08b01 pot exp log

Matemática A 12.º ano — Das potências de expoente inteiro à função exponencial José Silvestre, 2008-02-01

1

Potências............................................................................................................................................................................ 1 Potências de expoente natural........................................................................................................................................ 1 Potências de expoente nulo............................................................................................................................................ 2 Potências de expoente inteiro negativo ........................................................................................................................... 3 Potências cujo expoente é uma fracção de numerador 1 e denominador natural .............................................................. 4 Potências de expoente racional não-inteiro ..................................................................................................................... 5 A importância de a base ser positiva, quando o expoente é fraccionário .......................................................................... 6 Potências de expoente real irracional.............................................................................................................................. 7 Propriedades das potências de expoente real ................................................................................................................. 8

Funções exponenciais e logarítmicas ................................................................................................................................ 10 Definição geral de função exponencial .......................................................................................................................... 10 Função exponencial [de base e ] .................................................................................................................................. 10 Expansão em série de potências da função exponencial [de base e ] ............................................................................ 12 Principais propriedades da função exponencial [de base e ], incluindo limites notáveis .................................................. 14 Função logaritmo [de base e ] ...................................................................................................................................... 18 Funções exponenciais com outras bases positivas........................................................................................................ 20 Funções logarítmicas com outras bases positivas ......................................................................................................... 21 Notação ambígua: xlog ............................................................................................................................................. 22

Resumo das propriedades das funções exponenciais e logarítmicas.................................................................................. 23

A sucessão n

n

+ 11 ................................................................................................................................................. 23

Propriedades gerais das funções exponenciais ............................................................................................................. 23 Propriedades gerais das funções logarítmicas............................................................................................................... 24 Outros limites notáveis ................................................................................................................................................. 24 Propriedades operatórias de exponenciais e logaritmos ................................................................................................ 25

Potências

Potências de expoente natural

Seja a um número real e n um número natural. Define-se a n-ésima potência de a ( na — a elevado a n) como sendo o resultado da multiplicação de n factores iguais a a:

43421Kfactores n

n aaa ××=

De modo mais rigoroso, na pode ser definido por indução:

• aa =1

• aaa nn ×=+1

Exemplo:

{factor 1

1 22 =

{factores 2

1112 222222 ×=×== +


2

43421factores 3

2123 2222222 ××=×== +

43421factores 4

3134 22222222 ×××=×== +

etc..

Sejam RI, ∈ba e NI, ∈mn . Tem-se

(1)(1)(1)(1) mnmn aaa +=×

(2)(2)(2)(2) ( ) mnmn aa ⋅=

(3)(3)(3)(3) ( )nnn abba =×

Justificação1:

(1) mn

mn

mn

mn aaaaaaa +

+

=×××××=×444 3444 2143421K43421K

factores

factores factores

(2) ( ) mnnn

m

nnmn aaaaa m×++ ==××= 43421K

43421 K parcelas

factores

(3) ( ) ( ) ( ) nn

bnan

bnan

ban

n babbaabababa ×=×××××=××××=××

43421K43421K444 3444 21

K factores factores

factores a e , factores

a endocorrespond , de socorrência

Exemplos: 7

7

43

43 2222222222 =××××××=×444 3444 214342143421

factores

factores factores

( ) { { {6

3222

22223

22232 22222222222

2

2

=×××××=××=

×=444 3444 21

43421

vezes repetido

factores factores factores a iguais factores

( ) ( ) ( ) 22

532

2 535533535353 ×=×××=×××=××4434421 a iguais factores

Potências de expoente nulo Definimos as potências de expoente natural, as quais constituem formas compactas de representar produtos onde todos os factores são iguais, e deduzimos algumas propriedades importantes. Gostaríamos de estender a definição de potência, de modo a podermos considerar qualquer expoente inteiro relativo. Como fazer essa extensão?

Quando se estende uma definição matemática, há interesse em preservar as propriedades já conhecidas. Em paricular, a propriedade (1) deve permanecer válida para quaisquer números inteiros relativos m e n. Particularizando ainda mais: a propriedade (1) deve verificar-se quando n=0 e m=1:

( )01

010

0

11010

=∨=⇔⇔=×−⇔

⇔==× +

aa

aa

aaaa

1 Nestes apontamentos, é usada a palavra “justificação” para referir uma argumentação que torna um resultado matemático plausível e constitui um esboço de uma possível demonstração, mas não contém todo o rigor “técnico” de uma verdadeira demonstração.


3

Concluímos assim que, para que a propriedade (1) permaneça válida, devemos definir 10 =a sempre que 0≠a . Quando 0=a não sabemos como definir 0a , pois a igualdade 1010 000 +=× será sempre válida independentemente do valor que tomemos para 00 . De facto há boas razões para não definir 00 , como veremos quando retomarmos o estudo de limites de funções.

Seja { }0\RI∈a . Define-se a potência de expoente nulo de a como sendo igual ao elemento neutro da multiplicação — o número 1.

( )010 ≠= aa

Potências de expoente inteiro negativo O próximo passo será definir potências de expoente inteiro negativo, por forma a estender a definição de potência a todos os números inteiros relativos.

Mais uma vez, queremos que a propriedade (1) permaneça válida, em particular quando m=-n:

( )

nn

nn

nnnn

aa

aa

aaaa

−

−

−+−

=⇔

⇔=×⇔⇔==×

1

1

0

Descobrimos assim como definir na quando n é negativo: calculamos a potência na− (a qual já está definida, pois se n<0 então 0>− n ), e calculamos o seu inverso: o resultado é o valor de na . Mas só podemos aplicar o

raciocínio acima, e só podemos calcular na−

1, quando 0≠−na , o que acontece se e apenas se 0≠a .

Seja { }0\RI∈a e −∈Zn . Define-se a potência de expoente negativo na do seguinte modo:

( )0,011 <≠== − na

aaa

nnn

Com estas definições, mantêm-se válidas as propriedades operatórias das potências que nos são familiares:

Sejam { }0\RI, ∈ba e NI, ∈nm . Tem-se

(1) nmnm aaa +=×

(2) ( ) nmnm aa ×=

(3) ( )nnn baba ×=×

(4)(4)(4)(4) n

n

aa

1=− (em particular a

a11 =− )

(5)(5)(5)(5) nmn

m

aa

a −=

(6)(6)(6)(6) n

n

n

b

a

b

a

=


4

Justificação de algumas propriedades:

(5) nmnmn

mn

m

aaaa

aa

a −− =×=×= 1

(6) ( ) ( )n

nnnnnnn

nn

n

b

abababa

ba

b

a

=×=×=×=×= −−− 111

Potências cujo expoente é uma fracção de numerador 1 e denominador natural

Seja n um número natural, e considere-se a função real de variável real nxxf a: . Mostra-se que

• se n é ímpar, então f é injectiva ( yxyx nn =⇔= ) e sobrejectiva ( ( )( )xyfyx

=∃∀∈∈ RIRI

);

• se n é par, então f não é injectiva (pois é uma função par com domínio diferente de {0}) nem sobrejectiva (pois todas as imagens por f são números não negativos), mas a função que se obtém restringindo o domínio e o conjunto de chegada de f

nxx

F

a

++ → 00 RIRI:

é injectiva e sobrejectiva.

