cônicas: uma abordagem utilizando planilhas eletrônicas · resumo...

Marcelo da Silva Pires

Cônicas: uma abordagem utilizando planilhaseletrônicas

Vitória da Conquista

maio/2015


Cônicas: uma abordagem utilizando planilhas eletrônicas

Dissertação apresentada ao Departamento deCiências Exatas e Tecnológicas da Universi-dade Estadual do Sudoeste da Bahia - UESB,como requisito parcial para a obtenção doGrau de Mestre em Matemática em RedeNacional PROFMAT.

Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia - UESB

Departamento de Ciências exatas e tecnológicas - DCET

Programa de Mestrado Profissional em Matemática - PROFMAT

Orientador: Dr. Júlio César dos Reis

Vitória da Conquistamaio/2015

Marcelo da Silva PiresCônicas: uma abordagem utilizando planilhas eletrônicas/ Marcelo da Silva

Pires. – Vitória da Conquista, maio/2015-108 p. : il. (algumas color.) ; 30 cm.

Orientador: Dr. Júlio César dos Reis

Dissertação (Mestrado) – Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia - UESBDepartamento de Ciências exatas e tecnológicas - DCETPrograma de Mestrado Profissional em Matemática - PROFMAT, maio/2015.1. Tecnologia. 2. Planilhas eletrônicas. 3. Cônicas. I. Dr. Júlio César dos

Reis. II. Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia - UESB. III. Cônicas: Umaabordagem utilizando planilhas eletrônicas.

CDU 02:141:005.7


Cônicas: uma abordagem utilizando planilhas eletrônicas

Dissertação apresentada ao Departamento deCiências Exatas e Tecnológicas da Universi-dade Estadual do Sudoeste da Bahia - UESB,como requisito parcial para a obtenção doGrau de Mestre em Matemática em RedeNacional PROFMAT.

Trabalho aprovado. Vitória da Conquista, maio/2015:

Dr. Júlio César dos Reis- UESBOrientador

Dr. André Nagamine - UESBConvidado 1

Dra. Sandra Rêgo de Jesus - UFBAConvidado 2

Vitória da Conquistamaio/2015

Dedico este trabalho a minha amada família: minha esposa Claudinéia e meus filhos Talese Ana Emily. Sem o amor de vocês, não chegaria a este momento especial.

Agradecimentos

Os agradecimentos principais são direcionados à Deus que me permitiu chegar aqui,meu sustentáculo e fonte de bençãos em todos os momentos.

Ao meu orientador Dr. Júlio César dos Reis por sua paciência, incentivo e grandecontribuição neste trabalho.

Aos meus pais e toda minha família pelo apoio nas horas difíceis.

Aos meus amigos e colegas pelo incentivo e motivação.

Finalmente, À minha esposa Claudinéia, e filhos Tales e Ana Emily, pela compre-ensão e amor incondicional.

Felizes os de conduta íntegra,que andam na lei do Senhor!

Felizes os que observam suas leise o procuram de todo coração.

(Salmos 119 vs. 1-2)

ResumoNesta dissertação é apresentada uma proposta de trabalho em sala de aula para o estudodas cônicas: elipse, hipérbole e parábola utilizando planilhas eletrônicas. Objetivandoapresentar ao professor uma ferramenta que possa servir de apoio pedagógico para as aulasde geometria analítica, de forma a tornar as aulas mais dinâmicas, as atividades propostastêm como base a manipulação de planilhas eletrônicas - desenvolvidas no CALC - ondeforam implementados os gráficos destas curvas. Por acreditar que o presente trabalhopode atuar promovendo o processo de inserção das tecnologias na sala de aula, nesteestudo apresentamos também tutorial para o desenvolvimento das planilhas com todo opasso-a-passo para a construção destas curvas. Além disso, fazemos um breve passeio pelahistória das cônicas, bem como uma revisão dos seus principais conceitos matemáticos,apresentando seus principais elementos e equações, relacionando com as suas respectivasrepresentações geométricas.

Palavras-chaves: Tecnologia. Planilhas eletrônicas. Cônicas.

AbstractIn this thesis is presented a proposal for the work in the classroom for the study ofconics: ellipse, hyperbola and parabola using spreadsheets. Aiming to present for teachera tool that could serve as a pedagogical support for the classes of analytical geometry,In such a way as to make the classes more dynamic, the proposed activities are basedon the manipulation of spreadsheets - developed in CALC - where were implementedthe graphics of these curves. Believing that the present work can promote the process ofintegration of technology in the classroom, in this study we have also presented tutorialfor the development of spreadsheets with all the step-by-step for the construction of thesecurves. Also, we take a brief stroll through history of conics, as well as a review of its mainmathematical concepts, presented its main elements and equations, relating with theirrespective geometric representations.

Key-words: Technology. Spreadsheets. Conics.

Sumário

Sumário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Lista de ilustrações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1 A TECNOLOGIA NO PROCESSO DE ENSINO APRENDIZAGEM 17

2 USO DE PLANILHAS ELETRÔNICAS NO ENSINO DE MATE-MÁTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 AS CÔNICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.1 Um pouco de história . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2.1 Elementos da elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2.2 Forma canônica da elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.3 Elipse com centro fora da origem do plano OXY . . . . . . . . . . . . . . 303.2.3.1 Translação de eixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2.4 Equação geral de uma elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3 Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3.1 Elementos da parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3.2 Equação canônica da parábola com vértice na origem . . . . . . . . . . . . 333.3.3 Parábola com vértice fora da origem do plano OXY . . . . . . . . . . . . 363.3.4 Caso I: Eixo de simetria paralelo ao eixo OX e foco F à direita da diretriz d 363.3.5 Caso II: Eixo de simetria paralelo ao eixo OX e foco F à esquerda da diretriz d 373.3.6 Caso III: Eixo de simetria paralelo ao eixo OY e foco F acima da diretriz d 383.3.7 Caso IV: Eixo de simetria paralelo ao eixo OY e foco F abaixo da diretriz d 383.3.8 Equação geral da parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.4 Hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.4.1 Equação canônica da hipérbole com centro no ponto O = (x0, y0) . . . . . 43

4 ATIVIDADES PROPOSTAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.1 Atividade 01 - Estudo da elipse e seus elementos . . . . . . . . . . . 454.2 Atividade 02 - Estudo da excentricidade da elipse . . . . . . . . . . . 484.3 Atividade 03: Determinando elementos e forma canônica . . . . . . 504.4 Atividade 04 - Estudo da elipse com centro fora da origem . . . . . 514.5 Atividade 05 - Estudo da hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.6 Atividade 06 - Estudo da hipérbole - eixo focal paralelo ao eixo OY 564.7 Atividade 07 - Assíntotas da hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.8 Atividade 08: Estudo da Hipérbole de Centro (x0, y0) . . . . . . . . . 594.9 Atividade 09 - Elipse X Hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.10 Atividade 10 - Estudo da parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.11 Atividade 11 - O vértice da parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5 PASSO-A-PASSO: DESENVOLVIMENTO DAS PLANILHAS . . . . 675.1 Planilha 01: Elipse gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.2 Planilha 02: Planilha: Elipse forma canônica . . . . . . . . . . . . . . 745.3 Planilha 03: Elipse.Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.4 Planilha 04: Planilha Elipse-centro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.5 Planilha 05: Elipse-Excentricidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.6 Planilha 06: Planilha - Hipérbole forma canônica . . . . . . . . . . . 865.7 Planilha 07: Hipérbole: Eixo focal paralelo ao eixo OY . . . . . . . . 895.8 Planilha 08: Assintota da hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.9 Planilha 09: Elipse X Hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.10 Planilha 10: Parábola Eixo focal OY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.11 Planilha 11: Parábola - eixo focal OX . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.12 Planilha 12: Hipérbole - centro (xo, yo) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.13 Planilha 13: Parábola - vértice não coincidente com a origem . . . . 103

Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Lista de ilustrações

Figura 1 – Tipos de cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Figura 2 – Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Figura 3 – Elementos da elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Figura 4 – Sistema eixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Figura 5 – Parábola: elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Figura 6 – Parábola: P : x2 = 4py . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Figura 7 – Parábola: P : x2 = −4py . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Figura 8 – Parábola: P : y2 = 4px . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Figura 9 – Parábola: P : y2 = −4px . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Figura 10 – Parábola P : (y − y0)2 = 4p(x− x0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Figura 11 – Parábola P : (y − y0)2 = −4p(x− x0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Figura 12 – Parábola P : (x− x0)2 = 4p(y − y0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Figura 13 – Parábola: P : (x− x0)2 = −4p(y − y0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Figura 14 – Hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Figura 15 – Excentricidade da hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Figura 16 – Hipérbole-Forma canônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Figura 17 – Assíntotas da hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Figura 18 – Hipérbole reta focal paralela ao eixo OX . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Figura 19 – Elipse forma canônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Figura 20 – Excentricidade da elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Figura 21 – Definindo gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Figura 22 – Elipse.Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Figura 23 – Elipse centro (x0, y0) = (0, 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Figura 24 – Elipse centro (−3, 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53Figura 25 – Elipse gráfico incompleto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53Figura 26 – Hipérbole - excentricidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Figura 27 – Hipérbole eixo focal OY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Figura 28 – Assíntota - hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Figura 29 – Elipse X hipérbole 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Figura 30 – Elipse X hipérbole 02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Figura 31 – Elipse X hipérbole 03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Figura 32 – Parábola - eixo OX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Figura 33 – Parábola vértices (x0, y0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66Figura 34 – Parábola vértices (1,−4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66Figura 35 – Protegendo uma planilha a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Figura 36 – Protegendo uma planilha b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Figura 37 – Protegendo uma planilha c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69Figura 38 – Desprotegendo uma planilha a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Figura 39 – Desprotegendo uma planilha b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Figura 40 – Planilha 01: passo 1 à 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Figura 41 – Planilha 01: passo 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Figura 42 – Planilha 01: passo 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Figura 43 – Planilha 01: passo 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Figura 44 – Planilha 01: passo 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Figura 45 – Planilha 01: passo 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Figura 46 – Planilha 01: passo 26 e 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Figura 47 – Planilha 02: passo 01 e 06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Figura 48 – Planilha 02: passo 07-Desproteger célula (a) . . . . . . . . . . . . . . . 76Figura 49 – Planilha 02: passo 08-Desprotege célula (b) . . . . . . . . . . . . . . . . 76Figura 50 – Planilha 03: passo 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Figura 51 – Planilha 03: passo 45-Inserindo caixa de texto . . . . . . . . . . . . . . 79Figura 52 – Planilha 03: passo 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79Figura 53 – Planilha 03: passo 49a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Figura 54 – Planilha 03: passo 49b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Figura 55 – Planilha 04: passo 06a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Figura 56 – Planilha 04: passo 06b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Figura 57 – Planilha 04: passo 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Figura 58 – Planilha 04: passo 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82Figura 59 – Planilha 04: passo 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Figura 60 – Planilha 05: passo 09 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84Figura 61 – Planilha 05: passo 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84Figura 62 – Planilha 05: passo 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Figura 63 – Planilha 05: passo 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Figura 64 – Planilha 05: passo 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Figura 65 – Planilha 06: passo 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Figura 66 – Planilha 06: passo 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88Figura 67 – Planilha 06: passo 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88Figura 68 – Planilha 06: passo 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Figura 69 – Planilha 07: passo 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Figura 70 – Planilha 07: passo 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Figura 71 – Planilha 07: passo 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Figura 72 – Planilha 07: passo 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92Figura 73 – Planilha 08: passo 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93Figura 74 – Planilha 08: passo 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Figura 75 – Planilha 08: passo 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Figura 76 – Planilha 08: passo 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Figura 77 – Planilha 09: passo 08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96Figura 78 – Planilha 09: passo 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Figura 79 – Planilha 10: passo 06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Figura 80 – Planilha 10: passo 09 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Figura 81 – Planilha 11: passo 06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99Figura 82 – Planilha 11: passo 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100Figura 83 – Planilha 12: passo 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Figura 84 – Planilha 12: passo 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102Figura 85 – Planilha 12: passo 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102Figura 86 – Planilha 13: passo 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

