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RESUMEX - GASLConsiderações Iniciais

Quando eu fiz o RESUMEX - Distâncias, eu coloquei todas as deduções das fórmulas. Com as Cônicas vamos fazer um pouco diferente. Isto se deve ao fato de que nas fórmulas de distâncias eu quase não fazia contas. Era fundamental o APELO GEOMÉTRICO.

Já para as Cônicas as contas são excessivas e quase nenhum apelo geométrico, e digo mais: é muito mais fundamental que você (Aluno) saiba extrair informações das equações, ou melhor, “fazer a equação abrir a boca”. Por isso, não vou colocar a demonstração das equações. O foco será em, a partir do esboço da cônica, montar a equação e vice-versa.

Sem mais delongas, vamos lá!

Resumex GASL - Cônicas

Prof: André Desiderio Maldonado

I-Cônicas

I-a) ElipseDefinição: “A elipse é o conjunto de todos os pontos P do plano tais que

a SOMA das distâncias de P a dois pontos fixos F1 e F2 (FOCOS) é constante (no

nosso caso, igual a 2a ).”

Ok, saber a definição é importante, mas eu julgo mais importante “enxergá-la”. Aqui você encontra um video que com certeza vai clarear a sua mente:

http://www.youtube.com/watch?v=dboKThJ3aZw (OBS: Não é de minha autoria!)

Agora que sabemos o que é uma Elipse vamos estudá-la.i) Elipse com eixo maior paralelo ao eixo x



a

b

c

http://www.youtube.com/watch?v=dboKThJ3aZw

http://www.youtube.com/watch?v=dboKThJ3aZw

Nesse caso, a equação reduzida da Elipse é dada por

Onde a2 = b2 + c2 .

Vamos agora obter as coordenadas dos “pontos importantes” (Elementos ) em função dos números a , b e c .

! ! FocosOs focos são os pontos F1 e F2 .

Para obter suas coordenadas, note primeiramente que estes devem possuir a mesma “coordenada y” que o ponto C(xc , yc ) . Para isto, basta ver o desenho acima. Na

verdade, pelo desenho acima fica bem simples concluir que as coordenadas dos focos são:

F1 = (xc − c, yc )

F2 = (xc + c, yc )

! ! Vértices

Vamos primeiramente obter as coordenadas dos vértices B1 e B2 . Para isto

note primeiramente que estes deve possuir a mesma “coordenada x” que o ponto C(xc , yc )

(estão começando a entender como funciona né?). Na verdade, pelo desenho acima fica bem simples concluir que as coordenadas dos vértices B1 e B2 são:



(x − xc )2

a2+ (y − yc )

2

b2= 1

B1 = (xc , yc + b)

B2 = (xc , yc − b)

Vamos agora obter as coordenadas dos vértices A1 e A2 . Este é o único caso

que não é imediato. Observe que: d(A1,F1)+ d(A1,F2 ) = 2a

Por simetria, concluímos que d(A1,F1) = d(F2,A2 )

Substituindo na equação de cima e reordenando obtemos:d(A1,F2 )+ d(F2,A2 ) = 2a

Já sacou meu amigo? EXATAMENTE, d(A1,A2 ) = d(A1,F2 )+ d(F2,A2 ) = 2a !!

Assim, por simetria obtemos que d(C,A1) = d(C,A2 ) = a e de modo análogo ao

que foi feito com B1 e B2 obtemos que

A1 = (xc − a, yc )

A2 = (xc + a, yc )

Excentricidade:

É um número definido como o quociente e = ca

que representa quão esguia é a

elipse.



Vamos esquematizar?

Elipse (eixo maior paralelo ao eixo dos x)Elipse (eixo maior paralelo ao eixo dos x)

Equação (x − xc )2

a2+ (y − yc )

2

b2= 1

Focos

Distância Focal d(F1,F2 ) = 2c

F1 = (xc − c, yc )Focos

Distância Focal d(F1,F2 ) = 2c F2 = (xc + c, yc )VérticesVértices

Eixo MAIOR

Distância entre os Vérticesd(A1,A2 ) = 2a

A1 = (xc − a, yc )Eixo MAIOR

Distância entre os Vérticesd(A1,A2 ) = 2a A2 = (xc + a, yc )Eixo MENOR

Distância entre os Vérticesd(B1,B2 ) = 2b

B1 = (xc , yc + b)Eixo MENOR

Distância entre os Vérticesd(B1,B2 ) = 2b B2 = (xc , yc − b)Relação entre a , b e c a2 = b2 + c2Excentricidade

OBS: 0 < e <1e = c

a

ii) Elipse com eixo maior paralelo ao eixo y Neste caso, as fórmulas são INTEIRAMENTE análogas. Um único detalhe

EXTREMAMENTE IMPORTANTE: a equação fica um pouco (MUITO POUCO) diferente:

(y − yc )2

a2+ (x − xc )

2

b2= 1



Percebeu? Isso mesmo!

