4-calculo-proporicional

CÁLCULO PROPOSICIONAL

1. Proposições

Uma proposição é uma sentença declarativa que pode ser verdade ou falsa, mas não ambas. As proposições podem ser divididas em proposições simples e compostas.

1.1. Proposições simples a) Pedro é aluno do Curso de Informática. b) A terra gira em torno do sol. c) O leite é branco. d) 7 é quadrado perfeito.

1.2. Proposições compostas

e) Cabral descobriu o Brasil e Colombo a América.f) Bruno cursa Informática e Mariel Estatística.g) O triângulo ABC é isóscele ou retângulo.h) Se Pedro é estudioso, então será aprovado.i) ABC é triângulo eqüilátero se, e somente se, é eqüiângulo.

1.3. Princípio da não contradição

Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.São verdadeiras (a), (b) e (c) e falsa (d).

1.4. Princípio do terceiro excluído.

Toda proposição ou é verdadeira ou falsa. Sempre ocorre esses casos e nunca um terceiro.

2. Operações lógicas

O cálculo das proposições consiste nas operações fundamentais que partem de proposições simples para se chegar às proposições compostas. As operações que podem ser efetuadas são: A negação, a conjunção, a disjunção, a condicional e a bicondicional.

2.1. Conectivos O Cálculo das proposições destaca cinco operadores lógicos, a saber: ...não...(denota-se “ ”) ... e... (denota-se “ ”) ...ou...(denota-se “ ”) ...se,... então... (denota-se “ ”) ...se, e somente se ... (denota-se “ ”)

O primeiro operador “ ” é dito unário, pelo fato de operar sobre um só operando; os demais são operadores binários, já que operam sobre dois operandos.

2.2. Negação

É a mais simples operação-verdade. Se a proposição A é verdadeira, então A é falsa, se A é falsa, então A é verdadeira.

A: 2/3 é um número racional. (verdade) A: 2/3 não é um número racional. (falso) ou A: 2/3 é um número irracional. (falso)

Tabela verdade para a negação

2.3. Conjunção ( )

Essa operação-verdade corresponde ao termo “e” e seu símbolo é “ ”. Por meio da conjunção é possível, dadas duas proposições simples A e B obter-se outra composta A B que será verdadeira somente quando A e B forem verdadeiras.

A: Recife é a capital de Pernambuco.B: Manaus é a capital do Amazonas.

A B: Recife é a capital de Pernambuco e Manaus é a capital do Amazonas.

A B A B A B A BV V V 1 1 1V F F 1 0 0F V F 0 1 0F F F 0 0 0

Exemplo 01. José de Alencar escreveu o Guarani e Machado de Assis Capitu. ( V V = V)5+2=7 e 3> 5. ( V F = F )

> 4 e 7 é número primo. ( F V = F ) > 4 e 8 é número ímpar. ( F F = F )

A A A AV F 1 0F V 0 1

2.4. Disjunção ( )

Essa operação-verdade corresponde ao termo “ou” e seu símbolo é “ ”. Por meio da disjunção é possível, dadas duas proposições simples A e B obter-se outra composta A

B que será falsa somente quando A e B forem falsas.

A: Recife é a capital de Pernambuco.B: Manaus é a capital do Amazonas.

A B: Recife é a capital de Pernambuco ou Manaus é a capital do Amazonas.

A B A B A B A BV V V 1 1 1V F V 1 0 1F V V 0 1 1F F F 0 0 0

Exemplo 02.

2+2=4 ou 5>3 ( V V = V) 4 ou 7 é número primo. ( F V =V) 4 ou 8 é número primo. ( F F =F )

2.5. Condicional ( )

Se chover, então irei ao cinema.Se estudar, então serei aprovado. Seja A: estudar B: serei aprovado

A partir de duas proposições A e B, construímos uma nova proposição A B (se A, então B) ou A implica B.

A tabela verdade é dada por:

A B A B A B A BV V V 1 1 1V F F 1 0 0F V V 0 1 1F F V 0 0 1

Observação 01: Da teoria dos conjuntos sabemos que ou , assim, se

, então isto é, sempre é verdade que se está em , então

está em Logo, na tabela é sempre verdadeira.

A B A B A B BV V V V V VV F F F V FF V F F V VF F F F V F

Observando as três últimas colunas podemos escrever: V V = VF F = VF V = V

Observação 02: Uma proposição A B é sempre Verdadeira (V) desde que A seja Falsa (F),

independente do valor de B.

Observação 03: Uma proposição A B é Verdadeira sempre que B é verdadeira.

