Laboratório de Física II: Engenhocas

Centro de Massa

Caroline Maritan Costa

Ellen Chiochetti da Silva

Eloisa Dal Ri Paz

Junho/2015

1. Introdução

Todo corpo que não pode ser descrito como um ponto, recebe o nome

de corpo extenso. Esse corpo pode ser considerado como um sistema de

partículas, cada uma com a sua massa, sendo que, a resultante total das

massas das partículas é a massa total do corpo.[1]

Seja CM o ponto em que podemos considerar concentrada toda a massa

do corpo, este ponto será chamado Centro de Massa do corpo. Para corpos

simétricos, que apresentam distribuição uniforme de massa, o centro de massa

é o próprio centro geométrico do sistema. Como no caso de uma esfera

homogênea, ou de um cubo perfeito. Para os demais casos, o cálculo do centro

de massa é feito através da média aritmética ponderada das distâncias de cada

ponto do sistema.[1]

Um fato interessante é que o centro de massa pode estar fora do corpo.

Assim sendo, a existência do centro de massa não se limita a casos de objetos

rígidos, ele existe também para sistemas formados por corpos separados. O

Sistema Solar, por exemplo, tem um centro de massa e é em torno desse

centro de massa que giram os planetas, e não em torno do centro do Sol,

embora o centro de massa do Sistema Solar esteja bem próximo do centro do

Sol.[2]

Conhecer o centro de massa é importante até mesmo para a nossa

própria saúde: o centro de massa do corpo humano fica na altura da coluna,

por isso, ao levantar objetos pesados, recomenda-se a flexão dos joelhos, o

que causa uma redistribuição da nossa massa em virtude da mudança do

centro de massa do nosso corpo, não gerando, assim, danos à coluna.[3]

O Impulso é a grandeza física que relaciona a força que atua sobre um

corpo e o intervalo de tempo que ela atua sobre o mesmo. O produto dessa

força constante pelo intervalo de tempo de aplicação da mesma é chamado de

Impulso, e é representado pela letra I. O impulso é uma grandeza vetorial,

possui módulo, direção e sentido. Em módulo, a equação que determina o

impulso pode ser escrita da seguinte equação (Equação 1)[4]:

I = F. Δt Equação 1

Imagine um corpo de massa m, que num determinado instante t possua

velocidade V, por definição a quantidade de movimento é o produto entre essas

duas grandezas, massa e velocidade. Como a velocidade é uma grandeza

vetorial, por consequência a quantidade de movimento também é, e em módulo

ela pode ser vista da seguinte equação (Equação 2)[4]:

Q = m. V Equação 2

O teorema do impulso – quantidade de movimento diz que o impulso da

resultante das forças que atuam sobre um corpo, num determinado intervalo de

tempo, é igual à variação da quantidade de movimento do corpo no mesmo

intervalo de tempo, matematicamente fica (Equação 3)[4]:

I = Qf - Qi Equação 3

Onde Qf é a quantidade de movimento final e Qi é a quantidade de movimento

inicial.[4].

Para entender a conservação de quantidade de movimento, deve-se

considerar um sistema isolado. Por um sistema isolado, entende-se aquele

sistema em que a ação das forças externas é nula. Como as forças externas

são as forças que os agentes externos aplicam sobre um sistema, para um

sistema isolado, não devem atuar forças externas ou, caso atuem, sua

resultante deve ser nula. [5]

Assim, se o sistema é isolado, o impulso , que depende da ação de forças

externas, tambem será nulo. Pelo Teorema do Impulso, temos (Equação 4 e 5):

Equação 4 e 5

Como o impulso é nulo ( =0), a expressão acima fica:

Como os instantes t1 e t2 são instantes quaisquer, nota-se que o

Teorema do Impulso aplicado em um sistema isolado, a quantidade de

movimento se conserva, isso significa que, quantidade de movimento inicial ,

em um instante t1, é igual à quantidade de movimento final , em um instante

t2. Assim fica enunciado o Princípio da Quantidade de Movimento: se a

resultante das forças externas que atuam no sistema for nula, a quantidade de

movimento é conservada, ou seja, em sistema isolado, a quantidade de

movimento é constante.[5]

2. Objetivos

O objetivo do experimento foi provar que, o centro de massa não muda

de posição se o sistema for considerado isolado, ou seja, a quantidade de

movimento inicial é igual a quantidade de movimento final.

