2. FORMAS INTEGRAIS DAS LEIS FUNDAMENTAIS

2.1. IntroduçãoBasicamente os problemas podem ser resolvidos de duas maneiras diferentes:

integralSolução diferencial

A solução integral é uma solução global.

Exige uma extensão sobre a qual é feita a integração.

Extensão linha Ex: força de tensão superficial.

Extensão área Ex: força sobre uma superfície.

Extensão volume Ex: massa de um corpo.

Extensão massa Ex: quantidade de movimento.

Por sua vez, a solução diferencial é uma solução pontual.

Permite a obtenção de valores tais como:

pressão,

velocidade,

massa específica,

temperatura,

etc.

Em cada ponto do escoamento.

Normalmente é uma solução mais trabalhosa.

2.2. As Três Leis Básicas

As quantidades integrais de interesse fundamental na mecânica dos fluidos estão contidas em três leis básicas:

• conservação da massa,

• primeira lei da termodinâmica e

• segunda lei de Newton.

Essas leis básicas são expressas usando a descrição lagrangiana em termos de um sistema de partículas.

Sistema é um conjunto fixo de partículas materiais.

x

y

z

Conservação da massa:

A massa de um sistema não muda com o tempo.

ms

V

ddm

Sistema

.Ctedmsis

sis

r

Princípio de conservação da massa0DtmD sis

0DtD

Mostra que a grandeza se conserva ao longo do escoamento

0dDtD

sis

A Primeira Lei da Termodinâmica:

Relaciona a transferência de calor, o trabalho e a variação da

energia.

DtEDWQ sis Princípio de conservação da energia

Sistema

A taxa de transferência de calor para um sistema menos a taxa à qual o sistema realiza trabalho é igual a taxa à qual a energia do sistema está mudando.

Q WsisE

mdEde energia específica

zg2

Vu~e2

A energia não pode ser criada nem destruída durante um processo; ela só pode mudar de forma.

sissis deE

A Segunda Lei de Newton:

tDVDmdamdFd

mdtDVDFFd

sissis

mdV

tDD

sis

tDQDF sis

Princípio de conservação da quantidade de movimento linear.

A força resultante agindo no sistema é igual a taxa à qual a quantidade de movimento do sistema está alterando.

mdVQsissis

Onde:

Quantidade de movimento linear.

Equação do Momento da Quantidade de movimento:

dmtDVDrFdrMd

DtVDrV

tDrD

tD)Vr(D

Dt

VDrVV

DtVDr

= 0

dmtD

)Vr(DMd

mdtD

)Vr(DMsis

d)Vr(tD

Dsis

x

y

z

ms

V

ddm

Sistema

r

sissis dmVrH

Quantidade de movimento angular.

tDHDM sis

Princípio de conservação da q.d.m. angular.

oconservaçãdeincipíosPr

globalgrandeza

extensivagrandeza

Com: sisdmmassaàextensão

sisdvolumeaoou

Considerando:

Nsis grandeza extensiva do sistema (global).

grandeza intensiva correspondente (pontual).

dmdN

sissis dmNCom:

De uma maneira geral, os princípios de conservação podem ser expressos como:

DtND sis

Exemplo:

Princípio da conservação da q.d.m.

tDQDF sis

sissis QN

Com:

Em Fenômenos de Transporte (Mec-Flu) o interesse não é em relação a um “sistema de partículas”, mas sim a uma região do espaço.

Volume de controle (VC) região “fixa” do espaço(fixa em relação a um referencial)

Ponto de vista de sistema lagrangiano

Figura 4.1 Exemplo de um sistema na mecânica dos fluidos

Ponto de vista de volume de controle euleriano

Figura 4.2 Exemplo de um VC fixo e de um sistemaa) instante t; b) instante t + t

Já que a descrição euleriana é a mais conveniente, há a necessidade de se estabelecer uma relação entre estes dois pontos de vista.

(fixo)

2.3. Transformação “Sistema” para “Volume de Controle”

O interesse está em se obter a taxa de variação temporal da propriedade extensiva Nsis, enquanto se acompanha o sistema, mas do ponto de vista de VC.

natural no ponto de vista de sistema mas quanto vale no ponto de vista de VC?Dt

ND sis

De modo a responder, deve-se considerar a Figura 4.4, a qual é apresentada logo a após a seguinte ilustração.