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Introdução

Um dos principais objetivo da matemática é desenvolver o raciocínio lógico, esti-mulando a criatividade do aluno, bem como desenvolver sua capacidade de assimilar osconteúdos matemáticos. Ocorre que muitos são os problemas de aprendizagem no ensinoda matemática e estes problemas não são novos, sendo observados, desde os anos iniciaisaté o ensino médio. Esta problemática inquieta tanto os professores quanto os alunos.Como professor da Educação Básica, tenho observado que os alunos do ensino médio nãotêm evoluído no processo de minimizar a dificuldade no aprendizado, isto se deve, entreoutros fatores, ao fato da maioria dos alunos estarem alheios ao processo. Além disso, umagrande parcela dos professores ainda trabalha de forma tradicional e conteudista, tratandoos conteúdos de forma abstrata e totalmente fora da realidade destes alunos.

Hoje em dia, com o advento tecnológico, todos nós, principalmente nossos alunos,passamos horas por dia envolvidos com algum tipo de tecnologia, seja em casa, no trabalhoou nas ruas. Com todo esse avanço tecnológico em que vivemos, fica fatigante para oprofessor convencer seus alunos da importância de se aprender a efetuar os cálculos seeles têm acesso às calculadoras que fazem as contas em frações de segundos. Assim, ficao questionamento: por que não inserir essas tecnologias na escola? Esta que deveria sero ambiente mais democrático e agradável para os nossos alunos! Surge aí duas situaçõesde despreparo: 1. Os alunos que não estão preparados para usar as tecnologias de formaobjetiva. Moran, Masetto e Behrens (2013) refletindo sobre o papel do aluno diz:

"A discussão sobre a mediação pedagógica envolve, como já anunciamosanteriormente e como aprofundaremos adiante, uma nova postura doprofessor. No entanto, isso exige que se trabalhe também uma mudançana postura do aluno.O desenvolvimento da mediação pedagógica se inicia no trabalho com oaluno, para que esse assuma um papel de aprendiz ativo e participante(não mais passivo e repetidor), de sujeito de ações que o levem a aprendera mudar o seu comportamento. (MORAN; MASETTO; BEHRENS, 2013,p. 150)

2. E o professor que geralmente tem dificuldade em lidar com tanta tecnologia, nãotendo portanto a mesma habilidade que o jovem, que interage diariamente com as novastecnologias com tanta naturalidade. Segundo Moran (2007).

Os alunos estão prontos para a multimídia, os professores, em geral, não.Os professores sentem cada vez mais claro o descompasso no domínio dastecnologias e, em geral, tentam segurar o máximo que podem, fazendopequenas concessões, sem mudar o essencial. Creio que muitos professorestêm medo de revelar sua dificuldade diante do aluno. Por isso e pelohábito mantêm uma estrutura repressiva, controladora, repetidora. Os

Introdução 15

professores percebem que precisam mudar, mas não sabem bem como fazê-lo e não estão preparados para experimentar com segurança. (MORAN,2007, p. 162)

Sabe-se que uma parcela dos professores estão, aos poucos, inserindo os recursostecnológicos na sala de aula, mas como apontou Moran, em geral, há uma insegurança o quepor vezes impede que se insira tais recursos no processo de ensino/aprendizagem. É nessecontexto que surgiu a proposta de se trabalhar o desenvolvimento de um material didáticocom as planilhas eletrônicas objetivando elucidar a questão: como trabalhar com planilhaseletrônicas de forma a contribuir com a construção e o desenvolvimento dos conceitosinerentes às cônicas? Considerando que se trata de um programa há muito difundido, ebastante conhecido, temos a perspectiva de que a insegurança do professor em relação autilização dessa tecnologia seja minimizada e assim contribuir para a inserção de outrastecnologias por parte do docente. O material consiste de planilhas eletrônicas, em queutilizamos o CALC1, pode-se também utilizar Excel2, onde implementamos as equaçõesdas cônicas com suas respectivas representações gráficas. Neste material a proposta étrabalhar manipulando as planilhas, objetivando contribuir com a aprendizagem dosconceitos relacionados às cônicas. Com o apoio da informática, nutrimos a perspectiva detornar a aula mais dinâmica e interessante para o aluno, contribuindo para que consigamassimilar os conceitos relacionado às cônicas e, ao mesmo tempo, fomentar o interesse pelouso das planilha eletrônicas de forma a apontar seu potencial prático.

O estudo das cônicas têm vasta aplicabilidade na óptica, na acústica, na engenhariae na arquitetura, como por exemplo, os refletores dos dentistas e as salas de sussurrosdas catedrais3, telescópios, antenas parabólicas, na engenharia de construção de usinasatômicas, pontes, entre outras. Apesar destas aplicações tratar-se de um conteúdo quefica um pouco a margem dos estudos no 3o ano do ensino médio. Aqui na Bahia aatual conjuntura é de apenas 03 (três) aulas semanais da disciplina matemática, tempoinsuficiente para o programa do Ensino Médio e, por conseguinte, o professor se vê obrigadoa selecionar os conteúdos a serem trabalhados com sua turma. Com uma revisão dosplanos de curso e dos livros didáticos indicados vemos que um dos estudos a ficar pelocaminho é justamente o das cônicas. Com o alcance do ENEM4, a situação de descasocom o tema se agrava, pois é pouco cobrado neste exame. Isto pode ser observado comuma rápida revisão nas provas aplicadas nos anos de 2010 à 2015, não há uma situaçãoque envolva o estudo das cônicas, temos apenas na prova de 2013 uma parábola abordadana forma de função quadrática, veja as provas pelo link

Introdução 16

enem/edicoes-anteriores/provas-e-gabaritos> . É um tema relevante, portanto não deveriaser negligenciado.

Este trabalho está dividido em cinco capítulos. No primeiro, discutimos sobre ouso da tecnologia no processo de ensino/aprendizagem, tendo como objetivo destacar aimportância de se trabalhar com tais recursos tentando mostrar que não se pode ficaralheio aos avanços tecnológicos para não nos distanciarmos cada vez mais dos nossosalunos.

No segundo capítulo, fazemos uma breve definição do que seria planilha eletrônicae apresentamos um breve relato do uso das planilhas eletrônicas no ensino da matemática,refletindo sobre as contribuições deste recurso no processo de ensino/aprendizagem, elen-cando alguns trabalhos relevantes sobre o tema, tentando elucidar suas potencialidades econtribuições para o desenvolvimento do ensino da matemática.

O terceiro capítulo, inicia-se com um breve resumo histórico, na sequência estuda-remos os conceitos inerentes as cônicas, focando na relação geométrica de cada cônica comas suas respectivas formas canônicas.

No quarto capítulo, apresentamos uma sequência de 11 (onze) atividades com ouso das planilhas que propomos ao professor aplicar no ensino médio. Em cada atividadeelencamos o objetivo e a metodologia apresentando todo um roteiro a ser observado durantea aplicação da atividade.

Por fim, no quinto capítulo, apresentamos um tutorial com todo o passo-a-passodo desenvolvimento de cada planilha de forma que o leitor possa, com um mínimo deconhecimento de planilhas eletrônicas, implementar as planilhas que são necessárias paradesenvolver as atividades propostas.

http://portal.inep.gov.br/web/enem/edicoes-anteriores/provas-e-gabaritoshttp://portal.inep.gov.br/web/enem/edicoes-anteriores/provas-e-gabaritos

17

1 A tecnologia no processo de Ensino Apren-

dizagem

O ser humano desde o seu nascimento, vive numa incessante busca, apropriação,troca e descoberta. O homem esta sempre interagindo com o ambiente ao seu redor, dessaforma aprende coisas novas, este aprendizado e descoberta se dá através do contato comos seus semelhantes e da busca pelo domínio sobre o meio em que vive. Nós viemos aomundo com o propósito de evoluir, aprender, fazer descobertas e apropriar-se de todosos conhecimentos, desde os mais simples até os mais complexos, isso nos possibilita agarantia da sobrevivência e a participação na sociedade como ser que aspira por novosconhecimentos de forma crítica e criativa. Atualmente, quando se fala em integração com oambiente, descoberta e domínio do meio em que vive estamos sem dúvidas falando tambémem aprender, descobrir e dominar as tecnologias.

Vivemos no que se denomina sociedade da informação este modelo de organizaçãodas sociedades que baseia-se num modo de desenvolvimento da sociedade onde a informaçãoatua como meio de criação de conhecimento, exercendo um papel fundamental na produçãode riqueza e qualidade de vida dos cidadãos. Os jovens adquirem vários conhecimentos,através dos novos meios de comunicação, pois eles se reconhecem nesse mundo, eles nasceramneste novo paradigma de sociedade, dessa forma, por vezes, preferem o aconchego do lar,com todas as tecnologias à disposição, à escola que para eles se torna enfadonha e obsoleta.É importante a escola tornar-se mais atrativa para estes alunos e em sintonia com estasociedade da informação.

