Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Triângulo Mineiro – IFTM

Campus Ituiutaba

Curso Técnico em Informática Integrado ao 3° ano do Ensino Médio

Disciplina: Matemática

Alexandre de Araújo Barreto Filho

Felipe Costa Almeida

Gabriel Resende Miranda

Janaína Soares Silva Torres Almeida

Matheus Machado de Araújo

Pedro Henrique Chagas Alves

Rayssa Souza Araújo

Sara Lopes da Silva

Tainara Gabriela Costa

Professor: Carlos Eduardo Petronilho Boiago

Ituiutaba (MG)

Junho – 2014

Cônicas - Hipérbole

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História

O período de cerca de 300 a 200 a.C. foi denominado “Idade Áurea” da Matemática

grega por, nessa época, terem se destacado três grandes nomes principais: Euclides,

Arquimedes e Apolônio de Perga. Embora os dois primeiros tenham sido mais

comentados, Apolônio, mais novo dentre eles, teve grande destaque, principalmente no

desenvolvimento dos conceitos referentes ao termo “secções cônicas”.

Antes do tempo de Apolônio, a elipse, a hipérbole e a parábola eram obtidas como

secções de três tipos diferentes de cone circular, conforme o ângulo no vértice fosse

agudo, reto ou obtuso. Ele, então, demonstrou que essa relação é completamente

desnecessária, e que as três espécies de cônicas podiam ser obtidas simplesmente ao

variarmos a inclinação de um plano qualquer que seccionasse determinada região

específica de um único cone circular reto (conforme expresso na figura abaixo).

Das obras de Apolônio que não se perderam, a mais importante se intitula As

Cônicas. Ela foi capaz de aperfeiçoar e surpreender todos os estudos anteriores sobre o

assunto e introduziu as denominações conhecidas hoje como elipse, parábola e

hipérbole. Mostrando como obter todas as secções cônicas de um mesmo cone e dando-

lhes nomes apropriados, Apolônio contribuiu significantemente para o desenvolvimento

da Geometria.

Diversas áreas do conhecimento, especialmente a Astronomia, encontraram, nas

cônicas, enormes aplicações. Copérnico, Kepler, Halley e Newton, por exemplo,

fizeram uso de suas configurações para explicar fenômenos físicos, tais como as

trajetórias dos planetas ou de projéteis. Ao serem inseridas na Geometria Analítica,

passando a serem definidas como locais geométricos (ou seja, conjuntos de pontos que

verificam uma certa propriedade), as secções cônicas passaram a ser representadas

através de fórmulas algébricas, ampliando ainda mais suas utilidades.

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Conceituação

Já vimos que uma hipérbole é um tipo de secção cônica definida

como a interseção entre uma superfície cônica circular regular e

um plano paralelo ao seu eixo de formação.

Matematicamente falando, também pode ser definida como

o conjunto de todos os pontos coplanares para os quais a diferença

das distâncias a dois pontos fixos (chamados de focos) é constante.

Mas, o que isso significa?

Considere, inicialmente, F1 e F2 como sendo dois pontos distintos do plano e a

distância entre eles é determinada pelo valor 2c, ou seja, d(F1, F2) = 2c.

Fixe esses dois pontos; eles serão os referenciais (denominados focos).

Agora, demarque um outro ponto P qualquer no plano, tal que a diferença absoluta

(também chamada de constante, ou 2a) entre as distâncias d’(P, F1) e d”(P, F2) seja

sempre menor que 2c e maior que 0.

Algebricamente: | d’(P, F1) - d”(P, F2) | = 2a, e 0 < 2a < 2c.

Estabelecida essa diferença, em módulo, entre as distâncias de um ponto P aos focos

F1 e F2 e tendo em mãos o valor da constante (2a), passamos a chamar de hipérbole

todo o conjunto de pontos que obedecem à essa mesma relação; ou seja, a hipérbole

consiste na união de diferentes pontos que, se submetidos ao cálculo | d’(P, F1) -

d”(P, F2) | sempre resultarão no mesmo valor.

F1 F2 2c

F1 F2 2c

P

d’(P, F1) d”(P, F2)

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Exemplo

A hipérbole acima possui os pontos F’ e F” como sendo seus focos.