Instante t

Volume de Controle

Esquema para estabelecer a relação entre “sistema” e “volume de controle”

Sistema

Instante t + t

Sistema no tempo t + t.

No instante inicial, sistema e volume de controle coincidem.

Figura 4.4 O sistema e o volume de controle fixo

x

y

z

em relação a xyz.

dA1

dA3

x

y

z

em relação a xyz.

Por definição:

t)t(N)tt(Nlim

DtND sissis

0t

sis

t

)t(N)t(N)tt(N)tt(Nlim 1223

0t

t)tt(N)tt(Nlim

t)t(N)t(N)tt(N)tt(Nlim 13

0t

1212

0t

t)t(N)tt(Nlim vcvc

0t

tdNd vc

ddmNd

Entrada do VC. (A1)

> 90º cos < 0 (-)

11 dAtVnd

11 dAtVn)tt(Nd

ttemponoentroudAtVn)tt(N1A 11

Saída do VC. (A3)

< 90º cos > 0 (+)

33 dAtVnd

temVCdosaiudAtVn)tt(N3A 33

t)tt(Nlim

t)tt(Nlim

t)tt(N)tt(Nlim 1

0t

3

0t

13

0t

t)tt(Nlim

t)tt(Nlim

t)tt(N)tt(Nlim 1

0t

3

0t

13

0t

1A 10t

1

0tdA

ttVnlim

t)tt(Nlim

VC. fixo A1 fixo (fluxo de N através da seção de entrada A1)

33 A 3A 30t

3

0tdAVndA

ttVnlim

t)tt(Nlim

(fluxo de N através da seção de saída A3)

1A 1dAVn

Portanto:

SC

13

0tdAVn

t)tt(N)tt(Nlim

(fluxo líquido de N através da superfície de controle - SC)

t)tt(Nlim

t)tt(Nlim

t)tt(N)tt(Nlim 1

0t

3

0t

13

0t

31 A 3A 1

13

0tdAVn)dAVn(

t)tt(N)tt(Nlim

No caso de volume de controle indeformável, = Cte. e:

SCVC

sis dAnVdtDt

ND

Finalmente:

SCVC

sis dAnVddtd

DtND

Teorema de Transporte de Reynolds

VC

vc dtd

dtd

Nd taxa de variação da propriedade extensiva N no VC

SC

dAVn

fluxo líquido, da propriedade extensiva N, através da SC

2.3.1. Simplificação da transformação Sistema para Volume de ControleEm se tratando de escoamento permanente, as propriedades e condições de escoamento não variam localmente, de modo que:

assim:

SC

sis dAnVDtND

ou,0td

Nd vc 0t

Figura 4.6 Escoamento entrando e saindo de um dispositivo

Observe que:

111 VVn e, 222 VVn

12 A 111A 222

sis dAVdAVDtND

Para o caso de uma única entrada (A1) e uma única saída (A2), tal como o dispositivo da Figura 4.6, o TTR é ainda mais simplificado.

Do que resulta:

Supondo propriedades uniformes em cada seção (Cte.), resulta:

11112222sis AVAV

DtND

Generalizando, para o caso de várias áreas de entrada e/ou saída,

N

1iiiiii

sis A)nV(DtND

2.4. Conservação de Massa

Um sistema é constituído sempre pelas mesmas partículas; portanto sua massa permanece constante.

0dDtD

DtDm

sissis

Com N = msis sendo a grandeza extensiva,

a grandeza intensiva correspondente passa a ser:

1dmdN

Para VC indeformável, vem:

0dAnVdt SCVC

0dAnVddtd

DtmD

SCVC

sis

SCVC

sis dAnVddtd

DtND

Considerando o Teorema de Transporte de Reynolds (TTR),

Resulta:

Escoamento permanente:

0dAnVSC

mddAnV

12SC

mm0md 1 (-) seção de entrada ( > 90º)Onde: 2 (+) seção de saída ( < 90º)

Uma vez que:

0dAnVddtd

DtmD

SCVC

sis

= 0

portanto,

Portanto:

22211121 VAVAmmm

Para escoamento incompressível, = Cte.

