Captulo6QuadricasesuperfciesComoascurvas,assuperfciestambempodemserapresentadasformasdistintas: naformaparametrica,ou comograco de fun coes de 2 variaveis ou atraves de equa coes a3variaveis.A maioria das chamadas quadricas formam os primeiros exemplos de superfcies, alemdosjaconhecidosplanoseesferas.Algumas destas superfcies saosuperfcies cilndricas (reuniaoderetas paralelas retasgeratrizes,cada umapassandopor um pontode umacurvadiretriz),conessobrecurvas(reuniaoderetasretasgeratrizesquepassamporumpontodeumacurvadiretriz e por umpontoxo, chamadovertice do cone), ousuperfcies de revolu cao(obtidas girandoumacurvadiretrizemtornodeumeixoxo). Tantocilindros comoconessao regrados (reuniaode retas),mas existem outras superfcies nao tao obvias masregradas,inclusiveentreasquadricas.Vamosapresentarinicialmenteasquadricasnasuaformamaissimples,comequa caoreduzida.3003016.1 Introducao`asQuadricasComo as conicas do plano, que podiam ser descritas no sistema cartesiano por equa coespolinomiaisdegrau2emduasvariaveis,asquadricasnoespa cosaoaquelasquepodemserrepresentadasporequa coespolinomiais degrau2em3variaveis.p(x, y, z) = a11x2+a22y2a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+2a14x+2a24y+2a34z+a44= 0Comonas conicas,ostermosmistos(2a12xy +2a13xz +2a23yz) representamque oseixose planos desimetriaestaorotacionados emrela caoaos eixos eplanos coordenados.Tambemcomonasconicas,opontodesimetria(centrodaquadrica)naorigemdeixaaequa caosemtermoslineares(2a14x + 2a24y + 2a34z). Assimcomonasconicas,existemquadricassemcentro(paraboloides)quenuncacamsemtodosostermoslineares.Tambem temos a matriz da quadrica, simetrica, A =__a11a12a13a14a12a22a23a24a13a23a33a34a14a24a34a44__e a matrizdaformaquadraticaQ =__a11a12a13a12a22a23a13a23a33__Emgeral,umaquadrica eumasuperfcie. Mashadegenera coescomovazio, pontoereta.As sec coes planas deumaquadricasaoconicas. Javimos oexemploclassicodassec coesdocone,gerandoasconicas.Vamos inicialmente apresentaras quadricas com centrona origem, e sem rota cao doseixos e planos de simetria. Os eixos de simetria sao as intersec coes dos planos de simetria.3026.2 Quadricasesuasequa coes,naformareduzida.Apresentamosinicialmenteasquadricascomcentro(0, 0, 0)(semtermoslinearesnaequa caoreduzida):1. Elipsoidex2a2+y2b2+z2c2= 1Observe que as sec coespelos planos coordenados x = 0, y= 0 e z= 0 sao elipses:Parax = 0,temosnoplanocoordenadoOyzaelipsey2b2+z2c2= 1.Paray= 0,temosnoplanocoordenadoOxzaelipsex2a2+z2c2= 1.Paraz= 0,temosnoplanocoordenadoOxyaelipsex2a2+y2b2= 1.21012x42024y3210123z210x42024y3210123z21012x43210y3210123z21012x42024y3210zElipsoidex24+y216+z29=1esuasmetades,mostrandoassec coesOs3planoscoordenadossaoplanosdesimetria,aorigem epontodesimetria.Observequesea=b, oelipsoideeumasuperfciederevolu caoemtornodoeixoOz,sea = c,emtornodoeixoOyeseb = c,emtornodoeixoOx.2. Hiperboloidedeumafolhax2a2+y2b2 z2c2= 1Parax = 0,temosnoplanocoordenadoOyzahiperboley2b2 z2c2= 1.Paray= 0,temosnoplanocoordenadoOxzahiperbolex2a2 z2c2= 1.Paraz= 0,temosnoplanocoordenadoOxyaelipsex2a2+y2b2= 1.42024x42024y202z420x42024y3210123z42024x420y3210123z42024x42024y3210zHiperboloidedeumafolhax21+y24 z29=1esuasmetades,mostrandoassec coes303Comoexerccio,estudeoshiperboloidesx2a2 y2b2+z2c2= 1e x2a2+y2b2+z2c2= 1. Oquemuda?Emquesitua caoohiperboloide esuperfciederevolucao?Emtornodequeeixo?Ummodeloconcretodehiperboloide deumafolha eoclassicocestodelixo, cons-trudocomvaretasretascolocadasnumfundocircular, cominclina caoconstante.Oshiperboloidesdeumafolhasaosuperfciesregradas,apesardenaoseremcilin-dros,nemcones.3. Hiperboloidededuasfolhasx2a2 y2b2 z2c2= 1Parax = 0,temosaconicavazia(ohiperboloidenaopassapeloplanoOyz).Paray= 0,temosnoplanocoordenadoOxzahiperbolex2a2 z2c2= 1.Paraz= 0,temosnoplanocoordenadoOxyahiperbolex2a2 y2b2= 1.42024x642024y42024z42024 x642y42024z42024x642024y43210zHiperboloidededuasfolhasx21 y29/4 z21=1esuasmetades,mostrandoassec coesComoexerccio,estudeoshiperboloides x2a2 y2b2+z2c2= 1e x2a2+y2b2 z2c2= 1.Oquemuda?Emquesitua caoohiperboloide esuperfciederevolucao?Emtornodequeeixo?4. Conex2a2+y2b2 z2c2= 0.Parax=0eparay=0, duasretasconcorrentesy2b2 z2c2=0ex2a2 z2c2=0,respectivamente.Paraz= 0,umponto.30442024864202468642024684202486420246864202468420286420246864202468420248 6 4 2 0 2 4 6864202468Conex21+y24 z24=0esuaspartesSec coes: retasconcorrentes, hiperboleeparabolaComoexerccio, estudeoscones x2a2+y2b2+z2c2=0ex2a2 y2b2+z2c2=0. Oquemuda?Emquesitua caooconeesuperfciederevolu cao? Emtornodequeeixo? Qual acurvadiretriz?5. Cilindroelticox2a2+y2b2= 1.Comoznaoaparecenaequa cao,elivre. Assim, aguraeumcilindrocomretasgeratrizesparalelasaoeixoOz,baseadasnacurvadiretrizdadapelasec caoz= 0,que eumaelipse.Esta quadrica tambem pode ser uma superfcie de revolu cao em alguns casos. Des-crevaestescasos.6. Cilindrohiperbolicox2a2 y2b2= 1.Nestecaso,acurvadiretriz eahiperboledadanoplanoOxypelaequa cao.Vejaosdoiscilindros,naguraabaixo:21012x101y01234z21012x10.500.51y01234z3057. Pardeplanosconcorrentesx2a2 