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8.5 – Centro de massa Posição do centro de massa de um sistema de N partículas: Média, ponderada pelas massas, das posições das partículas = = = + + + + + + = N i i N i i i N N N cm m r m m m m r m r m r m R 1 1 2 1 2 2 1 1 ... ... 0 1 2 i i r Em componentes: = = = + + + + + + = N i i N i i i N N N cm m x m m m m x m x m x m X 1 1 2 1 2 2 1 1 ... ... (idem para y e z)

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  • 8.5 Centro de massa

    Posio do centro de massa de um sistema de N partculas:

    Mdia, ponderada pelas massas, das posies das partculas

    =

    ==++++++

    = N

    ii

    N

    iii

    N

    NNcm

    m

    rm

    mmmrmrmrmR

    1

    1

    21

    2211

    ......

    0

    1

    2

    i

    ir

    Em componentes:

    =

    ==++++++

    = N

    ii

    N

    iii

    N

    NNcm

    m

    xm

    mmmxmxmxmX

    1

    1

    21

    2211

    ...... (idem para y e z)

  • 21

    2211

    mmxmxmX CM +

    +=

    (c) Em geral, o centro de massa um ponto intermedirio entre x1 e x2: 2CM1 xXx > x xCM

    2x

    Exemplos em 1D: 2 partculas

    Kits LADIF

  • Exemplo: sistema de 3 partculas em 2D

    CM

    CM

    01+ 02 + 44x = m = 2,3 m1+ 2 + 4

    01+ 32 + 04y = m = 0,9 m1+ 2 + 4

  • Distribuies contnuas de massa (qualitativo)

    Objeto homogneo com centro geomtrico: CM no centro Objeto com eixo de simetria: CM ao longo do eixo Note que o c.m. pode estar localizado fora do objeto

  • Movimento do centro de massa

    N

    NNcm mmm

    rmrmrmR++++++

    =......

    21

    2211

    Velocidade do centro de massa:

    N

    NNcmcm mmm

    vmvmvmdtRdV

    ++++++

    ==......

    21

    2211

    Massa total: NmmmM +++= ...21

    PvmvmvmVM NNcm

    =+++= ...2211 (momento linear total)

    Momento linear total igual massa total multiplicada pela velocidade do centro de massa

  • Como vimos na aula passada, se a resultante das foras externas for nula, ou se o sistema for isolado:

    constante=P

    constante= cmV

    Vdeo: Physics Demonstrations in Mechanics: Part II, No. 5 Exemplo: Y&F 8.14

    E se houver fora externa resultante no-nula?

    NNcm vmvmvmVM

    +++= ...2211Derivando mais uma vez:

    dtvdm

    dtvdm

    dtvdm

    dtVdM NNcm

    +++= ...2211

    NNcm amamamAM

    +++= ...2211

  • NNcm amamamAM

    +++= ...2211

    Pela 2 Lei de Newton:

    =+++= FFFFAM Ncm

    ...21

    Somatrio de todas as foras que atuam sobre todas as partculas

    += intFFF ext

    Soma das foras externas

    Soma das foras internas

    Como vimos na aula passada, pela 3 Lei de Newton: (pares ao e reao se cancelam)

    0int =F

  • Assim: cmext AMF

    =

    O centro de massa se move como uma partcula que concentrasse toda a massa do sistema, sob ao da resultante das foras externas

    Vdeo: Physics Demonstrations in Mechanics: Part II, No. 6

    Ou: ( )

    dtPd

    dtVMd

    dtVdMF cmcm

    ext

    ===

  • Colises no referencial do centro de massa: ausncia de foras externas, velocidade do c.m. permanece inalterada pela coliso referencial do c.m. inercial Mostrar applet: http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/more_stuff/Applets/Collision/jarapplet.html

    Av

    B A

    Bv

    Referencial do c.m.

    AuA B

    Bu

    Bv

    Av

    A B

    Referencial do laboratrio

    Trajetria do c.m.