QVAVA 2211 vazão volumétrica.

Caso em que a distribuição de velocidades não seja uniforme (V Cte.), mas com a massa específica uniforme em cada seção.

A solução é obtida com o valor médio da velocidade.

Figura 4.7 Perfis de velocidades não uniformes

Seja a equação da continuidade:

21 A

22A

11 dAVdAV

Já que a massa específica é uniforme em cada seção ( = Cte.),

Considerando o teorema do valor médio,

AVdA

A1V resulta:

mVAVA 222111

QVAVA 2211

21 A

22A

11 dAVdAV

Caso o escoamento seja incompressível,

A n dAVm fluxo de massa ou vazão em massa (kg/s)

A n dAVQ vazão volumétrica ou vazão (m3/s)

Exemplo 4.1Água flui a uma velocidade uniforme de 3 m/s para dentro de um bocal que tem seu diâmetro reduzido de 10 cm para 2 cm (Fig. E.4.1). Calcule a velocidade da água que sai pelo bocal e a vazão.

Figura E4.1

V1 D1 D2

3 10 2m/s cm cm

  0,10 0,02  m m

Dados:

Solução:É escolhido um volume de controle que esteja dentro do bocal,

conforme mostrado (tracejado).

Cálculo da vazão:

.s/m02356,0410,00,3

4DVVAQ 3

221

111

Água, portanto escoamento incompressível.

Considerando a Equação da continuidade, vem:

2211 VAVAQ

2

112 A

AVV .s/m0,7502,010,00,3

2

Exemplo 4.2

Água flui para dentro e fora de um aparelho, como mostrado na Fig. E.4.2a. Calcule a taxa de variação da massa de água (dm/dt) no aparelho.

Dados:V1 D1 Q3

9,20 75 4,30 8,50 1000m/s mm kg/s /s kg/m3

  0,075   0,0085    m   m3/s  

2m

V1 = 9,20 m/sQ3 = 8,50 /s

75 mm

s/kg30,4m2

Figura E4.2a

Solução:O volume de controle escolhido é mostrado na Figura E4.2b.

0dAnVddtd

SCVC

Figura E4.2b

Entrada Saídas

Da continuidade:

0VAVAVAdtdm

333222111

Rearranjando a equação e substituindo os valores, chega-se a:

.s/kg84,270085,01030,420,94075,010

dtdm 3

23

A massa aumenta a uma taxa de 27,84 kg/s.

O aparelho deve ter um material que absorva água.

Exemplo 4.3

Um escoamento uniforme aproxima-se de um cilindro, como mostra a Fig. E4.3a. A distribuição simétrica da velocidade na localização mostrada, à jusante na esteira do cilindro, é aproximada por:

1y14y25,1)y(u

2

em que u(y) é dada em m/s e y, em metros. Determine a vazão em massa através da superfície AB, por metro de profundidade. Use = 1,23 kg/m3.

Figura E4.3a

Figura E4.3b

Solução:Tomando ABCD como volume de controle (Figura E4.3b).

Em vista da simetria, não há escoamento pela superfície CD.

Para escoamento permanente, a Eq. da continuidade fica:

0dAnVSC

Entrada(-)

Saídas(+)

O fluxo de massa ocorre através de três superfícies: AB, BC e AD.

Então:

0dAnVdAnVdAnVADBCAB AAA

01150,1dy1)y(um1

0AB

Lembre que um sinal negativo é sempre associado com o fluxo de

entrada e um sinal positivo com o fluxo de saída.

)12125,1(23,1)

43yy25,1(23,1dy)

4y25,1(23,1

1

0

31

0

2

.ms/kg2050,0)12/125,1(50,123,1mAB

Exemplo 4.4Um balão está sendo preenchido com um suprimento de água de 0,6 m3/s (Fig. E4.4). Encontre a taxa de crescimento do raio, no instante em que R = 0,5 m.

Figura E4.4

Solução:Pretende-se determinar dR/dt quando o raio R = 0,50 m.

