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AULA 01

ADMINISTRAO FINANCEIRA Tcnico TJDFT rea Administrativa

PROFESSOR CSAR FRADE

Prof. Csar de Oliveira Frade www.pontodosconcursos.com.br 1

Ol pessoal!

Primeiramente, irei fazer uma breve apresentao. Meu nome Csar de

Oliveira Frade, sou funcionrio de carreira do Banco Central do Brasil BACEN aprovado no concurso de 1997.

Sou formado em Engenharia Civil pela Universidade Federal de Minas Gerais

UFMG. Possuo uma Ps-graduao em Finanas e Mercado de Capitais pelo

IBMEC, outra em Derivativos para Reguladores na Bolsa de Mercadorias e

Futuros BM&F e uma especializao em Derivativos Agrcolas pela ChicagoBoard of Trade CBOT1. Sou Mestre em Economia2 com nfase em Finanas na

Universidade de Braslia e o Doutorado, pela mesma Universidade, estfaltando apenas a defesa da Tese3, sendo que os crditos j foram concludos.

Comecei no Banco Central trabalhando com a emisso de ttulos da dvida

pblica externa. De 2005 a 2008 fui Coordenador-Geral de Mercado de Capitais

na Secretaria de Poltica Econmica do Ministrio da Fazenda, auxiliando em

todas as mudanas legais e infralegais, principalmente aquelas que tinham

ligao direta com o Conselho Monetrio Nacional CMN. Voltei ao BACEN

para trabalhar na rea de risco com derivativos em um Departamento da reade Fiscalizao. No incio de 2012 fui cedido para a Presidncia da Repblica e

sou Coordenador da rea de Estudos e Planejamento na Secretaria de Aviao

Civil.

Sou professor de Finanas, Microeconomia, Macroeconomia, Matemtica,

Sistema Financeiro Nacional, Mercado de Valores Mobilirios, Estatstica e

Econometria. Leciono na rea de concursos pblicos desde 2001, tendo dado

aula em mais de uma dezena de cursinhos em vrias cidades do pas, desde

presenciais at via satlite.

Vamos ao que interessa! Como ser o curso? A ementa do ltimo concurso

bastante vaga e a matria no to pequena. Estarei tentando mostrar em

primeiro lugar que aquilo que acreditamos ser muito complicado pode se

1 A Chicago Board of Trade - CBOT a maior bolsa de derivativos agrcolas do mundo.2A dissertao Contgio Cambial no Interbancrio Brasileiro: Uma Anlise Emprica defendida em 2003 foi

publicada na Revista da BM&F, o paper aceito na Revista Estudos Econmicos e em alguns dos mais importantesCongressos de Economia da Amrica Latina LAMES. Versava sobre o risco sistmico a ser propagado via mercadode cmbio e as contribuies da Cmara de Compensao de Cmbio da BM&F para a mitigao desse risco.3 Tese de Doutorado um parto e a gestao j est durando alguns anos. Acho que pode ser que ela no saia.

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tornar simples desde que compreendamos os conceitos bsicos e consigamos

trazer o assunto complexo para exemplos do nosso dia-a-dia.

Tenho um estilo peculiar de dar aulas. Prefiro tanto em sala quanto em aulasescritas que ela transcorra como conversas informais. Com isso, acredito que a

leitura fica mais tranqila e pode auxiliar no aprendizado de uma forma geral.

Exatamente por isso, utilizo com freqncia o Portugus de uma forma

coloquial.

Essa matria no das mais tranqilas, mas tambm no chega a ser muito

complicada. O maior problema que ela bastante ampla e alguns tpicos no

possuem tantas questes disponveis para exercitar.

Dessa forma, a Aula Demonstrativa mostrar para vocs um pouco do que

ser esse curso. No preciso ter nenhum conhecimento prvio de mercado

de capitais, de avaliao de investimentos ou de matrias correlatas como

matemtica financeira para a sua perfeita compreenso. Todos os itens tero

seus conceitos exaustivamente construdos nas aulas e tentarei ser o mais

claro possvel.

Faremos vrias questes nessas aulas, de tal forma que vocs fiquem aptos a

desenvolver a prova da melhor forma possvel.

Contedo Programtico (uma aula por semana):

Aula 1

Risco x Retorno

Aula 2Matemtica financeira e Valor do Dinheiro no Tempo Parte 1

Aula 3

Matemtica financeira e Valor do Dinheiro no Tempo Parte 2

Aula 4

Anlise de Investimentos (Ferramentas Bsicas) Parte 1

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Aula 5

Anlise de Investimentos (Processos de deciso) Parte 2

Aula 6Anlise de Investimentos (Ferramentas avanadas) Parte 3

Aula 7

Alavancagem e Endividamento, Planejamento Financeiro e Oramentrio,

Administrao do Capital de Giro, Fontes de Financiamento a Longo Prazo.

Espero que este curso seja bastante til a voc e que possa, efetivamente,

auxili-lo na preparao para o concurso do TJDFT e na conseqenteconquista da to sonhada vaga. As dvidas sero sanadas por meio do frum

do curso, a que todos os matriculados tero acesso. Caso tenha exerccios da

matria e queira me enviar, farei todos os esforos para que eles sejam, medida do possvel, includo no curso. Envie para meu e-mail abaixo (e-mail

do Ponto).

As crticas ou sugestes podero ser enviadas para:[email protected].

Prof. Csar Frade

JUNHO/2012

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1. Noes de Risco e Retorno

Qualquer criana, por menor que seja, sabe que para se obter um retorno

alm daquele normalmente conseguido com qualquer atividade, dever correr

um risco adicional. Na verdade, o que devemos mensurar se o retorno

adicional alcanado compensa o risco adicional que est sendo corrido.

Observe que nunca tratamos as coisas de forma absoluta, mas sim de forma

relativa. Eu, em geral, no quero saber se vale a pena correr o risco X para se

obter o retorno Y. Eu possuo um status quo e o que me interessa o

diferencial para essa posio inicial, ou seja, o interessante sempre a

situao marginal.

Observe. Voc j pode ter pedido demisso do seu trabalho para estudar. A

sua deciso de estudar ou no para um concurso X no leva em considerao o

trabalho que voc tinha, no considera o risco que voc poderia correr ao pedir

a demisso para estudar para concurso. O que voc poder levar em

considerao so as opes que voc tem dada aquela situao original. E no

ache que esse conceito de risco serve apenas para mercado financeiro. No

assim, em tudo na sua vida voc leva em considerao os riscos que estar

incorrendo e os benefcios que estar recebendo por ter corrido aquele risco.

Entretanto, a forma de sentir aquele risco adicional no a mesma nas mais

diversas pessoas. Algumas possuem uma maior quantidade de coragem,

outras no possuem praticamente nenhuma. Esse diferente modo de perceber

o retorno adicional que est sendo gerado, faz com que a deciso seja

diferente para cada um dos agentes envolvidos.

Por exemplo. Talvez ns dois, eu e voc, tenhamos opinies bastantediferentes a respeito de risco em aplicaes. Eu acredito (e isso verdade),

como j deve ter notado, que aplicar na Bolsa uma operao que no

envolve muitos riscos de longo prazo, enquanto que comprar uma padaria

envolve um risco muito maior. Isso no novidade para vocs. No entanto,

tambm acho que aplicar o dinheiro em imvel me gera um risco e uma

rentabilidade de longo prazo menor do que aplicar na ao da VALE, por

exemplo.

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Tenho certeza que muitos de vocs comearam a pensar, agora, no momento

em que o Collor confiscou a poupana dos brasileiros com o objetivo de tirar a

minha razo. A soluo encontrada por voc pode ser a de colocar o dinheiro

em um imvel ao invs de deix-lo nos Bancos ou mesmo nas Bolsas quesofreriam bastante com uma medida como essa.

Entretanto, se voc comprasse um apartamento com o objetivo de proteger o

seu recurso de um possvel confisco, a nica coisa que voc no estaria

fazendo seria protegendo o seu dinheiro. No o protegeria porque voc teria ao

invs de um recurso confiscado, um apartamento. Mas para ter os recursos

novamente, teria que vender esse apartamento. Como praticamente todas as

pessoas tiveram seus recursos confiscados, voc no conseguiria vender seuapartamento e se vendesse, o preo seria muito abaixo daquele conseguido

dias antes do confisco. Teria soluo para no perder dinheiro? Sim, colocar

ele debaixo do colcho e torcer para ningum te roubar.

Observe como as pessoas possuem uma avaliao diferente do grau de risco.

Escrevi tudo isso de propsito, pois exatamente o que penso e sei que

muito diferente do que muitos pensam. Eu no estou errado e nem voc est

apenas temos uma percepo diferente de risco, apenas isso.

O que voc acha de combinarmos de fazer uma escalada no Monte Everest?

