Um passeio pelas Cônicas

FEUSP- SEMA

Seminários de Ensino de Matemática

Coordenação: Nílson J. Machado

Responsável:

Ruth R. Itacarambi

Um passeio pelas Cônicas

No prefácio geral da obra, Apolônio explica as razões que o levaram a escrevê-la:

"... levei a cabo a investigação deste assunto a pedido de Neucrates o geômetra, quando ele veio a Alexandria e ficou comigo, e, quando tinha

trabalhado os oito livros, dei-los de imediato, apressadamente, porque ele estava de partida; não foi possível, portanto revê-los. Escrevi tudo

conforme me ia ocorrendo, adiando a revisão até ao fim."(in, Thomas Heath, A History of Greek Mathematics, volume II, p. 129).

Roteiro do passeio pelas Cônicas

Fatos da história

O caminho de Apolônio

A importância das cônicas

Atividades exploratórias

Teoremas de Dandelin

Aspectos históricos

• As cônicas foram estudadas por Menaecmus, Euclides e Arquimedes, mas a obra de nível mais avançado sobre o assunto foi escrita por Apolônio de Perga (225 a.C.). Devido a este trabalho ele ficou conhecido como o “Geômetra Magno”.

• Linha do tempo

Menaecmus Euclides de Alexandria Apolônio de Perga

(380 aC – 320aC) (325aC – 265 aC.) (262aC – 190 aC)

Todo conhecimento é resposta a uma

pergunta (Bachelard).

• Menaecmus, como a maioria dos matemáticos gregos desta época, estava buscando resolver os três problemas clássicos:

• - Duplicação do cubo, ou o problema de construir o lado de um cubo cujo volume é o dobro do de um cubo dado.

• - Trissecção do ângulo, ou o problema de dividir um ângulo arbitrário em três partes iguais.

• - Quadratura do círculo, ou construir um quadrado com área igual à de um círculo dado.

• A importância destes problemas é que eles não podem ser construídos com régua e compasso, a não ser aproximadamente.

• Menaecmus em sua busca de resposta ao problema da duplicação do cubo apresenta duas soluções por meio de parábolas.

Hipócrates (440 a . C.)

• O primeiro progresso no problema da duplicação foi a redução feita por Hipócrates (440 a . C.) à construção de duas médias proporcionais entre dois segmentos de reta de comprimentos s e 2s e escrevendo as médias por x e y, então

s : x = x : y = y : 2s

• Dessas proporções resulta que

x2 = s y e y2 = 2 s x .

Eliminando-se y, tem-se: x3 = 2 s3, ou seja, x é a aresta do cubo cujo volume é o dobro da aresta s.

Os caminhos de Apolônio

• Apolônio de Perga nasceu na cidade de Pergaregião da Panfília (atualmente Turquia) por voltade 262 a.C. e viveu, aproximadamente, até 190a.C.

• Ainda jovem, deixou Perga em direção aAlexandria cujo Museu e sua Biblioteca eramconsiderados na época o centro do saber. Nestelocal estudou com os sucessores de Euclides eaonde, mais tarde, foi professor.

• Sabe-se também que visitou Pérgamo, onde tinhasido construída uma biblioteca semelhante à deAlexandria.

Turquia

Pérgamo foi a maior cidade no oeste da Ásia Menor nos

tempos do Novo Testamento. Está situada a 26

quilômetros do mar Egeu, naquilo que é hoje a Turquia.

Pérgamo foi uma capital independente do império. Seus

templos impressionantes, biblioteca e recursos médicos

fizeram de Pérgamo um renomado centro cultural e político.

A obra de Apolônio

• A obra prima de Apolônio: As Cônicas é composta por 8 volumes sendo que da obra original sobreviveram 7 volumes, desses 4 escritos em grego e 3 traduzidos para o árabe por Thabit Ibn Qurra (826 a 901) no séc. IX..

• Os três primeiros volumes são baseados em trabalhos de Euclides e o oitavo volume foi perdido.