Vamos estar interessados em inverter a função nxxf a: (ou a sua restrição F , no caso de o expoente ser par), e vamos querer deduzir algumas propriedades gerais. Não será de todo conveniente termos que estar constantemente a considerar em separado o caso em que o expoente é ímpar e o caso em que o expoente é par. Para não termos que nos preocupar com isso, consideraremos apenas potências cuja base é não-negativa, ou seja: de agora em diante consideraremos sempre a função f definida em +

0RI e com valores em +0RI :

nxx

f

a

++ → 00 RIRI:.

Com esta restrição, temos a garantia de que

Se NI∈n , então a função

nxx

f

a

++ → 00 RIRI:

é injectiva e sobrejectiva.

Sendo injectiva e sobrejectiva, a função f admite inversa 1−f . Dado +∈ 0RIx , ( )xf 1− é o (único) número +∈ 0RIy que verifica ( ) xyf = . Diz-se então que ( )xfy 1−= é a raiz de índice n de x , que se representa através

de um radical: ( ) n xxfy == −1 .

Por definição, ( )xf 1− (ou seja n x ) é o número não negativo cuja imagem por f é x (ou seja, cuja potência de

expoente n é x ): simbolicamente ( )( ) xxff =−1 , ou seja, ( ) xxn

n = .

Sejam +∈ 0RIx e NI∈n . Define-se a raiz de índice n de x — que se representa por n x — como

sendo o único número real não-negativo que verifica

( ) xxn

n = .


5

Gostaríamos de poder exprimir a raiz na forma de uma fracção. Vamos supor que isso é possível: vamos supor que

para quaisquer +∈ 0RIx e NI∈n existe um número RI∈α tal que α= xxn . Qual será o valor de α ?

Estamos interessados em que a propriedade (2), da potência de potência, se mantenha. Em particular, deverá

verificar-se a igualdade ( ) nnxx ×αα = . Mas nós suposemos que n xx =α , logo ( ) ( ) xxx

nnn ==α como já tínhamos

visto. Então ( ) 1xxxnn == α×α , logo, comparando os expoentes, concluímos que n×α deverá ser igual a 1, ou seja,

n

1=α . A conclusão final é a de que, se queremos exprimir n x na forma de uma potência αx , devemos tomar

n

1=α .

Sejam +∈ 0RIx , NI∈n e n

1=α . Define-se αx — a potência de expoente fraccionário n

1=α de

x — como sendo a raíz de índice α

= 1n de x ,

(7)(7)(7)(7) n xx =α com NI1 ∈α

=n .

Equivalentemente (por definição de raiz de índice n): αx é o único número real não-negativo que verifica

(8)(8)(8)(8) ( ) xxn =α com NI

1 ∈α

=n .

Observação: quando n=1, temos xxx n == 11 , portanto xx =1 .

Potências de expoente racional não-inteiro

Seja α um número racional. Então existem Z∈p e NI∈q tais que q

pq

p 1×==α .

Consideremos agora um número real positivo x . Como definir αx se α não for inteiro? Mais uma vez, queremos que a propriedade (2) se mantenha válida, o que implica

( ) ( ) q pqpqp xxxx === ⋅α 11

Será deste modo que definiremos as potências de expoente racional não inteiro:

Sejam +∈ 0RIx e ZQ\|∈α , sem que se verifique 00 ≤α∧=x .

Sejam Z∈p e NI∈q tais que q

p=α .

Define-se αx — a potência de expoente fraccionário q

p=α de x — através da relação

q pxx =α a qual é equivalente a

( ) pqxx =α

ou seja: αx (q

p=α ) é o único elemento de +0RI cuja potência de índice q é igual a px .

Dito de outra forma:


6

αx (q

p=α ) é igual à única solução real não-negativa y da equação pq xy = .

O leitor mais atento recordar-se-á de que qualquer número racional pode ser escrito como fracção de infinitas

formas, mesmo que imponhamos a condição de o denominador ser positivo. Se q

p é a fracção irredutível com

denominador positivo que representa o número α , então as fracções com denominador positivo correspondentes ao

número α são precisamente as fracções da forma nq

np

××

, com NI∈n .

Consideremos uma dessas fracções equivalentes a q

p. Se, na definição de αx , usássemos esta representação do

número α , concluiríamos que αx é igual à única solução real não-negativa y da equação npnq xy ×× = — que pode

ser reescrita na forma ( ) ( )npnq xy = .

Acontece que, sendo n um número natural e qy e px números reais não-negativos, as potências de expoente n

dos números qy e px serão iguais se e apenas se os próprios números qy e px forem iguais: simbolicamente,

( ) ( ) pqnpnq xyxy =⇔= . Significa isto que o número y só é solução da equação npnq xy ×× = se for solução da

equação pq xy = , e vice-versa. Obtemos sempre o mesmo valor — independentemente da fracção que tenhamos

usado para representar o número α — e portanto estaremos sempre a atribuir a αx o mesmo valor.

Concluímos deste modo que a nossa definição de αx , com Q|∈α , é consistente: se cumprirmos os requisitos da

definição, obteremos sempre o mesmo valor para αx , mesmo que usemos várias fracções equivalentes para representar o expoente α .