y2b2= 0.8. Pardeplanosparalelosx2a2= 19. Umplanox2a2= 010. Umaretax2a2+y2b2= 0.11. Umpontox2a2+y2b2+z2c2= 0.12. Conjuntovazio():x2a2+y2b2+z2c2= 1oux2a2+y2b2= 1oux2a2= 1Tantooplano, comoosplanosconcorrentesouparalelossaosuperfciesregradas,ecilndricas.Agora, asquadricassemcentro, muitoimportantesparaCalculoDiferencial deduasvariaveis. Podemossemprereduzirapartelinearaapenasumcomponente,porexemploz,eaquadricapodeserencaradacomogacodefun caodeduasvariaveisz= f(x, y).Nesteestudo, einteressanteconheceralemdasinterseccoescomosplanoscoordenados,tambemas suas sec coes por planos z =k, obtendoas chamadas curvas de nvel krepresentadasnoplanoOxy.1. Paraboloideelticoz=x2a2+y2b2.Parax = 0 temosa parabola no planoOyz; paray= 0, a parabola noplano Oxz.210124202412342 1.5 1 0.5 04202401234210124201234Para z= 0, temos um ponto; para z= k < 0 temos a conica vazia; para z= k> 0306temoselipsese,emparticular,paraz= 1,aelipsex2a2+y2b2= 1.21012x42024y24684224y2 1 1 2x10.500.51210120.20.40.60.812 x 2, 4 y 4 curvasdenvelnoplanoOxy cortenonvelk= 1As ilustra coes acimasaodoparaboloide z =x2+y24 , seus cortes, seus nveisz= k> 0.Esteparaboloidetambempodeserumasuperfciederevolu caoemtornodoeixoOz,sea = b. Estessaoosmodelosdeantenasparabolicas,porexemplo.2. Paraboloidehiperbolico(sela)z=x2a2 y2b2.Parax = 0 temosa parabola no planoOyz; paray= 0, a parabola noplano Oxz.21012x21012y10121012x21012y10121012x21012y10121012x21012y0.80.40Paraz= 0, temos um par de retas concorrentes;para z= k< 0 temoshiperboles;paraz=k>0temosoutrashiperboles, todascomasmesmasassntotasdadaspelonvelz= 0. Vejaestassec coesnaproximagura:30721012x21012y10121122 1 1 221012x21012y10.50Curvascomz= k curvasdenvel cortenonvel k=0.5sobreasela noplanoOxyParaboloideshiperbolicossaotambemsuperfciesregradas.3. Cilindroparabolicoz=x2a2.Paray = 0 eumaparabola, suacurvadiretriz. AsretasgeratrizessaoparalelasaoeixoOy, jaqueynaoaparecenaequa cao(elivre!).Vejaosnveisz= kearepresenta caodascurvasdenvelnoplanoOxy:21012x21012y012342112y1.5 1 0.5 0.5 1 1.5xPodemos obter casos analogos de quadricas sem centro na forma reduzida, gracosdefun coesx = f(y, z)ey = f(x, z).Para se reconhecergracamente uma quadrica, e superfcies em geral, utiliza-se obtersuassec coespelosplanoscoordenadoseporalgunsplanosparalelosaestescomoz= kgerando curvas de nvel, e de posse destas sec coes,faz-se a analise das possibilidades. Osexemplosdesec coesconicasequadricasnaformareduzidaprecisamser memorizados,como as letras de um alfabeto, pois sao os primeiros modelos para varias situa coes, comonoestudodepontosdemaximo,mnimoeseladefun coesde2e3variaveis,aservistanoCalculoDiferencial deVariasVariaveis.308Noscasosdequadricasreduzidasacima, vimosqueasquesaocilndricasaparecemcomgeratrizesparalelasaoeixodavariavelquenaocomparecenaequa cao. Adiretrizeaconicadescritapelasoutrasduasvariaveis.Easquadricasnaformareduzidaquesaosuperfciesderevolu caotemumdoseixoscoordenadoscomoeixodesimetria, queeoeixoderota cao. Alemdisso, assec coesdaquadricapor planosperpendicularesaoeixoderota caosaocircunferencias comcentronoeixo, oupontodoeixo, ouvazio. Istoocorre, por exemplonocasode Oz ser oeixode rota caodaquadricareduzidap(x, y, z) =0, quandoparacadaconstante k,p(x, y, k) = (x2+ y2).6.3 Quadricas transladadas, elimina cao dos termoslineareseequa caonaformareduzidaSuponhaumaquadricacomcentroforadaorigem, mascomosplanosdesimetriaparalelosaosplanoscoordenados. Porexemplo, umelipsoidedecentroC=(c1, c2, c3),comsemi-eixosa, beccomoapresentadonaformareduzida. Entao, numsistemadecoordenadasS= {C, x, y, z}obtidoapenastransladandoaorigemparaC, temosaequa cao(x)2a2+(y)2b2+(z)2c2= 1.Comodeduzidonocasodoplano,temosnoespa co,asequa coesdemudan ca:___x= x c1y = y c2z= z c3ou___x = x + c1y= y + c2z= z + c3.dondeaequa caonosistemaoriginalca:(x c1)2a2+(y c2)2b2+(z c3)2c2= 1.309Ouseja,sep(x, y, z) = 0representaumaquadricacomcentronaorigem,aequa caop(x c1, y c2, z c3) = 0representaamesmaquadricacomcentroC= (c1, c2, c3).Nocasodequadricas semcentro,temosum resultadoanalogo. Naequa caoreduzidaz =f(x, y), obtivemos quadricas semcentrocomumaespecie deverticenaorigem.Seesteverticeestiver nopontoV =(v1, v2, v3), aequa caodaquadricacaz v3=f(x v1, y v2).Observequeasequa coesdessasquadricascomcentrodeslocadosdaorigemgeramequa coes com termos lineares. Por exemplo, expandindo a equa cao do cilindro (x2)2+2(y 3)2= 1temosx2+ 2y24x 12y + 21 = 0.Comonocasodas conicas, seestafosseaequa caodada, podemoschegar napri-meiraequa caocompletandoquadradoseassimreconhecer aquadricaapresentada. Ouutilizandoamatrizdaquadrica4 4, obtidadeformasemelhanteaodocasocasodasconicas, podemos procurar ocentroresolvendoumsistemalinear comas 3linhas damatriz.Noexemplo,aequa caop(x, y, z) = x2+ 2y2 4x 12y + 21 = 0forneceamatrizsimetricaA =__1 0 0 20 2 0 60 0 0 02 6 0 21__,compartequadraticadadaporQ =__1 0 00 2 00 0 0__.Das3primeiraslinhasobtemososistema___c1 2 = 02c2 6 = 