Exemplo 03.1) Se 2 + 2 =5, então 1 1 (verdade)2) Se 2 + 2 =5, então 1 = 1 (verdade)3) Se o Papa joga no Corinthians, então o Palmeiras será campeão.3) Se o Papa joga no Corinthians, então todos os alunos de Matemática Discreta

serão aprovados.

Observação 04: As proposições no Exemplo 03 são trivialmente verdadeiras pois, A : 2 + 2 =5 ou

A: O Papa joga no Corinthians,são falsas.

2.5. Bicondicional ( )

Encontramos com freqüência a forma:

“A se, e somente se, B ” que é definida por (A B) ( B A)

A B A B B A (A B) ( B A)V V V V VV F F V FF V V F FF F V V V

Segue, portanto, a tabela verdade para a bicondicional.

A B A B A B A BV V V 1 1 1V F F 1 0 0F V F 0 1 0F F V 0 0 1

Exercícios de aplicação 01:

Escreva em linguagem corrente.

1) A: Está frio. B: Está chovendo.

a) A:

b) A B:

c) A B:

d) A B;

e) A B:

f) A B:

g) A B:

2) Analogamente: A: Pedro é aluno de ADS

B: ADS é Curso da Fatec SP

3) Escreva em linguagem simbólica as sentenças.

p: Carolina é alta.

q: Carolina é elegante.

a) Carolina é alta e elegante.

b) Carolina é alta mas não é elegante.

c) É falso, que Carolina é baixa ou elegante.

d) Carolina não é nem baixa nem elegante.

e) Carolina é alta, ou ela é baixa e elegante.

4) Dar o valor lógico das proposições.

a) Porto Alegre é a capital do Estado do Paraná ou 10 é par. ( )

b) Se 3 > , então é racional. ( )

c) Se 3 > , então o Corinthians será campeão Paulista de 2009. ( )

d) Se , então . ( )

e) 2+3=5 se, e somente se ( )

f) se, e somente se 2+2+2=6. ( )

2.7. Formas sentenciais

Quando estudamos as expressões numéricas , observamos expressões com as

operações de adição, subtração, multiplicação e divisão organizadas com parênteses,

colchetes e chaves. Da mesma forma ocorrem as formas sentenciais usando

.

2.8. Tabelas-verdade

Para cada forma sentencial podemos montar uma tabela-verdade.

Exemplo 04.Construir a tabela verdade relativa à forma sentencial

A B C

V V V V F V F F F

V V F V F F F V V

V F V F F V V F F

V F F F F F V V F

F V V V V V F F F

F V F V V V V V V

F F V V V V F F F

F F F V V V F V F

Exemplo 05.Construir a tabela verdade relativa à forma sentencial

A B C

V V V V V V V

V V F V F V F

V F V F V V V

V F F F V V F

F V V V V V V

F V F V F V V

F F V V V V V

F F F V V V V

Exemplo 06.Tabela-verdade simplificada.

V V V V F V V V F F V F F F F V V V V V V F V F V V V F


Construir a tabela verdade relativa à forma sentencial (Simplificada ou não).

1)

2)

3)

4)

5)

6)

2.9. Tautologia –Contradição

Uma forma sentencial diz-se tautologia, se assumir valor V para quaisquer que

sejam os valores atribuídos às variáveis e se assumir o valor F diremos que é uma

contradição.

Exemplo 07. A forma sentencial que segue é uma tautologia.

V V V V F V V V F F V F F F F V V V V V V F V F V V V F

Exemplo 08. A forma sentencial que segue é uma contradição.

V V V F F F F V V F F F F V F V V F V F F F F F F V V V

Exemplo 09.

Se a forma sentencial é falsa,

quais valores possíveis de verdade, que podem assumir A, B e C?

____________________0___________ 1ª conclusão ____1______________________ 0_______2ª conclusão __________1____0_________1_____0___ 3ª conclusão_________0_________________________ 4ª conclusão _0__________0_____________________ 5ª conclusão

Assim, A=0, B=1 e C=0Exercícios de aplicação 02: As formas sentencias que seguem são falsas, quais valores possíveis de verdade, que

podem assumir A, B, C e D?

1)

2)

3)

4)

5) Se a forma sentencial é falsa, e a

sentença é verdadeira. Quais os valores possíveis de verdade, que podem assumir A, B e C?

Respostas dos exercícios de aplicação 02:1) A=B=1 e C=D=0 2) A=B=1 e C=0 3)A=B=C=D=E=14) A=B=0e C=1 5) A=C=0 e B=1

2.10. Implicações e equivalências lógicas (~)

Dizemos que uma forma sentencial X implica logicamente uma forma sentencial Y, se a forma sentencial X Y for uma tautologia.

