Volume por Fatiamento e Rotacao em torno de umEixo

Luiza Amalia Pinto CantaoDepto. de Engenharia Ambiental

Universidade Estadual Paulista – UNESP

luiza@sorocaba.unesp.br

Volume por Fatiamento

Objetivo: Determinar o volume de um solido usando fatiamento: aseccao transversal do solido em cada ponto x no intervalo [a, b] euma regiao R(x) cuja area sera A(x).

Volume por fatiamento: Ideia e Definicao

Ideia: Se A(x) for uma funcao contınua de x, podemos usa-la para cal-cular o volume do solido.

Procedimento:

• dividir o intervalo [a, b] em subintervalos de comprimento ∆x;

• fatiar o solido em cada ponto determinado pelos subintervalos;

• cada fatia cilındrica tem volume aproximado de:

Vk = area da base × altura = A(xk) × ∆x

• o volume total sera: VSol.∼=

n∑k=1

A(xk) ·∆x

Tomando n →∞, temos:

Definicao: O volume de um solido compreendido entre os planos x = ae x = b, cuja area da seccao transversal por x e dada por A(x):

V =

∫ b

a

A(x) dx

Volume por fatiamento: Exemplo

Exemplo (1): Determine o volume do solido que situa-se entre os planosperpendiculares ao eixo x em x = 0, e x = 4. As seccoes transversaisperpendiculares ao eixo x sao discos circulares cujas diagonais vao daparabola y = x2 a parabola y = 2− x2.

Volume por fatiamento: Exemplo (2)

Teorema de Cavalieri: Solidos com mesma altura e com area deseccoes transversais iguais em cada altura tem o mesmo volume.

Exemplo (2): Uma cunha curva foi obtida por meio do corte de umcilindro de raio 3 por dois planos. Um deles e perpendicular ao eixodo cilindro. O segundo cruza o primeiro formando um angulo de 45◦

no centro do cilindro. Determine o volume da cunha.

Solidos de Revolucao

Conceito: Sao obtidos pela revolucao de curvas planas em torno de umeixo. Neste caso, A(x) sera uma circunferencia:

A(x) = π (R(x))2

Exemplo (3): Girando a curva y =√

x, com x ∈ [0, 4], em torno doeixo-x, temos:

Solidos de Revolucao – Em torno da reta y

Exemplo (4): Determine o volume do solido obtido com a rotacao, emtorno da reta y = 1 da regiao limitada por y =

√x e pelas retas

y = 1 e x = 4.

Solidos de Revolucao – Em torno do eixo y

Exemplo (5): Determine o volume do solido obtido com a rotacao, emtorno do eixo y, da regiao compreendida entre o eixo y e a curva

x =2

y, 1 ≤ y ≤ 4.

Solidos de Revolucao – Eixo vertical

Exemplo (6): Determine o volume do solido obtido com a rotacao, emtorno da reta x = 3, da regiao compreendida entre a parabola x =y2 + 1 e a reta x = 3.

Solidos de Revolucao – Seccoes Transversais emForma de Arruela (em torno do eixo x)

Ideia: Rotacao de uma regiao limitada entre duas curvas: R(x) – raioexternos e r(x) – raio interno. Assim:

A(x) = π [R(x)]2 − π [r(x)]

2= π

([R(x)]

2 − [r(x)]2)

Exemplo (7): A regiao limitada pela curva y = x2 + 1 e pela retay = −x+3 gira em torno do eixo x para gerar um solido. Determineo volume do solido.

Solidos de Revolucao – Seccoes Transversais emForma de Arruela (em torno do eixo x)

Solidos de Revolucao – Seccoes Transversais emForma de Arruela (em torno do eixo y)

Exemplo (8): A regiao compreendida entre a parabola y = x2 e pelareta y = 2x no primeiro quadrante gira em torno do eixo y para gerarum solido. Determine o volume do solido.

Exercıcios Propostos

Thomas: Paginas 405 a 410, exercıcios de 1 a 58.