0, dondetemosqueC=(c1, c2, c3)=(2, 3, 100)eumcentro(aultimacoordenadaelivre, portantotemosumaretadecentros).Entao, assim como no caso das conicas, efetuando a mudan ca de coordenadas apenascomdeslocamentodaorigemparaocentro, utilizandoas equa coes x=x+ 2, y =y + 3,z= z + 100,obtemosumanovaequa caonasnovascoordenadas,p(x, y, z) =310p(x + 2, y + 3, z + 100)=(x)2+ 2(y)2+ p(2, 3, 100)=0(oscoecientesdapartequadraticanaosealteramcomessetipodemudan ca). Comop(2, 3, 100) = 1, temos(x)2+2(y)21 = 0, ou seja, (x 2)2+2(y 3)2= 1, que representao cilindroelticodeeixocentralr : X= (2, 3, 100) +t(0, 0, 1),t R.Nessescasosemquenaohatermosmistos,pelometododocompletamentodequa-drados, tambemobtemosomesmoresultadofacilmente. Vejanoexemplo: p(x, y, z) =x2+2y24x 12y +21 = (x24x) +2(y26y) +21 = (x24x +4) +2(y26y +9) + 21 4 18 = (x 2)2+ 2(y 3)21 = 0.Noscasosdequadricassemcentro, massemtermosmistosnaequa cao, ocomple-tamentodequadradoseaformaparasimplica caomaximadostermoslineares(deixarsomente uma das coordenadas na parte linear, como nos exemplos reduzidos): Na equa caop(x, y, z)=x2 y2 6x + 2y + 4z 10=0, porexemplo, podemoseliminarapartelinearcomxeyutilizandoapartequadratica, masnaopodemoseliminaroz. Temos:x2y26x+2y+4z10 = (x26x)(y22y)+4z10 = (x26x+9)(y22y+1)+4z109+1 = (x3)2(y1)2+4z18 = (x3)2(y1)2+4(z9/2) = 0, dondetemos um paraboloide hiperbolico (sela) z= (x)24+ (y)24, fazendo o deslocamento daorigemparaV= (3, 1, 9/2).Podeserquenaosejapossvelcarmossomentecomumtermolinear. Porexemplo,no caso da quadrica x2+2x2y4z = 0, apenas a varavel x aparece na forma quadratica,eportanto,ocompletamentodequadradosnaoeliminaapartelinearcomasvariaveisyez. Mas epossvel,comumarota caodeeixos,deixaranovaequa caocomapenasumavariavelnapartelinear:No exemplo, primeiroeliminamos x na parte linear: x2+2x2y 4z= (x+1)22y 4z 1 = 0. Logo, deslocando a origem do sistema para (1, 0, 0), temos a nova equa cao(x)22(y) 4(z) 1 = 0.Agora, L(y, z)= 2(y) 4(y)= 2((y) + 2(z))= 25(15y +25y). Entao,311amudan cadevariaveis___X= xY=15y +25yZ= 25y +15y, querepresentaumarota caonoseixos,deixaanovaequa caonaformaX225 Y 1 = 0.Osistema {O, X, Y, Z} edado,emrela caoaosistemaoriginal,porO= (1, 0, 0),OX na dire cao de (1, 0, 0), OYna dire cao de (0,15,25) e OZ na dire cao de (0, 25,15)Obtenc aodaequac aoreduzidaedoesbocoSejaentaoaequa caodaquadricasemtermosmistos, p(x, y, z)=a11x2+ a22y2+a33z2+2a14x+2a24y +2a34z +a44= 0. Podemos transforma-las (as equa coes) em umadas citadas no incio, a menos de troca de variaveis entre si. Podemos utilizar os seguintespassos:Paraquadricascomcentro:1. Nocasodequadricascomcentro, seaequa caoapresentar termoslineares,utilizando completamento de quadrados ou achando o centro, podemos obter:p(x, y, z) = a11(xc1)2+a22(y c2)2+a33(z c3)2+p(c1, c2, c3) = 0 ondeocentroe(c1, c2, c3).2. Se K= p(c1, c2, c3) nao for nulo, reescreva a equa cao, isolando K e transformando-oem1,dividindoaequa caoporele:a11K(x c1)2 a22K(y c2)2 a33K(z c3)2= 1(x c1)2+2(y c2)2+3(z c3)2= 1.SeK= 0,puleestaetapa.3. Finalmente, se achar necessario, fa ca modica cao do tipo (x c1)2=312(x c1)2_1_2se>0e(x c1)2= (x c1)2_1_2se 0 e (xv1)2= (x v1)2_1(_2se < 0, . . . .313Para obten cao do esbo co da quadrica, e bom lembrar de alguns truques. Se na equa caoja na forma simplicada, ainda aparecer o centroou o vertice,(x0, y0, z0) fora da origem,pode-seconsiderarX=x x0, Y =y y0eZ=z z0, edesenharaquadricacomaequa caomaissimplicadacomcentro(ouvertice)naorigemdosistema. EssenovosistematemorigemnopontoO=(x0, y0, z0)eeixosOX, OY eOZparalelosaoseixosOx, Oy, Oz, respectivamente.Eparafazeroesbo conessaformamaissimplicadaainda, F(X, Y, Z)=0, experi-menteoscortespelosplanosX=0, Y =0eZ=0. Seaindanaoforsuciente, fa camaiscortesporplanosparalelosaestes. Dequalquerforma,temquedeixarcatalogadosnamemoriatodososmodelosdequadricas,parareconhecerlogo.Sehouver trocadeeixos emrela caoaos modelos catalogados, naoseesque cadetrocaroseixosnahoradoesbo co.Exemploseexerccios1. Sejaoelipsoidep(x, y, z) = 2x2+ 3y2+ z25 = 0.Modiqueaequa caoedeixenaformapadraodoelipsoidecomcentronaorigemx2a2+y2b2+z2c2= 1.Soluc ao:primeiro,passamos otermoconstantepara ooutrolado: 2x2+3y2+z2= 5.depois,comumadivisao,transformamosaconstanteem1:25x2+35y2+15z2= 1.Porultimo,reescrevemososcoecientesdoprimeirolado:x2__52_2+y2__53_2+z2__51_2= 1Concluimos que a quadrica e um elipsoide com centro (0,0,0), e semi-eixos a =_52,314b =_53ec =_51noseixosOx,OyeOz,respectivamente.2. Classiqueeesboceaquadricax2+ 2y2z24x 8y 2z 0 = 0.3. Classiqueeesboceaquadricax22y24x 8y 2z 0 = 0.4. Suponha que a matriz Q da parte quadratica tenha posto (ou caracterstica) menorqueopostodamatriz3 4das3primeiraslinhasdamatrizA. Aquadricatemcentro?quaisaspossibilidadesparaaquadrica?5. Sabiaqueasconicassechamamconicasporserem,excetoalgunscasosdegenera-dos, obtidosapartirdeumconecircular, seccionando-oporplanos? Classiqueaconicade intersec caodo cone x2+y2z2= 0pelo planoy +z= 1. Quais cortesdaoelipses?Ehiperboles?6. Uma superfcie