validaÇÃo de um modelo de potenciais escalares … · exemplos de fractais: geom.euclidiana x...
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VALIDAVALIDAÇÇÃO DE UM MODELO DE ÃO DE UM MODELO DE POTENCIAIS ESCALARES COM POTENCIAIS ESCALARES COM
CONTORNO RUGOSOS PELO MCONTORNO RUGOSOS PELO MÉÉTODO TODO DOS ELEMENTOS FINITOSDOS ELEMENTOS FINITOS
Proposta de Tese de Doutorado deProposta de Tese de Doutorado de
Lucas MLucas Mááximo Alvesximo AlvesDOUTORANDODOUTORANDO
Luiz Luiz AlkiminAlkimin de Lacerdade LacerdaORIENTADORORIENTADOR
JosJoséé de Antonio Marques de Antonio Marques CarrerCarrerCOCO--ORIENTADORORIENTADOR
14/08/201514/08/2015 22
ÍÍndicendice INTRODUINTRODUÇÇÃO ÃO -- ConsideraConsideraçções Iniciaisões Iniciais PROPOSIPROPOSIÇÇÃO DO PROBLEMAÃO DO PROBLEMA INTRODUINTRODUÇÇÃO A TEORIA FRACTAL DE MEDIDAÃO A TEORIA FRACTAL DE MEDIDA FUNDAMENTAFUNDAMENTAÇÇÃO TEÃO TEÓÓRICARICA O Problema do Potencial com Contorno Regular O Problema do Potencial com Contorno Regular
(Euclidiano ou Liso) (Euclidiano ou Liso) –– P1P1 O Problema do Potencial com Contorno Irregular O Problema do Potencial com Contorno Irregular
(Fractal ou Rugoso) (Fractal ou Rugoso) –– P2P2 ModelamentoModelamento Fractal do Problema Equivalente Fractal do Problema Equivalente -- PEPE MATERIAIS E MMATERIAIS E MÉÉTODOSTODOS RESULTADOSRESULTADOS DISCUSSÃO.DISCUSSÃO. CONCLUSÕESCONCLUSÕES
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INTRODUINTRODUÇÇÃO ÃO -- ConsideraConsideraçções iniciaisões iniciaisEste trabalho foi motivado pelas seguintes Este trabalho foi motivado pelas seguintes
circunstâncias cientcircunstâncias cientííficas e tecnolficas e tecnolóógicas:gicas:
A Geometria Fractal descreve Estruturas IrregularesA Geometria Fractal descreve Estruturas Irregulares Novas Propostas de Modelagem de Estruturas Irregulares Novas Propostas de Modelagem de Estruturas Irregulares
usando a Teoria Fractal (Literatura Especializada)usando a Teoria Fractal (Literatura Especializada) Revisão de Modelos ClRevisão de Modelos Cláássicos que têm como base a ssicos que têm como base a
Geometria Euclidiana (Literatura Especializada)Geometria Euclidiana (Literatura Especializada) A Mecânicas (do ContA Mecânicas (do Contíínuo, Calor, Fluidos, Snuo, Calor, Fluidos, Sóólidos, lidos,
Fratura), não leva em conta o Efeito da Rugosidade na sua Fratura), não leva em conta o Efeito da Rugosidade na sua DescriDescriçção Matemão Matemáática.tica.
Entender o Processo de DissipaEntender o Processo de Dissipaçção de Energia nos ão de Energia nos Fenômenos que Apresentam GeomFenômenos que Apresentam Geoméétricas Irregularestricas Irregulares
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Objetivos do TrabalhoObjetivos do Trabalho i) Descrever Anali) Descrever Analíítica e Numericamente o Fenômenos tica e Numericamente o Fenômenos
FFíísicos utilizandosicos utilizando--se Mse Méétodos Numtodos Numééricos e a Geometria ricos e a Geometria Fractal.Fractal.
ii) Validar Modelos de Rugosidade Fractal utilizando ii) Validar Modelos de Rugosidade Fractal utilizando MMéétodo Numtodo Numééricos Aplicado a um Problema de Potencial ricos Aplicado a um Problema de Potencial Escalar. Escalar. Por exemplo, Transmissão de Calor em Por exemplo, Transmissão de Calor em Corpos que apresentam uma Geometria Irregular Corpos que apresentam uma Geometria Irregular Bordas Rugosas.Bordas Rugosas.
iii) Desenvolver um Miii) Desenvolver um Méétodo Numtodo Numéérico de Crico de Cáálculo a ser lculo a ser Implantado em um Software BImplantado em um Software Báásico de Simulasico de Simulaçção de ão de Fenômenos com Rugosidade.Fenômenos com Rugosidade.
iv) Validar Resultados Teiv) Validar Resultados Teóóricos dos Modelos Propostos ricos dos Modelos Propostos atravatravéés de Ensaios e Testes Conclusivos. s de Ensaios e Testes Conclusivos.
v) Propor correv) Propor correçções ou Novos Modelos de ões ou Novos Modelos de FenomenolFenomenolóógicos com a Descrigicos com a Descriçção Analão Analíítica da tica da Rugosidade. Rugosidade.
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INTRODUINTRODUÇÇÃO A TEORIA FRACTAL DE ÃO A TEORIA FRACTAL DE MEDIDAMEDIDA
FRACTAISFRACTAIS:: são objetos geomsão objetos geoméétricos tricos autoauto--invariantesinvariantes por transformapor transformaçção de escala ão de escala que que possuem possuem dimensão fraciondimensão fracionáária ria
Invariância por TransformaInvariância por Transformaçção de Escalaão de Escala -- (partes (partes semelhantes ao todo). semelhantes ao todo). = = lloo//LLoo (fator de escala)(fator de escala) que pode que pode ser por:ser por:
AUTOAUTO--SIMILARIDADESIMILARIDADE ou ou AUTOAUTO--AFINIDADEAFINIDADE..(Ex. um Pinheiro) (Ex. uma Trinca)(Ex. um Pinheiro) (Ex. uma Trinca)
A Extensão do ObjetoA Extensão do Objeto, , MMdd, , depende do tamanho da depende do tamanho da rréégua de medida utilizada, gua de medida utilizada, LLoo, isto , isto éé,,
MMdd(() = ) = MMdododd--D D se se D = d D = d MMdd(() = ) = MMdodo..
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Invariância por TransformaInvariância por Transformaçção de ão de EscalaEscala
Def: Partes Semelhantes Def: Partes Semelhantes ao Todoao Todo
Exemplo: Exemplo: PinusPinus
Outros Exemplos:Outros Exemplos:Nuvens, Trincas, Cristais Nuvens, Trincas, Cristais
de Gelo, Rochas,de Gelo, Rochas,Rios, Cidades, Rios, Cidades, etcetc((NiveisNiveis HierHieráárquicos de rquicos de
Estruturas)Estruturas)
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Para que servem na PrPara que servem na Práática?tica? Servem para se Descrever Matematicamente Servem para se Descrever Matematicamente
Estruturas Irregulares, que a Geometria Euclidiana dos Estruturas Irregulares, que a Geometria Euclidiana dos Elementos BElementos Báásicos: Ponto, Reta, Plano e Espasicos: Ponto, Reta, Plano e Espaçço não o não éécapazcapaz
Geometria Irregular Geometria IrregularGeometria Irregular Geometria Irregular
Modelagem GeomModelagem Geoméétricatrica
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AutoAuto--SimilaridadeSimilaridade Fractal autoFractal auto-- similar similar Dx = Dx = DyDy = = Dz = D;Dz = D;
d d Di Di d+1 ; d+1 ; Dx + Dx + DyDy + Dz = d+1+ Dz = d+1d = dimensão de projed = dimensão de projeçção ; d+ 1 = dimensão de imersãoão ; d+ 1 = dimensão de imersão
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AutoAuto--AfinidadeAfinidade Fractal AutoFractal Auto-- Afim: Uma Afim: Uma
Dimensão Fractal Dimensão Fractal Diferente para cada Diferente para cada DireDireççãoão
Dx = Dx = DyDy HHd d D D d+1d+1
Dx + Dx + DyDy + H = d+1+ H = d+1
d = dimensão de projed = dimensão de projeççãoão
d+ 1 = dimensão de imersãod+ 1 = dimensão de imersão
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Exemplos de Fractais:Exemplos de Fractais: GeomGeom.Euclidiana x Fractal.Euclidiana x Fractal Fractais MatemFractais Matemááticos e ticos e
FFíísicos ou Naturaissicos ou Naturais
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Modelagem Fractal de uma Cadeia Modelagem Fractal de uma Cadeia de Montanhasde Montanhas
FunFunçções Exatas ou Funões Exatas ou Funçções Aproximadasões Aproximadas
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Antecedentes HistAntecedentes Históóricosricos Uma modificaUma modificaçção da Mecânica da Fratura foi proposta mas ão da Mecânica da Fratura foi proposta mas
alguns resultados ainda precisam ser validados alguns resultados ainda precisam ser validados corretamentecorretamente
ALVES, Lucas MALVES, Lucas Mááximo Rosana Vilarim da Silva, ximo Rosana Vilarim da Silva, Bernhard Joachim Mokross, Bernhard Joachim Mokross, TheThe influenceinfluence ofof thethe crackcrackfractal fractal geometrygeometry onon thethe elasticelastic plasticplastic fracturefracturemechanicsmechanics. . PhysicaPhysica A: Statistical Mechanics and its A: Statistical Mechanics and its ApplicationsApplications. Vol. 295, n. 1/2, p. 144. Vol. 295, n. 1/2, p. 144--148, 12 June 2001.148, 12 June 2001.
ALVES, Lucas MALVES, Lucas Mááximo: Fractal geometry concerned ximo: Fractal geometry concerned with stable and dynamic fracture mechanics. with stable and dynamic fracture mechanics. Journal of Journal of TheorethicalTheorethical and Applied Fracture Mechanicsand Applied Fracture Mechanics, , VolVol 44/1, 44/1, pp 44pp 44--57, 2005.57, 2005.
14/08/201514/08/2015 1313
Problema Euclidiano Problema Euclidiano –– P1P1
( , )o o o ou u x y
( , )o o o o ou u x y
2 ( , ) 0o o o ou x y
EquaEquaçções ões BBáásicassicas
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DefiniDefiniçção de Fluxo ão de Fluxo -->>
Lei de Fourier Lei de Fourier -->>
oX
o
d dXJdA dt
o oX XJ k
. 0o
o XXk
t
. 0o
o XXJ
t
O Fluxo Generalizado e as O Fluxo Generalizado e as EquaEquaçções de Campo para ões de Campo para
Geometrias RegularesGeometrias Regulares
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Problema NãoProblema Não--Euclidiano Euclidiano –– P2P2
EquaEquaççõesõesBBáásicassicas
( , )u u x y
( , )u u x y
2 ( , ) 0u x y
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O Fluxo Generalizado e as O Fluxo Generalizado e as EquaEquaçções de Campo para ões de Campo para
Geometrias IrregularesGeometrias Irregulares
Xo
d dXJdA dt
X XJ k
. 0XXk
t
. 0XXJ
t
DefiniDefiniçção de Fluxo ão de Fluxo -->>
Lei de Fourier Lei de Fourier -->>
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Problema Equivalente Problema Equivalente -- PEPE FormulaFormulaçção do Problema ão do Problema
( , )o o ou f u x y
( , )u g u x y
2 2( , ) ( , )o o ou x y h u x y ˆ ˆ2 cos .o oo
du du u r ndn du
2P PE1. ( , , , , , )o o oPE P f u u x y x y
Potencial EscalarPotencial Escalar
Fluxo do EscalarFluxo do Escalar
FunFunçção Distribuião Distribuiçção ão do Escalardo Escalar
EquaEquaçção Proposta ão Proposta para o Fluxo do para o Fluxo do
EscalarEscalar
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ComparaComparaçção entre os Problemas ão entre os Problemas P1 x P2P1 x P2
P1P1-- Contorno Contorno Euclidiano Liso Euclidiano Liso ou Regularou Regular
P2 P2 -- Contorno Contorno NãoNão--Euclidiano Euclidiano Fractal ou RegularFractal ou Regular
OBS: OBS: ÉÉ preciso modelar todos os preciso modelar todos os cossenoscossenos flutuantes por flutuantes por meio de algum tipo de correlameio de algum tipo de correlaçção ão –– A Geometria Fractal A Geometria Fractal éé uma delas!uma delas!
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Modelagem da RugosidadeModelagem da Rugosidade
Modelagem pelo MModelagem pelo Méétodo dos todo dos CossenosCossenos FlutuantesFlutuantes
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TTéécnica de cnica de RenormalizaRenormalizaççãoão
RenormalizaRenormalizaççãoão dos dos CossenosCossenos FlutuantesFlutuantes
:= ( )y ( )cos
:= ( )y ( )cos
( )ln ( )cos ( )ln ( )cos
Cosseno Correlator
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
Angulo (teta)
Cos
(tet
a), c
os(t
eta*
)^(a
lfa_r
)f(teta)=cos(teta) y(teta)=cos(beta)^(alfa)
cosi i ig
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AnAnáálise das Projelise das Projeçções do Contorno ões do Contorno RugosoRugoso
ProjeProjeçção do vetor ão do vetor rr na direna direçção da normal não da normal n
cosˆ.
rnr
dndr j
j
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MMéétodo dos Elementos Finitostodo dos Elementos Finitos
Parâmetros Parâmetros e Varie Variááveis veis utilizadas utilizadas no Cno Cáálculolculo
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AplicaAplicaçção no Contorno Rugosoão no Contorno Rugoso UtilizaUtilizaçção dos Pontos de Gauss prão dos Pontos de Gauss próóximos ao Contornoximos ao Contorno
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RESULTADOS e DISCUSSÃORESULTADOS e DISCUSSÃO
Amplitude do Contorno Rugoso UtilizadoAmplitude do Contorno Rugoso Utilizado
Amplitude Y
8,95
9
9,05
9,1
9,15
9,2
9,25
9,3
9,35
9,4
9,45
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
coordenada X
coor
dena
da Y
Y
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ComparaComparaçção do Modelo PE x P2 ão do Modelo PE x P2 Resultado da primeira aproximaResultado da primeira aproximaçção feitaão feita
Relação P2 x PEquivalente
0,00E+00
5,00E+01
1,00E+02
1,50E+02
2,00E+02
2,50E+02
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10coordenada X
Flux
o de
Cal
or
J=Jodu/duo (P2 - Rugoso) J (P2 - Rugoso) Jo (P1 - Euclidiano) J=Jodelta_u/uo*dr/dro (PE-Equivalente)
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AnAnáálise do Erro Relativolise do Erro Relativo
Observe: 1Observe: 1-- Erro Relativo ~ FunErro Relativo ~ Funçção Desejadaão DesejadaErro Relativo
-6,00E-01
-4,00E-01
-2,00E-01
0,00E+00
2,00E-01
4,00E-01
6,00E-01
8,00E-01
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
coordenada X
Erro
Rel
ativ
o (%
)
Erro Relativo
1-Erro Relativo
0,00E+00
2,00E-01
4,00E-01
6,00E-01
8,00E-01
1,00E+00
1,20E+00
1,40E+00
1,60E+00
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10coordenada X
1- E
rro R
elat
ivo
(%)
Erro Relativo
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ReutilizaReutilizaçção da Informaão da Informaçção do Erro ão do Erro RelativoRelativo
Novo CNovo Cáálculo utilizando o Erro Anterior lculo utilizando o Erro Anterior novamente na Equanovamente na Equaçção de Correão de Correççãoão
Relação P2 x PEquivalente
