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FRACTAIS FRACTAIS A OBRA PRIMA DA NATUREZA ESTUDADA A OBRA PRIMA DA NATUREZA ESTUDADA POR MATEMÁTICOS POR MATEMÁTICOS Trabalho elaborado por: Alexandra Pereira César Pereira

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Fractais

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Page 1: Padrões Fractais

FRACTAIS FRACTAIS A OBRA PRIMA DA NATUREZA ESTUDADA A OBRA PRIMA DA NATUREZA ESTUDADA

POR MATEMÁTICOS POR MATEMÁTICOS

Trabalho elaborado por:Alexandra Pereira

César Pereira

Page 2: Padrões Fractais

Os contornos das montanhas, a superfície dos pulmões humanos, a

trajetória das gotículas de água quando penetram na terra - existe uma infinidade

de fenômenos na natureza que não podem ser descritos por essa geometria

toda certinha. É preciso apelar para complicados cálculos que resultam nas

chamadas dimensões fracionárias.

Page 3: Padrões Fractais

CONCEITO CONCEITO

Fractais são objetos gerados pela repetição de Fractais são objetos gerados pela repetição de um mesmo processo recursivo, apresentando um mesmo processo recursivo, apresentando

auto-semelhança e complexidade infinita.auto-semelhança e complexidade infinita.

Page 4: Padrões Fractais

“Nuvens não são esferas, montanhas não são cones, continentes não são

círculos, o som do latido não é contínuo e nem o raio viaja em linha

reta.“

Benoît Mandelbrot, "The Fractal Geometry of Nature“"The Fractal Geometry of Nature“1983

A GEOMETRIA FRACTAL A GEOMETRIA FRACTAL DA NATUREZADA NATUREZA

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GEOMETRIA NÃO-GEOMETRIA NÃO-EUCLIDIANA EUCLIDIANA

A Geometria Fractal pode ser utilizada para descrever A Geometria Fractal pode ser utilizada para descrever diversos fenómenos na natureza, onde não podem ser diversos fenómenos na natureza, onde não podem ser

utilizadas as geometrias tradicionais. Nuvens, montanhas, utilizadas as geometrias tradicionais. Nuvens, montanhas, turbulências, árvores, crescimento de populações, vasos turbulências, árvores, crescimento de populações, vasos

sanguíneos e outras formas irregulares podem ser sanguíneos e outras formas irregulares podem ser estudadas e descritas utilizando as propriedades dos estudadas e descritas utilizando as propriedades dos

fractais. fractais.

Page 8: Padrões Fractais

Segundo o velho Euclides, matemático grego que viveu dois milénios atrás, existem figuras que não têm dimensão, ou melhor, têm dimensão ZERO. É o caso dos pontos, como este ponto final (.). Uma

linha, por sua vez - considerada a distância entre dois pontos quaisquer -, é algo com uma única dimensão. Já a capa de SUPERINTERESSANTESUPERINTERESSANTE, de acordo com a geometria euclidiana, tem duas

dimensões. Pois, para conhecer qual a sua área, é necessário multiplicar dois números - o do comprimento pelo da largura. Do mesmo modo, um bloco possui três dimensões, porque precisamos

multiplicar três números (comprimento, largura e altura) para saber qual o seu volume. Euclides estava certo. Mas não resolveu todo o problema.

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CARACTERÍSTICAS DOS CARACTERÍSTICAS DOS FRACTAIS FRACTAIS

COMPLEXIDADE INFINITA:COMPLEXIDADE INFINITA: É uma propriedade dos fractais É uma propriedade dos fractais que significa que nunca conseguiremos representá-los que significa que nunca conseguiremos representá-los completamente, pois a quantidade de detalhes é infinita. Sempre completamente, pois a quantidade de detalhes é infinita. Sempre existirão reentrâncias e saliências cada vez menores. existirão reentrâncias e saliências cada vez menores. AUTO-SIMILARIDADE:AUTO-SIMILARIDADE: Um fractal costuma apresentar cópias Um fractal costuma apresentar cópias aproximadas de si mesmo em seu interior. Um pequeno pedaço é aproximadas de si mesmo em seu interior. Um pequeno pedaço é similar ao todo. Visto em diferentes escalas a imagem de um similar ao todo. Visto em diferentes escalas a imagem de um fractal parece similar.fractal parece similar.

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O PAI DOS FRACTAIS O PAI DOS FRACTAIS

Benoît Mandelbrot foi o pioneiro na investigação da geometria fractal.

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A imagem ao lado (A imagem ao lado ("A Curva de "A Curva de Koch"Koch") é um exemplo geométrico da ) é um exemplo geométrico da construção de um fractal. Um mesmo construção de um fractal. Um mesmo

procedimento é aplicado diversas procedimento é aplicado diversas vezes sobre um objeto simples, vezes sobre um objeto simples, gerando uma imagem complexa. gerando uma imagem complexa.

Cada pedaço da linha foi dividido em Cada pedaço da linha foi dividido em 4 pedaços menores idênticos ao 4 pedaços menores idênticos ao

pedaço original, cada um sendo 3 pedaço original, cada um sendo 3 vezes menor que o tamanho original. vezes menor que o tamanho original.

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CONJUNTO DE CONJUNTO DE CANTOR CANTOR

O TAPETE DE O TAPETE DE SIERPINSKY SIERPINSKY TAPETE TAPETE

TRIANGULARTRIANGULAR

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CURVA DE PEANOCURVA DE PEANO

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