aula 3 mat

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

SEQÜÊNCIAS

É TODO CONJUNTO OU GRUPO NO QUAL OS SEUSELEMENTOS ESTÃO ESCRITOS EM UMA DETERMINADA

ORDEM.

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

SEQÜÊNCIAS

O DIÁRIO DE UM PROFESSOR É COMPOSTO PELOS NOMESDE SEUS ALUNOS. ESSES NOMES OBEDECEM A UMA

ORDEM (SÃO ESCRITOS EM ORDEM ALFABÉTICA). ESSALISTA DE NOMES (DIÁRIO) É CONSIDERADA UMA

SEQÜÊNCIA.

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

SEQÜÊNCIAS

OS DIAS DO MÊS SÃO DISPOSTOS NO CALENDÁRIOOBEDECENDO A UMA CERTA ORDEM, QUE TAMBÉM É UM

TIPO DE SEQÜÊNCIA.

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

SEQÜÊNCIAS

NO ESTUDO DA MATEMÁTICA ESTUDAMOS UM TIPO DE SEQÜÊNCIA, A SEQÜÊNCIA NUMÉRICA.

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

SEQÜÊNCIA NUMÉRICA

CHAMA-SE SEQÜÊNCIA NUMÉRICA A QUALQUER CONJUNTOORDENADO DE NÚMEROS REAIS OU COMPLEXOS.

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLO

O CONJUNTO ORDENADO A = (3, 5, 7, 9, 11, ... , 35) É UMASEQÜÊNCIA NUMÉRICA, CUJO PRIMEIRO TERMO É 3,

O SEGUNDO TERMO É 5, O TERCEIRO TERMO É 7E ASSIM SUCESSIVAMENTE.

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

SEQÜÊNCIA NUMÉRICA

AO REPRESENTARMOS UMA SEQÜÊNCIA NUMÉRICA,DEVEMOS COLOCAR SEUS ELEMENTOS ENTRE

PARÊNTESES.

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLOS

A = (2, 4, 6, 8, 10, 12, ...) É UMA SEQÜÊNCIA DE NÚMEROSPARES POSITIVOS.

A = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...) É UMA SEQÜÊNCIA DENÚMEROS NATURAIS.

A = (10, 20, 30, 40, 50, ...) É UMA SEQÜÊNCIA DENÚMEROS MÚLTIPLOS DE 10.

A = (10, 15, 20, 25, 30) É UMA SEQÜÊNCIA DE NÚMEROSMÚLTIPLOS DE 5, MAIORES QUE CINCO E MENORES

QUE 35.

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

TIPOS DE SEQÜÊNCIA NUMÉRICA

• FINITA

• INFINITA

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

SEQÜÊNCIA FINITA

É UMA SEQÜÊNCIA NUMÉRICA NA QUAL OS ELEMENTOSTÊM FIM, COMO POR EXEMPLO, A SEQÜÊNCIA DOS

NÚMEROS MÚLTIPLOS DE 5, MAIORES QUE 5 E MENORESQUE 35.

A = (10, 15, 20, 25, 30)

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

SEQÜÊNCIA INFINITA

É UMA SEQÜÊNCIA NUMÉRICA QUE NÃO POSSUI FIM, OUSEJA, SEUS ELEMENTOS SEGUEM AO INFINITO, COMOPOR EXEMPLO, A SEQÜÊNCIA DOS NÚMEROS PARES

POSITIVOS.

A = (2, 4, 6, 8, 10, 12, ...)

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

SEQÜÊNCIA NUMÉRICA

EM UMA SEQÜÊNCIA NUMÉRICA QUALQUER, O PRIMEIROTERMO É REPRESENTADO POR a1, O SEGUNDO TERMO

É a2, O TERCEIRO a3 E ASSIM POR DIANTE.

EM UMA SEQÜÊNCIA NUMÉRICA FINITA DESCONHECIDA,O ÚLTIMO ELEMENTO É REPRESENTADO POR an. A

LETRA n DETERMINA O NÚMERO DE ELEMENTOS DASEQÜÊNCIA.

