) R · (M · P ) (f) R · (M + N) (g) M ·R + N (h)M ·N + N

(ii) Para as expressões que estão de�nidas do item anterior determine o tipo da matrizresultante.

11. Sejam as matrizes A =

[2 31 4

]e B =

[1 −12 5

], determine:

a) A2, em que A2 = A · A c) AB e) (A + B)2

b) B2 em que B2 = B ·B d) 2AB f) A2 + 2AB + B2

12

Page 14: geometria analitica

12. Sejam as matrizes

A =

[1 2 32 1 4

], B =

1 02 13 2

, C =

3 −1 34 1 52 1 3

, D =

[3 −22 4

],

E =

2 −4 50 1 43 2 1

e F =

[−4 52 3

],

Se possível, calcule:a) C + Eb) AB e BAc) 2D − 3Fd) CB + De) AB + DFf) EB + FA

13. Para a fabricação de caminhões, uma indústria montadora precisa de eixos e rodas para seustrês modelos de caminhões, como a seguinte especi�cação:

Modelo A Modelo B Modelo CEixos 2 3 4Rodas 4 6 8

Para os dos primeiros meses do ano, a produção da fábrica deverá seguir a seguinte tabelaabaixo:

Janeiro FevereiroModelo A 30 20Modelo B 25 18Modelo C 20 15

Usando a multiplicação de matrizes, responda: nessas condições, quantos eixos e quantasrodas são necessários em cada um dos meses para que a montadora atinja a produção plane-jada?

13

Page 15: geometria analitica

Capítulo 2

Determinante

O determinante de uma matriz quadrada A, que representamos por detA ou |A|, é um númeroobtido a partir de A por uma regra especí�ca (Vide Anton). Assim, podemos entender o determi-nante como uma função que associa a cada matriz An×n um número detA.

2.1 Determinante de matriz quadrada de ordem 1

Se uma matriz é quadrada de ordem 1, então ela pode ser representada da forma A = [a11].Dessa forma, detA = a11.

Exemplo, se A = [−2], então detA = −2.

2.2 Determinante de matriz quadrada de ordem 2

Se A é uma matriz quadrada de ordem dois, podemos calcular seu determinante multiplicandoos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária. Ou

seja, se A é da forma A =

[a11 a12

a21 a22

], então detA = a11 · a22 − a12 · a21.

Obs. 2.1. Dada uma matriz A =

[a11 a12

a21 a22

], podemos denotar o determinante de A como detA

ou

∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ .

Exemplo: Calcule o determinante da matriz A =

[2 −15 4

].

detA =

∣∣∣∣ 2 −15 4

∣∣∣∣ = 2 · 4− (−1) · 5 = 13.

2.3 Determinante de matriz quadrada de ordem 3

Considere a matriz quadrada de ordem 3, A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

. Dessa forma,

14

Page 16: geometria analitica

detA =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = a11a22a33 +a12a23a31 +a13a32a21− (a13a22a31 +a12a21a33 +a11a32a23)

Também podemos obter detA como segue. Repita a primeira e a segunda colunas da matrizA como abaixo. Forme a soma dos produtos dos coe�cientes sobre as diagonas da esquerda paraa direita e subtraia disto o produto dos coe�cientes sobre as diagonais da direita para a esquerda(veri�que esta regra).

a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

Exemplo: Seja A =

1 2 32 1 33 1 2

. Então

detA = 1 · 1 · 2 + 2 · 3 · 3 + 3 · 2 · 1− (1 · 3 · 1 + 2 · 2 · 2 + 3 · 1 · 3)⇒ detA = 6

2.4 Propriedades

(1) Se A possui uma linha (ou coluna) nula, então det(A) = 0

(2) Det(At) = det(A).

(3) Se multiplicarmos uma linha (ou coluna) por uma constante, o determinante �ca multiplicadopor esta constante.

(4) Ao trocarmos duas linhas (ou colunas) entre si, o determinante muda de sinal.

(5) O determinante de uma matriz não altera seu valor quando substituímos uma linha (ou col-una) pela soma dela com outra linha (ou coluna) previamente multiplicada por uma constante.

