ESFERAESFERA

Chamamos de esfera o sólido formado por todos os pontos P do espaço que estão a uma distância de C menor ou igual a r.

Esfera Considere um ponto C do espaço e um número real e positivo r.

Superfície esférica

A superfície esférica é a “casca” da esfera, ou seja, é o conjunto de pontos P do espaço que estão a uma distância de C igual a r.

Esfera de revolução A esfera é considerada um sólido de revolução, pois pode ser obtida pela rotação de um semicírculo em torno de um eixo que passa por seu diâmetro.

Secção plana de uma esfera Toda secção plana de uma esfera, ou intersecção de uma esfera com um plano, é um ponto ou um círculo. Se o plano de intersecção contiver o centro da esfera, então a secção obtida será chamada círculo máximo.

ResoluçãoComo as esferas são tangentes externamente, ou seja, têm somente um ponto em comum, o segmento que une seus centros tem medida r1 + r2. Nesse caso: 3 + 4 = 7Então, a distância entre seus centros é 7 cm.

1. Considerando que as esferas S1 e S2, de raios

medindo 3 cm e 4 cm, respectivamente, são tangentes externamente, determinar a distância entre seus centros.

Exercícios

2. Calcular a medida r1 do raio de uma secção plana de uma esfera sabendo

que o raio da esfera mede 13 cm e a distância dessa secção ao centro da esfera é 5 cm.

Vamos destacar o triângulo retângulo COP:

Aplicando o teorema de Pitágoras no ∆COP, temos: 132 = 52 + r1

2 ⇒ r12 = 144 ⇒ r1 = 12

Portanto, r1 é igual a 12 cm.

Exercícios

Observe a figura.

Resolução

Asuperfície esférica = 4r2

Área da superfície esférica Volume da esfera

Sabemos que: Asuperfície esférica = 4r2

Considerando ⋍ 3,14, temos: A ⋍ 4 ∙ 3,14 ∙ 25 = 314Portanto, a área da superfície esférica é de aproximadamente 314 cm2.

ExemploVamos calcular a área da superfície esférica de raio 5 cm.

Vesfera = .r3

3. Uma secção plana de uma esfera, distante cm do centro dessa esfera, tem 36 cm2 de área. Calcular o volume da esfera e a área de sua superfície.

Resolução Como toda secção plana de uma esfera é um círculo, então a área é dada por: A1 = r1

Logo: 36 = r1 ⇒ r1 = 6 cm (raio da secção plana) Assim, aplicando o teorema de Pitágoras no ∆COP, calculamos o raio da esfera:r2 = 62 + = 36 + 45 = 81 ⇒ r = 9 

2

Exercícios

Agora, podemos calcular o volume V da esfera e a área A de sua superfície: V = r3 ⇒ V = ∙ ∙ 93 ⇒ V = 972 ⇒ V ≃ 3.053A = 4r2 ⇒ A = 4 ∙ ∙ 92 ⇒ A = 324 ⇒ A ≃ 1.017 Portanto, o volume da esfera é aproximadamente 3.053 cm3 e a área da sua superfície é aproximadamente 1.017 cm2.

4. Uma esfera foi inscrita em um cubo, conforme a figura ao lado. Calcular o volume dessa esfera e determinar a razão entre as áreas da superfície cúbica e da superfície esférica.

Exercícios

Da figura, temos a = 2r, e a aresta do cubo igual a 2 cm, então r = 1 cm.O volume da esfera é: Vesfera = ∙ ∙ 13 ⇒ Vesfera =

A área da superfície cúbica é: Acubo = 6 ∙ 2 ∙ 2 ⇒ Acubo = 24

Resolução

A área da superfície esférica é: Aesfera = 4 ∙ ∙ 12

Considerando = 3,14:

Aesfera = 4 ∙ 3,14 = 12,56  

A razão entre as áreas: ≃ 1,91

Logo, a área do cubo é quase o dobro da área da superfície

esférica. 

Volume de uma cunha esférica É chamado de cunha esférica o sólido gerado pela rotação, por um ângulo de medida , de um semicírculo de raio r em torno de um eixo que contém seu diâmetro. 

Vcunha esférica =

Área de um fuso esférico Pela rotação, por um ângulo de medida , de uma semicircunferência de raio r em torno de um eixo que contém seu diâmetro, obtemos um fuso esférico. 

Afuso esférico =

5. Calcular o volume da cunha esférica e a área do fuso esférico da figura ao lado, em que r = 4 cm.

Exercícios

ResoluçãoVcunha esférica = ⇒ Vcunha esférica = ≃ 14,9 

Afuso esférico = ⇒ Afuso esférico = ≃ 11,2 

Portanto, o volume da cunha esférica é aproximadamente 14,9 cm3 e a área do fuso esférico é aproximadamente 11,2 cm2.

6. Uma esfera de raio 9cm é seccionada por um plano que dista 6cm do seu centro. Calcule: a)O volume dessa esfera b)A área da superfície esférica c)A área da secção determinada pelo mencionado plano de corte

A figura ilustra a esfera indicada. Aplicando as fórmulas, temos:

a)

333

cm972)243(43

)729(43

)9(43R4

V π=π=π

=π

=π

=

222 324)81(4)9(44 cmRA b)

c)

222sec

222

.4553..

5345453681)6()9(

cmrA

cmrr

ção

7. Se duplicarmos o raio de uma esfera, o que acontece com o volume? E com a área da superfície?

Solução: Considerando V e A como o volume e a área iniciais da esfera e aplicando as transformações, temos:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) =π=π=π=

=π

=π

=π

=⇒=

π=

π=⇒=

A.4R44R44R24'A

V.83R48

3R84

3R24

'VR2raio

R4A

3R4

VRraio

222

333

2

3

Logo, o volume multiplica por 8 e a área da superfície quadruplica.