Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Curso de Engenharia Civil

Disciplina: Mecnica dos Slidos 1 Cdigo: Cdigo ECIV018 Professor: Eduardo Nobre Lages

Corpos Rgidos: Sistemas Equivalentes de Foras

Macei/AL

Objetivo Estudo do efeito de sistemas de foras no concorrentes.

Foras Concorrentes e No Concorrentes Foras concorrentes centradas Podem induzir apenas a translaes

Foras no concorrentes e concorrentes no centradas Podem induzir a rotaes combinadas ou no com translaes

Momento de uma Fora em Relao a um PontoUma fora aplicada num corpo cria, em relao a um ponto de referncia, uma tendncia de giro em torno de um eixo perpendicular ao plano formado pelo vetor raio e o vetor fora.

F rA

Momento de uma Fora em Relao a um PontoVamos associar essa tendncia de giro a um vetor momento, na direo e sentido da tendncia de giro.

MO

F rd AO que induz a uma maior ou menor tendncia de rotao produzida por uma fora o chamado brao de alavanca (distncia do ponto de referncia linha de ao da fora).

Momento de uma Fora em Relao a um PontoResumindo:

MO MO

F rd A

MO = r x F MO = F d

Componentes Retangulares do Momento de uma Foray

F F = (Fx; Fy; Fz)B A

rx

r = (rx; ry; rz) i r M A = rx Fx j ry Fy k rz Fz

z

r r r MA = r F

+ -

r M A = (ry Fz rz Fy ; rz Fx rx Fz ; rx Fy ry Fx )

Momento de uma Fora em Relao a um PontoExemplo:Os braos AB e BC de uma luminria esto em um plano vertical que forma um ngulo de 30 com o plano xy. Para reposicionar o feixe de luz, aplicada uma fora de intensidade 8 N em C. Determine o momento dessa fora em relao a O sabendo que AB = 450 mm, BC = 325 mm e a linha CD paralela ao eixo z.

Momento de uma Fora em Relao a um PontoExemplo (continuao):rx = 450 sin 45o + 325 sin 50o cos 30o ry = 150 + 450 cos 45o 325 cos 50o rz = 450 sin 45o + 325 sin 50o sin 30o

(

)

r r r MO = r F5 32

(

)

Fx = 8 cos 45 sin 20 Fy = 8 sin 45o Fz = 8 cos 45o cos 20oo

o

F

mm

45

0m

m

r

Momento de uma Fora em Relao a um PontoExemplo (continuao):

rx = 491,2 mm ry = 259,3 mm rz = 283,6 mm

Fx = 1,935 N Fy = 5,657 N Fz = 5,316 N

F r

i j k r r r M O = r F = 491,2 259,3 283,6 1,935 5,657 5,316r M O = (2982,8; 3160,0; 2277,0) N.mm

Teorema de VarignonO momento gerado por um sistema de foras concorrentes pode ser calculado somando-se os momentos de cada fora ou avaliando-se o momento da fora resultante equivalente.

P S QA

RA

r

r r 0 r r r r r MO = r P + r Q + r S

r

r r r r r MO = r P + Q + S r r r MO = r R0

(

)

Teorema de VarignonExemplo:Uma fora de 800 N atua sobre um suporte, conforme mostra a ilustrao abaixo. Determine o momento da fora em relao ao ponto B.800 N

A160 mm

60

B200 mm

Teorema de VarignonExemplo (continuao):1 estratgia uso direto da definio800 N + M = 800 d

A160 mm

6025 6, 12

d = 256,125 cos 8,6605 mm

d

d = 253,205 mmB

38,660

30

M = 800 253,205 M = 202564 N mm

200 mm

Teorema de VarignonExemplo (continuao):2 estratgia uso do Teorema de Varignon800 sin 60

800 N60 800 cos 60

A160 mm

+ M = 800 cos 60 160 + 800 sin 60 200

M = 202564 N mmB200 mm

Teorema de VarignonExemplo:Um bote est pendurado em dois suportes, um dos quais mostrado na figura. A trao na linha ABAD de 182 N. Determine o momento em relao a C da fora resultante RA exercida pela linha em A.