A taxa de crescimento dR/dt é igual a velocidade da água normal a parede do balão.

Selecionando o volume de controle como sendo uma esfera de raio constante e igual a 0,50 m, pode-se calcular a velocidade da água na superfície, no instante mostrado, movendo-se radialmente para fora em R = 0,50 m.

0dAnVdt SCVC

= 0

da água é Cte.

A água transpõe duas áreas:

A área de entrada A1, com velocidade V1

e a área do restante da superfície da esfera AR, com velocidade VR.

A Eq. da continuidade é escrita como:

Supondo que A1 << AR, a Eq. da continuidade fica:

0VAVA RR11

Q1 = A1V1 e,

AR = 4R2, resulta:

.s/m1910,050,04

60,0A

VAV 2R

11R

De modo que:

Usou-se de um volume de controle fixo, permitindo que a superfície móvel do balão passasse por ele, no instante considerado.

.s/m1910,0dtdR

Exemplo 4.5Este exemplo mostra que pode existir mais que uma boa escolha para um volume de controle. Queremos determinar a taxa à qual o nível de água aumenta em um tanque aberto, se a água entrando através de um tubo de 0,10 m2 tem uma velocidade de 0,50 m/s e a vazão de saída é de 0,20 m3/s (Fig. E4.5a). O tanque tem uma seção transversal circular com diâmetro de 0,50 m.

Figura E4.5a

Solução:Em primeiro lugar é selecionado um volume de controle que se estende acima da superfície da água, como na Figura E4.5a.

Da Eq. da continuidade, tem-se:

0dAnVddtd

SCVC

O primeiro termo descreve a taxa de variação da massa no VC.

Desprezando a massa de ar acima da água, vem:

0QAVdt

)4/Dh(d211

2

0QAVdthd

4D

211

2

2211

D)QAV(4

dthd

O sinal negativo indica que o nível de água está diminuindo.

Resolvendo com um novo VC, no qual sua face superior fique abaixo do nível da água (Figura E4.5b).

Figura E4.5b

A velocidade na face superior é, então, igual a taxa à qual a superfície da água se eleva.

.s/m7639,050,0

)20,010,050,0(42

Dentro do volume de controle o escoamento é permanente; aplicando a Eq. da continuidade, vem:

4D

dtdhQAV0dAnV

2

211SC

Resolvendo,

Que é o mesmo resultado anterior.

.s/m7639,050,0

)20,010,050,0(4D

)QAV(4dthd

22211

2.5. Equação da Energia

Muitos problemas envolvendo o movimento de fluidos exigem que a primeira lei da termodinâmica, muitas vezes chamada equação da energia, seja usada para relacionar as quantidades de interesse.

Se o calor transferido a um aparelho (uma caldeira) ou o trabalho realizado por uma máquina (ventilador, bomba ou turbina) é procurado, a equação da energia é, obviamente, necessária.

Ela também é usada para relacionar pressões e velocidades quando a equação de Bernoulli não é aplicável (caso em que os efeitos viscosos não podem ser desprezados), escoamentos através de sistemas de tubulações ou em um canal aberto.

A equação da energia será expressa em termos de VC.

Decorre do Princípio da Conservação da Energia.

sis

deDtDWQ com:

u~zg2

Ve2

Considerando a relação entre sistema e VC

SCVC

sis dAnVddtd

DtND

sissis EN

m

dmeE

dmedE edm

Nd

DtED sis

onde:

scvc

dAnVededtdWQ

taxa de transferência de energia sem realização de trabalho.

Está associada a uma diferença de temperatura.

Q fluxo de calor

(taxa de trabalho ou potência)

2.5.1. Termo taxa de trabalho

O termo taxa de trabalho corresponde ao trabalho executado pelo sistema.

Ou, como se considera o instante em que o sistema ocupa o volume de controle (dedução do TTR), pode-se afirmar que o termo taxa de trabalho também corresponde ao trabalho executado pelo volume de controle.

Trabalho força vezes deslocamento.

Taxa de trabalho força vezes velocidade.