A importância de a base ser positiva, quando o expoente é fraccionário De acordo com a nossa definição,

( ) ( )

( )( ) ( ) 222

88

9 99 33

9 393

−=−=−=

=−=−

Uma vez que 18

6

9

3 = , a potência ( ) 1868− deveria ter o mesmo valor que ( ) 938− , uma vez que a fracção em

expoente representa o mesmo número. No entanto,

( ) ( )

( )( ) ( ) 2222

88

18 1818 1818 63

18 6186

==−=−=

=−=−

Verificamos que o valor obtido depende da forma como representamos o número 9

3. Mas se queremos que a

potência seja uma função dos números que constituem a sua base e o seu expoente, então a forma como esses números estão representados deve ser irrelevante para o cálculo da potência. Não é isto que acontece quando a base da potência é negativa e o expoente é fraccionário: o valor calculado para a potência pode ser negativo ou positivo, consoante o numerador da fracção seja ímpar ou par. Esta não é sequer a pior situação possível, pois poderia ser resolvida impondo o uso de uma fracção equivalente irredutível no momento de calcular o valor da potência. O pior caso acontece quando a base da potência é um número negativo e o expoente é uma fracção com numerador ímpar e denominador par. Por exemplo:


7

( ) ( ) ?!=−=−=− 44 343 111

A consequência de tudo isto é que, se tomássemos uma certa base 0<a e tentássemos fazer o gráfico de xa , iríamos ter valores alternadamente negativos e positivos, intercalados com “buracos” no gráfico. Não estamos interessados em definir uma função com um comportamento tão “anómalo”, por isso não nos preocuparemos sequer em definir as potências de base negativa e expoente fraccionário — excepto quando o expoente é uma fracção de numerador 1: nesse caso a potência corresponde a uma raiz, conceito este que já conhecemos e dominamos há vários anos.

Potências de expoente real irracional É oportuno revermos agora as sucessivas definições de potências de expoente natural, nulo, inteiro negativo, e racional não-inteiro. A definição mais intuitiva e que serviu de base a todas as outras foi a de potência de expoente natural; e se repararmos bem, cada extensão do conceito de potência seguiu de perto a forma como se estende o próprio conceito de número:

• o zero é definido como o elemento neutro da adição, e esta propriedade foi usada para “deduzir” o valor de 0x ;

• cada número inteiro negativo é o simétrico de um número natural (ou seja: para qualquer número inteiro negativo n existe um número natural cuja soma com n é zero) — e, mais uma vez, esta propriedade foi usada para definir as potências de expoente inteiro negativo;

• os números racionais correspondem a fracções com numerador inteiro e denominador natural, e esta propriedade foi fundamental para a definição das potências de expoente racional não-inteiro.

Para descobrirmos a forma de estender a definição de potência ao caso em que o expoente é irracional, teremos que ter bem presente a forma como os números irracionais são construídos a partir dos números racionais.

Para qualquer número irracional α (mais geralmente, para qualquer número real α ) existe pelo menos uma sucessão de números racionais ( )nu cujo limite é α . Na verdade, existem infinitas sucessões nestas condições. A

mais familiar é talvez a sucessão das dízimas aproximadas por defeito com 1, 2,…, n casas decimais. Por exemplo:

a sucessão ( )nu cujos primeiros termos são 1031

1,31 ==u , 100314

14,32 ==u , 10003141

141,33 ==u ,

1000031415

1415,34 ==u , 100000314159

14159,35 ==u ,…, é uma sucessão de números racionais convergente para o

número π , que é irracional.

Se quiséssemos calcular πx , com +∈ RIx , poderíamos pensar em calcular uma sucessão de valores aproximados 1,3

11 xxv u ==

14,32

2 xxv u == 141,3

33 xxv u ==

… e tomar para valor de πx o limite dos valores aproximados ( )nv , caso esse limite existisse. Porém, imediatamente

se colocam duas questões:

• Existirá o limite da sucessão de termo geral nun xv = ?

• Esse limite será sempre o mesmo, qualquer que seja a sucessão de números racionais ( )nu convergente para

π que escolhamos?

Prova-se que ambas as questões são respondidas de forma afirmativa:


8

Sejam +∈ RIx e Q\RI |∈α . Seja ( )nu uma sucessão de números racionais tal que α=nulim , e seja

( )nv a sucessão de termo geral nun xv = . Então,

• A sucessão ( )nv é convergente.

• Seja ( )nw outra sucessão de números racionais tal que α=nwlim , e seja ( )nz a sucessão de

termo geral nwn xz = . Então nn vz limlim = .

Abreviadamente,

( )( )Q,RI

limlimlimlim

|∈∀∧∈

=⇒=+

nnn

uwnn

wux

xxuw nn

Estas duas propriedades permitem-nos definir, de forma consistente, a potência de expoente irracional:

Sejam +∈ RIx e Q\RI |∈α . Define-se αx — a potência de expoente irracional α de x — através da relação ( )nuxx lim=α

onde ( )nu é uma sucessão de números racionais convergente para α , ou seja, α=nulim .

Repare-se que a definição dada conduz imediatamente a ( )nn uu xx limlim = .

Propriedades das potências de expoente real

A última igualdade acima referida é válida sempre que +∈ 0RIx e ( )nu é uma sucessão convergente de números

reais, não obrigatoriamente racionais.

Seja +∈ RIx e seja ( )nu uma sucessão convergente de números reais. Então,

(9)(9)(9)(9) ( )nn uu xx limlim =

Significa isto que as potências de base real positiva e expoente real são funções contínuas do expoente.

Tal como as potências de expoente natural, inteiro relativo ou racional, todas as potências de expoente irracional são funções contínuas da sua base:

Seja RI∈α e seja ( )nx uma sucessão convergente de números reais positivos cujo limite é também um

número real positivo. Então,

(10)(10)(10)(10) ( ) ( )αα = nn xx limlim

As regras operatórias de potências que já conhecíamos permanecem válidas quando admitimos potências com qualquer expoente real:


9

Para quaisquer +∈ RI,ba e RI, ∈yx , são válidas as seguintes igualdades:

(1) yxyx aaa +=×

(2) ( ) xyyx aa =

(3) ( )xxx abba =×

(4) x

x

aa

1=−

(5) yxy

x

aa

a −=

(6) x

x

x

b

a

b

a

=

Finalmente referiremos algumas propriedades que, apesar de intuitivas, são suficientemente importantes para que se justifique uma referência explícita:

Para quaisquer números reais x e α tais que 1>x e 0>α , tem-se 1>αx . Simbolicamente,

(11)(11)(11)(11) ] [ 1RI;1 >⇒∈α∧+∞∈ α+ xx

Para qualquer +∈α RI , tem-se +∞=α

+∞→x

xlim . Simbolicamente,

(12)(12)(12)(12) +∞=⇒∈α α

+∞→

+ xxlimRI

Demonstração:

Seja +∈α RI . Então também +∈α RI1 .

Seja NI∈n tal que α>1n . Então n1>α , ou equivalentemente, 01 >−α n . Aplicando a

propriedade (11), concluímos que 11 >−α nx , logo nnnn xxxxx =>⋅= −αα 111 . Mas já sabemos (e foi referido noutros apontamentos, relativos aos limites de sucessões e funções) que, se NI∈n , então

+∞=+∞→

n

xxlim . Consequentemente, passando ao limite a desigualdade n xx >α , concluímos que

+∞=α

+∞→x

xlim .