Teorema de VarignonExemplo (continuao):

TAD TAB TAB rCA

Teorema de VarignonExemplo (continuao): p ( )r TAD = TAD AD r TAB = TAB AB r TAD = (106,4; 137,7; 53,2 ) N r TAB = (0,0; 182,0; 0,0 ) Nr rCA = (0,00; 1 89; 0 73) m 1,89 0,73

AD = (0,585; 0,757; 0,292 ) AB = (0,000; 1,000; 0,000 )TAB = TAD = 182 N r r r r R = TAD + TAB + TAB r R = (106,4; 501,7; 53,2 ) N

i j k r r r M C = rCA R = 0,00 1,89 0,73 106,4 501,7 53,2= (265,7; 77,7; 201,1) N.m

Produto Escalar entre Dois Vetoresr Qy

x

r P

z

r r P Q = PQcos

= Px Q x + Py Q y + Pz Q z

Projeo de um Vetor e Vetor Projeo em uma Direo

r P

= (cos x ; cos y ; cos z ) r POL = P r r P = P OL

( )

Momento de uma Fora em Relao a um EixoF r^ MOL= . ( r x F ) ^

MO

O momento de uma fora em relao a um eixo dado pelo produto triplo envolvendo um vetor unitrio que define o eixo de interesse, um vetor raio que nasce em qualquer ponto no eixo e vai at qualquer ponto ao longo da linha de ao da fora envolvida e esse vetor fora.

Momento de uma Fora em Relao a um EixoF r^ MOL= . ( r x F ) ^

MO

= ( x ; y ; z ) r r = (rx ; ry ; rz ) r F = (Fx ; Fy ; Fz )

x M OL = rx Fx

y ry Fy

z rz Fz

Momento de uma Fora em Relao a um EixoExemplo:O suporte ACD est articulado em A e D e sustentado por um cabo que passa atravs do anel em B e que est preso nos ganchos em G e H. Sabendo que a trao no cabo de 450 N, determine o momento, em relao diagonal AD, da fora aplicada no suporte pelo segmento BH do cabo.

Momento de uma Fora em Relao a um EixoExemplo (continuao): r TBH = 450BH

BH

= =

BH BH DA DA450 N

DA

r rAB = AB

Momento de uma Fora em Relao a um EixoExemplo (continuao): BH = (0,333; 0,667; 0,667 )r TBH = (150; 300; 300 ) N

DA = ( 0,800; 0,000; 0,600)

450 N

r rAB = (0,5; 0,0; 0,0) mr r = DA rAB TBH =

M DA

(

)

0,800 0,000 0,600 0,5 150 0,0 300 0,0 300

M DA = 90,0 N.m

Momento de uma Fora em Relao a um EixoQuem contribui?

r r M OL = r F r r r r M OL = (r1 + r2 ) F1 + F2 r r 0 r r 0 M OL = r1 F1 + r1 F2 + r r 0 r r r2 F1 + r2 F2 r r M OL = r2 F2 Q r r1

(

[

)

( (

(

) )

(

)

( (

)]

) )

Lr F1 r A F2

r r2 r r

r F

O

BinrioDefinio: Sistema particular de duas foras de mesma intensidade, linhas de ao paralelas e sentidos opostos.

F

-F

d

As duas foras no iro transladar o corpo sobre o qual atuam, mas tendero a faz-lo girar.

Momento de um BinrioB

-Fr MO rB rAO A

F

r r r r r r r r r r r r M O = rA F + rB F = rA F rB F = ( rA rB ) F

( )

r r r MO = r F

Momento de um BinrioB

-Fr MA

d

F

r r r M = rFO vetor momento de um binrio independe do ponto de referncia, caracterizando-o como um vetor livre que pode ser representado em qualquer posio. O vetor momento representativo da tendncia de giro perpendicular ao plano das foras (regra da mo direita).

O

M = rFsin

M = Fd

Binrios Equivalentes

Adio de BinriosBinrios so representados por vetores e por sua vez podem ser combinados empregando-se a lei do paralelogramo.