Exemplo 10.

Seja X: e Y: , mostremos que X ~ Y isto é

V V V V F V VV F F V F F FF V V V V V VF F V V V V F

2.11. Equivalências lógicas Fundamentais

: Lei da dupla negação:

V F VF V F

Exemplo 11. Não entendi nada desta explicação ~ entendi tudo.: Entendi essa explicação.

: Não entendi essa explicação.

: Não entendi nada essa explicação ~ : entendi tudo.

: Lei da idempotência:

V V V VF F V F

V V V VF F V F

: Lei da Comutatividade:

a)

V V V V V V VV F F V F F VF F V V V F FF F F V F F F

b)

V V V V V V VV F F V F F VF F V V V F FF F F V F F F

: Leis da associatividade:

a)

b)

: Leis de De Morgan

a)

b)

Demonstração: Usaremos 1 para V e 0 para F

a)

0 1 1 1 1 0 0 00 1 1 0 1 0 0 10 0 1 1 1 1 0 01 0 0 0 1 1 1 1

b)

0 1 1 1 1 0 0 00 1 1 0 1 0 0 10 0 1 1 1 1 0 01 0 0 0 1 1 1 1

Mostre as propriedades que seguem usando as tabelas- verdade.

: Leis distributivas ou de fatoração

a)

b)

: Leis de absorção

1)

2)

3)

4)

5) Se T é tautologia e F uma contradição, então

a) b)

c) d)

Mostremos a)

T

1 1 1 1 11 1 1 1 11 0 0 1 01 0 0 1 0

Mostre as propriedades b) c) d) usando as tabelas- verdade.

: Contrapositivo.

1 1 1 1 0 1 01 0 0 1 1 0 00 1 1 1 0 1 10 1 0 1 1 1 1

: Eliminação da condicional

a)

1 1 1 1 0 1 11 0 0 1 0 0 00 1 1 1 1 1 10 1 0 1 1 1 1

b)

1 1 1 1 1 0 01 0 0 1 0 1 10 1 1 1 1 0 0

0 1 0 1 1 0 1

: Eliminação da Bicondicional

a)

1 1 1 1 1 1 01 0 0 1 0 0 00 0 1 1 0 0 00 1 0 1 0 1 1

b)

1 1 1 1 1 1 11 0 0 1 0 0 10 0 1 1 1 0 00 1 0 1 1 1 1


Nota: Nos exercícios que seguem use as leis apresentadas, indicando qual esta sendo usada.

1)A forma sentencial é logicamente

equivalente a A) b) c) d)

2)A forma sentencial é logicamente

equivalente a

a) b) c)

3)A forma sentencial é

logicamente equivalente a

a) b) c) d)

4) A forma sentencial é logicamente

equivalente a

a) b) c)

5) A forma sentencial

é logicamente equivalente a

a) b) c)

Respostas dos exercícios de aplicação 03:1)c 2) a 3) d 4) c 5)a

Observação:

Nos exercícios que seguem é importante conhecer a leitura das proposições e sua simbologia. Assim

: lê-se: Se , então

somente se

é condição suficiente para .

é condição necessária para .

: é condição necessária é suficiente para .

Exemplo 12.

Indique em quais casos temos c.s, c.n e c.n.s.

a) A: n é divisível por 6 B: n número par (c.s)b) A: x < 0 e y < 0 B: x .y > 0 (c.s)c) A: x é ímpar B: é impar (c.n.s)

d) A: x = 2 B: =4 (c.s)

e) A: =4 B: x = 2 (c.n)

Exemplo 13.

Dar a negação em linguagem corrente das proposições.

As rosas são amarelas e os cravos brancos.Solução:

Definindo: A: As rosas são amarelas.B: Os cravos brancos. Assim, podemos escrever

Negação de é ~ (Leis de De Morgan)

As rosas não são amarelas ou os cravos não são brancos.

Exemplo 14.Dar a negação em linguagem corrente das proposições.

Se estiver cansado ou com fome, não consigo estudar.Definindo:

C: estiver cansadoF: com fomeE: consigo estudar

E: não consigo estudar.

Assim, podemos escrever: , negando:

~ .

Portanto, Mesmo cansado ou com fome eu estudo. Estando cansado ou com fome consigo estudar.

Exemplo 15.Dar a negação em linguagem corrente das proposições.

