2012 abril modelo

PROVA MODELO para CURSO DE LONGA DURAÇÃO PARA OS MAIORES DE 23 ANOS

Ano Letivo: 2012/2013 Data: 2ª Prova Escrita Prova: MATEMÁTICA Duração da Prova: 2h

Tolerância: 15 min

A p

ree

nch

er

pe

lo c

an

did

ato

Escola onde realiza esta prova: � ESEIG � ESTGF � ISCAP � ISEP

Rubrica de Docente

em Vigilância

Nome do Candidato: ___________________________________________________________

Documento de Identificação apresentado: � BI � C.Cid. � Pas. � C.Cond. � Outro Classificação

Final

Número do Documento de Identificação: a�� __________

Escola(s) a que se candidata: � ESEIG � ESTGF � ISCAP � ISEP (0-200)

Rubrica de Docente

(Júri de Prova)

Curso(s) a que se candidata: _____________________________________________________

Número de folhas extra entregues pelo Candidato: a � É obrigatória a apresentação de documento de identificação com fotografia ao docente encarregado da vigilância

Material admitido:

● Material de escrita.

● Máquina de calcular elementar ou máquina de calcular científica (não gráfica).

Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta indelével, azul ou preta, exceto nas respostas que impliquem a

elaboração de construções, de desenhos ou de outras representações, que podem ser primeiramente elaborados a

lápis, sendo, a seguir, passados a tinta.

Não é permitido o uso de corretor. Em caso de engano, deve riscar, de forma inequívoca, aquilo que pretende que

não seja classificado.

A prova é constituída por dois grupos, I e II.

● O Grupo I inclui 7 questões de escolha múltipla.

○ Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais apenas uma está correta.

○ Responda na página fornecida para o efeito, respeitando as regras nela indicadas. Só serão

consideradas as respostas dadas nessa página.

● O Grupo II inclui 7 questões de resposta aberta, algumas delas subdivididas em alíneas, num total de 9.

○ Nas questões deste grupo apresente de forma clara o seu raciocínio, indicando todos os cálculos

que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias.

○ Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, pretende-se sempre o valor exato.

○ Cada questão deve ser respondida na própria folha do enunciado.

○ Devem ser pedidas folhas adicionais caso a resposta à pergunta não caiba na folha respetiva.

A prova tem 14 páginas e termina com a palavra FIM.

Na página 13 é indicada a cotação de cada pergunta.

Na página 14 é disponibilizado um formulário.

PROVAS DO CURSO DE LONGA DURAÇÃO PARA OS MAIORES DE 23 ANOS

Nº Respostas CERTAS: Classificação Grupo I: Rubrica de Docente Corretor

Página 2/14

FOLHA DE RESPOSTAS DO GRUPO I

Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a resposta for ilegível.

Não apresente cálculos, nem justificações.

Assinalar resposta correta:

Anular resposta:

Assinalar de novo resposta anulada:

1

2

3

4

5

6

7

A B C D

A B C D

A B C D

A B C D

A B C D

A B C D

A B C D

A B C D

A B C D

A B C D


A p

ree

nch

er

pe

lo

can

did

ato

Nome do Candidato: ___________________________________________________________

Número do Documento de Identificação: a��

Escola(s) a que se candidata: � ESEIG � ESTGF � ISCAP � ISEP

Curso(s) a que se candidata: _____________________________________________________

Página 3/14

GRUPO I – RESPONDA NA PÁGINA FORNECIDA PARA O EFEITO

1. De uma função real h , contínua no intervalo [ ]0,5 , sabe-se que ( )0 3h = e ( )5 13h = . Então,

podemos afirmar que, necessariamente:

(A)

A equação ( ) 9h x = não tem

solução no intervalo [ ]0,5 .

(C)

A equação ( ) 7h x = tem pelo menos

uma solução no intervalo [ ]0,5 .

(B)

A função h não tem zeros no

intervalo [ ]0,5 .