Note que a distância entre os focos equivale à 6.

Levando em consideração o ponto H, podemos determinar as seguintes relações:

d(H, F’) = 6,02

d(H, F”) = 2,02

Agora, levando em consideração o ponto B:

d(B, F’) = 2,03

d(B, F”) = 6,03

Após analisarmos a figura e os cálculos, concluímos que, realmente, todos os pontos

representados (não somente H e B) pertencem à mesma hipérbole, pois, quando

submetidos à diferença, em módulo, de suas respectivas distâncias aos focos,

sempre resultarão no mesmo valor (nesse caso, 4); e que 0 < 4 < 6.

| d(H, F’) - d(H, F”) | = 2a → | 6,02 – 2,02 | = 4

| d(B, F’) - d(B, F”) | = 2a → | 2,03 – 6,03 | = 4

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Elementos

F’ e F” são os dois focos da hipérbole;

A Distância Focal (2c) refere-se à distância entre F’ e F”, ou seja, d(F’, F”) = 2c.

V’ e V” são os dois vértices da hipérbole;

O Eixo Real (2a) refere-se à distância entre V’ e V”, ou seja, d(V’, V”) = 2a;

Esse eixo é característico e específico para cada hipérbole pois é nele que a relação

fundamental de formação dessa cônica é expressa.

O ponto O é o centro da hipérbole;

Caracteriza-se por ser o ponto médio tanto da Distância Focal quanto do Eixo Real.

A excentricidade de uma hipérbole é dada através da seguinte relação:

E = 𝒄

𝒂

Note que Ehipérbole sempre será maior que 1, pois c > a; enquanto:

Eelipse sempre será menor que 1, pois c < a;

Eparábola sempre será igual a 1, pois c = a;

Ecircunferência sempre será nula, pois c = 0;

2c

c c

a a

2a

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B’ e B” são os dois “pontos-máximos” do Eixo Imaginário;

O Eixo Imaginário (2b) refere-se à distância entre B’ e B”, ou seja, d(B’, B”) = 2b;

Esse segmento será sempre perpendicular em relação à Distância Focal e ao Eixo

Real.

O ponto O também caracteriza-se por ser o ponto médio do Eixo Imaginário, logo,

podemos estabelecer as seguintes relações:

A distância de O até qualquer um dos vértices da hipérbole receberá sempre o

valor a (metade do Eixo Real);

A distância de O até qualquer um dos focos da hipérbole receberá sempre o valor

c (metade da Distância Focal);

A distância de O até qualquer um dos “pontos-máximos” do Eixo Imaginário

receberá sempre o valor b (metade desse segmento).

Observando o triângulo retângulo

formado pelos vértices B’, O e V”,

obtemos a seguinte relação fundamental

da hipérbole:

Catetos: a, b;

Hipotenusa: c

c² = a² + b²

a

c

b

b 2b

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Observe que podemos formar o quadrilátero WXYZ que possui suas dimensões

iguais ao Eixo Imaginário e ao Eixo Real (respectivamente, 2b e 2a).

As diagonais desse quadrilátero são denominadas assíntotas da hipérbole.

Uma hipérbole compreende duas curvas desconectadas, chamadas de "braços", que

separam os focos. Conforme a distância dos pontos da hipérbole aos focos

aumenta, a hipérbole começa a se aproximar de duas linhas, conhecidas como

assíntotas.

É importante ressaltar que, mesmo que os braços da hipérbole aproximem-se cada

vez mais dessas assíntotas, eles nunca poderão toca-las.

Equações Hiperbólicas

Até o momento, já desenvolvemos o conceito de hipérbole e vimos todos os

elementos que estão relacionados à ela. Agora, veremos que há diferentes maneiras de

se representar-la no plano cartesiano através de suas equações reduzidas.

2b

2a

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Uma hipérbole se classifica em 2 casos de acordo com a localização de seu centro e

em 4 casos de acordo com a posição de seu Eixo Real.

É importante ressaltar que, mesmo que a posição de uma hipérbole varie, todas as

definições de elementos trabalhadas até agora continuaram a existir.