Diante disso, há uma pressão muito grande sobre as escolas, no que se refere ainserção das tecnologias no processo de ensino. Observa-se isso no ensino fundamental do6o ao 9o ano e, em especial, no ensino médio. Nossos jovens têm desde cedo acesso a todotipo de tecnologia: televisão, computador, tablet e principalmente celulares, geralmentecom acesso a internet. Moran, Masetto e Behrens (2013) destacam que a relação que sefaz hoje com a mídia é prazerosa, é feita através da sedução da exploração sensorial. Osnossos jovens ficam fascinados com tanto apelo, a juventude, hoje, quer estar o tempotodo em contato com os vários tipos de tecnologias. Com o passar do tempo, e o avançotecnológico, a pressão sobre o professor fica cada dia maior, pois os alunos não querem ficarnum ambiente no qual o uso de tais tecnologias é vetado e, para não ter que lutar muitocontra isto o professor é compelido a utilizar alguma tecnologia nas suas aulas. Na medidaem que o tempo passa e as tecnologias avançam e se diversificam, a pressão aumenta, noentanto, sabe-se que a maioria dos professores não estão preparados para utilizar essas

Capítulo 1. A tecnologia no processo de Ensino Aprendizagem 18

novas tecnologia na sua aula.

Convém observar que no passado a conjuntura de ensino era o aluno se deslocaraté a escola para passar um tempo diário e determinado, onde boa parte dedicava-sea desenvolver as aprendizagens diversas e, consequentemente, à sua formação escolar,neste tempo, frequentava a escola aquele que queria ou os pais exigiam por conhecerema importância da educação na vida dos filhos. Contudo, como observa Prensky (2001)os alunos de hoje não são mais as pessoas para as quais o nosso sistema educacionalfoi projetado para ensinar e alguns professores assumem que seus alunos são as mesmaspessoas que eles foram no passado e os métodos de ensino que funcionaram quando elesestavam na posição de seus alunos vão funcionar ainda hoje. Nessa perspectiva, a grandepreocupação das escolas era levar informação aos alunos, o professor e o livro didáticoeram os grandes meios para o sucesso do processo de ensino/aprendizagem. Contudo, nãoé mais possível conceber uma prática pedagógica em que o professor atua como há 20anos, conhecendo-se a concorrência pela atenção do aluno que é intensa. Hoje vivemosnum ambiente altamente tecnológico onde nossos jovens só concebem viver numa culturadigital, se comunicam e se expressam mais digitalmente que pessoalmente. Não é raraas vezes que se usa uma imagem que substitui várias palavras, por exemplo, uma garotaconsegue expressar seus sentimentos ao enviar uma imagem pelas redes sociais, porém ébem possível que talvez não conseguisse se tivesse que usar as palavras. Sobre isto Valente(nov 2007/jan 2008) comenta:

... as tecnologias digitais estão introduzindo novos modos de comunicação,como a criação e o uso de imagens, de som, de animação e a combinaçãodessas modalidades. Tais facilidades passam a exigir o desenvolvimento dediferentes habilidades, de acordo com as diferentes modalidades utilizadas,criando uma nova área de estudo, relacionada com os diferentes tipos deletramento. (VALENTE, nov 2007/jan 2008, p. 13)

O desafio, agora posto, é garantir que as tecnologias, se utilizada de forma correta,possibilitem ou potencializem o processo de aprendizagem, não somente, aprender a utilizá-las, mas fazerem-nas atuantes no processo de construção do conhecimento. É importanteobservar que a cognição de boa parte dos nossos educandos hoje está pautada em mais deum sentido, com efeito, eles estudam com o notebook ligado, navegando, relacionando-seatravés das redes sociais, com a televisão ligada e ainda conseguem aprender. Porém,de forma alguma, a escola deve se tornar um ambiente despretensioso, um parque dediversões, um local para se mergulhar nas redes sociais e esquecer da vida, Abreu (dez2014/fev 2015) salienta que se a tecnologia não for bem-ordenada prestará um imensodesserviço aos usuários e que é importante que procuremos compreender suas possibilidadese limitações de seu uso. Observando estes aspectos e considerando que os nossos alunosgostam da tecnologias e sabem utilizá-las, por que não explorar as suas potencialidades?Nessa perspectiva, Oliveira (2012) aponta quatro formas universais de uso do computador


na escola, são elas: instrução programada, simulações, aprendizagem por descoberta epacotes de aplicativos.

• Instrução programada: nessa forma de uso do computador a máquina é preparada ecolocada para “ensinar” conteúdos pré-determinados através de exercícios repetitivose de demonstrações.

• Simulações: Nessa forma de uso do computador o aluno atua manipulando situaçõesdesenvolvidas, o estudante deve manipular as variáveis e observar resultados dassuas manipulações.

• Aprendizagem por descoberta: Nessa forma, o aluno é o centro do processo deaprendizagem e aprende no processo exploratório/investigativo – através de umainteração com a máquina.

• Pacotes integrados: Apesar de não ter sido desenvolvido com qualquer objetivoeducacional os pacotes integrados (editores de textos, planilhas e banco de dados) seutilizados de forma pensada, são excelentes recursos para o processo de aprendizagem,podendo desenvolver o interesse pela leitura e escrita, desenvolver habilidades ligadasà matemática, física, química, geografia, entre outras.

Contudo, como já dissemos, muitos profissionais da educação que estão em sala deaula evitam fazer o uso das tecnologias em seu trabalho pedagógico, estando insegurosdiante dos seus alunos que conhecem e conhecem muito bem as novas tecnologias. Almeida(2000) debatendo sobre a relação dos professores e tecnologia diz:

Mesmo o professor preparado para utilizar o computador para a constru-ção do conhecimento é obrigado a questionar-se constantemente, pois comfrequência se vê diante de um equipamento cujos recursos não conseguedominar em sua totalidade. Além disso, precisa compreender e investigaros temas ou questões que surgem no contexto e que se transformam emdesafios para sua prática – uma vez que nem sempre são de seu plenodomínio, tanto no que diz respeito ao conteúdo quanto à sua estrutura.(ALMEIDA, 2000)

De fato, o professor deve estar sempre antenado com as novas tecnologias, não épreciso inserir no processo de ensino/aprendizagem cada nova tecnologia que apareça, mastendo em vista a fascinação por tais tecnologias, torna-se necessário conhecer e utilizar estemundo de inovações em nossas aulas. Quanto ao questionamento que por vezes permeia amente do professor sobre qual será o seu papel no processo de aprendizagem diante destesnovos modelos de educação, penso como Faria (2015) numa perspectiva de que o educadoratue como mediador de todo processo de construção do conhecimento, propiciando ainteração, a autonomia e a cooperação auxiliando assim na construção do conhecimento.Como cita Almeida (2015).


Ensinar é organizar situações de aprendizagem, criando condições quefavoreçam a compreensão da complexidade do mundo, do contexto, dogrupo, do ser humano e da própria identidade. Diz respeito a levantar ouincentivar a identificação de temas ou problemas de investigação, discutirsua importância, possibilitar a articulação entre diferentes pontos de vista,reconhecer distintos caminhos a seguir na busca de sua compreensão ousolução, negociar redefinições, incentivar a busca de distintas fontes deinformações ou fornecer informações relevantes, favorecer a elaboração deconteúdos e a formalização de conceitos que propiciem a aprendizagemsignificativa (ALMEIDA, 2015).

Portanto, o questionamento acima não deve intimidar o professor, pois é certo que opapel será o mesmo de sempre - mediador do processo. Desse ponto de vista, hoje é precisoque o professor esteja preparado uma vez que as tecnologias, sobretudo o computador,deverá estar sempre presente nesta mediação. Paralelamente, cabe ao professor desenvolveras competências matemáticas básicas de forma que seus educandos sejam matematicamentecompetentes o que envolve um conjunto de capacidades, atitudes e de conhecimentosrelativo à esta disciplina. Essas competências que todos devem desenvolver ao longo de seuprocesso de formação inclui, entre outras, o de acompanhar criticamente o desenvolvimentotecnológico promovendo o contato com os avanços das novas tecnologias nas diferentesáreas do conhecimento, a fim de se posicionar frente às questões de nossa atualidade ea partir daí utilizar o conhecimento matemático como apoio para compreender e julgaras aplicações tecnológicas dos diferentes campos científicos. Na medida que o professorinsere em suas aulas atividades que atraem a atenção e o interesse dos jovens este pode defato tomar gosto e adquirir confiança pessoal em desenvolver atividades intelectuais queenvolvem raciocínio matemático. Nesse sentido, é importante que o professor busque seaperfeiçoar e estude o recurso que pretende utilizar, organizando bem a atividade que vaipropor para que o aluno não se desvie do objetivo como enfatizam Gladcheff, Zuffi e Silva(2001): É preciso que o professor defina objetivos e domine bem as atividades que propõe,seja qual for o recurso escolhido para utilizar em sua aula.

Diante de tudo isso, o professor precisa dialogar com o processo e atuar de formaa desenvolver uma parceria do aluno com o conhecimento, sendo ele quem vai fazer ashonras de intermediar este processo. Daga (2006) observa que:

A aprendizagem é um processo de construção do aluno – autor de suaaprendizagem –, mas nesse processo o professor, além de promover aparticipação, a comunicação, a interação e o confronto de ideias dos alunos,também tem sua autoria. Ele deve atuar como mediador, facilitador,incentivador, desafiador e promotor do processo de aprendizagem doaluno, investigador do conhecimento, da própria prática e do processode aprendizagem individual e grupal. (DAGA, 2006, p. 33)

Nessa perspectiva, embora o processo de aprendizagem dependa do empenho eenergia desprendida do aluno, o professor, nesse processo, é a mola mestra; cabe ao docente,criar ambientes de aprendizagem que favoreçam o processo de interação e participação


do aluno. O professor deve desenvolver atividades que estimulem o envolvimento doaluno, levando-o a uma participação mais ativa através do confronto de ideias, o que édeterminante para o desenvolvimento do aluno de forma que adquira novos conhecimento.

Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs):

Um aspecto relevante na relação professor-aluno é a criação de um novoensinar, a instalação de uma nova forma de comunicação educacional,a construção da nova identidade do professor que, de transmissor deinformações prontas e de verdades inquestionáveis, torna-se um mediador.No contexto educacional, entende-se a mediação como intervenção doprofessor para desencadear o processo de construção do conhecimento(aprendizagem) de forma intencional, sistemática e planejada, potenciali-zando ao máximo as capacidades do aluno. (BRASIL, 2000)

Assim, cabe também ao professor orientar os alunos no que se refere ao uso dorecurso que pretende explorar, como aponta Faria (2015):

Planejar uma aula com recursos de multimeios exige preparo do ambientetecnológico, dos materiais que serão utilizados, dos conhecimentos préviosdos alunos para manusear estes recursos, do domínio da tecnologia porparte do professor, além de seleção e adequação dos recursos à clientelae aos objetivos propostos pela disciplina. (FARIA, 2015)

Em decorrência, buscando preparar os profissionais da educação para desenvolverematividades mediadoras através das tecnologias, os governos têm atuado para oferecer cursosde formações, buscando melhor preparar os professores para a inserção dos diversos recursostecnológicos em suas aulas, a exemplo, o curso Mídias na Educação: programa de educaçãoa distância, que visa a formação continuada, buscando desenvolver o uso pedagógicodas diferentes tecnologias da informação e da comunicação, curso que tem como públicoalvo os professores da educação básica. Além desses cursos de formação continuada, hátambém a disponibilização de um aparato de ferramentas e materiais de apoio, como osdisponibilizado no portal do professor, .Todos estes recursos procuram ajudar os educadores a romper com as antigas práticas,buscando redecorar a atuação do professor, pois hoje diante de grande velocidade que asinformações são trabalhadas, é quase impossível manter uma dinâmica de sala de aulanuma perspectiva tradicional.

Como foi exposto anteriormente, o grande desafio de ser educador nos dias atuais,é estar a frente de uma sala lotada de mentes inquietas que, em sua maioria pretendiamestar longe dali, preferiam estar dormindo, assistindo televisão imersos nas redes sociais,namorando, enfim, uma grande possibilidade de coisas para fazer, menos estar em umasala ouvindo um professor tentando falar sobre algo que não querem ouvir. Essa situaçãoé a que se encontra na maioria das escolas públicas do Brasil. Diante de tal situação, osprofessores se veem na necessidade de se aperfeiçoar, mudar sua práxis pedagógica, afim


de tornar sua aula um pouco menos entediante e enfadonha para esses educandos. Osprofissionais de educação buscam especializações, cursos de aperfeiçoamento e até mesmocursos de mestrado. Sabe-se que alguns estão buscando outras formações desiludidos coma docência.

É importante expor que não há magia no uso do computador e de novas tecnolo-gias, mas, seguramente, no processo educacional o professor tem nessas ferramentas umimportante instrumento pedagógico. Sabendo explorar esses recursos na sala e fora dela, oeducador será capaz de promover uma aprendizagem muito mais significativa.

Dessa forma, como docentes, devemos estar sempre numa busca incessante demelhorar a forma de trabalhar os conteúdos para que os nossos educandos desenvolvamconhecimentos através da participação e interação, devemos criar condições para queo aluno investigue, discuta, busque, construa hipóteses e assim, se possível, formalizeconceitos, visando a apreensão de novos conhecimentos, mesmo que, por vezes, levantehipóteses equivocadas e conceitos errôneos, isto faz parte do aprendizado.

23

2 Uso de planilhas eletrônicas no ensino de

matemática

Planilha eletrônica ou planilha de cálculo é um tipo de programa computacionalque utiliza tabelas para realização de cálculos ou apresentação de dados, onde cada tabelaé formada de uma espécie por matriz constituída de grade composta de linhas e colunas.As planilhas eletrônicas tem sido há muito tempo utilizadas no ensino de matemática,sobretudo no ensino de funções, elaboração e análise de gráfico e no estudo da matemáticafinanceira. Porém quando falamos em uso de softwares no ensino de matemática, voltamosnosso olhar logo para programas desenvolvidos para tal fim como Máxima, Geogebra,Winplot, Logo entre outros. No entanto, penso como Menezes e Valli (1997), além dossoftwares desenvolvidos para fins pedagógicos, outros, como as planilhas eletrônicas, sãodignos de uso na sala de aula como ferramentas que apresentam grandes possibilidades deuso pedagógico.

Para garantir o sucesso de certa atividade pedagógica, empregando algum tipo detecnologia, deve-se estar atento que, mais importante que o tipo de tecnologia utilizada, éa adequação à atividade e o uso planejado do instrumento. Além disso, a escolha de setrabalhar com planilha decorre da popularidade do programa e dado que é um software decompreensão relativamente fácil. Ademais, temos várias possibilidades quando queremostrabalhar com planilhas, as livres como CALC da LibreOffice, Calc da OpenOffice e aspagas como Excel R© da Microsoft, esta é mais conhecida e utilizada. O CALC chama aatenção pela qualidade, onde se pode salvar suas planilhas em formato OpenDocument,o novo padrão internacional para documentos de escritório. Este formato baseado emXML significa que o usuário não está preso ao CALC sendo necessário apenas a utilizaçãode programas compatíveis, independente de sistema operacional ou plataforma. Assim,pode-se acessar suas planilhas de qualquer software compatível com OpenDocument, masse o objetivo é apenas apresentar os seus resultados, então, podemos exportar para PortableDocument Format (. Pdf) - não há necessidade de comprar qualquer software extra. Portudo isso, e principalmente por ser gratuito, o CALC foi o escolhido para ser utilizadonesse trabalho.

Este tipo de software constitui um recurso interessante, criando-se tabelas, utilizandofórmulas prontas ou desenvolvendo fórmulas pode-se explorar muito do recurso de forma adesenvolver o processo dos alunos. Morgado (2003), refletindo sobre a importância do usodas planilhas no processo de ensino/aprendizagem, observa:

As planilhas se constituem num meio dinâmico, pois possibilitam a ma-

Capítulo 2. Uso de planilhas eletrônicas no ensino de matemática 24

nipulação direta sobre as representações matemáticas que se apresentamna tela do computador. É um meio de múltiplas representações do objetoem estudo, como fórmulas, tabelas, gráficos, macros (programas). Alémdisso, o programa permite a inserção de dados de outros aplicativos. Étambém um meio propício à modelagem e à simulação, uma vez que sepode explicitar, manipular e compreender as relações entre as variáveisque controlam determinado fenômeno e pode-se explorar qualitativa-mente as relações matemáticas que são evidenciadas no dinamismo darepresentação visual. (MORGADO, 2003, P.26)

O processo de apropriação do conhecimento é favorecido por essa ferramenta, poisa criação de uma planilha substitui o processo de cálculo manual ou mental, de forma quepodemos chegar a um certo resultado rapidamente. E como a ferramenta pode nos ofereceruma opção de plotar os gráficos dos dados, pode-se analisar visualmente esses dados bemcomo projetar e inferir resultados, além disso, é possível alterar facilmente estes dadossem que se perca o trabalho anterior. Com as planilhas eletrônicas podemos, de formarápida, elaborar tabelas e gráficos com qualidade excelente e boa apresentação, o que nospermite dispor de maior tempo para o processo educativo na tarefa de interpretação dosresultados, bem como, testar diferentes hipóteses. ATE AQUI......

Dentre os trabalhos realizados com planilhas, destacamos a Dissertação de Mestrado:Cônicas: uma proposta de estudo através de planilhas do Excel desenvolvida por Lagdem(2011) e Uso da tecnologia da informática no ensino superior: um estudo da aplicação daplanilha eletrônica Excel na disciplina de matemática financeira trabalho de Stieler (2007).

No trabalho de Lagdem (2011) desenvolveu-se um produto para o estudo de cônicasque incluiu roteiros de aplicação e o programa computacional, onde, utilizando a linguagemde programação Visual Basic for Aplications (VBA) – Microsoft R© Excel, construiudiversas funções e formulários que deram suporte à atividades propostas com o usoassociado às planilhas eletrônicas. Na atividade, a autora trabalhou, além dos conceitosdas curvas, aspectos históricos e utilidades. Um dos aspectos interessantes deste trabalhofoi a apresentação da biblioteca que facilitou os cálculos pouco explorados no ensino atual,tornando o processo mais dinâmico e permitindo que o professor possa transpor o usode fórmulas ou métodos de forma a explorar características e peculiaridades do temaproposto.

Stieler (2007), através da metodologia da engenharia didática, explorou-se o Excelpara introduzir os conceitos de capitalização simples e composta e desconto simples.A preocupação maior do autor foi elaborar atividades em que não houvesse apenastransmissão de conhecimento, mas sim produção de conhecimento. Procurou dar significadoaos conteúdos estudados de forma que os principais conceitos de matemática financeirafossem lapidados e consolidados.

No contexto sublime em que vivemos, numa sociedade da tecnologia, propostas deatividades em que se insere recursos tecnológicos no processo de ensino, são de grande

Capítulo 2. Uso de planilhas eletrônicas no ensino de matemática 25

importância, pois mostram para os nossos alunos que estamos antenados com o novo modelode sociedade. E ao usar planilhas, evidenciamos que tecnologia, às vezes, consideradasobsoletas, são muito poderosas quando observadas, e nos servimos de suas aplicações.

Portanto, a contribuição do uso de planilhas eletrônicas para o processo de en-sino/aprendizagem pode ser valiosa desde que o professor esteja preparado, atuando deforma mediadora a oportunizar a integração do aluno com o computador, levando-o areflexão, a fim de fomentar a construção dos conceito matemáticos pretendidos. É claroque o professor deve conhecer não só as potencialidades do recurso utilizado, mas tambémpropor atividades que levem o aluno a se servir delas para o desenvolvimento próprio.