Para qualquer −∈α RI , tem-se +α

+∞→= 0lim x

x. Simbolicamente,

(13)(13)(13)(13) +α

+∞→

− =⇒∈α 0limRI xx

Demonstração:

Seja −∈α RI . Então +∈α− RI , logo +∞=α−

+∞→x

xlim , consequentemente

+α−

+∞→

α−+∞→

α

+∞→=

∞+=== 0

1lim

11limlim

xxx

xxx

.


10

Funções exponenciais e logarítmicas

Definição geral de função exponencial Através de sucessivas generalizações, conseguimos estender o conceito de potência de modo a podermos considerar qualquer expoente real. Pelo caminho tivemos que nos restringir a potências de base positiva, pois na passagem para o expoente fraccionário verificámos que a consideração de potências de base negativa conduziria a situações “anómalas”, e as potências de base zero também já tinham sido ignoradas antes, pois já tínhamos visto que elas não estariam definidas quando o expoente fosse um número 0≤ .

Até agora, de forma mais ou menos explícita, estivemos sempre a encarar o expoente de uma potência como sendo um número fixo e a base da potência como uma variável. Ao escrevermos αx , mais depressa imaginaríamos construir uma função em que x variasse e α permanecesse fixo (por exemplo 0,: 34 ≥xxxf a ), do que o contrário. Uma novidade do estudo de funções no 12.º ano consiste precisamente em considerar funções definidas por potências em que a base é constante e o que varia é o expoente. A essas funções chamamos funções exponenciais.

Seja +∈ RIa . Define-se a função exponencial de base a como sendo a função f que a cada RI∈x

faz corresponder ( ) xaxf = .

Simbolicamente, a função exponencial de base a é definida por:

xax

f

a

+→ RIRI:

Função exponencial [de base e ] Qualquer número real positivo pode ser usado como base de uma função exponencial, mas as várias funções exponenciais assim obtidas estão todas relacionadas, sendo possível passar de umas para outras através de transformações muito simples que correspondem a expansões/contracções e inversões dos seus gráficos. Assim, basta-nos estudar aprofundadamente uma função exponencial para rapidamente podermos tirar conclusões acerca de qualquer outra função exponencial. E qual será a função exponencial que iremos estudar em mais detalhe?

Por várias razões (que começarão a ficar mais claras ainda durante o 12.º ano), pode dizer-se que a função

exponencial mais importante é aquela cuja base é o número n

ne

+= 11lim . As propriedades mais importantes

desta função podem obter-se a partir da igualdade

xn

en

x =

+1lim

por isso começaremos por “deduzir” esta igualdade.

Caso 1=x

Este caso é trivial, uma vez que o número 1ee = é definido precisamente como o limite da sucessão n

n

+ 11 . De

facto, mosta-se que esta sucessão é estritamente crescente e limitada, logo é convergente.


11

Caso 0=x Nesse caso

( )

( ) x

nnn

ee

nn

x

====

==

+=

+

011lim

1lim0

1lim1lim

Caso 0>x

( ) ( )

=

+=

+=

+⋅ xxnxxnn

xnxnn

x 11lim

11lim1lim

(usando a propriedade (10))

( ) xxn

xn

+= 1

1lim

Consideremos a sucessão de termo geral x

nun = . Tem-se que

( )

+∞=∞+==>0

limlim

xx

nun . É possível provar que

Se ( )nu é uma sucessão de números reais tal que +∞=nulim , então

(14)(14)(14)(14) eu

nu

n

=

+ 1

1lim

Consequentemente,

( )

exn

xn

=

+ 1

1lim

logo

( )( )

x

xxnn

exnn

x =

+==

+ 11lim1lim K

Caso 0<x Comecemos por usar a propriedade (14) para provar que

Se ( )nu é uma sucessão de números reais tal que −∞=nulim , então

eu

nu

n

=

+ 1

1lim


12

Demonstração:

Seja nn uv −= . Então +∞=−= nn uv limlim , e

( ) ( ) =

−+−=

−=

−=

+

−⋅− nn

nn v

n

n

v

n

n

v

n

u

n v

v

v

v

vu 111

lim1

lim1

1lim1

1lim11

( )

=

−+⋅

−+=

−+=

−+− 1111

11

11

11lim

11

1limn

v

n

v

n vvv

nn

=

−∞++⋅

−+=

−+⋅

−+=

−−

11

11

11lim

11

1lim1

11lim

11 nn v

nn

v

n vvv

1

11

1lim−

−+=

nv

nv

Acontece que, se +∞=nvlim , então também ( ) +∞=−1lim nv , logo podemos aplicar a propriedade

(14) para concluir que

( ) evu

nn v

n

u

n

=

−+==

+

−1

11

1lim1

1lim K

O raciocínio prossegue agora de modo análogo ao do caso anterior:

( )( )

x

xxnn

exnn

x =

+==

+ 11lim1lim K

visto que, se 0<x , então −∞=

x

nlim , logo podemos aplicar a propriedade acima demonstrada para concluir

que ( )

exn

xn

=

+ 1

1lim .

Concluímos deste modo a verificação de que

Para qualquer RI∈x ,

(15)(15)(15)(15) xn

en

x =

+1lim

De agora em diante, sempre que usarmos a expressão função exponencial sem qualquer outra indicação, estaremos a referir-nos à função exponencial de base e .

Expansão em série de potências da função exponencial [de base e ]

Vimos em (15) que o valor da função exponencial xe em cada ponto x pode ser obtido a partir da igualdade n

x

n

xe

+= 1lim . Da definição de potência de expoente real também concluímos que nux ee lim= onde nu é uma

sucessão de números racionais convergente para x . Porém, qualquer uma destas igualdades é pouco esclarecedora quanto às propriedades da função exponencial. Haverá outra expressão que permita calcular xe e que nos dê mais informações sobre as propriedades desta função? A resposta é afirmativa, e essa expressão


13

constrói-se a partir da sucessão de termo geral n

n

x

+1 . Iremos representar esta sucessão por ( )nw , para

simplificar a notação.

A igualdade nx we lim= diz-nos que, à medida que n aumenta, o termo nw aproxima-se cada vez mais do valor de

xe . Para obtermos um valor tão aproximado quanto se queira, basta fazer n suficientemente grande.

O termo de ordem n da sucessão ( )nw é

( )∑∑==

− ⋅⋅⋅−

=

⋅⋅=

+=n

k

kk

n

k

kkn

kn

n

n xnkkn

n

n

xC

n

xw

00

1!!