IVFPW

Por convenção, o trabalho realizado sobre o sistema (VC) é negativo

velocidade vista a partir de um referencial inercialIV

Se a força resulta de uma tensão variável agindo sobre uma superfície de controle, tal como na Figura 4.8, tem-se:

Figura 4.8 Vetor tensão na superfície agindo num elemento da SC

sc IdAVW

dAFd

P

X

Y

Z

x

y

z

R

r

S

V

No geral, para volumes de controle em movimento, o vetor velocidade é relacionado a uma velocidade observada do referencial anexo ao volume de controle por:

IV

,V

rSVVI

De modo que:

sc IdAVW

scsc

dA)rS(dAV

IscWdA)rS(

Considerando a pressão estática (p), positiva em um estado compressivo, vem:

Veja que:

sn

npn

(p escalar) De modo que:

Isc sscWdAVdAVnpW

cisEsc s WWdAV

IcisEscWWWdAVnpW

sc

dAVnp

Trabalho de escoamento. É a taxa de trabalho resultante da força devido à pressão atuante na SC.

EW

cisW

IW Taxa de trabalho que ocorre quando o VC se move em relação à um referencial inercial.

Taxa de trabalho devido à ação do cisalhamento em um contorno em movimento (como uma correia).

Taxa de trabalho resultante de eixos em rotação.

Deve-se notar que os termos de taxa de trabalho: e são raramente encontrados em problemas de um curso introdutório e são muitas vezes omitidos.

cisW IW

2.5.2. Equação geral da energiaCombinando as equações da energia e taxa de trabalho,

scvcIcisE dAnV)pe(de

dtdWWWQ

sc

2I

vc

2I

IcisE dAnV)pu~zg2

V(d)u~zg2

V(dtdWWWQ

Note-se que o termo trabalho de escoamento foi mudado para o segundo membro e é tratado como termo de fluxo de energia.

scvc

dAnVededtdWQ

IcisEscWWWdAVnpW taxa de trabalho ou

potência

Eq. da energia

Em escoamentos “reais”, formas úteis de energia são convertidas em formas de energia não utilizáveis “perdas”.

Assim, para escoamentos isotérmicos e incompressíveis,

scvc

dAnVu~du~dtdQperdas

Levando na equação anterior:

perdasdAnV)pzg2

V(d)zg2

V(dtdWWW

sc

2I

vc

2I

IcisE

As perdas devem-se a dois efeitos principais:

1. A viscosidade causa atritos internos que resultam em aumento da energia interna ou de transferência de calor.

2. Mudanças bruscas na geometria resultam em descolamentos, que demandam energia útil para manter os movimentos secundários resultantes.

Perdas distribuídas: - são perdas que ocorrem ao longo de trechos retilíneos do conduto, devido aos efeitos viscosos.

Perdas singulares: - são perdas que ocorrem nas vizinhanças de uma mudança de geometria (válvulas, cotovelos, alargamentos, etc.)

Em bombas, turbinas ou ventiladores (máquinas hidráulicas) as perdas são expressas em termos de sua eficiência.

Exemplo: bomba com 80% de rendimento.

Perdas = 20% da energia fornecida à bomba.

2.5.3. Escoamento permanente uniforme

EW

1

V1

2

V2

volume de controle inercial, VI = V,

escoamento permanente d/dt = 0 e,

escoamento uniforme nas seções de entrada e saída

(V2/2 + p/ + gz) = Cte. nestas seções, de modo que:

Para ,0WW Icis

perdasmd)pzg2

V(d)zg2

V(dtdWWW

sc

2I

vc

2I

IcisE

perdasm)zgp2

V(m)zgp2

V(W 11

12

12

2

222

E

.VAVAm 222111 Onde, Dividindo por vem:,gm

L121

1

2

22

122E hzzpp

g2VV

gmW

= 0 = 0 = 0

ou,

LE

2

22

2

21

21

1

1 hgm

Wzg2

Vpzg2

Vp

A equação da energia, tal como escrita, pode ser aplicada para qualquer escoamento permanente, uniforme com uma entrada e uma saída.