26

3 As cônicas

3.1 Um pouco de históriaSegundo (EVES, 1995), o estudo das seções cônicas iniciou-se na busca pela solução

do problema da duplicação do cubo1, um dos grandes problemas da geometria grega,na busca pela solução Hipócrates de Quio2 estudando o tema reduziu o problema daduplicação do cubo ao de achar duas meias proporcionais x e y entre 1 e 2. Onde num casogeral, se x e y são meias proporcionais entre a e b, tem-se a

x= x

y= y

b, pode-se chegar a

x2 = ay donde: x3a3

= a2ba3

= bainicia-se assim o estudo das cônicas. Entre 360a.C. e 350a.C.,

na busca pela solução do problema, Menaecmo3 esboçou a curva expressa por y2 = 2ax,ele percebeu que havia uma família de curvas que poderiam sem obtidas seccionando umcone reto. A solução se daria então através das secções de um cone reto de revoluçãopor planos perpendiculares a alguma das geratrizes, o que definiria a curva como elipse,hipérbole ou parábola seria o ângulo do vértice (agudo, reto ou obtuso, respectivamente),veja figura [1]. Por seu estudo, é atribuído a Menaecmo, a descoberta das seções cônicas.(BOYER, 1974)

Contudo, o primeiro estudo sistemático das cônicas é atribuído ao chamado de OGrande Geômetra, Apolônio4. Este estudo encontra-se na sua obra principal As Cônicas,obra composta por oito livros, dos quais um se perdeu. Neste primoroso trabalho, Apolônio,trata das secções cônicas, promovendo grandes avanços no estudo destas curvas. Apesardas secções cônicas serem conhecidas há mais de um século As Cônicas tiveram grandeinfluência no estudo destas curvas (EVES, 1995).

Até Apolônio, como dissemos, cada cônica era secção de um tipo de cone:

• A elipse era obtida a partir de um cone acutângulo;

• A parábola era obtida a partir de um cone retângulo;

• A hipérbole através de um cone obtusângulo.1 O problema consiste em determinar a aresta de um cubo de forma que este tenha o dobro do volume

de um outro cubo dado2 Matemático grego que viveu entre 460 a.C. e 370 a.C e se estabeleceu em Atenas, onde ensinava.

Hipócrates dedicou-se a estudar os problemas clássicos gregos: a trissecção do ângulo, a duplicação docubo e a quadratura do círculo

3 Matemático da Grécia antiga, discípulo de Eudoxo de Cnido que viveu entre os anos de 380 a.C. a 320a.C

4 Astrônomo e matemático grego da escola de Alexandria, nasceu em Perga na Asia Menor viveu entre262 a.C. e 194 a.C.

Capítulo 3. As cônicas 27

Figura 1: Tipos de cônicas

Uma das mais importantes inovações que Apolônio concebeu para as cônicas foitrabalhar com um cone de duas folhas, com isso, as secções cônicas passaram a serconsideradas da seguinte forma:

• Se um plano intersecta o cone paralelamente a uma geratriz obtêm-se uma parábola;

• Se a intersecção do plano se dá nas duas folhas do cone obtemos uma hipérbole;

• Se o plano corta todas as geratrizes de uma mesma folha obtemos uma elipse.

Dessa forma unificou-se estas cônicas e tornou-as uma família de curvas.

Já no século XVII, o desenvolvimento da geometria analítica, propicia que Fermat5

descubra as equações cartesianas da reta e da circunferência, e as equações mais simplesda elipse, da parábola e da hipérbole. Ele aplicou uma transformação equivalente à atualrotação de eixos para reduzir uma equação do 2o grau à sua forma mais simples.

Com a criação da geometria analítica muitos optaram por essa nova metodologia,outros continuaram preferindo a abordagem sintética de Apolônio, então a partir desteséculo a geometria analítica e a sintética, destas curvas, começam a conviver de formaharmônica. Porém, atualmente a geometria analítica sobrepõe-se à sintética, observa-seainda fazendo-se uma análise dos livros didáticos, que a abordagem dada às cônicas noensino moderno é meramente analítica.

Vamos agora rever algumas conceitos e definições sobre a elipse, a hipérbole ea parábola. Como referência para estes conceitos e definições estudamos Iezzi (2005)em Fundamentos da matemática elementar vol. 7 e Delgado, Frensel e Crissaff (2013)Geometria analítica da Coleção PROFMAT. (As imagens foram desenvolvidas com ossoftware Geogebra e o Libreoffice Draw).5 Matemático e cientista francês, nasceu em Castres, viveu entre 1601 e 1665, Fermat é considerado um

dos desenvolvedores da Geometria Analítica.


3.2 Elipse

Definição 1 Dados dois pontos F1 e F2 uma elipse � é o conjunto de pontos P do plano

tal que a soma das distâncias a F1 e F2 é igual a uma constante 2a (com a > 0) maior

que a distâncias entre os dois focos 2c, (com 2c > 0).

Podemos escrever: � = {P ; d(P, F1) + d(P, F2) = 2a}, com 0 < a < c e d(F1, F2) = 2c.

Assim, se P e Q pertencem a elipse � então d(P, F1) + d(P, F2) = 2a = d(Q,F1) +d(Q,F1), veja a figura [2] abaixo.

Figura 2: Elipse

3.2.1 Elementos da elipse

Observe a figura [3] nela destacamos os elementos da elipse

• Os pontos F1 e F2 são os focos da elipse, a distância entre eles é igual a 2c, denominadade distância focal;

• O ponto O é o centro da elipse - é o ponto médio do segmento F1F2, A1A2, B1B2;

• Os pontos A1, A2, B1, B2 são os vértices da elipse;

• A1A2 é o eixo maior da elipse, com d(A1A2) = 2a;

• B1B2 é o eixo menor da elipse, com d(B1B2) = 2b.


Figura 3: Elementos da elipse

Observe que do triângulo retângulo ∆B2OF2 obtemos a relação b2 + c2 = a2, vejaainda que, B2F2 ∼= OA2. Para provar isto observe que B1B2 pertence a mediatriz dosegmento F1F2 e daí d(B,F1) = d(BF2) = a.

Observação: A reta que contém os focos é chamada reta focal e a reta que contémos pontos B1 e B2 é chamada reta não focal.

Excentricidade: A excentricidade é dada pelo número e = cae indica o quanto

a elipse se aproxima de um segmento ou de uma circunferência quando e se aproximarespectivamente de 1 ou de 0.

3.2.2 Forma canônica da elipse

Inicialmente vamos considerar a elipse com centro na origem do plano cartesiano(0, 0) e eixo maior (eixo focal) coincidente com o eixo OX. Como os focos pertencem ao eixoOX temos então que F1 = (−c, 0) e F2 = (0, c) e seja P (x, y) um ponto qualquer da elipse,pela definição temos: d(PF1)+d(PF2) = 2a =

√(x+ c)2 + (y − 0)2+

√(x− c)2 + (y − 0)2

⇒√

(x+ c)2 + y2 = 2a−√

(x− c)2 + y2

⇒ (x+ c)2 + y2 = 4a2 − 4a√

(x− c)2 + y2 + (x− c)2 + y2

⇒ 4a√

(x− c)2 + y2 = 4a2 + (x− c)2 + y2 − (x+ c)2 − y2

⇒ 4a√

(x− c)2 + y2 = 4a2 + (x− c)2 − (x+ c)2

⇒ 4a√

(x− c)2 + y2 = 4a2 + x2 − 2xc+ c2 − x2 − 2xc− c2

⇒ 4a√

(x− c)2 + y2 = 4a2 − 2xc− 2xc⇒ 4a

√(x− c)2 + y2 = 4a2 − 4xc

⇒ a√

(x− c)2 + y2 = 4a2−4xc4


⇒ a√

(x− c)2 + y2 = a2 − xc⇒ a2[(x− c)2 + y2] = (a2 − xc)2

⇒ a2[x2 − 2xc+ c2 + y2] = a4 − 2a2xc+ x2c2

Organizando e agrupando temos:

x2(a2 − c2) + a2y2 = a2(a2 − c2) (3.1)

Pela relação da elipse b2 + c2 = a2 temos b2 = a2 − c2 substituindo em 3.1 temos:

b2x2 + a2y2 = a2b2

Uma vez que ab 6= 0, podemos dividir toda a expressão por ab, daí

b2x2

a2b2+ a

2y2

a2b2= a

2b2

a2b2⇒ x

2

a2+ y

2

b2= 1 (3.2)

A equação [3.2] é chamada equação reduzida ou canônica da elipse com eixo focalsobre o eixo OX.

Se os focos estão sobre o eixo OY e o centro está na origem, a equação reduzida daelipse é dada por:

x2

b2+ y

2

a2= 1 (3.3)

O que se demonstra de forma análoga àquela apresentada para os focos sobre oeixo OX.

3.2.3 Elipse com centro fora da origem do plano OXY

Para estudarmos equação de uma cônica com centro (x0, y0) fora da origem dosistema cartesiano vamos rever um pouco de translação de eixos.

3.2.3.1 Translação de eixos

Translatar um eixo é movimentá-lo paralelamente ao sistema OXY , na verdadetranslatá-lo é criar um novo sistema de eixos ordenados, onde o centro passa a ser umponto O′(x0, y0). Se translatarmos os eixos ordenados para uma nova origem O′(x0, y0),sendo P (x, y) e P ′(x′, y′) as coordenadas de um ponto nos sistemas OXY e O′X ′Y ′

respectivamente, então as equações de translação de coordenadas são dadas por:

x = x′ + x0

y = y′ + y0


Figura 4: Sistema eixos

Observe na figura [4] acima que: x = OB = OA+ AB = x0 + x′

y = OD = OC + CD = y0 + y′

donde: x′ = x− x0y′ = y − y0

(3.4)

A equação da elipse num sistema de eixos O′X ′Y ′, com eixo focal paralelo ao eixoOY , é dada por:

(x′)2a2

+ (y′)2b2

= 1 (3.5)

Substituindo [3.4] em [3.5] temos:

(x− x0)2a2

+ (y − y0)2

b2= 1 (3.6)

Da mesma forma pode-se determinar a equação da elipse com eixo focal paraleloao eixo OY . Obtém-se então a equação:

(x− x0)2b2

+ (y − y0)2

a2= 1 (3.7)

3.2.4 Equação geral de uma elipse

Desenvolvendo a equação [3.6] obtemos e expressão

b2x2 + a2y2 − 2b2x0x− 2a2y0y + b2x20 + a2y20 − a2b2 = 0


Fazendo A = b2, B = 0, C = a2, D = −2b2x0, E = −2a2y0 e F = b2x20 + a2y20 − a2b2,podemos escrever a expressão assim,

Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0 (3.8)

Observe que A e C tem o mesmo sinal e B = 0. O mesmo vale para elipses comeixo focal paralelo ao eixo OY com centro no ponto (x0, y0).

Dada a equação Ax2 +Cy2 +Dx+Ey+F = 0, se A e C tem o mesmo sinal, entãoa equação pode representar:

• Uma elipse com eixo paralelos aos eixos ordenados

• Um ponto

• Um conjunto vazio

Vejamos como determinar a forma canônica de uma elipse à partir da sua equaçãogeral.

