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PRÉ-VESTIBULARLIVRO DO PROFESSOR

MATEMÁTICA

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© 2006-2009 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais.

Produção Projeto e Desenvolvimento Pedagógico

Disciplinas Autores

Língua Portuguesa Francis Madeira da S. Sales Márcio F. Santiago Calixto Rita de Fátima BezerraLiteratura Fábio D’Ávila Danton Pedro dos SantosMatemática Feres Fares Haroldo Costa Silva Filho Jayme Andrade Neto Renato Caldas Madeira Rodrigo Piracicaba CostaFísica Cleber Ribeiro Marco Antonio Noronha Vitor M. SaquetteQuímica Edson Costa P. da Cruz Fernanda BarbosaBiologia Fernando Pimentel Hélio Apostolo Rogério FernandesHistória Jefferson dos Santos da Silva Marcelo Piccinini Rafael F. de Menezes Rogério de Sousa Gonçalves Vanessa SilvaGeografia DuarteA.R.Vieira Enilson F. Venâncio Felipe Silveira de Souza Fernando Mousquer

I229 IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. — Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]

660 p.

ISBN: 978-85-387-0571-0

1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.

CDD 370.71


1EM

_V_M

AT

_021

Geometria Analítica no

Plano: Elipse, Hipérbole e

Parábola

ElipseDados dois pontos fixos F1 e F2 de um plano,

tais que, F2F1 = 2c 0, chamamos elipse o lugar geométrico dos pontos desse plano, cuja soma das suas distâncias aos dois pontos F2 e F1 é a constante 2a > 2c.

Elementos da elipse

P

A1

F1

B2

B1

NM

(d2) (d1)

I. Pontos principais:

A2, A1, B2 e B1 – vértices

F2 e F1 – focos

C – centro

II. Segmento:

A2A1 – eixo maior – m(A2A1) = 2a

B2B1 – eixo menor – m(B2B1) = 2b

F2F1 – distância focal – m(F2F1) = 2c

Os vetores de origem num dos focos e extre-midade em qualquer ponto da elipse são chamados raios vetores: F2P,F1P etc.

Da definição, decorre:

F2M + F1M = F2N + F1N = F2A + F1A = F2P

+ F1P = ... =

= F2A1 + F1A1 = F2A1 + F2A2 = 2a m(A2A1)

= 2a

III. Relações:

e= ca

<1 Excentricidade

a2=b2+c2

Relação notável tirada do triângulo retângulo B1CF1

p=b2

a Parâmetro.


2 EM

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AT

_021

“Parâmetro de uma cônica é a semicorda focal mínima.”

p= b2

a

IV. Retas

Diretrizes da elipse são duas retas, (d1) e (d2),

perpendiculares ao suporte do eixo maior, distando ae

do centro da curva.

EquaçõesEquação espontânea ou natural

Da definição tiramos:

F2P + F1P = 2a

I. Equação reduzida: Como u=dF2P e v=dF1P , a dedução é imediata:

(x+c)2+y2+ (x – c)2+y2=2a

x2+2cx+c2+y2 = 2a – x2–2cx+c2+y2

x2+2cx+c2+y2=4a2– 4a x2–2cx+c2+y2

+x2–2cx+c2+y2

a x2–2cx+c2+y2 = a2– cx

a2x2– 2a2cx+a2c2+a2y2=a4–2a2cx+c2x2

a2x2 – c2x2+a2y2=a4– a2c

(a2– c2)x2+a2y2=a2(a2– c2)

b2x2+a2y2=a2b2

Dividindo ambos os membros por a2b2

x2

+a2y2

b2

= 1

As diretrizes terão, nesse caso, as equações:

x=± ea

II. Se C = 0, porém, A2A1 y’y, a equação difere da inicial na colocação do a2 e do b2. Então, decorre:

x2+

b2y2

a2 =1

III. Quando a elipse tem seu centro no ponto C(m, n) e A2A1 paralela ao eixo x.

(x–m)2

a2=1

(y–n)2+

b2

e se C(m, n) e A2A1 paralelo ao eixo y:

(x–m)2

b2 =1(y–n)2+

a2

IV. Equação geral: A equação geral é obtida pelo desenvolvimento das formas reduzidas.

Consideremos a elipse:

(x–m)2

E1

=1(y–n)2+

E2

com E1 E2 e ambos positivos.

Desenvolvendo e ordenando:

E2x2 + E1y

2 – 2E2mx – 2E1ny + E2m2 + E1n

2 – E1E2 = 0

HipérboleUma das propriedades das hipérboles acontece

em óptica geométrica. Um raio de luz que se aproxima de uma hipérbole, em direção a um foco, se reflete para fora da mesma em direção ao outro foco.

Dados 2 pontos fixos F1 e F2 de um plano, tais que, F2 F1 = 2c ≠ 0, chamado hipérbole o lugar ge-ométrico dos pontos desse plano, cujo módulo da diferença de suas distâncias aos dois pontos F2 e F1 é a constante 2a < 2c.

Elementos da hipérbole


3EM

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AT

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Pontos principais:I.

A1 e A2 – vértices

F2 e F1 – focos

C – centro

Segmentos:II.

A2A1 – eixo real ou transverso – m(A2A1) = 2a

B2B1 – eixo imaginário ou não–transverso – m(B2B1) = 2b

F2F1 – distância focal – m(F2F1) = 2c

Os vetores de origem num dos focos e extremi-dade em qualquer ponto da hipérbole são chamados raios vetores: F2P, F1P etc.

Da definição de hipérbole, concluímos que:

| F2Q – F1Q | = | F2P – F1P|= ... = | F2A2 – F2A1 | = |F2A1 – F1A1 | = 2a → m(A2A1) = 2a

Relações:III.

e = ca > 1 (Excentricidade)

c2 = a2 + b2 (Relação notável tirada do triân-gulo retângulo CA1M)

p = b2

a (Parâmetro)

RIV. etas:

Diretrizes são duas retas, (d1) e (d2), perpen-diculares ao suporte do eixo real, distando a

e

do centro da hipérbole.

Assíntotas são duas retas, (a1) e (a2), que pas-sam pelo centro da hipérbole e posições–limite das tangentes a ela, quando os pontos de contato se afastam indefinidamente.

EquaçõesSeja a hipérbole de eixos real A2A1 e imaginário

B2B1, referida num sistema x O y, de tal modo que seu centro C = 0 e A2A1 está contido em x’x. Considere-mos P(x, y) o ponto genérico da curva.

j

Equação espontânea ou naturalDecorre da definição que:

|F2P|– F1P| = 2a ou u – v = 2aequação espontânea.

Equação reduzida:I.

(x+c)2 +y2 – (x – c)2 +y2 = 2a

(x+c)2 +y2 = 2a + (x – c)2 +y2

x2 + 2cx + c2 + y2 =

= 4a2 4a x2 – 2cx + c2 + y2

+x2– 2cx + c2 + y2 4cx – 4a2 = 4a x2 – 2cx + c2 + y2

cx – a2 = x2 – 2cx + c2 + y2

c2x2 – 2a2cx + a4 = a2x2 – 2a2 cx + a2c2 + a2y2

c2x2 – a2x2 – a2x2 – a2y2 = a2c2 – a4

(c2 – a2) x2 – a2y2 = a2 (c2 – a2)

b2x2 – a2y2 = a2y2

Dividindo ambos os membros por a2b2, temos:

x2

a2 – y2

b2 = 1

Para y = 0, temos: x = a, abscissas dos vérti-ces A1 e A2.

Para x = 0, temos: y = bi, o que significa que a curva não é interceptada pelo eixo dos y.

As equações das diretrizes (d1) e (d2) são


4 EM

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x = a

e, pois são retas paralelas ao eixo y’y.

As equações das assíntotas, retas que passam pelo centro e, neste caso C = 0, serão do tipo y = tg

. x y = b

a x

Se C = 0 e AII. 2A1 contido em y’y, como na elipse, a equação da hipérbole assumirá a forma:

x2

–b2 +

y2

a2 = 1

As diretrizes são, agora, paralelas ao eixo x’ x e suas equações:

y = a

e

e as assíntotas: y = a

b x

Quando a hipérbole tem seu centro no ponto III. C (m, n) e A2A1 // x’x

Aplicando a translação de eixos x’ = x – m e y’ = y – n logo,

(x–m)2

a2 – (y–n)2

b2 = 1

As equações das diretrizes são

x = m ae

a das assíntonas

y = n ba

(x – m)

e C 0, com A2A1//y’ y

(x–m)2

–b2 + (y–n)2

a2 = 1

As equações das diretrizes assumem a for-ma y = n a

e e as das assíntonas y = n a

b

(x – m)

Equação geral: A equação geral é obtida pelo IV. desenvolvimento das formas reduzidas.

Consideramos a hipérbole

(x–m)2

E1

+ (y–n)2

E2

= 1

tendo E1 e E2 sinais contrários.

Se E1 > 0 e E2 < 0, sabemos que E1 = a2 e E2 = –b2 então, o eixo real é horizontal.

Se E1 < 0 e E2 > 0, E2 = a2 então, o eixo real é vertical.

ParábolaA interseção de um plano com um cone dá ori-

gem às cônicas. Neste módulo veremos uma dessas cônicas, a parábola.

Elementos da parábolaParábola é o lugar geométrico dos pontos de um

plano, situados a igual distância de uma reta fixa (d) e de um ponto fixo F não pertencente a (d), do plano considerado.

Pontos principais:I.

F – foco

V – vértice

Segmentos:II.

V’F = p – parâmetro (semicorda focal míni-ma)

FP – raio vetor

Relação:III.

Relação notável VF = p

2Reta e eixo:IV.

A reta fixa (d) é a diretriz e e, eixo que passa pelo foco é perpendicular à diretriz, eixo de simetria da parábola.

Da definição da parábola, concluímos que:FT = UT, FP = MP, FR = SR = p, FQ = NQ etc.


5EM

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EquaçõesSeja a parábola de foco F e diretriz (d), referida

num sistema x O y, de tal modo que V = 0, o eixo de simetria coincida com o eixo x. Seja P(x, y) o ponto genérico.

Equação espontânea ou natural: no sistema foco–diretriz a equação espontânea da parábola é

FP = MP ou u = v (1)

j

Equação reduzida: o ponto F tem coordena-I.

das p , 02

calculemos u e v

u = dFP = e+ y2 x– p2

2

2v = p + x

Igualando, conforme (1), vem:

+ y2 x– p2

2

2 = p + x

x2 – px + p2 + y2 = p

2 + px + x2

4 4

y2 = 2px

Equação da diretriz x=– p2

Se V = 0 e o eixo de simetria coincidir com o II. eixo dos y as coordenadas do foco passam a

ser 0 , p

2, então a equação da parábola toma

a forma

x2 = 2py

e a da diretriz

y=– p2

Quando a parábola tem V(m, n), portanto, III. V ≠ 0 e o eixo de simetria paralelo ao eixo 0x, vem

(y’)2 = 2px

e aplicando a translação de eixos de I re-sulta

(y – n)2 = 2p(x – m) ou (y – n)2 = –2p(x – m)

(x – m)2 = 2p(y – n) ou (x – m)2 = –2p(y – n)

e as equações das diretrizes, respectiva-mente,

y = n ± p

2 .

Equação geral: a equação geral é obtida, IV. como vimos, desenvolvendo as reduzidas. Assim: (y – n)2 = 2p(x – m), parábola com eixo horizontal,

y2 – 2ny + n2 = 2px – 2mp ⇒

⇒ x = 1 y2 – n y + n2 + 2mp 2p p 2p (1)

Se 1 > 02p

, concavidade à direita e 1 < 02p

,

concavidade à esquerda.

De (x – m)2 = 2p(y – n), parábola com eixo vertical,

x2 – 2mx + m2 = 2py – 2np ⇒

⇒ y = 1 x2 – m x + m2 + 2np

2p p 2p (2)

Se 1 > 02p

, concavidade para cima e 1 < 02p ,

concavidade para baixo.

Uma equação do 2.º grau com duas variáveis representa uma parábola com eixo horizontal ou vertical se, e somente se, for redutível às formas:

x = ay2 + by + c, com a ≠ 0 (3)

ou

y = ax2 + bx + c, com a ≠ 0 (4)

Comparando (1) e (3):

a = 1 2p

⇒ p = 1 2a

b= – np ⇒ n = – bp ⇒ n= – b

2a

c = n2 +2mp ⇒ 2cp = n2 = 2mp ⇒ 2p


6 EM

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⇒ c = b2 + m ⇒ m = 4ac – b2 ou m = b2 – 4ac a 4a2 a 4a 4a

então, o vértice é e V –Δ , – b

4a 2a o parâmetro

p = 1 2a .

De modo análogo, comparando (2) e (4),

concluímos que o vértice é V –b , –

2a 4a e o

parâmetro p = 1 2a

.

Escreva a equação da elipse de C = 0, A1. 2A1 sobre y’y, eixo maior 10 e distância focal 8.

Solução: `A equação procurada é do tipo

+x 2 =1a2y 2

b2

e

2a = 10 a = 5

2x = 8 c = 4

Da relação notável a2 = b2 + c2 b = 25–16=3 logo, a equação procurada é:

+x2 =1

9y2

25

Escreva a equação da elipse de eixos 20 e 16, tendo 2. C =(0, 0) e eixo maior pertencente ao eixo x.

Solução: `2a = 20 a = 10

2b = 16 b = 8

e a elipse tem por equação

+x 2 =1a2y 2

b2 , logo +x 2 =1100y 264

Determine a equação da elipse de centro (–2, 1), ex-3. centricidade 3

5 e eixo maior horizontal de comprimento

20.

Solução: `Elipse C(–2, 1)

C = 35

(x–xC )2

=1a2

(y–yC )2

b2+=

Eixo maior horizontal de comprimento 20 2a = 20, a = 10, pois a é o comprimento do semieixo maior.

c2 = a2 – b2 = 100 – b2

35

35

35

ca = c = . a = . 10 = 6

Então, c2 = 36 =100 – b2 b2 = 64

Assim, : (x+2)2

=1100(y–1 )2

64+

A segunda Lei de Kepler mostra que os planetas 4. movem-se mais rapidamente quando próximos ao Sol do que quando afastados dele. Lembrando que os planetas descrevem órbitas elípticas nas quais o Sol é um dos focos, podemos afirmar que, dos pontos assinalados na figura, aquele no qual a velocidade da Terra é maior, é o ponto:

A a)

Bb)

C c)

Dd)

Ee)

Solução: ` E

Velocidade maior está mais próximo do Sol.

dSol , A = a + c

dSol , B = a

dSol , C = a – c2

a

dSol , D dSol, C

dSol , E = a – c

x2 + 4c2 = 4a2 – 4ax + x2

c2 = a2 – ax

ax = a2 – c2

x = a – c2

aLogo, a menor distância é (E).


