Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Curso de Engenharia Civil

Disciplina: Mecnica dos Slidos 1 Cdigo: Cdigo ECIV018 Professor: Eduardo Nobre Lages

Foras Distribudas: Centro de Gravidade, Centro de Massa e Centride

Macei/AL

GeneralidadesQ Quais as formas de interao entre os corpos?Contato diretoF/L2

Gravitacional, centrfuga ou eletromagntica

F/L3

GeneralidadesMudana dos domnios de transmisso de forasPossvel: Possvel quando dimenso(es) caracterstica(s) da regio de transmisso de fora pequena comparada com as dimenses caractersticas do elemento estrutural.Ex: Ex F/L2 F/L e F/L2 F

Necessria: Necessria forada pela considerao de um modelo do elemento estrutural onde dimenso(es) (so) simplificada(s). di ( ) ( ) i lifi d ( )Ex: Ex F/L3 F/L2; F/L3 F/L e F/L2 F/L

GeneralidadesCargas pontuais existem? g pCargas pontuais so abstraes de cargas distribudas em domnios com dimenses caractersticas pequenas comparadas com as do elemento estrutural ao qual esto d d l t t t l l t aplicadas ou de representao de um sistema resultante equivalente de foras distribudas.

ObjetivoConsiderao de aes distribudas nos problemas de equilbrio.

Ao do vento Ao gravitacional

Ao hidrosttica

Centro de Gravidade ou BaricentroO centro de gravidade ou baricentro de um corpo a posio onde pode ser considerada a aplicao d i d d id d li da fora de gravidade resultante equivalente de todo o corpo.

De uma forma geral, quando se considera a no uniformidade de campos gravitacionais, a determinao da fora de gravidade total e do seu ponto de aplicao ficam dependentes da posio e orientao do corpo. Portanto, o centro de gravidade ou baricentro no g pode ser considerada uma caracterstica especfica de um corpo rgido.

Centro de Gravidade ou Baricentro

Centro de Gravidade ou BaricentroPlacas planas

EquivalnciaFora resultante Momento em torno do eixo y M d Momento em torno do eixo x

P = P xP = xP yP = yP

Centro de Gravidade ou BaricentroPlacas planasdP

Equivalncia

P = dP xP = xdP

yP = ydP

Centro de Gravidade ou BaricentroArames planos

EquivalnciaFora resultante Momento em torno do eixo y M d Momento em torno do eixo x

P = P xP = xP yP = yP

Centro de Gravidade ou BaricentroArames planosdP

Equivalncia

P = dP xP = xdP

yP = ydP

Centro de MassaPlacas planasdP

Equivalncia

P = dP xP = xdP

yP = ydP

Considere a placa imersa em um campo gravitacional constante. Com isso, onde neste caso fica definido o centro de massa. Vale o mesmo resultado para os arames planos.

M = dm xM = xdm

yM = ydm

Centride ou Centro GeomtricoPlacas planasdP

Equivalncia

P = dP xP = xdP

yP = ydP

Considere a placa apresentando peso especfico e espessura constantes. Com isso, onde neste caso fica definido o centride da placa.

A = dA

xA = xdA

yA = ydA

Centride ou Centro GeomtricoArames planosdP

Equivalncia

P = dP xP = xdP

yP = ydP

Considere o arame apresentando peso especfico e seo transversal constantes. Com isso, onde neste caso fica definido o centride do arame.

L = dL xL = xdL

yL = ydL

Centro de Gravidade, Centro de Massa e CentrideCampo Gravitacional

Campo Gravitacional CG=CM=C

Campo Gravitacional

C CG=CM Madeira Granito G it

C CM CG

Momentos de Primeira Ordem de Superfcies e Curvasz y

Momento de 1 ordem da superfcie em relao ao eixo x

x

Momento de 1 ordem da superfcie 1 em relao ao eixo y

Q x = ydA = yA

Q y = xdA = xAy

z

Momento de 1 ordem da curva em relao ao eixo x

Momento de 1 ordem da curva em relao ao eixo y l ix

Q x = ydL = yL

Q y = xdL = xL

Momentos de Primeira Ordem de Superfcies e CurvasQ x = yA (ou yL)Q y = xA (ou xL)

As coordenadas do centride de uma superfcie ou curva podem ser obtidas dividindo-se os momentos de primeira ordem pela rea da superfcie ou comprimento da curva, respectivamente curva respectivamente. Se o centride de uma superfcie ou curva estiver localizado sobre um eixo de coordenadas, o momento de primeira ordem em relao a esse eixo ser nulo e vice-versa. vice versa

Momentos de Primeira Ordem de Superfcies e CurvasP B

Regio simtrica e eixo de simetriaP B

Se S uma superfcie ou curva apresenta um eixo de f i t i d simetria, o centride dessa regio est contido sobre esse eixo de simetria.y -x dA x C dA x

Momentos de Primeira Ordem de Superfcies e CurvasUma regio que apresenta dois eixos de simetria, o centride d mesma encontra-se na interseo id da i desses eixos.

