análise combinatória ebep 2015

Unidade Integrada SESI/SENAI – EBEP Carlos Guido Ferrario Lobo

Tipos de agrupamentos

• Diferem um do outro pela ordem ou natureza dos elementos.

Arranjo

• Não diferem pela ordem dos seus elementos. Combinação

• São grupos fazendo a troca de posições de todos os elementos.

Permutação

Arranjos Simples

CORRIDAS - ELEIÇÕES - DISPUTAS

O quadrangular final de um torneio mundial

de basquete é disputado por quatro

seleções: Brasil, Finlândia, Grécia e Turquia.

De quantas maneiras distintas podemos ter

os três primeiros colocados?

Arranjos (Definição)

• Arranjos são agrupamentos nos quais a ordem ou a natureza dos seus elementos FAZ A DIFERENÇA.

• É preciso ter um conjunto de elementos distintos com uma quantidade qualquer de elementos, sendo que os arranjos simples formados irão possuir n elementos, sendo que essa quantidade será igual ou menor que a quantidade de elementos do conjunto.

Arranjos (Fórmula)

Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se arranjo dos n elementos, tomados k a k, a

qualquer sequência ordenada de k elementos distintos escolhidos entre os n existentes.

Exemplo 1: A senha

• A senha de um cartão eletrônico é formada por duas letras distintas acompanhadas por uma sequência de três algarismos distintos. Quantas senhas poderiam ser “confeccionadas”?

Exemplo 2: Pares ordenados

• Dado o conjunto A={1,2,3,4}, vamos escrever todos os arranjos desses quatro elementos tomados dois a dois (pares ordenados).

Permutação

Simples e

com repetição

ANAGRAMAS – FORMAÇÕES

Cinco pessoas, entre elas Antônio e Pedro,

vão fazer uma selfie. De quantas maneiras

elas podem ser dispostas, colocadas lado a

lado?

Permutação (Definição)

• São grupos formados, fazendo a troca de posições de todos os elementos envolvidos.

• Notemos que a permutação é

um caso particular de arranjo, pois, dado um conjunto com n elementos distintos, selecionamos exatamente n elementos para formar a sequencia ordenada.

Permutação (Fórmula)

Permutação de n elementos.

Exemplo 1: Centenas distintas

• Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar utilizando os algarismos 2, 5 e 8? Note o uso da palavra “distintos”, ou seja, sem repetir o mesmo algarismo.

Exemplo 2: ANAGRAMAS

• Anagramas são todas as palavras formadas, com ou sem sentido, pelas letras da palavra dada, embaralhando a sua ordem. Quantos anagramas existem da palavra azul?

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Permutação com repetição

É a permutação onde aparecem elementos repetidos. Se trocarmos a ordem destes, não aparecerá mudanças na posição.

Generalizando:

, ,

n

n!P

! ! !

Exemplo 3: ANAGRAMAS

Exemplo: Os anagramas da palavra “matemática”.

Ao mudar as letras “m” com outra “m” aparentemente não houve mudança. O mesmo com as letras “a” ou “t” . Assim, seguimos o raciocínio:

n

1 2 3

P 10! 10 9 8 7 6 5 4 3!151200

P P P 2! 3! 2! 2 3! 2

Combinação

Simples

EQUIPES - JUNTAS MÉDICAS - GRUPOS

Quatro alunos – Pedro, Luís, Abel e Márcio –

participam de um concurso em que serão

sorteadas três bicicletas do tipo mountain

bike. Quais os possíveis resultados do

concurso?

Combinação (Definição)

• Dado um conjunto A com n elementos distintos, chama-se combinação dos n elementos de A, tomados k a k, a qualquer subconjunto de A formado por k elementos.

• Notemos que neste caso a troca da ordem dos elementos não caracteriza novos agrupamentos

Combinação de n elementos, tomados k a k.

Exemplo 1: A comissão

• Uma classe tem 15 alunos, sendo 9 meninos e 6 meninas. Quantas comissões de dois meninos de duas meninas podem ser formadas?

Exemplo 2: DIA DE PIZZA

• Um pizzaria oferece 15 diferentes sabores de pizza e seus clientes. De quantas maneiras uma família pode escolher três desses sabores?

Observação

• Tanto arranjo como combinação são agrupamentos de k elementos distintos escolhidos a partir de um conjunto de n elementos. A diferença é que, no arranjo, se mudarmos a ordem dos elementos de certo agrupamento, obteremos um novo agrupamento; na combinação, mudando a ordem dos elementos de certo agrupamento, obteremos o mesmo agrupamento.

Carlos Santos Junior Professor de Matemática

Unidade Integrada SESI/SENAI – EBEP

Carlos Guido Ferrario Lobo

carlos.dasilva@al.sesi.org.br

carlossantosjr@outlook.com.br