(6) Se A possui duas linhas(ou colunas) iguais ou proporcionais, então det(A) = 0.

(7) O determinante de uma matriz triangular (superior ou inferior) é igual ao produto dos ele-mentos da diagonal principal.

(8) Dadas as matrizes A e B, quadradas de ordem n, então det(A ·B) = det(A) · det(B).

15

Page 17: geometria analitica

Para o cálculo de determinantes de qualquer ordem utilizaremos as propriedades 3, 4, 5. Paratal, vide Anton. Esse cálculo é feito através de redução de linhas.

Exercícios

14. Calcule os determinantes:

A =

[1 22 −1

]B =

[1 01 −3

]C =

[−4 53 7

]

D =

1 2 −32 0 53 −2 4

E =

−3 5 2−2 10 03 −1 1

.

15. Dadas as matrizes A = [3], B =

[1 22 −5

]e C =

1 2 −12 3 53 −2 5

, calcule:

a)detA b) detB c) detCd) detA− detB e) detB · detC

16. Seja A = [aij]3×3 tal que aij =

i + j se i < j2i se i = j2i− j se i > j

. Calcule detA.

17. Dadas as matrizes A =

[1 −32 −5

]e B =

[0 2−3 1

], veri�que se são verdadeiras ou falsas as

igualdades abaixo:a) det(A + B) = det(A) + det(B)b) det(A ·B) = det(A) · det(B)c) det(At) = det(A)d) det(3B) = 3 · det(B)

18. Em cada ítem, calcule o determinante das matrizes, usando o método da redução de linhas.

a)A =

1 −3 2 −22 −5 4 −10 3 1 10 0 −2 2

b) B =

1 2 3 −2−3 1 0 32 −2 1 −34 0 2 −1

c) C =

0 3 11 1 23 2 4

16

Page 18: geometria analitica

Capítulo 3

Matriz Inversa

De�nição 8. Uma matriz A de ordem n×n é inversível se existe uma matriz A−1 de ordem n×ntal que

A · A−1 = A−1 · A = In.

onde In é a matriz identidade de ordem n. A matriz A−1 é chamada de matriz inversa de A.

Obs. 3.1. Uma condição necessária e su�ciente para uma matriz A ser inversível é ter o determi-nante diferente de zero.

Trabalharemos aqui com inversas de marizes 2×2. É possível calcular inversa de qualquer matrizquadrada desde que seu determinante seja diferente de zero. Para tal, vide (Kolman), (Anton) ou(Dante).

Exemplo: Vamos calcular a inversa da matriz A =

[5 82 3

]. Como detA = 5 ·3−8 ·2 = −1 6= 0,

temos que a matriz A é inversível. Considere A−1 =

[a bc d

]. Da de�nição de matriz inversa, de-

vemos ter A · A−1 = I2, em que I2 é a matriz identidade de ordem 2. Assim,

[5 82 3

]·[

a bc d

]=

[1 00 1

],

ou seja, [5a + 8c 5b + 8d2a + 3c 2b + 3d

]=

[1 00 1

].

Pela igualdade de matrizes, temos:{5a + 8c = 12a + 3c = 0Resolvendo, encontramos a = −3 e c = 2; e{5b + 8d = 02b + 3d = 1Resolvendo, encontramos b = 8 e d = −5.

17

Page 19: geometria analitica

Dessa forma, temos A−1 =

[−3 8

2 −5

].

Exercícios

19. Determine, se existir, a inversa de cada uma das seguintes matrizes:

A =

[1 30 2

]B =

[5 102 4

]C =

[2 34 5

]20. São dadas as matrizes

A =

[2 −21 −4

]e B =

[3 −21 −1

].

Calcule (B−1).A + A−1.

18

Page 20: geometria analitica

Capítulo 4

Sistemas Lineares

De�nição 9. Denomina-se uma equação linear toda equação que pode ser escrita da forma

a1x1 + a2x2 + . . . + anxn = b

na qualx1, x2, · · · , xn são as incógnitas;a1, a2, · · · , an, são números reais chamados coe�cientes;b é chamado de termo independente.