Como voc analisaria uma proposta como esta, suponhando que voc tenha

preparo fsico para fazer a caminhada. Na verdade, existem inmeros riscos

envolvidos no percurso, seja ele por causa da falta de oxignio dada a altitude,

seja pelo risco de tempestade, seja pelas fendas que podem ser encontradas

no meio do caminho, entre outros. Todos esses riscos podem acabar

ocasionando a morte do alpinista que, teoricamente, o maior risco que umser humano pode vir a correr. Eu tenho a minha resposta a essa proposta ou

alguma parecida e para isso levo em considerao o risco e o benefcio.

Ento porque algum toparia correr este tipo de risco? Seria pelo simples fato

escalar a maior montanha do mundo, tirar uma foto e voltar para casa? A

resposta para isso est na diferente percepo de risco que as pessoas tm e,

principalmente, na diferente forma de encarar um determinado retorno.

Algumas pessoas topam fazer esse tipo de caminhada porque acreditam queapesar de estarem incorrendo em um riso elevado, o retorno que tero obtido

ao conseguir xito na caminhada to grande que compensa esse risco.

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Outras pessoas, no entanto, no topariam fazer a escalada em uma parede da

academia, pois acreditam que existe um risco de tomar uma queda e vir a

quebrar o brao, a perna ou se machucar e a satisfao gerada (retorno) no

ir compensar o risco ao qual foi submetido.

Como todos que j conversaram comigo ou me conhecem sabem, adoro

futebol e sou Cruzeiro. Em 2009, o meu time foi final da Libertadores da

Amrica. Eu no tive a menor dvida, fui a Belo Horizonte, nica e

exclusivamente, para ver o jogo. Claro que no fica barata essa brincadeira,

pois mesmo tendo lugar para ficar, avio de ida e volta, taxi e ingresso custam

caro. No entanto, o prazer que tenho em ir ao campo ver meu time jogar,

ainda mais se for um jogo decisivo, enorme. Imagino que muitos de vocsesto pensando, que babaquice...Andar 700 km para ver 11 homens correndo

atrs de uma bola ainda mais passando na Globo direto para Braslia. Sim,

mas tudo isso a questo do risco contra o benefcio. Fui, vi e o time perdeu,mas se acontecesse de novo, faria tudo da mesma forma.

Eu vejo, sinto um benefcio que voc no v. Voc pode estar pensando que

existem riscos de ir a um estdio lotado, brigas e tal. Eu sei quais so os

riscos, e os acho mnimos se comparados os benefcios. O engraado quetanto eu, quanto meus irmos quanto meu pai sempre gostamos e sempre

fomos ver futebol no estdio. No entanto, meu pai depois de velho mudou a

percepo dele. Apesar de continuar compreendendo os benefcios, ele

comeou a considerar os riscos por outro prisma. A idade o fez ver que poderia

estar ficando perigoso ir a um estdio. Se alguma confuso ocorresse, ele no

teria mais a mesma mobilidade para fugir dela. E certa vez me deu como

exemplo um jogo Cruzeiro e Corinthians no Mineiro em que eu fui de

muletas4

. A torcida do Corinthians encontrou uma colmia no estdio e foicutuc-la. As abelhas saram que nem loucas e o estdio inteiro correndo na

nossa direo, dando uma volta no anel superior5. Como eu no conseguia me

locomover facilmente, a soluo encontrada por ns (eu, meu pai, irmos e

mais dois amigos do meu pai) foi a de fazer um crculo de proteo aos

menores e minha perna e ficar parado logo aps uma das sadas. Tudo

questo de risco e benefcio.

4 Pensando bem, nem sei como consegui entrar de muletas em um estdio de futebol. Mas isso deve ter sido no final dosanos 80.5 O fato ocorreu atrs de um gol e eu estava atrs do outro gol, ou seja, do outro lado do estdio. Mas a torcida correutodo o estdio fugindo das abelhas.

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Imagine um casal muito bem casado, ricos e bonitos e que se do super bem.

Porque que um deles iria trair o outro? Na verdade, aqui ns temos mais uma

questo de risco e retorno. Um dos dois para vir a trair, no entanto, estarciente que est correndo um risco enorme e que fica ainda maior pelo fato de

considerarem que a unio entre eles bastante satisfatria. Por outro lado, a

pessoa com quem um dos dois ter uma relao ter algumas caractersticas

muito especiais, pois caso isso no seja verdade, o retorno obtido no ir

compensar o risco da operao.

Entretanto, se duas pessoas esto em um casamento ruim, eles esto muito

mais propcios em trair um ao outro. Isso ocorre porque h uma reduosensvel do risco, pois caso seja descoberto, haver um prejuzo, mas que a

pessoa no considera como sendo to grande. Dessa forma, a pessoa acabar

sendo menos seletiva, obter um retorno menor, mas ainda assim estartraindo, pois o retorno, mesmo sendo baixo, compensa o risco.

Mas como podemos pensar nisto no mercado de capitais? Deve ser exatamente

essa pergunta que voc deve estar se fazendo. Comparemos o mercado de

renda varivel (mercado acionrio) e o mercado de renda fixa (ttulos pblicos,por exemplo).

Muitas pessoas dizem que aplicar no mercado acionrio algo muito arriscado

e que no tm coragem de colocar seus recursos nesse mercado. claro que

parte disto se deve ao fato de as pessoas no saberem exatamente onde esto

aplicando seus recursos. No entanto, essas mesmas pessoas aplicam em fundo

de investimento de renda fixa e no sabem se o seu fundo adquire ttulos

pblicos ou Certificados de Depsitos Bancrios (CDB) de um banco pequeno eprestes a quebrar. Com certeza, comprar CDB dessa instituio financeira

muito mais arriscado do que comprar aes da Vale ou Petrobrs.

O que podemos concluir que essas pessoas j ouviram muito falar em

mercado de aes, esto sempre vendo os jornais e sabendo, diariamente,

quando que o ndice subiu ou caiu. Ouvem falar que isso algo arriscado e que

pode perder dinheiro. Com base nessas informaes, opta por no investir em

aes. No devemos levar em considerao raciocnios como esse, pois no huma percepo correta do risco.

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No entanto, existe uma outra classe de pessoas, aquelas que sabem do risco

inerente ao mercado acionrio, mas que compreendem o seu grau de retorno.

Algumas pessoas optam por aplicar no mercado acionrio porque acreditam

que, no longo prazo, o retorno ser bastante satisfatrio e vale a pena correresse risco. Outras pessoas conhecem o risco e sabem da possibilidade de

retorno, mas acham que o risco alto para eles e, portanto, preferem investir

no mercado de renda fixa, preferem o certo ao duvidoso.

Veja que no estou tecendo uma crtica a quem acha que o mercado de aes

arriscado. Critico aquele que diz que arriscado sem nunca ter parado para

pensar o que, na verdade, ele est comprando. Se uma pessoa conhece o

mercado, sabe das vantagens mas opta por no aplicar no mercado de aesporque ele acredita que seu estmago no suportaria aquele tipo de aplicao,

a sim ele est olhando para o risco e o benefcio da aplicao.

Tenho um caso curioso aqui. Conheo uma pessoa que dona de um curso

presencial para concurso pblico. notrio que esse tipo de empreendimento

d um bom retorno. No entanto, os alunos acreditam que o risco baixo. No,

o risco inerente a um projeto como esse alto pois existe um custo fixo

enorme embutido naquilo. Essa pessoa tem um curso mas no coloca umcentavo de seus recursos no mercado acionrio, exatamente pelo fato de achar

muito perigoso o mercado acionrio.

Sendo assim, temos sempre que levar em considerao em nossas decises

uma anlise mnima de risco e retorno. Somente devemos fazer alguma coisa

se o retorno a ser obtido com aquela ao superar, na sua anlise, o risco que

estamos incorrendo. Ou seja, nunca podemos ou devemos correr um risco

demasiado mesmo que o retorno que venhamos a ter seja gigante, pois oprejuzo que podemos adquirir pode nos causar algum tipo de dificuldade e

transtorno.

Um exemplo prtico. Recentemente, um fundo de investimento em aes

vinha, ano aps ano, batendo recordes de rentabilidade. Vrias pessoas

estavam colocando seus recursos nesse fundo, mas no estavam lendo seu

regulamento e prospecto. Esse fundo era alavancado e se fizesse a aposta na

direo correta poderia ter uma rentabilidade 3 a 4 vezes maior que arentabilidade obtida no mercado acionrio. Isso fantstico, mas desde que o

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administrador do fundo acerte o que vai acontecer. Se ele apostar errado,

pode ser um desastre.

De repente, em meados de 2008, o mercado comeou a mudar, despencar e ofundo gerou um prejuzo de 95% do capital em 3 meses. Ou seja, um fundo

com rentabilidade campe e que existia h 10 anos, viu toda a riqueza de seus

cotistas desaparecerem em 3 meses. Porque isso?? Porque incorreram em um

grande risco e que daria um enorme retorno se a aposta fosse correta.

