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Logaritmos

Voc deve ter estudado os tpicos "Aritmtica Bsica" e "Exponenciais"antes de comear por aqui.Este tpico vem aps exponenciais pois usado como a "volta" da exponencial. Veja s:Sabemos que 5 elevado potncia 2, resulta 25, agora mudamos o contexto e vou fazer uma pergunta:- Qual o nmero (expoente) que devemos elevar o 5 para obtermos 25?Voc deve estar pensando:-Mas isso eu resolvo com exponenciais!!!Sim, porque essa bem fcil, as difceis no saem to simples assim. Vamos comear de baixo.O logaritmo serve para isso!Esta pergunta poderia ser interpretada matematicamente da seguinte forma:

Onde"x" o expoente que devemos elevar a base 5 para obtermos 25.Como sabemos que devemos elevar o 5 ao quadrado (ou seja, potncia 2) para obtermos 25, chegamos concluso que o logaritmo de 25 na base 5 2:

Cada elemento desta estrutura possui um nome. Vamos ver:

No exemplo anterior,, temos ento que abase 5, ologaritmando 25e ologaritmo de 25 na base 5 2.Note que, anteriormente, dissemos que"x" o expoente de"b", e na figura acima est escrito que "x" o "logaritmo". Isso acontece pois oLOGARITMO UM EXPOENTE.Agora, com esta breve introduo, podemos escrever uma primeira defino de logaritmo (hei, ainda no a oficial, mas o que temos at agora):Logaritmo de um nmeroN, na baseb, o nmeroxao qual devemos elevar a basebpara obtermosN.

Esta a apenas uma definio, voc deve ter entendido bem o que est escrito acima dela para ir ao prximo captulo de estudo.Veremos quais as condies que a base, o logaritmando e o logaritmo devem satisfazer para termos um logaritmo.No podemos sair escrevendo logaritmo de qualquer nmero em qualquer base. Existem algumas regras para que o logaritmo exista, so as:condies de existncia dos logaritmos.Para mostrar quais so estas condies, vou dar umEXEMPLO ERRADOpara cada restrio existente, para que voc veja o absurdo que seria se elas no existissem.Veja primeiro o exemplo abaixo:Ex. 1: Quanto vale?Ou seja, queremos saber qual o expoente que devemos elevar o nmero 4 para obtermos -16. Voc viu no captulo de potenciao que no h valor para este expoente. Chegamos ento a um absurdo.Por causa deste tipo de absurdo, h uma restrio quanto ao sinal do logaritmando:PRIMEIRA CONDIO DE EXISTNCIA (logaritmando):O logaritmando deve ser um nmero positivo.Veja que esta primeira restrio j inclui o fato de que o logaritmando deve ser diferente de ZERO. Duvida? Experimente encontrar o logaritmo de ZERO na base 3(log30).

Veja o prximo exemplo errado para ilustrar a prxima restrio:Ex. 2: Quanto vale?Ou seja, queremos saber qual o expoente que devemos elevar o nmero -4 para obtermos 4. Novamente chegamos em um absurdo, no h expoente que faa isso.Ainda olhando para a base:Ex. 3: Calcule.Queremos saber qual o expoente que devemos elevar a base 1 para obtermos 4. Como visto no captulo de potenciao, a base 1 elevada a qualquer expoente resulta 1, ou seja, no existe expoente para a base 1 que resulte 4. Absurdo!Ex. 4: Calcule.Traduzindo, qual o expoente que devemos elevar a base 0 para obtermos 4. Absurdo!Com estes trs exemplos sobre a base do logaritmo, chegamos na segunda condio de existncia.SEGUNDA CONDIO DE EXISTNCIA (base):A base deve ser um nmero positivo diferente de 1.Note que dito que a base deve ser um nmero positivo, ou seja, no pode ser ZERO tambm.

Portanto, resumindo as trs condies em um quadro s:CONDIES DE EXISTNCIA

logbN = x1N > 0

2b > 0

3b 1

T, e voc deve estar se perguntanto: Como que isso cai no vestibular? Uma maneira muito comum de cair a questo perguntar odomnio de uma funo com logaritmos.Lembrando que domnio o conjunto dos nmeros para os quais a funo existe, devemos apenas aplicar as condies de existncia no logaritmo para encontrar seu domnio. Veja os exemplos abaixo:

1)Qual o domnio da funo real definida por?Vemos que a base j est definida, vale 5. Portanto, no devemos aplicar a condio de existncia na base, somente no logaritmando.arrumando termos,as razes da funo do segundo grau so 2 e 3 e o grfico tem concavidade para baixo. Desenhando a parbola:

Portanto, os valores nos quais a parbola retorna valores positivos esto no intervalo entre 2 e 3. Este ser o domnio:Domnio =

Com a idia bsica vista nos dois captulos anteriores podemos dar mais um passo. Agora sim em direo a uma matria que j pode ser cobrada no vestibular (ah, mas mesmo a matria anterior no sendo cobrada diretamente, necessrio sab-la para compreender esta aqui e as posteriores).Lembrando que o logaritmo um expoente, podemos enunciar a equivalncia fundamental dos logaritmos:EQUIVALNCIA FUNDAMENTAL

Note que temos, na expresso acima, exatamente as duas maneiras de mostrar a pergunta feita no incio do estudo de logaritmos: "Qual o expoentexque devemos elevar a basebpara resultarN".