!11

o qual é formado por 1+n parcelas onde surgem as potências de x , desde 10 =x até nx . Dado NI∈k , todos os termos de ordem kn ≥ da sucessão ( )nw têm uma parcela onde surge kx : trata-se da parcela

( )

( ) ( ) ( ){ ( )

k

k

k

nk

k

k

kk

xkn

k

n

xkn

kn

n

n

n

n

xkknn

knknnn

xnkkn

n

⋅⋅

−−××

−⋅=

=⋅⋅

+−××−⋅=

=⋅⋅

−⋅−⋅+−××−⋅=

=⋅⋅

⋅−

!

111

111

!

111

!1

!!11

1

!!

!

K

K

4444 84444 76K

a iguaisfactores

factores

O que acontece a esta parcela à medida que n aumenta?

Suponhamos que kn >> (lê-se “ n é muito maior do que k ”). Então 11

<<n

,…, 11

<<−n

k, logo 1

11 ≈−

n,…,

11

1 ≈−−n

k, ou seja, todos os k factores do produto

−−××

−⋅n

k

n

11

111 K são aproximadamente iguais a

1 (tão próximos de 1 quanto se queira: basta fazer n suficientemente grande), logo o produto desses k factores será também aproximadamente igual a 1. Concluímos assim que, quando n é suficientemente grande,

( ) !1

!!!

k

xx

nkkn

n kk

k≈⋅⋅

⋅−

sendo a aproximação tanto melhor quanto maior for n .

Esta aproximação só é válida para algumas parcelas no início do desenvolvimento de n

n

x

+1 , visto que no nosso

raciocínio usámos a hipótese de que nk << . No entanto, as parcelas “mais para a frente” são todas muito

pequenas: elas são da forma

⋅

−−××

−⋅!

11

111

k

x

n

k

n

k

K , e se suposermos xk >> , então o factor

k

xxx

k

xk

××⋅= K21!

será o produto de alguns termos maiores do que 1 e muitos termos muito menores do que 1,


14

logo !k

xk

será muito menor do que 1, por isso o produto

⋅

−−××

−⋅!

11

111

k

x

n

k

n

k

K (que constitui a parcela

com kx no desenvolvimento de nw ) será muito menor do que 1.

Concluímos assim que, quando n é suficientemente grande,

• as primeiras parcelas do desenvolvimento de n

n n

xw

+= 1 são dadas aproximadamente por !k

xk

, sendo a

aproximação tanto melhor quanto maior for a ordem n do termo da sucessão;

• as parcelas que não podem ser aproximadas desta forma são muito pequenas quando comparadas com as parcelas iniciais.

Consequentemente, quando n é suficientemente grande,

KK +++++≈!!2!1!0

210

k

xxxxw

k

n

“No limite, quando n se torna infinitamente grande”, o erro cometido nesta aproximação reduz-se para zero. Por outro lado, n

x we ≈ , e o erro cometido nesta aproximação também tende para zero à medida que n tende para

∞+ . Consequentemente, no limite,

Para qualquer RI∈x , a função exponencial pode ser calculada através da seguinte série de potências:

(16)(16)(16)(16)

∑∞

=

=

+++++=

0

210

!

!!2!1!0

k

k

kx

k

x

k

xxxxe KK

onde ∑∞

=0 !k

k

k

x representa o limite das somas parciais,

∑

=+∞→

n

k

k

n k

x

0 !lim .

Nestas expressões, 0x representa o número 1, mesmo quando 0=x .

Obtivemos assim a representação da função exponencial em série de potências, a qual constitui uma espécie de “polinómio com infinitos termos”. Se fizermos os cálculos para os primeiros termos, obtemos

(17)(17)(17)(17) KK ++++++=!62

132

k

xxxxe

kx

A representação da função exponencial em série de potências será muito útil para demonstrar algumas propriedades relacionadas com os limites.

Principais propriedades da função exponencial [de base e ], incluindo limites notáveis

• O domínio da função exponencial é RI .

• A função exponencial é contínua em todo o seu domínio, o que significa que, para qualquer RI∈a

(18)(18)(18)(18) ax

axee =

→lim

ou equivalentemente: para qualquer sucessão de números reais ( )nu ,

nn uaun eeeau limlimlim ==⇒=

Várias outras propriedades da função exponencial resultam directamente da aplicação das propriedades das potências de expoente real:


15

Para quaisquer RI, ∈ba , tem-se

(19)(19)(19)(19) baba eee ⋅=+

(20)(20)(20)(20) ( ) ( )abbaba eee ==⋅

(21)(21)(21)(21) a

a

ee

1=−

(22)(22)(22)(22) +∞=+∞→

x

xelim

Demonstração:

De (15), sabemos que nx we lim= , onde

∑∑=

−

=

−

⋅++=

⋅=

+=n

k

kn

kn

n

k

kn

kn

n

n n

xCx

n

xC

n

xw

20

11

Se x for positivo, todas as parcelas do último somatório são positivas, logo ( )01 >+≥ xxwn .

Consequentemente, ao passarmos ao limite, xwe nx +≥= 1lim .

Como ( ) ( ) +∞=∞++=++∞→

11lim xx

e a função exponencial cresce mais depressa do que a função

xx +1a (isto é, xex +≥1 ), conclui-se que +∞=+∞→

x

xelim .

(23)(23)(23)(23) +

−∞→= 0lim x

xe

Demonstração:

( )

+

+∞→+∞→

−

−=+∞→−∞→

=∞+

==== 01

lim

11limlimlim

y

y

yy

y

xyy

x

x eeee

(24)(24)(24)(24) xex

x+≥∀

∈1

RI

Demonstração:

• A demonstração desta propriedade quando 0≥x foi feita quando demonstrámos a propriedade (22).

• Suponhamos agora que 0<x . Nesse caso xx −= , e como 0>x tem-se sucessivamente

xxx

xx

x

x

xx =−>

+−<

+<

+>+

1,

1,1

1

1,11 ,

xexe

x

x

+≤+≥

111

,1 .

Usando esta informação, concluímos que, se 0<x ,

xeee

x

xx

+≤== −

111

( )x

x

x

x

xx

x+>

+−=

+−+

=+

11

11

1

11

logo xex +>1 c.q.d..

A função exponencial é positiva em todo o seu domínio. Simbolicamente,

(25)(25)(25)(25) 0RI

>∀∈

x

xe


16

Demonstração:

• Se 0≥x então 01 >+≥ xex .

• Suponhamos agora que 0<x . Nesse caso xx −= , e como 0>x tem-se 0>xe , logo

01 >== −

x

xx

eee .

O contradomínio da função exponencial é +RI .

A demonstração desta propriedade recorre aos seguintes factos já conhecidos:

• o domínio da função exponencial é o intervalo ] [+∞∞− , ,

• +

−∞→= 0lim x

xe ,

• +∞=+∞→

x

xelim ,

• a função exponencial é contínua em todo o seu domínio, e

• 0RI

>∀∈

x

xe .

