01 - apostila de revisão de matemática

7/25/2019 01 - Apostila de Reviso de Matemtica

1/88

. .

1. Potenciao

A.Defnio

,,' Sejam os nmeros a ER e n E N*, chamamos de potncia de base a e exponente n ao nmero.

~

. (/ l'

o

p.articular: a = 1

liservao:

L_~ _ ~_

ali

=

a a a .. .. a

I

L

a

O

,- a < Oe n mpar ~ ali < O

B.PotnciaeExpoenteegativo

Sendo a E R : .e n E N, definimos a potncia a-li como:

fi

. .

i

,

,

C.Propriedades

Sendo a E R *, b E R *, m E Z e p E Z, temos:

m

2a) ~ =a

m

-

p

a

P

3

a)

(a

b ) / n

=

a . b

Observao:

1a) _2

2

= -2 . 2 = - 4 e

(_2)2

=

(-2) . (-2)

=

4

ab

a+b


2/88

RESUMO TERICO

2. Radiciao

A.Definio

r

Sendo a E R+ e n E N*, chamamos de raiz enzima de a o nmero b E R+ tal que b =a.

V a = b

: ::>

b = a 1

Dizemos que

n

o ndice e

a

o radicando.

Caso particular: b E R_ e

n

mpar

Exemplos:

~=2

~-27=-3

B.Propriedades----------------

Sendo a e b nmeros reais no negativos, m, n e

p

nmeros naturais no-nulos, so sempre verdadeiras

as propriedades:

i

ffa = f J al

1

a

)

V a V b =~

4

a

)

I

i

V a

{ f

I

v : ; ; ; ; = n 1 jam.p

I

2

a

)

- = n - (botO ) sa)

V b

b '

i

3

a

)

(V a f =

v : ; ; ; ;

L __

c

PotnciadeExpoenteRacional--------

Sendo a um nmero real positivo m e n nmeros naturais, tal que notO , temos:

Observao: todas as propriedades vlidas para potncias de expoentes inteiros so vlidas

para potncias de expoentes racionais.

D.RacionalizaoeDenominadores--------

til

Caso:

I

N

.~an-p

i

---- --n>p

, J

5

s.~ s~

Exemplo: ~

= ~ .~ =

2


3/88

M ATE M TICA

2

11

Caso:

N N.

. r a - . J b )

N.

. r a - . J b ) I

. r a + . J b = . r a + . J b ) . F a - . J b ) = :....-

b

j

5

S .(-J3+F2) S .(-J3+F2)

Exemplo = = --- -------

. -J3 - F2 (-J3 - F2 ) . (-J3+ F2)

1

3

11

Caso:

N

i f ; ; + V b

N-(

f : ? -

v ; ;b

+

w

a+b

5

Exemplo:

Vi-1

~ 3. Mltiplos e Divisores

A. Mltiplos e Divisores -------------

{

m

divisor ou fator de n.

n

=

k m, k E Z

n

mltiplo de

m.

B .

Par i dade ~

a

par {=}

a

EM (2)

coma=2 -k, k

EZ.

b mpar {=} b i M (2) com b = 2 . k +1, k

E

Z.

C. Nmero de Divisores --------------

N = a C 1 . . b~ . c ~ ( decomposio de N em fatores primos a , b e c )

~, {n[D+(N)] = a + 1)(~+ l ) ( y + 1)

n[D(N)] = 2 n[D+(N)]

~ D. Nmeros Primos e Compostos

P

primo

{=}

n[D(p)]= 4

a composto

{=}

n[ D (a) ]

>

4

O ,1 e -1 no so primos e nem so compostos.


4/88

RESUMO TERICO

E.Somados Divisores-------------

Seja N

= a C < .

b~ .

c ~ ,

em que

a ,

b e

c

so os fatores primos de N.

soma

[D(N)]

=

F.Propriedadesdos Divisores----------

P~

r q

O:5,r


5/88

MATEMT ICA

-----Divises Sucessivas (MDC)

Exemplo: A =360 e B =84

q 432

360 84 24 12

r

24 12

O

MDC

(A, B) =

12

MDC e MMC: Propriedades

MDC (A, B)' MMC (A, B) =A' B

MDC

(kA, kB)

=

k .

MDC

(A, B)

MMC

(kA, kB) =k .

MMC

(A, B)

e

Divisores comuns deA e

B

so os divisores do MDC

(A, B).

r>

e Mltiplos comuns deA e

B

so os mltiplos do MMC

(A, B).

e MDC (A, B) =1, ento, A eB so primos entre si.

e A e B so consecutivos, entoA e B so primos entre si.

e

A eB so primos entre si, ento MMC (A, B) = A .B.

4. Porcentagem

A. Definio

x x a

; representamos x%.

B. Clculo de uma Porcentagem

p% de V = p% .V (facilita se trabalhar com p% na forma decimal)

Lucro

Sendo:

Pc

=

preo de custo

Pv

= preo de venda

L

Lucro sobre a venda = -

Pv

L = lucro = Pv-Pc

D. Aumentos Porcentuais

Sendo:

V = valor antes do aumento

V

A

=

valor aps o aumento

A = valor do aumento =

p%

de V


6/88

RESUMO TERICO

E. Descontos Porcentuais ------------

Sendo: V = valor antes do desconto

V

D

=

valor aps o desconto

D = valor do desconto = p de V

F. Aumentos e Descontos Sucessivos -------

Sendo:

V = valor inicial

Pl

=

porcentagem de aumento}

P 2

= porcentagem de aumento sucessivos

P3

%

=

porcentagem de desconto

V

p = valor final

V

p =

V . 1+

J:L).

1+ ~) . 1

_ll)

100 100 100

5. Equaes

A. Equao do 1

Q

Grau -------------

ax

+ b =

O, com

a

*

O

=> V =

B. Equao do 2

Q

Grau -------------

Frmula de Bhaskara

ax2 + bx + c

=O, com

a*

O

Fazendo

Ll

=

b

2

-

4ac ,

temos:

-b+~ -b-~

xl

=

e

x2 = ,

que so as razes da equao.