C

C

Momentos de Primeira Ordem de Superfcies e Curvasy

Regio com centro de simetria

x dA

y x

C -y dA -x

Se uma superfcie ou curva apresenta um p p cento de simetria, esse corresponde ao centride da regio.

Centrides de Superfcies Planas de Formatos Usuais

Centrides de Superfcies Planas de Formatos Usuais

Centrides de Superfcies Planas de Formatos Usuais

Centrides de Curvas Planas de Formatos Usuais

Placas e Fios CompostosQuando se estiver interessado na determinao de propriedades integrais (rea, comprimento e momentos de primeira ordem) de regies que no esto tabeladas, mas identifica-se que a regio em questo formada pela composio g q p p de regies elementares cujas propriedades integrais so conhecidas, aplica-se essa composio na avaliao das integrais referentes s propriedades de interesse.

Placas e Fios CompostosA

A=

R1 + R 2 + R 3

dA = dA + dA + dA = AR1 R2 R3

R1

+ AR2 + AR3

Qx = Qy =

R1 + R 2 + R 3

ydA = ... = QdA xdA

x R1

+ Qx R2 + Qx R32 3

R1 + R 2 + R 3

= ... = Q y R + Q y R + Q y R1

Qx Y = A Qy X= A

Placas e Fios CompostosExemplo: Exemplo: pDetermine o centride da superfcie composta mostrada mostrada.

Placas e Fios CompostosExemplo (continuao): p ( )1 composio

1 2

Placas e Fios CompostosExemplo (continuao): p ( )1 composio1 2

Regio 1 2 Total

Ai(cm2)

(cm)

xi

(cm)

yi

(cm3)

Qxi

(cm3)

Qyi

300 1200 1500

-10 10 20 -

22,5 22 5 15 -

6750 18000 24750

-3000 3000 24000 21000

21000 x= = = 14 cm A 1500 Qy

y=

Q x 24750 = = 16 ,5 cm A 1500

Placas e Fios CompostosExemplo (continuao): p ( )2 composio

1 2

Placas e Fios CompostosExemplo (continuao): p ( )2 composio1 2

Regio 1 2 Total

Ai(cm2)

(cm)

xi

(cm)

yi

(cm3)

Qxi

(cm3)

Qyi

1800 -300 1500

10 -10 -

15 7,5 -

27000 -2250 24750

18000 3000 21000

21000 x= = = 14 cm A 1500 Qy

y=

Q x 24750 = = 16 ,5 cm A 1500

Determinao de Centride por IntegraoQ x = yA = ydA Q y = xA = xdA

Em princpio, para quantificao dos momentos p p ,p q de 1 ordem de superfcie (ou momentos estticos de rea), esses so calculados a partir de integrais duplas no domnio p ti d int is d pl s n d mni representativo da regio estudada, onde se deve escrever o elemento infinitesimal de rea m f m dA de acordo com a convenincia das coordenadas de descrio da d regio tratada. d

Determinao de Centride por Integrao DuplaD = { (x, y ) | a x b e c y d}y d dy dx c a b x dA=dxdy

Q x = ydA = ydxdyc a

d b

= [xy ] dy = (b a )ydyb a c c

d

d

y = (b a ) 2 c 2

d

=

(b a )(d 2 c 2 )2

Determinao de Centride por Integrao DuplaD = { (x, y ) | a x b e c y d}y d dy dx c a b x dA=dxdy

Q y = xdA = xdxdyc a

d b

b2 a 2 x dy = dy = 2 2 a c c d 2

b

d

b a = y 2 c2 2

d

=

(b

2

a

2

)(d c)

2

Determinao de Centride por Integrao Duplab D = (x, y ) | 0 x a e 0 y x a y dA=dxdy bb x a a

Q x = ydA = ydydx0 0

dy d dx a x

y b2 2 = dx = 2 x dx 2a 2 0 0 0 a 2 a

b x a

b x ab 2 = 2 = 6 2a 3 02 3

a

Determinao de Centride por Integrao Duplab D = (x, y ) | 0 x a e 0 y x a y dA=dxdy bb x a a