Infelizmente para os cotistas, a aposta foi errada com a crise.

Fato semelhante podemos falar sobre o Avestruz Master. ou foi um bom

negcio? Quer saber se eu aplicaria? Claro que foi um bom negcio para quemconseguiu tirar o dinheiro antes. Eu, talvez, topasse aplicar mas pouco e por

um prazo muito curto mas desde que tivesse alguma informao adicional

daquela que era dada. Era notrio que uma hora iria estourar.

2. Estatstica Descritiva Medidas de Tendncia Central eMedidas Disperso

2.1. Medidas de Tendncia Central

Uma medida de tendncia central ou de posio de um conjunto de dados

mostra o valor em torno do qual se agrupam as observaes. As principais

medidas de tendncia central so a mdia aritmtica, a mediana e a moda.

Tambm so bastante utilizadas a mdia ponderada, que uma variao da

mdia aritmtica, a mdia geomtrica e a mdia harmnica.

Um conjunto de dados pode ser bem analisado se usarmos as medidas de

tendncia central juntamente com as medidas de disperso, de assimetria e de

concentrao, permitindo assim, caracterizar de maneira bastante satisfatria

e concisa o conjunto de que dispomos.

Os diversos tipos de mdia so as medidas de tendncia central mais usadas

para descrever resumidamente uma distribuio de freqncia. Veremos, a

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mdia aritmtica simples e a ponderada, que nada mais do que uma variao

da simples, a mdia geomtrica e a mdia harmnica.

Entretanto, necessrio esclarecer que uma mdia no melhor que aoutra, ou seja, apesar da mdia mais comum ser a mdia aritmtica, isto no

a deixa melhor do que a mdia geomtrica, por exemplo. Uma mdia ser

mais conveniente para a situao apresentada do que a outra. Isso

depender apenas das caractersticas dos dados apresentados. importante

frisarmos que no h nenhum tipo de hierarquia entre as mdias.

Se os dados apresentados forem de inflao, a mdia mais conveniente a

geomtrica, no entanto, se os dados forem as alturas dos alunos de umaclasse, a mdia mais conveniente seria a aritmtica. E, s vezes, a mdia

tambm no a melhor medida de tendncia central. Imagine se quisermos

representar o salrio dos brasileiros por um nico nmero. Ser que seriainteressante calcularmos a mdia aritmtica dos salrios dos brasileiros e dizer

que este nmero representaria bem? A resposta no, na verdade, a mediana

representaria de forma bem mais satisfatria o salrio dos brasileiros. Quando

h alguns dados que so muito dispersos, talvez seja um bom momento para

se usar uma mediana.

Entretanto, no nosso curso de Finanas usaremos, praticamente, apenas a

mdia aritmtica, apesar de, nesse momento, estarmos iniciando uma reviso

das medidas de tendncia central.

2.1.1. Mdia Aritmtica

A mdia aritmtica a idia que ocorre maioria das pessoas quando se fala

em mdia.

A mdia aritmtica simples pode ser calculada pelo quociente entre a soma dos

valores de um conjunto e o nmero total de elementos.

Imagine que tenhamos um conjunto com 5 elementos, representando o

nmero de questes acertadas por um candidato nas ltimas cinco provas deportugus, quais sejam: 6, 8, 9, 11 e 11. Qual seria um nmero que poderia

representar bem esse conjunto?

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Devemos representar essas notas pelo resultado da mdia aritmtica simples

conforme abaixo:

95

45

5

1111986==

++++=x

Portanto, podemos dizer que essa pessoa tem uma mdia de acertos igual a 9e que ela pode considerar esse nmero para a prxima prova. No entanto, isso

serve apenas para fazer uma previso de quantas questes ela acertar na

prxima para saber se ela precisa ou no estudar mais.

Genericamente, podemos representar a mdia aritmtica com a seguinte

frmula:

N

x

x

N

i

i== 1

A mdia possui algumas propriedades teis que explicam porque ela a

medida de tendncia central mais usada:

a) a mdia pode sempre ser calculada;

b) a mdia de um dado conjunto sempre nica;

c) se somarmos (subtrairmos, multiplicarmos ou dividirmos) a todos os

valores do conjunto um valor y qualquer, a nova mdia desse mesmo

conjunto ser a mdia anterior somada (subtrada, multiplicada ou dividida)de y;

d) a mdia uma medida sensvel que afetada por todos os valores do

conjunto.

Se ao invs de utilizarmos a mdia aritmtica para calcular um nmero que

representa bem as notas da pessoa, formos utilizar a mdia aritmticaponderada teremos, exatamente, o mesmo resultado.

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Devemos utilizar a ponderada quando os diversos elementos do conjunto

tiverem pesos ou freqncias diferentes. No exemplo acima, podemos usar a

mdia ponderada desde que faamos a seguinte anlise:

Notas 6 8 9 11

Frequncia6 1 1 1 2

Dessa forma, a mdia aritmtica se calculada da forma ponderada seria:

95

45

5

211191816==

+++=x

Portanto, a frmula a ser usada na mdia aritmtica ponderada a seguinte:

Nf

f

fx

xk

i

ik

i

i

k

i

ii

=

=

=

=

=

1

1

1 sendo,

2.1.2. Mdia Geomtrica

A mdia geomtrica de n valores definida como a raiz n-sima do produto de

todos eles. uma medida mais central quando as observaes apresentam

uma taxa constante de crescimento em funo do tempo, ou seja, a medida

mais adequada quando as taxas crescem com capitalizao composta

(exponencial).

No entanto, importante ressaltar que esse tipo de mdia no aceita

observaes menores ou iguais a zero. Uma aplicao freqente da mdia

geomtrica no clculo da taxa equivalente de uma operao financeira.

Podemos representar a mdia geomtrica simples da seguinte forma:

6 A freqncia das notas o nmero de vezes que cada uma delas aparece no conjunto.

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nn

n

n

i

ig xxxxx == =

L211

Se calcularmos a mdia geomtrica desse conjunto de dados, apesar de no

fazer nenhum sentido, dada a natureza dos nmeros, teramos:

78,811119865 ==gx

2.1.3. Mdia Harmnica

A mdia harmnica de um conjunto o inverso da mdia aritmtica dos

inversos, ou seja:

=

=+++

=n

i in

h

x

n

n

xxx

x

121

11111

L

Com nmeros iguais queles que foram dados no conjunto acima, a mdia

harmnica seria igual a 8,55.

Apesar de no fazer sentido algum, estatisticamente, calcular as mdias

geomtrica e harmnica de um conjunto de notas, fizemos os clculos apenas

para mostrar que:

xxx gh

2.2. Medidas de Disperso

Quando comparamos vrios conjuntos de nmeros, alm da informao com

relao ao centro do conjunto, devemos tambm avaliar o grau de disperso

dos dados. Essa disperso nos indicar se os valores esto relativamente

prximos uns dos outros ou no.

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Antigamente, quando amos aos bancos, deveramos formar filas separadas

para os diversos caixas. Hoje em dia, apenas uma fila formada normalmente.

Apesar desse fato no ter alterado o tempo mdio de espera, fez com que a

variao de tempo que passamos na fila tenha diminudo consideravelmente,pois a partir da o tempo de espera no mais dependia da eficincia da pessoa

que operava o caixa da fila onde estava nem se as pessoas que estavam na

minha frente iriam dar mais ou menos trabalho aos caixas. Com isso, os

clientes ficam muito mais satisfeitos.

No interessa, em princpio, a varincia e o desvio-padro de um conjunto de

dados. Alm deles, a correlao e a covarincia.

2.2.1. Varincia

A varincia nos mostra a mdia do quadrado da distncia em relao mdia

que representada pela seguinte frmula:

( )

n

xxn

i

i=

= 1

2

2 ou

( )

n

n

x

xn

i

n

i i

i =

== 1

1

2

2

2

2.2.2. Desvio-Padro

O desvio-padro a raiz quadrada positiva da varincia e nos mostra a raiz

quadrada da mdia do quadrado da distncia em relao mdia que

representada pela seguinte frmula:

( )

n

xxn

i

i=

= 1

2

ou

( )

n

n

x

xn

i

n

i

i

i

=

== 1

1

2

2

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2.3. Covarincia

Temos ainda que considerar as frmulas tanto da covarincia quanto da

correlao para podermos compreender de forma perfeita a Teoria de Carteirasem Finanas. Dessa forma, seguem abaixo as duas frmulas7:

( ) ( )

n

xxxxn

i

BB

iAA

i

BA

=

= 1,

2.4. Correlao

A correlao a razo entre a covarincia existente entre duas grandezas e o

produto dos seus desvios.