de nvel kde uma fun cao real a tres variaveis reais w = F(x, y, z) edenido como o conjunto dos pontos do espa co que satisfazem a equa cao F(x, y, z) =k. Umaquadricaeumasuperfciedenvel deumafun caop(x, y, z)polinomialdegraudoisemtresvariaveis.Por exemplo, para F(x, y, z) = x2+y2z2,temosassuperfcies denvel dotipohiper-boloide de 2 folhas para k 0, doladodeforadocone.Considere agoraafun caoG(x, y, z) =x2 y2 z2everiqueaevolu caodassuperfciesdenvel,dek < 0passandopork= 0eindoparak> 0.IdemparaH(x, y, z) = x2y2z.3156.4 QuadricascomtermosmistosQuando os termosmistos aparecemna equa cao daquadrica, algum plano de simetrianaoeparaleloaplanocoordenado. Ouseja, aelimina caodostermosquadraticossedacomumamudan cadecoordenadas comaltera caonabasedevetores quedenemasdire coesdoseixoscoordenados.HaumteoremaclassicodaAlgebraLinear (TeoremaEspectral) quegarantequeasimplica caoepossvel. Alemdisso, osistemaS= {O, x, y, z}combasedevetoresE = {e1, e2, e3}, naqual anovaequa caocasemtermos mistos, ocorre numabaseortonormal,obtidacomoauto-vetoresdamatrizQdapartequadratica.Nasnovasequa coes, somentecommudan cadabasedevetores, apartequadraticacanaformadiagonal, istoe, q(x, y, z)=1(x)2+ 2(y)2+ 3(z)2, onde1, 2e3saooschamadosauto-valoresdamatrizQ. Alemdisso, estamudan canaoalteraotermoindependente.Porexemplo, considereaequa caop(x, y, z)=x2+ 3y2+ z2 4xy + 2yz 1=0,compartequadraticaq(x, y, z) = x2+ 3y2+ z24xy + 2yz.Amatrizdaquadrica eA =__1 2 0 02 3 1 00 1 1 00 0 0 1__,eQ =__1 2 02 3 10 1 1__.VamoscalcularosautovaloresideQ,quesatisfazemaequa caodet(Q I) = 0,ondeIeamatrizidentidade._________1 2 02 3 10 1 1 _________= 2 2 + 52 3=0, logo1=1, 2=2 +6,3= 2 6.Encontramosumauto-vetorvideQassociadoaoautovalori, resolvendoosistema316linear__1 i2 02 3 i10 1 1 i____abc__=__000__Temosentao,para1= 1, v1= (1, 0, 2), para2= 2 +6, v2= (2, 1 +_(6), 1)epara3= 2 6, v3= (2, 1 6, 1). Normalizando,temosos vetores e1, e2, e3dabaseortonormaldonovosistemacomeixosOx,OyeOz,ondeanovaequa caoca:(x)2+ (2 +6)(y)2+ (2 6)(z)21 = 0,dondepodemosconcluirqueaquadrica eumhiperboloidedeumafolha.Observamos que mesmoneste caso, os autovalores sendorazes de umpolinomiocubico,podenaotercalculomuitosimples.Se partimos de uma equa cao com termos mistos e parte linear, primeiro tente eliminaros termos lineares e depois, os termos mistos. Se a quadrica for sem centro, portanto naoe possvel eliminaros termoslineares,lembre-seque estamudan cadecoordenadas alteraostermoslinearesseestes existirem. Parasaber comoelessaoalterados, precisarmossabercomosaoasequa coesdemudan ca,quandosealteraabasedevetores.Comonocasodoplano, se C ={, ,

k}e a base dosistema S ={O, x, y, z}e E = {e1, e2, e3}e abase dosistema S= {O, x, y, z}, ondee1=(a1, b1, c1)C,e2= (a2, b2, c2)Ce e3= (a3, b3, c3)C,temos:P= (x, y, z)S OP= (x, y, z)C= x + y + z

k (1)P= (x, y, z)S OP= (x, y, z)E= xe1 + ye2 + ze3(2)Substituindo e1, e2e e3em(2),temosOP= (a1x + a2y + a3z, b1x + b2y + b3z, c1x + c2y + c3z)C,317donde,por(1),tem-seque__xyz__=__a1a2a3b1b2b3c1c2c3____xyz__.Como as bases sao ortonormais, a matriz de mudan ca que aparece acima e uma matrizortogonal(suainversa eatransposta)eportanto,temostambemque__xyz__=__a1b1c1a2b2c2a3b3c3____xyz__.Com essas equa coes de mudan ca, obtendo-se a base ortonormal de autovetores de Q,pode-seconheceranovapartelinear,quandonecessario.Oefeito das mudan cas de coordenadas cartesianas estudadas sobre a matriz daquadrica A e a sua parte quadratica Q e que o determinante de ambas e invariante, assimcomo o tra co da parte quadratica. Assim, e possivel obter muitas informa coes da quadricasemefetuardefatoasmudan casdecoordenadas. Porexemplo, seC=(c1, c2, c3)eocentrodaquadricap(x, y, z)=0, p(c1, c2, c3)=det(A)det(Q)eonovotermoindependentedaequa cao,depoisdasmudan casdecoordenadas. (exerccio!)6.5 Introducao`assuperfciesnoespa coAmaioriadasquadricasapresentadassaoexemplostpicosdesuperfcies,entendidosintuitivamentecomoobjetosnoespa coquesaoreunioesdepartesqueseassemelhamapeda cosdeplanos(semrasgosnembicos), coladasumasnasoutrasdeformasuave.Ouseja,superfciesbidimensionais,queemquasetodososseuspontospode-sefalaremplanotangente`asuperfcienoponto,etc.Tambem como no caso de curvas no plano, uma superfcie pode ser descrita, no sistemacartesianodoespa co, naformaparametrica(agoracomdoisparametros: x=x(t, s),318y=y(t, s), z=z(t, s)), ounaformaimplicita(porumaequa caof(x, y, z)=0comoas quadricas) oucomogracodefun coes (gracodez =f(x, y)oux=f(y, z)ouy= f(x, z)), pelo menos por partes.E importante saber distinguir essas formas, ate parautilizarmosumcomputadorparadesenha-las.Superfciesquesaogracosdefun coesesuperfciesdadasporparametriza coessaofacilmenteobtidasnoprogramaOctave(vejanaultimasessaodestecaptulo).Aexistenciadeumplanotangenteemcadapontoestarelacionadaacondi coesdediferenciabilidade das fun coes envolvidas e deveraser tratadacomas ferramentas doCalculoDiferencialdeVariasVariaveis.A seguir, vamos trabalhar um pouco com a forma implcita