(D)

A função h tem pelo menos um zero no

intervalo [ ]0,5 .

2. Na figura está representada parte do gráfico de uma função

real de variável real f . Entre as afirmações seguintes assinale

aquela que é falsa:

(A)

( )0

lim 1x

f x−→

= − (C) ( )0

lim 0x

f x+→

=

(B) ( )limx

f x→+∞

= +∞ (D) ( )3

limx

f x+→

= +∞

3. Seja g uma função real de variável real definida por ( ) ( )35

22 1

log8

x xg x

+ − =

. Então, esta função

também pode ser definida pela expressão:

(A) ( ) ( )23 log 1 2g x . x x= − + + (C) ( )( )( )

352

2

log 2 1

log 8

x xg x

+ − =

(B) ( ) ( )23 log 1 5g x . x x= − + + (D) ( ) ( )32log 1 3g x x x= − + −

/14

4. O domínio da função real de variável real

(A) ] [, 4−∞

(B) [ [0,4

5. Sabe-se que a reta de equação

abcissa 0 (zero). Indique qual das seguintes expressões

(A) ( )ln 1x +

(B) xx e+

6. Seja g uma função real diferenciável tal que

valor de ( )' 4r é:

(A) 1

3

(B) 1

9

7. Na figura está representada parte do gráfico de uma função real de variável

real f . Indique qual dos seguintes conjuntos de valores se poderá verificar,

para a função derivada de f :

(A)

( )' 1f a = ; ( )' 1f b = − ;

( )' 0f c = ; ( )' 2f d =

(B)

( )' 2f a = ; ( )' 0f b = ;

( )' 1f c = − ; ( )' 1f d =

O domínio da função real de variável real f , definida por ( ) ( )ln 8 2

1

xf x

x

−=

−

(C) [ [ { }0, \ 1+∞

(D) [ [ { }0,4 \ 1

reta de equação y x= é tangente ao gráfico de uma certa função

Indique qual das seguintes expressões não pode definir essa função.

(C) 2x x+

(D) ( )sen x

uma função real diferenciável tal que ( )4 2g = e ( )' 4 3g = . Sendo r x g x

(C) 1

6

(D) 1

27

Na figura está representada parte do gráfico de uma função real de variável

. Indique qual dos seguintes conjuntos de valores se poderá verificar,

' 1;

(C)

( )' 3f a = ; (' 1f b

( )' 0f c = ; (' 0,3f d

;

' 1

(D)

( )' 1f a = − ; f b

( )' 1f c = − ; ' 0,3f d

x, é:

é tangente ao gráfico de uma certa função f , no ponto de

essa função.

( ) ( )3 25r x g x= + então o

Na figura está representada parte do gráfico de uma função real de variável

. Indique qual dos seguintes conjuntos de valores se poderá verificar,

( )' 1f b = − ;

)' 0,3f d =

( )' 0f b = ;

( )' 0,3f d = −


A p

ree

nch

er

pe

lo

can

did

ato

Nome do Candidato: _________________________________________________________

GII Q1.1

GII Q1.2

GII Q2.

Número do Documento de Identificação: a�� Clas. Parcial Q1+Q2

Escola(s) a que se candidata: � ESEIG � ESTGF � ISCAP � ISEP Rubrica de Docente

Corretor

Curso(s) a que se candidata: __________________________________________________

Página 5/14

GRUPO II

1. Desde o momento em que são plantadas até terem 15 anos, os valores aproximados das medidas da

altura, H , e do diâmetro do tronco, D , de um determinado tipo de árvores, podem ser obtidos

através das expressões:

( ) ( )20 5 0 75 log 1H t , , t= + + e ( )0 152

10

, tD t =

com H e D em metros e t em anos.

1.1. Determine a altura e o diâmetro das árvores deste tipo quando têm 15 anos. Apresente os

resultados em centímetros. Arredonde, se necessário, os resultados ao inteiro mais próximo.