A temperatura diminuirá somente se chover ou nevar.Definindo:

D: A temperatura diminuiráC: chover

N: nevar

Assim, podemos escrever: , negando

~ ~ ~

A temperatura diminuirá mesmo não chovendo e não nevando.Não choverá e não nevará e mesmo assim a temperatura diminuirá.


Dar a negação em linguagem corrente das proposições.

1) Fará sol se, e somente se não chover.2) Bruno é aluno MD ou pesquisador.3) Existe menina feia.4)Todo menino gosta de futebol.5) Nenhuma menina gosta do Corinthians.6) Tudo que é bom engorda.7)Todos os homens são mortais.

8)Thaís é inteligente e estuda.9)O Corinthians ganhará o campeonato brasileiro se o juiz roubar ou os santos

ajudarem.

Respostas dos exercícios de aplicação 04:

1) Fará sol se, e somente se chover.2) Não é aluno Bruno MD e não é pesquisador.3) Todas as meninas não são feias.4) Existe menino e que não gosta de futebol.5) Existem meninas que não gostam do Corinthians.6) Nem Tudo que é bom engorda.( Existe coisa boa e que não engorda)7) Existem homens que não são mortais.8) Thaís não é inteligente ou não estuda.9) Mesmo o juiz roubando ou os santos ajudando, o Corinthians não ganhará o

campeonato brasileiro. 2.11. Argumentos

Sejam e proposições. Denomina-se argumento a toda afirmação

de que uma dada seqüência finita de proposições acarreta uma proposição

final .

denominam-se premissas, e conclusão. Lê-se

acarreta ou

decorre de .

Um argumento que consiste em duas premissas e uma conclusão, denomina-se silogismo.

Um argumento é valido se, e somente se a condicional

é uma tautologia.

Exemplo 16.

Verifique em cada um dos casos abaixo, se a argumentação é válida ou é uma falácia .

1) Sejam as Premissas:i) Se um homem é feliz, ele não é solteiro.

ii) Se um homem não é feliz, ele morre cedo.Conclusão:

Homens solteiros morrem cedo.

Chamando

F: Homem é felizS: SolteiroC: morre Cedo

Podemos escrever a forma simbólica (argumentação) como:

______1________1________1___________ 1_______ 1ª conclusão___________1__________________________________2ª conclusão__________0___________________________________3ª conclusão___0__________________0_______________________4ª conclusão____________________1________1______________1_ 5ª conclusão__________________________________1______1____final

Portanto, a argumentação é verdadeira.

2) Sejam as Premissas:

i) Se um homem não fuma , então é atleta ou não é alcoólatra. ii) Se um homem fuma, então tem câncer. iii) Paulo não é atleta mas alcoólatra.Conclusão:

Paulo tem câncer.Chamando

F: Fuma C: Câncer At: Atleta

Al: Alcoólatra

______ 1____________________1__________ __ 1__________1ª conclusão ______________________________________1__ ___1____ 2ª conclusão___________0______1_____________________0____________3ª conclusão ________________0____________________________________4ª conclusão______________0______________________________________5ª conclusão___0_________________________________________________6ª conclusão_____1____________________1_____1_________________ 1_ 7ª conclusão_________________________________________________1__ Verdade__



i) Se eu não jogar xadrez,jogarei futebol. ii) Se estiver machucado, não jogarei futebol Conclusão:

Se estiver machucado jogarei xadrez.

Chamando

X: jogar Xadrez F: Futebol

M: Machucado

______ V_____________ V_____________________ 1ª conclusão _______________V____________________ V hip ____ 2ª conclusão___________________V_________________________ 3ª conclusão ___________F________________F________________ 4ª conclusão___F__________________________________________ 5ª conclusão______V____________________________________V__6ª conclusão_____________________________________V_______ 7ª conclusão_______________________________V_______________Verdade



Verifique em cada um dos casos abaixo, se a argumentação é válida ou é uma falácia .


i) Os bebes não são lógicos. ii) Quem consegue amestrar um crocodilo não é desprezado. iii) Pessoas não lógicas são desprezadas.Conclusão:

Bebes não conseguem amestrar crocodilo.2) Sejam as Premissas:

i) O professor não erra. ii) Andréia é distraída. iii) Quem é distraído erraConclusão:

a) Andréia não é professora.b) Nenhum professor é distraído.

3) Sejam as Premissas:i) Gracielli é estudiosa.

ii) Todo estudioso é aprovado em Matemática discreta. Conclusão:

Gracielli será reprovada em Matemática discreta.

Respostas dos exercícios de aplicação 05:1) e 2) A argumentação é verdadeira.3) A argumentação é falsa.

4-calculo-proporicional

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