e a forma parametrica dassuperfciescilndricas,dosconessobrecurvasedassuperfciesde revolu cao.6.5.1 SuperfciescilndricasConsidereumacurvaplanaCnoespa co, evumvetortransversal (naoparalelo)aoplanodacurva. OcilindrodediretrizCe geratrizesparalelasav eareuniaodasretasquepassamporumpontodeCesaoparalelasav. Istoe,eoconjuntodospontosPquepodemserescritosnaformaP= Q + svondeQ Ces R.Os primeiros exemplos de superfcies cilndricas sao aquelas em que na equa cao f(x, y, z) =0algumadas variaveis nao compareceexplicitamente. Asgeratrizesdocilindroseraopa-319ralelas ao eixo da variavel que nao comparecee a curva diretriz e a curva determinadanoplanodasoutrasvariaveis.Vimosalgunsexemplosnaapresenta caodasquadricasreduzidas. Vejamosmaisumexemplo: naequa caox2+ y2 9=0avariavel znaocompareceexplicitamente. Istosignicaqueestavariavelelivre,sendoportantoasuperfcieumcilindrocomgeratrizesparalelasa k= (0, 0, 1). Ocilindrodesteexemplotemcomodiretrizacircunferenciaderaio3ecentronaorigemdoplanoOxy.SeCedadoparametricamentepor___x = f(t)y= g(t)z= h(t), comoparametrot I, ev=(a, b, c), obtemos aparametriza cao___x = f(t) + s ay= g(t) + s bz= h(t) + s c, comos parametros t I es R. Fazendo,naparametriza caodada,s [0, 1],estamosdescrevendoumtroncodecilindrocujasgeratrizessaosegmentosdemesmocomprimentoedire caoque v.2024 20246012345Por exemplo, o cilindro sobre a circun-ferenciade raio 3 e centro(0, 0, 0) no planoz=0egeratrizesparalelasav=(2, 3, 5)e parametrizada por___x = 3 cos t + 2sy= 3 sen t + 3sz= 5s,comt [0, 2],s R.Se C e dada implicitamente por 2 equa coes a 3 variaveis, f(x, y, z) = 0 e g(x, y, z) = 0(todaequa caonas variaveis x, yez podeser colocadanaformaF(x, y, z) =0), ev= (a, b, c) e a dire caodas geratrizes,podemos obter a equa caodocilindro, da seguinteforma:ParacadaP= (x, y, z)docilindro,sejaQ = (X, Y, Z) CtalqueQ = P+ v,320paraalgum R. Ouseja,___X= x + aY= y + bZ= z + c.ComoQ = (X, Y, Z) C,devemosterf(X, Y, Z) = 0eg(X, Y, Z) = 0.SubstituindoX, Ye Zpelas equa coes envolvendo x, y, ze , se tiver sorte, pode-seobter emfun caodex,yezporumadasequa coese,substituindo naoutraequa cao, obterumaequa caoF(x, y, z)=0paradescreverospontos(x, y, z)docilindro.Vejaomesmoexemplodocilindroparametrizadoacima: Cedadapelasequa coesx2+y2= 9 e z= 0. Ou seja, C:___f(x, y, z) = x2+ y29 = 0g(x, y, z) = z= 0. Se v = (2, 3, 5), paracada (x, y, z) no cilindro, temos___X= x + 2Y= y + 3Z= z + 5para algum (X, Y, Z) na circunferenciae R. Substituindo nas equa coes de C tem-se:___f(X, Y, Z) = (x + 2)2+ (y + 3)29 = 0g(X, Y, Z) = z + 5 = 0.Donde = z5e,portanto,(x 2z5)2+ (y 3z5)29 = 0 eaequa caodocilindro.Comoaequa caoedadapor umpolinomiodegrau2nas variaveis x, yez, estecilindro eumexemplodequadrica.Exerccios: Esboce e obtenha as formas parametrica e implcita do cilindro com diretrizCegeratrizesparalelasa v,nosseguintescasos:1. CeaelipsenoplanoOyzdadapelaequa cao(y 1)24+(z + 1)29=1ez=0;v= (5, 1, 1).3212. Ceumramodehiperboledadoporx=cosh t, y=0, z=senh t, comt R(veriquequesatisfazaequa caox2 z2=1); v=(0, 1, 0); fa catambemcomv= (1, 2, 3).6.5.2 ConessobrecurvasSeja Cuma curva plana no espa co e Vum ponto, nao pertencente ao plano da curva.OconedediretrizCe verticeVeareuniaodasretaspassandoporV eporumpontodacurva.Oconemaisclassicoeaquadricax2a2+y2b2 z2c2=0, queeumconetendocomoverticeoponto(0, 0, 0) ecomodiretrizqualquerumadesuassec coesplanaselticas.SePcone, existeQ Ctal queP=V+ s(Q V )paraalgums R. Ou,Q = V+ t(P V ),paraalgumt R.Sequisermos obter oconenaformaparametrica, usamos aprimeiraforma: P =V+s(Q V ), e substituimos Qpelaformaparametricadacurva. Se quisermos aequa caodocone,usamosasegundaforma: Q =V+ (P V )efazemosf(Q) =0eg(Q) = 0,ondef= 0eg= 0seriamasequa coesdacurvaC.3224202464202442024681012Por exemplo, oconecujadiretrizeacircun-ferenciaC:___x2+ y2= 4z= 0e vertice V =(2, 1, 4) temas equa coes parametricas dadaspor:___x = 2 cos t + s(cos t 2)y= 2 sen t + s(sen t 1)z= 4s, comt [0, 2] es R.Paraobteraequa caodocone, escrevemos___X= 2 +(x 2)Y= 1 +(y 1)Z= 4 +(z 4),substitumosnasequa coes___X2+ Y2= 4Z= 0,eeliminamos. DeZ= 4 +(z 4) = 0tem-seque =1z 4, esubstituindonaoutraequa cao,temos_2 (x 2)(z 4)_2+_1 (y 1)(z 4)_2= 4.Este cone tambem pode ser reescrito como uma quadrica (Exerccio: obtenha o polinomiodegrau2quedeneestaquadrica.)Exerccios: Esboce e obtenha as formas parametrica e implcita do cone com diretriz CeverticeV ,nosseguintescasos:1. CeaelipsenoplanoOyzdadapelaequa cao(y 1)24+(z + 1)29=1ex=0;V= (5, 1, 1).2. Ceaparaboladadoporx = t,y= 0,z= t25t,comt R;V= (0, 1, 0); fa catambemcomV= (1, 2, 3).3236.5.3 SuperfciesderevolucaoSeja Cuma curva plana, e r uma reta contida no plano da curva. Sob certas condi coessobreesseselementos,rotacionandoacurvaemtornodaretar,obtemosumasuperfciede revolu cao de Cem torno de r. Observe que a superfcie e a reuniao das circunferenciasquepassamporpontosdeCecentroemr,emplanosperpendicularesar.Osexemplosmaissimplesdesuperfciesderevolu caof(x, y, z) =0saoaquelesqueparacadaz= k,f(x, y, k) = 0eumaequa caodeumacircunferenciademesmocentro(x0, y0)noplanoOxy, podendo-sedegenerarnoponto(x0, y0)ou novazio. Nestecaso,e uma superfciederevolu cao emtornodoeixo r : X= (x0, y0, 0) +t(0, 0, 1), desdequeasec caopeloplanox = 0sejaumacurva.1.510.500.511.51.510.500.5121012Por exemplo, o hiperboloide de uma folhaf(x, y, z) =x2+y2z21 =0e umasuperfcie de revolu caode umahiperbole emtornodoeixoOz, jaque paracadaz =k,f(x, y, k) = x2+y2k21 = 0representaacircunferenciadecentro(0, 0)eraio1 + k2noplanoOxy.Voltemosaocasogeral.SuponhaacurvaCdadaparametricamente: C:___x = f(t)y= g(t)z= h(t), t I. Paracadat I, sejar(t)opontodertal queovetor(f(t), g(t), h(t)) r(t)sejaperpendiculararetenhanorma(t). Opontor(t)correspondeaocentrodacircunferenciae(t)eoraio. Seja e1,e2umpardevetoresunitarioseortogonaisar(paralelosaosplanosdascircunferencias). Entaotemosaseguinteparametriza caodasuperfciederevolu cao:324(x, y, z) = r(t) + (t) cos s e1 + (t) sen s e2, t I, s [0, 2].Isto ca bem mais simples quando r = Oze Ce uma curva no plano Oxzdada comogracodeumafun caox = f(z),comz I.Teremosaparametriza caoC:___x = f(t)y= 0z= tcomt I,dacurva,epodemostomar e1= (1, 0, 0),e2= (0, 1, 0),r(t) = (0, 0, t), (t) = f(t).Assim,(x, y, z) = (0, 0, t) + f(t)(cos s, sen s, 0), t I, s [0, 2],ouseja,___x = f(t) cos sy= f(t) sen sz= t,t I, s [0, 2].A mesma parametriza cao, se r = Oze Ce uma curva no plano Oyzcomo graco dafun caoy = f(z).325Se r = Oz e a curva e dada por C :___x = f(t)y= 0z= g(t), t I, noplanoOxz, temosos raios raio(t) =f(t) e os centros r(t) =(0, 0, g(t).Assim,(x, y, z) =(0, 0, g(t))+f(t)(cos s, sen s, 0),t I,s [0, 2],ouseja,___x = f(t) cos sy= f(t) sen sz= g(t),t I,s [0, 2].COxOyr=Ozf(t) = f(t)z=g(t)z= g(t)p(x, y, z)Q=(f(t),0,g(t))OObtem-se resultados analogos, mantendoos eixos de rota caocomoumdos eixoscoordenadoseacurvanumdosplanoscoordenados.Por exemplo,o catenoide obtido rotacionando a catenaria x = cosh(z) do plano Oxzem torno do eixo Oz, obtemos a parametriza cao (x, y, z) = (0, 0, t)+cosh(t)(cos s, sen s, 0),t R,s [0, 2]:3210123321012321012___x = cosh(t) cos sy= cosh t sen sz= t,t R,s [0, 2].O elipsoide obtido rotacionando a elipse___x = 3 cos ty= 0z= 2 sen tem torno do eixo Oz pode serdadaparametricamentepor(x, y, z)=(0, 0, 2 sent) + 3 cos t(cos s, sen s, 0), t [0, ],326s [0, 2],ouseja,___x = 3 cos t cos sy= 3 cos t sen sz= 2 sen t,t [0, ],s [0, 2].Otoro(pneu,rosquinha,boia,etc)obtidorotacionandoacircunferencia___x = 3 + 2 cos ty= 0z= 2 sen t, t [0, 2],emtornodoeixor = Oztemparametriza caodadapor4202442024202___x = (3 + 2 cos t) cos sy= (3 + 2 cos t) sen sz= 2 sen t,t [0, 2],s [0, 2].Considere agora o caso de r = Oz, e C no plano Oxz dada por equa coes f(x, y, z) = 0eg(x, y, z) = y= 0.327COxOyr = OzXX2=_x2+ y2ZZ= zp(x, y, z)QOSe(X, 0, Z) C,entaoospontos(x, y, z)dacircunferenciadecentro(0, 0, Z)eraio(Z) =X2pertencem`asuperfciedere-volu cao.Ouseja,___z= Zx2+ y2= 2(Z) = X2.Juntamentecom___f(X, Y, Z) = 0Y= 0,pode-seobterumaequa caoemx,yez.Por exemplo, rotacionando a elipse C:___x2+ 3z2= 5y= 0em torno do eixo Oz, obte-mos um elipsoide de revolu cao. Seja (X, Y, Z) um ponto na elipse. Os pontos (x, y, z) doelipsoide com z= Z, estao na circunferencia de centro (0, 0, Z) e raio (Z) =X2+ Y2.Ouseja, satisfazemas equa coes___X2+ Y2= x2+ y2Z= z. Assim,dasequa coesdaelipse___X2+ 3Z2= 5Y= 0, segue que x2+y2+3z2= 5 e a equa cao da superfcie, conhecida comoelipsoide. Ou seja, esse elipsoide e dado implicitamente pela equa cao x2+y2+3z25 = 0eportanto,esseelipsoide eumcasodequadrica.Exerccios:I. Esboceasuperfcie, eobtenhaasformasparametricaeimplcitadasuperfciedere-volu caodacurvaCemtornodoeixor,nosseguintescasos:1. Ce a elipse no plano Oyzdada pela equa cao(y 3)24+ z29= 1 e x = 0; r = Oy.2. Ce aparaboladadopor x=t, y =0, z =t2, comt R; r =Oz; fa catambemcomr=Ox, pelomenosaparametrica. Qual doscasosasuperfcieeumaquadrica?3283. CeumaretaparalelaaoeixoOy, dadaporx=0, z=5. Fa caparar=Oyeparar = Oz.4. CeumaretaquecruzaoeixoOy, dadaporx=0, z=5y. Fa carota caoemtornoder = Oyer = Oz.II. Obtenhaasuperfciedada comoumasuperfciede revolu cao, isto e,exiba acurvaeoeixoderota cao,emostreasequa coes(aquenaotiversidodada).1. ConecircularcomverticeV= (0, 1, 0)cujasgeratrizesformamangulo/4comoeixoOy.2. Cilindrocircularderaio5eeixocentralOx.3. Esferadecentro(0, 0, 5) eraio3.4. Ohiperboloidedeumafolhadadapelaequa caox2+ y2z2= 1.5. Ohiperboloidede2folhasdadapelaequa caox2y2z2= 1.6.5.4 Gracosdefuncoesde2variaveisUma fun cao real de duas variaveis reais f: D R2R, associa a cada ponto (x, y)doseudomnioD R2umnumeroreal z=f(x, y) R. OseugracoeoconjuntoGraf(f) = { (x, y, f(x, y)) | (x, y) D}noespa coR3.Uma superfcie dada como graco de f(x, y), tem naturalmente a equa cao z= f(x, y)eaformaparametrica(x, y, z) = (t, s, f(t, s)), com(t, s) D.Mas,dependendodasitua cao,podemosidenticarodomnioDdeumafun caode2variaveis dentro do plano Oxz ou Oyz, em vez de Oxy, tendo como gracos as superfciesdeequa caoy =g(x, z) oux=h(y, z) eparametriza cao(x, y, z) =(t, g(t, s), s)ou(x, y, z) = (h(t, s), t, s).329Observadascertascondi coes, comocontinuidadeediferenciabilidade, aseremescla-recidos maistarde, ogracodeumafun caoz =f(x, y)eumasuperfciesuave(sembicoserasgos). TodasuperfciesuavenoR3deveserumareuniaodesuperfciesdadascomogracodefun coesboas, dotipoz=f(x, y)ouy=g(x, z)oux=h(y, z), comasemendassuaves.Aqui vamosapenasapresentar algunsexemplosdegracos, semnospreocuparmosemjusticarserealmenteosgracossaosuperfciessuaves.Exemploseexerccios.1. Ogracodafun caof(x, y)=a(x x0) + b(y y0) + c, ondea, b, c, x0ey0saoconstantes reais, eumplanonoespa cocomvetor normal