Centro (C) localizado na Origem (0, 0):

1° Caso: Eixo Real sobre o Eixo X:

A partir da análise da figura, podemos concluir que:

O foco F1 possui coordenadas (– c, 0);

O foco F2 possui coordenadas (c, 0);

O cento C possui coordenadas (0, 0);

Quaisquer pontos P da hipérbole possuirão coordenadas (x, y);

Logo: | d(P, F1) – d(P, F2) | = 2a

Substituindo o valor das coordenadas:

Elevando ambos os lados da equação ao quadrado:

x

y

c – c

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Nesse momento, reduz-se a equação por 4, elava-se ambos os membros ao quadrado e

isola-se o X como fator comum:

Analisando a relação pitagórica entre os elementos da hipérbole, temos que:

c² = a² + b²

Substituindo o valor de c² na equação anterior:

Dividindo ambos os lados da equação por a2b2, resultando na equação fundamental da

hipérbole:

𝐱𝟐

𝐚²−

𝐲𝟐

𝐛𝟐= 𝟏

2° Caso: Eixo Real sobre o Eixo Y:

x

y

c

– c

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A partir da análise da figura, podemos concluir que:

O foco F1 possui coordenadas (0, – c);

O foco F2 possui coordenadas (0, c);

O cento C possui coordenadas (0, 0);

Quaisquer pontos P da hipérbole possuirão coordenadas (x, y);

Logo: | d(P, F1) – d(P, F2) | = 2a

Portanto:

Observa-se que essa nova equação obtida é semelhante à primeira substituição feita

no caso anterior, onde apenas os valores das coordenadas de F1 e F2 sofreram uma

inversão.

Desenvolvendo-a, seguindo os mesmos passos já trabalhados, obtemos:

𝐲𝟐

𝐚²−

𝐱𝟐

𝐛𝟐= 𝟏

Centro (C) localizado em uma Coordenada (xc, yc):

3° Caso: Eixo Real paralelo o Eixo X:

x

y

c c

xc

yc

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A partir da análise da figura, podemos concluir que:

O foco F1 possui coordenadas (xc − c, yc);

O foco F2 possui coordenadas (xc + c, yc);

O cento C possui coordenadas (xc, yc);

Quaisquer pontos P da hipérbole possuirão coordenadas (x, y);

Logo: | d(P, F1) – d(P, F2) | = 2a

Substituindo o valor das coordenadas:

| √[x – (xc − c)]² + (y − yc)² + √[x – (xc + c)]² + (y − yc)² | = 2a

Desenvolvendo ambos os temos da equação e os manipulando como já foi demonstrado,

obtemos:

(𝐱 − 𝐱𝐜)²

𝐚²−

(𝐲 − 𝐲𝐜)𝟐

𝐛𝟐= 𝟏

4° Caso: Eixo Real paralelo o Eixo Y:

A partir da análise da figura, podemos concluir que:

c

c

yc

xc

x

y

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O foco F1 possui coordenadas (xc, yc − c);

O foco F2 possui coordenadas (xc, yc + c);

O cento C possui coordenadas (xc, yc);

Quaisquer pontos P da hipérbole possuirão coordenadas (x, y);

Logo: | d(P, F1) – d(P, F2) | = 2a

Substituindo o valor das coordenadas:

| √(x – xc)2

+ [y − (yc − c)]² + √(x – xc)2

+ [y − (yc + c)]² | = 2a

Desenvolvendo ambos os temos da equação e os manipulando como já foi demonstrado,

obtemos:

(𝐲 − 𝐲𝐜)²

𝐚²−

(𝐱 − 𝐱𝐜)𝟐

𝐛𝟐= 𝟏

Exemplos

1. Determine a equação da hipérbole com focos F1(– 10, 0) e F2(10, 0) e Eixo Real

medindo 16 unidades.

De acordo com as coordenadas dos focos percebemos que eles estão sobre o eixo x, pois

as coordenadas y são iguais a zero. Também podemos afirmar que c = 10. Foi dado que

o eixo real tem 16 unidades de comprimento. Logo, temos que:

2a = 16 → a = 8

Para determinar a equação da hipérbole precisamos conhecer os valores de a e b,

portanto devemos utilizar a relação fundamental para encontrarmos o valor de b.