    C.m. est parado

    Au

    Bu

    A B

    Velocidades no referencial do centro de massa:

    =

    =

    =

    =

    cmBB

    cmAA

    cmBB

    cmAA

    Vvu

    Vvu

    Vvu

    Vvu

  • Conservao do momento linear:

    BBAABBAA vmvmvmvm +=+

    ( ) ( ) ( ) ( )cmBBcmAAcmBBcmAA VumVumVumVum

    +++=+++

    BBAABBAA umumumum +=+

    Momento linear tambm se conserva no referencial do centro de massa (como esperado, pois trata-se de um referencial inercial)

  • Energia cintica no referencial do lab: Antes:

    22

    21

    21

    BBAAc vmvmE +=

    Mudana de variveis para velocidade do c.m. e velocidade relativa:

    ==++

    =

    l)referencia do (independe BABArelBA

    BBAAcm

    uuvvvmm

    vmvmV

    Invertendo, obtemos:

    +=

    ++=

    relBA

    AcmB

    relBA

    BcmA

    vmm

    mVv

    vmm

    mVv

  • 22

    21

    21

    BBAAc vmvmE +=

    Substituindo na expresso para a energia cintica:

    22

    21

    21

    +

    +

    +

    += relBA

    AcmBrel

    BA

    BcmAc vmm

    mVmvmm

    mVmE

    Aps alguma lgebra (quadro negro):

    ( ) 2221

    21

    relBA

    BAcmBAc vmm

    mmVmmE+

    ++=

    Definindo: (massa total) e (massa reduzida)

    BA mmM +=

    BA

    BA

    mmmm+

    =

  • Obtemos finalmente:

    22

    21

    21

    relcmc vMVE +=

    Energia cintica do movimento do centro de massa

    Energia cintica do movimento relativo

    Anlise:

    1. Parece com a expresso da energia cintica de duas partculas

    2. No referencial do c.m., temos: Ou seja, a energia cintica depende do referencial, e a energia cintica mnima aquela calculada no referencial do c.m.

    0) c.m. do vel.(21 2 == rel

    cmc vE

  • 3. Antes e depois de uma coliso, a velocidade do c.m. no varia, de modo que a variao da energia cintica : Ou seja, a variao de energia cintica no depende do referencial (como esperado)

    22

    21

    21

    relrelc vvE =

    4. Em uma coliso elstica, temos: Ou seja, o mdulo da velocidade relativa no alterado pela coliso

    relrelrelrelc vvvvE ===0

    21

    21 22

  • 5. A perda mxima de energia cintica (coliso totalmente inelstica), ocorre quando: Desta forma, explica-se porque as partculas ficam grudadas depois de uma coliso totalmente inelstica

    222

    21

    21

    21

    relrelrelc vvvE ==

    0

  • 8.6 Propulso de um foguete Exemplo de movimento de um sistema de massa varivel:

    Instante t

    v

    Massa m

    Instante t + dt

    vdv +

    m +dm dm < 0

    exv

    -dm

    Velocidade de exausto dos gases relativa ao foguete

    http://www.youtube.com/watch?v=sJj1WpbvxM4

  • Conservao do momento linear:

    ( ) ))(()()()(

    exvvdmdvvdmmdttPmvtP

    +++=+=

    ( ) ))(()( exvvdmdvvdmmmv +++=

    dmvvdmdmdvvdmmdvmvmv ex++++=

    Infinitsimo de ordem superior dmvmdv ex=

    dtdmvF

    dtdmv

    dtdvm exex ==

    Fora de propulso do foguete (proporcional taxa e velocidade de exausto)

    Note que, ainda que a fora seja supostamente constante, a acelerao aumenta com o tempo, pois a massa diminui continuamente

  • Clculo da velocidade:

    dmvmdv ex= mdmvdv ex=

    =

    m

    mex

    v

    v mmdvvd

    00

    00 ln m

    mvvv ex=

    mmvvv ex 00 ln+=

    Exemplo: Y&F 8.16

  • Prximas aulas:

    4a. Feira 26/10: Aula de Exerccios (sala A-327)

    6a. Feira 28/10: Feriado

    4a. Feira 02/11: Feriado

    6a. Feira 04/11: Aula Magna (sala A-343) e Testes do Cap. 8

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