M2A

MR

M1

Adio de Binrios e Binrios EquivalentesExemplo:Duas cavilhas de 60 mm de dimetro so montadas sobre uma placa de ao em A e C e duas barras so presas placa em B e D. Uma corda passada em torno das cavilhas, enquanto as barras exercem foras de 10 N sobre a placa. (a) Determine o binrio resultante que atua sobre a placa quando T = 36 N. (b) Se apenas a corda for usada, em que direo ela dever ser puxada para se criar o mesmo binrio com a mnima trao na corda? Qual o valor da trao mnima? 10 N T A D380 mm

B285 mm

C T

10 N

Adio de Binrios e Binrios EquivalentesExemplo (continuao):(a) T = 36 N A345 mm

10 N B285 mm

D380 mm

C T = 36 N

10 N

+ M = 10 380 36 345 = - 8620 N mm

M = 8620 N mm

Adio de Binrios e Binrios EquivalentesExemplo (continuao):(b) M = 8620 N mm

Sabe-se que a intensidade do momento gerado por um binrio dada pelo produto da intensidade da fora que Tmin forma o binrio pelo brao de alavanca. Como se deseja minimizar a fora, deve-se maximizar o brao de alavanca.

A D

dmax

B C

Tmin

285 mm

380 mm

M = Tmin dmaxdmax = 3802 + 2852 + 60 = 535 mmTmin = 8620 535

Tmin = 16,1 N

Substituio de uma Fora por uma Fora e um BinrioMotivao: Como modificar a linha de ao de uma fora mantendo os mesmos efeitos sobre o corpo em que atua?A

F F

0

M = rOA x F dA

-F

0

F

A

0

F

onde M = F d

Reduo de um Sistema de Foras a uma Fora e um Binrio

A estratgia anterior pode ser aplicada com cada uma das foras do sistema original, tendo como referncia o mesmo ponto O.

F3

Aps isso, combinam-se as foras e os vetores momentos originrios dos binrios, chegando-se ao sistema resultante equivalente com uma nica fora e um nico vetor momento.

R M

Reduo de um Sistema de Foras a uma Fora e um BinrioExemplo: medida que buchas de plstico so inseridas em um recipiente cilndrico de chapa mettica de 75 mm de dimetro, a ferramenta de insero exerce sobre o invlucro as foras mostradas. Cada uma das foras paralela a um dos eixos de coordenadas. Substitua essas foras por um sistema fora-binrio em C.C

A

B

D

Reduo de um Sistema de Foras a uma Fora e um BinrioExemplo (continuao):

r r FA = (0; 22,5; 0 ) N rA = (0; 0; 37,5) mm r r FB = (0; 13,5; 0 ) N rB = (25; 0; 37,5) mm r r rC = (0; 0; 0 ) mm FC = (0; 0; 18) N r r FD = ( 31,5; 0; 0 ) N rD = (0; 37,5; 37,5) mmNo estabelecimento do vetor raio fez-se uso da idia de que possvel encerrar esse vetor em qualquer ponto ao longo da linha de ao da correspondente fora.

Reduo de um Sistema de Foras a uma Fora e um BinrioExemplo (continuao):

r r r r r R = FA + FB + FC + FD r R = ( 31,5; 36; 18) NC

r r r r r r r r r M = rA FA + rB FB + rC FC + rD FD r M = ( 1350,00; 1181,25; 843,75) N.mm

Reduo de um Sistema de Foras a uma Fora e um BinrioExemplo:Trs cabos presos a um disco exercem sobre o disco as foras mostradas. Substitua as trs foras por um sistema fora-binrio equivalente em A.140 N45

B30

C45

20

110 N

A D

20 cm

45

140 N

Reduo de um Sistema de Foras a uma Fora e um BinrioExemplo (continuao):140 N45

B30

C45

20

110 N

99,0 N17,3 cm

C14,1 cm

37,6 N 103,4 N

99,0 N

B 10 cm

14,1 cm

A D

20 cm

A D 99,0 N

20 cm

45

140 N

99,0 N

Ry MA

Rx

Rx = 99,0 + 103,4 - 99,0 = 103,4 N Ry = - 99,0 + 37,6 + 99,0 = 37,6 N M = 99,0 20 103,4 14,1 + 37,6 14,1 + 99,0 10 99,0 17,3 = 329,5 N cm

Reduo de um Sistema de Foras a uma Fora e um BinrioExemplo (continuao):

B

37,6 N

C

103,4 N 329,5 N cm AD

D

Reduo de um Sistema de Foras a uma Fora e um BinrioUma vez que um sistema de foras tenha sido reduzido a uma fora e um binrio em um ponto O, ele pode ser facilmente reduzido a uma fora e um binrio em um outro ponto O.

R MOO

rOOO

A fora resultante permanecer inalterada, a menos da sua linha de ao, mas o novo binrio resultante ser igual soma do anterior mais o momento em relao a O da fora resultante aplicada na posio inicial.