N=(a, b, 1)epassandopeloponto(x0, y0, c).2. Ogracodafun caof(x, y) =_1 x2y2eumacalotaesferica, poisdevemoster___z2= f2(x, y) = 1 x2y2z 0=___x2+ y2+ z2= 1z 03. Ogracodafun caof(x, y)=x2+ y2eumparaboloidederevolu cao, passandopelovertice(0, 0, 0). Vocepodevisualizaristo, obtendooscortesdogracoporplanosparalelosaosplanoscoordenados:Cortandocomoplanoz=0, devemosresolverf(x, y)=x2+ y2=z=0.Da, temos x=0, y=0ez =0, evemos quetemos somenteoverticeV= (0, 0, 0).Cortandocomumplanoz=k0, temos circunferencias de raiokecentro(0, 0, k), das equa coes x2+y2= ke z= k. Trata-se portanto de uma330superfciederevolu caodeumacurvaemtornodoeixoOz.Cortandocomoplanox=0, temos___z= x2+ y2x = 0=___z= y2x = 0queeuma parabola no plano Oyz. Logo, o graco e a superfcie obtida pela rota caodaparabolaemtornodoeixoOz.Exerccios: Obtenhaumesbo codogracodef(x, y)=2x2+ 2y2+ 10. Qual onome da superfcie?Idem para g(x, y) = 2(x3)2+2(y4)25. Qual a diferen cadestasuperfcieparaaanterior?4. Exerccio: Obtenha um esbo co do paraboloide eltico, graco de f(x, y) =(x 1)24+(y 2)291, analisando diversos cortes da superfcie por planos paralelos aos planoscoordenados.5. O graco da fun cao f(x, y) = x2y2e uma superfcie chamada sela ou paraboloidehiperbolico. Obtenhaascurvasdenvel def(vejaadeni caonoultimoexemplodecurvasnoplano), paraosnveisk=0, k=1ek= 1. Obtenhaoscortespelosplanosx = 0,x = 2,x = 2,y= 0,y= 2,y= 2. Esboceasuperfcie.6. Ograco da fun cao f(x, y) =x2e umcilindro parabolico. Veja superfciescilndricas. Obtenhaassec coesdocilindropelosplanosx = 0,y= 0ez= k 0.7. Obtenha o graco da fun cao f(x, y) = ln(x2+y21). Antes, determine o domniodafun cao.8. Todos os gracos de fun coes que sao tambem superfciesde revolu cao em tornodoeixoOzsaodaformaz=f(x, y)=(x2+ y2). Descrevaumaformapraticadeesbo carogracodeumafun caodestetipo.3316.5.5 SuperfciesRegradasSuperfciesregradassaoreunioesderetas. Javimososcilindrosecones, mastemosoutras superfcies comessa propriedade. Entre as quadricas, podemos citar ohiper-boloidedeumafolha, derevolu cao,tipoumcestodelixo. Temos tambemoparaboloidehiperbolicoousela. Ohelicoide,grosseiramenteaproximadoporumaescadaemcaracol,podeserobtidoporumaheliceeretasligadasaoeixodahelice.1. Paraobter umhiperboloidedeumafolharegrado, considereduascircunferenciasdemesmoraio,emplanosparalelos:C1:___x2+ y2= 1z= 1=___x = cos ty= sen tz= 1eC2:___x2+ y2= 1z= 1=___x = cos ty = sen tz= 1.Ligue os pontos de uma circunferencia com os da ou-tra, de forma que haja uma defazagem no parametro,istoe,ligue(cos t, sen t, 1)com(cos(t + ), sen(t +), 1),paraalgumxo.Entao(x, y, z) =(cos t, sen t, 1) +s(cos(t+) cos t, sen(t + ) sen t, 2).Essae a constru cao da cesta de lixo, usando umfundo circular e varetas formandoo contorno, to-doscolocadosnabordadabaseformandoomesmoangulocomoplanodabase. Quandoasvaretas-cam perpendiculares `a base ( = 0), temos o cilindrocircular.Na verdade, dado um hiperboloide de uma folhax2a2 +y2b2 z2c2= 1, e um ponto p =(x0, y0, z0) no hiperboloide, o plano Tp:2x0a2(xx0)+2y0b2(yy0)2z0c2(zz0) = 0intercepta ohiperboloide segundoduas retas concorrentes, que saoas retas do332hiperboloidepassandopeloponto.2. Uma sela (paraboloide hiperbolico) regrada pode ser obtida tomando-se inicialmenteumquadradocomreticuladoderetascomoumapeneiracombeiradaquadrada.Suponhaos lados doquadradodematerial duro, mas articulavel nas quinas, deformaquesepossasuspender doisverticesopostosaomesmotempo, mantendoosoutrosdoisnolugar. Esuponhaaslinhasqueformamoreticuladoelasticasesempreesticadasemlinhareta.100.5110.500.500.20.40.60.81Asuperfcie formada pelo reticulado e deumasela.Nagura,aselaz=12 x22+y22.Deumaformageral,paracadapontop = (x0, y0, z0)deumaselaz=x2a2 y2b2,oplano Tp: z= z0 +2x0a2(x x0) 2y0b2(y y0) interceptaa sela segundoduas retasconcorrentes.3. Vamosaquiconstruiraparametriza caodohelicoide,reunindoasretasquepassampelahelice(x, y, z) = (cos t, sen t, t)epeloponto(0, 0, t) Oz.33310.500.5110.500.5024681012Aparametriza caoca: (x, y, z) =(0, 0, t) +s(cos t, sen t, 0), t Re s R. Modelosaproximados do helicoide, alem das escadas emcaracol,podemservistasfeitascompalitosdesorveteparagiraremcomovento.6.5.6 CoordenadasesfericasComonocasodecoordenadas polares noplano, podemos descrever os pontos doespa