2a 2a

Observao:

Ll > O => Xl * x2 (2 razes reais distintas)

Ll

=

O => xl

=

x2 (2 rafzes reais iguais)

Ll

no existem raizes reais

Relaes de Girard

Dada a equao do 2

2

grau

ax2

+

bx

+

c

=O

(a *

O), de razes

Xl

e

X2'

temos:


7/88

M ATE M T ICA

6. Conjuntos

A. Notao e Representao -----------

Listagem dos elementos

Ex.: { a; e; i; o; u}

Por meio de uma propriedade comum somente a seus elementos.

Ex.: {xl x vogal}

Graficamente pelo uso do diagrama de Euler-Venn.

Ex.:

A

.a

o

u

B. Pertinncia

Indica quando um elemento

E

(pertence) ou e : : (no pertence) a um determinado conjunto.

Ex.: A ={ a, e, i,o, u }

aEA

e

b e ::A

C. Incluso -------------------

Indica quando um conjunto est contido c) ou no est contido < t em outro conjunto. Um

rr> conjunto estarcontido em outro se todos os elementos do primeiro conjunto pertencerem tambm

r, ao segundo conjunto.

O

primeiro ser chamado de subconjunto do segundo.

Ex.:

A

={a, e, i, o, u}

B= {

a, e, u]

C

={ a, b, i, u}

B c A < t A

ycx

zcz.x

D. Conjuntos Especiais -------------

r-,

Unitrio - um nico elemento;

ex: A = {x

E

R I2x = 6 } = { 3}

Vazio - nenhum elemento

ex: A = {x E N

I

2x = 5 } = 0


8/88

RESUMO TERICO

E.Conjuntodas PartesdeA-----------

Conjuntos de todos os subconjuntos do conjunto

A,

sem esquecer o conjunto vazio e o prprio

conjuntoA. - - ----.

n

[ P (A)] =

2 (A)

EX.:A =

{a, e,

i}

P(A): {0; {a}; {e}; {i}; {a, e}; {a, i}; {e, i}; {a, e, i}}

F. Igualdadede Conjuntos------------

Ex.: { 1, 2}

=

{2, 2,1,1,2 }

A=BAcB e BcA

Unio:

G.Operaes entreConjuntos----------

Ex.: A={1,2,3,4} B={3,4,5,6}

AuB =

{1, 2,3,4, 5, 6}

Interseco:

I

ArlB={x/XEA

e

xEB}

I

~ ---~-~

----'

Ex.:

A =

{1,2,3,4}

B =

{3,4,5,6}

AnB={3,4}

Diferena:

I A-B={x/XEA

e

x~B}

Ex.:

A

= {

1,2,3, 4}

B

=

{3, 4, 5, 6}

AB = {1, 2}

B-A

=

{5, 6}

Au B

rr:

AnB

C

E

A ( D B

,

,

,

,

A-B

B - A


9/88

M ATE M TI CA

Se B cA, temos:

Ex.:

H. Nmero de Elementos da Unio de Conjuntos ---

Ex.: SeA

=

{a, b, c, d, e, f} B

=

{d, e, f,g, h} ento n A uB) ?

n(A u B)

=

n(A)

+

n(B) - n(A n B)

=

6

+

5 - 3

=

8

A

I. Conjuntos Numricos --------------

Numeros naturais:

Numeros inteiros:

Numeros racionais:

i

Q =

{x /x

= f ,

comp E Z ,q E z }

3

Os inteiros so racionais, pois -3 =

1

23056

Os decimais exatos so racionais, pois 2,3056 = 1

_{1 x: 132,32 32 .

131

x -

1,3232 .As dzimas peridicas so racionais, pois 1,3232 ...

=

1,32

= -

=> ---- -------

99 99x=131

x=13U9


10/88

RESUMO TERICO

Os nmeros que no so racionais so denominados irracionais, por exemplo:

J5 , T C ; 1,1010010001...

Nmeros reais:\R =

{x / x

racional ou

x

irracional}

Nota:A* =A-{O};A+

o conjunto dos nmeros inteiros no negativos,

eA_

o conjunto dos

nmeros inteiros

no positivos.

---------------------- ------R

Irracionais

7. Funes

A. Produto Cartesiano

Dados dois conjuntosA e B, no vazios, chamamos de produto cartesiano deA por B, o conjun-

toA

X

B

de todos os pares ordenados

(x, y),

tal que

x

E

A

e

y

E

B.

I

A

x

B

=

{(x,

y) /

x

E

A

e

y

E

B}

I

Observao:

O nmero de elementos deA

xB

dado por:

r - - - - - - - - - - - - - - - - ,

I n(A x B) = n(A) . n(B)

I

8.

Funo --------------------

Relao binria entre os conjuntos A e

B

tal que para todo

x E

A existe, como correspondente, um ,......

nico

y

E

B,

chamado imagem de

x.

a) Domnio: conjunto dos elementos que possuem imagem.

b) Contradomnio: conjunto onde procuramos as imagens dos elementos do domnio.

c) Conjunto-Imagem: conjunto das imagens dos elementos do domnio.

Ex.:

(funo)

Domnio

=A

={1, 2, 3}

Contradomnio =

B

=

{2, 3, 4}

Imagem

= {2,3}

Exemplo: fA ~ B

-- ----------1

(funo)

B

f


11/88

M ATEM TIC A

C.Crescimentoe umaFuno---------

Funo Crescente

Dizemos quefA

~R

uma funo crescente em

[ a ; b] cA

se, e somente se:

--

------------

Ex.:

x

f

Funo Decrescente

Dizemos que

f A ~ R

uma funo decrescente em

[a;b] cA

se, e somente se:

x 2 > -X l ~ f(x

2

) < f( x

l

) , v x l ,x2 ~

f

Ex.:

x

Funo Constante

Dizemos

quefA ~R

uma funo constante em

[a;b] cA

se, e somente se:

r-

I f(x

l

)= f(x 2) , v x

l

,x

2

E [a;b] /x l i=X2

~

--------f

Ex.:

x

Y

D.Paridadede Funo-------------

a) Par:

j( -x ) = f( x )

Ex emp lo : f (x )

=~parpoisf(-x) = (~)

=~=f( x )

f

Grfico

Simtrico em

relao

OY

y

X


12/88

RESUMO TERICO

b) mpar:f(-x)

= -f(x)

Exemplo:f(x) =x

3

mpar poisf(-x) = (_x)3 =-x' =-f(x)

y

J

Grfico

Simtrico em

relao origem

x

E. Funo do 1

Q

grau ou Funo Afim -------

a funo de

R

(domnio) emR (contradomnio), que associa a todo

x

real o nmero real

ax + b

com

a:;t.