Segue que:

c2 = a2 + b2

102 = 82 + b2

b2 = 100 – 64

b2 = 36

b = √36

b = 6

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Conhecidos os valores de a e b podemos escrever a equação da hipérbole com focos

sobre o eixo x:

x²

8²−

y2

62= 1 →

𝐱²

𝟔𝟒−

𝐲𝟐

𝟑𝟔= 𝟏

2. Determine as coordenadas dos focos da hipérbole de equação:

𝐲²

𝟏𝟔−

𝐱𝟐

𝟗= 𝟏

Observando a equação da hipérbole podemos constatar que seus focos estão sobre o

eixo y, logo terão coordenadas do tipo F1(0, – c) e F2(0, c).

Da equação da hipérbole obtemos que:

a2 = 16 → a = 4

b2 = 9 → b = 3

Utilizando a relação fundamental, teremos:

c2 = a2 + b2

c2 = 16 + 9

c2 = 25

c = 5

Portanto, os focos da hipérbole são F1(0 , – 5) e F2(0, 5).

Equação das Assíntotas

Anteriormente, já vimos o conceito de assíntotas e a relação dessas com uma

hipérbole qualquer.

Para determinar, exatamente, a equação necessária para se obter a representação de

uma assíntota, são necessários conceitos de limite que não são vistos durante o Ensino

Médio, portanto, aqui, será demonstrada uma fórmula simplificada e aproximada a fim

de se encontra-la:

Em uma determinada hipérbole, as coordenas de seu centro C são representadas por

(xc, yc), portanto uma de suas representações algébrica poderá ser:

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(x − xc)2

a2−

(y − yc)2

b2= 1

Isolando o membro Y da equação:

−(y − yc)2

b2= 1 −

(x − xc)2

a2

Multiplicando ambos os lados pelo fator -b²:

(y − yc)2 = − b2 + b2

a2 (x − xc)2

Retirando a raiz quadrada dos dois lados da equação:

y − yc = ± √ b2

a2 (x − xc)2 − b2

Quanto mais avançamos em relação aos eixos X e Y e, também, quanto mais os

“braços” de uma hipérbole aproximam-se de suas assíntotas, mais as coordenadas irão

receber valores próximos do infinito.

Dessa forma, analisando os termos localizados dentro da raiz quadrada, podemos

dizer que o valor –b² é quase que completamente desprezível para a determinação da

equação assintótica.

Portanto:

y − yc ≈ ± √ b2

a2 (x − xc)2 − b2

y − yc ≈ ± 𝑏

𝑎 (x − xc)

Logo, obtemos a equação de duas retas, que são:

y − yc = 𝑏

𝑎 (x − xc)

y − yc = − 𝑏

𝑎 (x − xc)

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Exemplo

1. Determine a equação da hipérbole com as características a seguir. Determine,

também, a equação aproximada de suas assíntotas:

Focos: F1(5, 0) e F2(-5, 0);

Vértices: A1(3, 0) e A2(-3, 0).

A partir dos dados do problema, concluímos que a Distância Focal (2c) = 10 e que o

Eixo Real (2a) = 6, logo:

𝐜 = 𝟓

𝐚 = 𝟑

c2 = a2 + b2 → 25 = 9 + b2 → 𝐛 = 𝟒

Como as coordenadas dos focos estão sobre o Eixo X, conclui-se que a hipérbole é do

tipo:

𝐱𝟐

𝐚²−

𝐲𝟐

𝐛𝟐= 𝟏

Portanto a equação dessa hipérbole é:

x2

3²−

y2

42= 1 →

𝐱𝟐

𝟗−

𝐲𝟐

𝟏𝟔= 𝟏

Substituindo os valores de a e b, obtemos as

seguintes equações das assíntotas:

y − yc ≈ ± 𝑏

𝑎 (x − xc)

y − yc ≈ 𝑏

𝑎 (x − xc) → 𝐲 =

𝟒

𝟑 𝐱

y − yc ≈ − 𝑏

𝑎 (x − xc) → 𝐲 = −

𝟒

𝟑 𝐱

Analisando a figura que define todos os elementos representados nesse exemplo,

podemos concluir que todos os cálculos feitos se mantêm fiéis à realidade.