Esta equivalncia muito importante, pois muitos exerccios sobre logaritmos necessitam dela para sua resoluo. Veja, que, a flecha indicada nessa propriedade est nos dois sentidos, ou seja, voc pode transformar logaritmo em exponencial e exponencial em logaritmos.Vamos dar um exemplo de cada:

Ex. 1 - Qual o logaritmo de 216 na base 6?Em outras palavras, podemos escrever esta pergunta como:

Ondex o valor procurado, ou seja, o logaritmo elucidado no enunciado.Agora, para resolver, aplicamos a equivalncia fundamental:

Camos em uma exponencial, para resolver devemos igualar as bases (como visto na lio anterior). Fatorando o.Cortando as basesPortanto,log6216 = 3

Ex. 2 - Qual o valor de "x" na equao?Estamos perguntando: "Qual o expoente x que devemos elevar a base 5 para resultar 6 ?". Aplicando a "volta" da equivalncia fundamental podemos escrever esta igualdade como sendo:

Este o valor de x

Ex. 2 (UFRGS) A forma exponencial da igualdade:(A)(B)(C)(D)(E)Esta s aplicar a equivalncia fundamental.

Resposta correta, letra "B".

Veja agora alguns exemplos de aplicao da equivalncia fundamental:Este o logaritmo que queremos saber. Primeiro de tudo devemos igualar a "x".

Agora s usar a equivalncia fundamental

Camos em uma equao exponencial. Vamos fatorar!

Bases igualada s cortar.

Esta a resposta:

Mais um exemplo:Sempre, o que devemos fazer primeiro igualar a "x".

Aplicando a equivalncia fundamental.

Esta uma exponencial. Fatorando.

Cortando as bases

Esta a resposta:

Mais um exemplo nunca demais:Igualando a "x".

Aplicando a equivalncia fundamental.

Agora para facilitar o clculo, vamos transformar o nmero decimal em frao e fatorar o que der.

Aplicando as propriedades de potenciao.

Cortando as bases.

Esta a resposta:

Esta a tcnica para se calcular o valor do logaritmo de algum nmero em uma base definida. Na prxima pgina h alguns exerccios para voc resolver e comparar com a nossa resoluo.Veja no prximo tpico as propriedades fundamentais de logaritmo para clculo de equaes.1) Calcule o valor dos seguintes logaritmos:a)b)

c)d)

e)f)

g)h)

a)Igualando a "x"

aplicando a equivalncia fundamental

Igualando as bases (utilizando base 2)

Aplicando as propriedades de potncias

Corta-se as bases

Isolando x

Simplificando

Esta a resposta!!

c)Igualamos a "x"

Aplicamos a equivalncia fundamental

Pra facilitar o clculo, vamos transformar a frao

Agora, transformar em potncia

Aplicamos a propriedade de diviso de potncias de bases diferentes

Simplificamos a funo

Novamente, propriedades de potenciao

Corta-se as bases,

Esta a resposta final.

d)Igualando a "x"

aplicando a equivalncia fundamental

Vamos aplicar algumas propriedades de potncias e Igualar as bases (utilizando base 7)

Aplicando as propriedades de potncias

Corta-se as bases

Isolando x

Esta a resposta!!!

2) Calcule o valor da incgnita"N"em cada exerccio, aplicando a equivalncia fundamental:a)b)c)d)

a)Neste tipo de exerccio no necessrio igualar a "x", pois j h uma igualdade, vamos direto aplicar a equivalncia fundamental.

Pronto, j temos a resposta, agora s desenvolver a potncia 3.

Esta a resposta!!! :)

d)Novamente, vamos direto aplicar a equivalncia fundamental.

Pronto, j temos a resposta, agora s desenvolver a potncia 2.

Resposta final.

3) Calcule o valor da incgnita"a"em cada exerccio, aplicando a equivalncia fundamental:a)b)c)d)

a)Este exerccio tambm no precisa igualar a "x", pois tamb j existe uma igualdade. Portanto, vamos direto aplicar a equivalncia fundamental.

Vamos fatorar o 81.

Podemos cortar os expoentes

Pronto, esta a resposta!

d)Este exerccio parece ser bem mais complicado, mas no se assuste! Resolve-se da mesma forma. Vamos direto aplicar a equivalncia fundamental.

Sabemos, pelas propriedades de potenciao, que ao elevar na potncia 1/2 estamos na verdade tirando a raiz quadrada, portanto:

Vamos aplicar as propriedades de radiciao e fatorar o 27:

Podemos cortar o 3 dos dois lados!

Esta a resposta!! :)))

4) O nmero real x, tal que, (A) (B) (C) (D) (E)Aplicamos a equivalncia fundamental:

Elevamos ambos os lados ao quadrado:

Resposta letra "A"

5) (PUCRS) Escrever, equivale a escrever (A) (B) (C) (D) (E)Note que inicialmente temos uma exponencial com bases iguais a "b", portanto, podemos cortar as bases e igualar os expoentes. Ficando com:

Agora vamos aplicar a equivalncia fundamental:

Aplicando as propriedades de potenciao:

Resposta certa, letra "A"

Considerando a definio do logaritmo e todas condies de existncia, existem alguma propriedades que os logaritmos sempre obedecem.1 Conseqncia: