texto construindo fractais

8/2/2019 Texto Construindo fractais

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SERVIO PBLICO FEDERAL

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PAR

INSTITUTO DE CINCIAS EXATAS E NATURAIS

Projeto: Construindo Fractais com Material Concreto

Raimundo Neto Nunes Leo

UFPA - 2009

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Captulo 1

Construindo Fractais com material

concreto

1.1 Introduo

A geometria uma rea da matemtica responsvel pelo estudo das formas e de suas

propriedades. Com ela, o homem pde organizar e sistematizar reas. Os postulados

de Euclides impulsionaram o estudo dos planos e das trs dimenses e deram origem

a Geometria Euclidiana. Os estudos geomtricos fazem parte da vida cotidiana e so

amplamente empregados em diversas situaes: seja na medio de uma simples parede,

como no planejamento de uma cidade. A importncia da disciplina faz com que ela seja

obrigatria em muitos cursos superiores. Assim, os alunos de Matemtica, Engenharia,

Arquitetura, Design e outros cursos afins, so submetidos apreciao da geometria.

Vale ressaltar que a geometria ensinada durante quase toda a vida escolar de uma

pessoa e que se fosse feita uma pesquisa sobre a parte da Matemtica mais interessante

para os alunos de ensino funamental, no seria surpresa que o resultado dessa pesquisa

seria a geometria, simplesmente pelo fato das figuras geomtricas serem atraentes aos

olhos dos alunos, com base nessa atrao ou admirao artstica que possvel o ensino

de outras geometrias, no somente a geometria euclidiana, mas como exemplo a geometria

fractal.

Mas o que um fractal?

Mandelbrot em 1975 criou o termo Fractal que vem do latim, do adjetivo fractus,

derivado do verbo frangere que significa quebrar, fracionar. De acordo com Mandelbrot,

os fractais so formas geomtricas abstratas de uma beleza incrvel, com padres completos

que se repetem infinitamente, mesmo limitados a uma rea finita. O autor constatou ainda

que havia uma curiosa e interessante relao entre estes objetos e aqueles encontrados na

natureza. Existem duas caractersticas freqentes na Geometria Fractal so elas:

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Complexidade Infinita: uma propriedade dos fractais que significa que nunca

conseguiremos represent-los completamente, pois a quantidade de detalhes infinita.

Sempre existiro reentrncias e salincias cada vez menores.

Auto-similaridade: Um fractal costuma apresentar cpias aproximadas de si mesmoem seu interior. Um pequeno pedao similar ao todo. Visto em diferentes escalas a

imagem de um fractal parece similar.

Com esses conceitos bsicos sobre fractais possvel o ensino dessa geometria para

alunos tanto do ensino fundamental quanto do ensino mdio, logicamente que os conceitos

mais complexos ficam a cargo do professor compreender e repassar aos alunos com uma

linguagem bem mais acessvel.

Dependo do nvel de escolaridade que se deseja trabalhar existem propriedades cada

vez mais interessantes para serem estudadas fazendo uso dos fractais.No prximo captulo teremos alguns fractais para serem desenvolvidos esses estudos,

observar essas propriedades e correlacion-los com outros assuntos matemticos, alm

claro do processo construtivo desses fractais.

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Captulo 2

Construindo Fractais

Acredita-se perfeitamente possvel a construo dos fractais que neste captulo seprope a serem construidos em sala de aula ou, em uma feira de cincia, quem sabe em

uma exposio sobre arte matemtica dentre outros eventos que possivelmente venham a

surgir.

2.1 Objetivos a serem Alcanados

1. Construo de fractais com materiais concretos.

2. Perceber a propriedade da auto-similaridade.

3. Estudar as propriedades matemticas dos fractais: rea, permetro, volume (depen-

dendo do nvel escolar da classe a ser trabalhada).

4. Inter-relacionar os fractais com outros assuntos muito trabalhados em sala de aula

como o caso da Progresso Geomtrica (PG), Geometria plana (Propriedade:

rea) dentre outros que o professor e os alunos venham a perceber.

Nas construes dos fractais que propomos neste trabalho, no ser feita da maneira

tradicional como se constroe os fractais, por reduo de escala, ou seja, o fractal fica cada

vez mais refinado a medida que segue de fase neste caso o fractal fica restrido sempre

a uma mesma regio (rea onde o fractal est contido), como propomos um trabalho

com material concreto para no haver nessecidade de estar cortanto pedao de madeira,

por exemplo, para se obter a prxima fase, construiremos os fractais passando a nveis

consecutivos por ampliao das escalas, lembrando essa prtica no mudar o sentido da

interpretao do fractal, ou at mesmo desconfigurao do mesmo.