1.2. Sabendo que a altura de uma árvore é 3 2, m, determine a medida aproximada do diâmetro do

respetivo tronco, em centímetros.

2. Caracterize a função inversa da função real definida pela expressão3 4

( )5

xf x

x

+=−

. Entende-se por

caracterização a indicação da respetiva expressão analítica, bem como do seu domínio e

contradomínio.


A p

ree

nch

er

pe

lo

can

did

ato


GII Q3.1

GII Q3.2

GII Q4.

GII Q5.

Número do Documento de Identificação: a�� Clas. Parcial

Q3+Q4+Q5

Escola(s) a que se candidata: � ESEIG � ESTGF � ISCAP � ISEP Rubrica de Docente

Corretor


Página 7/14

3. Determine a expressão analítica mais simples da função derivada de cada uma das seguintes funções

reais de variável real:

3.1. ( )1

2( ) 4cos 5 2

1

xf x x

x= − +

+

3.2. 2 22

4( ) 6

sen( )xf x x e

x= +

4. Considere a função real de variável real h definida por ( )3( ) 3 1h x x= − . Determine a(s) ordenada(s)

do(s) ponto(s) em que a reta tangente ao gráfico representativo de h é paralela à reta de equação

36 4y x− = .

5. Determine a equação da reta tangente ao gráfico representativo da função g , definida por

( ) ( )ln 5 2g x x= − , no ponto de abcissa 2 .


A p

ree

nch

er

pe

lo c

an

did

ato


GII Q6.1

GII Q6.2

GII Q6.3

Número do Documento de Identificação: a�� GII Q6.4 GII Q6.5

Escola(s) a que se candidata: � ESEIG � ESTGF � ISCAP � ISEP Clas. Parcial GII Q6


Rubrica de Docente

Corretor

Página 9/14

6. Uma fábrica têxtil irá iniciar a produção de um modelo novo de camisas. A gerência estima que a

produção diária de camisas seja aproximada pela função definida por:

100( ) 50, 0

1 2 tn t t−= − ≥+

,

onde n representa o número de camisas, em dezenas, que a fábrica produz diariamente, t dias após

o início de produção de um novo modelo.

6.1. Calcule o número de camisas que serão produzidas no 1º dia. Apresente o valor aproximado às

unidades.

6.2. Determine, com aproximação às unidades, a taxa de crescimento da produção de camisas,

( )dnn t

dt′= , no 2º dia de produção deste modelo.

6.3. Analiticamente, determine ao fim de quantos dias, após iniciar a produção de um novo modelo, a

fábrica estará a produzir mais de 400 camisas por dia.

6.4. Calcule o limite diário máximo de produção de camisas que esta fábrica consegue produzir,

quando adquirir toda a experiência possível no seu fabrico, isto é, depois de “muitos dias” de

experiência.

6.5. Comente a afirmação: “Com apenas 3 dias de experiência, na produção de um novo modelo, a

fábrica já consegue produzir mais de 75% do seu limite diário máximo de produção de camisas”

PROVAS

A p

ree

nch

er

pe

lo

can

did

ato

Nome do Candidato: _________________________

Número do Documento de Identificação

Escola(s) a que se candidata: �


7. Num jogo de voleibol feminino, uma bola é lançada

de baixo para cima. A distância h

lançamento, é dada por:

( )h t t t t= − + + ≥

7.1. Determine a que distância do solo se encontra

7.2. Depois da bola lançada, se não voltar a ser tocada por qualquer jogador

terminará assim que a bola tocar no solo. Determine ao fim de quantos segundos isto

acontecer.

7.3. Calcule a altura máxima atingida pela bola

a uma casa decimal.