• Em 1.710, Edmund Halley traduziu os volumes existentes de As cônicas para o latim e todas as demais traduções para as línguas modernas foram feitas a partir da tradução de Halley

• Linha do tempo

Papus Thabit Ibn Qurra Edmund Halley

(290 - 350) (826 - 901) (1656 -1742)

As contribuições de Apolônio

1- Antes de Apolônio, a elipse, a parábola e a hipérbole eram

obtidas como seções de três tipos diferentes de cone circular

reto, de acordo com o ângulo do vértice: agudo, reto ou

obtuso. Apolônio mostrou que não seria necessário tomar

seções perpendiculares a um elemento do cone e que de

apenas um único cone poderiam ser obtidas todas as três

espécies de seções, variando-se a inclinação do plano da

seção, relacionando assim as curvas umas com as outras.

2- Prova que o cone não precisa ser reto - eixo perpendicular

à base circular - podendo ser também oblíquo.

3- Demonstra que as propriedades das curvas independem de

serem cortadas em cones oblíquos ou retos

4- Introduz os nomes elipse,parábola e hipérbole, tomados da

terminologia pitagórica referente à áreas.

Pappus de Alexandria foi o responsável pela maior parte dessas informações.

• A visão atual na qual os sólidos são colocados um sobre o outro emsentidos opostos, estendendo-se indefinidamente, de forma queseus vértices coincidam e os eixos estejam sobre a mesma reta,também foi apresentada por Apolônio, que deu a definição paracone circular utilizada nos dias de hoje:

•

• Se fizermos uma reta, de comprimento indefinido e passando sempre por um ponto fixo, mover-se ao longo da circunferência de um círculo que não está num mesmo plano com o ponto de modo a passar sucessivamente por cada um dos pontos dessa circunferência, a reta móvel descreverá a superfície de um cone duplo.

CÔNICAS LUGAR GEOMÉTRICO

1- Círculo

2- Elipse

3- Parábola

4- Hipérbole

Lugar Geométrico

• Uma figura F é denominada lugar geométrico dos pontos que possuem uma propriedade p, quando e somente quando todos os pontos de F possuem a propriedade p e somente os pontos de Fpossuem essa propriedade.

• Conjunto de pontos

• Uma propriedade

• A figura resultante com a propriedade

Lugar geométrico

Círculo: é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo O é menor ou igual que uma distância r dada.

Parábola: é o lugar geométrico dos pontos do plano que eqüidistam de uma reta dada e de um ponto dado não pertencente a reta.

Elipse: é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja soma das distâncias entre dois pontos fixos é constante.

Hipérbole: é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja diferença das distâncias entre dois pontos fixos é constante.

Cônicas

LG

Parábola

LG

Elipse

LG

Hipérbole

LG

Estudo da parábola

O vértice A é obtido com a dobra que faz F sobre o ponto Q do

eixo. Observamos que t é tangente à curva em X. Como X está

na mediatriz FP, X é eqüidistante de P e F

Estudo da Elipse

Para mostrar que a curva é uma elipse traçamos XF. Como X

está na mediatriz de PF segue XO + XP = XO + XF = OP

raio do circulo constante

Logo a curva é uma elipse de focos O e F

Estudo da Hipérbole

XF – XO = XP – XO = OP = raio do círculo constante

Logo a curva é uma hipérbole de focos O e F

TRISSECÇÃO DE UM ÂNGULO QUALQUER, COM UMA HIPÉRBOLE

• No século IV DC, Papus de Alexandria, no Livro IV da sua obra "Coleção Matemática" , faz um apanhado das várias soluções, até então conhecidas, para a trissecção de um ângulo e acrescenta mais três, sendo todas aplicações da hipérbole (cônica), por isso não euclidianas.

• A seguinte proposta de trissecção de um ângulo é a de Papus com aplicação da propriedade foco - diretriz da hipérbole.Todas as cônicas (elipse, parábola e hipérbole) podem ter uma definição comum, baseada na razão constante entre duas distâncias.Assim, podemos definir cônica do seguinte modo:

"É o lugar geométrico dos pontos do plano cujas distâncias a um ponto fixo (Foco) e a uma reta fixa (Diretriz) têm razão constante e que se chama excentricidade"

A noção de excentricidade (e) normalmente apresentada é: ξ =

• Na parábola o seu valor é 1, na elipse é um valor do intervalo ]0; 1[ e na hipérbole é um valor superior a 1.De acordo com a definição da propriedade foco-diretriz, a excentricidade é vista como: e=d(PF)/d(Pd) (em que P é um ponto qualquer da cônica, F é um foco e d é a diretriz.

