CÔNICAS

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Seções Cônicas

São curvas obtidas pela interseção de um cone com um plano.

Circunferência

É o lugar geométrico plano dos pontos que estão à

mesma distância r de um ponto C dado (centro ).

Equação reduzida da circunferência

Considere o ponto C de coordenadas (xC, yC),

chamado centro, e a distância r, chamada raio. Os

pontos pertencentes à circunferência Ω devem

atender à equação:

Tal equação é obtida a partir da aplicação do

teorema de Pitágoras a todos os pontos da

circunferência.

Se P ϵ Ω → dpc= r

Equação geral

Do desenvolvimento da equação reduzida, obtém-se:

com a, b e c constantes reais.

022 22222 ryxyyxxyx cccc

022 cbyaxyx

Elipse

É o lugar geométrico plano no qual a soma das distâncias de

qualquer ponto sobre a curva até dois pontos dados F1 e F2

(focos), é constante e maior que a distância entre os focos.

Elementos

• Focos: os pontos F1 e F2

• Eixo maior: o segmento

A A1A2 , que passa pelos focos

(A1A2 = 2a)

• Centro: o ponto O, médio de A1A2 A1A2

• Eixo menor: o segmento B1B2 , perpendicular a A1A2 A1A2,

que passa por O (B1B2 = 2b).

• Distância focal: a distância 2c = F1F2 entre os focos

B1

B2

A1 A2

(0;b)

P(x;y)

(a;0) x

y

F2(c;0)

(0; -b)

a

0 F1(-c;0)

x F2

y

a

b

F1

F2

a

x

y

b

F1

F2

a

x

y

b

x

F2

y

a

b

C(x’, y’) F1

C(x’, y’)

Equação

• Elipse com eixo maior na horizontal (a > b):

• Elipse com eixo maior na vertical (a > b):

Excentricidade

A razão e = c/a (com c a).

Propriedade Refletora

Uma propriedade muito importante da elipse é que

qualquer raio luminoso ou onda sonora que saia de um dos

focos será refletido pela elipse na direção do outro foco,

conforme indicado na figura abaixo:

Aplicações

A propriedade refletora justifica algumas aplicações da elipse

como, por exemplo, a aplicação óptica de um dispositivo de

iluminação usado em consultórios odontológicos. Este dispositivo

consiste num espelho com a forma de um arco de elipse e numa

lâmpada que se coloca no foco mais próximo. A luz da

lâmpada é concentrada pelo espelho no outro foco, ajustando-

se o dispositivo de forma a iluminar o ponto desejado.

Aplicações

Na astronomia, a descoberta do cometa Halley é paradigmática.

Em 1704 Edmund Halley estudou as órbitas de vários cometas,

para as quais existiam dados. Concluiu que os cometas de 1682,

1607, 1531 e 1456 eram afinal um único cometa que descrevia

uma órbita elíptica à volta do sol com um período de cerca de 76

anos. Fez a previsão correta de seu retorno em 1758, o que fez

que o cometa ficasse conhecido pelo seu nome.

Aplicações

Investigações recentes sugerem que os chineses tivessem

registrado este cometa em cerca de 240 a.c... Mesmo depois

de Copérnico, que no século XVI formulou a teoria

heliocêntrica, se acreditava que o “Movimento natural” era o

movimento circular e, por isso, os planetas deveriam seguir

esse tipo de trajetórias à volta do sol. Foi o astrônomo e

matemático alemão Johannes Kepler, em 1969, que descobriu

que “cada planeta descreve uma elipse de que o sol ocupa

um dos focos” (1 primeira lei de Kepler). O interesse de

Kepler pelas cônicas surgiu devido às suas aplicações à óptica

e a construção de espelhos parabólicos.

Parábola

Dados uma reta r e um ponto F fora dela, é o lugar geométrico

plano dos pontos que equidistam de r e F.

Elementos

• Foco: o ponto F

• Diretriz: a reta r

• Eixo de simetria: a reta s,

perpendicular a r, que passa pelo foco

• Vértice: o ponto V, intersecção da parábola com o eixo de

simetria

• Parâmetro da parábola: a distância p entre o foco e a diretriz,

i.e, p = FD

Equação

• Forma geral:

• Pelas coordenadas do vértice:

• Equação reduzida

concavidade para cima:

concavidade para baixo:

• Parábola com diretriz na vertical:

Propriedade Refletora

A propriedade de destaque na parábola, denominada

de propriedade de reflexão, é o fato de que todo raio luminoso

ou onda sonora que incida sobre a parábola paralelamente ao

seu eixo é refletido de modo a passar pelo foco da parábola. O

processo inverso também acontece, ou seja, qualquer raio ou onda

que seja emitido do foco da parábola e que incida sobre a

parábola é refletido numa mesma direção segundo retas

paralelas ao eixo da parábola. Essa propriedade faz com que a

parábola apresente várias aplicações, como por exemplo, em

antenas parabólicas, faróis de veículos, fornos solares e em

telescópios.