Muitas das vezes a perda é escrita em função do termo cinético:

hL perda de carga, com:

gmQ

gu~u~h 12

L

g2VKh

2

L

O volume de controle deve ser escolhido de forma que as seções de entrada e de saída tenham uma carga total uniforme.

ocompriment)m(s/mkg

ms/mkgs/mkg

mNgm

Wgm

W2

2

2

“carga” energia por unidade de peso.

Na ausência do termo de trabalho de eixo e sem dissipação viscosa (perdas) a equação da energia pode ser escrita como:

V2/2g carga de velocidade

p/ carga de pressão

z carga de posição

p/ + z carga piezométrica

V2/2g + p/ + z carga total.

2

22

2

21

21

1

1 zg2

Vpzg2

Vp

Observe que, para escoamento incompressível, 1 = 2 e a equação da energia toma uma forma idêntica à equação de Bernoulli.

Porem, deve-se lembrar que:

A Eq. de Bernoulli decorre da Eq. do movimento de Newton, sendo aplicável em uma mesma linha de corrente.

A Eq. da energia decorre da 1ª Lei da Termodinâmica, sendo aplicável entre duas seções de um escoamento com distribuição de velocidades uniformes.

Como exemplo, considere sua aplicação no escoamento da Figura 4.9, o qual mostra uma comporta em um canal aberto.

Figura 4.9 Aplicação da Eq. da energia a uma comporta em um canal aberto

A carga total na entrada e na saída pode ser calculada em qualquer ponto da entrada e da saída, respectivamente.

Porém, uma escolha conveniente seriam os pontos situados na superfície da água; levando a:

Considerando, como alternativa, os centróides das seções de entrada e saída,

Levando estes valores na Eq. anterior, o resultado da primeira alternativa é recuperado.

)0W(hhg2

Vphg2

VpEL2

222

1

211

L2

2221

211 h

2h

g2V'p

2h

g2V'p

= 0 = 0

L2

22

1

21 hh

g2Vh

g2V

Neste caso, p’1 = h1/2

p’2 = h2/2

Considere agora o “T” da Figura 4.10.

Figura 4.10 Aplicação da Eq. da energia a uma seção em T

Neste caso há uma entrada e duas saídas.

A Eq. da energia pode ser aplicada para cada uma das saídas.

Ou seja:

21L2

22

2

21

21

1

1 hzg2

Vpzg2

Vp

31L3

23

2

31

21

1

1 hzg2

Vpzg2

Vp

Sistema com bomba e turbina.

Fazendo,

Onde:

TBE HHgm

W

HB adição de energia (bomba ou ventilador)

HT extração de energia (turbina)

21LT2

22

2

2B1

21

1

1 hHzg2

VpHzg2

Vp

De modo que:

bomba )W(HQPh BB

turbina )W(HQPh TT

Potência hidráulica:

Potência de eixo:

bomba )W(HQPB

BB

turbina )W(HQP TTT

Ou, de um modo geral,

1

PPh

TurbinaBomba

2.5.4. Escoamento permanente não uniformeSe a hipótese de perfil uniforme de velocidade não é aceitável, há necessidade de se corrigir o termo cinético na Eq. da energia.

Considere o perfil de velocidades da figura abaixo.

dA V

V

VdA peso que passa por dA na unidade de tempo

V2/2g energia cinética por unidade de peso

energia cinética que passa na seção na unid. tempo

A

2VdAVg2

Em termos da velocidade média, vem:

energia cinética média

Introduzindo o fator de correção da energia cinética ()

AVVg2

2

A

32 dAVg2

AVVg2

A

3

dAVV

A1

E a Eq. da energia, em termos da velocidade média, fica:

21LT2

22

22

2B1

21

11

1 hHzg2

VpHzg2

Vp

Perfis parabólicos em tubos circulares (escoamento laminar) = 2.

Escoamento turbulento em tubos 1,05

Em aproximação = 1.

Exemplo 4.6A bomba da Fig. E4.6 é usada para aumentar a pressão de 0,2 m3/s de água de 200 kPa para 600 kPa. Se a bomba tem uma eficiência de 85%, qual a potência elétrica de que a bomba necessita? A área de saída fica 20 cm acima da área de entrada. Suponha que a área de entrada e de saída sejam iguais.