BA

BA

BA

= ,,

3. Retorno Esperado e Retorno Mdio de um Ativo

Inicialmente vamos falar sobre o retorno esperado de uma carteira, ou seja,

qual o retorno que eu espero que uma carteira venha a ter. Na verdade,

esperamos que o retorno mdio de uma carteira seja dado pela mdia

aritmtica dos retornos dos ativos que compem essa carteira.

H uma diferena entre esses dois conceitos, mas no vejo necessidade emme aprofundar nisso nessa matria. Talvez fosse algo a ser estudado de

forma mais profunda em Estatstica. Aqui, acredito que devo apenas salientar

que quando falamos de Retorno Esperado estamos usando o operador

Esperana utilizado em Estatstica. Dessa forma, estaramos informando o

quanto esperamos para o retorno futuro de um portflio.

7Devido ao fato de que esta matria (finanas) apenas utiliza ferramentas da Estatstica, casovoc tenha alguma dvida em relao aos conceitos estatsticos sugiro dar uma olhada emalgum material especfico do assunto.

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Por outro lado, quando falamos sobre Retorno Mdio estamos calculando a

mdia do retorno de uma carteira, de um portflio. Nesse caso, estaramos nos

referindo a uma mdia aritmtica mesmo.

Imagine a situao em que podem ocorrer 3 cenrios possveis, sendo cada

um deles com uma probabilidade especfica de ocorrncia e um dado retorno

conforme descrito abaixo:

Cenrio Probabilidade Retorno

Crescimento 0,30 20%

Estabilidade 0,20 10%

Recesso 0,50 5%

Qual seria a expectativa de retorno ou a Esperana de Retorno de um ativo

dadas as expectativas de retorno do ativo em cada um dos cenrios e as

respectivas probabilidades de ocorrncia desse cenrio, conforme colocado

acima?

Observe que existem trs cenrios possveis para a economia de um pas. No

caso de essa economia apresentar crescimento e isso ocorrer, dada a situao

atual, com uma probabilidade 30%, espera-se que o rendimento dessa ao

em questo (ou portflio) seja de 20%. Ou seja, para a avaliao feita, ocrescimento da economia dar ao ativo a possibilidade de ter seu preo

majorado em 30%.

Caso haja uma estabilidade na economia e isso pode ocorrer com 20% de

probabilidade, espera-se que o rendimento seja de 10% no perodo. Ou seja,

as avaliaes feitas por analistas esto prevendo que mesmo que no ocorra

crescimento na economia, essas aes podem ter seus preos majorados em

10%.

Ocorrendo uma recesso e a probabilidade de ocorrncia deste fato de 50%,analistas esperam um retorno de 5% para as aes dessa empresa.

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Dessa forma, devemos utilizar a seguinte frmula para determinarmos a

Esperana de Retorno desta carteira:

[ ] [ ]=

=N

i

iip REpRE1

Essa frmula prev que a Esperana de Retorno de um ativo p (pode ser de

um portflio ou carteira tambm) dada pela mdia ponderada dos retornos

quando da ocorrncia de cada evento i.

Portanto, a Esperana do Retorno ser:

[ ][ ] %5,10

%5,2%2%6

%550,0%1020,0%2030,0

=

++=

++=

p

p

p

RE

RE

RE

Observe que esse clculo do Retorno Esperado do ativo. Logo, estamos

fazendo estimativas com base em probabilidades de ocorrncias futuras daocorrncia de um evento e, da, retirando uma base para a valorizao do

ativo.

Por outro lado, se tivermos que calcular o retorno mdio de uma ao,

devemos utilizar dados histricos para efetuarmos o clculo. Essa estimativaser dada pela mdia aritmtica dos retornos. Observe que a partir do

momento em que estamos interessados no retorno mdio do ativo como uma

proxy para um provvel retorno futuro estamos partindo do pressuposto deque o mercado, em um futuro prximo, se comportar de forma similar ao seu

comportamento passado.

O preo das aes, dos ativos pode ser facilmente conseguido no mercado. No

entanto, um dos problemas existentes qual seria o prazo ideal para se fazer

o estudo. Deveramos retirar os dados de fechamento dirio de prego do

ltimo ms, dos ltimos trs meses, doze meses. Ou os dados seriam do

fechamento do prego apenas do ltimo dia do ms. Enfim, essas so decises

que aps serem tomadas pelos investidores faz com que a grande maioriapasse a ter dados diferentes mesmo utilizando os mesmos dados do mercado.

7/31/2019 01- AF - Csar

18/60

AULA 01




Veja na tabela abaixo o preo de fechamento do ltimo prego do ms das

aes da Vale (VALE5) cotadas na BOVESPA, de agosto a novembro de 2010.

Data Preo de

Fechamento

Retorno

Mensal

30/07/2010 42,67

31/08/2010 41,43 -2,91%

30/09/2010 46,30 11,75%

29/10/2010 47,75 3,13%

30/11/2010 48,00 0,52%

O retorno mensal das aes calculado da seguinte forma8:

%52,00052,0175,47

00,48

%13,30313,0130,46

75,47

%75,111175,0143,41

30,46

%91,20291,0167,4243,41

===

===

===

===

NOV

OUT

SET

AGO

x

x

x

x

Portanto, o retorno mdio das aes da VALE5 negociadas no IBOVESPA nosquatro primeiros meses desse ano foi de9:

%12,34

%52,0%13,3%75,11%91,21

=+++

=

==

VALE

N

i

i

x

xx

8 Essa forma mostrada como voc deve pensar para calcular na prova. No entanto, os analistas utilizam uma formacom logaritmo neperiano, mas nestas aulas para concurso no vejo motivos para discutir nem apresentar o assunto.9 Apesar desse de que para este tipo dado seja mais aconselhvel utilizar uma mdia geomtrica, utilizamos comfreqncia a mdia aritmtica, pois os dados so muito prximos.

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19/60

AULA 01




A mdia de 3,12% mostra que o retorno mdio mensal da VALE entre os

meses de agosto e novembro de 2008 foi de 3,12% ao ms.

muito interessante notarmos que nesses meses avaliados o resultado da

VALE foi positivo. Entretanto, se fizermos uma comparao do preo de

fechamento do ltimo prego de Novembro de 2010 com o preo de

fechamento do ltimo prego de 2007 (antes da crise, portanto) veremos que

o preo da ao ficou praticamente estvel, tendo um pequeno recuo.

Em novembro de 2007, a ao da VALE chegou ao preo R$ 52,15, enquanto

que trs anos depois ela estaria cotada por R$ 48,00. No entanto, na aulademonstrativa mostrei a vocs um grfico que ilustra bem a evoluo do preo

das aes dessa companhia ao longo dos ltimos anos.

4. Retornos das Carteiras de Ativos

Uma carteira de aes composta por um conjunto de aes que so

ponderadas conforme a quantidade de recursos que foram aplicados em cadaum dos ativos. Portanto, para calcularmos o retorno mdio de uma carteira

devemos calcular a mdia ponderada dos retornos dos ativos que compem a

carteira.

Dessa forma, a frmula a ser utilizada no clculo do retorno mdio da carteira

:

=

=N

i

iip RXR1

Imaginemos o caso em que tenhamos os retornos das aes A e B conforme

descrito abaixo:

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AULA 01




Retorno de A Retorno de B

5% 4%

10% -3%

8% 8%

-3% 3%

Assim, temos:

%34

%3%8%3%4

%54

%3%8%10%5

=++

=

=++

=

B

A

R

R

Portanto, se colocarmos 60% dos recursos no ativo A e 40% dos recursos no

ativo B, teremos que o retorno mdio dessa carteira ser:

%20,4

%2,1%0,3

%340,0%560,0

=

+=

+=

p

p

p

R

R

R

Por outro lado, vamos imaginar um situao em que tenhamos dois ativos e os

possveis retornos desses ativos para cada uma das situaes hipotticas

possveis para o futuro. Veja abaixo:

Cenrio Probabilidade Retorno A Retorno B

Crescimento 0,30 20% -10%

Estabilidade 0,20 10% 8%

Recesso 0,50 5% 21%

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21/60

AULA 01




Devemos utilizar o operador esperana para poder encontrar o retorno

esperado de cada ativo. Dessa forma, a frmula a ser utilizada :

[ ] [ ]=

=N

i

iip REpRE1

O Retorno esperado do ativo A :

[ ]

[ ]%5,10

%5,2%2%6

%550,0%1020,0%2030,0

=

++=

++=

p

p

p

RE

RE

RE

O Retorno esperado do ativo B :

( )

[ ] ( )[ ] %1,8

%5,10%6,1%3

%2150,0%820,0%1030,0

=

++=

++=

p

p

p

RE

RE

RE

Se montarmos uma carteira com 60% dos recursos aplicados no ativo A e 40%aplicados em B, teremos o seguinte retorno esperado da carteira:

%54,9

%24,3%30,6

%1,84,0%5,106,0

1

=

+=

+=

==

p

p

p

N

i

iip

R

R

R

RXR

Isso significa que com uma aplicao de 60% dos recursos no ativo A e 40%

no ativo B, os investidores devem esperar um retorno de 9,54% no perodo em

questo.