coatravesdascoordenadasesfericasoudascoordenadascilndricas.Oprimeiro, comoonomediz, seprestamaisadescrever ospontosatravesdesuaposi caoemesferas. ConsidereumpontoxoO, aorigemdosistema. Considereumplano de referenciapassandopor Oe um eixo de referencia,contida no plano e passandotambempor O. Napassagementre coordenadas esfericas e coordenadas cartesianasOxyz, consideramos Ocomo a origem do sistemacartesiano, o plano de referenciacomoo plano Oxze o eixo, o Oz. Para cada ponto Pno espa co(P = O), consideraremosradistancia do ponto a O, o angulo do raio OPcom o eixo Ozde referencia, e o anguloentre o plano Oxzde referencia e o plano contendo o eixo Oze o ponto P, que coimcidecomo angulo formadocom aproje caoortogonal deOPsobreoplano OxyeoeixoOx.Assim, dadaaternar, , ,comr> 0,0 e0 < 2 ,pode-sedeterminarexatamenteaposi caodopontoevice-versa. Naorigem,apenasindicamosr = 0.Arela caoentreascoordenadascartesianas(x, y, z)eesfericas(r, , )caportanto334equacionadopor___x = r sen cos y= r sen sen z= r cos .Exemploseexerccios1. Umaesferade centrona origeme raio R,tem aequa cao emcoordenadas esfericasdadasimplesmenteporr= R. Apartirdisso,cafacil obteraparametriza caodaesferaemcoordenadascartesianas:___x = R sen cos y = R sen sen z= R cos ,0 e0 < 2 .Exerccios: (1) Obtenha as equa coes parametricas (em coordenadas cartesianas) deumaesferacomcentronaorigemeraio5.(2) Depois, da calota superior dessa esfera (z 0) mudando a varia cao dosparametros.(3)Supondoqueaesferarepresentaogloboterrestreemescalamenor, sendooequadornoplanoz= 0,representeosparaleloseosmeridianos.(4) Obtenha a parametriza cao da esfera de centro (a, b, c) e raio R, em coordenadascartesianas.2. Umconecircularretocomverticenaorigemegeratrizesformandoangulo0comoeixoOz, temequa cao=0emcoordenadasesfericas. Apartirdisso, segueaparametriza caodoconesemovertice,emcoordenadascartesianas:___x = r sen 0 cos y= r sen 0 sen z= r cos ,335comr > 0e0 < 2 .Exerccio: Qual aparametriza caodoconecujocomverticenaorigemcujasgera-trizesformamangulosde30grauscomoeixoOz?6.5.7 CoordenadascilndricasAscoordenadascilndricas, comoonomediz, descreveospontosdoespa coatravesda descri cao do ponto em cilindros. Considere um ponto do origem, O que compararemoscomaorigemdeumsistemacartesiano. ConsidereumeixodereferenciaOzeoplanodereferenciaOxz. ParacadapontoP =O,considereocilindrocircularretoderaioeeixoOz,adistanciazdePaoplanoOxy(perpendicularaOzporO)eangulodoplanoporOzePeoplanoOxz. AscoordenadascilndricasdePsaodadaspor,ez,queserelacionamcomosistemacartesianopelasequa coes___x = cos y = sen z= z,com > 0,0 < 2 ez R.UmcilindrocircularretoderaioReeixocentral Ozpodeserescritapelaequa cao=Remcoordenadascilndricas. Assim, umaparametriza caodomesmocilindro, emcoordenadascartesianaspodeserdadapor___x = R cos y = R sen z= t,com0 < 2 et R.Exerccio: Descreva geometricamente e fa caumesbo codos conjuntos de pontos,dadosemcoordenadascilndricas:1. = /32. 0 1,/3 2 ,0 z 1.3363. z= 3, = 16.6 DesenhandosuperfciesnocomputadorJavimosqueoprogramaOctavepodiaser utilizadoparadesenhar planos. Vamosagoradesenharalgumassuperfciesdadascoomogracodefun caoeoutrasdadaspara-metricamente.Entre as quadricas que eram graco de fun coes z= f(x, y) temos o paraboloide eltico,oparaboloidehiperbolicoeocilindroparabolico. Porexemplo, paraobteroparaboloideelticoz=x29+y24,para(x, y) [1, 1] [1, 1],noOctave,bastaentrarcom:x = y = [-1:.1:1]; % variac~ao de x e y[xx,yy] = meshgrid(x,y);zz= xx.^2/9 + yy.^2/4;surf(xx,yy,zz)Paraoparaboloidehiperbolicoz=x2 y2, paraamesmavaria caodexey, bastatrocar aexpressaode zz: zz = xx.^2-yy.^2. Comoexerccio, obtenhaocilindroparabolicoz= x2paraosmesmosxey.Certasquadricassaomelhortra cadasquandoutilizamosaformaformaparametrica,comoporexemploocilindro,aesferaeocone:Paradesenharmos ocilindroelticox24+y29=1, parametrizadopor x=2 cos t,y= 3 sen t,z= s,comt [, ]es [0, 2],podemosfazer:t = [0:.1:6.3];s = [0:.5:2];[tt,ss] = meshgrid(t,s);x = 2*cos(tt); y = 3*sin(tt); z=ss;surf(x,y,z)337Paradesenharmos oelipsoidex29+y24+ z2=1, atraves daparametriza caox=3 sen t cos s,y= 2 sen t sen s,z= cos t,t [0, ],s [0, 2],fazemost = linspace(0,pi,21);s = linspace(0,2*pi,41);[tt,ss] = meshgrid(t,s);x = 3*sin(tt).*cos(ss); y = 2*sin(tt).*sin(ss); z=cos(tt);surf(x,y,z)Oconex24+y29z24=0, comparametriza caox=2t cos s, y=3t sen s, z=2t,t [1, 1],s [, ],podeserobtidocom:t = linspace(-1,1,11);s = linspace(-pi,pi,21);[tt,ss] = meshgrid(t,s);x = 2*tt.*cos(ss); y = 3*tt.*sin(ss); z=2*tt;surf(x,y,z)Observe que o graco de fun cao z= f(x, y) e parametrizado naturalmente por x = t,y= s,z= f(t, s),quedaomesmoresultado.Comodesenhamosassuperfciespelasequa coesf(x, y, z) = 0?Paraotra cadodesuperfcies implcitas comsoftwarelivre, sugerimos queprocureprogramas especcos para tra cados de varios tipos de superfcies, incluindo as implcitas,como o K3dSurf. Veja a sec cao do cone x2+y2z2= 0 pelo plano x+z= 1 gerando aparabola, obtida com o K3dsurf, onde foi solicitado para desenhar o cone, com a condi caox + z< 1.5.338