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLOS

A = (a1, a2, a3, a4, ..., an) É UMA SEQÜÊNCIA FINITA.

A = (a1, a2, a3, a4, ... , an, ...) É UMA SEQÜÊNCIA INFINITA.

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

LEI DE FORMAÇÃO

INTERESSAM À MATEMÁTICA AS SEQÜÊNCIAS NUMÉRICASPARA AS QUAIS É POSSÍVEL ESTABELECER UMA LEI DE

FORMAÇÃO, OU SEJA, UMA FÓRMULA QUE PERMITACALCULAR QUALQUER UM DE SEUS TERMOS, OU EM

OUTRAS PALAVRAS, AS SEQÜÊNCIAS NUMÉRICAS EM QUESEUS TERMOS SE SUCEDEM OBEDECENDO A UMA REGRA.

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

TIPOS DE LEI DE FORMAÇÃO

• POR RECORRÊNCIA

• EM FUNÇÃO DO ÍNDICE DA SEQÜÊNCIA (POSIÇÃO)

• POR PROPRIEDADE DOS TERMOS

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

POR RECORRÊNCIA

SÃO DADAS DUAS OU MAIS REGRAS: UMA (OU MAIS) QUEDEFINE OS TERMOS INICIAIS DA SEQÜÊNCIA E OUTRAPARA CALCULAR OS DEMAIS TERMOS A PARTIR DE

ANTECESSORES.

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLOS

OS NÚMEROS DE FIBONNACCI (LÊ-SE FIBONATI):

DEFINIDOS a1 = 0 E a2 = 1 E A REGRA F(n-1) + F(n-2) QUECORRESPONDE À SOMA DOS DOIS ANTECESSORES PARA

DEFINIR OS DEMAIS TERMOS.

F(9) = (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21)

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLOS

• a1 = 5, an = an-1 + 3 E n = 5

a1 = 5

a2 = a1 + 3 = 8

a3 = a2 + 3 = 11

a4 = a3 + 3 = 14

a5 = a4 + 3 = 17

(5, 8, 11, 14, 17)

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EM FUNÇÃO DO ÍNDICE DA SEQÜÊNCIA (POSIÇÃO)

• an = 2n +3, n = 1, 2, 3, 4, 5

(5, 7, 9, 11, 13)

• an = 2 elevado à n, n NATURAL DIFERENTE DE ZERO (N*)

(2, 4, 8, 16, 32, 64, ...)

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

POR PROPRIEDADE DOS TERMOS

• A SEQÜÊNCIA CUJOS TERMOS SÃO OS PRIMEIROSCINCO NÚMEROS PRIMOS:

(2, 3, 5, 7, 11)

• A SEQÜÊNCIA DOS NÚMEROS INTEIROS ÍMPARESMENORES DO QUE 20:

(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19)

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

TERMO GERAL

É A EXPRESSÃO MATEMÁTICA QUE RELACIONA ENTRE SIOS TERMOS DA SEQÜÊNCIA NUMÉRICA.

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

TERMO GERAL

SEJA POR EXEMPLO A SEQÜÊNCIA NUMÉRICA DE TERMOGERAL an = n elevado à 2 + 4n + 10, PARA n INTEIRO

E POSITIVO.

NESTAS CONDIÇÕES, PODEMOS CONCLUIR QUE ASEQÜÊNCIA PODERÁ SER ESCRITA COMO:

(15, 22, 31, 42, 55, 70, ...)

a6 = 70 PORQUE a6 = 6 elevado à 2 + 4.6 + 10

36 + 24 + 10 = 70

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

PROGRESSÃO ARITMÉTICA

É UMA SUCESSÃO DE NÚMEROS NA QUAL A DIFERENÇAENTRE DOIS TERMOS CONSECUTIVOS É CONSTANTE.