5. Oscilao dos Retornos

A mensurao do risco dos ativos deve ser feita com base em sua oscilao de

preos. Ou seja, partimos do pressuposto de que quanto mais o preo do ativo

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22/60

AULA 01




variar maior a falta de previsibilidade do mesmo e, portanto, maior o risco

atrelado a ele. Uma boa medida para efetuarmos a anlise do risco de um

ativo pode ser feita com as medidas de disperso da estatstica.

Como medida de disperso, estudamos tanto o desvio-padro quanto a

varincia e so essas duas grandezas que iro informar o grau de risco de

cada um dos ativos. Lembre-se de que o desvio-padro a raiz quadrada da

varincia e se um ativo tem uma varincia maior do que outro, ele tambm

ter um desvio-padro maior.

5.1. Carteira com dois ativos

Na verdade, o risco de uma carteira medido pela varincia ou desvio-padro

da mesma e, ao contrrio do que muitos podem vir a pensar, no a mdia

aritmtica das varincias ou dos desvios dos ativos. Isto decorre do fato de

que os ativos que compem uma carteira tm uma correlao entre eles.

Dessa forma, a varincia e o desvio-padro de um conjunto de ativos

(carteira) depende ainda da covarincia existente entre os ativos quecompem a carteira em questo.

No caso de uma carteira com dois ativos (A e B), se levarmos em considerao

que foi aplicado no ativo A uma parcela10 XA dos recursos e no ativo B uma

parcela XB dos recursos disposio do investidor, teremos que a varincia da

carteira dada por:

BABABABBAAp XXXX ,22222 2 ++=

Tendo em vista o fato de que a covarincia entre dois ativos igual ao produto

entre os desvios dos ativos pela correlao11 entre eles, podemos expressar da

seguinte forma a varincia de uma carteira composta por dois ativos:

10 Aplicar uma parcela XA dos recursos no ativo A, significa que de todo o recurso que o investidor possui, X A% foiaplicado em A e XB% foi aplicado em B. De forma que a soma de X A e XB seja igual a 100% dos recursos, ou seja, ele

aplica parte dos recursos disponveis no ativo A e parte no ativo B.

11 BABABA ,, = ouBA

BA

BA

= ,,

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AULA 01




BABABBAAp XXXX ,22222 2 ++=

Sendo assim, como o desvio-padro a raiz quadrada positiva da varincia, o

desvio-padro de uma carteira de ativos pode ser representada por:

( ) 21

,2222 2 BABABABBAAp XXXX ++=

Voc deve estar se perguntando como que voc vai decorar uma frmula

deste tamanho. Pois , vou te dar uma grande dica que nunca mais voc vai se

esquecer dessa frmula. No entanto, para decorar esta voc vai ter que

lembrar dos seus bons tempos de 6 Srie e da temida matria chamada deProdutos Notveis... Risos... Lembra-se disso?

Pois . Quanto o quadrado da soma de dois termos? Lembra que voc

decorava que o quadrado da soma de dois termos era o quadrado do primeiro

mais duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo. Ou

seja, o quadrado da soma de A mais B :

( )222

2 BBAABA ++=+

No isso mesmo? Ento. Essa frmula que estou mostrando a vocs a

mesma frmula do quadrado da soma de dois termos mas com o acrscimo da

correlao no termo central. Observe a frmula do quadrado da soma quando

utilizamos os desvios e a ponderao deles pelo peso aplicado em cada ativo:

( ) BABABBAABBAA XXXXXX ++=+ 222222

Observe que se voc acrescentar no termo central a correlao entre os dois

ativos que formam a carteira, voc ter desenvolvido a mesma frmula da

varincia de uma carteira com dois ativos.

Como j sabemos como devemos proceder para decorar a frmula devemos

ver como ficar a relao risco x retorno medida que retiramos parte dos

recursos de um ativo e colocamos em outro ativo.

Na verdade, a relao entre risco e retorno depende da correlao existente

entre os ativos ou da covarincia entre os mesmos. Apesar de o retorno

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AULA 01




sempre ser a mdia aritmtica dos retornos individuais, sabemos que o mesmo

no ocorre com o risco12.

5.1.1. Correlao perfeita e positiva13 ( = 1)

Quando a correlao entre os dois ativos que compem a carteira for perfeita e

positiva, ou seja, 1, ao transferirmos recursos de um ativo a outro teremos a

formao de uma reta no espao risco x retorno como mostrado na figura

abaixo14:

Pegamos um exemplo em que temos dois ativos (A e B) e que eles possuem as

seguintes caractersticas:

Ativos RetornoEsperado

Desvio-Padro

A 30% 35%

B 10% 10%

12 Lembramos que o risco de um ativo ou de uma carteira pode ser representado tanto pelo desvio-padro quanto pela

varincia.13 Os grficos utilizados em Finanas no espao risco x retorno mostram o risco medido pelo desvio-padro no eixo X eo retorno no eixo Y.14 Estaremos sempre colocando o risco no eixo x e o retorno no eixo y, mesmo que o grfico no faa a indicao.

0,00%

5,00%

10,00%

15,00%

20,00%

25,00%

30,00%

35,00%

0,00% 5,00% 10,00% 15,00% 20,00% 25,00% 30,00% 35,00% 40,00%

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AULA 01




Dessa forma, se colocarmos todos os recursos no ativo B, teremos o retorno

esperado da carteira como sendo igual a 10% e o desvio-padro da mesmaser 10%. medida que comearmos a vender o ativo B e com os recursos

percebidos comprar o ativo A, iremos aumentando o retorno de nossa carteira,

pois estamos vendendo um ativo com retorno mais baixo e comprando aquele

com retorno mais alto.

Ao mesmo tempo, tendo em vista que a correlao entre eles igual a 1,

haver um aumento no desvio-padro da carteira. Observe, conforme equao

abaixo, que no caso de a correlao entre os ativos da carteira ser igual a 1, o

desvio-padro da carteira passa a ser a mdia ponderada dos desvios.

( )

BBAAp

BBAAp

BABABBAAp

BA

BABABABBAAp

XX

XX

XXXX

Se

XXXX

+=

+=

++=

=

++=

22

22222

,

,22222

12

1

2

Abaixo, tabela da evoluo do risco e do retorno medida que transferimos o

investimento do ativo B para o ativo A.

XA XB Rp p

0% 100% 10,00% 10,00%

10% 90% 12,00% 12,50%

20% 80% 14,00% 15,00%

30% 70% 16,00% 17,50%

40% 60% 18,00% 20,00%

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AULA 01




50% 50% 20,00% 22,50%

60% 40% 22,00% 25,00%

70% 30% 24,00% 27,50%

80% 20% 26,00% 30,00%

90% 10% 28,00% 32,50%

100% 0% 30,00% 35,00%

importante ressaltar que, SOMENTE quando a correlao entre os dois

ativos for perfeita e positiva, ou seja, igual a 1, o desvio-padro da carteira

formada por esses dois ativos ser igual mdia ponderada dos

desvios.

5.1.2. Correlao perfeita e negativa ( = -1)

Quando a correlao entre os dois ativos que compem a carteira for perfeita e

negativa, ou seja, -1, ao transferirmos recursos de um ativo a outro teremos a

formao de duas retas no espao risco x retorno como mostrado na figura

abaixo:

Pegamos um exemplo em que temos dois ativos (A e B) e que eles possuem as

seguintes caractersticas:

0,00%

5,00%

10,00%

15,00%

20,00%

25,00%

30,00%

35,00%

0,00% 5,00% 10,00% 15,00% 20,00% 25,00% 30,00% 35,00% 40,00%

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AULA 01




Ativos Retorno

Esperado

Desvio-Padro

A 30% 35%

B 10% 10%

Dessa forma, se colocarmos todos os recursos no ativo B, teremos o retorno

esperado da carteira como sendo igual a 10% e o desvio-padro da mesma

ser 10%. medida que comearmos a vender o ativo B e com os recursos

percebidos comprar o ativo A, iremos aumentando o retorno de nossa carteira,mas estaremos reduzindo o risco, pois o termo central da varincia negativodado que a correlao negativa. Veja no quadro abaixo:

XA XB Rp p

0% 100% 10,00% 10,00%

10% 90% 12,00% 5,50%

20% 80% 14,00% 1,00%

21,00% 79,00% 14,20% 0,55%

22,00% 78,00% 14,40% 0,10%

22,22% 77,78% 14,44% 0,00%

23,00% 77,00% 14,60% 0,35%

24,00% 76,00% 14,80% 0,80%

30% 70% 16,00% 3,50%

40% 60% 18,00% 8,00%

50% 50% 20,00% 12,50%

60% 40% 22,00% 17,00%70% 30% 24,00% 21,50%

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AULA 01




80% 20% 26,00% 26,00%

90% 10% 28,00% 30,50%

100% 0% 30,00% 35,00%

Observe que em determinado momento, o risco da carteira poder ser

igual a zero para uma dada combinao de recursos aplicados em cada

um dos ativos em questo15.