Q y = xdA = xdydx0 0

dy d dx a x

= [xy ]0 3

a

b x a 0

b 2 dx = x dx a 0

a

b x a 2b = = 3 a 3 0

a

Determinao de Centride por Integrao Dupla D = (rcos, rsin ) | a r b e 6 y dA=rddr b

2 b 2 a 6

= r 2 sin ddr Q x = ydA dA = r cos dr = 2 a a b

a 30 x

[

]

2 6

b

3 2 r dr 2

3 3 3 3 3 r = = b a 6 6 a

b

(

)

Determinao de Centride por Integrao Dupla D = (rcos, rsin ) | a r b e 6 y dA=rddr b

2 b 2 a 6 2 6

= r 2 cos ddr Q y = xdA dA =a b

a 30 x

[

r r sin dr = dr 2 a2

]

b

2

r b3 a 3 = = 6 6 a3

b

Determinao de Centride por Integrao de FatiasQ x = yA = ydA = dQ el xQ y = xA = xdA = dQ el yA idia desta sistemtica considerar que a regio de interesse formada pela composio de infinitas fatias infinitesimais cujas formas correspondem a regies cujas propriedades geomtricas j so conhecidas. Sendo conhecidas assim, esta sistemtica pode ser entendida como uma aplicao p do mtodo j apresentado para regies compostas.

Determinao de Centride por Integrao de Fatiasy (x,y(x))

A = dA = dA el = y(x)dxa

b

x ela dxel

Q x = ydA = dQ el xy elb x

y(x) 2 ( ) el el dx = y dA = 2 a

b

dA = y( x )dxx el = x y( x ) y el = 2

Q y = xdA = dQ el y

= x ell dA ell = xy(x)dxa

b

Determinao de Centride por Integrao de Fatiasy (r()cos(),r()sin())

x el y el

r ( ) 2 d A = dA = dA el = 2 i

f

Q x = ydA = dQ el xx2

i f

r ( ) dA el = d 2 2 x el = r ( ) cos 3 2 y el = r ( )sin 3

r () 3 sin d = y el dA el = 3 i

f

Q y = xdA = dQ el yf

r ( ) el l el l cos d = x dA = 3 i3

Determinao de Centride por IntegraoExemplo: Exemplo: pDetermine por integrao o centride da superfcie mostrada em termos de a e h.

a

h k= 3 a

hy( x ) = kx 3

Determinao de Centride por IntegraoExemplo (continuao): p ( )Por integrao dupla

A=a

a

0 h x3 a3

dydx d dh

h

a dy dx h

= [y] h 3 dx0 a3 x

h 3 = h 3 x dx a 0

a

h y( x ) = 3 x 3 ah D = (x, y ) | 0 x a e 3 x 3 y h a

h x = hx 3 a 4 0 3 = ah 44

a

Determinao de Centride por IntegraoExemplo (continuao): p ( )Por integrao dupla (cont.)

Qx = a

a

0 h x3 a3

ydydx2 h

h

a dy dx h

y = dx 2 h x3 0 3a

1 2 h2 6 = h 6 x dx 2 a 0a

h y( x ) = 3 x 3 ah D = (x, y ) | 0 x a e 3 x 3 y h a

1 2 h x = h x 6 2 a 7 0 3 2 = ah 72 7

a

Determinao de Centride por IntegraoExemplo (continuao): p ( )Por integrao dupla (cont.)

Qy = a

a

0 h x3 a3

d d xdydxh

h

a dy dx h

= [xy] h 3 dx0 a a3 x

h 3 = x h 3 x dx a 0

h y( x ) = 3 x 3 ah D = (x, y ) | 0 x a e 3 x 3 y h a

x h x = h 3 2 a 5 0 3 2 = a h 102 5

a

Determinao de Centride por IntegraoExemplo (continuao): p ( )Por integrao de fatias

a hy( x ) = h 3 x 3 a

h 3 A = h 3 x dx a 0 h x = hx 3 a 4 0 3 = ah 44 a

a

h D = (x, y ) | 0 x a e 3 x 3 y h a

Determinao de Centride por IntegraoExemplo (continuao): p ( )Por integrao de fatias (cont.)

a hy( x ) = h 3 x 3 a

1 2 h2 6 Q x = h 6 x dx a 2 0a

1 2 h x = h x 6 2 a 7 0 3 2 = ah 72 7

a

h D = (x, y ) | 0 x a e 3 x 3 y h a

Determinao de Centride por IntegraoExemplo (continuao): p ( )Por integrao de fatias (cont.)