Notao:

fR~R = ax +bl

a) O grfico da funo afim uma reta.

b) A funo afim crescente quando

a > .

c) A funo afim decrescente quando a

(O;b)

o

x

D(f)

=

R

Crescente

a:;t

y


13/88

MATE M TICA

FFunouadrtica

a funo de R e m R, que associa a cada nmero real x o nmero real

ax ?

+ bx + c

(a;tO )

fR ~R

f(x)

=

aX2

+

bx

+

c (a

;tO )

Sendo L1

=

b

2

- 4ac , temos

I

I L1> O

y

a>

O

x

x

Im( f )={YERIy ::;;- : a }

y

I

A O

I

I

a>O

r>;

1m

(f ) = {Y E

R /

Y ~

O}

1m (f ) = {Y E R / Y ~ - : a }

~

~

1 L 1 = 0 ]

y

a < O

Y

a

;

Xl=XZ =-JL

/ : : ;

V

2a

I a

..._

x

V

x

1m (f )

= {Y E R / Y ::;;O}


14/88

RESUMO TERICO r

~~~~~

r

r

r

r

r

L \ < o .

y

y

a>

aO

-/':. .

4a .

x

6

4 a V

x

1m (f)

=

{ Y E R / Y 2 - : a }

1m (f) =

{ Y

E

R /

y

$ ; - : a }

GFunoMdulo

{

X se X2 O

Defin io: Ixl=

-x se x $ ; O

Pj)

Ix l20paraqualquerxreale Ix l

=OHX=O.

P

2

)

Ix l

=

Iyl =>x=y ou x=-y.

P3) Ix I = a

= >

x = a ou x = -a.

P

4 ) I

x

I

> a = > x > a

ou

x < -a.

com

a

2

O

P

s

) Ix l

-a


15/88

r>

M ATE M TI CA

H. Funo Exponencial e Inequaes Exponenciais -

f x = b

X

comb > 1

y

b

X

2 ...

i : : : : : : : :: .

b ; - - - I

~~ ~ .x

xl x2

- Crescente

Exemplo: sx>S2

x>2

I. Tipos de Funo

x

b

X

com

< b <

y

1

b

X

l

b ~ ~ r ~ l L : L ~ = ~ = = = 4 . x

- Decrescente

Exemplo: Y s r

>

()~t

x


16/88

___ ~R~E~SU~M~O~T~E6~R~ C~O -

J. Funo Composta

Definio:

Seja fuma funo deA emB, e sejag uma funo de B em C. A funo h deA em C definida por ~,

h: x -- -7 g lf(x))

chamada funo composta das funes

g

eJ para todo

x

pertencente aA.

Notao:

h = g

[f(x)]

= (g oj)

(x )

L-se: g composta com

J

ou g crculo f' ou ainda '~ bola f'

Diagrama:

B

Em geral:

lf

O

g) (x) ' (g

O

j) (x)

Exemplo:J(x)=3x-2 e g(x)=1-2x

Jog (x) =J(g (x))-= J(1-2x) = 3 (1-2x) -2 = -6x +1

goJ(x) =g(f(x)) =g(3x-2)

=

1-2(3x-2)

=-6x+S

JoJ ( ) ) =J (f (x)) =J (3x - 2) = 3 (3x - 2) -2 = 9 x - 8

L Funo Inversa

D(f)

=

CD(f-l)

f

fi

CD (f) = D (f-l)

a) Clculo: determinar x em funo de y e corrigir notao.

b)

Propriedades:

p

l:J (x)

e

fi (x)

tm grficos simtricos em relao bissetriz dos quadrantes mpares.

P2:fofl (x) =I oJ(x) = X

c) Existncia existe J-l se, e somente se,] bijetora

Exemplo: Obter a inversa da funo

y

=

3x- 1

Resoluo: 3x = y

+

1

y+l

x

3

x +

1

Y=3

r

(x)

=

x

+

1

3


17/88

MA TE MTICA

8. Logaritmos

A. Definio de Logaritmos------------

Sejam

a

e b nmeros reais positivos, sendo b:t 1. Logaritmo de

a

na base b (log,) o expoente cque

devemos elevar a base b para resultar o_12mero~

log,

a

=

c

< = ?

b

=

a

a

=

logaritmando

b

=

base

c = logaritmo

Exemplo: log28 =3

Observao:

O nmero real positivo

a

tambm pode ser chamado de antilogaritmo.

l a_= antilo&,~

B. Conseqncias da Definio----------

Sendo

a,

b e c nmeros reais positivos com b: t

1,

e k um nmero real qualquer.

1

) log,

1 = O;

pois b

= 1,

V b 4) log,

a =

log, c

H =

c

I

I 2) log, b

=

1; pois b

1

=

b, V b 5) blogbo

=

a

3) log, b

k

=

k; pois b

k

=

v,V b, k

C. Propriedades Operatrias

Sendo a, b e c nmeros reais positivos com b :t 1, e m e n nmeros reais quaisquer com n-:t O.

c:tI

4) c 1

log,

~a

=-10g

b

a

n

log

a

I

5) __ c_

=

log,

a

(mudana de base)

log, b

3) log, (a

lll

) =m . log, a

D. Funo Logartmica e Inequaes Logartmicas--

x

=

log,

x

com

b >

1

x

=

log,

x

com

2

Exemplo: log 2

>

log6 2

,

0


18/88

RESUMO TERICO

E.Domniode f

x logA x ------------

B(x)

Para estabelecermos o domnio da funo

f (x ) =

log A(

x)

devemos impor as seguintes condies:

B(x)

F.FunesInversas---------------

f x log, x

e

r x b

X

comb > 1

f x log, x er

1

x b

X

com 0< b < 1

Y

Y

Y

=

x

..///~. O

decrescentes

x

f

x

f e

r

so crescentes

1

G.LogaritmosDecimais--------------

Conceito

n

=

X'

10

k

com 1

1:

Ex.: log324,52 ~ caracterstica = 2

nmero de zeros antes do primeiro algarismo significativo do

ro N, a caracterstica do log N

-r tt -,

Ex.: log 0,00725 ::::}caracterstica =-3


19/88

-- M ATE M TI CA

9. Polinmios

- - - ~

A. ValorNumrico----------------

Dado um polinmio

P(x )

=

allx

+

a

ll

_lx,-1

+ ...+

a~

+

a1x

+

ao

e o nmero complexo

a,

o valor numrico de

P(x )

para

x

= a dado por:

Observaes:

1