7EM

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Determine as coordenadas do centro e dos vértices 5. da hipérbole x2 – 4y2 + 6x – 8y + 21 = 0, verificando a direção do eixo real e determinando as equações das diretrizes e assíntotas.

Solução: `

x2 + 6x + 9 – 4y2 + 8y – 4 + 4 + 21 = 0

(x2 + 6x + 9) – (4y2 – 8y + 4) = –16

(x + 3)2 – (2y – 2)2 = –16

(x–3)2

–16 – [2(y –1)]2

–16 = 1

(x+3)2

–16 + 4(y –1)2

16 = 1

(x+3)2

–16 + 4(y –1)2

16 = 1

(x+3)2

–16 + (y –1)2

4= 1 b2 = 16 e a2 = 4

b = 4 e a = 2

C (–3, 1); A1 (–3, 3) e A2 (–3, –1)

O eixo real é vertical.

As diretrizes (d) y = n ae

c2 = a2 + b2 c2 = 16 + 4 = 2 5 c = 2 52= 5

logo, y = 1 25

As assíntotas (a) y = n ab

(x – m)

y = 1 24

. (x+3) x y = 1 (x+3)2

O gráfico da equação x² – y² = 4 representa uma hipér-6. bole. Os focos dessa hipérbole são:

(1/2, 0) e (–1/2, 0)a)

(2, 0) e (–2, 0)b)

(2c) 2 , 0) e (–2 2 , 0)

(0, d) 2 ) e (0,– 2 )

(0, 1/2) e (0, –1/2)e)

Solução: ` C

x2 – y2 = 4

C = (0, 0)

a2 = b2 = 4 a = b = 2

c2 = a2 + b2 = 8 c = 2 2

Como o sinal positivo está no x2, a hipérbole tem seu eixo real sobre o eixo x, ou seja, os focos serão:

(–2 2 , 0) e (2 2 , 0)

Determine as coordenadas dos focos e dos vérti-7. ces, as equações das diretrizes, as equações das assíntotas e as equações paramétricas da hipérbole 9x2 – 16y2 – 144 = 0.

Solução: `

Escrevamos a equação dada na forma reduzida

x 2

16 – y 2

9 = 1 (eixo real horizontal)

Então, a2 = 16 ⇒ a = 4 e b2 = 9 ⇒ b = 3

Da relação notável, c2 = a2 + b2, resulta c = 16 + 9 = 5

Os focos são: F( 5;0)

As equações das diretrizes: x =

454

x = 165

As equações das assíntotas: y = ba

x y = 34

x

As equações paramétricas: x = 4 sec

y = 3 tg

A 8. 32

, 152

é um ponto da hipérbole x2-y2/3 = 1,

cujos focos são F1 e F2 , então o triângulo AF1F2 é :

retângulo e isósceles.a)

obtusângulo e escaleno.b)

acutângulo e isósceles.c)

acutângulo e escaleno.d)

Solução: ` C

A 32

, 152

x 2–y2

3 = 1; c2 = a2 + b2 = 1 + 3 = 4

c = 2

F1 = (–2, 0) F2 = (2, 0)

AF1 = –2 – 32

2

+ 154

= 4

AF2 = 2 – 32

2

+ 154

= 2

F1F2= (2 +2) 2 = 4

F1

F2

4 4

2A


8 EM

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AT

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Logo, o triângulo já é isósceles. Vejamos se é retângulo:

42 = 42 + 22 (F)

22 = 42 + 42 (F)

Logo, o triângulo AF1F2 é isósceles e acutângulo.

Determine o vértice, o parâmetro, o foco e a equação 9. da diretriz da parábola y = x2 – 6x + 8.

Solução: `

O eixo é vertical e como

Δ = 36 – 32 = 4 ⇒ V(3, –1) e p = 1 2

A equação da diretriz é y = –1– 1 = – 5 4 4

e F 3, - 3 4

.

Determine a equação da parábola de foco F(3, 3) e diretriz 10. y = 1.

Solução: `

F (3, 3)

diretriz: y = 1

Sabemos que a equação da reta diretriz é yd = yf – p

⇒ p = 2 e que corresponde a uma parábola com a conca-

vidade na direção vertical. A equação da parábola é:

2|p|(y – yV) = (x – xV)2 yV = 1 +

| p | = 2 2

Logo, ficamos com: 4(y – 2) = (x – 3)2

O foco de uma parábola é o ponto F(4, 3) e sua diretriz 11. é a reta x = 2. Determine sua equação reduzida.

Solução: `

F(4, 3) diretriz ⇒ x = 2

O eixo é horizontal, p = 2 p = 1 . 2

2p (x – xV) = (y – yV)2 xv = 2 + p = 3

2

Então, 4(x – 3) = (y – 3)2

A figura a seguir representa uma nave espacial que 12. se desloca numa região do espaço onde as forças gravitacionais são desprezíveis. A nave desloca-se de X para Y, em linha reta, com velocidade constante. No ponto Y, um motor lateral da nave é acionado, exercendo sobre ela uma força constante, perpen-dicular à sua trajetória inicial. Depois de um certo intervalo de tempo, quando a nave se encontra em Z, o motor é desligado.

O diagrama que melhor representa a trajetória da nave entre os pontos Y e Z é:

a)

b)

c)


9EM

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AT

_021

d)

e)

y 0

y

x

Z

B.

No caminho de Y para Z, temos, no eixo x, um movimento uniforme, com velocidade constante. No eixo y, temos uma força constante, logo, uma aceleração constante, para baixo. Logo, a trajetória é uma curva.

Como a aceleração é negativa, a concavidade é para baixo (⇓) (B). Em “contas”:

Δ Sy = vot o + at 2 = -

|a| t 2

2 2

(parábolas com concavidade para baixo)

ΔS x= vt ⇒ t = Δ Sx ⇒ ΔSy = | a | Δ Sx 2

v 2v 2

constante > 0

Sabe–se que uma elipse de equação (x²/a²) + (y²/b²) = 1 1. tangencia internamente a circunferência de equação x² + y² = 5 e que a reta de equação 3 x+ 2y = 6 é tan-gente à elipse no ponto P. Determine as coordenadas de P.

Sejam F2. 1 e F2 os pontos do plano cartesiano de co-ordenadas F1= (– 3, 0) e F2= ( 3, 0). Determine as coordenadas dos pontos da reta r de equação x–y = 1, cujas somas das distâncias F1 e F2 sejam iguais a 4 (isto é: determine as coordenadas dos pontos P sobre a reta r que satisfazem PF1+ PF2= 4).

Considere a elipse de equação (x²/25)+(y²/9)=1.3.

Mostre que o ponto P = (3,12/5) pertence à elipse a) e calcule a distância de P ao eixo das abscissas.

Determine os vértices Q e R da elipse que perten-b) cem ao eixo das abscissas e calcule a área do triân-gulo PQR, onde P = (3,12/5).

Uma elipse que passa pelo ponto (0,3) tem seus focos 4. nos pontos (–4,0) e (4,0). O ponto (0,–3) é interior, exterior ou pertence à elipse? Mesma pergunta para o ponto (5/2, 13/5). Justifique sua resposta.

Se z = x + iy é um número complexo, o número real x 5. é chamado “parte real de z” e é indicado por Re(z), ou seja, Re(x + iy) = x.

Mostre que o conjunto dos pontos (x, y) que satis-a) fazem à equação Re [(z + 2i)/(z – 2)] = 1/2, ao qual se acrescenta o ponto (2, 0), é uma circunferência.

Ache a equação da reta que passa pelo ponto b) (–2, 0) e é tangente àquela circunferência.

A equação 9x² + 4y² – 18x – 27 = 0 representa, no plano 6. cartesiano, uma curva fechada. A área do retângulo cir-cunscrito a essa curva, em unidades apropriadas, vale:

36a)

24b)

18c)

16d)

12e)

O cometa Halley tem uma órbita elíptica com eixo maior e 7. eixo menor iguais a 540 x 107 km e 140 x 107 km, respec-tivamente. Sabendo que o Sol está em um dos focos da elipse, calcule o valor d/107, em que d é a menor distância entre o Sol e o cometa, medida em quilômetros. Descon-sidere a parte fracionária de seu resultado, caso exista.

O gráfico da equação x² – y² = 4 representa uma hipér-8. bole. Os focos dessa hipérbole são:

(1/2, 0) e (–1/2, 0).a)

(2, 0) e (–2, 0).b)

(2c) 2, 0) e (–2 2, 0).

(0, d) 2) e (0, – 2).

(0, 1/2) e (0, –1/2).e)

(UFF)9. As equações y–2x=0, y+x2 = 0 e y2–x2+1=0 representam no plano, respectivamente:

uma reta, uma hipérbole e uma parábola.a)

uma parábola, uma hipérbole e uma reta.b)

uma reta, uma parábola e uma elipse.c)


10 EM

_V_M

AT

_021

uma elipse, uma parábola e uma hipérbole.d)

uma reta, uma parábola e uma hipérbole.e)

Assinale 10. V se ela for verdadeira e F se a sentença for falsa. Caso assinale F, justifique a resposta.

xa) 2/9 + y2/4 = 1, no plano cartesiano, é a equação de uma elipse com excentricidade igual a 0,6.