No entanto, necessitaríamos de utilizar na demonstração o Teorema do Valor Intermédio (Teorema de Bolzano-Cauchy), o qual ainda não foi estudado.

A função exponencial é estritamente crescente. Simbolicamente,

(26)(26)(26)(26) ( )ba

baeeba <⇒<∀

∈ RI,

Demonstração:

Sejam a e b dois números reais tais que ba < . Então 0>− ab , consequentemente

( ) 11 >−+≥= − abee

e aba

b

.

Como 0>ae podemos multiplicar por ae ambos os membros da desigualdade 1>a

b

e

e, concluindo assim

que ab ee > , como queríamos demonstrar.

A próxima propriedade só será utilizada mais tarde, mas como estamos a listar várias propriedades da função exponencial relacionadas com limites e desigualdades, aproveitamos para referir também esta.

(27)(27)(27)(27) 11

lim0

=−→ x

ex

x

Justificação a partir do desenvolvimento em série de potências, propriedade (16):

( )( )

( ) ( )

⋅+⋅+⋅+=

+⋅+−+=

=−

⋅++

=−

=−

∑∑

∑∑

∞

=→

∞

−==→

∞

=

−

→

∞

=

→→

00

20

2

0

2

22

0

0

00

!121lim

!2

11lim

1!

1

lim

1!

lim1

lim

k

k

x

kmm

m

x

k

k

x

k

k

x

x

x

kkk

xx

m

x

x

x

x

x

x

k

xxx

x

k

x

x

e


17

Analisemos os termos (“parcelas”) da série (“somatório”) ( ) ( )∑∞

= ⋅+⋅+0 !12k

k

kkk

x.

Para qualquer k, tem-se

( ) ( ) ( ) ( ) !!12!12 k

x

kkk

x

kkk

xkkk

≤⋅+⋅+

=⋅+⋅+

Mas a série cujos termos (“parcelas”) são !k

xk

é uma série convergente (isto é: a “soma de todas as

parcelas” está definida e é um número real), que até sabemos calcular: o seu valor é x

k

k

ek

x=∑

∞

=0 !.

Logo, a série ( ) ( )∑∞

= ⋅+⋅+0 !12k

k

kkk

x também é convergente e o seu valor absoluto é inferior ou igual a

xe . Consequentemente,

( ) ( )x

k

kx ex

kkk

xxex ⋅≤

⋅+⋅+⋅≤⋅− ∑

∞

=0 !12

Acontece que ( ) 010lim0

=⋅=⋅→

x

xex , logo, passando ao limite o enquadramento acima, concluímos que

( ) ( ) 0!12

lim00

0≤

⋅+⋅+⋅≤ ∑

∞

=→k

k

x kkk

xx

donde se conclui finalmente que

( ) ( ) ( )

101

!12lim1lim

1lim

0000

=+=

=

⋅+⋅+⋅+=−∑

∞

=→→→k

k

xx

x

x kkk

xx

x

e

Esta propriedade, conjugada com a propriedade já conhecida baba eee ⋅=+ (aplicação de uma regra operatória das potências ao caso particular da função exponencial), permite-nos concluir que

(28)(28)(28)(28)

=−∀

+

→∈

xxhx

hxe

h

ee0RI

lim

A função exponencial é diferenciável em todo o seu domínio, e a sua função derivada é a própria função exponencial.

Demonstração:

( ) xxh

h

xhx

h

xhx

h

xhx

hee

h

ee

h

ee

h

eee

h

ee =⋅=−⋅=−⋅=⋅−⋅=−→→→

+

→1

1lim

1lim

1limlim

0000

É esta a principal propriedade que torna a função exponencial de base e mais importante do que qualquer outra função exponencial com outra base. Além disso, todas as outras funções exponenciais podem ser construídas a partir da função exponencial de base e , como veremos em breve.

Terminamos esta secção sobre propriedades da função exponencial, mostrando que


18

A função exponencial xex a cresce mais depressa do que qualquer potência de x , à medida que x tende para ∞+ . Simbolicamente,

(29)(29)(29)(29)

+∞=∀ α+∞→∈α x

ex

xlim

RI

Justificação:

A partir do desenvolvimento da função exponencial em série de potências, conclui-se que

∑∞

=

α−

+∞→α+∞→=

0 !limlim

k

k

x

x

x k

x

x

e

Seja n o menor número inteiro não-negativo que é maior do que α . Isolando o termo da série correspondente a nk = , obtemos

{ }

+= ∑

∞

∈

α−α−

+∞→α+∞→nk

kn

x

x

x k

x

n

x

x

e

\NI !!limlim

Para qualquer 0>x , todas as “parcelas” de { }∑

∞

∈

α−

nk

k

k

x

\NI ! são positivas, logo

!n

x

x

e nx α−

α > . Mas

+∞=∞+=α−

+∞→ !!lim

nn

xn

x (pela propriedade (12)), logo também +∞=α+∞→ x

ex

xlim .

Função logaritmo [de base e ] Vimos atrás que a função exponencial é estritamente crescente (propriedade (26)), logo é injectiva, logo é invertível. Vimos também que o domínio da função exponencial é RI e o seu contradomínio é +RI , consequentemente a função inversa terá domínio +RI e contradomínio RI .

À função inversa da função exponencial de base e damos o nome de logaritmo natural (ou função logarítmica de base e ; usar-se-á aqui também o nome de função logaritmo).

Representamos por xln ou ( )xln o logaritmo de um número real positivo x .

De acordo com a definição de função inversa, tem-se yexyx =⇔=ln isto é: o logaritmo natural de um número real x é o número ao devemos elevar e para se obter x .

Da definição saem imediatamente as propriedades seguintes:

• O domínio da função logaritmo é +RI .

• O contradomínio da função logaritmo é RI .

• A função logaritmo é injectiva (por ser a inversa de uma função).

(30)(30)(30)(30) ( )xe x

x=∀

+∈

ln

RI

(31)(31)(31)(31) ( )[ ]xex

x=∀

∈ln

RI

Exemplos:

• 3,210ln ≈ pois 103,2 ≈e

• 7,02ln ≈ pois 27,0 ≈e

• 23,210ln 2 ×≈ pois ( ) 223,223,2 10≈=× ee


19

A partir dos limites +

−∞→= 0lim x

xe e +∞=

+∞→

x

xelim , e da monotonia da função exponencial, demonstra-se que

(32)(32)(32)(32) ( ) −∞=+→

xx

lnlim0

(33)(33)(33)(33) ( ) +∞=+∞→

xx

lnlim

A partir da continuidade da função exponencial, pode demonstrar-se que

A função logaritmo é contínua em todo o seu domínio.