a a raiz de P(x ) :: :} P(a)

=

2) A soma dos coeficientes de P(x ) igual a

P(l).

3) P (x ) = 0,

\;;j

X E C : ::} P(x ) identicamente nulo. Neste caso, todos os coeficientes

de

P

x)

so nulos.

B. Grau--------------------

Dado um polinmio P(x ) no-nulo, o grau de P(x ) (G

p

)

o maior expoente da varivel x cujo

termo tem coeficiente no-nulo. No se define o grau de um polinmio identicamente nulo.

Polinmios Idnticos--------------

Dados dois polinmios P

1

(x ) e P2(X) , a condio necessria e suficiente para que P

1

(x ) seja idn-

tico a

P2(x )

que os coeficientes de

P1(x )

sejam respectivamente iguais aos coeficientes de

P2(x ) .

Observaes:

D. Adio de Polinmios -------------

A(x ) = allx + a

n

_lx ,-1 + + ar? + alx + ao

B(x )

=

bllx

+

b _1x -1

+ +

b~

+

b1x

+

bo

S(x )

=

(a

+

b,, ) x

+

(a _ l

+

b _ l) X -l

+ ...+

(a2

+

b

2

)x2

+

(aI

+

b1)x

+

(ao

+

b

o

)

Observao:

SendoA, B eA + B no-nulos, temos:

GA*G

B

=> GA+B omaio rentreGAeG

B

G

A

= G

B

=> G

A

+

B

::;G

A


20/88

RESUMO TERICO

E. Multiplicao de Polinmios

Exemplo:

Sendo:

A(x) =ax

3

+

b:>?

+

cx

+

d

B(x) = ex

4

+

fx

3

+

gx

2

+

hx

+

i

e

P(x) = A(x) . B(x)

Ento:

P(x)

=

a . e . x

7

+

(a -j

+

b . e) . x

6

+

(a .g

+

b -j

+ c .

e) . x

5

+

(a . h

+

b .g

+ c

-j

+

d . e) . x

4

+

+

(a '

i +

b . h

+

c .

g +

d

j) .~ +

(b .

i +

e ' h

+

d .

g) .:> ? +

(c '

i +

d h) . x

+

(d

i)

.Observao:

SendoA, B ezl :B no-nulos, temos:

GAB=GA+G

B

F. Diviso de Polinmios

Mtodo da Chave

1

passo:

dividimos o termo de maior grau do dividendo pelo termo de maior grau do divisar e --,

obtemos, assim, o primeiro termo do quociente.

2 passo: multiplicamos o termo obtido por cada termo do divisor e subtramos o resultado do

dividendo, obtendo assim um resto parcial.

3 passo: se o grau do resto for menor que o grau do divisor, est terminada a operao. Caso

contrrio, dividimos o resto pelo divisor, procedendo como anteriormente.

Exemplo:

lSx

5

+6x

4

-17x

3

+4x

2

+Sx+l

Sx

3

+2x2 -4x+2

-lS~ + s .x J

6x

4

- 1~ + 4:> ? + Sx + 1

--& 4

+

2:> ?

- 12x

3

+ &2 + Sx +1

i~ -4x

6:>?+x+l

--&2 2

x+3

q(x)

=

S~

+2:>?-4x +2

r(x) = x + 3

Mtodo de Descartes ou Mtodo dos Coeficientes a Determinar

Este mtodo constitudo de quatro etapas:

ia) determinao do grau do quociente;

2

a

) determinao do grau do resto;

3

a

) aplicao do conceito de diviso; e

4

a

) aplicao das condies de identidade de dois polinmios.


21/88

MATEMT ICA

P(x)

I

D(x)

R(x) Q(x)

,P(x)

=

D(x) . Q(x) + R(x)

Exemplo: Dividir

P(x)

=

3x

4

+

x3+~-x

+2 por

D(x)

= 3~ +

x

+ S

como G

p

=4 e G

D

=2, ento G

Q

=4-2=2

G

R

a =

1

b =

O e

=

-1

e =

O

J =

7

D(x)=x

2

-1

e

R(x)=7

Dispositivo Prtico de Briot-Ruffini

Consiste em um dispositivo mais simples para obteno do quociente

Q(x)

e do resto

R(x)

na

-, diviso de um

polinmioP(x)

por um binmio de 1

1l

grau tipo

(x- a).

Exemplo:

dividir

P(x)

=

9x

3

+ 5~ +

x - 1 1

por

D(x) = x +

2.

1

Il )

Numa mesma linha escrevem-se, separados por um trao vertical, a raiz do divisor e todos os

r-.

coeficientes do dividendo escrito na forma completa.

-2)

9

5

1 -11

i

raiz de

/'

D(x)

21l) Repete-se o primeiro coeficiente de

P(x)

na linha abaixo, que ser o primeiro coeficiente de

Q(x).

(-2) 9 5 1 -11

9

~ 3

1l

) Multiplica-se, pela raiz do divisor, o primeiro coeficiente e adiciona-se ao segundo coeficien-

te de

P(x) ,

obtendo-se assim o segundo coeficiente de

Q(x).

4

1l

) Repete-se a operao com o coeficiente obtido, conseguindo os prximos coeficientes de

Q(x).


22/88

RESUMO TERICO

5

Q

)

Repete-se a operao at a obteno do ltimo resultado, que constitui o

restoR(x).

( + ) 1

(-2) I 9 5 1-11

t I

9 -13 27 -65

~ I 111

~resto

coeficientes de

Q

(x )

Assim:

Q(x) =

9~

-13x

+ 27 e

R(x) =

-65

G. Teorema do Resto --------------

O resto da diviso de um polinmio

P(x)

pelo binmio

(x - a)

o valor numrico de

P(x)

para

x =a

(raiz do divisor), ou

seja,P(a).

Esquema:

P(x) I (x-a)

R

=

P(a) Q(x)

Observaes:

I

ta) O resto da diviso de

P(x)

por

(x + a)

R

= P (-a)

2

a

) O resto da diviso de

P(x)

por

(ax

+

b)

R

=

p (

~b ) .

H. Teorema de D Alembert ------------

Um polinmioP(x) divisvel pelo binmio

(x-a),

se, e somente se,