A “parte que tem y” troca de lugar com a “parte que

tem x”. Assim, eu pergunto para você: Dada a equação de uma elipse, como saber

sobre qual eixo é paralelo o eixo maior? Exatamente( Meus alunos imaginários são os melhores que eu já tive...nunca erram nada!)!! Basta olhar para o denominador! Quem tiver o denominador maior terá o eixo maior!

É um bom exercício tentar construir mentalmente uma tabela semelhante à que fizemos para o caso anterior a partir do desenho abaixo.



a

b

c

Elipse (eixo maior paralelo ao eixo dos y)Elipse (eixo maior paralelo ao eixo dos y)

Equação (y − yc )2

a2+ (x − xc )

2

b2= 1

Focos


F1 = (xc , yc − c)Focos

Distância Focal d(F1,F2 ) = 2c F2 = (xc , yc + c)VérticesVértices

Eixo MAIOR

Distância entre os Vérticesd(A1,A2 ) = 2a

A1 = (xc , yc + a)Eixo MAIOR

Distância entre os Vérticesd(A1,A2 ) = 2a A2 = (xc , yc − a)Eixo MENOR

Distância entre os Vérticesd(B1,B2 ) = 2b

B1 = (xc − b, yc )Eixo MENOR

Distância entre os Vérticesd(B1,B2 ) = 2b B2 = (xc + b, yc )Relação entre a , b e c a2 = b2 + c2Excentricidade

e = ca



I - b) Hipérbole

Definição: “A hipérbole é o conjunto de todos os pontos P do plano tais

que a DIFERENÇA das distâncias de P a dois pontos fixos F1 e F2 (FOCOS) (em

módulo) é constante (no nosso caso, igual a 2a ).”

Sobre a hipérbole eu não achei nenhum vídeo. Assim, pensem um pouco e tentem “ver” a definição no desenho abaixo. (Use uma régua)

i) Hipérbole com eixo real paralelo ao eixo x

Elementos:

a) Focos : São os pontos F1 e F2 .

b) Distância Focal : É a distância d(F1,F2 ) = 2c .



b

a

c

c) Centro: É o ponto médio entre F1 e F2 denotado por C(xc , yc ) .

d) Vértices: São os pontos V1e V2 .

e) Eixo Real: É o segmento A1A2 de tamanho d(A1,A2 ) = 2a .

f) Assíntotas: são as retas que “limitam” a hipérbole. Note que “no infinito” essas retas tangenciam a hipérbole

g) Excentricidade: É o quociente e = ca

. Representa o quão esguia é a

hipérbole.Meus amigos, agora que vocês já estão craques não vou fazer a dedução dos

pontos. Fica como um exercício mental para vocês todas as informações da tabela abaixo (Exceto a Equação... Esse pode acreditar apenas).

Hipérbole (Eixo Real paralelo ao eixo dos x)Hipérbole (Eixo Real paralelo ao eixo dos x)

Equação (x − xc )2

a2− (y − yc )

2

b2= 1

Focos


F1 = (xc − c, yc )Focos

Distância Focal d(F1,F2 ) = 2c F2 = (xc + c, yc )Vértices

Distância entre os Vértices(Comprimento do Eixo Real)d(A1,A2 ) = 2a

V1 = (xc − a, yc )Vértices

Distância entre os Vértices(Comprimento do Eixo Real)d(A1,A2 ) = 2a V2 = (xc + a, yc )Relação entre a , b e c c2 = b2 + a2Assíntotas y = yc ±

ba(x − xc )

Excentricidade

OBS: 1< ee = c

a



ii) Hipérbole com eixo real paralelo ao eixo y

Meus caros, obviamente os elementos continuam exatamente os mesmos. Assim fica novamente como exercício mental concluir as informações da tabela abaixo exceto a parte da equação. Sobre isto, note que dessa vez quem “está positivo” é a PARTE QUE TEM Y.



b

ac

Hipérbole (Eixo Real paralelo ao eixo dos y)Hipérbole (Eixo Real paralelo ao eixo dos y)

Equação (y − yc )2

a2− (x − xc )

2

b2= 1

Focos


F1 = (xc , yc − c)Focos

Distância Focal d(F1,F2 ) = 2c F2 = (xc , yc + c)Vértices

Distância entre os Vértices(Comprimento do Eixo Real)d(A1,A2 ) = 2a

V1 = (xc , yc − a)Vértices

Distância entre os Vértices(Comprimento do Eixo Real)d(A1,A2 ) = 2a V2 = (xc , yc + a)Relação entre a , b e c c2 = b2 + a2Assíntotas y = yc ±

ab(x − xc )

Excentricidade

OBS: 1< ee = c

a



I-c) Parábola

Já está acabando! Última cônica! E essa você já viu na escola!