7.4. Sabendo que, em jogos femininos

ser efetuado com a bola acima da altura da rede,

efectuar o seu remate, de modo que

Observação: para simplificar os cálculos despreza


_________________________________________________________

Número do Documento de Identificação: a��

� ESEIG � ESTGF � ISCAP � ISEP

: __________________________________________________

, uma bola é lançada, pela distribuidora, na vertical

h , em metros, da bola ao solo, t segundos após o

21 5 3, 0

4 4 2h t t t t= − + + ≥

a que distância do solo se encontra a bola, no momento do lançamento

Depois da bola lançada, se não voltar a ser tocada por qualquer jogador

terminará assim que a bola tocar no solo. Determine ao fim de quantos segundos isto

a atingida pela bola neste lançamento. Apresente o resultado arredondado

femininos, a altura da rede é de 2,20 m e supondo que

ser efetuado com a bola acima da altura da rede, determine quanto tempo terá

efectuar o seu remate, de modo que a bola, depois de rematada, passe por cima da

Observação: para simplificar os cálculos despreza-se o diâmetro da bola.

PARA OS MAIORES DE 23 ANOS

________________________________ Clas. Parcial Q7.

��

ISEP Rubrica de Docente

Corretor

: __________________________________________________

Página 11/14

na vertical

segundos após o

a bola, no momento do lançamento.

Depois da bola lançada, se não voltar a ser tocada por qualquer jogadora dessa equipa, a jogada

terminará assim que a bola tocar no solo. Determine ao fim de quantos segundos isto poderá

Apresente o resultado arredondado

supondo que um remate tem que

po terá a rematadora para

passe por cima da rede.

PROVAS DE ACESSO E INGRESSO PARA OS MAIORES DE 23 ANOS

COTAÇÕES

Página 13/14

Grupo I ....................................................................................................................... 84 pontos

Cada resposta certa ........................................................................... 12 pontos

Cada questão errada, não respondida ou anulada ............................ 0 pontos

Grupo II ...................................................................................................................... 116 pontos

1. ....................................................................................................... 14 pontos

1.1. ......................................................................... 05 pontos

1.2. ........................................................................... 09 pontos

2. ....................................................................................................... 12 pontos

3. ....................................................................................................... 16 pontos

3.1. ......................................................................... 08 pontos

3.2. ........................................................................... 08 pontos

4. ....................................................................................................... 12 pontos

5. ....................................................................................................... 12 pontos

6. ....................................................................................................... 25 pontos

6.1. ......................................................................... 03 pontos

6.2. ........................................................................... 08 pontos

6.3. ......................................................................... 05 pontos

6.4. ........................................................................... 05 pontos

6.5. .......................................................................... 04 pontos

7. ....................................................................................................... 25 pontos

7.1. .......................................................................... 03 pontos

7.2. ........................................................................... 05 pontos

7.3. .......................................................................... 12 pontos

7.4. .......................................................................... 05 pontos


FORMULÁRIO

Página 14/14

Relações trigonométricas de ângulos agudos

( )sen α ( )cos α ( )tg α

0ºα = 0 1 0

30ºα = 12

3

2

3

3

45ºα = 2

2

2

2 1

60ºα = 3

2

12

3

90ºα = 1 0 -

Trigonometria

� ( ) ( )2 2sen cos 1α α+ =

� ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sen = sen cos sen cosα α β β αβ+ ⋅ + ⋅

� ( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos = cos cos sen senα β α β α β+ ⋅ − ⋅

� ( ) ( )( )

sentg

cos

αα

α=

Regras de derivação

� ( )u v u v′ ′ ′+ = +

� ( )u v u v u v′ ′ ′⋅ = ⋅ + ⋅

� 2

u u v u v

v v

′ ′ ′⋅ − ⋅ =

� ( ) 1 'n nu n u u−′= ⋅ ⋅

� ( )( ) ( )sen cosu u u′ ′= ⋅

� ( )( ) ( )cos senu u u′ ′= − ⋅

� ( )e eu uu′

′= ⋅

� ( ) ( )lnu ua u a a′

′= ⋅ ⋅

� ( )( )lnu

uu

′′=

� ( )( ) ( )loglna

uu

u a

′′=

⋅

FIM

2012 abril modelo

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