0,00E+00
5,00E+01
1,00E+02
1,50E+02
2,00E+02
2,50E+02
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10coordenada X
Flux
o de
Cal
or
J=Jodu/duo (P2 - Rugoso) J (P2 - Rugoso) Jo (P1 - Euclidiano) J=Jodelta_u/uo*dr/dro (PE-Equivalente)
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O Erro Relativo MO Erro Relativo Méédio agora diminui e se dio agora diminui e se afasta da Funafasta da Funçção Desejadaão Desejada
Erro Relativo
-4,00E-01
-2,00E-01
0,00E+00
2,00E-01
4,00E-01
6,00E-01
8,00E-01
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
coordenada X
Erro
Rel
ativ
o (%
)
Erro Relativo
Nova AnNova Anáálise do Erro Relativolise do Erro Relativo
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AnAnáálise de Correlalise de Correlaçção Entre as ão Entre as FunFunçções Real e Aproximadaões Real e Aproximada
Resultado do Problema P2 X Resultado do Resultado do Problema P2 X Resultado do Problema Equivalente Problema Equivalente
y = 0,0043x + 0,4164R2 = 0,7953
0,00E+00
2,00E-01
4,00E-01
6,00E-01
8,00E-01
1,00E+00
1,20E+00
1,40E+00
1,60E+00
1,80E+00
0,00E+00 5,00E+01 1,00E+02 1,50E+02 2,00E+02 2,50E+02
J x J_RetaLinear (J x J_)
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CONCLUSÕESCONCLUSÕES
Os Resultados obtidos são promissoresOs Resultados obtidos são promissores Se o Problema Se o Problema –– P2 pode ser resolvido P2 pode ser resolvido
computacionalmente por que utilizar o Problema computacionalmente por que utilizar o Problema Equivalente Equivalente –– PE ?PE ?
-- Reduzir o Custo ComputacionalReduzir o Custo Computacional VerificaVerificaçção de Fenômenos Superficiais e Volumão de Fenômenos Superficiais e Voluméétricos tricos
que anteriormente não poderiam ser observados que anteriormente não poderiam ser observados analiticamente.analiticamente.
SeparaSeparaçção do Problema Fão do Problema Fíísico do Geomsico do Geoméétricotrico NecessitaNecessita--se Anse Anáálise da lise da AcuracidadeAcuracidade dada Resposta do Resposta do
MMéétodo dos Elementos Finitos para o Problema P2 no todo dos Elementos Finitos para o Problema P2 no ContornoContorno
AnAnáálise para Diferentes Rugosidadeslise para Diferentes Rugosidades AnAnáálise Variando alguns parâmetros de controlelise Variando alguns parâmetros de controle
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Proposta de Trabalhos Futuros Proposta de Trabalhos Futuros
AnAnáálise Ellise Eláástica Linear (Potencial Vetorial)stica Linear (Potencial Vetorial) AnAnáálise lise ElastoElasto--PlPláásticastica (Potencial Tensorial)(Potencial Tensorial) AnAnáálise da Mecânica da Fratura:lise da Mecânica da Fratura:
-- Processo de Fratura EstProcesso de Fratura Estáável ou Quasevel ou Quase--EstEstáático tico –– Linear e NãoLinear e Não--LinearLinear-- Processo de Fratura InstProcesso de Fratura Instáável ou Dinâmicovel ou Dinâmico--NãoNão--LinearLinear
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