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Caso Especial de Hipérbole

Hipérbole Equilátera

Quando temos b = a, observamos que as assíntotas tornam-se perpendiculares e a

hipérbole passa a ser nomeada como hipérbole equilátera.

Logo, sua equação pode ser expressa da seguinte maneira:

(𝐱 − 𝐱𝐜)²

𝐚²−

(𝐲 − 𝐲𝐜)𝟐

𝐚𝟐= 𝟏 ou (𝐱 − 𝐱𝐜)𝟐 − (𝐲 − 𝐲𝐜)𝟐 = 𝐚²

Se o centro se localizar na origem (0, 0), temos:

𝐱²

𝐚²−

𝐲𝟐

𝐚𝟐= 𝟏 ou 𝐱𝟐 − 𝐲𝟐 = 𝐚²

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É importante ressaltar que, da mesma forma como as hipérboles normais possuem

variações de Eixo Real (podendo esses serem paralelos aos eixos X ou Y), caso isso

ocorra nas Hipérboles Equiláteras, as mesmas alterações nos valores de x² e de y²

poderão ser realizadas.

Exemplo

1. Determine as coordenadas dos focos e as coordenadas dos vértices da hipérbole

equilátera de equação y² - x² = 25.

Primeiramente, identificamos que essa hipérbole equilátera é do tipo:

y2 − x² = a²

Logo:

a = 5;

Seu eixo real localiza-se sobre o eixo Y, e seu centro C pertence à origem (0, 0).

Como a = b = 5, temos que c2 = a2 + b2 → c2 = 25 + 25 → 𝐜 = 𝟓√𝟐

Portanto os focos F1 e F2 possuem as seguintes coordenadas:

F1(𝟎, 𝟓√𝟐);

F2(𝟎, − 𝟓√𝟐).

Se a = b = 5, conclui-se que os valores dos vértices são:

V1(𝟎, 𝟓);

V2(𝟎, −𝟓).

Uma das hipérboles equiláteras mais famosas é a que descreve a relação entre a

pressão e o volume de um perfeito à uma temperatura constante, conhecida como Lei de

Boyle, segundo a qual o produto da pressão pelo volume é sempre constante em

condições isotérmicas, ou seja, PV = K.

Geometricamente falando, essa hipérbole possuirá seu eixo real concorrente aos

eixos X e Y, classificando-se, também, como uma forma particular de cônica.

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Aplicação Prática

Telescópios Cassegrain

Vamos imaginar um espelho refletor construído com o formato de um ramo de

hipérbole, estando a parte refletora do “lado de fora” da hipérbole, isto é, na sua parte

côncava.

Suponhamos que um raio de luz proveniente de um ponto A incida no espelho em P,

como ilustra a figura, de forma que a reta AP passe pelo foco F´. Então é possível

mostrar que o raio refletido passará pelo outro foco F.

Galileu Galilei (1564-1642) foi o primeiro cientista a construir um telescópio para

observação astronômica. Isso se deu em 1609 e resultou em notáveis descobertas:

Galileu viu montanhas e acidentes geográficos na superfície lunar, observou que Vênus

passa por fases como a Lua, notou que Saturno tem um formato alongado (devido a seus

anéis), e que Júpiter possui satélites girando a sua volta. Em pouco tempo Galileu

revolucionou a Astronomia.

Os primeiros telescópios, inclusive o de Galileu, foram construídos com lentes e

funcionavam com base na refração da luz. São os chamados telescópios refratores.

Acontece que as lentes têm vários inconvenientes, como as deformações das imagens

que elas produzem, fenômeno que pode ser facilmente observado com qualquer lente de

grau de óculos comuns; basta olhar através da lente e movê-la transversalmente para um

lado e para o outro, ou em círculos, para notar essas deformações. Além disso, a lente

também atua como um prisma, decompondo a luz branca em várias cores, produzindo

outro tipo de efeito indesejável nas observações, as chamadas aberrações cromáticas.

Esses inconvenientes dos telescópios refratores não existem nos telescópios

refletores. O telescópio refletor nada mais é do que um espelho parabólico no fundo de

um tubo, como ilustra a figura abaixo.

