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Notas de Aula Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares

Juliana Ramos Fioravante Zuliani Abril de 2008

ndice1 Matrizes1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Denio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Representao dos Elementos de uma Matriz . . . Tipos Especiais de Matrizes . . . . . . . . . . . . Igualdade de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . Matriz Transposta . . . . . . . . . . . . . . . . . Adio de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 Propriedades da adio de matrizes . . . . 1.8 Multiplicao por Escalar . . . . . . . . . . . . . 1.8.1 Propriedades da multiplicao por escalar 1.9 Multiplicao de Matrizes . . . . . . . . . . . . . Determinante Determinante Determinante Propriedades de matriz quadrada de matriz quadrada de matriz quadrada . . . . . . . . . . . de ordem 1 de ordem 2 de ordem 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 4 5 7 7 8 9 9 9 10 14 14 14 15

2

2 Determinante2.1 2.2 2.3 2.4

14

3 Matriz Inversa 4 Sistemas Lineares4.1 Sistemas de equaes Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Classicao de um sistema linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17 1920 20

1

Captulo 1 Matrizes1.1 Introduo"Muitas vezes, para designar com clareza certas situaes, necessrio formar um grupo ordenado de nmeros que se apresentam dispostos em linhas e colunas numa tabela. Essas tabelas so chamadas de Matrizes."(Dante - 2005) Por exemplo, a tabela a seguir mostra o consumo mensal, em quilogramas, de trs alimentos bsicos, durante um bimestre, por uma famlia. Arroz Feijo Carne Janeiro Maro 8 7 3 4 4 5 Maio 9 3 6

Para encontrarmos a quantidade de feijo consumida por essa famlia no ms de Maio, basta procurarmos o nmero da segunda linha e terceira coluna da tabela: 3 kg. Podemos representar essa tabela na forma de matriz com trs linhas e trs colunas (matriz 33) da seguinte maneira: 8 7 9 8 7 9 3 4 3 ou 3 4 3 . 4 5 6 4 5 6

1.2 DenioMatrizes so arranjos para organizar dados. Nas matrizes, cada dado (ou entrada) chamado de elemento da matriz, as las horizontais de linhas e as verticais de colunas. Veja a matriz a seguir: 1 3 1 3 4 4 ou 4 4 . 2 2 1 1 0 2 0 2

2

Neste exemplo, a matriz tem 4 linhas e 2 colunas. Dizemos que essa uma matriz 4 3. Outros exemplosa) 1 1 0 1 2 0 4 2 1 b) 1 2 2 0 2 7

matriz 1 3

matriz 4 3

Denio 1. Uma matriz m n um quadro retangular de m n nmeros dispostos em m linhas horizontais e n colunas verticaisa11 a21 A= . . . am1

. . .

a12 a22

am2

a1n a2n ou A = . . . . . . amn

a11 a21

. . .

a12 a22

. . .

am1 am2

a1n a2n . . . . . . amn

Dizemos que a ordem de A m por n (m n).

Exerccios1. Escreva a matriz correspondente tabela de preos em reais de televises em trs lojas e trsmodelos diferentes:

Loja 1 Loja 2 Loja 3 TV 21" 552 581 522 TV 29" 978 931 958 TV 42" 1932 1959 1899

2. Observe a matriz e responda: 7 5 1 2 2 0 3 9 10 22 0 2 0

a) A ordem da matriz; b) Os nmeros da segunda linha; c) O nmero que est na segunda linha e terceira coluna; d) O nmero que est na quarta linha e segunda coluna.

3

1.3 Representao dos Elementos de uma MatrizObserve a seguinte matriz 7 10 2 4 5 22 10 2 8 12 22 19

Nela podemos vericar que: (i) m o elemento 7 est na primeira linha e na primeira coluna. Indica-se a11 = 7. (ii) o elemento 2 est na primeira linha e terceira coluna. Indica-se a13 = 2. (iii) o elemento 22 est na terceira linha e terceira coluna. Indica-se a33 = 22. (iv) o elemento 19 est na terceira linha e quarta coluna. Indica-se a34 = 19. Dessa forma, podemos representar um elemento de uma matriz utilizando uma letra e dois ndices: o primeiro ndice indica a linha a que elemento pertence e o segundo ndice indica a coluna a que elemento pertence. Por exemplo, o elemento a32 pertence terceira linha e segunda coluna. Um elemento genrico pertencente a uma matriz A ser representado pelo elemento aij , em que i representa a linha e j representa a coluna que ele pertence.

Obs. 1.1. Podemos representar uma matriz com m linhas e n colunas como A = (aij ])mn . Exemplo: Construa as seguintes matrizes:a)A = (aij )13 tal que aij = 2i j b) B = (bij )33 tal que bij =i + j se i j i j se i > j

Resoluo:a) A representao genrica da matriz A A =a11 = 2 1 1 a11 = 1 a12 = 2 1 2 a12 = 0 a13 = 2 1 3 a11 = 1 a11 a12 a13 , em que aij = 2i j. Assim,

dessa forma, A =

1 0 1 . i + j se i j . i j se i > j

Assim,

b11 b12 b13 b) A representao genrica da matriz B B = b21 b22 b23 , em que bij = b31 b32 b33 b12 = 1 + 2 b12 = 3 b22 = 2 + 2 b22 = 4 b32 = 3 2 b32 = 1

b11 = 1 + 1 b11 = 2 b21 = 2 1 b21 = 1 b31 = 3 1 b31 = 2

b13 = 1 + 3 b13 = 4 b23 = 2 + 3 b23 = 5 b33 = 3 + 3 b33 = 6

2 3 4 1 4 5 . dessa forma, B = 2 1 6

4

Exerccios3. Identique os elementos a12 , a22 e a31 4. Escreva as matrizes: 2 3 da matriz A = 1 4 . 0 6

a) A = (aij )23 tal que aij = 2i + j

b) B = (bij )32 tal que aij = 3i + 2j + 3 c) C = (cij )22 tal que cij =2i, se i j 2j, se i > j 2i j, se i < j d) D = (dij )43 tal que dij = 0, se i = j 2i + 2j, se i > j 2 i 2j, se i < j e) E = (eij )44 tal que eij = 2j, se i = j i + j 2 , se i > j