Figura E4.6

Dados

Solução:Considerando a Eq. da energia,

21LT2

22

2

2B1

21

1

1 hHzg2

VpHzg2

Vp

= 0= 0

.m97,40200,01081,9

1020010600)zz(ppH 3

33

1212

B

Q p1 p2 z2 - z1 g200,0 200 600 85,0% 20 1000 9,81/s kPa kPa   cm kg/m3 m/s2

0,200 2105 6105   0,200    m3/s Pa Pa   m    

Cálculo da potência da bomba.

.kW58,941085,0

97,4081,9200,010HgQP 33

BB

Exemplo 4.7Água flui de um reservatório através uma tubulação com um diâmetro de 750 mm para uma unidade geradora (turbina) e sai para um rio que está localizado a 30 m abaixo da superfície do reservatório. Se a vazão do escoamento é de 2,50 m3/s, e a eficiência da turbina geradora é de 88%, calcule a potência de saída. Suponha um coeficiente de perda na tubulação (incluindo a saída) de K = 2.

D z Q K g750 30,0 2,50 88,0% 2 1000 9,81mm m m3/s     kg/m3 m/s2

0,750            m            

Dados

Figura E4.7Solução:Considerando a Eq. da continuidade,

.s/m659,5750,050,24

DQ4V 22

Cálculo da perda de carga,

.m264,381,92

659,52g2

VKh22

f

.m74,26264,330h)zz(H21L21T

21LT2

22

2

2B1

21

1

1 hHzg2

VpHzg2

Vp

Aplicando a Eq. da energia entre um ponto situado na superfície do reservatório e outro na superfície do rio, vem:

= 0= 0 = 0 = 0 = 0

Cálculo da potência da turbina

.kW0,5771088,074,2650,21081,9HQP 33TTT

Exemplo 4.8O medidor Venturi mostrado reduz o diâmetro da tubulação de 10 para um mínimo de 5 cm (Fig. E4.8). Calcule a vazão e a vazão em massa, supondo condições ideais.

Figura E4.8

D1 D2 h g dHg

10,0 5,0 1,200 1000 9,81 13,6cm cm m kg/m3 m/s2  

0,100 0,050        m m        

Dados

Solução:Do manômetro de tubo em “U” e aplicando o caminhamento de 1 para 2, vem:

2Hgba1 pzhdpphzp

.m12,1520,1)16,13(h)dd(ppágHg

21

Da continuidade,

2211 VAVAQ 11

2

1

2

2

11

2

12 V4V

510V

DDV

AAV

Uma vez que o escoamento se dá sob condições ideais, aplica-se a Eq. de Bernoulli, ou seja:

2

222

1

211 z

g2Vpz

g2Vp

21

21

21

2221 V

g215V

g2116

g2VVpp

.s/m447,412,1515

81,92pp15

g2V 211

.s/m03493,04100,0447,4VAQ 3

2

11

Finalmente,

.s/kg93,3403493,010Qm 3

Exemplo 4.9A distribuição de velocidade para um certo escoamento em uma tubulação é V(r) = Vmáx(1 - r2/r0

2), na qual r0 é o raio do tubo (Fig. E4.9). Determine o fator de correção da energia cinética.

Figura E4.9

Solução:Para determinar o fator de correção da energia cinética “” é necessário conhecer a velocidade média. Assim,

0r

0

3

20

2

20

A

3

drr2rr12

r1dA

VV

A1

00 r

0 20

3

2o

máxr

0 20

2

2o

máxA

drrrr

rV2drr2

rr1

rVVdA

A1V

máx

20

20

2o

máx

r

020

42

2o

máx V21

4r

2r

rV2

r4r

2r

rV2V

0

00 r

0 60

7

40

5

20

3

20

r

0 60

6

40

4

20

2

20

drrr

rr3

rr3r

r16drr

rr

rr3

rr31

r16

2r3r12r18r12241

r16

8r

6r3

4r3

2r

r16 2

020

20

202

0

20

20

20

20

20

Conhecida a velocidade média, pode-se calcular o .

Conseqüentemente o fluxo de energia cinética associado à distribuição de velocidade parabólica através de um tubo circular é dado por:

2Vm2dA)nV(

2V 2

A

2