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Os raios provenientes de um corpo celeste distante (estrela, galáxia, planeta, etc.)

formam um feixe praticamente paralelo, que se reflete no espelho e vai formar a

imagem do objeto no foco F. O problema agora é que, para observar essa imagem, o

observador teria de estar com seu olho posicionado no foco da parábola, mas isso é

impossível na prática.

Isaac Newton (1642-1727) resolveu esse problema em seu telescópio refletor,

colocando um espelho plano entre o espelho parabólico e o foco F. Com isso, os raios

que iriam formar a imagem em F são novamente refletidos e vão formar essa imagem

num ponto fora do tubo do telescópio, onde se posiciona o observador.

Em 1672 o astrônomo francês Cassegrain propôs a utilização de um espelho

hiperbólico E, como ilustra abaixo, em lugar do espelho plano de Newton. Um dos

focos da hipérbole coincide com o foco F da parábola.

Agora os raios que iriam formar a imagem no foco F são refletidos pelo espelho E e

formarão essa imagem no outro foco da hipérbole.

Para compreender a vantagem desse espelho hiperbólico de Cassegrain sobre o

espelho plano de Newton, devemos observar que o espelho plano não pode ficar muito

próximo do foco F, sob pena de o foco ficar dentro do telescópio; em conseqüência, o

espelho plano precisa ser de razoável tamanho, o que resulta num bloqueio significativo

da luz incidente no espelho parabólico que forma a parte principal do telescópio.

O espelho de Cassegrain, pelo contrário, pode ser construído mais próximo ou mais

afastado do foco F, mantendo-se fixa a distância FF’ entre os focos da hipérbole; em

conseqüência, o tamanho desse espelho pode ser maior ou menor. A distância entre os

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focos F e F’ também pode ser alterada para mais ou para menos, sem mudar a posição

do foco F. A combinação desses fatores permite grande flexibilidade na montagem do

refletor hiperbólico E, adequando-a, assim, às exigências das observações.

Essas montagens de Cassegrain somente começaram a ser utilizadas nos telescópios

cerca de um século após terem sido propostas. Desde então passaram a ser largamente

usadas, e hoje em dia estão presentes não apenas nos telescópios óticos, mas também

nos radiotelescópios.

O famoso telescópio ótico do observatório de Monte Palomar, que fica 80 km a

nordeste de San Diego, na Califórnia, utiliza várias montagens do tipo de Cassegrain.

Outro grande e famoso telescópio com esse tipo de montagem é o Telesópio Espacial

Hubble, em órbita na Terra desde 1990.

Conclusão

A hipérbole é uma curva formada por dois ramos/braços que, quanto maiores, mais

se assemelham a duas retas.

Possui uma propriedade de reflexão bastante útil quando se estuda fenômenos óticos,

proporcionando a ela diversas aplicações práticas no ramo da Astronomia e da Física.

Os estudos acerca de suas propriedades são bastante arcaicos e proporcionaram até

mesmo a criação e desenvolvimento dos relógios mais primitivos.

Pesquisar e apresentar as características desse tipo de cônica foi algo bastante

proveitoso, nos fazendo compreender toda sua complexidade com mais eficácia (algo

que, se tivéssemos visto simplesmente dentro de sala de aula, não ocorreria).

Referências

Matemática – Contexto e Aplicações. DANTE, Luiz Roberto. Editora Ática.

Algo Sobre - Matemática

Disponível em:

http://www.algosobre.com.br/matematica/geometria-analitica-hiperbole.html

Acesso: 24 de Maio, 2014.

Brasil Escola

Disponível em:

http://www.brasilescola.com/matematica/hiperbole.htm

Acesso: 24 de Maio, 2014.

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Mundo Educação.

Disponível em:

http://www.mundoeducacao.com/matematica/equacao-hiperbole.htm

Acesso: 24 de Maio, 2014.

Trabalhos Feitos.

Disponível em:

http://www.trabalhosfeitos.com/ensaios/Hiperbole/485819.html

Acesso: 24 de Maio, 2014.

UFRGS – Disciplinas.

Disponível em:

http://www.ufrgs.br/espmat/disciplinas/geotri/modulo4/complementos/telescopios_hiper

boles1.pdf

Acesso: 7 de Maio, 2014.