• A figura exemplifica a definição de hipérbole pela sua propriedade foco-diretriz.

• A parábola só tem uma diretriz.

• A elipse e a hipérbole têm duas diretrizes.As diretrizes são retas perpendiculares ao eixo em que se situam o(s) foco(s) da cônica. Na hipérbole, se os focos estiverem situados no eixo das abcissas e a igual distância da origem do sistema de eixos, as diretrizes são retas definidas por equações do tipo:

• x=(+;-)k,

sendo k=a/e, ou k=a^2/c

Figura 8

SOLUÇÃO DE PAPUS

• Para a sua solução, Papus definiu (figura 9):

- um ângulo ABC a trissectar;

- uma circunferência de centro B intersectando os lados do ângulo

ABC nos pontos A e C;

- uma reta d mediatriz do segmento [AC];

- um ramo de uma hipérbole de excentricidade 2, com um foco no

ponto C e uma diretriz na reta d;

Nas condições da figura 9, o ramo da hipérbole intersecta a

circunferência no ponto P.

A amplitude do ângulo PBC é a terça parte da amplitude do ângulo ABC.

Figura 9

Teorema de Dandelin . A secção de um cone circular

reto por um plano que não passe pelo vértice, é uma

elipse, uma hipérbole ou uma parábola. • Supor:

• Plano secante que encontra as geratrizes do cone na mesma folha.

• Plano meridiano perpendicular ao plano secante em AMA`

• Intersecções as geratrizes VA, VA e a reta AA`

• Duas esferas de centro O e O tangentes ao plano secante nos pontos F e F resultando os planos BGC e B`G`C`

• Considerar:

• Um ponto M e tomar MF, MF e a geratriz VM que intercepta BGC e B G C em G e G .

• As retas MF e MG são tangentes à esfera de centro O, então

MF = MG

• As retas MF e MG idem na esfera de centro O , então

MF = MG

• MF + MF = MG + MG`= GG = BB é constante

• Logo o lugar geométrico dos pontos M é uma elipse de focos F e F

Algumas considerações Germinal Pierre Dandelin (Bélgica, 1847) foi matemático,

soldado e professor de engenharia.

• A distância do ponto M ao ponto F e a distância do ponto M à reta DE (diretriz ) é sempre constante.

• Se d (M,F) / d(M, d) for menor que 1 temos a elipse.

• Se d (M,F) / d(M, d) for igual a 1 temos a parábola.

• Se d (M,F) / d(M, d) se for maior que 1 temos a hipérbole .

• Utilizando-se as semelhanças de triângulos segue

• d (M,F) = c

d(M, d) = a ξ = excentricidade

Algumas referências bibliográficas

• ANDRADE, L. N A construção de cônicas e o teorema de Pascal. RPM 45

• BACHELARD G. A formação do espirito científico . Rio de Janeiro, 1996.

• MACHADO N. Geometria Analítica, Ed. Scipione, São Paulo, 1988

• MARKUCHEVITCH A . I. Curvas Notáveis, Ed. MIR, 1997

• PUTNOKI J. C. Desenho Geométrico V. 2 Ed. Scipione, São Paulo, 1989

• Shulte, A. e Lindquist, M. Aprendendo e Ensinando Geometria . Atual editora, 1994

• Duplicação do cubo consultar os artigos da RPM: 66 e 70

• Sites consultados

• www.prof.2000.pt/users• www.sato.prof.ufu.br/conicas/index.htm• www.oeducador.net/index.php• www.britannica.com/Ebchecked/topic/30058/Apollonius-of-Perga• http://www.matematica.br/historia/duplica-cubo.html

http://cmup.fc.up.pt/cmup/geomconstr/node3.html