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

REPRESENTAÇÃO DE UMA P. A.

REPRESENTADO POR a1 O PRIMEIRO ELEMENTO,POR a2 O SEGUNDO ELEMENTO DE UMA P. A. E ASSIMSUCESSIVAMENTE, ATÉ O ÚLTIMO ELEMENTO QUE É

REPRESENTADO POR an, TENDO A SEGUINTEREPRESENTAÇÃO PARA UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA.

P. A. (a1, a2, a3, a4, ..., an)

A REPRESENTAÇÃO ACIMA REFERE-SE A UMA P. A. FINITACOM n ELEMENTOS. CASO A SUCESSÃO SEJA INFINITA,

UTILIZAMOS A SEGUINTE REPRESENTAÇÃO:

P. A. (a1, a2, a3, a4, ..., an, ...)

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLOS

A = (1, 5, 9, 13, 17, 21, ...) RAZÃO = 4 (P. A. CRESCENTE)

B = (3, 12, 21, 30, 39, 48, ...) RAZÃO = 9 (P. A. CRESCENTE)

C = (5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ...) RAZÃO = 0 (P. A. CONSTANTE)

D = (100, 90, 80, 70, 60, 50, ...) = RAZÃO = -10 (P. A. DECRESCENTE)

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

TERMINOLOGIA

P. A. (5, 7, 9, 11, 13, 15)

ACIMA TEMOS A REPRESENTAÇÃO DE UMA PROGRESSÃOARITMÉTICA FINITA.

UM TERMO QUALQUER É IDENTIFICADO POR an, ONDE nINDICA A POSIÇÃO DESTE TERMO. POR EXEMPLO, O TERMO

a4 REFERE-SE AO QUARTO TERMO DESTA P. A., QUE NOCASO É IGUAL A 11, JÁ O PRIMEIRO TERMO, a1, NESTA

P. A. É IGUAL A 5.

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

TERMINOLOGIA

COMO JÁ INFORMADO, A DIFERENÇA ENTRE DOISTERMOS CONSECUTIVOS DE UMA P. A. É CONSTANTE.

NESTE EXEMPLO ESTE VALOR É IGUAL A 2.

POR EXEMPLO, A DIFERENÇA ENTRE O PRIMEIRO E OSEGUNDO TERMO É IGUAL A 2.

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

TERMINOLOGIA

ESTE VALOR CONSTANTE QUE É A DIFERENÇA ENTRE UM TERMO E OUTRO É DENOMINADO RAZÃO DA PROGRES-

SÃO ARITMÉTICA E É REPRESENTADO PELA LETRA r.

SE REPRESENTARMOS UM TERMO QUALQUER DE UMAP. A. POR an, ENTÃO PODEMOS DIZER QUE O SEU

ANTECEDENTE É IGUAL A an-1 E QUE SEU CONSEQUENTEÉ IGUAL A an+1.

DESTA FORMA PODEMOS DIZER QUE r = an+1 – an, OUAINDA r = an – an-1.

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

TERMINOLOGIA

VEJAM OS SEGUINTES EXEMPLOS:

r = a4 – a3 = 11 – 9 = 2

r = a3 – a2 = 9 – 7 = 2

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

TIPOS DE PROGRESSÃO ARITMÉTICA

• CONSTANTE

• CRESCENTE

• DECRESCENTE

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

PROGRESSÃO ARITMÉTICA CONSTANTE

UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA É CONSTANTE QUANDO ASUA RAZÃO É IGUAL A ZERO. NESTE CASO TODOS OS

TERMOS DA P. A. TÊM O MESMO VALOR.

EXEMPLO

P. A. (0, 0, 0, ...)

P. A. (3, 3, ..., 3)

P. A. (7, 7, 7)

NOTE QUE EM TODAS AS PROGRESSÕES ACIMA r = 0.