3. Materiais e Métodos

3.1. Materiais

Placa de isopor (27,0 X 14,0 X 3,0 cm)

Bacia de água

Régua (±0,05cm)

Caixa de fósforo (11,1 X 6,4 X 1,8 cm)

Arroz

Água

Cola quente

3.2. Métodos

Primeiramente, foi realizada a montagem de todos os objetos realizados no

experimento. Foi recortada uma placa de isopor de 27,0 X 14,0 X 3,0 cm que,

logo em seguida, foi revestida com papel EVA visando diminuir a absorção de

água pelo isopor.

Uma caixa de fósforo de dimensões 11,1 X 6,4 X 1,8 cm foi preenchida com

um arroz com o objetivo de ocupar toda a parte interna da caixa para o futuro

cálculo do centro de massa do corpo.

Para a realização do experimento, foram adicionados à bacia de água todos

os objetos já descritos, além de um volume de aproximadamente metade da

caixa de água. A placa de isopor deve ser posicionada próxima ao centro e, a

caixa de fósforo próxima da uma das extremidades da placa (Figura 1). Após o

sistema permanecer parado, a caixa de fósforo deve ser levada a outra

extremidade, observando a mudança no sistema.

Deve-se ressaltar a importância das condições para a sua realização.

Quanto menor a presença de correntes de ar, movimentos próximos à bacia de

água ou qualquer outro fator que influencie a movimentação da água, melhor

será o resultado obtido.

Figura 1 – Posicionamento dos corpos

4. Resultados

Inicialmente foi realizada a localização do centro de massa (CM) de cada

corpo separadamente. A placa de isopor foi revestida com papel EVA e, foi

adicionado arroz à caixa de fósforo, na medida em que a caixa ficasse cheia.

Foram realizadas três medidas das dimensões da prancha de isopor (Figura 2)

e da caixa de fósforo (Figura 3). Tais medidas foram realizadas com o auxílio

da régua e estão representadas nas Tabelas 1 e 2.

Tabela 1. Dimensões referentes a prancha de isopor.

Espessura (±0,05cm) Comprimento(±0,05cm) Altura(±0,05cm)

3,20 27,50 14,20

3,20 27,40 13,90

3,30 27,40 14,10

E = (3,23 ± 0,05)cm C = (27,40 ± 0,05)cm A = (14,0 ± 0,1)cm

Tabela 2. Dimensões referentes a caixa de fósforo.

Espessura (±0,05cm) Comprimento(±0,05cm) Altura(±0,05cm)

2,00 11,00 6,40

1,90 11,10 6,30

2,10 11,10 6,30

E = (2,0 ± 0,1)cm C = (11,06±0,05)cm A = (6,33±0,05)cm

Figura 2: Figura 3:

Ainda para o cálculo do centro de massa dos corpos, foi realizada a

pesagem de ambos, cujos resultados encontram-se nas Tabelas 3 e 4.

Tabela 3. Massa da placa de isopor.

Sendo assim, o sistema apresenta a massa total de 141,28 e para o cálculo da

propagação do erro dessa massa total, foi usada a Equação 5:

2 = 2 + ²

Obteve-se o resultado de = 0,014.

Para o cálculo do centro de massa da placa de isopor, pode-se observar no

Esquema 1 que foi adotado um dos cantos da placa como a origem do plano

cartesiano. Os cálculos consistiram em encontrar o ponto médio em cada um

dos eixos e determinar o local onde todos se encontram.

Esquema 1. Localização do Centro de Massa da placa de isopor em

centímetros.