RO

O

r r r r M O = M O + rOO R

MO

Reduo de um Sistema de Foras a um TorsorR MOO Eixo do torsor

R M1O

r r r r M1 = M O R R r r r M 2 = M O M1

(

)

Passo do torsor:

R M1A

M2

p=

M1 R

O

Torsor

r r r r rAO R + M 2 = 0

Reduo de um Sistema de Foras a um TorsorExemplo:Reduzir o sistema fora-binrio apresentado abaixo forma mais simples de representao. Sabe-se que

r R = ( 31,5; 36; 18) N r M = ( 1350,00; 1181,25; 843,75) N.mm

75

mm

r MC

r R

Reduo de um Sistema de Foras a um TorsorExemplo (continuao): r r = R = ( 0,616; 0,704; 0,352) R R r r M = M r r = (183,14; 209,30; 104,65) N.mm1

(

R

)

R

r r r M 2 = M M1 = ( 1533,14; 971,95; 739,10 ) N.mm r rEC = ( x; 37,5 y; 37,5 z )

r r r r rEC R + M 2 = 0

858,14 + 18y 36z = 0 1920,35 + 36x 31,5y = 0 209,30 18x + 31,5z = 0 x = 11,63 + 1,75z y = 47,67 + 2z

Reduo de um Sistema de Foras a um TorsorExemplo (continuao):Torsor

r R = ( 31,5; 36; 18) N r M1 = (183,14; 209,30; 104,65) N.mm = ( 0,616; 0,704; 0,352 )Passando pelo ponto (-11,63; 47,67; 0) mm

Eixo do Torsor

Passo do Torsor

p = 5,81 mm

Casos Particulares de Reduo de um Sistema de ForasForas concorrentes:Quando existe um ponto comum a todas as linhas de ao das foras envolvidas no processo de reduo, essas podem ser somadas diretamente para obter a fora resultante empregando-se, por exemplo, a regra do polgono.

Casos Particulares de Reduo de um Sistema de ForasForas coplanares:Como todas as foras atuam num plano em comum, a fora resultante tambm estar no mesmo plano. Em relao a qualquer novo ponto de reposicionamento do sistema de foras, o binrio introduzido por qualquer fora ter a direo perpendicular ao plano em pauta. Assim sendo, o binrio resultante tambm ser perpendicular a esse plano. Adequadamente o sistema resultante fora-binrio (perpendiculares) poder ser reposicionado para se resumir apenas a uma fora.

M oR d= R

Casos Particulares de Reduo de um Sistema de ForasForas paralelas:Como todas as foras so paralelas, a fora resultante tambm ter a mesma direo. Em relao a qualquer novo ponto de reposicionamento do sistema de foras, o binrio introduzido por qualquer fora ter a direo perpendicular a da fora. Assim

(perpendiculares) poder ser reposicionado para se resumir apenas a uma fora.

sendo, o binrio resultante tambm ser perpendicular a direo das foras. Adequadamente o sistema resultante fora-binrio

Casos Particulares de Reduo de um Sistema de ForasExemplo:Trs crianas esto em p sobre uma balsa de 4,5 x 4,5 m. Sabendo que os pesos das crianas nos pontos A, B e C so de 382,5 N, 270 N e 405 N, respectivamente, determine a intensidade e o ponto de aplicao da resultante dos trs pesos.

Casos Particulares de Reduo de um Sistema de ForasExemplo (continuao):270 N 382,5 N

405 N

Casos Particulares de Reduo de um Sistema de ForasExemplo (continuao):

y1057,5 N 2440,1 N.m

2885,6 N.m

z

x

Casos Particulares de Reduo de um Sistema de ForasExemplo (continuao):

y

1057,5 N

2,307 m 2,729 m

z

x

Sistemas Eqipolentes e Sistemas Equivalentes de ForasDois sistemas de foras so eqipolentes se puderem ser reduzidos ao mesmo sistema fora-binrio em um dado ponto de referncia, ou seja,

r r F = F

e

r r M O = MO

Dois sistemas de foras so equivalentes se forem eqipolentes e provocarem os mesmo efeitos sobre o corpo em que atuam.10 N 5N 5N 10 N 10 N 5N 5N 10 N

Eqipolentes

Equivalentes