P(a) = O ,

ou seja, basta que

a

seja raiz de

P(x).

De fato:

l

Se a raiz de P(x), ento P(x) divisvel por (x - a).

2) Se

P(x)

divisvel por

(x- a),

ento

P(a)

=

O .

I. Teorema da

Divlsibllldade

de P x por x - a) . x - b

Se um polinmioP(x) divisvel separadamente pelos binmios (x-a) e (x- b ) , com a - : F b , ento

P(x) divisvel pelo produto (x - a) . (x - b).

Observaes: ~

la) A recproca do teorema verdadeira; isto , se

P(x)

divisvel pelo produto

(x- a) . (x- b),

ento

P (x)

divisvel separadamente pelos binmios

(x- a)

e

(x- b).

2

a

SePx divisvel separadamente pelos binmios

x -a ; x - b ; x -c; .. . ; x - n ,

entoP x .--.

divisvel pelo produto

(x - a) . (x - b) . (x -

c) .....

(x - n)

e vice-versa.

3

a

) SeP(x) divisvel por (x-a) e o quociente desta diviso tambm divisvel por (x- a), ento ~

P(x) divisvel por (x - a ) 2 .


23/88

M ATE M TICA

10. Equaes Polinomiais

A. Teorema Fundamental da lgebra

Toda equao polinomial de grau

n, n

:21, admite pelo menos uma raiz complexa.

B. Representao Fatorada

Toda equao algbricaP(x) = a,,x

+

a _lx -l

+ ... +

a-F

+

alx

+

ao = O de grau n n:21) pode ser

decomposta em um produto

no qual Qt(x) o quociente da diviso de

P(x )

por

(x -

at) e a

t

uma raiz de

P(x ) .

Ento Ql

(x ) = (x -~ ) . Q2(x ) ,

no qual

Q2(x )

o quociente da diviso de Ql

(x )

por

(x -~ )

e ~

uma raiz de Qt(x).

Aplicando sucessivamente essa propriedade, podemos verificar que

P

x)

pode ser decomposto

em

P(x ) = a , , (x-ai)' x-~) .... (x-a,,_t)' x-a,.) = O

no qual ai

(i =

1,2, ..., n) so as razes da equao

a x

+

a _ lx,-1

+ ... +

a~

+

atx

+

ao = O

C. Conseqncia Importante

Toda equao polinomial de grau

n

tem exatamente

n

razes complexas.

D. Multiplicidade de uma Raiz-----------

Dizemos que a uma raiz de multiplicidade

m , m :2

1) da equao P(x )

=

O se, e somente se:

P(x ) = (x - o) . Q(x ) eQ(a) * - O

- -

Exemplo: Descreva uma equao do 4 grau sabendo que

V

= {-3,O,3} e que o O raiz dupla.

(x

+ 3)

(x - 0)2 (x -

3) = O ~

x

2

(x

+ 3)

(x -

3) = O

x

4

- 9x

2

= O

E. Razes Racionais

p

S e a frao racional irredutvel q for raiz da equao de grau n e de coeficientes inteiros, a x + a

_Ix -1

+ ... +

a~

+

a

1

x

1

+

aO

=

Oento p divisor de ao e q divisor de ali

Exemplo: Quais so as possveis razes racionais da equao: fu? - 5~

+

4x

+

5 =O

P

E

D(5)

=

{1;5}

q

E

D(6)=

{1,2, 3,6}

f

E { 1, ,

~,i,5,

%, %, ~}

,


24/88

RESUMO TERICO

F. Razes Complexas

Se o nmero complexo

z = a + bi

raiz da equao de coeficientes reais

a,i' + a _ lx -l + ...+ a-y ? + a lxl + ao = O

ento z = a - b i tambm raiz dessa equao.

Exemplo: Qual o grau mnimo da equao polinomial de coeficientes reais que tem como razes

3; 1

+

i

e

-2 i?

Se 1

+ i

raiz, ento 1-

i

ambm ; se - 2

i

raiz ,ento 2

i

tambm ; logo, a equao apresenta

ao menos 5 razes, ento o seu grau mnimo 5.

G. Relaes de Girard

Dada a equao:

ax' + a _lX -1 + ...+ a-y ? + alx

l

+ ao =

O com razes

Xl X2, ... , X '

temos:

an-1

Xl +

X2

+ ... +

X

= ---

a

n

=

(-1) . ~

l . X2 . X3 .... . X II

a

3 2 O

a3 x + a2x + a1x + ao =

V = {a,b ,c}

a +b

+

c

= _

a2

I

la3

ab + a c + b c

=

aI

I

la 3

abc = _ao l

/ ,

432

a

4

x +a3x +a2x +a

l

x+aO

=0

V

=

{a ,b ,c ,d}

a

+

b

+

c + d

=_

a3

I

j

4

ab + a c + a d + b c + bd + c d

=

a2

I

la 4

abc + abd + acd + bcd =_a1

I

la4

abcd = ao l

/;

10


25/88

M ATEM TI CA

11. Geometria Plana: Conceitos Bsicos e ngulos

A. ngulos ------------------

-r-,

Definio

-7 -7

nguloAOB a r eunio das serni-retas no colineares. OA e OB(origem comum).

A B

V

Classificao Quanto Posio

A~

o~

.~

ngulo Reto - Agudo - Obtuso

ngulo reto

AOB

= 90

UAOB =

ngulo

AOB

a=AB

= medida do ngulo

AOB

0< a < 180

I

o consecutivos os pares de i~gul;; ,

040B eDaoc; 040c e04oB;

04oceDaoc I

L

so adjacentes: D4AOB e OOOC I

____ _ J

DAOD e DBOC

so opostos

pelo vrtice (o. p. v.)

AD= BC


26/88

RESUMO TE RICO

o B

ngulo obtuso

AB > 90 I

ngulos Complementares - Suplementares

r----~

I a+~=90

I

1 complementares

r a+~= 1800

I suplementares

Bissetriz de um ngulo

A

-- - + ,

OC bissetriz do ngulo

AOB

di {AC = BC (medidas iguais)

izemos:


27/88

M ATE M TI CA

Classificao Quanto aos ngulos

Acutngulo

Retngulo

A

BLJ.----------~C