Ax2 + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0 (3.9)

Dividindo a equação [3.9] por AC, obtemos: Ax2AC

+ Cy2AC

+ DxAC

+ EyAC

+ FAC

= 0, podemosescrever:

x2 + DAx

C+y2 + E

Cy

A= − F

AC

Completando os quadrados temos:

x2 + DAx+ D24A2C

+y2 + E

Cy + E24C2A

= − FAC

+ D2

4A2C +E2

4C2A

=x2 + D

Ax+ D24A2C

+y2 + E

Cy + E24C2A

= −4FAC2 +D2C2 + E2A2

4A2C3Seja M = −4FAC2 +D2C2 + E2A2 escrevemos,

x2 + DAx+ D24A2C

+y2 + E

Cy + E24C2A

= M4A2C3 (3.10)

Se M 6= 0 podemos dividir a equação [3.10] por M4A2C3 , obtendo,

(x+ D2A)2

M4A2C2

+(y + E2C )

2

M4AC3

= 1 (3.11)

Como AC > 0 então a equação [3.11] representa uma elipse com centro em (− D2A ,−E2C ),

Se M = 0 a equação [3.11] representa o ponto (− D2A ,−E2C )


3.3 ParábolaDante (2013) define uma parábola assim:

Definição 2 Parábola é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de uma reta fixa d,

chamada diretriz, e de um ponto fixo F , chamado de foco, com F /∈ d.

3.3.1 Elementos da parábola

Observe a figura [5], nela destacamos os elementos da parábola.

• O ponto F , é o foco da parábola;

• A reta d é a diretriz da parábola;

• O ponto V , ponto médio de FD distância de F a d é o vértice da parábola;

• A reta que passa por F , perpendicular a d é o eixo de simetria da parábola;

• A medida F D2 é o parâmetro p da parábola.

Figura 5: Parábola: elementos

3.3.2 Equação canônica da parábola com vértice na origem

Vamos considerar uma parábola com vértice na origem do sistema cartesianoV = (0, 0) e o foco F . Tomando um ponto P (x, y) qualquer da parábola sabemos quea distância entre P e o foco F é igual a distância entre o ponto P e a diretriz d, isto éd(P, F ) = d(P, d).

Com o vértice na origem há quatro casos a se estudar.


1o Parábola com eixo de simetria sobre o eixo OY e foco acima de V ;

2o Parábola com eixo de simetria sobre o eixo OY e foco abaixo de V ;

3o Parábola com eixo de simetria sobre o eixo OX e foco à direita de V ;

4o Parábola com eixo de simetria sobre o eixo OX e foco á esquerda de V .

1o caso: tomando F (0, p) e diretriz y = −p, temos:

d(P, F ) = d(P, d)⇒√x2 + (y − p)2 =

√(y + p)2

Elevando ao quadrado:

x2 + y2 − 2yp+ p2 = y2 + 2yp+ p2 ⇒ x2 − 2yp = 2yp

⇓

x2 = 4py

Figura 6: Parábola: P : x2 = 4py

2o caso: temos F (0,−p) e diretriz y = p, de forma análoga demostramos que aequação da parábola é:

x2 = −4py


Figura 7: Parábola: P : x2 = −4py

3o caso: tomando o foco F (p, 0) e diretriz x = −p

Temos:d(P, F ) = d(P, d)⇒

√(x− p)2 + y2 =

√(x+ p)2

Elevando ao quadrado,

x2 − 2yp+ p2 + y2 = x2 + 2yp+ p2 ⇒ −2yp+ y2 = 2yp

⇓

y2 = 4px

Figura 8: Parábola: P : y2 = 4px


4o caso: temos F (−p, 0) e diretriz x = p. Novamente a demonstração é feita deforma análoga a anterior.

Figura 9: Parábola: P : y2 = −4px

3.3.3 Parábola com vértice fora da origem do plano OXY

Assim como para a elipse, para obtermos a forma canônica de uma parábola Pcom vértice V (x0, y0) 6= (0, 0), utilizaremos a translação de eixo, criando um novo sistemade eixos O′X ′Y ′, onde as equações de translação de coordenadas são dadas por: x = x

′ + x0y = y′ + y0

3.3.4 Caso I: Eixo de simetria paralelo ao eixo OX e foco F à direita da

diretriz d

Sabemos que no sistema de coordenadas O′X ′Y ′ a parábola é dada por (y′)2 =4p(x′), figura [10]. A partir das equações de translação acima determinamos a equação daparábola (y − y0)2 = 4p(x− x0), onde:

• Foco: F = (x0 + p, y0);

• Vértice: V = (x0, y0);

• Diretriz: d = x0 − p;

• Eixo de simetria: y = y0.


Figura 10: Parábola P : (y − y0)2 = 4p(x− x0)

3.3.5 Caso II: Eixo de simetria paralelo ao eixo OX e foco F à esquerda da

diretriz d

Sabemos que no sistema de coordenadas O′X ′Y ′ a parábola é dada por (y′)2 =−4p(x′), figura [11]. À partir das equações de translação determina-se a equação daparábola P : (y − y0)2 = 4p(x− x0) no sistema OXY .

Neste caso temos:

Figura 11: Parábola P : (y − y0)2 = −4p(x− x0)


• Foco: F = (x0 − p, y0);

• Vértice: V = (x0, y0);

• Diretriz: d = x0 + p;

• Eixo de simetria: y = y0.

3.3.6 Caso III: Eixo de simetria paralelo ao eixo OY e foco F acima da diretriz

d

Neste caso o foco é F = (x0, y0 + p), a diretriz é d : y = y0 − p, o eixo de simetria éx = x0 e a equação da parábola é (x− x0)2 = 4p(y − y0). Veja figura [12].

Figura 12: Parábola P : (x− x0)2 = 4p(y − y0)

3.3.7 Caso IV: Eixo de simetria paralelo ao eixo OY e foco F abaixo da

diretriz d

Neste caso o foco é F = (x0, y0 − p), a diretriz é d : y = y0 + p, o eixo de simetria éx = x0 e a equação da parábola é (x− x0)2 = −4p(y − y0), figura [13].


Figura 13: Parábola: P : (x− x0)2 = −4p(y − y0)

3.3.8 Equação geral da parábola

Tomando a equação canônica da parábola (y − y0)2 = ±4p(x − x0) de vérticeV = (x0, y0), desenvolvendo temos:

y2 − 2yy0 + y20 = ±4px∓ 4px0

y2 ∓ 4px− 2y0y + y20 ± 4px0 = 0

A equação acima é da forma [3.8] (Ax2 +Bxy+Cy2 +Dx+Ey+F = 0), com A = 0, B =0, C = 1, D = ∓4p, E = −2y0 e F = y20 ± 4px0.

De forma análoga pode-se desenvolver a equação (x− x0)2 = ±4p(y − y0) obtendo:

x2 − 2x0x∓ 4py + x20 ± 4py0 = 0

Que é da forma Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, com A = 1, B = 0, C = 0, D =−2x0, E = ∓4p e F = x20 ± 4py0.

Seja a equação do segundo grau [3.8] com B = 0. Se A = 0 e C 6= 0, então aequação representa:

• Uma parábola com reta focal paralela ao eixo OX, se D 6= 0;

• Um par de retas paralelas ao eixo OX, se D = 0 e E2 − 4CF > 0;

• Uma reta paralela ao eixo OX, se D = 0 e E2 − 4CF = 0;

• O conjunto vazio , se D = 0 e E2 − 4CF < 0.

Caso A 6= 0 e C = 0 temos os mesmos conjuntos com a reta focal paralela ao eixo OY .


3.4 Hipérbole

Definição 3 Hipérbole é o lugar geométrico dos pontos P de um plano cujo módulo da

diferença de suas distâncias aos focos F1 e F2 é igual a uma constante, menor que a

distância entre estes focos.

Em notação matemática:

H = {P ; |d(P, F1)− d(P, F2)| = 2a}, 0 < a < c, d(F1, F2) = 2c

Na figura [14] abaixo destacamos os elementos da hipérbole H

Figura 14: Hipérbole

• Os pontos F1 e F2 são os focos da hipérbole, sendo F1F2 = 2c a distância focal;

• A1 e A2 são os vértices da hipérbole, com A1A2 = A1F2 − A2F1 = 2a;

• O ponto O é o centro da hipérbole ponto médio de A1A2 e de F1F2;

• O número e = caé a excentricidade da hipérbole onde e > 1, pois c > a.

Observe que se F1F1 = 2c, então OF2 = c e como A1A2 = 2a, então 0A2 = a,tomando um ponto B1, na mediatriz de A1A2, como na figura acima, tal que o triânguloOA2B1 seja retângulo em O, observe que OA2 mede a e B1 mede b, assim pelo teoremade Pitágoras temos c2 = a2 + b2 → b2 = c2 − a2.

No que se refere a excentricidade e = catemos que:

1) Se e for um número próximo de 1, os ramos da hipérbole são mais fechados;2) Quanto maior for o número e, isto é, tender ao infinito, os ramos da hipérbole são cadavez mais abertos.

A figura 15 representa a excentricidade da hipérbole.