Definição: “A Parábola é o conjunto de todos os pontos P do plano

EQUIDISTANTES (no nosso caso, a distância é igual a p ) de um ponto fixo F

(FOCO) e uma reta fixa D (Diretriz).”

i) Parábola com eixo paralelo ao eixo dos x:



pp

Elementos:a) Foco: É o ponto F .

b) Diretriz: É a reta D .

c) Eixo: É a reta que passa por F e é perpendicular a D .

d) Vértice: É o ponto V (xv , yv ) de interseção da parábola com o seu eixo.

Adivinha? Isso mesmo, fica como exercício concluir as informações da tabela abaixo.

Parábola (Eixo paralelo ao eixo dos x)Parábola (Eixo paralelo ao eixo dos x)

Equação (x − xv )2 = 4 p(y − yv )

Foco F = (xv + p, yv )

Diretriz x = xv − p



ii) Parábola com eixo paralelo ao eixo dos y:

Novamente os elementos continuam exatamente os mesmos. Adivinha? Tá ficando experto hein?? Fica como exercício concluir as informações da tabela abaixo.

Parábola (Eixo paralelo ao eixo dos y)Parábola (Eixo paralelo ao eixo dos y)

Equação (y − yv )2 = 4 p(x − xv )

Foco F = (xv , yv + p)

Diretriz y = yv − p



p

p

! ! Completando QuadradosMeus caros, esta parte é só uma “ferramenta”. Assim, vou explicar resolvendo

um exemplo ok?

1) Identifique a cônica de equação 9x2 − 4y2 − 54x + 8y +113= 0 e encontre sua

equação reduzida, focos, vértices, assíntotas (se for o caso) e excentricidade.

Sol:

Primeiramente devemos transformar a equação acima em um dos casos conhecidos. Assim, vamos separar os termos que tem x e y .

9x2 − 54x − 4y2 + 8y +113= 0

Nas “equações básicas” os termos que acompanham x2 e y2 são sempre “1”.

Assim, temos que colocar em evidência:

9(x2 − 6x)− 4(y2 + 2y)+113= 0

Aqui que vem o “pulo do gato”. Note que queremos obter algo do tipo (x − xc )2

e (y − yc )2 .

Abrindo essas expressões obtemos

(x − xc )2 = x2 − 2x ⋅ xc + xc

2 e (y − yc )2 = y2 − 2y ⋅ yc + yc2 .

Assim, a ideia é completar os quadrados perfeitos na equação da cônica!! Comparando as equações obtemos que −2xc = −6 e −2yc = 2 , ou seja, xc = 3 e

yc = −1 .

Agora vamos fazer o seguinte truque algébrico

9(x2 − 6x + 32 − 32 )− 4(y2 + 2y + (−1)2 − (−1)2 )+113= 0

Obtemos portanto que

9(x2 − 6x + 32 )− 9 ⋅32 − 4(y2 + 2y + (−1)2 )+ 4 ⋅(−1)2 +113= 0

ou seja

9(x − 3)2 − 81− 4(y − (−1))2 + 4 +113= 0 .



Assim, a equação final é

(x − 3)2

4− (y − (−1))

2

9= 1

Sacou? A parte de obter os pontos e etc. fica como exercício para você!

Palavras FinaisCaros alunos, por falta de tempo não deu para “caprichar” tanto neste

RESUMEX mas mesmo assim acredito que será bastante útil. Espero que entendam (o meu lado... o RESUMEX tenho certeza que entenderão). Estou terminando simultaneamente um RESUMEX - Posições Relativas e Coordenadas Polares.Espero que gostem e que façam bom proveito. Podem ter certeza de que vou ficar muito satisfeito se este material ajudar na sua aprovação.

Como eu não tenho um editor que revisa tudo, é possível que encontrem erros d e d i g i t a ç ã o . S e n d o a s s i m , p e ç o q u e m e e n c a m i n h e m u m e m a i l ([email protected]) avisando, assim como para possíveis elogios, críticas e sugestões.



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