Massa (± 0 01 , g)

90 , 38

90 , 38

90 , 38

M = ( 90 , 38 ± , 01 0 g )

Tabela 4. Massa da caixa de fósforo preenchida com arroz.

Massa (± 01 , 0 g)

102,40

102,39

102,37

M = ( 102,38 ± 0 , 01 ) g

CMx = 27,40/2 = 13,52 cm

CMy= 3,23/2 = 1,61 cm

CMz = 14,06/2 = 7,03 cm

Portanto, as coordenadas da localização do centro de massa da placa

de isopor é : (13,52; 1,61; 7,03).

Para o cálculo do centro de massa da caixa de fósforo, pode-se observar no

Esquema 2 que também foi adotado um dos cantos da caixa como a origem do

plano cartesiano. Os cálculos consistiram em encontrar o ponto médio em cada

um dos eixos e determinar o local onde todos se encontram.

Esquema 2. Localização do Centro de Massa da caixa de fósforo em

centímetros.

CMx = 11,06/2 = 5,53 cm.

CMy = 2,0/2 = 1,0 cm.

CMz = 6,33/2 = 3,16 cm.

Portanto, as coordenadas do centro de massa da caixa de isopor é:

(5,53;1,0;3,16).

Para o cálculo do centro de massa do sistema (placa de isopor + caixa de

fósforo), foi utilizado o canto inferior da placa de isopor como a origem do

sistema cartesiano. A caixa de fósforo foi posicionada a uma distância de 3,0

cm da origem em relação ao eixo z. No Esquema 3 o centro de massa do

sistema.

Esquema 3. Localização do Centro de Massa do sistema em centímetros.

Para o cálculo do centro de massa do sistema foi utilizada a Equação 6

e os seguintes valores :

Equação 6: Cálculo do centro de massa do sistema em relação ao eixo

x.

A partir desta equação calculou-se as três componentes do centro de

massa do sistema, repetindo-a para as posições x, y e z. Os valores

encontrados, referentes ao centro de massa do sistema foram: (7,72; 1,17;

4,19) cm.

A partir desta mesma fórmula, foi então possível calcular o quanto o

barco se movimentou para conservar o centro de massa. Usando a Equação 7.

Equação 7:Cálculo da distância percorrida.

Onde, L é o comprimento da placa, d é a distância percorrida pela placa

a partir da origem, Mc é a massa do corpo e Mp é a massa da placa. O

resultado obtido foi que a distância percorrida pela placa foi de 15,85cm.

5. Discussão

A partir do experimento, desde sua construção até sua execução,

preocupouse a todo momento com o centro de massa dos corpos. Pudemos

perceber, ao colocá-lo em prática, que realmente, o centro de massa do

sistema se conserva, movimentando todo o sistema. Porém, para se conseguir

observar resultados, foi preciso vários teste, para que se conseguisse a relação

certa entre as massas dos dois corpos envolvidos.

6. Bibliografia

1 - Só Física; Disponível em:

<http://www.sofisica.com.br/conteudos/Mecanica/EstaticaeHidrostatica/estdecor

po.php> ; Acesso em 26 Maio 2015.

2 -Centro de Massa; Disponível em:

<http://www.mundoeducacao.com/fisica/centro-massa.htm>; Acesso em 26

Maio 2015.

3 - MENDES, Mariane; Centro de Massa; Disponível em: <

http://www.brasilescola.com/fisica/centro-massa.htm > ; Acesso em 26 Maio

2015.

4 - SILVA, Marco Aurélio; Impulso e Quantidade de Movimento; Disponível

em: <http://www.brasilescola.com/fisica/impulso-e-quantidade-de-

movimento.htm> ; Acesso em 26 Maio 2015.

5 - FERREIRA, Nathan; Princípio da Conservação da Quantidade de

Movimento; Disponível em :<

http://www.alunosonline.com.br/fisica/principioconservacao-quantidade-

movimento.html>; Acesso em 28 Maio 2015.