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Parábolas

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Cnicas

As seces de um plano com um cone de duas folhas formam as trs cnicas

O plano secante no paralelo a nenhuma geratriz, e no passa pelo vrtice.

O plano secante paralelo a duas geratrizes, ou seja, paralelo ao eixo do cone.

O plano secante paralelo a s uma das geratrizes.ESTUDO DA ELIPSE

1 A Elipse como lugar geomtrico

Definio o conjunto de todos os pontos de um plano para os quais a soma das distncias a dois pontos fixos, F1 e F2, deste plano, constante e maior que F1 F2.

C: centro

F1 e F2: focos

2c: distncia focal

V1 e V2: vrtices

: eixo maior

2a: medida do eixo maior

: eixo menor

2b: medida do eixo menor

O centro C de uma elipse ponto mdio do eixo maior , do eixo menor e do segmento .

Aplicando o teorema de Pitgoras no tringulo , temos:

Excentricidade

A excentricidade de uma elipse dada pela razo:

Observaes:

( Como a > c ( hipotenusa maior que cateto), ento a excentricidade da elipse est no intervalo 0 < e < 1 .

( e 0 a elipse aproxima-se de um circunferncia, isto , a distncia focal 2c 0 e a b.

( e 1 a elipse ficar bem achatada, pois a distncia focal

2c 2a e b 0.

rea de uma elipse

A rea da elipse dada S = (ab

2 O traado da elipse

Sobre uma prancha de madeira fixe uma folha de papel.

Nessa prancha, pregue duas tachinhas de sapateiro, separadas por uma distncia qualquer.

A seguir, tome um barbante com comprimento igual a 2a e amarre suas extremidades, uma em cada tachinha. O comprimento do barbante deve ser maior que a distncia entre as tachinhas.

Mantendo o barbante esticado com o auxlio de um lpis, trace uma elipse.

Chamamos de F1 e F2 os pontos em que as tachinhas foram pregadas. Assim, para qualquer ponto P da elipse temos:

d(P,F1) + d(P,F2) = comprimento do barbante = 2a

3 A Elipse no Plano Cartesiano

Equaes reduzidas da elipse

a) 1o caso: centro C(X0, Y0) e eixo maior paralelo a Ox

b) 2o caso: centro C(X0, Y0) e eixo maior paralelo a Oy

c) 3o Casos particulares (centro C na origem)

1o caso: eixo maior em Ox

2o caso: eixo maior em Oy

Observaes:

Em qualquer caso (mesmo quando o eixo maior no paralelo a um dos eixos cartesianos), para deduzir a equao da elipse, basta impor P(x, y) pertencente elipse e aplicar a definio dPF1 + dPF2 = 2a.

A equao geral da elipse pode ser deduzida a partir do desenvolvimento da equao reduzida, e existir o termo Kxy, K 0, quando o eixo maior no for paralelo a um dos eixos cartesianos.

ESTUDO DA HIPRBOLE

1 a Hiprbole como lugar geomtrico

Definio

o conjunto de todos os pontos do plano para os quais a diferena, em valor absoluto, das distncias a dois pontos fixos, F1 e F2, deste plano, constante e menor que F1F2.

C: centro

F1 e F2: focos

2c: distncia focal

V1 e V2: vrtices

: eixo real ou transverso

2a: medida do eixo real

: eixo imaginrio ou conjugado

2b: medida do eixo conjugadoAplicando o teorema de Pitgoras no tringulo ACV2, temos:

c2 = a2 + b2

As retas que contm as diagonais do retngulo de referncia (mostrado na figura seguinte) so chamadas de assntotas. O ngulo ( assinalado chamado de abertura da hiprbole.

Observao:

Se os eixos real e imaginrio tm a mesma medida, ou seja, b = a, a hiprbole eqiltera. Neste caso o retngulo de referncia um quadrado e portanto as assntotas so perpendiculares.

A distncia focal o dimetro da circunferncia que circunscreve o retngulo de referncia.

Excentricidade

A excentricidade e de uma hiprbole dada por:

Observe que, no caso da hiprbole,

c > a, (hipotenusa maior que cateto), portanto, sempre teremos e > 1.

2 O traado da Hiprbole

Numa prancha, fixe num ponto F1 a extremidade de uma vareta de madeira de comprimento (, maior que um nmero 2a (a > 0) previamente escolhido. A vareta pode girar em torno de F1.

Na outra extremidade da vareta, fixe a extremidade de um pedao de barbante de comprimento ( 2a. A outra extremidade do barbante deve ser fixada com uma tachinha num ponto F2.

Mantendo, com o auxlio de um lpis, o barbante esticado e encostado na vareta, trace um ramo de hiprbole. O outro ramo da hiprbole desenhado, fixando-se a vareta em F2 e o barbante em F1.

Para qualquer ponto P da hiprbole, temos:

(d(P, F1) d(P, F2)( = 2a

3 A Hiprbole no Plano Cartesiano

Equaes Reduzidas da Hiprbole

a) 1o caso: centro C(x0, y0) e eixo transverso paralelo a Ox

b) 2o caso: centro C(x0, y0) e eixo transverso paralelo a Oy

c) Casos particulares (centro C na origem)

1o caso: eixo transverso em Ox

2o caso: eixo transverso em Oy

Observaes:

Em qualquer caso (mesmo quando o eixo transverso no paralelo a um dos eixos cartesianos), para deduzir a equao da hiprbole, basta impor P(x, y) pertencente hiprbole e aplicar a definio |dPF1 dPF2| = 2a.