No plano cartesiano, a equação xb) 2 – y2 = 0 repre-senta uma hipérbole equilátera.

No plano cartesiano, a equação xc) 2+ y2 – 2x – 4y + 6 = 0 representa uma circunferência.

No plano cartesiano, a equação |2x – y| = 3 repre-d) senta um par de retas paralelas.

(Un i r io)11. As equações x 2–9y 2–6x–18y–9=0, x2+y2–2x+4y+1=0 e x2–4x–4y+8=0 representam, res-pectivamente, uma:

hipérbole, uma elipse e uma parábola.a)

hipérbole, uma circunferência e uma reta.b)

hipérbole, uma circunferência e uma parábola.c)

elipse, uma circunferência e uma parábola.d)

elipse, uma circunferência e uma reta.e)

O produto de duas variáveis reais, x e y, é uma constante. 12. Portanto, dentre os gráficos abaixo, o único que pode representar essa relação é:

a)

b)

c)

d)

e)

a) y

0 x

y

0 x

y

0 x

y

0 x

y

0 x

d) e)

b) c)

a) y

0 x

y

0 x

y

0 x

y

0 x

y

0 x

d) e)

b) c)

a) y

0 x

y

0 x

y

0 x

y

0 x

y

0 x

d) e)

b) c)a) y

0 x

y

0 x

y

0 x

y

0 x

y

0 x

d) e)

b) c)

a) y

0 x

y

0 x

y

0 x

y

0 x

y

0 x

d) e)

b) c)

(ITA)Considere a família de circunferências com centros 13. no segundo quadrante e tangentes ao eixo 0y. Cada uma destas circunferências corta o eixo 0x em dois pontos, distantes entre si de 4cm. Então, o lugar geométrico dos centros destas circunferências é parte:

de uma elipse.a)

de uma parábola.b)

de uma hipérbole.c)

de duas retas concorrentes.d)

da reta y = – x.e)

Determine as coordenadas do centro e dos vértices da 14. hipérbole x2 – 3y2 – 4x + 6y – 5 = 0.

Determine as coordenadas do centro e dos focos da 15. cônica 2x2–7y2–4x+14y–19=0.

Considere os pontos:16.

P1 (0, 0), P2 (1, 1) e P3 (2, 6).

Determine a equação da parábola que passa por a) P1, P2 e P3 e tem eixo de simetria paralelo ao eixo Y das ordenadas.

Determine outra parábola que passe pelos pontos Pb) 1, P2 e P3.

São dadas as parábolas p17. 1: y = –x² – 4x – 1 e p2: y = x² – 3x + 11/4 cujos vértices são denotados, respectivamente, por V1 e V2. Sabendo que r é a reta que contém V1 e V2, então a distância de r até a origem é:

5/a) 26

7/b) 26

7/c) 50

17/d) 50

11/e) 74

Duas plantas de mesma espécie, A e B, que nasceram 18. no mesmo dia, foram tratadas desde o início com adubos diferentes. Um botânico mediu todos os dias o cresci-mento, em centímetros, destas plantas. Após 10 dias de observação, ele notou que o gráfico que representa o crescimento da planta A é uma reta passando por (2,3), e o que representa o crescimento da planta B pode ser descrito pela lei matemática y=(24x–x²)/12. Um esboço desses gráficos está apresentado na figura.

x (dias)

planta Aaltura y (centímetros)

planta B

2

3


11EM

_V_M

AT

_021

Determine:

a equação da reta;a)

o dia em que as plantas A e B atingiram a mesma b) altura e qual foi essa altura.

O foco de uma parábola é o ponto F(4, 3) e sua diretriz 19. é a reta x=2. Determine sua equação reduzida e suas equações paramétricas.

Determine as coordenadas do foco do vértice e a equa-20. ção da diretriz da parábola y2 – 6y – 8x + 17 = 0.

Determine a equação da parábola que tem eixo de 21. simetria vertical e passa pelos pontos A(0, 0), B(2, 2) e C(–4, 20).

Determine k para que a reta 2x – y + k = 0 seja tangente 22. à parábola x2 = 5y.

Do ponto (2, 3) traçam–se as tangentes à parábola 23. y2 + 8x = 0. Determine a equação destas retas.

Uma montagem comum em laboratórios escolares de 1. Ciências é constituída por um plano inclinado, de altura aproximadamente igual a 40cm, com quatro canaletas paralelas e apoiado em uma mesa forrada de feltro, cuja borda é curvilínea. Sobre a mesa há um ponto marcado no qual se coloca uma bola de gude. A experiência consiste em largar, do alto do plano inclinado, outra bola de gude, a qual, depois de rolar por uma das canaletas, cai na mesa e colide sucessivamente com a borda da mesa e com a primeira bola.