A < 90; < 90; C < 90

A

L

Obtusngulo

A

~

B

A> 90

Condio de Existncia de Tringulo

Tringulo

~

B c

a

I b -

c l

Exemplo: Quais os valores inteiros de x, para que exista o tringuloABC abaixo?

B

~

1 7

xl141

x>3

Logo, os valores inteiros que

x

pode assumir so: 4; 5; 6; 7 e 8


28/88

RESUMO TE RICO

Ortocentro: encontro de alturas

ontos Notveis

Baricentro: encontro dasmedianas

2

O baricentro separa cada mediana na razo1

Incentro:

encontro de bissetrizes internas

R

~

S ~ T

O incento equidistante dos lados do trin-

gulo..

Circuncentro: encontro das mediatrizes

o circuncentro eqidistante dos vrtices do

tringulo.

R

Tringulo Retngulo

R

c

S~~O~ ~T

Ortocentro o vrtice do ngulo reto.

circuncentro o ponto mdio da hipotenusa.

Tringulo Issceles

Os quatr o pontos notve is e sto alinhados.

Tringulo Equiltero

Os 4 pontos notveis coincidem.


29/88

M ATE M TICA

Propriedade dos ngulos

A

r U

e

-

=~+

11

~e

=

< X + Y

- I

,Ye-


30/88

~R~E~S~UM~O~T~E~~R~ C~O ~

2 )

Paralelogramo

(AB // CD e AD // BC)

=:

7

C

3 )

Retngulo

( = B == i

Ar-l

r...'

B

C

4 )

Losango

(AB

=

BC

=

CD

=

AD)

A~_----\- __ -4-D

B

c

5 ) Quadrado ( =B = =b

e

AB =BC =CD =AD)

A

D

B

C

Propriedades das Diagonais

12)

Paralelogramo:

as diagonais interceptam-se nos pontos mdios.

22)

Retngulo:

as diagonais interceptam-se nos pontos mdios e so congruentes.

3

2

) Losango:

as diagonais interceptam-se nos pontos mdios, so perpendiculares e esto nas

bissetrizes dos ngulos internos.

4

2

)

Quadrados:

as diagonais interceptam-se nos pontos mdios, so congruentes, so perpendi-

culares e esto nas bissetrizes dos ngulos.

Ateno:

U

U conjunto dos quadrilteros convexos

T conjunto dos trapzios

P conjunto dos paralelogramos

R conjunto dos retngulos

L conjunto dos losangos

Q conjunto dos quadrados


31/88

M ATEM TI CA

E.Circunferncia Posies Relativas-------

Posies de uma Reta e uma Circunferncia

re ta

tangente

reta

se cante

reta

ex terna

Propriedade Importante

OM1-AB~AM=MB

Posies Relativas de Duas Circunferncias

1

Circunferncias Internas 3) Circunferncias Tangentes Externamente

2) Circunferncias Externas

4) Circunferncias Tangentes Internamente


32/88

RESUMO TE RICO

5) Circunferncias Secantes

F. ngulos na Circunf erncia -----------

Tipos de ngulos

1I : ) ngulo Central

4 1 : )

ngulo de Vrtice Interno

A

A

D

o

p

b

a

B

c

AB

=

a

, M B =

a

+ b

I

2

2 1 : )

ngulo Inscrito

5 1 : )

ngulo de Vrtice Externo

p

a

a

p

3 1 : ) ngulo de Segmento


33/88

M ATE M ATICA

Conseqncias Importantes

12 )

Tringulo Inscrito em uma Semicircunferncia Retngulo

----,

OC = mediana

I

AB

I

OC

=- =

raio I

2 ~

22 ) Sendo o Arco Assinalado o Arco Capaz de a para a Corda AB, temos:

3

2

)

Em todo Quadriltero Inscritvel

I --,

I

a

l

>

a

e


34/88

RESUMO TERICO

1 l . l ) Nmero de Diagonais (d)

3 l . l ) Soma dos ngulos Externos (Se)

2 l . l ) Soma dos ngulos Internos (Si)

I

Si=(n-2).180

0 1

Polgonos Regulares: Lados Congruentes e ngulos Internos Congruentes

, . .------- -- - , 1t

360

a

e

=--

n

(n - 2) 180

ai =

n

Importante:

todo polgono regular pode ser inscrito em uma circunferncia.

A

G

I

~ ~ ~ 360

m(AB)

=

(BC)

=

(CD)

=..=-

n

em que n nmero de lados do polgono.

E

HTeoremas

Teorema de Tales

r Ii s Ii t Ii z

/

\

.rl_---\-\

_

b / \ e

5

I

~ __ -\,,-\f_z

/

\

a d

b e

a d

-=-

c

J

a d

a+b+c d+e+

J


35/88

MATEMTICA

/

Teorema da Bissetriz Interna

A

(

BL L L ~ ~c

X

y

b

Teorema da Bissetriz Externa

' -

a+x x

I. Semelhana

Definio

A

D

b

f

B

a

E

d

F

Teorema Fundamental

A

B

c

Casos de Semelhana

i

caso:A.Il~

3Qcaso:LLL~

2

Q

caso:LAL-

No ilABC, PQII BC~ ilAPQ-MBC


36/88

RESUMO TE R ICO

J. Relaes Mtricas na Circunferncia -------

1

11

Caso

~

DV

B

~APB=PC P~

2

11

Caso

lP~PB~CPD

3

11

Caso

T

p

PT

2

=PA PB j

A

K. Tangnc ia ------------------

p

PA=PB

Quadriltero Circunscrito

D

AB

+

CD =AD +BC


37/88

MATEMTICA

L. Relaes Mtricas no Tringulo Retngulo ----

A

Algumas Conseqncias

Quadrado

a

a a

a

b

2

=an

c

2

=am

h

2

=mn

ah=bc

Teorema de Pitgoras: a

2

= b

2

+ c

2

Tringulo Equiltero

a

~

c=D

a

M. Relaes Mtricas num Tringulo Qualquer

Teorema dos Senos

, .. . - . .. .

Teorema dos Co-senos

A

-->,

B~= ~a =~c

a b

C