Figura 15: Excentricidade da hipérbole

• Forma canônica da hipérbole centrada na origem do sistema cartesiano

Consideremos a hipérbole, representada na figura 16, com centro O, vértices emA1(−a, 0) e A2(a, 0) e focos F1(−c, 0) e F2(c, 0). Um ponto P (x, y) qualquer da hipérbole,por definição, deve satisfazer a seguinte condição:

Figura 16: Hipérbole-Forma canônica

|d(PF2)− d(PF1| = 2a

Como d(PF2) =√

(x+ c)2 + (y − 0)2 e d(PF1) =√

(x− c)2 + (y − 0)2, temos: |d(PF2)−d(PF1| = 2a⇒ |

√(x+ c)2 + y2 −

√(x− c)2 + y2| = 2a

⇒√(x+ c)2 + y2 −

√(x− c)2 + y2 = ±2a

⇒√(x+ c)2 + y2 =

√(x− c)2 + y2 ± 2a

Elevando ao quadrado ambos os membros:


(x+ c)2 + y2 = (x− c)2 + y2 ± 4a√

(x− c)2 + y2 + 4a2

⇒ (x+ c)2 + y2 − (x− c)2 − y2 − 4a2 = ±4a√

(x− c)2 + y2

⇒ x2 + 2xc + c2 + y2 − x2 + 2xc − c2 − y2 = 4a2 = ±4a√

(x− c)2 + y2. Fazendo oscancelamentos temos:4xc− 4a2 = ±4a

√(x− c)2 + y2

⇒ xc− a2 = ±a√

(x− c)2 + y2

Elevando ao quadrado, obtemos:

x2c2 − 2a2xc+ a4 = a2[(x− c)2 + y2]⇒ x2c2 − 2a2xc+ a4 = a2[x2 − 2xc+ c2 + y2]

⇒ x2c2 − 2a2xc+ a4 = a2x2 − 2a2xc+ a2c2 + a2y2 ⇒ x2c2 − a2x2 − a2y2 = a2c2 − a4

Fatorando temos:

x2(c2 − a2)− a2y2 = a2(c2 − a2)

Mas na hipérbole temos a seguinte relação b2 = c2 − a2, substituindo na expressãoacima: x2b2 − a2y2 = a2b2, como ab 6= 0 podemos dividir tudo por a2b2, daí:

x2b2

a2b2− a

2y2

a2b2= a

2b2

a2b2⇒ x

2

a2− y

2

b2= 1

Essa fórmula é denominada equação canônica da hipérbole que tem focos sobre oeixo x e equidistantes da origem do sistema.

Caso os focos estejam sobre o eixo OY e equidistantes da origem pode-se demonstrarde forma análoga que a forma canônica da hipérbole é dada por

y2

a2− x

2

b2= 1

• Assíntotas da hipérbole

Observe a figura [17] abaixo. Nela destacamos o retângulo RSTU de lados medindo2a e 2b em que os pontos A1, A2, B1 e B2 são os pontos médios dos seus lados.

As retas que contém as diagonais deste retângulo são as assíntotas da hipérbole.Portanto as assíntotas de uma hipérbole são as retas que passam pelo centro da hipérbolecom inclinação ± b

a. Para determinar a inclinação basta observar que ela passa pela origem

e tem inclinação m = tg(A2ÔT ) = ba .

As assíntotas são excelentes guias para se traçar o gráfico da hipérbole: o esboçode uma hipérbole pode ser feito traçando-se o retângulo e as retas assíntotas. O ramo decada hipérbole tem vértice tangente ao lado do retângulo e a curva desta hipérbole seaproxima cada vez mais das assíntotas.


Figura 17: Assíntotas da hipérbole

3.4.1 Equação canônica da hipérbole com centro no ponto O = (x0, y0)

• Reta focal paralela ao eixo OX

Num sistema de eixo X ′O′Y ′ A equação da hipérbole é:

(x′)2a2− (y

′)2b2

= 1 (3.12)

Sabemos que da translação de eixo que: x′ = x− x0y′ = y − y0

(3.13)

Veja figura 18 Substituindo [3.12] em [3.13], temos:

(x− x0)2a2

− (y − y0)2

b2= 1

Figura 18: Hipérbole reta focal paralela ao eixo OX


• Reta focal paralela ao eixo OY

Adotando um raciocínio análogo ao caso anterior obtemos a equação:

(y − y0)2a2

− (x− x0)2

b2= 1

As assíntotas destas hipérboles passarão pelo centro O = (x0, y0) e terá equação,

(y − y0) = ±b

a(x− x0)

caso a reta focal seja paralela ao eixo OX, e equação,

(y − y0) = ±a

b(x− x0)

caso a reta focal seja paralela ao eixo OY .

45

4 Atividades propostas

A seguir apresentaremos algumas atividades voltadas à aprendizagem das cônicasonde o papel do aluno não será apenas, ou tão somente, responder exercícios algébricos, éque o professor considere associar situações geométricas com suas formas algébricas, fazercorrespondências e estabelecer conexões, como aponta os (BRASIL, 2000): O professordeve desenvolver as seguintes habilidades:

• Interpretar e fazer uso de modelos para a resolução de problemasgeométricos.• Reconhecer que uma mesma situação pode ser tratada com diferentesinstrumentais matemáticos, de acordo com suas características.• Associar situações e problemas geométricos a suas correspondentesformas algébricas e representações gráficas e vice-versa.• Construir uma visão sistemática das diferentes linguagens e campos deestudo da Matemática, estabelecendo conexões entre eles. (PCNs, 2000.P.125)

É preciso que o professor trabalhe os conceito teórico dos sobre a geometria analítica,em especial sobre Elipse, Hipérbole e parábola, de forma a levar o aluno a refletir buscandoa discussão dos conceitos envolvidos através da interação entre os alunos.

Através da geometria analítica o aluno deve ser capaz de tratar algebricamenteas propriedades e os elementos geométricos. Assim, como já dissemos, o enfoque será emrelacionar a sua representação algébrica com a geométrica buscando fazer as interpretaçõesa partir dos modelos geométricos, caracterizando as suas formas algébricas e estabelecendoconexões com situações problemas. As planilhas propostas podem ser desenvolvidaspelo leitor através do tutorial apresentado no capítulo 5 (cinco), onde apresentamostodos os passos para construção de cada uma. Caso não queira, ou ainda não tenhaa habilidade para sua construção, o leitor pode fazer download através do link

4.1 Atividade 01 - Estudo da elipse e seus elementosA proposta para esta atividade é trabalhar com a elipse e seus principais elementos

relacionando a equação geral Ax2 + Cy2 = F com a sua forma canônica, dessa forma éimportante que os alunos tenham o conhecimento prévio da forma canônica, os parâmetrosa e b e eixo focal.

OBJETIVOS

http://www.4shared.com/folder/vjlyM20o/PLANILHAS-CNICAS.htmlhttp://www.4shared.com/folder/vjlyM20o/PLANILHAS-CNICAS.html

Capítulo 4. Atividades propostas 46

• Relacionar os valores de a2 e b2 com a interseção do gráfico da elipse com os eixoscartesianos;

• Determinar a forma canônica de uma elipse a partir da equação geral;

• Associar os valores dos parâmetros a e b com a intersecção do gráfico da elipse comos eixos cartesianos;

• Relacionar os parâmetros a com o eixo maior da elipse.

DURAÇÃO

• 1h/aula

PROCEDIMENTOS

Para esta atividade o professor deve inicialmente implementar nos computadoresa planilha elipse equação geral/forma canônica, fica a opção para o professor, como jádissemos, baixar a planilha pronta da internet ou seguir os passos em anexo afim de criarsua planilha, seguindo a roteiro:

• Na planilha, já mencionada, temos a representação de uma elipse na forma de umaequação geral 4x2 + 25y2 = 100, veja figura 19. Solicite aos alunos que efetue asdivisões 100/4 e 100/25, (caso queira usar a planilha para os cálculos as células daslinhas 29, 30 e 31 das colunas J a N estão desprotegidas) e observe os resultadoscomparando com a forma canônica da elipse; Espera-se que os alunos identifiquemos valores encontrados como a metade das distâncias entre os segmentos A1A2 eB1B2. Eles (os alunos) devem observar que 4 é o coeficiente de x2, 25 é o coeficientede y2 e 100 é o termo independente, fique atento: para efetuar a divisão 100/4 naplanilha, deve-se digitar =100/4, vale o mesmo para quaisquer outras divisões quepretende-se fazer.

• Comparar os valores de a2 e b2 com as intersecções do gráfico da elipse com os eixosx e y; Neste ponto é importante o professor lembrar que esta elipse está centrada noponto (0, 0).


Figura 19: Elipse forma canônica

• Mudar a equação de 4x2 + 25y2 = 100 para 5x2 + 16y2 = 80 alterando dessa formaos valores dos coeficientes de x2 e y2; Responder as seguintes perguntas:

Qual é o valor a2 e b2 agora?

Como você faria para determinar estes valores no seu caderno?

Qual o valor das intersecções da elipse com os eixos OX e OY ?

Sem alterar os valores na planilha, diga em que pontos a elipse 16x2 + 4y2 = 64interceptará os eixo OX e OY .

• Alterar a equação geral para x2 + 5y2 = 45, respondendo:

Qual o valor de a2 e b2?

Quais os pontos de intersecção?

As situações apresentadas acima tem por objetivo levar o aluno a relacionar osvalores de a2 e b2 com a interseção do gráfico com os eixos cartesianos e que ele consigadeterminar estes valores somente com divisões simples quando a equação é da formaAx2 + Cy2 = −F . Veja a questão da Fundação Getúlio Vargas de São Paulo (FGV-SP):Dada uma elipse de equação 9x2 + 16y2 − 144 = 0, quais são as coordenadas dos seus


focos? A questão da FGV pode ser resolvida de forma relativamente rápida seguindo o quese estudou acima. O aluno que entendeu o conceito estudado poderá dividir os coeficientespor 144 determinando a equação canônica, assim encontra a2 = 16 e b2 = 9 e através dafórmula c2 = a2 − b2 obtêm-se o parâmetro c =

√7, temos então os focos: F1(−

√7, 0) e

F2(0,√

7).

Cabe aqui a seguinte observação: É possível, a partir desta planilha, trabalhareixo focal relacionando a equação geral com o eixo focal, também podemos estudar aexcentricidade da elipse – pode-se alterar também o termo independente para analisar aelipse.

4.2 Atividade 02 - Estudo da excentricidade da elipseNesta proposta de atividade vamos trabalhar com a excentricidade da elipse relaci-

onando com sua forma canônica e geral será observado também a relação de comparaçãodos parâmetros a e b com o eixo focal.

OBJETIVOS

• Relacionar os valores de a2 e b2 com o eixo focal e o eixo não focal da elipse;

• Estudar a relação entre o valor da excentricidade o "achatamento", ou não, da elipse;

• Verificar que quanto mais próximo de 1 é a excentricidade mais a elipse se aproximade uma circunferência, e quanto mais próximos de 0 mais a elipse se "achata".

DURAÇÃO

• 1h/aula

PROCEDIMENTOS

Para esta atividade o professor deve inicialmente implementar nos computadores aplanilha elipse- excentricidade, rever a definição de excentricidade é importante tambémrelembrar a equação de uma circunferência, em seguida seguir a sequência de passos abaixo:

• Na planilha temos a representação de uma elipse na forma de uma equação geral4x2 + 9y2 = 100, como pode ser visto na figura [20]. Solicite aos alunos que observema forma canônica, os valores de a e b, bem como o valor da excentricidade;

• Alterar a equação geral para 25x2 + 4y2 = 100, peça para observar as mudanças naforma canônica e o valor da excentricidade; respondendo:

Que mudança houve nos valores dos parâmetros a e b?