A borda da mesa tem a forma de um arco de:

elipse, e o ponto marcado é um de seus focos.a)

parábola, e o ponto marcado é seu foco.b)

hipérbole, e o ponto marcado é um de seus focos.c)

hipérbole, e o ponto marcado é seu centro.d)

circunferência, e o ponto marcado é seu centro.e)

A elipse x² + (y²/2) = 9/4 e a reta y = 2x + 1, do plano 2. cartesiano, se interceptam nos pontos A e B. Pode–se, pois, afirmar que o ponto médio do segmento AB é:

(–2/3, –1/3)a)

(2/3, –7/3)b)

(1/3, –5/3)c)

(–1/3, 1/3)d)

(–1/4, 1/2)e)

Tangenciando externamente a elipse3. e1, tal que e1:

9x²+4y²–72x–24y+144 = 0, considere uma elipse e2 de

eixo maior sobre a reta que suporta o eixo menor de e1 e cujos eixos têm a mesma medida que os eixos de e1. Sabendo que e2 está inteiramente contida no primeiro quadrante, o centro de e2 é:

(7,3)a)

(8,2)b)

(8,3)c)

(9,3)d)

(9,2)e)

Determine a equação da elipse de centro (–2, 1), ex-4.

centricidade 3

5 e eixo maior horizontal de comprimento

20.

Determine os pontos em que a reta x+y–5 = 0 intercepta 5. a elipse 3x2+7y2–115=0.

Determine para que valores de k a reta x+y–k=0 é 6. secante, tangente, exterior à elipse x2+4y=20.

Determine as equações das retas tangentes à elipse 7. x y2

20

2

51+ = e perpendiculares à reta 2x–2y–13=0.

Determine a equação da elipse de excentricidade 8. 2

2,

cujos focos são pontos da reta (r) y+6=0 e sendo B1(3, 1) um dos extremos do seu eixo menor.

Determine as equações das retas tangentes à hipérbole 9. 2 2

116 4

− + =x y

e paralelas à reta x – 5y = a.

O eixo real de uma hipérbole é horizontal e suas assín-10. totas são as retas 2x + y – 3 = 0 e 2x – y – 1 = 0. Ache a equação da hipérbole, sabendo–se que o ponto (4, 6) pertence a ela.

Os focos de uma hipérbole são F11. 2(6, 2) e F1(6, 12) e o comprimento de seu eixo imaginário é 6. Determine a equação reduzida da hipérbole.

Determine as coordenadas dos focos da hipérbole xy = 8.12.

Determine a equação da hipérbole equilátera que passa 13. pelo ponto P0(13, 12) e que tem por eixos de simetria os eixos coordenados, as coordenadas dos focos e dos vértices.

Determine a equação da reta tangente à hipérbole 14. x2 – 3y2 – 2x + 36y – 116 = 0 no seu ponto T(7, 9).

Os eixos, real e imaginário, de uma hipérbole de eixo 15. real horizontal têm, respectivamente, os comprimentos 8 e 6. Determine a equação desta hipérbole e da sua conjugada, sendo seu centro o ponto C(1, –3).

Determine as coordenadas dos focos da cônica 16. (x – 2)2

16 – (y – 1)2

9 – 4.


12 EM

_V_M

AT

_021

Demonstre que o paralelogramo limitado pelas assíntotas 17.

da hipérbole x2

a2 –

y2

b2 = 1 e as retas traçadas de qualquer

um de seus pontos, paralelamente às assíntotas, é a

constante ab2

O eixo real de uma hipérbole tem o comprimento igual 18. a 12, sendo seus focos os pontos F2(4, –9) e F1(4, 11). Determine a equação das tangentes à hipérbole, con-duzidas do ponto P1(0, 1).

Determine a equação da tangente à parábola y19. 2 = 8x paralela à reta 2x–y+4 = 0.

Demonstre que a equação da reta tangente à pará-20. bola y2 = 2px e paralela à reta y = ax+b, para a ≠ 0 ,

y = ax + p

2aSejam A e B os pontos de interseção da parábola y = x² 21. com a circunferência de centro na origem e raio 2 .

Quais as coordenadas dos pontos A e B?a)

Se C é um ponto da circunferência diferente de A e b) de B, calcule as medidas possíveis para os ângulos A C B.

Determine a equação da parábola de vértice (6, –2), cujo 22. eixo é y + 2 = 0 e que passa pelo ponto (8, 2).

Uma parábola tem o eixo de simetria vertical e passa 23. pelos pontos (–2, 0), (6, 0) e (2, –4), determine sua equação, seu vértice e seu parâmetro.

Determine a equação da família de parábolas de eixo de 24. simetria vertical e foco comum (2, 6).

Determine as equações das tangentes à parábola 25. x = – y2 conduzidas pelo ponto P(5, 0).