Aplicações

Antenas parabólicas e Radares

É comum observarmos no alto de residências e edifícios as Antenas

Parabólicas, que captam ondas eletromagnéticas que são enviadas

por satélites em órbita ao redor da terra. Isto somente é possível

devido à propriedade da parábola de refletir o conjunto de raios

recebidos em um único ponto (o foco da parábola). Neste ponto

encontra-se posicionado o receptor de ondas, que enviará o sinal

recebido para um conversor que as decodificará e enviará para o

receptor de televisão. Os aparelhos de radar operam de forma

semelhante às antenas parabólicas, recebendo o eco de pulsos

eletromagnéticos.

Aplicações

Faróis de veículos

Os refletores parabólicos de faróis e lanternas permitem que a

luz da lâmpada localizada no foco se propague em raios

paralelos ao eixo da parábola formando o facho. As lentes

parabólicas posicionadas na parte de trás dos faróis dos veículos

permitem que a luz gerada pelos mesmos seja direcionada para

um ponto específico, o foco da parábola, que normalmente é

apontado para o solo, evitando desta forma que a luz de um

carro ofusque a visão de um motorista que venha em direção

oposta.

Hipérbole

Dados dois pontos F1 e F2 (chamados focos), é o lugar geométrico

plano cuja diferença, em módulo, entre as distâncias de qualquer

ponto aos focos é constante e menor que F1F2.

Elementos

• Focos: os pontos F1 e F2

• Distância focal: a distância

2c = F1F2 entre os focos

• Vértices: os pontos A1 e A2,

intersecções de F1F2 com a hipérbole

• Centro: o ponto médio O de A1A2

• Eixo real ou transverso: o segmento A1A2 (A1A2 = 2a)

• Eixo imaginário ou conjugado: o eixo B1B2 (B1B2 = 2b)

Equação reduzida

Assíntotas: duas retas secantes que passam pelo seu centro e não

a interceptam. Suas equações são dadas por:

r1: bx - ay = 0

r2: bx + ay = 0

• Eixo geral horizontal:

• Eixo real na vertical:

Excentricidade

É a razão e = (com c > a).

À medida que essa razão se aproxima de 1, os ramos da

hipérbole se tornam mais fechados; no ponto em que e tende

a infinito, seus ramos se tornam mais abertos. Observe:

c a

Propriedade Refletora

A propriedade de reflexão da hipérbole afirma que qualquer

segmento de reta dirigido a um dos focos da hipérbole

encontra o ramo correspondente e é refletido em direção ao

outro foco.

Aplicações

Essa propriedade é muito aplicada nos telescópios de

reflexão, os quais são constituídos de dois espelhos, sendo um

maior, que é parabólico e outro menor, que é hiperbólico. Esses

dois espelhos dispõem-se de modo que os eixos da parábola e

da hipérbole coincidam e que o foco da parábola coincida

com um dos focos da hipérbole. Nesse tipo de telescópio,

quando os raios de luz se refletem no espelho parabólico são

dirigidos para o foco, pela propriedade de reflexão da

parábola.

Como este também é foco da hipérbole, pela propriedade de

reflexão desta os raios de luz refletem-se no espelho

hiperbólico e seguem em direção ao outro foco da hipérbole.

Os raios de luz passam através de um orifício no centro do

espelho primário, atrás do qual está uma lente-ocular que

permite corrigir ligeiramente a trajetória da luz, que chega

finalmente aos olhos do observador ou à película fotográfica. A

vantagem deste tipo de telescópio reside no fato de ter um

comprimento muito menor do que os telescópios de refração

(isto é, de lentes) com o mesmo poder de ampliação.

Exemplos

0436894)

1254)

2525)

136100

)

22

22

22

22

yxyxd

yxc

yxb

yxa

Exercícios

1) Esboçar o gráfico das seguintes curvas:

0761634)

04)

076432)

22

22

22

yxyxc

yxb

yxyxa

2) Os pontos de interseção da reta x+2y=2 com a elipse

são P e Q. Determine a distância entre P e Q.

3) Determine o valor de b, sabendo que a reta y = x + b é

tangente à elipse

4) O maior valor de k para o qual a reta y = 2x + k e a parábola

apresentam ponto comum é:

44 22 yx

22 22 yx

24 xy

Continuação dos Exercícios

122 yx

5) Determine os valores de m para os quais a reta y = mx não

intercepta a hipérbole

6) Determine os possíveis valores de k, sabendo que a

parábola e a circunferência abaixo têm quatro pontos em

comum:

7) A equação que representa duas retas perpendiculares é:

1)2( 22

2

yx

k

xy

012

02

049

22

22

22

yxx

yxyx

yx