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

PROGRESSÃO ARITMÉTICA CRESCENTE

UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA É CRESCENTE QUANDO A SUARAZÃO É MAIOR QUE ZERO, OU SEJA, QUANDO O CONSEQUENTE

DE UM TERMO QUALQUER É MAIOR QUE ESTE TERMO.

EXEMPLO

P. A. (1, 2, 3, ...)

P. A. (15, 21, 27, ...)

P. A. (-16, -12, -8)

NOTE QUE A RAZÃO DAS PROGRESSÕES ACIMA, RESPECTIVA-MENTE 1, 6 e 4 SÃO TODAS MAIORES QUE ZERO.

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

PROGRESSÃO ARITMÉTICA DECRESCENTE

UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA É DECRESCENTE QUANDO ASUA RAZÃO É MENOR QUE ZERO, OU EM OUTRAS PALAVRAS,

QUANDO O CONSEQUENTE DE UM TERMO QUALQUERÉ MENOR QUE ESTE TERMO.

EXEMPLO

P. A. (31, 29, 27, ...)

P. A. (75, 68, 61, ...)

P. A. (9, 0, -9)

NOTE QUE A RAZÃO DAS PROGRESSÕES ACIMA, RESPECTIVA-MENTE -2, -7 e -9 SÃO TODAS MENORES QUE ZERO.

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P. A.

COMO SABEMOS, O PRÓXIMO TERMO DE UMA P. A. É IGUAL AOREFERIDO TERMO MAIS A RAZÃO r. PARA UMA P. A. GENÉRICA

PODEMOS DIZER QUE O SEGUNDO TERMO É IGUAL AO PRIMEIROTERMO, a1, MAIS A RAZÃO r:

a2 = a1 + r

O TERCEIRO TERMO É RESULTADO DA SOMA DO SEGUNDOTERMO COM A RAZÃO:

a3 = a2 + r

MAS VIMOS QUE a2 = a1 + r, SUBSTITUINDO-O NA EXPRESSÃOTEMOS:

a3 = a1 + r + r => a3 = a1 + 2r

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P. A.

RESUMINDO TEMOS:

a2 = a1 + r

a3 = a1 + 2r

a4 = a1 + 3r

a5 = a1 + 4r

an = a1 + (n – 1)r

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

FORMULA DO TERMO GERAL DE UMA P. A.

NA FÓRMULA DO TERMO GERAL DA P. A. SUBTRAÍMOS 1DE n QUANDO PARTIMOS DO TERMO a1, PERCEBA QUEQUANDO PARTIMOS DO TERMO a2, SUBTRAÍMOS 2 DE n,ASSIM COMO SUBTRAÍMOS 3 AO PARTIRMOS DE a3 E 4

QUANDO PARTIRMOS DE a4.

PARTINDO ENTÃO DE UM TERMO m, PODEMOS REESCRE-VER A FÓRMULA DO TERMO GERAL DA P. A. COMO:

an = am + (n –m)r

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

FORMULA DA SOMA DOS TERMOS DE UMA P. A.

A SOMA DE TODOS OS TERMOS DE UMA PROGRESSÃOARITMÉTICA É IGUAL AO PRODUTO DO NÚMERO DE TERMOS

PELA METADE DA SOMA DO PRIMEIRO COM O N-ÉSIMOTERMO. EM NOTAÇÃO MATEMÁTICA TEMOS:

Sn = n . (a1 + an) / 2

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXERCÍCIO

QUAL É O VIGÉSIMO TERMO DA P. A. (3, 10, 17, ...)?

IDENTIFICANDO AS VARIÁVEIS DO PROBLEMA TEMOS:

a1 = 3 r = 7 an = 20

COMO CONHECEMOS O PRIMEIRO TERMO E A RAZÃO DAP. A., ATRAVÉS DA FÓRMULA DO TERMO GERAL IREMOS

CALCULAR O VALOR DO VIGÉSIMO TERMO:

an = a1 + (n -1)ra20 = 3 + (20 -1).7

a20 = 3 + 19.7 = 136

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXERCÍCIO

QUAL É A SOMA DOS NÚMEROS ÍMPARES ENTRE 10 E 30?

