VOLUME DE SÓLIDOS DE

REVOLUÇÃO

Profª Cristiane Guedes

Método dos Discos

Dada uma região R plana e l uma linha reta que

pode tocar ou não em R e que esteja no mesmo

plano de R. Girando-se R em torno de l, forma-se

uma região chamada de sólido de revolução.

Cálculo do volume

Seja f uma função contínua num intervalo [a,b], sendo f(x) 0 para todo x, tal que a x b. Considere o conjunto A, delimitado pelo eixo x, o gráfico de f e as retas x1 = a e x2

= b.

A

x1=a x2=b

B

Seja B o sólido obtido através da rotação do conjunto A em

torno do eixo x:

Cálculo do volume

Considerando uma partição P do intervalo [a,b]: P = {a =

x0, x1, x2, ..., xn = b}, tal que a = x0 < x1 < x2 < ... < xn =

b, seja:

Cálculo do volume

- Seja ainda xi = xi – xi-1 o comprimento do intervalo [xi-1

, xi].

- Para cada intervalo [xi-1 , xi], escolhemos um ponto

qualquer ci.

- Para cada i, i = 1, ..., n, construímos um retângulo Ri, de

base xi e altura f(ci).

- Fazendo cada retângulo Ri girar em torno do eixo dos x,

o sólido de revolução obtido é um cilindro, cujo volume é

dado por:

ii

base

xcfV

alturaAV

.)(

.

2

Cálculo do volume

A soma dos volumes dos n cilindros, que representaremos

por Vn, é dada por:

n

i

iin

nnn

xcfV

xcfxcfxcfV

1

2

2

2

2

21

2

1

)]([

)]([...)]([)]([

Cálculo do volume

A medida que n cresce muito e cada xi torna-se muito

pequeno, a soma dos volumes dos n cilindros aproxima-se do que

intuitivamente entendemos como o volume do sólido B.

Definição

Seja y = f(x) uma função contínua não negativa em [a,b]. Seja R

a região sob o gráfico de f de a até b. O volume do sólido B,

gerado pela revolução de R em torno do eixo x, é definido por:

n

i

iixmáx

n xcfVi 1

2

0)]([lim

Cálculo do volume

A soma que aparece no slide anterior pode ser substituída pelo símbolo de

integral, uma vez que a função é contínua no intervalo e o limite existe. Logo:

Vamos analisar agora o volume de alguns sólidos

em certas situações especiais.

A

x1=a x2=b

B

dxxfV

b

a

n 2)]([

Girando o gráfico de uma função f(x) tem-se:

b

a

dxxfV 2))((

Exemplos

Quando a função f(x) é negativa em alguns pontos de [a,b].

- A fórmula do volume permanece válida, pois |f(x)| = (f(x))2.

(b)

(a) O sólido gerado pela rotação da figura (a)

é o mesmo gerado pela rotação da figura (b).

Quando, ao invés de girar ao redor do eixo dos x, a região A gira em torno do eixo dos y.

- Neste caso, temos:

dyygV

d

c

)]([ 2

Exercício

Exercício 1: Se f(x) = x2, determine o volume do sólido gerado pela

revolução, em torno do eixo x, da região sob o gráfico de f no intervalo [1,

2].

De acordo com a definição: dxxfV

b

a

2)]([

Exercício 2: Se f(x) = x2 + 1, determine o volume do sólido gerado ela

revolução, em torno do eixo x, da região sob o gráfico de f no intervalo [-

1, 1].

- De acordo com a definição: dxxfV

b

a

2)]([

15

561

3

2

5

11

3

2

5

1

3

2

5

1

)12(

]1[

1

1

35

1

1

24

1

1

22

xxx

dxxx

dxxV

Exercício 3: Seja f(x) = sen x, x [a, b]. Calcule o volume do sólido

gerado pela rotação do gráfico de f, ou seja pela rotação da região

delimitada pelo eixo x, o gráfico de f e as retas x = 0 e x = .

0 0

C4

2xsen

2

xxsen2

0

2 dxxsenV

24

0

24

2

2

2

00

2

xsenxdxxsenV

Exercício 4: Calcule o volume do sólido que se obtém por rotação da região

limitada por y = x3, y = 0 e x = 1 em torno do eixo y.

Volume do cilindro – V = π . 12.1 - V

π - 3π/5 = 2π/5 u.v.

Quando a região A está entre os gráficos de duas funções f(x) e g(x) de a

até b:

Supondo f(x) g(x), para qualquer x que pertença ao intervalo [a, b], o

volume do sólido B, gerado pela rotação de R em torno do eixo x, é dado

por:

dxxgxfxV

b

a

)()( )(2 2

2 2 )()()( xgxfxA

dxxgxfxV

b

a

)()( )(2 2

2 2 )()()( xgxfxA

Exemplos

Ex1:

Mostre que o volume de um cilindro reto, de

altura h e cuja base é um círculo de raio r, é V

= r2h.

Ex2: Calcule o volume gerado pela parábola

y = x2 girando em torno do eixo de y, no intervalo

[0,4].

Resp: 8

Ex3:

Calcular, usando o método dos anéis circulares, o

volume formado pela rotação em torno do eixo x,

da região entre y = x2 e y = x + 2.

Resp:

5

72

Ex4:

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação

da região delimitada por y=x3, y=8 e x=0 em

torno do eixo y.

Resp: 5

96