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2.2 Material Necessrio

Para a construo dos fractais listados abaixo o material necessrio mais adequado

um conjunto de peas quadradas, de madeira (com pequena espessura).Fractais a serem construidos:

2.2.1 Fractal Trimin

A construo desse fractal simples, considere um trimin no-reto, construdo a partir

de trs quadrados, este ser considerado o nvel 1, convide os alunos para substituirem

cada quadrado por um trimin, obtendo assim o nvel 2, e da mesma maneira obtm-se

os demais nveis.

Esta uma outra forma de obter o fractal acima, atravs da seguinte construo: Con-

sidere um quadrado, divida esse quadrado em quatro outros quadrados, retire o quadrado

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superior a direita, obtendo assim a primeira etapa, prossiga a construo semelhante a

primeira etapa, mas com os quadrados restantes, obtendo assim o fractal acima.

Perceba que na prtica a construo mais aconselhvel a primeira uma vez que faz-

se uso de uma extenso, ampliao de escala como j foi mensionado no texto, e no damaneira tradicional de se obter um fractal, lembre-se que o intuito utilizar materiais

concretos.

Uma pergunta que naturalmente h de surgir : O que estudar a partir desse fractal?

Uma resposta bastante sugestiva o processo de contagem de quadrados que compe

cada etapa, por exemplo:

1. etapa 1: 3 quadrados = 31 quadrados

2. etapa 2: 3 3 quadrados = 32 quadrados

3. etapa 3: 3 3 3 quadrados = 33 quadrados...

4. etapa n: 3 3 3 nvezes

quadrados = 3n quadrados

Note que o processo de contagem dos quadrados em cada etapa do fractal acima, re-

sultou em uma sequncia crescente, mais especificamente uma PG de razo 3, sendo assim

possvel descobrimos quantos quadrados havero em cada etapa seguinte, sem precisar

constru-las, basta ensinar o conceito de Progresso Geomtrica e suas propriedades.

2.2.2 Fractal Tetramin

Construo: Considere um tetramin formado por quatro peas quadrados, esse tetram-

in obtido a partir de um quadrado que foi subdividido em nove quadrados e foram reti-

rados os quadrados menores que pertenciam a diagonal do quadrado maior, pessa para os

alunos substituirem cada quadrado por um outro tetramin obtedo assim a fase seguintecontinue o processo at uma quantidade conveniente. Abaixo est a imagem que ser

construida.

1. etapa 1: 4 quadrados = 41 quadrados

2. etapa 2: 4 4 quadrados = 42 quadrados

3. etapa 3: 4 4 4 quadrados = 43 quadrados...

4. etapa n: 4 4 4 nvezes


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Se voc dispuzer de muitas peas quadradas (por exemplo, 729 peas) tente fazer a

construo desse mesmo fractal por remoo de peas como mostra a imagem abaixo. Esta

construo por remoo dos quadrados que pertencem a diagonal de cada quadrado que

forma cada etapa.

2.2.3 Fractal T

Construo:Considere um pentamin em forma de T, composto por cinco peas quadradas de

madeira em forma de T, pessa para os alunos substituirem cada quadrado por um penta-

min e assim sucessicamente, obtendo o seguinte fractal.

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construo desse mesmo fractal por remoo de peas como mostra a imagem abaixo.

Divida o quadrado maior em nove quadrados retire quatro quadrados das laterais (dois

de cada lado) com a inteno de deixar quatro quadrados em forma de T, prossiga dessa

mesma forma como mostra a figuara abaixo:

2.2.4 Fractal Heptamin - H

Construo:

Considere um heptamin em forma de H, composto por sete peas quadradas de

madeira em forma de H, pessa para os alunos substituirem cada quadrado por um hepta-

min e assim sucessicamente, obtendo o seguinte fractal.

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construo desse mesmo fractal por remoo de peas como mostra a imagem abaixo. Esta

construo por remoo dos quadrados que pertencem ao extremo da coluna central de

quadrados que foramam o quadrado maior.

2.2.5 Tapete de Menger

Tome um quadrado formado por nove quadradinhos, retire o quadradinho central,

obtendo assim o nvel 1, para a segunda etapa, substitua cada quadradinho por um

quadrado do nvel 1 e assim sucessivamente , como mostra a imagem abaixo.

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Esta construo por remoo do quadrado central.

2.2.6 Tapete semelhante a Menger

Tome um quadrado formado por nove quadradinhos, retire o quadradinho a direita da

linha central, obtendo assim o nvel 1, para a segunda etapa, substitua cada quadradinhopor um quadrado do nvel 1 e assim sucessivamente , como mostra a imagem abaixo.

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Esta construo por remoo do quadrado da lateral direita da linha central.

2.2.7 Criando Carto Fractal

Este carto ser desenvolvido basicamente utilizando tesoura, e cartolina. Uma ativi-

dade prtica que pode ser bastante prazerosa em sala de aula, e ao mesmo tempo em que

instrui, desperta o lado ldico no aluno, como o caso da construo de um carto fractal

que no to complicado de se fazer.

Construo: Os materiais a serem utilizados so tesoura e cartolina cortada do tamanho

da uma folha de papel A4.