a hy( x ) = h 3 x 3 a

h 3 Q y = x h 3 x dx a 0 x h x = h 3 2 a 5 0 3 2 = a h 102 5 a

a

h D = (x, y ) | 0 x a e 3 x 3 y h a

Determinao de Centride por IntegraoExemplo (continuao): p ( )

ayCy( x ) =

2 x= = a A 5

Qy

hh 3 x 3 a

y=

Qx 4 = h A 7

x

Determinao de Centride por IntegraoExemplo (continuao): p ( )Por integrao de fatiasComo tratar o problema com fatias horizontais?

a h y x ( y) = a h h y( x ) = 3 x 3 a1 3

y 3 A = a dy h 0 y 3 Q x = ya dy h 0 1 y Q y = a 2 h 0 h 1 3 h 1

h

1

h

1 y 3 D = (x, y ) | 0 y h e 0 x a h

dy

2

Teoremas de Pappus-Guldin PappusClculo de rea de superfcie de revoluo p e volume de slido de revoluo.

Formulados inicialmente pelo gemetra grego Pappus (sculo III d.C.)

Restabelecidos posteriormente p pelo matemtico suo Guldinus, ou Guldin (1577-1643).

Teoremas de Pappus-Guldin PappusSuperfcie de revoluoCurva geratriz

y

Curva geratriz

y

Eixo de revoluo

z

xSuperfcie de revoluo

x

Eixo de revoluo

Teoremas de Pappus-Guldin Pappus1 Teorema de Pappus-GuldinA rea de uma superfcie de revoluo dada pelo produto do comprimento da curva geratriz pela distncia percorrida pelo centride da mesma durante a gerao da superfcie em pauta.L C

yx

d

A = 2 ydL

A = dA

dA = 2ydL dL

A = 2ydL dL

A = 2yL

A = dL

Teoremas de Pappus-Guldin PappusSlido de revoluoSuperfcie geratriz Superfcie geratriz

y

y

z

xEixo de revoluo

xSlido de revoluo Eixo de revoluo

Teoremas de Pappus-Guldin Pappus2 Teorema de Pappus-GuldinO volume de um slido de revoluo dado pelo produto da rea da superfcie geratriz pela distncia percorrida pelo centride da mesma durante a gerao do slido em pauta.

C A

yx

d

V = 2 ydA

V = dV

dV = 2ydA dA

V = 2ydA dA

V = 2yA

V = dA

Teoremas de Pappus-Guldin PappusExemplo: Exemplo: pDetermine o volume e a rea superficial do slido mostrado mostrado.

Teoremas de Pappus-Guldin PappusExemplo (continuao): p ( )Clculo do volume pelo 2 Teorema de Pappus-Guldin20mm 20mm B D 50mm E

C

Eixo de revoluoA 20mm

c

60mm

Superfcie geratriz

V SR = cA SG = QSG ER

Teoremas de Pappus-Guldin PappusExemplo (continuao): p ( )Clculo do volume pelo 2 Teorema de Pappus-Guldin (cont.)20mm 20mm B D 50mm ED E B E B D

C60mm m

c

=A SG A 1

_A 2

A 20mm

QSG = Q1 Q 2 ER ER ERQSG = ER 70 60 70 20 60 20 + 20 + 20 2 2 3 3

QSG = 75000 mm 3 ER

V SR = 75000 mm 3

Teoremas de Pappus-Guldin PappusExemplo (continuao): p ( )Clculo da rea pelo 1 Teorema de Pappus-Guldin20mm 20mm B D 50mm E

C

Eixo de revoluoA 20mm

c

60mm

Curva geratriz

A S = A SR + 2A ADE = cLCG + 2A ADE = Q CG + 2A ADE ER

Teoremas de Pappus-Guldin PappusExemplo (continuao): p ( )Clculo da rea pelo 1 Teorema de Pappus-Guldin (cont.)20mm 20mm B D 50mm ED E D 3 2 A CG A A D 1 E E

C60mm m

c

=

A 20mm

Q CG = Q1 + Q 2 + Q 3 ER ER ER ERQ CG = 50 ER 40 + 90 90 + 20 40 + 20 + 70 2 + 60 2 + 20 2 + 60 2 2 2 2

Q CG = 10218,1 mm 2 ER

A S = 10218,1 + 50 60 = 35101,2 mm 2