--h=--h=--h=2R

senA senB senC

Observao:

todo tringulo inscritvel em uma

circunferncia.

2 2 2 h

a

=b +

c - 2 .

b .

c. cos

A

2 2 2

h

b = a

+

c - 2 .

a .

c cos

B

2 2 2 h

C =

a +

b - 2 .

a .

b . cos C


38/88

RESUMO TERICO

Natureza de um Tringulo

a '2 . b '2 . c

a

2

=b

2

+ (2 ~ tringulo retngulo

a

2

b

2

+ (2 ~ tringulo obtusngulo

N. Relaes Mtricas num Polgono Regular

I: lado do polgono regular

a:

aptema

Tringulo Eqiltero

Quadrado

h=R+a

R=2a

1= RJ3

Hexgono Regular

o

Circunferncia e Arcos -------------

--

- - ,

1-2a

- I

1= RJ2

Comprimento de uma Circunferncia

c = 21tR

1t=3,14159 ...


39/88

M ATE M TI CA

Comprimento de um Arco de Circunferncia

a) Arco em Graus

m(B ) =

a O

b) Arco em Radianos

m( B) =

arad

1

2it rad 2nR

o.rad

~-j


40/88

RESUMO TER ICO

12. Geometria Plana: reas

A. Frmulas Elementares

Quadrado Paralelogramo

a

A

=

a

2

I

d =

a .J 2

a

_ E i

Retngulo

Tringulo

b

a

a

I A=a'b

I - ~

A=-

2

Trapzio

Losango

~

...

. d

,~: ... 2

.

,

.

. '

a

A=(a+b)h

2

,

.


41/88

MATEMTICA

B. Expresses da rea de um Tringulo

b

a

a

b

, Frmula de Heron:

IA =

Jp(p - a)(p - b)(p -

c )

a b c

p=

2

a

a b c

p=

2

C. rea do Crculo e suas Partes ----------

Crculo

Setor Circular

arco medido em graus

arco medido em radianos

setor

nR

2

A

arco

2n

rad

o.rad

setor

n ; R 2

A

R2a

A=--

2


42/88

RESUMO TERICO

Segmento Circular

R

o

A = Asctor - ~ringulo

D. reas de Figuras Semelhantes ---------

/

A

13. Geometria Analt ica

A. Conceitos Bsicos ---------------

Distncia entre Dois Pontos

Ponto Mdio de um Segmento

I

_XA+XB, YM=YA+YB

. XM - 2 2

Condio de Alinhamento de Trs Pontos

,:

XA YA 1

=e YB

1=0 :::} A,BeCalinhados

Xc Yc 1


43/88

MATEMTICA

~ Propriedades dos Pontos do Plano Cartesiano

P1) Se um ponto tem abscissa positiva, ele pertence ao III ou ao 4

ll

quadrante do plano cartesiano.

P 2 ) Se um ponto tem abscissa negativa, ele pertence ao 2

ll

ou ao 3

ll


P

3

) Se um ponto tem ordenada positiva, ele pertence ao IIIou ao 2

ll


P4) Se um ponto tem ordenada negativa, ele pertence ao 3

ll

ou ao 4

ll


P

s

) Se um ponto tem abscissa nula, ele pertence ao eixo

y.

P

6 )

Se um ponto tem ordenada nula, ele pertence ao eixo

x.

P

7

)

Se um ponto tem abscissa

a,

ele pertence reta paralela ao eixo

y ,

traada pela abscissa

a.

P

s

) Se um ponto tem ordenada a, ele pertence reta paralela ao eixo x, traada pela ordenada a.

P

9

) Se um ponto tem coordenadas iguais, ele pertence bissetriz dos quadrantes mpares.

P

lO

)

Se um ponto tem coordenadas opostas, ele pertence bissetriz dos quadrantes pares.

P11)Dois pontos simtricos em relao ao eixo x tm a mesma abscissa e ordenadas opostas.

PdDois pontos simtricos em relao ao eixo y tm a mesma ordenada e abscissas opostas.

P

13)

Dois pontos simtricos em relao origem tm abscissas opostas e ordenadas opostas.

y

y

P

2

-2, 3)

/

- ,

/

- , /

P

s

(O , 2)

x x

*--------

P

3

-4,-2)

P

7

(O , - 3)

y

,

,

P

lO

2, 3

12

(-

2, 3)

.

1 ,I

1 r

I , I

,

x

,

I ,

I I

~l j

P

13

-2,-3) P

11

2, - 3

,

.


44/88

RESUMO TERICO

~

r

I

~

I

I

~

~

r - - .

I

x

rr-;

B. Estudo da Reta --------------

I

~

r

,~

u

I

I

X

I

r

~

rr>;

I

I

I

r

I

r

I

, - - . .

I

r

~

Inclinao e Coeficiente Angular de Retas:

y

y

x

- 1

100


45/88

M ATEM TI CA

Propriedades dos Coeficientes Angulares

y

retas paralelas

m r = : : l

~

-----Equao Fundamental da Reta

tilcaso:

y

a

sllr

a

s

x

x

y

retas perpendiculares

y

r

m.v=m

;_ .x= ;;~

r-- Equao de uma Reta Determinada por Dois Pontos:

x

Y 1

xA YA

1=0

xB YB

1

x

x


46/88

RESUMO TERICO

Equao Geral da Reta

( r ) Ax

+

By

+

C = O (A :;t: O

e

B:;t : O

J

ou A=O e B:;t:O

ou

A :;t:O

e

B=O

A

=

Oe

B:;t:

O ~

r / /

ao eixo

x

A:t O

e

B=O ~ r / /

ao eixo

y

C

=

O ~ r passa pela origem

Equao Segmentria da Reta

y

Q(O ,q )

x

Equao Reduzida da Reta

y

I y=mx+q

;

x

m

= coeficiente angular

q =

coeficiente linear

Equaes Paramtricas da Reta

x

=

XA +t(xB -xA)

y =

Y

A

+ t(YB - Y

A)


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M ATEM TI CA

Posies Relativas de Duas Retas

( r ) alx +blY +C l

=0 e

( 5 ) a2x+b2Y+C2

=0

(al a2 b

1

b

2

:;t O )

al b

1

Cl

- = - b = - => r e