A partir dessa combinao especfica de XA e XB que torna o risco de uma

carteira igual a zero, para cada unidade adicional de recursos que tirarmos do

ativo B e passarmos para o ativo A, vamos incrementando o retorno dacarteira, mas incorrendo em um risco cada vez maior. Observe que o ponto no

qual temos risco igual a zero, temos o menor risco possvel do portflio com as

caractersticas apresentadas. Dessa forma, chamamos essa carteira de

CARTEIRA DE MNIMA VARINCIA, pois a carteira que possui a menor

varincia.

Podemos verificar que no caso de correlao perfeita e negativa, o desvio-

padro da carteira ser igual raiz quadrada do produto notvel dado peloquadrado da diferena, conforme mostrado abaixo.

( )

( )

BBAAp

BBAAp

BABABBAAp

BA

BABABABBAAp

XX

XX

XXXX

Se

XXXX

=

=

++=

=

++=

22

22222

,

,22222

12

1

2

5.1.3. Ativos Independentes ( = 0)

Quando os dois ativos que compem a carteira forem independentes,

significa que possuem correlao igual a zero, ou seja, ausncia de

15 A linha que est em vermelho mostra que o risco vai a zero quando colocamos 22,22% dos recursos no ativo A e orestante em B. Isso s possvel quando temos apenas dois ativos.

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AULA 01




correlao entre eles. Ao transferirmos recursos de um ativo a outro teremos a

formao de uma curva no espao risco x retorno como mostrado na figura

abaixo:

Vamos pegar novamente o exemplo em que temos dois ativos (A e B) e que

eles possuam as seguintes caractersticas:

Ativos Retorno

Esperado

Desvio-Padro

A 30% 35%

B 10% 10%

Dessa forma, se colocarmos todos os recursos no ativo B, teremos o retornoesperado da carteira como sendo igual a 10% e o desvio-padro da mesma

ser 10%. Observe que se aplicarmos em apenas um ativo, o risco e no

retorno independem da correlao entre esses ativos. Matematicamente,

simples notar isso pois os termos que possuem a ponderao do ativo que no

est recebendo recursos estaro zerados.

medida que comearmos a vender o ativo B e com os recursos percebidos e

comprar o ativo A, iremos aumentando o retorno de nossa carteira, masestaremos reduzindo o risco, pois o termo central da varincia est anulado e

0,00%

5,00%

10,00%

15,00%

20,00%

25,00%

30,00%

35,00%

0,00% 5,00% 10,00% 15,00% 20,00% 25,00% 30,00% 35,00% 40,00%

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AULA 01




valendo zero por causa da correlao. Observe no quadro abaixo essa reduo

de risco no incio dessa mudana.

XA XB Rp p

0% 100% 10,00% 10,00%

6% 94% 11,20% 9,63%

7% 93% 11,40% 9,62%

8% 92% 11,60% 9,62%

9% 91% 11,80% 9,63%

10% 90% 12,00% 9,66%

20% 80% 14,00% 10,63%

30% 70% 16,00% 12,62%

40% 60% 18,00% 15,23%

50% 50% 20,00% 18,20%

60% 40% 22,00% 21,38%

70% 30% 24,00% 24,68%

80% 20% 26,00% 28,07%

90% 10% 28,00% 31,52%

100% 0% 30,00% 35,00%

Dessa forma, a varincia da carteira vai sendo reduzida a partir do momento

em que vamos aumentando a participao no ativo A. Entretanto, a partir de

certo ponto (a partir da carteira de mnima varincia16), um incremento na

participao do ativo A acaba provocando um aumento no risco da carteira

(aumento da varincia do portflio).

Podemos observar ainda que, quando os ativos forem independentes, o desvio-

padro da carteira ser menor que a mdia ponderada dos desvios, conforme

mostrado abaixo:

16 Nesse caso, na carteira de mnima varincia estaremos aplicando entre 7% e 8% dos recursos totais no ativo A.

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AULA 01




BBAAp

BBAAp

BABABBAAp

BA

BABABABBAAp

XX

XX

XXXX

Se

XXXX

+ 0%

Para desenvolver o grfico abaixo usamos as mesmas premissas anteriores em

relao a risco e retorno dos ativos A e B.

0,00%

5,00%

10,00%

15,00%

20,00%

25,00%

30,00%

35,00%

0,00% 5,00% 10,00% 15,00% 20,00% 25,00% 30,00% 35,00% 40,00%

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AULA 01




Se, nesse grfico, quase imperceptvel notarmos a presena da reduo da

varincia, a tabela abaixo nos deixa isso bem claro. Estamos utilizando para a

confeco da tabela os dados de risco e retorno usuais desse exemplo e uma

correlao igual a 0,25.

XA XB Rp p

0% 100% 10,00% 10,00%

0,90% 99% 10,18% 9,99341%

1,00% 99% 10,20% 9,99325%

1,10% 99% 10,22% 9,99321%

1,20% 99% 10,24% 9,99328%

1,30% 99% 10,26% 9,99347%

10% 90% 12,00% 10,44%

20% 80% 14,00% 11,87%

30% 70% 16,00% 14,00%

40% 60% 18,00% 16,55%

50% 50% 20,00% 19,36%

60% 40% 22,00% 22,34%

70% 30% 24,00% 25,42%80% 20% 26,00% 28,57%

90% 10% 28,00% 31,76%

100% 0% 30,00% 35,00%

Observe que sempre que houver correlao menor do que um, por mais

imperceptvel que seja a barriga feita pelo grfico, ela EXISTIR.

Matematicamente, no complicado de notarmos, pois se quando a correlaoentre dois ativos for igual, o desvio-padro da carteira ser a mdia ponderada

do risco, quando ele for menor do que um, o termo central do quadrado

perfeito estar sendo multiplicado por um nmero menor, reduzindo assim o

risco como um todo. E, dessa forma, o risco da carteira fica menor do que a

mdia ponderada dos desvios. Com isso, podemos afirmar que:

BBAApBA XX +

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AULA 01




O que a equao acima afirma que se a correlao entre dois ativos for

menor que 1, isso condio necessria e suficiente para que o desvio-padro

da carteira seja menor que a mdia ponderada dos desvios. E, ao mesmo

tempo, se o desvio-padro da carteira for menor que a mdia ponderada dosdesvios, isso seria condio necessria e suficiente para que a correlao entre

os ativos seja menor do que 1.

5.1.5. Correlao negativa (-1,0 < < 0)

Da mesma forma como mostrado em exemplos anteriores, quando a

correlao negativa temos uma reduo da varincia (desvio-padro) a partirdo momento em que o investidor opta por transferir a aplicao de seus

recursos do ativo de menor risco para o ativo de maior risco. Observe o grfico

abaixo.

Para desenvolver o grfico, usamos as mesma premissas do anteriores para os

ativos A e B.

Neste grfico conseguimos ver de forma mais ntida a formao da carteira demnima varincia quando vamos vendendo o ativo B e comprando A, de forma

gradual. A tabela abaixo mostra os clculos de risco e retorno para a carteira

A,B com correlao igual a -0,50.

XA XB Rp p

0,00%

5,00%

10,00%

15,00%

20,00%

25,00%

30,00%

35,00%

0,00% 5,00% 10,00% 15,00% 20,00% 25,00% 30,00% 35,00% 40,00%

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AULA 01




0% 100% 10,00% 10,00%

10% 90% 12,00% 7,86%

15% 85% 13,00% 7,43%

16% 84% 13,20% 7,41%

17% 83% 13,40% 7,41%

18% 82% 13,60% 7,43%

19% 81% 13,80% 7,48%

20% 80% 14,00% 7,55%

30% 70% 16,00% 9,26%

40% 60% 18,00% 12,17%

50% 50% 20,00% 15,61%

60% 40% 22,00% 19,31%

70% 30% 24,00% 23,15%

80% 20% 26,00% 27,06%

90% 10% 28,00% 31,01%

100% 0% 30,00% 35,00%

muito importante notarmos que SEMPRE que a correlao entre osativos no for perfeita e positiva, no valer a pena aplicar a totalidade

de seus recursos naquele ativo que possui menor risco, pois umaumento na participao do ativo mais arriscado induzir a uma

reduo do risco total do portflio.

Veja como fica o grfico com todas as correlaes juntas. claro que, como a

correlao um clculo estatstico, no tem como vari-la a no ser ao longo

do tempo. No entanto, o grfico abaixo pode nos mostrar o quo eficiente emtermos de reduo de risco pode ser incluirmos em nossa carteira ativos que

possuam correlao baixa ou negativa.