É também muito fácil mostrar que

A função logaritmo é estritamente crescente em todo o seu domínio. Simbolicamente,

(34)(34)(34)(34) ( ) 212121 lnlnRI, xxxxxx <⇒<∧∈ +

Demonstração:

Vamos demonstrar o contra-recíproco, ou seja: vamos demonstrar que, se 21 lnln xx ≥ , então 21 xx ≥ .

Suponhamos que 21 lnln xx = . Como a função logaritmo é injectiva, necessariamente 21 xx = , logo é

também verdade que 21 xx ≥ .

Suponhamos agora que 21 lnln xx > . Como a função exponencial é estritamente crescente, 21 lnln xx ee > .

Mas 1ln 1 xe x = e 2

ln 2 xe x = , logo 21 xx > . Também neste caso verificamos ser verdade que 21 xx ≥ .

A partir do limite notável 11

lim0

=−→ x

ex

x, e considerando a continuidade da função logartimo, mostra-se que

(35)(35)(35)(35) 11

lnlim

1=

−→ x

xx

Demonstração (por mudança de variável):

Aplicação resumida da mudança de variável:

( )1

11

1lim

11

lim1

lnlim

0ln

01==

−=

−=

−→

=→→

z

ee

z

x

xz

z

z

xzzx

Demonstração detalhada:

Nas condições da definição de limite, seja ( )nx uma sucessão de elementos de +RI (“objectos”)

convergente para 1, cujos termos são todos diferentes de 1. Queremos provar que a sucessão de termo

geral 1

ln

−=

n

nn x

xy (a sucessão das “imagens”) converge para 1.

Para provar que 1lim =ny , iremos efectuar uma mudança de variável. Para tal, consideremos a

sucessão de termo geral nn xz ln= (ou seja: consideremos uma nova variável xz ln= ). Desta igualdade

resulta que nz xe n = , consequentemente

11

1

−

−=−

=n

z

zn

n z

e

e

zy

n

n.

A continuidade da função logaritmo e a hipótese de que 1lim =nx implicam que

( ) ( ) 01lnlnlnlim === nn xz (ou seja: calcular 1

lim→x

corresponde a calcular 0

lim→z

); por outro lado, a

injectividade da função logaritmo (por ser a inversa de uma função) implica que todos os termos da


20

sucessão ( )nz são diferentes de 0. Estes factos, conjugados com o limite conhecido 11

lim0

=−→ z

ez

z,

implicam que 11

lim =−

n

z

z

e n

, donde resulta que

111

lim1

limlim 1

11

==

−=

−= −−−

n

z

n

z

n z

e

z

ey

nn

como queríamos demonstrar.

O limite notável agora demonstrado vai ser usado mais tarde para calcular a derivada da função logaritmo.

Funções exponenciais com outras bases positivas

Se { }1\RI +∈a , o valor de aln está definido e é um número real diferente de zero. Usando as propriedades da função logaritmo e da função exponencial, verificamos que, para qualquer RI∈x

( ) ( ) a

x

xaxax eeea ln1lnln === ⋅

Desta forma podemos relacionar qualquer função exponencial com a função exponencial de base e .

• Se +∈ RIa e RI∈x , então

(36)(36)(36)(36) ( ) xax ea ⋅= ln

• Se { }1\RI +∈a , então o gráfico de xa obtém-se do gráfico de xe mediante uma expansão

horizontal por um factor igual a aln1 .

Justificação da segunda afirmação:

Seja ( )yx, um ponto do gráfico da função xex a . Por definição de gráfico de uma função, isso

significa que xey = . Consequentemente, ( )( )

yeea xa

xa

xa ===⋅

⋅ ln1

ln1

ln1 , logo o ponto

⋅ yxa

;ln

1 (que é

a imagem de ( )yx, mediante uma expansão na direcção horizontal por um factor aln1 ) pertence ao

gráfico da função xax a .

• Se ea > , então ea lnln > , logo 1ln1ln1 =< ea . Neste caso concluímos que o factor de expansão do gráfico é positivo mas menor do que 1, o significa que a “expansão” consiste verdadeiramente numa contracção.

• Se ea <<1 , então 1lnln0 =<< ea , logo 1ln1 >a . Neste caso o gráfico de xa obtém-se verdadeiramente

do de xe mediante uma expansão segundo a direcção vertical.

• Se tentarmos estender a relação encontrada ao caso em que 1=a , concluiremos que nesse caso o factor de expansão seria “infinito”. Esticando o gráfico “infinitas vezes”, o que se obtém? Intuitivamente, obtém-se uma recta vertical. É de facto isso que acontece: a função definida por x1 é a função constante igual a 1, e o seu gráfico é uma recta que passa pelo ponto ( )1;0 .

• Se 11 << ae , então 0ln1 <<− a , logo 1ln1 −<a . Neste caso o gráfico de xa obtém-se do de xe mediante uma inversão e uma expansão segundo a direcção vertical.

• Se ea 1= , então 1ln1 −=a : o gráfico de xa obtém-se do de xe mediante uma inversão segundo a direcção vertical.

• Se ea 10 << , então 1ln −<<∞− a , logo 0ln11 <<− a : o gráfico de xa obtém-se do de xe mediante uma inversão e uma contracção segundo a direcção vertical.


21

Funções logarítmicas com outras bases positivas A partir das propriedades conhecidas da função exponencial de base e e da propriedade (36), facilmente de demonstra que

Se { }1\RI +∈a , então a função xaxf a: tem domínio RI e contradomínio +RI , e é injectiva.

Sendo injectiva, a função f é invertível.

Seja { }1\RI +∈a . À função inversa da função xaxf a: (função exponencial de base a ) damos o nome de logaritmo de base a ou função logarítmica de base a .

Representamos por xalog ou ( )xalog o logaritmo de base a de um número real positivo x .

O domínio da função 1−f é o contradomínio de f , ou seja, +RI . O contradomínio de 1−f é o domínio de f , ou seja, RI .

Por definição, xalog é o número real cuja imagem por f é igual a x , ou seja, ( ) xxf a =log , o que, atendendo à

definição de f , significa que xa xa =log . Substituindo agora nesta relação x por xa , concluímos que xa aax

a =log ,

o que, atendendo à injectividade da função exponencial, implica xaxa =log . Obtivemos assim duas relações

importantes.

Se { }1\RI +∈a , então

• O domínio da função logaritmo de base a é +RI .

• O contradomínio da função logaritmo de base a é RI .

• A função logaritmo de base a é injectiva (por ser a inversa de uma função).