SABEMOS QUE A DIFERENÇA ENTRE UM NÚMERO IMPARE O SEU ANTECEDENTE É IGUAL A 2. ESTE É O VALOR

DA RAZÃO.

O PRIMEIRO NÚMERO ÍMPAR DO INTERVALO INFOR-MADO É 11 É O ÚLTIMO É 29, PORTANTO TEMOS

AS SEGUINTES VARIÁVEIS:

a1 = 11 r = 2 an = 29

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXERCÍCIO

PARA CALCULARMOS A SOMA DOS TERMOS, PRIMEIRA-MENTE PRECISAMOS IDENTIFICAR QUANTOS TERMOS

SÃO. ATRAVÉS DA FÓRMULA DO TERMO GERAL IREMOSOBTER O NÚMERO DE TERMOS DA SUCESSÃO:

an = a1 +(n – 1)r29 = 11 + (n – 1).229 – 11 = 2n – 2

18 = 2n – 2 2n = -2 -18

-2n = - 20 ( x -1)2n = 20

n = 20/2 = 10

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXERCÍCIO

AGORA QUE SABEMOS QUE A SUCESSÃO POSSUI 10TERMOS, PODEMOS CALCULAR A SUA SOMA:

Sn = n . (a1 + an) / 2

S10 = 10 . (11 + 29) / 2

S10 = 10 . 40 / 2

S10 = 10 . 20

S10 = 200

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXERCÍCIO

A PARTIR DA SEQÜÊNCIA S, CUJO TERMO GERAL SEJADADO POR an = 3n + 5, ONDE n É UM NÚMERO NATURAL

NÃO NULO, QUAL SERIA O VALOR DE n = 20?

an = 3n + 5a20 = 3.20 + 5a20 = 60 + 5

a20 = 65

PORTANTO O VIGÉSIMO TERMO DESSA SEQÜÊNCIA (a20)É IGUAL A 65.

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXERCÍCIO

A PARTIR DA SEQÜÊNCIA S, CUJO TERMO GERAL SEJADADO POR an = n2 + 4n + 10, ONDE n É UM NÚMERO

NATURAL NÃO NULO, QUAL SERIA A SEQÜÊNCIA DOS7 PRIMEIROS TERMOS?

(15, 22, 31, 42, 55, 70, 87)

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

É UMA SUCESSÃO DE NÚMEROS NA QUAL A O QUOCIENTEENTRE DOIS TERMOS CONSECUTIVOS É CONSTANTE.

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

REPRESENTAÇÃO DE UMA P. G.

REPRESENTADO POR a1 O PRIMEIRO ELEMENTO,POR a2 O SEGUNDO ELEMENTO DE UMA P. G. E ASSIMSUCESSIVAMENTE, ATÉ O ÚLTIMO ELEMENTO QUE É

REPRESENTADO POR an, TENDO A SEGUINTEREPRESENTAÇÃO PARA UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA.

P. G. (a1, a2, a3, a4, ..., an)

A REPRESENTAÇÃO ACIMA REFERE-SE A UMA P. G. FINITACOM n ELEMENTOS. CASO A SUCESSÃO SEJA INFINITA,

UTILIZAMOS A SEGUINTE REPRESENTAÇÃO:

P. G. (a1, a2, a3, a4, ..., an, ...)

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXEMPLOS

A = (3, 12, 48, 192, 768, ...) RAZÃO = 4 (P. G. CRESCENTE)

B = (1, 2, 4, ...) RAZÃO = 2 (P. G. CRESCENTE)

C = (5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ...) RAZÃO = 0 (P. G. CONSTANTE)

D = (-35, -105, -315, ...) = RAZÃO = -3 (P. G. DECRESCENTE)

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

TERMINOLOGIA

P. G. (3, 12, 48, 192, 768)

ACIMA TEMOS A REPRESENTAÇÃO DE UMA PROGRESSÃOGEOMÉTRICA FINITA.