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AULA 01




Veja que quanto menor for a correlao entre dois ativos, maior a nossa

chance de ao dimensionarmos a ponderao dos ativos, reduzirmos o risco do

investidor. Ou seja, se a correlao for menor, a barriga formada pela figura

ficar cada vez mais protuberante.

6. Risco de Carteiras Notao Matricial

6.1. Carteira com dois ativos Notao Matricial

Podemos mostrar tambm a notao matricial que pode ser desenvolvida para

calcularmos a varincia de uma carteira. claro que o resultado e a frmula

sero os mesmos e no h muita vantagem quando estamos utilizando apenas

dois ativos.

Entretanto, se voc pegar o jeito de fazer a notao matricial pode vir uma

questo com 10 ativos (como j caiu uma vez em prova) que voc faz sem

maiores problemas.

Ativo A Ativo B

Ativo A 22AAX BABA XX ,

Ativo B BABA XX , 22

BBX

0,00%

5,00%

10,00%

15,00%

20,00%

25,00%

30,00%

35,00%

0,00% 5,00% 10,00% 15,00% 20,00% 25,00% 30,00% 35,00% 40,00%

Correlao 1 Correlao 0 Correlao -1 Correlao 0,5 Correlao -0,5

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AULA 01




Utilizamos o seguinte conceito, para montar a matriz:

BABABA

BA

BA

BA ,,,

,

==

Temos que o somatrio dos elementos da matriz ser igual ao risco do

portflio em questo, dado pela varincia do mesmo:

BABABBAAp XXXX ,22222 2 ++=

Observe que a diagonal principal da matriz trata das varinciasenquanto que as outras clulas que compem a matriz trata das

parcelas que contm covarincia. Essa observao muito importante e

vai ser necessria mais frente.

6.2.Carteira com trs ativos Notao MatricialSe utilizarmos uma carteira com trs ativos (A, B e C), a notao matricialficar da seguinte forma:

Ativo A Ativo B Ativo C

Ativo A 22AAX BABA XX , CACA XX ,

Ativo B BABA XX , 22

BBX CBCB XX ,

Ativo C CACA XX , CBCB XX , 22CCX

Sendo assim, ao somarmos todas as clulas da matriz teramos que a varincia

de uma carteira composta por trs ativos dada por:

CBCBCACABABACCBBAAp XXXXXXXXX ,,,2222222 222 +++++=

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AULA 01




Observe que essa matriz possui 9 clulas, sendo que as trs que fazem parte

da diagonal principal derivam de varincias e as outras seis derivam de

covarincias. Dessa forma, fica ntido que quanto maior for o nmero deativos de uma carteira menos o risco da certeira depender das

varincias dos ativos e mais depender das covarincias.

6.3.Carteira com N ativos Notao MatricialUm carteira com N ativos, ter em sua notao matricial N x N elementos, ou

seja, N2

elementos. Observe que dessa quantidade de elementos existentes,apenas a diagonal principal da matriz depender das varincias dos ativos.

Portanto, no clculo da varincia do portflio teremos N2 termos, sendo que

apenas N dependero da varincia e, dessa forma, N2 N dependero das

covarincias, conforme mostrado abaixo:

Ativo 1 Ativo 2 Ativo 3 ... Ativo N

Ativo 1 21

21 X 2,121 XX 3,131 XX ... NNXX ,11

Ativo 2 2,121 XX 22

22 X 3,232 XX ... NNXX ,22

Ativo 3 3,131 XX 3,232 XX 23

23 X ... NNXX ,33

M M M M O M

Ativo N NNXX ,11 NNXX ,22 NNXX ,33 ...22

NNX

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AULA 01




Observe que, se tivermos uma carteira com 2 ativos devemos ter uma matriz

com 4 elementos, sendo 2 que possuem o risco baseado na varincia e outros

2 na covarincia. Se a nossa carteira tiver 3 ativos devemos ter uma matriz

com 9 elementos, sendo que 3 possuem o risco baseado na varincia e 6 nacovarincia. Abaixo segue tabela que mostra a importncia da covarincia

entre os ativos na determinao do risco de uma carteira de ativos:

Dessa forma, fica fcil notarmos que quanto maior o nmero de ativos quecompuserem uma carteira menos o risco dessa carteira depender da varincia

dos ativos e maior ser a dependncia da covarincia. Isso chamado em

Finanas de EFEITO DIVERSIFICAO e tem o mesmo raciocnio daquele

conselho que voc sempre recebeu de que no deve colocar todos os ovos em

uma mesma cesta.

Total Com Varncia Com Covarincia

1 1 1 -

2 4 2 23 9 3 6

4 16 4 12

5 25 5 20

10 100 10 90

50 2.500 50 2.450

100 10.000 100 9.900

Parcelas do RiscoNmero de

Ativos

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AULA 01




QUESTES PROPOSTAS

Questo 1

(CESGRANRIO BNDES Administrador 2009) Um investidor tem uma

carteira com duas aes: 50% do valor da carteira, na primeira ao, e 50%,

na segunda. O retorno esperado no prximo ano da primeira ao de 5%,

com desvio padro de 10%; e o retorno da segunda ao de 15%, com

desvio padro de 20%. Logo, o retorno esperado da carteira, no prximo ano,

a) ser de 10%, com desvio padro de 15%.

b) ser de 10%, com desvio padro dependendo da covarincia entre osretornos das duas aes.

c) ser mximo, com desvio padro mnimo, se os pesos na carteira forem

10% e 90%, respectivamente, da primeira e da segunda aes.

d) aumentar, se o peso na carteira da segunda ao diminuir.

e) s poder ser calculado conhecendo-se a covarincia entre os retornos das

duas aes.

Questo 2

(ESAF BACEN 2001) Um analista acredita que a tabela apresentada a

seguir uma descrio satisfatria da distribuio de probabilidades da taxa de

retorno de uma certa ao.


1 0,15 -10%

2 0,25 - 2%

3 0,30 + 5%

4 0,30 + 15%

De acordo com os dados contidos na tabela, o retorno esperado e o desvio-

padro da taxa de retorno da ao so, respectivamente:

a) 5,5% e 10,86%

b) 5,5% e 8,66%

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AULA 01




c) 4,0% e 25%

d) 4,0% e 10,86%

e) 4,0% e 8,66%

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AULA 01




QUESTES RESOLVIDAS

Questo 1

(CESGRANRIO BNDES Administrador 2009) Um investidor tem uma

carteira com duas aes: 50% do valor da carteira, na primeira ao, e 50%,

na segunda. O retorno esperado no prximo ano da primeira ao de 5%,

com desvio padro de 10%; e o retorno da segunda ao de 15%, com

desvio padro de 20%. Logo, o retorno esperado da carteira, no prximo ano,

a) ser de 10%, com desvio padro de 15%.

b) ser de 10%, com desvio padro dependendo da covarincia entre os

retornos das duas aes.c) ser mximo, com desvio padro mnimo, se os pesos na carteira forem

10% e 90%, respectivamente, da primeira e da segunda aes.

d) aumentar, se o peso na carteira da segunda ao diminuir.

e) s poder ser calculado conhecendo-se a covarincia entre os retornos das

duas aes.

Resoluo:

Para encontrarmos o retorno esperado da carteira e o seu desvio-padro,

devemos aplicar as seguintes frmulas:

2 ,

Observe que a questo nos informa apenas o valor aplicado em cada um dos

ativos e o desvio-padro dos ativos. Logo, no temos como calcular o desvioda carteira, uma vez que a correlao ou covarincia entre os ativos no foi

dada.

Vamos ao clculo da esperana do retorno do portfolio:

0,50 5% 0,50 15% 2,5% 7,5% 10%

Portanto, o retorno esperado do portflio igual a 10% para o prximo ano.

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AULA 01




Sendo assim, o gabarito a letra B.

Gabarito: B

Questo 2

(ESAF BACEN 2001) Um analista acredita que a tabela apresentada a

seguir uma descrio satisfatria da distribuio de probabilidades da taxa de

retorno de uma certa ao.


1 0,15 -10%

2 0,25 - 2%

3 0,30 + 5%

4 0,30 + 15%

De acordo com os dados contidos na tabela, o retorno esperado e o desvio-

padro da taxa de retorno da ao so, respectivamente:

a) 5,5% e 10,86%

b) 5,5% e 8,66%

c) 4,0% e 25%d) 4,0% e 10,86%

e) 4,0% e 8,66%

Resoluo:

Observem que nesse caso temos os cenrios, as probabilidades de ocorrncia

de cada um dos cenrios e retorno esperado neles. Devemos calcular, em

primeiro lugar, a esperana de retorno dos ativos e, para isso, utilizaremos aseguinte frmula:

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AULA 01




[ ] [ ]=

=N

i

iip REpRE1

Fazendo as devidas substituies, temos:

[ ] [ ]

[ ] ( ) ( )[ ][ ] %0,4

%5,4%5,1%5,0%5,1

%1530,0%530,0%225,0%1015,01

=

++=

+++=

==

p

p

p

N

i

iip

RE

RE

RE

REpRE

Com isso, vemos que a esperana de retorno do ativo de 4,0%.

