8.5 – Centro de massaPosição do centro de massa de um sistema de N partículas:

Média, ponderada pelas massas, das posições das partículas

N

ii

N

iii

N

NNcm

m

rm

mmmrmrmrmR

1

1

21

2211

......

0

1

2

i

ir

Em componentes:

N

ii

N

iii

N

NNcm

m

xm

mmmxmxmxmX

1

1

21

2211

...... (idem para y e z)

21

2211

mmxmxmXCM

(c) Em geral, o centro de massa é um ponto intermediário entre x1 e x2:2CM1 xXx

Lm

LmmXCM 32

320

xxCMm

x=02mx=L

2/3 1/3

(a)2

2121

xxxmm CM

xxCM

1x 2x

(b) 121 xxmm CM x

xCM

2x

Exemplos em 1D: 2 partículas

Kits LADIF

Exemplo: sistema de 3 partículas em 2D

CM

CM

0×1+ 0×2 + 4×4x = m = 2,3 m1+ 2 + 4

0×1+ 3× 2 + 0×4y = m = 0,9 m1+ 2 + 4

Distribuições contínuas de massa (qualitativo)

Objeto homogêneo com centro geométrico: CM no centro

Objeto com eixo de simetria: CM ao longo do eixo

Note que o c.m. pode estar localizado fora do objeto

Movimento do centro de massa

N

NNcm mmm

rmrmrmR

......

21

2211

Velocidade do centro de massa:

N

NNcmcm mmm

vmvmvmdtRdV

......

21

2211

Massa total: NmmmM ...21

PvmvmvmVM NNcm

...2211 (momento linear

total)

Momento linear total é igual à massa total multiplicada pela velocidade do centro de

massa

Como vimos na aula passada, se a resultante das forças externas for nula, ou se o sistema for isolado:

constanteP

constante cmV

Vídeo: Physics Demonstrations in Mechanics: Part II, No. 5

Exemplo: Y&F 8.14E se houver força externa resultante não-nula?

NNcm vmvmvmVM

...2211

Derivando mais uma vez:

dtvdm

dtvdm

dtvdm

dtVdM N

Ncm

...2

21

1

NNcm amamamAM ...2211

NNcm amamamAM ...2211

Pela 2ª Lei de Newton:

FFFFAM Ncm

...21

Somatório de todas as forças que atuam sobre todas as partículas

intFFF ext

Soma das forças externas

Soma das forças internas

Como vimos na aula passada, pela 3ª Lei de Newton:

(pares ação e reação se cancelam)

0int F

Assim: cmextAMF

O centro de massa se move como uma partícula que concentrasse toda a massa do sistema, sob ação da

resultante das forças externas

Vídeo: Physics Demonstrations in Mechanics: Part II, No. 6

Ou: dtPd

dtVMd

dtVdMF cmcm

ext

Colisões no referencial do centro de massa:

• ausência de forças externas, velocidade do c.m. permanece inalterada pela colisão

• referencial do c.m. é inercialMostrar applet: http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/more_stuff/Applets/Collision/jarapplet.html

Av

BA

Bv

Referencial do c.m.Au

A BBu

Bv

Av

A BReferencial do laboratório

Trajetória do c.m.

C.m. está parado

Au

Bu

A B

Velocidades no referencial do centro de massa:

cmBB

cmAA

cmBB

cmAA

Vvu

Vvu

Vvu

Vvu

Conservação do momento linear:

BBAABBAA vmvmvmvm

cmBBcmAAcmBBcmAA VumVumVumVum

BBAABBAA umumumum

Momento linear também se conserva no referencial do centro de massa (como esperado, pois trata-se de um referencial inercial)

Energia cinética no referencial do lab:

Antes: 22

21

21

BBAAc vmvmE

Mudança de variáveis para velocidade do c.m. e velocidade relativa:

l)referencia do (independe BABArel

BA

BBAAcm

uuvvvmmvmvmV

Invertendo, obtemos:

relBA

AcmB

relBA

BcmA

vmm

mVv

vmm

mVv

22

21

21

BBAAc vmvmE

Substituindo na expressão para a energia cinética:

22

21

21

relBA

AcmBrel

BA

BcmAc v

mmmVmv

mmmVmE

Após alguma álgebra (quadro negro):

22

21

21

relBA

BAcmBAc v

mmmmVmmE

Definindo: (massa total) e

(massa reduzida) BA mmM

BA

BA

mmmm

Obtemos finalmente:

22

21

21

relcmc vMVE

Energia cinética do movimento do centro de massa

Energia cinética do movimento relativo

Análise:1. Parece com a expressão da energia cinética de duas “partículas”

2. No referencial do c.m., temos:

Ou seja, a energia cinética depende do referencial, e a energia cinética mínima é aquela calculada no referencial do c.m.

0) c.m. do vel.(21 2 rel

cmc vE

3. Antes e depois de uma colisão, a velocidade do c.m. não varia, de modo que a variação da energia cinética é:

Ou seja, a variação de energia cinética não depende do referencial (como esperado)

22

21

21

relrelc vvE

4. Em uma colisão elástica, temos:

Ou seja, o módulo da velocidade relativa não é alterado pela colisão

relrelrelrelc vvvvE

021

21 22

5. A perda máxima de energia cinética (colisão totalmente inelástica), ocorre quando:

Desta forma, explica-se porque as partículas ficam “grudadas” depois de uma colisão totalmente inelástica

222

21

21

21

relrelrelc vvvE

0

8.6 – Propulsão de um fogueteExemplo de movimento de um sistema de massa variável:

Instante t

v

Massa m

Instante t + dt

vdv

m +dmdm < 0

exv

-dm

Velocidade de exaustão dos gases relativa ao foguete

http://www.youtube.com/watch?v=sJj1WpbvxM4

Conservação do momento linear:

))(()()()(

exvvdmdvvdmmdttPmvtP

))(()( exvvdmdvvdmmmv

dmvvdmdmdvvdmmdvmvmv ex

Infinitésimo de ordem superiordmvmdv ex

dtdmvF

dtdmv

dtdvm exex

Força de propulsão do foguete (proporcional à taxa e à velocidade de exaustão)

Note que, ainda que a força seja supostamente constante, a aceleração aumenta com o tempo, pois a massa diminui continuamente

Cálculo da velocidade:

dmvmdv exmdmvdv ex

m

mex

v

v mmdvvd

00

00 ln

mmvvv ex

mmvvv ex

00 ln

Exemplo: Y&F 8.16

Próximas aulas:4a. Feira 26/10: Aula de Exercícios (sala A-327)6a. Feira 28/10: Feriado4a. Feira 02/11: Feriado6a. Feira 04/11: Aula Magna (sala A-343) e Testes do Cap. 8