Que mudança observou no gráfico da elipse?

Que mudança houve no valor da excentricidade? Por quê?

• Mudar a equação para 30x2 + 10y2 = 100, observar o valor da excentricidade apósisto mudar a equação para 30x2 + 10y2 = 50 responder os seguintes questionamentos:

O gráfico mudou?

A excentricidade mudou? Por quê?

Qual será o valor da excentricidade ao mudar a equação geral para 30x2 +10y2 = 200?

• Alterar a equação para 1x2 + 100y2 = 100, mudando o valor do coeficiente de y2

para valores cada vez maiores, e responder:

O que muda no gráfico da elipse?

Para qual valor está se aproximando a excentricidade?

Figura 20: Excentricidade da elipse

A partir da atividade apresentada pretende-se que os alunos reflitam sobre a relaçãoentre o valor da excentricidade e o achatamento da elipse. É imprescindível que os alunossaibam que a excentricidade é dada por e = c

a, ou seja, o quociente entre a semi-distância

focal e o semieixo maior.


4.3 Atividade 03: Determinando elementos e forma canônicaNa atividade proposta abaixo pretende-se levar o aluno a analisar o gráfico de uma

elipse de forma a consolidar o que se aprendeu sobre a elipse e seus elementos.

OBJETIVOS

• Relacionar o gráfico da elipse com a sua forma canônica;

• Perceber que a intersecção do gráfico de uma elipse com centro em (0, 0) com oseixos cartesianos determina os seus parâmetros a e b;

• Associar os focos da elipse com o eixo focal;

• Obter a equação canônica a partir do seu gráfico.

DURAÇÃO

• 30 min

PROCEDIMENTOS

Para esta atividade o professor deve utilizar a planilha Elipse.Elementos, iniciarcom o gráfico 1 como indica a figura [21]. Proponha aos alunos seguir o roteiro:

Figura 21: Definindo gráfico

• Preencher as células B10 e B11 com os valores dos parâmetros a e b.;

• Preencher as células A17 e B17 com as coordenadas do foco F1 e D17 e E17 com asdo foco F2;


• Preencher as células A25 e C25 de forma que obtenha-se a equação canônica daelipse representada pelo gráfico.

Observe que na atividade a planilha informa ao aluno se a solução apresentada porele está correta ou não. O professor deve orientar os alunos que: se precisarem de ajudaeles podem consegui-la indicando com um "sim"a célula indicada para tal ajuda no cantoesquerdo da planilha, como pode ser visto na figura [51].

Figura 22: Elipse.Elementos

Respondida as colocações para o gráfico 1 os alunos devem alterar para gráfico 2refazendo todos os passos novamente.

4.4 Atividade 04 - Estudo da elipse com centro fora da origemNa atividade proposta agora vamos estudar a forma canônica da elipse centrada no

ponto (x0, y0). Pretende-se, através da visualização do gráfico, ilustrar a translação sofridapelo gráfico ao se alterar o cento da elipse.

OBJETIVOS

• Relacionar as coordenadas do centro (x0, y0) com a translação no gráfico de a2 e b2

da elipse;

• Perceber que mudanças nos valores dos parâmetros a e b não altera o centro daelipse;

• Obter a equação canônica a partir do centro e parâmetros a e b;


DURAÇÃO

• 1h/aula

PROCEDIMENTOS

Para esta atividade o professor deve utilizar a planilha Elipse-centro, inicialmentecom centro (0, 0), parâmetros a = 3 e b = 5, como mostra a figura [23] acima. Proponhaaos alunos seguir o seguinte roteiro:

Figura 23: Elipse centro (x0, y0) = (0, 0)

• Mudar os valores das entradas x0 e y0 (coordenadas do centro) para x0 = 2 e y0 = 3.Respondendo: que mudança ocorre no gráfico da elipse?

• Alterar os valores do centro para x0 = −3 e y0 = 2 observando as mudanças nográfico e na equação canônica e responda:

Que relação há entre os sinal das coordenadas do centro e os sinais de "+"e "−"queaparecem na forma canônica?

• Mudar os valores de A4 e B4 para 5 e 3 respectivamente, como na figura [24] abaixoe responda;

Qual o efeito das mudanças nos parâmetros a e b? E no gráfico? Há mudanças nocentro da elipse?

Os alunos podem fazer outras mudanças nestes parâmetros desde que fique nointervalo de 1 a 90 por conta da programação feita.


Figura 24: Elipse centro (−3, 2)

• Alterar os valores de A4 e B4 para 20 e 3 respectivamente, veja figura [25] Arguir osalunos: Por que o gráfico está incompleto? Você consegue explicar? O gráfico nãorepresenta a elipse da equação?

Figura 25: Elipse gráfico incompleto

É importante que os alunos façam outra mudanças nos valores do centro e dascélulas A4 e B4 que apresentam os valores de a e b. Esperamos que os estudantes percebam


que os valores x0 e y0, observados na forma paramétrica da elipse, representam o centro daelipse com os sinais trocados, além disso, o centro não se altera ao mudar os parâmetrosa e b. É oportuno, ainda, que insira valores não inteiros para as coordenadas do centro,inclusive valores irracionais a exemplo de

√5 e√

20 entre outros.

4.5 Atividade 05 - Estudo da hipérboleUma hipérbole pode ser definida como o conjunto de todos os pontos coplanares

para os quais a diferença das distâncias a dois pontos fixos (chamados de focos) é constante.Na atividade que propomos agora estudaremos as hipérboles com eixo focal paralelo aoeixo OX.

OBJETIVOS

• Associar os parâmetros a e b com a representação gráfica da hipérbole;

• Diferenciar as equações canônicas da hipérbole e da elipse;

• Estudar as variações que ocorrem no gráfico de uma hipérbole quando altera-se osparâmetros a e b;

• Relacionar a abertura dos ramos da hipérbole com a valor de excentricidade;

DURAÇÃO

• 1h/aula

PROCEDIMENTOS

Para o estudo da hipérbole apresentamos a planilha hipérbole - forma canônica,aqui, como na elipse, pretende-se que o aluno perceba a relação entre os parâmetros a eb com a sua representação gráfica, A fim de se levantar a questão: como se comporta ográfico com valores maiores ou menores de a e b? É importante lembrar que o sinal entrex2

a2e y2

a2é negativo.

Iniciando com a = 2 e b = 3 deve-se seguir o roteiro abaixo:

• Alterar o valor de a para 1, observando e anotando a modificações que ocorrem nográfico;

• Mudar o valor de a para a = 2; 3; 4; 5; 6 e observa a representação gráfica procurandoregistar que variações ocorrem no gráfico;


• Retomar o valor de a para 1 e alterar agora o valor de b fazendo b = 1; 2; 3; 4; 8,respondendo: quais alterações foram provocadas no gráfico da hipérbole com essasmudanças?;

• Após os passos anteriores, observações e anotações, os alunos devem escolheruma célula denominá-la excentricidade, e na célula ao lado ou abaixo, digitar= (RAIZ(A52 +B52))/A5;

Veja que A5 é a célula onde esta o valor de a e B5 o valor de b figura [??], casoos valores não estejam nas células mencionadas deve mudar a coordenada da célula paraa localização correta. Na prática o que esta sendo feito aqui nada mais é que c

a. Para

refletir o professor deve levar os alunos a pesquisar, caso necessário, que valor se determinacalculando

√a2 + b2. Feita todas estas reflexões alterar novamente os valores de a e b

observando as mudanças no gráfico relacionando com a excentricidade.

Figura 26: Hipérbole - excentricidade

Após realizar os passos acima os alunos devem responder as seguintes questões:

• Que mudanças ocorrem no gráfico da hipérbole ao se alterar o valor dos parâmetrosa?;

• Quando se altera o valore de b o que observa-se no gráfico?

• Por que a excentricidade nunca é inferior a 1?

• Quando a excentricidade fica próximo de 1 como fica o gráfico da hipérbole?

• Mantendo-se o valor de a fixo e aumentando o valor de b a excentricidade aumentao que ocorre com o gráfico?


4.6 Atividade 06 - Estudo da hipérbole - eixo focal paralelo ao eixo

OY

Esta atividade, ora apresentada, está focada no estudo da hipérbole onde o eixofocal é paralelo ao eixo OY . Neste caso os ramos da hipérbole são como parábolas, umaramo como parábola com concavidade para baixo e o outro ramo como parábola comconcavidade para cima.

OBJETIVOS

• Relacionar os parâmetros a e b com a forma canônica da hipérbole com eixo focalsobre o eixo OY ;

• Determinar os focos de uma hipérbole do tipo y2a2− x2

b2= 1;

• Estudar as variações que ocorrem no gráfico de uma hipérbole quando altera-se osparâmetros a e b;

• Relacionar a abertura dos ramos da hipérbole com a valor de excentricidade;

• Associar as mudanças no parâmetro b com a excentricidade da hipérbole.

DURAÇÃO

• 1h/aula

PROCEDIMENTOS

Iniciar com uma rápida introdução dos conceitos de uma hipérbole com eixo focalsobre eixo OY , após analisar as diferenças em relação à hipérbole com eixo focal sobre oeixo OX, o professor apresenta a planilha hipérbole eixo OY, inicialmente com a = 1 eb = 2. Peça para observarem as informações constantes na planilha, veja figura [27], emseguida seguir o roteiro:

• Alterar os valores de a e b para 3 e 5 respectivamente, que mudanças ocorrem nográfico da hipérbole?

• Alterar os valores de b para 2 em seguida faça mudanças no valor do parâmetro a,para 2; 4; 5; 6;

• Faça a = 4, mude o valor de b para 2; 3; 4; 5; 6; 7; 0, 5 e 0, 1, observando o gráfico e ovalor da excentricidade. Procurando responder: Quando as folhas da hipérbole tendea fechar para qual valor tende a excentricidade?


• Selecione a célula com o valor do parâmetro c e observar no campo de entrada queaparece = RAIZ(A19 + C19), relacionar esta entrada com a fórmula b2 = c2 − a2,associando o valor de c com as coordenadas dos focos da hipérbole.

Figura 27: Hipérbole eixo focal

cônicas: uma abordagem utilizando planilhas eletrônicas · resumo...

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