1.4 Tipos Especiais de MatrizesAo trabalharmos com matrizes, observamos que existem algumas que, pela sua ordem ou pela natureza de seus elementos, possuem propriedades que as diferem de uma matriz qualquer, e, por isso, recebem nomes especiais.

Denio 2. Matriz linha 1 nA1n = a11 a12 . . . a1n

Denio 3. Matriz Coluna m 1Am1 a11 a21 = . F . . am1 0 0 0 0 eB= 0 0

Denio 4. Matriz Nula: todas as entradas so iguais a zero. Exemplos: A =0 0 0 0

5

Denio 5. Matriz Quadrada n nCaracteriza-se por possuir o nmero de linhas igual ao nmero de colunas. Se A uma matriz n n, dizemos que A uma matriz quadrada de ordem n. Numa matriz quadrada de ordem n, os elementos Aij em que i = j constituem a diagonal principal (ou simplesmente diagonal) da matriz. J os elementos aij que compem a diagonal secundria possuem a propriedade de que i + j = n + 1. Exemplo: Na matriz quadrada 3 3 7 10 2 4 A = 22 11 1 0 3

os elementos da diagonal principal so 7, 11 e 3 e os elementos da diagonal secundria so 2, 11 e 1.

Denio 6. Se A uma matriz quadrada , ento o trao de A, denotado por tr(A), denidopela soma dos elementos da diagonal principal, isto a11 + a22 + . . . + ann .Exemplo: O trao da matriz 2 5 2 1 7 A = 22 1 2 5

tr(A)=2 + 1 + 5 = 8.

So matrizes quadradas especiais: 2 0 0 1. Matriz Diagonal: aij = 0 se i = j . Exemplo: D = 0 7 0 0 0 4

2. Matriz Escalar: aij =

0 ,se i = j k ,se i = j (em que k um escalar dado) 3 0 0 Exemplo: E = 0 3 0 0 0 3 0 ,se i = j 1 ,se i=j 1 0 0 1

3. Matriz identidade de ordem n: aij = 1 0 0 Exemplos: I3 = 0 1 0 e I2 = 0 0 1

Obs. 1.2. In ser a notao da matriz identidade de ordem n.6

4. Matriz Triangular Superior: Todos os elementos abaixo da diagonal so nulos, isto , aij = 0 se i > j . Exemplo: M = 2 0 0 0 6 3 0 0 3 1 1 2 8 3 0 1

5. Matriz Triangular Inferior: Todos os elementos acima da diagonal so nulos, isto , aij = 0 se i < j . Exemplo: N = 3 5 0 2 5 8 2 0 0

1.5 Igualdade de MatrizesDenio 7. Duas matrizes Amn e Bmn so iguais se, e somente se, possuem a mesma ordemseus elementos correspondentes so iguais, isto , aij = bij com iExemplo: 1. Sejam as matrizes A =A = C e A = B. 5 2 3 2 3 1 , B = 5 0 3 2 3 1 1 mej 1 n.

e C =

5 2 3 2 3 1 x+5 4 5 3

, temos

2. Determine x e y para que as matrizes A = iguais.y 3 = 3, ou seja, x = 6 e y = 6.

2x 1 4 5 y3

eB =

sejam

As duas matrizes tem a mesma ordem 2 2. Para serem iguais devemos ter 2x 1 = x + 5 e

Exercciosx + 5. Determine a, b, x e y para que as matrizes A = 2x+ yy 2a bb a

eB=

sejam iguais.

3 1 0 7

6. Determine m e n para que se tenhaordem 2.

m+n m 0 n

= I2 , em que I2 a matriz identidade de

1.6 Matriz TranspostaDada uma matriz A = (aij )mn podemos obter uma nova matriz AT = (bij )nm , onde bij = aji . Chamamos AT como matriz transposta de A. Em resumo: as linhas de AT so iguais s colunas de A e vice-versa. Exemplos: 7

2 0 2 4 2 1. A = e AT = 4 1 . 0 1 3 2 3 2 3 1 2 3 1 2. M = 3 4 7 e M T = 3 4 7 . 1 7 0 1 7 0

Obs. 1.3. Observe que M uma matriz simtrica e que satisfaz a propriedade : M = M T . 0 2 3 0 2 3 3. A = 2 0 1 e AT = 2 0 1 . 3 1 0 3 1 0

(em que -A a matriz oposta de A).

Obs. 1.4. Observe que A uma matriz anti-simtrica e que goza da propriedade: AT = A,

Propriedade: (AT )T = A

1.7

Adio de Matrizes

Dadas as matrizes Amn e Bmn (de mesma ordem). A soma das matrizes A e B uma nova matriz Cmn , em que cij = aij + bij . Exemplos:

1.

2 3 0 1 4 2

+

0 4 3 2 7 1

=

2 1 3 3 3 1

,

2