A equao geral da hiprbole pode ser deduzida a partir do desenvolvimento da equao reduzida.

Na equao geral da hiprbole, quando o eixo transverso no paralelo a um dos eixos cartesianos, aparece, na equao, o termo Kxy, K 0.

As equaes das assntotas so as retas com pontos em (x0,y0), centro da hiprbole, e (a, b) para o caso de eixo transverso paralelo a Ox, e (b, a) para o caso do eixo transverso paralelo a Oy.

Quando as assntotas so os eixos cartesianos, a equao da hiprbole eqiltera , *.

1o caso: k >0

2o caso: k < 0

Quando as assntotas so paralelas aos eixos cartesianos (assntotas de equaes e ), a equao da hiprbole eqiltera , *.

ESTUDO DA PARBOLA1 A Parbola como lugar geomtrico

Definio

o conjunto de todos os pontos do plano eqidistantes de uma reta dada e de um ponto fixo (que no pertence reta) deste plano.

r: diretriz

F: foco

s: eixo de simetria

2a: distncia do foco diretriz

O eixo de simetria da parbola a reta que passa pelo foco e perpendicular diretriz.

O vrtice V da parbola o ponto de encontro do eixo de simetria com a parbola.

Note que: dV,F = dV,r = a.

Chamaremos o nmero 2a de parmetro da parbola.

Excentricidade

A excentricidade de qualquer parbola :

e = 1

2 O Traado da Parbola

Fixe uma rgua com fita crepe numa prancha.

Pegue um pedao de barbante com comprimento ( igual a um dos catetos de um esquadro. Fixe uma das extremidades do barbante na extremi-dades do cateto correspondente ao ngulo agudo.

Coloque o esquadro sobre a prancha e encoste o outro cateto do esquadro na borda da rgua. Fixe, com uma tachinha, a outra extremidade do barbante em um ponto F da prancha.

Com o auxlio de um lpis, mantenha o barbante esticado e encostado no esquadro. Deslizando o esquadro na borda da rgua, como mostra a figura, voc traar uma parbola.

Se chamarmos de r a reta que coincide com a borda da rgua, ento para todo ponto P da parbola, vale a relao:

d(P,F) = d(P,r)

Assim, podemos afirmar que todo

ponto da parbola est

igualmente distante da reta r e do

ponto F.

3 A Parbola no Plano Cartesiano

Considere f = a nas equaes abaixo.

1o caso: vrtice V(x0, y0) e eixo de simetria (s) paralelo a Ox

2o caso: vrtice V(x0, y0) e eixo de simetria (s) paralelo a Oy

Casos particulares

1o caso: vrtice V na origem e eixo de simetria em Ox

2o caso: vrtice V na origem e eixo de simetria em Oy

Observaes:

Em qualquer caso (mesmo quando o eixo de simetria no paralelo a um dos eixos cartesianos), para deduzir a equao da parbola, basta impor P(x, y) pertencente parbola e aplicar a definio dPd + dPF = 2a.

Quando o eixo de simetria da parbola paralelo ao eixo Oy, a equao da parbola pode ser escrita na forma y = ax2 + bx + c e, neste caso, o vrtice V(x0, y0) tal que e , em que .

Quando o eixo de simetria da parbola paralelo ao eixo Ox, a equao da parbola pode ser escrita na forma , e neste caso, o vrtice V(x0, y0) tal que e , em que .

Quando o eixo de simetria da parbola no for paralelo aos eixos do plano cartesiano, existir, na equao normal da parbola, o termo Kxy, K 0.ATIVIDADES

01. A equao da parbola de foco F(1, 2) e de diretriz x = 2 :

a) y2 4y + 2x + 1 = 0

b) y2 6y + 3x 2 = 0

c) x2 4x + 2y 2 = 0

d) x2 + 6x 2y + 1 = 0

e) y2 2y + 3x 1 = 0

02. A equao da parbola de foco F(2, -2) e de diretriz y = -6 :

a) x2 8x 6y + 5 = 0

b) x2 4x 8y 28 = 0

c) x2 6x + 8y 5 = 0

d) y2 6y + 8x 1 = 0

e) y2 4y + 8x 28 = 0

03. No plano cartesiano, a equao y26y12x+21=0

a) Tem vrtice V(1, 3)

b) Tem foco F(3, 3)

c) Diretriz x = -1

d) Eixo de simetria y = 1

e) Tem concavidade voltada para esquerda.

04. As coordenadas do vrtice da parbola de equao x2 + 4x + 8y + 12 = 0 :

a) V(1, 3)

b) V(1, -1)

c) V(-2, -1)

d) V(-2, -3)

e) V(-1, 2)

05. A diretriz da parbola de equao x2+4x+8y+12=0 :

a) y = 2

d) y = 5

b) y = -1

e) y = 1

c) y = 3

06. A equao da parbola de eixo de simetria vertical e que passa pelos pontos A(0, 3), B(1, 0) e C(2, -1) :

a) y = x2 6x + 5

b) y = x2 4x + 3

c) y = x2 3x + 2

d) y = x2 9x + 20

e) y = x2 - 4