5

so paralelas coincidentes.

a2 2 c 2

al

b

1

-:;t

b

=>

r

e 5 so concorrentes.

a2 2

al b

1

c l

- = - b

:;t -

=> r e 5 so paralelas distintas.

a2

2

c 2

C. Distncia e reas ---------------

Distncia do Ponto P xo . Yo Reta

r

ax hy

c

= O

_Equao da Reta que Passa por P xo . Yo

I Y-Yo = rX-Xo) I

calcular

- Equao da Reta com Coeficiente Angular

m

I y = m x + l I

calcular

~.Equao da Reta Paralela reta ax hy c O

l a X + b y + r = o l

calcular

~rea do Tringulo de Vrtices

Yc

+ +

+


48/88

RESUMO TERICO

rea do Polgono Convexo de Vrtices

+ + + +

~.,

Observao: .pmontado na seqncia anti-horria.

_ _ _ _ _ _ _ _ . _ _ . ~ _ _ _ - - - - . J

D. Desigualdades

ax

+ c

>

o ( a *

O )

e

by

+ c

> b

*

O )

ax +

c >

O ~ x

> .:':

a

c

by+c>O ~ y>--

b

y

y

a

c

x

.~

a

x

y mx q

e

y>mx q

y

y

x

x

ymx+q

ax by c >

e

ax by c <

r--.,

Estuda-se o sinal de

ax + by +

c substituindo na expresso as coordenadas de um ponto fora da reta

ax + by + c

=

O,verificando assim qual o semiplano positivo e qual o serniplano negativo.


49/88

E. Circunferncia

MATEMT ICA

- Equao Reduzida

centro:

C(a, b)

e raio =

R

- Equao Geral

Centro:

C(a, b)

e raio

= R

d e

a b

2 2

R

2

= a

2

+ b

2

- f

Anlise da equao:

a

2

+

b

2

-

f

>

O ~

circunferncia

a

2

+ b

2

- f

=

O ~ um nico ponto

2

b

2

f

O . .

a

+ - < ~

conjunto vaZIO

Posies Relativas entre Ponto e Circunferncia

Sendo

P xo, Yo)

e

( ): x - a) 2

+ y -

b)2 - R

2

=

O

Pintemoa

():

xo - a) 2

+

Y o - b)2 -

R

2

O

P pertencente a (): (x o _a) 2 +(Y o _b)2 _R

2

=0

Posies Relativas entre Reta e Circunferncia

d < r I

retaSecante

circunferncia (Ll

> O )

.....o

~.

'. r

li=

r

retatangente

circunferncia (Ll

=

O )

r ; ; - ; : r 1

reta eXterna

circunferncia (Ll

a

3

,

a4 as)

a1 + as

a3 =

f ---l

Soma dos Termos de uma P.A. Finita

Consideremos uma P.A.finita de n termos: (ai a2> a3 a4 ... , a

n

)

A soma dos

n

termos dessa P.A. dada por:

s =

(a1 + an)n

n 2

Artifcios

1) Numa P.A.de 3 termos:

2) Numa P.A. d e 4 termos:

x-3y, x-y,x + y, x + 3y

(razo =

2y) ; .~

- - - - - - -

-...--

- - - - - -.......---

1 1 1 1

B. Progresso Geomtrica

Definio

Progresso Geomtrica, ou simplesmente P.G., toda seqncia na qual o quociente entre cada

termo, a partir do segundo, e o seu anterior constante. Chamamos essa constante q de razo dar'

progresso a indicamos por q.

Exemplo: (2,4,8,16,32,64, ...) ('

--

---- _

_

= ~ = ~ =

32

=

64

= =

2

q - 2 4 8 16 32 ...

Classificao

Sendo ai e

q

o primeiro termo e a razo, respectivamente, de uma P.G., temos:

-- -----

- Se ai

>

Oe

q >

1, ento a P.G. crescente.

- Se ai

Oe 0

p , sempre igual ao produto de

._ n -

p

razes.

Exemplo: (2, 4,

J, J,

8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 ... )

J, J, J, J, J, J, J, J,

a s = q(S-2) = 2

3

= 8

a2

~ = q10-4) = 2

6

= 64

a4

~ =

q7-1)

=

6

= 64

a1

Termo Geral

Chamamos de termo geral de uma PG. o termo a I que pode ser obtido em funo de n, quando

~ conhecemos um termo qualquer da PG. e sua razo.

Exemplos:

1)a s= 11eq= 4 2) a I= 10eq= 2

a

ll

1/.1

-=

q

a I

~=4- S ==>a =11 4

n

-

5

11

~ Propriedades

1) Numa PG., dados trs termos consecutivos quaisquer, o quadrado do termo central igual

~ ao produto dos outros dois. __

a, b,cem PG

2

=

c

2) Em toda PG. finita, o produto de dois termos eqidistantes dos extremos igual ao produto

dos extremos.

3) Em toda PG. finita, com nmero mpar de termos, o quadrado do termo central igual ao

___produto dos extremos.

Exemplo: (a I a 2 ,a 3 , a 4, a s)

2

a3

=

a I . as

Obs.: Numa PG. positiva, o termo central a mdia geomtrica dos extremos.

Exemplo:

(a I a 2> a3 ,a4 a s)

a 3=~


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RESUMO TERICO

i:

r

'

r

r

r

. .

~

'

Produto dos Termos de uma P.G. Finita

Consideremos uma PG. finita de

n

termos:

(a l ' a2 ' a 3 ' a 4' ... , a I )

O produto dos termos dessa PG. dado por:

Soma dos Termos de uma P.G. Finita

A soma dos

n

termos de uma PG. de razo

q

*

1 :

~~~ ~,~~~~

. S = a1 (1 - q n )

n 1-q

Observao:

No caso em que

q

= 1, temos:

P.G. Infinita

Consideremos uma PG. infinita de razo

q

*

0, tal que -1

01 - apostila de revisão de matemática

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