Uma dica: Sempre que estiver fazendo as questes, no v simplesmente

resolvendo-as. Resolva as questes, voltando sempre s possveis respostas, e

eliminando aquelas que no mais podem ser contempladas.

Com isso, temos que as nicas respostas possveis so as letras c, d e e.

Passemos agora ao clculo do desvio-padro esperado.

( ) ( )[ ]=

=N

i

pii REREp1

22

Com o objetivo de simplificar a notao, a partir deste momento estareicolocando essa frmula apenas como:

( )2

1

2 =

=N

i

pii RRp

Vou te dar outra dica para facilitar sua vida. Quando estiver fazendo as contas,

ao invs de usar o nmero correto (15%=0,15), utilize os nmeros

multiplicados por cem, ou seja, sem a porcentagem (15% = 0,15*100=15). E

lembre-se daquelas propriedades estatsticas que dizem que:

Ao multiplicarmos todos os elementos de um conjunto por um mesmonmero, a mdia fica multiplicada por esse nmero.

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AULA 01




Ao multiplicarmos todos os elementos de um conjunto por um mesmo

nmero, a varincia fica multiplicada pelo quadrado desse nmero.

Ao multiplicarmos todos os elementos de um conjunto por um mesmo

nmero, o desvio-padro fica multiplicado por esse nmero.

Portanto, ao invs de utilizarmos os retornos de -10%, -2%, +5% e +15%,

utilizaremos um conjunto que ser igual ao produto desses retornos pelonmero 100, ou seja, -1017, 2, 5 e 15.

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 22222

22222

2

1

2

1130,0130,0625,01415,0

41530,04530,04225,041015,0

+++=

+++=

==

N

i

pii RRp

Sou obrigado a abrir mais um parnteses nessa Resoluo. A primeira

pergunta que voc tem que responder a seguinte: Voc deseja fazer a

questo corretamente ou acertar a resposta e ganhar seu ponto?

Eu, Csar, no quero fazer a questo corretamente e, portanto, no preciso

ensinar vocs a fazerem corretamente. Minha inteno ensinar vocs a

ganharem o ponto, ensinar vocs a criarem atalhos importantes para

minimizar o trabalho e o tempo gasto com a questo.

Concordam comigo. Sou adepto dessa teoria. Mas sempre tem um aluno quefala assim: Professor, eu quero aprender. E acho que a melhor resposta :

voc vai aprender mas o melhor agora passar e depois que estiver com esse

timo salrio, voc acaba de aprender tudo, ok?

Ento...Antes de continuar vocs tm duas opes. Ou aprendem a fazer raiz

quadrada pois estamos calculando a varincia e a resposta o desvio-padro

ou, ento, aprender a acertar a questo sem fazer a raiz. Eu prefiro a segunda,

mas quem quiser ou souber fazer a raiz quadrada, nem precisa continuar a ler

a questo, basta acabar de efetuar os clculos.

17 -10% * 100 = - 10

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AULA 01




Vocs concordam que se a resposta o desvio-padro, o examinador est nos

perguntando a raiz quadrada daquilo que estamos calculando. Portanto, basta

pegarmos as respostas possveis e elev-las ao quadrado que acharemos o

valor daquilo que foi calculado, e a s marcar a resposta.

Pois bem. Temos como possibilidade de resposta, somente as letras c, d e e.

Certo?

A letra c informa que o desvio-padro seria 25%. Como multiplicamos todos os

elementos do conjunto por 100 e o resultado que encontraremos tambm

ficar multiplicado por 100, caso essa seja a resposta deveramos encontrar o

desvio-padro igual a 25. Se o desvio 25, logo a varincia igual a 252 =625.

De forma anloga, se a resposta for d, o desvio encontrado no nosso clculoseria de 10,86. A varincia seria igual a 10,862 = ESQUECE (no faa a conta).

Sabemos que 10,86 est entre 10 e 11 e que o quadrado de 10,86 est entre10018 e 121 e mais prximo de 121 pois 10,86 est mais prximo de 11 do que

de 10. Chutemos que 10,862 deva ser igual a uns 115. T bom assim para

vocs? Para mim, est timo.

Da mesma forma, se a resposta for e, o desvio encontrado no nosso clculo

seria de 8,66. Como 8,66 est entre 8 e 9, os clculos devero mostrar algumnmero entre 64 e 81. Portanto, um bom chute seria que 8,662 igual a uns

75.

Vocs entenderam o esprito da coisa? Queremos acertar a questo e no faz-

la corretamente. Observe que temos trs resultados possveis e nossosclculos nos levaro a um valor prximo dos trs nmeros citados, ou seja,

625, 115 ou 75. Veja que esses trs nmeros so muito distantes, logo, no

precisamos calcular corretamente o valor da varincia. Podemos arredondar

tudo.... Veja.

( ) ( )

12130,0130,03625,019615,0

1130,0130,0625,01415,02

22222

+++=

+++=

18 Dez ao quadrado igual a 100 e onze ao quadrado igual a 121.

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AULA 01




Se voc fizer as operaes indicadas acima, acertar as questes mas gastar

muito tempo. Voc de cabea no consegue fazer a conta 0,15 x 196, certo?

Mas como temos uma boa folga nas possveis respostas, podemos transformar

essa operao em 0,15 x 200, assumindo que 200196 . Assim fica muito maisrpido e sabemos que esse valor igual a 30.

No segundo termo, no precisamos alterar, pois seus resultado simples, iguala 9. O terceiro termo igual a 0,30, mas como estamos arredondando tudo,

0,30 igual a zero. No ltimo termo, chamamos 121 de 120 e calculamos 0,30

x 120 = 36.

Entenderam a lgica?? No?? Se no entenderam, faam seus clculosnormalmente. Se compreenderam, tentem utilizar essa metodologia nesse tipo

de questo que ser bem mais fcil. Terminando a questo (fazendo as contas

com os arredondamentos):

75

36093012030,0030,03625,020015,02

2

++++++

Sendo assim, encontramos que o gabarito a letra E pois o desvio-padro igual a 8,66%.

Agora, me digam...Se tivessem feito todas as contas, no teriam chutado to

bem, no mesmo?

Eu no tenho e nem quero ensinar vocs apenas a matria. O importante

que vocs tenham condies de minimizar o tempo com que fazem a prova e

acho que isso meu papel tambm. Sei que alguns no gostam, por isso,sempre que houver esse tipo de procedimento farei no final da questo, aps

ter desenvolvido ela de tal forma que s faltaria acabar os clculos.

Gabarito: E

Questo 3

(ESAF BACEN 2001) Uma carteira de aes formada por dois papis: Ae B. Foram feitas as seguintes estimativas para taxas de retorno das duas

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AULA 01




aes: retorno esperado de A = 10%; retorno esperado de B = 14%; desvio-

padro do retorno de A = 6%; desvio-padro do retorno de B = 7%;

correlao entre os retornos de A e de B = 0,20. Sabendo-se que o peso da

ao A na carteira igual a 40%, ento o desvio-padro estimado para oretorno da carteira igual a:

a) 6,36%

b) 12,60%

c) 5,24%

d) 6,60%

e) 12,00%

Resoluo:

Para fazermos essa questo devemos usar, exatamente, as mesmas tcnicas

de arredondamento que sempre gosto de utilizar.

Vamos aos clculos, ento. Observe que precisamos calcular apenas o desvio-

padro.

2,44,850,04,82,0422,076 50,025,026,04,02

185036,04936,0

4,58,16,33615,03616,0

:

2,0766,04,024936,03616,0

2,0766,04,0276,064,0

2

2

22222

,22222

+=

++=

++=

++=

ndoSimplifica

XXXX

p

p

BABABABBAAp

6,272,4184,5

:completaequaoVoltemos2 =++=p

Dicas:

Se no aplicarmos mais de 100% dos recursos em nenhum dos

ativos, logo o desvio-padro da carteira dever ser menor do omaior dos desvios dos ativos;

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AULA 01




Se, alm disso, a correlao entre os ativos tambm for menor do

que 1, o desvio-padro ser menor do que a mdia aritmtica dos

desvios dos ativos.

Como a questo atende aos dois itens acima, sabemos que o desvio-padro da

carteira , NECESSARIAMENTE, menor que a mdia aritmtica dos desvios

dos ativos. Sendo assim:

6,6

2,44,2

76,064,0

01- af - césar

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