(37)(37)(37)(37) ( )xa x

x

a =∀+∈

log

RI

(38)(38)(38)(38) ( )[ ]xaxa

x=∀

∈log

RI

Assim como conseguimos obter qualquer função exponencial a partir da função exponencial de base e , seria conveniente conseguirmos obter a função logaritmo de qualquer base a partir do logaritmo natural. De que forma?

Seja { }1\RI +∈a , e tomemos +∈ RIx . A definição de logaritmo de base a implica que xa xa =log , esta igualdade conduz-nos ao resultado pretendido:

( ) ( ) ( )

a

xx

xxaxexexa

a

axaxax aaa

lnln

log

lnloglnloglnloglnlog

=⇔

⇔=⋅⇔=⇔=⇔= ⋅

Para qualquer { }1\RI +∈a e qualquer +∈ RIx ,

(39)(39)(39)(39) a

xxa ln

lnlog =

As propriedades operatórias das potências permitiram-nos estabelecer algumas regras de cálculo com exponenciais (propriedades (19) a (21)). De cada uma destas propriedades resulta uma propriedade correspondente para os logaritmos:


22

Para qualquer { }1\RI +∈a , e para quaisquer +∈ RI, yx e RI∈k , tem-se

(40)(40)(40)(40) ( ) yxxy aaa logloglog +=

(41)(41)(41)(41) ( ) xkx ak

a loglog ⋅=

(42)(42)(42)(42) xx aa log1

log −=

(43)(43)(43)(43) yxy

xaaa logloglog −=

Demonstração:

Como a função exponencial de base { }1\RI +∈a é injectiva, para provar cada uma destas igualdades basta provar que as imagens de ambos os membros da equação são iguais: numa função injectiva, a imagens iguais correspondem objectos iguais.

(40) ( ) yxyxxy aaaaa aaaxya logloglogloglog +=⋅==

(41) ( ) ( ) xkkxkx aak

a aaxa logloglog ⋅===

(42) ( ) ( ) xxxx aaaa loglog1log1

log 1 −=⋅−==

−

(43) ( ) ( ) yxyxyxy

xaaaaaa loglogloglogloglog 11 −=+=⋅=

−−

Notação ambígua: xlog

Para a Matemática, a função logarítmica mais importante é a de base e , ou seja, o logaritmo natural. Nesse contexto, é frequente omitir a base do logaritmo e escrever xlog em vez de xelog . Por outro lado, nas aplicações

práticas é muito útil o logaritmo de base 10, por isso também é frequente escrever xlog em vez de x10log . O

resultado é que, quando vemos escrito xlog , ficamos sem saber de que se trata: logaritmo de base e ou de base 10?

Para evitar esta ambiguidade, nestes apontamentos nunca se usa a notação xlog : representa-se através de

através de xalog o logaritmo de qualquer base a , usando-se também a notação xln para referir o logaritmo de

base e .

Uma vez que já existe esta notação específica para a função logarítmica de base e , parece lógico reservar a notação xlog (sem indicação da base) para o logaritmo de base 10, e de facto é esta a notação usada em várias calculadoras. No entanto, em textos académicos de Matemática é quase certo que xlog corresponda à função logarítmica de base e .


23

Resumo das propriedades das funções exponenciais e logarítmicas

A sucessão n

n

+ 11

Define-se o número de Neper, e , como sendo

n

ne

+= 11lim

Se x é um número real e ( )nu é um infinitamente grande em módulo (isto é, se +∞=nulim ), então

x

u

n

eu

xn

=

+1lim

Propriedades gerais das funções exponenciais

Seja +∈ RIa , e considere-se a função exponencial de base a , xaxf a: .

• O domínio da função exponencial de base a é RI . Simbolicamente, RI=fD

• A função exponencial de base a é contínua em todo o seu domínio.

• A função exponencial de base a é positiva em todo o seu domínio. Simbolicamente, 0RI

>∀∈

x

xe .

• Se 1≠a , o contradomínio da função exponencial de base a é +RI . Simbolicamente, += RI'fD .

• Se 1>a , então a função exponencial de base a é estritamente crescente. Simbolicamente, ( )yx

yxaayx <⇒<∀

∈ RI,

Se 1<a , então a função exponencial de base a é estritamente crescente. Simbolicamente, ( )yx

yxaayx >⇒<∀

∈ RI,

• Se 1>a , então +∞=+∞→

x

xalim e +

−∞→= 0lim x

xa .

Se 1<a , então +

+∞→= 0lim x

xa e +∞=

−∞→

x

xalim .

• Se 1>a , então

+∞=∀

+∞→∈ k

x

xk x

alim

RI

Se 1<a , então

=∀ +

+∞→∈0lim

RI k

x

xk x

a


24

Propriedades gerais das funções logarítmicas

Seja { }1\RI +∈a , e considere-se a função logarítmica de base a , xxg alog: a .

• O domínio da função logarítmica de base a é +RI . Simbolicamente, += RIgD

• O contradomínio da função logarítmica de base a é RI . Simbolicamente, RI' =gD .

• A função logarítmica de base a é contínua em todo o seu domínio.

• Se 1>a , então a função logarítmica de base a é estritamente crescente. Simbolicamente, ( )yxyx aa

yxloglog

RI,<⇒<∀

∈

Se 1<a , então a função logarítmica de base a é estritamente decrescente. Simbolicamente, ( )yxyx aa

yxloglog

RI,>⇒<∀

∈

• Se 1>a , então ( ) −∞=+→

xax

loglim0

e ( ) +∞=+∞→

xax

loglim .

Se 1<a , então ( ) +∞=+→

xax

loglim0

e ( ) −∞=+∞→

xax

loglim .

Outros limites notáveis

• 11

lim0

=−→ x

ex

x

• 11

lnlim

1=

−→ x

xx


25

Propriedades operatórias de exponenciais e logaritmos

Para quaisquer +∈α RI , { }1\RI +∈a , RI, ∈yx , +∈ RI,wz , tem-se:

Fórmulas para mudança de base:

• ( ) xx e ⋅α=α ln

• a

zza ln

lnlog =

O logaritmo como função inversa da exponencial:

• za za =log

• ( ) xa xa =log

Exponencial de uma soma, logaritmo de um produto:

• yxyx α⋅α=α +

• ( ) wzzw aaa logloglog +=

Potência de uma exponencial, logaritmo de uma potência:

• ( ) ( )xyyxyx α=α=α ⋅

• ( ) zkz ak

a loglog ⋅=

Exponencial do simétrico, logaritmo do inverso, aplicação ao quociente:

• x

x

α=α− 1

• zz aa log1

log −=

• wzw

zaaa logloglog −=

08b01 pot exp log

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