UM TERMO QUALQUER É IDENTIFICADO POR an, ONDE nINDICA A POSIÇÃO DESTE TERMO. POR EXEMPLO, O TERMO a3 REFERE-SE AO TERCEIRO TERMO DESTA P. G., QUE NO

CASO É IGUAL A 48, JÁ O PRIMEIRO TERMO, a1, NESTAP. G. É IGUAL A 3.

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

TERMINOLOGIA

COMO JÁ INFORMADO, O QUOCIENTE ENTRE DOISTERMOS CONSECUTIVOS DE UMA P. G. É CONSTANTE.

NESTE EXEMPLO ESTE VALOR É IGUAL A 4.

POR EXEMPLO, A DIVISÃO DO SEGUNDO PELOPRIMEIRO TERMO É IGUAL A 4.

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

TERMINOLOGIA

ESTE VALOR CONSTANTE QUE É O QUOCIENTE ENTRE UM TERMO E OUTRO É DENOMINADO RAZÃO DA PROGRES-

SÃO GEOMÉTRICA E É REPRESENTADO PELA LETRA q.

SE REPRESENTARMOS UM TERMO QUALQUER DE UMAP. G. POR an, ENTÃO PODEMOS DIZER QUE O SEU

ANTECEDENTE É IGUAL A an-1 E QUE SEU CONSEQUENTEÉ IGUAL A an+1.

DESTA FORMA PODEMOS DIZER QUE q = an+1 / an, OUAINDA q = an / an-1.

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

TERMINOLOGIA

VEJAM OS SEGUINTES EXEMPLOS:

q = a4 / a3 = 192 / 48 = 4

q = a3 / a2 = 48 / 12 = 4

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

TIPOS DE PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

• CONSTANTE

• CRESCENTE

• DECRESCENTE

• ALTERNANTE OU OSCILANTE

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA CONSTANTE

UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA É CONSTANTE QUANDO A SUARAZÃO É IGUAL A 1 (HUM), OU QUANDO O PRIMEIRO TERMO É

IGUAL A ZERO. NESTE CASO TODOS OS TERMOS DA P. G. TÊM OMESMO VALOR.

EXEMPLO

P. G. (0, 0, 0, 0, ...)

P. G. (5, 5, ..., 5)

P. G. (9, 9, 9)

NO PRIMEIRO EXEMPLO TEMOS QUE a1 = 0 E NOS OUTROS DOIS q = 1.

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA CRESCENTE

UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA É CRESCENTE QUANDO OCONSEQUENTE DE UM TERMO QUALQUER É MAIOR QUE ESTE

TERMO. ISTO OCORRE QUANDO q > 1 e a1 > 0, OU QUANDO0 < q < 1 e a1 < 0.

EXEMPLO

P. G. (1, 2, 4, ...)

P. G. (-480, -120, -30, ...)

NOTE QUE A RAZÃO DAS PROGRESSÕES ACIMA É RESPECTIVA-MENTE 2 e 0,25. NO PRIMEIRO CASO, q > 1 e a1 > 0

E NO SEGUNDO CASO TEMOS 0 < q < 1 e a1 < 0.

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA DECRESCENTE

UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA É DECRESCENTE QUANDO OCONSEQUENTE DE UM TERMO QUALQUER É MENOR QUE

ESTE TERMO. ISTO OCORRE QUENO q > 1 e a1 < 0,OU QUANDO 0 < q < 1 e a1 > 0.

EXEMPLO

P. G. (-35, -105, -315, ...)

P. G. (1400, 560, 224, ...)

NOTE QUE A RAZÃO DAS PROGRESSÕES ACIMA É RESPECTIVA-MENTE 3 e 0,4. NO PRIMEIRO EXEMPLO, q > 1 e a1 < 0 E NO

SEGUNDO EXEMPLO TEMOS QUE 0 < q < 1 e a1 > 0.