Carto Quartil Central

Das etapas:

1. Primeiro passo para a primeira gerao pegue uma folha de cartolina j cortada no

tamanho de uma folha A4.

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2. dobre a folha ao meio, ao longo de sua altura (linha tracejada), como mostra a

figura.

3. com a folha dobrada ao meio faa dois cortes verticais simtricos a uma distncia x

das extremidades da folha, de altura x como mostra a figura abaixo.

4. dobre o retngulo formado para cima, fazendo um vinco na dobra, como mostra a

figura abaixo.

5. volte o retngulo dobrado (folha dobrada) para a posio inicial e puxe o centro da

figura em relevo. Podemos dizer que esta a primeira gerao do carto fractal.

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6. prossiga da mesma forma, como mostra a figura abaixo.

7. Obter neste nvel o seguinte carto

8. O objetivo conseguir chegar ao fractal abaixo.

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O carto fractal (Sierpinski gasket)

Das etapas:

1. Dobre ao meio uma folha de cartolina (tamanho A4).

2. Aps dobrar, corte ao meio e dobre a parte cortada, vide figura abaixo.

3. prossiga da mesma forma nas prximas etapas, como mostra a figuara abaixo.

O objetivo conseguir construir o seguinte carto fractal

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Carto Cubos Contrrios

Das etapas:

1. Recorte o retngulo abaixo nas linhas contnuas.

2. Dobre nas linhas pontilhadas, obtendo assim o seguinte fractal.

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Captulo 3

Estudo dos fractais apresentados

3.1 Propriedades

1. Nmero de quadrados utilizados

2. rea

3. Estudo de PG

Faamos algumas investigaes matemticas acerca dos fractais expostos neste tra-

balho.

Fractal Trimin (por ampliao de escala)

Estudo de PG

etapa 1: 3 quadrados = 31 quadrados

etapa 2: 3 3 quadrados = 32 quadrados

etapa 3: 3 3 3 quadrados = 33 quadrados...

etapa n: 3 3 3

nvezes


Obtemos uma PG crescente de razo 3 e o primeiro termo, a1 = 3.

Fractal Trimin (por remoo)

Estudo de PG



etapa 2: 3 3 quadrados = 32 quadrados...

etapa n - 1: 3 3 3 (n1)vezes

quadrados = 3n1 quadrados.

Obtemos uma PG crescente de razo 3 e o primeiro termo, a1 = 1.

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Representao grfica

A representao a seguir referente a PG obtida pelo fractal acima descrito (trimin

- por ampliao de escala)

Estudo de rea, assuma uma rea inicial X, antes de qualquer iterao.

etapa 0: rea = X

etapa 1: rea= 3X4

=34

1X

etapa 2: rea =9X

16 = 3

42X

etapa 3: rea = 27X64

=34

3X

...

etapa n: rea =3

4

3

4

3

4 nvezes

X =34

nX

Obtemos uma PG decrescente de razo 34

e o primeiro termo, a1 = X Se X = 100

teremos a seguinte representao grfica.

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Analogamente pode-se trabalhar os demais fractais citados neste trabalho, com n-

fase semelhante as quais foram feitas, como o caso da relao com PG, clculo de

rea, representao grfica, pode at mesmo fazer uma analogia grfica com funo

exponencial.

Carto Fractal

Analisando as etapas de construo podemos construir duas tabelas atravs das

anlises do carto fractal, so elas:

Tabela 1

Etapa No de paraleleppedos (NP) No de paralelepdedos novos (NPN)

0 1 2

0

= 11 3 21 = 2

2 7 22 = 4

n 2n+1 1 2n

Graficamente temos:

Estudo de PG

Atravs da tabela e da representao grfica podemos perceber uma PG na terceira

coluna, grfico NPN, sendo esta de razo 2 e termo inicial igual a 1. Note ainda

que a segunda coluna d origem a uma sequncia que no uma PG, no entanto, se

subtrairmos o segundo termo pelo primeiro, o terceiro termo pelo segundo e assim

sucessivamente, obteremos a seguinte sequncia (2, 4, 8, 16, . . .) que uma PG derazo 2 com o primeiro termo igual a 2.

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3.2 Bibliografia

[1] ALMEIDA, T. B.; MARTINELLI, R. O.; RODRIGUES V. M.; SILVA, A.

M. M.FRACTAIS NO ENSINO FUNDAMENTAL: EXPLORANDO ESSANOVA GEOMETRIA.

[2] RINALDI R. M.; MENEZES M. dos S. GEOMETRIA FRACTAL: UMA

NOVA PROPOSTA PARA O ENSINO DO DESENHO GEOMTRICO.

[3] OLIVEIRA, D. A GEOMETRIA FRACTAL NO ENSINO FUNDA-

MENTAL E MDIO.

[4] BARBOSA, R.M.DESCOBRINDO A GEOMETRIA FRACTAL para a

sala de aula.

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