Exemplo de equações lineares:a) 3x + 4y − 2z = 5b) 3x1 − 2x2 + 4x3 − 5x4 = 9

De�nição 10. Dada uma equação linear

a1x1 + a2x2 + . . . + anxn = b

dizemos que os números reais (α1, α2, . . . , αn) é solução da equação se, e somente se,

a1α1 + a2α2 + . . . + anαn = b.

Exemplos: A seqüência (2, 1, 3) é uma solução da equação 2x + y − 2z = −1, pois tomandox = 2, y = 1 e z = 3 na equação temos

2 · 2 + 1− (2 · 3) = −1.

Exercícios

20. Veri�que se o para) (6,2) é uma solução da equação linear 4x− 3y = 18b) (3,-5) é uma solução da equação linear 2x + 3y = 21

21. Calcule k para que o par (3, k) seja uma solução da equação linear 3x− 2y = 5.

22. O terno (k, 2, k + 1) é uma das soluções da equação linear 4x + 5y − 3z = 10. Determine k.

19

Page 21: geometria analitica

4.1 Sistemas de equações Lineares

De�nição 11. Denomina-se sistema linear de m equações e n incógnitas (m×n) da seguinte forma:a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm

Exemplo:{

2x− 3y + z = 4−x + 3y − z = 7

é um sistema linear 2× 3.

De�nição 12. Dizemos que (α1, α2, . . . , αn) é solução de um sistema linear quando (α1, α2, . . . , αn)é solução de cada uma das equações lineares que compõem o sistema.

Exemplo: (1, 3,−2) é solução do sistema

x + 2y + 3z = 14x− y − z = 3x + y − z = 6

pois1 + 2 · 3 + 3(−2) = 14 · 1− 3− (−2) = 31 + 3− (−2) = 6

.

4.2 Classi�cação de um sistema linear

Os sistemas lineares são classi�cados qanto ao número de soluções da seguinte forma:

Sistema possível determinado - SPD: Admite uma única soluçãoSistema possível indeterminado - SPI: Admite in�nitas soluçõesSistema impossível - SI: Não admite solução.

Exemplos:1) Resolva cada sistema linear via escalonamento. Classi�que-os quanto ao número de soluções.

a){

2x− 3y = 1−x + 3y = 1

b){

x− 4y = 32x− 8y = 6

c){

2x− 4y = 23x− 6y = 0

d)

x + 2y + z = 72x + 7y + z = 21−3x− 5y + 2z = −8

e)

x + 2y − z = 33x− y + z = 12x + 4y − 2z = 6

f){

2x− 4y + 10z = 63x− 6y + 15z = 11

Solução:

a) Para resolvermos o sistema, basta multiplicar a segunda linha do sisema por 2 e teremos:{2x− 3y = 1−2x + 6y = 2

Somando as duas linhas, encontramos 3y = 3, onde concluímos y = 1. Substituindo y = 1 na

20

Page 22: geometria analitica

primeira equação, temos 2x− 3 · 1 = 1, onde concluímos que x = 2. Assim, temos um sistemapossível determinado, cuja solução é S = {(2, 1)}.

b) Para resolvermos o sistema, basta multiplicar a primeira linha do sisema por -2 e teremos:{−2x + 8y = −6

2x− 8y = 6Somando as duas linhas, encontramos 0 = 0. Neste caso, temos um sistema possível indeter-minado, ou seja, o sistema possui in�nitas soluções. Para encontrarmos as soluções, devemosconsiderar a incógnita y = α, em que α ∈ R. Substituindo na primeira equação temos,x− 4α = 3, ou seja, x = 4α + 3. Dessa forma, o sistema é possível indeterminado, e a soluçãoé da forma S = {(4α + 3, α), α ∈ R}.

c) Para resolvermos o sistema, basta multiplicar a primeira linha por −3 e a segunda linha por2 e teremos:{

−6x + 12y = −66x− 12y = 0

Somando as duas linhas, encontramos 0 = −6, que é um absurdo. Logo o sistema não possuisolução. É chamado de sistema impossível.

d) Para anular os coe�cientes x na 2a e na 3a equação podemos:

• Multiplicar a 1a lina por −2 e somar com a 2a, e teremos{

−2x− 4y − 2z = −142x + 7y + z = 21

que

resulta em 3y − z = 7

•Multiplicar a 1a lina por 3 e somar com a 3a, e teremos{

3x + 6y + 3z = 21−3x− 5y + 2z = −8

que resulta

em y + 5z = 13.