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA ALTERNANTE OU OSCILANTE

UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA CUJOS TERMOS ALTERNEM OUOSCILEM DE POSITIVO PARA NEGATIVO E VICE-VERSA, É

DENOMINADA P. G. OSCILANTE OU P. G. ALTERNANTE.ISTO OCORRE QUANDO q < 0 e a1 ≠ 0.

EXEMPLO

P. G. (-3, 6, -12, ...)

P. G. (729, -218.7, 65.61, -19.683, ...)

EM AMBOS OS CASOS a1 ≠ 0. NO PRIMEIRO CASO A RAZÃO ÉIGUAL A -2, LOGO q < 0 E NO SEGUNDO TEMOS QUE A RAZÃO

É IGUAL A -0,3, PORTANTO TAMBÉM TEMOS q < 0.

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P. G.

SABEMOS QUE O TERMO SEGUINTE A UM TERMO DE UMA P. G. ÉIGUAL AO REFERIDO TERMO MULTIPLICADO PELA RAZÃO q.

PARA UMA P. G. GENÉRICA, PODEMOS DIZER QUE O SEGUNDOTERMO É IGUAL AO PRIMEIRO TERMO, a1, VEZES A RAZÃO q:

a2 = a1 . q

O TERCEIRO TERMO É RESULTADO DA MULTIPLICAÇÃO DOSEGUNDO TERMO PELA RAZÃO:

a3 = a2 . q

NO ENTANDO COMO VIMOS QUE a2 = a1 . q, SUBSTITUINDO-ONA EXPRESSÃO TEMOS: a3 = a1 . q . q => a3 = a1 . q2

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P. G.

RESUMINDO TEMOS:

a2 = a1 . q

a3 = a1 + q2

a4 = a1 + q3

a5 = a1 + q4

an = a1 + q(n – 1)

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

FORMULA DO TERMO GERAL DE UMA P. G.

NA FÓRMULA DO TERMO GERAL DA P. G. SUBTRAÍMOS 1DE n QUANDO PARTIMOS DO TERMO a1, PERCEBA QUEQUANDO PARTIMOS DO TERMO a2, SUBTRAÍMOS 2 DE n,ASSIM COMO SUBTRAÍMOS 3 AO PARTIRMOS DE a3 E 4

QUANDO PARTIRMOS DE a4.

PARTINDO ENTÃO DE UM TERMO m, PODEMOS REESCRE-VER A FÓRMULA DO TERMO GERAL DA P. G. COMO:

an = am . q(n –m)

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

FORMULA DA SOMA DOS TERMOS DE UMA P. G.

PODEMOS UTILIZAR A FÓRMULA ABAIXO PARA CALCULAR-MOS A SOMA DE TODOS OS TERMOS DE UMA P. G. FINITA E

TAMBÉM DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA P. G.QUALQUER, DESDE QUE q ≠ 1.

Sn = a1(q elevado à n – 1) / q - 1

PARA q = 1 TEMOS UMA FÓRMULA MAIS SIMPLES:Sn = a1 . n

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

FORMULA DO PRODUTO GERAL DE UMA P. G.

A FÓRMULA PARA O CÁLCULO DO PRODUTO DOS TERMOSDE UMA P. G. FINITA, OU DO PRODUTO DOS n PRIMEIROS

TERMOS DE UMA P. G. É:

Pn = a1 elevado à n . q elevado à n(n – 1) / 2

PROAB 2010

AULA 3

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

EXERCÍCIOINTERPOLE QUATRO MEIOS GEOMÉTRICOS ENTRE 4 E 128,

TENDO n = 6.

1º PASSO:4 _ _ _ _ 128

2º PASSO:SABENDO QUE a1 = 4, n = 6 e a6 = 128, TEMOS:

an = a1 . q elevado à n – 1a6 = a1 . q elevado à 6 – 1

128 = 4 . q elevado à 5q elevado à 5 = 128 / 4

q elevado à 5 = 32q = 2