Um alvo de altura 1,0m encontra a certa distância x do ponto 26. de disparo de uma arma. A arma é, então, mirada no centro do alvo e o projétil sai com velocidade horizontal 500m/s. Supondo nula a resistência do ar, adotando g =10m/s2, qual a distância máxima que se deve localizar a arma do alvo, de modo que o projétil o atinja?

Um menino andando de 27. skate com velocidade v = 2,5m/s num plano horizontal, lança para cima uma bolinha de gude com velocidade v = 4,0m/s e a apanha de volta.

Considere g = 10m/s2.

Esboçe a trajetória descrita pela bolinha em relação a) à Terra.

Qual é a altura máxima que a bolinha atinge?b)

Que distâc) ncia horizontal a bolinha percorre?

Mostre que a corda dos contatos das tangentes, à pa-28. rábola (y–2)2=8(x–4), traçadas do ponto (1, 2), passa pelo foco da mesma.


13EM

_V_M

AT

_021

P (8/9, 5/3)1.

Os pontos são (0,–1) e (8/5, 3/5).2.

3.

125

a)

Q(–5, 0), R(5,0) e A = 12b)

(0, –3) pertence e (5/2, 13/5) é exterior à elipse.4.

É o conjunto dos números complexos cujos afixos são os pontos externos à elipse representada acima.

Sendo z = x + iy um número complexo com (x,y)5. Ì IR e i = −1 .

Substituindo z por x + iy, temos;a)

(z+2i)/(z–2) = (x+iy+2i)/(x+iy–2) com z¹2 = [x+(2+y)i/

(x–2)+iy]

Efetuando–se a divisão, temos que:

Re [(z+2i)/(z–2)] =

= (x²–2x+y²+2y)/(x²+y²–4x+4) = 1/2

Logo, x²+y²+4y–4 = 0 (z¹2).

A condição z ≠ 2 exclui o ponto (2,0) da circunfe-rência de equação x²+y²+4y–4=0, que tem centro (0,–2) e raio 2 2 .

Portanto, se acrescentarmos o ponto (2,0) a esse con-junto de pontos, obteremos a circunferência de centro (0,–2) e raio 2 2 .

x – y + 2 = 0b)

B6.

97.

C8.

E9.

F, F, F, V10.

C11.

C12.

C13.

C(2, 1) e os vértices A(2 14. 6 ,1)

C (1;1); e focos F15. 1(–2;1) e F2 (4;1)


14 EM

_V_M

AT

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16.

y = 2xa) 2 – x

x = –2/15 yb) 2 + 17/15 y

E17.

18.

a) yx

=32

6º dia e 9 cmb)

(y–3)19. 2 = 4(x–3) e y t

xt

= +

=+

32

12

4.

V (1, 3), F (3, 3) e (d) x + 1 = 0.20.

y = x21. 2 – x.

k = – 5.22.

2x – y – 1 = 0 e x + 2y – 8 = 023.

B1.

E2.

D3. (x + 2)2

1004. +

(y – 1)2

64 = 1

(6, –5. 1) e (1, 4)

− < < = ± > < −5 5 5 5 5K K e K ouKante

gente

exteriorsec

tan

,1 24 34

678

1 244 34446.

x + 7. y ± 5 = 0

(x – 3)2

988. +

(y + 6)2

49 = 1

5 2 21 0− ± =x y9.

4x10. 2 – y2 – 8x + 2y – 8

(x – 6)2

911. +

(y – 7)2

16 = 1

F12. 2(–4, –4) e F1(4, 4).

x13. 2 – y2 = 25

c = 25 + 25 = 5 2 F ( 5 2,0 )( 5, 0)±A

2x – 3y + 13 = 014.

+15.

(x – 1)2

16 +

(y + 3)2

9 =1 e +

(x – 1)2

16 +

(y + 3)2

9 =1

F16. 1 (12;1); F2 (–8;1)

Demonstração17.

y x=±

−

1 4110

118.

y = 19. 2x + 1.

Demonstração20.

21.

A (1; 1) e B (–1; 1)a)

45° ou 135°b)

(y+2)22. 2 = 8(x–6):

A equação da parábola é do tipo (y + 2)2 = 2p(x – 6), pois o eixo de simetria é horizontal (y = –2).

Da pertinência do ponto (8, 2), resulta

16 = 2p . 2 ⇒ 2p = 8

A parábola é (x – 2)23. 2 = 4(y + 4); v(2;–4); p = 2

Sugestão: Tente resolver este problema tomando a equação da parábola sob a forma y = ax2 + bx + c.

y x pp P= −( ) + −( ) ∈2 2

2 6 2 ;24.

As tangentes têm por equações 25. y x= ± −5

105( )

d26. máx = 50 10 m

27.

gráficoa)

0,8 mb)

1,0 mc)

Demonstração.28.


15EM

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16 EM

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