Substituindo as equações encontradas na 2a e 3a linha respectivamente, encontramos umsistema da seguinte forma:

x+ 2y + z = 73y − z = 7y + 5z = 13

Para anular o coe�ciente y na 3a equação podemos multiplicar a 3a linha por −3 e somar com

a 2a, ou seja,{

3y − z = 7−3y +−15z = −39

e encontramos −16z = −32.

Assim temos o novo sistema agora escalonado:x+ 2y +z = 7

3y −z = 7−16z = −32

Podemos agora resolver:• z =

−32

−16= 2

21

Page 23: geometria analitica

• 3y − 2 = 7 ⇒ y = 3• x + 2 · 3 + 2 = 7 ⇒ x = −1Sistema possível determinado com S = {(−1, 3, 2)}

e) Para anular os coe�cientes x na 2a e na 3a equação podemos:

• Multiplicar a 1a lina por −3 e somar com a 2a, e teremos{

−3x− 6y + 3z = −93x− y + z = 1

que

resulta em 7y + 4z = −8

• Multiplicar a 1a lina por −2 e somar com a 3a, e teremos{

−2x− 4y + 2z = −62x + 4y − 2z = 6

que

resulta em 0y + 0z = 0.

Assim temos o novo sistema agora escalonado:x+ 2y +z = 7

7y +4z = −80z = 0

Que é um sistema possível determinado, ou seja, a incógnita z pode ser qualquer número real.Considere z = α, tal que α ∈ R. Dessa forma, temos:

• 7y + 4α = −8 ⇒ y =8 + 4α

7;

• x + 2 · 8 + 4α

7− α = 3 ⇒ 7x + 16 + 8α − 7α = 21 ⇒ x =

5− α

7.

Solução geral: S = {(5− α

7,8 + 4α

7, α), α ∈ R}

f) Para anular o coe�ciente x na 2a equação podemos:• Multiplicar a 1a lina por −3 e somar com a 2a linha multiplicada por 2, e teremos{

−6x + 12y − 30z = −186x− 12y + 30z = 22

e teremos{

−6x + 12y − 30z = −180x + 0y + 0z = 4

.

Sistema impossível, S = ∅.

Exercícios

23. Resolva os sistemas via escalonamento e classifque-os como possível determinado, possívelindeterminado ou impossível.

a){

x− 5y = −43x + 2y = 5

b){

4x + 2y = 42x + y = 5

c){

5x− 10y = 152x− 4y = 6

d){

3x− 2y = −125x + 6y = 8

e)

x− y + z = 42x + 3y − 5z = −113x− 2y + z = 7

f)

x + y + z = 62x− y − z = 03x + 3y + 3z = 9

22

Page 24: geometria analitica

g)

2x + 3y + z = 13x− 3y + z = 82y + z = 0

h){

x + y − z = 22x + 3y + 2z = 5

i){

x + y + z = 32x + 3y + z = 0

j){

x + y − 3z = 12x− 3y + 4z = 2

23

Page 25: geometria analitica

Referências Bibliográ�cas

[1] Álgebra Linear com Aplicações Anton, H, Rorres, C Bookman Oitava Edição.

[2] Matemática contexto e aplicãções Dante, L. R. Editora Ática Segunda Edição.

[3] Álgebra Linear Kolman, B. Editora Guanabara, Primeira Edição.

[4] O Universo da Matemática, Cerqueira, D. S., Netto, E. T. , Cruz, E. S. Editora EscalaEducacional Primeira Edição.

[5] Matemática Fundamental Uma Nova Abordagem, Giovanni, J. R., Bonjorno, J. R, Jr, J. R. G.Editora FTD Primeira Edição.

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