Geometria Espacial

Esfera

A esfera é um sólido de revolução gerado pela rotação de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro.

Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio R.

Polos: interseções da superfície com o eixo

Equador: é a seção (circunferência) perpendicular ao eixo, pelo centro da superfície.

Paralelo: é uma secção (circunferência) perpendicular ao eixo. É “ paralela” ao equador.

Meridiano: é uma secção circunferência) cujo plano passa pelo eixo.

Elementos da

esfera

Toda secção plana de uma esfera é um círculo.

Se a secção passa pelo centro da esfera, temos como secção um círculo máximo da esfera.

Superfície Esférica

Chama-se superfície da esfera de centro O e raio r ao conjunto dos pontos P do espaço, tais que a distância OP seja igual ao raio.

A superfície de uma esfera é também a superfície de revolução gerada pela rotação de uma semicircunferência com extremidades no raio.

Área da superfície esférica

A superfície esférica tem uma massa igual à massa de quatro círculos máximos.

admitindo que a espessura da superfície esférica é a mesma dos círculos máximos.

Desta forma, então:

2.4 rAse

Volume da esferaVamos imaginar uma esfera como a reunião de infinitas pirâmides

A altura de cada uma das pirâmides é o raio r da esfera.

Desta forma, teremos que o volume da esfera é igual ao volume destas n pirâmides.O que nos permite concluir que o volume da esfera pode ser obtido por:

3r..34V

Volume da esfera – Princípio de Cavalieri

Sólidos de mesma altura, cuja área de secção são iguais, possuem volumes iguais:

conecilindroesferaamarelosólidoesfera VVVVV 2

O sólido X é um cilindro equilátero (H = 2R) de onde foram retirados dois cones isósceles (altura = raio da base).O volume do sólido X é igual ao volume do cilindro “menos” os volumes dos dois cones:

H = 2RH = 2R

Volume da esfera – Princípio de Cavalieri

3322

3

22

3

1222 RRRRRRVVV conecilindroX 3

3

4R

3

3

4RVesfera

Exemplos:1. Determinar a área total e o volume de uma esfera de raio 6cm.

2. É dada uma esfera de raio 10cm. Um plano secciona essa esfera a uma distância de 6 cm do centro da mesma. Calcule o raio da secção.

Toda secção plana de uma esfera é um círculo.

Qualquer secção da esfera é um círculo. O que não acontece com os demais sólidos (as secções variam de acordo com a posição dos planos de corte).

Secção da esfera

Secção da esfera

OO’ é a distância do plano α ao centro da esfera. Qualquer plano α que seciona uma esfera de raio R determina como seção plana um círculo de raio R.

2 2 2R d r

Secção da esfera

Se o plano secante passa pelo centro da esfera temos como secção um círculo máximo da esfera.

Secção da esferaQuando o plano que secciona a esfera contiver um diâmetro, teremos d = 0. Nesse caso, o círculo determinado terá raio R e será denominado círculo máximo.

Quando o plano que secciona a esfera contiver um diâmetro, teremos d = 0. Nesse caso, o círculo determinado terá raio R e será denominado círculo máximo.

(FUVEST/SP) Uma superfície esférica de raio 13 cm é cortada por um plano situado a uma distancia de 12 cm do centro da superfície esférica, determinando uma circunferência. O raio dessa circunferência em cm é de:a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

=13=13

planoplano1212

rr

Após devida interpretação, observa-se que o triângulo destacado é um triângulo retângulo com hipotenusa 13 e catetos 12 e r. Daí, utilizando o Teorema de Pitágoras:13²= 12² + r²169 = 144 + r²169 – 144 = r²= 25r = √25r = 5

Exemplo

É a parte da esfera gerada do seguinte modo:   

Zona esférica é a superfície de revolução cuja geratriz é um arco de circunferência e cujo eixo é uma reta tal que: passa pelo centro da circunferência que contém o arco;

não passa por nenhum extremo do arco, nem intercepta o arco em outro ponto;

é coplanar com o arco

Zona Esférica

Calota EsféricaÉ a parte da esfera gerada do seguinte modo:

É a superfície de revolução cuja geratriz é um arco de circunferência e cujo eixo é uma reta tal que:

passa pelo centro da circunferência que contém o arco; passa por um extremo do arco e não o intercepta em outro ponto; é coplanar com o arco

Área da Calota Esférica e da Zona Esférica

calotacalota hRA ...2

zonazona hRA ...2

O fuso esférico é uma parte da superfície esférica que se obtém ao girar uma semi-circunferência máxima de ângulo em torno de seu eixo.

0 << 2 (em rad)

Fuso Esférico

É a interseção da superfície de uma esfera com um diedro (ou setor diedral), cuja aresta contém um diâmetro dessa superfície esférica. O que caracteriza o fuso é o ângulo medido na secção equatorial.

A área do fuso esférico pode ser obtida por uma regra de três simples: Ângulo Área

fuso0

20

A

r..4360grausem

fuso

2

A

r..42radianosem

2

2

0

Área do fuso esférico

rad 2.R .

.R .graus

90

Cunha Esférica

A cunha esférica é uma parte da esfera que se obtém ao girar uma semi-circunferência máxima de ângulo em torno de seu eixo.

0 << 2 (em rad)

É a interseção da superfície de uma esfera com um diedro (ou setor diedral), cuja aresta contém um diâmetro dessa superfície esférica. O que caracteriza a cunha é o raio da esfera e a medida do diedro

O volume da cunha esférica também pode ser obtida por uma regra de três simples:

Ângulo Volume

cunhaV

rgrausem

30 .3

4360

.R32rad

R270

grausV

3

3

cunhaV

rradianosem

3.3

42

Exemplos:1. Determinar a área de um fuso esférico de 300, contido numa superfície esférica de raio 4cm.

2. Determinar o volume da cunha esférica obtida a partir da situação anterior.

Exemplo:Calcular a área total e o volume de uma cunha esférica contida numa esfera de raio igual a 4 cm, sabendo que o ângulo central da cunha mede 60º.

60º

Resolução:

60º

Volume:

270

3

RVol cunha

270

6043

cunhaVol

3cm 9

128cunhaVol

Resolução:

60º

Área Total

lfusototal AAA 2

90

6042

fusoA

nciacircunferê-semi da ÁrealA

3

32fusoA

2

2RAl

8lA

3

483282

3

32 totalA

3

80totalA

22

arar

2

332

aRaR

Inscrição e Circunscrição do Cubo na Esfera

22

hrhr

rR

Inscrição da Esfera no Cilindro