7_2- forcas distribuidas - centro de gravidade, centro de massa e centroide
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CentrCentrides de Superfides de Superfcies cies Planas de Formatos UsuaisPlanas de Formatos Usuais
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CentrCentrides de Superfides de Superfcies cies Planas de Formatos UsuaisPlanas de Formatos Usuais
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CentrCentrides de Superfides de Superfcies cies Planas de Formatos UsuaisPlanas de Formatos Usuais
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CentrCentrides de Curvas Planas ides de Curvas Planas de Formatos Usuaisde Formatos Usuais
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Quando se estiver interessado na determinao de propriedades integrais (rea, comprimento e momentos de primeira ordem) de regies que no esto tabeladas, mas identifica-se que a regio em questo formada pela composio de regies elementares cujas propriedades integrais so conhecidas, aplica-se essa composio na avaliao das integrais referentes s propriedades de interesse.
Placas e Fios CompostosPlacas e Fios Compostos
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Placas e Fios CompostosPlacas e Fios Compostos
A
++
=321 RRR
dAA ++=321 RRR
dAdAdA321 RRR
AAA ++=
++
=321 RRR
x ydAQ 321 RxRxRx QQQ... ++==
++
=321 RRR
y xdAQ321 RyRyRy
QQQ... ++==AQx=Y
AQy=X
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Placas e Fios CompostosPlacas e Fios Compostos
ExemploExemplo::
Determine o centride da superfcie composta mostrada.
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Placas e Fios CompostosPlacas e Fios Compostos
ExemploExemplo (continua(continuao):o):
1 composio
1
2
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Placas e Fios CompostosPlacas e Fios Compostos
ExemploExemplo (continua(continuao):o):
1 composio 12
Regio(cm2) (cm) (cm) (cm3) (cm3)
12
Total - -
ixiA iy ixQ iyQ
cm 14150021000 ===
AQ
x y cm 5,16150024750 ===
AQy x
300
1200-1020
22,515
6750
18000-300024000
1500 24750 21000
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Placas e Fios CompostosPlacas e Fios Compostos
ExemploExemplo (continua(continuao):o):
2 composio
1
2
-
12
Placas e Fios CompostosPlacas e Fios Compostos
ExemploExemplo (continua(continuao):o):
2 composio
cm 14150021000 ===
AQ
x y cm 5,16150024750 ===
AQy x
Regio(cm2) (cm) (cm) (cm3) (cm3)
12
Total - -
ixiA iy ixQ iyQ
1800
-30010
-1015
7,527000
-2250180003000
1500 24750 21000
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DeterminaDeterminao de Centro de Centride ide por Integrapor Integraoo
== ydAAyQx == xdAAxQyEm princpio, para quantificao dos momentos de 1 ordem de superfcie (ou momentos estticos de rea), esses so calculados a partir de integrais duplas no domnio representativo da regio estudada, onde se deve escrever o elemento infinitesimal de rea dA de acordo com a convenincia das coordenadas de
descrio da regio tratada.
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db
c
a
DeterminaDeterminao de Centro de Centride ide por Integrapor Integrao Duplao Dupla
= ydAQx
x
y
dxdy
dA=dxdy = dc
b
a
ydxdy
[ ]= dc
ba dyxy ( ) = d
c
ydyab
( )d
c
2
2yab
=
( )( )2
cdab 22 =
( ){ }dyc e bxa|yx, D =
-
db
c
a
DeterminaDeterminao de Centro de Centride ide por Integrapor Integrao Duplao Dupla
= xdAQy
x
y
dxdy
dA=dxdy = dc
b
a
xdxdy
=d
c
b
a
2
dy2x = d
c
22
dy2
ab
d
c
22
2ab
= y
( )( )2
cdab 22 =
( ){ }dyc e bxa|yx, D =
-
ba
DeterminaDeterminao de Centro de Centride ide por Integrapor Integrao Duplao Dupla
= ydAQx
x
y
= a0
ab
0
ydydxx
=a
0
ab
0
2
dx2y
x
= a0
22
2
dxxa2
b
a
0
3
2
2
3x
2ab
=
6ab
2
=
( )
= x
aby0 e ax0|yx, D
dxdy
dA=dxdy
-
ba
DeterminaDeterminao de Centro de Centride ide por Integrapor Integrao Duplao Dupla
= xdAQy
x
y
= a0
ab
0
xdydxx
[ ]= a0
ab
0 dxxyx = a
0
2dxxab
a
0
3
3x
ab
=
3ba
2
=
( )
= x
aby0 e ax0|yx, D
dxdy
dA=dxdy
-
DeterminaDeterminao de Centro de Centride ide por Integrapor Integrao Duplao Dupla
= ydAQx
x
drdsinrb
a
2
6
2 =
[ ] = ba
2
6
2 drcosr
b
a
3r63
= ( )33 ab
63 =
( )
=
2
6 e bra|rsin,rcos D
b
a
30
drrd
dA=rddry
= ba
2drr23
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DeterminaDeterminao de Centro de Centride ide por Integrapor Integrao Duplao Dupla
= xdAQy
x
drdcosrb
a
2
6
2 =
[ ]= ba
2
6
2 drsinr
b
a
3
6r
=6
ab 33 =
( )
=
2
6 e bra|rsin,rcos D
b
a
30
drrd
dA=rddry
= ba
2
dr2r
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DeterminaDeterminao de Centro de Centride ide por Integrapor Integrao de Fatiaso de Fatias
== ydAAyQx== xdAAxQy
A idia desta sistemtica considerar que a regio de interesse formada pela composio de infinitas fatias infinitesimais cujas formas correspondem a regies cujas propriedades geomtricas j so conhecidas. Sendo
= elxdQ= elydQ
assim, esta sistemtica pode ser entendida como uma aplicao do mtodo j apresentado para regies compostas.
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DeterminaDeterminao de Centro de Centride ide por Integrapor Integrao de Fatiaso de Fatias
y
a bdx
elxely
= ydAQx= dAA = eldA =
b
a
y(x)dx
= eleldAy =b
a
2
dx2
y(x)
= xdAQy= eleldAx =
b
a
xy(x)dx
= elxdQ
= elydQx
(x,y(x))
dx)x(ydAel =xxel =
2)x(yyel =