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TEORIA DO CAOS E FRACTAIS

David Rego Barnabé

Ricardo Borges da Costa

RESUMO

A natureza não é linear, por que a tratamos de tal maneira? Este trabalho apresenta de

forma mais concreta e simples a teoria do caos. Trata-se de uma teoria recente e

inovadora que modifica radicalmente a maneira de pensar a natureza e tratar seus

fenômenos. Esta nova ciência mostra o sentido da grande sensibilidade às condições

iniciais em qualquer sistema dinâmico e está particularmente interessada em

compreender os fenômenos turbulentos de tais sistemas, para tanto este artigo aborda a

seguinte estrutura: Primeiro daremos uma breve introdução ao tema, logo em seguida

será abordado um breve caráter histórico destacando as principais contribuições para

esta teoria, continuando com uma análise sobre “o efeito borboleta”, uma questão

bastante conhecido nesta área, prosseguindo com o atrator estranho e apresentando

assim o princípio da universalidade, até chegarmos então na linguagem do caos, os

fractais.

Palavras-chave: Caos. Atrator Estranho. Universalidade. Fractal.

INTRODUÇÃO

Os físicos acham que tudo o que temos de fazer é dizer: estas

são as condições, o que acontece em seguida?

RICHARD P. FEYMAN

“O caos dá lugar à ordem, que por sua vez dá lugar a novas formas de caos”

(STEWART, 1989, p.7). Não para o paradigma mecanicista que ignora a verdadeira

forma dos fenômenos naturais. Eis a questão. O que a ciência estudou, e ainda estuda,

predominantemente são regularidades na natureza, só que por muito tempo acreditou-se

que essas regularidades poderiam ser descritas por leis simples e determinísticas, através

das quais seria possível prever qualquer acontecimento ou fenômeno com exatidão

apenas conhecendo suas condições iniciais.

Graduando do V Período do curso de Licenciatura em Física do IFMA – Campus Imperatriz.

Graduando do V Período do curso de Licenciatura em Física do IFMA – Campus Imperatriz.

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A maneira como a ciência clássica aborda tais fenômenos é formalizada por

equações diferenciais lineares. Isso significa uma linearização da natureza, quando na

verdade o que predomina são fenômenos não-lineares. Contudo, os resultados desse tipo

de abordagem são tão satisfatórios em algumas situações particulares, que se chegou a

ignorar a não-linearidade.

Nenhum cientista teria coragem de publicar um artigo sobre determinado

experimento cuja sua conclusão afirmasse: “[...] obtive resultados totalmente aleatórios

em meus experimentos” (STEWART, 1989, p.138). Grande parte da comunidade

científica procura estudar o que é linear, o que é “fácil”, esquecendo ou fugindo da

realidade da natureza. Então como devem ser tratados os problemas mais gerais que não

se enquadram nesse tipo de abordagem clássica?

A esse tipo de fenômeno antes deixado à margem dos esforços científicos, é

necessária uma abordagem inteiramente nova, com métodos e ferramentas mais

adequados e que destrua a noção distorcida que se tem a respeito das irregularidades.

Essa abordagem é sugerida pela recente e complexa Teoria do Caos.

PRIMEIRAS CONTRIBUIÇÕES PARA A TEORIA DO CAOS

Um tolo não vê a mesma árvore que um sábio.

WILLIAM BLAKE, PROVERBS OF HELL

Um dos caminhos mais importantes para a evolução do pensamento sobre a

Teoria do Caos é trilhado pelo Henri Poincaré1 (1854-1912) e outros cientistas como os

franceses Jacques Hadamard2 (1865-1963) e Pierre Duhem

3 (1861- 1916), e o russo

Aleksandr Lyapunov4 (1857-1918). É importante ressaltar que o pensamento que deu

origem à teoria do caos teve várias outras contribuições.

Henri Poincaré, considerado um dos maiores estudiosos de todos os tempos,

contribuiu de forma contundente para o pensamento caótico. Bem antes dos estudos

modernos de caos, ele já havia abstraído a essência desta teoria.

1 Jules Henri Poincaré, nascido em Nancy, foi um matemático, físico e filósofo da ciência francês.

2 Jacques Salomon Hadamard, nascido em Versalhes, foi um matemático francês.

3 Pierre Maurice Marie Duhem, nascido em Paris, foi um físico francês.

4 Aleksandr Mikhailovich Lyapunov, nascido em Iaroslavl, foi um matemático e físico russo.

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Estimulado por um desafio proposto pelo rei Oscar II (1829-1907) da Suécia

em 1887, Poincaré deu seus primeiros passos para a construção de uma nova forma de

análise matemática: A topologia. O desafio era o seguinte: O sistema solar é estável?

Para tanto, Poincaré utilizou um modelo simplificado do sistema solar, o problema dos

três corpos conhecido como modelo reduzido de Hill. A partir desse estudo, Poincaré

percebeu algumas implicações importantes para a teoria do Caos. A mais importante

constatação é a da enorme dependência do sistema a condições iniciais, o que leva a

uma dúvida perfeitamente clara sobre a predição de um fenômeno. Nas palavras de

Poincaré:

Uma causa muito pequena, que nos passa despercebida, determina um efeito

considerável que não podemos deixar de ver, e então dizemos que o efeito é

devido ao acaso. Se conhecêssemos exatamente as leis da natureza e a

situação do universo no momento inicial, poderíamos prever exatamente a

situação desse mesmo universo em um momento seguinte. Contudo mesmo

que as leis naturais já não tivessem segredos para nós, ainda assim

poderíamos conhecer a situação aproximadamente. Se isso nos permitisse

prever a situação seguinte, com a mesma aproximação, seria tudo que

precisaríamos, e diríamos que o fenômeno tinha sido previsto, que é

governado por leis. Mas nem sempre é assim, pode acontecer que pequenas

diferenças nas condições iniciais produzam diferenças muito grandes nos

fenômenos finais. A previsão torna-se impossível. (POINCARÉ, 1908 apud

FERRARI, 2008, p.41)

A partir do estudo sobre o modelo reduzido de Hill, Poincaré constatou que

em condições reais, é impossível afirmar que a trajetória de um corpo celeste é

perfeitamente periódica, já que existem outros corpos agindo sobre o sistema. Na busca

do entendimento desse problema, o grande matemático desenvolveu uma novíssima e

revolucionária maneira de análise matemática de um sistema, a Topologia com a criação

do “mapa de Poincaré”.

No tocante à sensibilidade a condições iniciais, Jacques Hadamard

demonstrou como era complexo o movimento de uma partícula livre sobre uma

trajetória de curva negativa constante, o bilhar de Hadamard. Demonstrou de forma

matemática essa sensibilidade, pois mostrou que para condições iniciais diferentes, as

trajetórias divergiam consideravelmente. A respeito deste sistema, Pierre Duhem

afirmou no ano de 1906 em uma das suas obras que a dedução matemática para a

trajetória de uma partícula sobre o bilhar de Hadamard é para sempre inutilizável, pois

qualquer que fosse, por mínima que parecesse, uma mudança nas condições iniciais da

partícula, seria suficiente para provocar uma enorme divergência da trajetória final.

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Tal divergência pôde ser visualizada através de uma ferramenta poderosa

conhecida como expoente de Lyapunov, desenvolvida por Aleksandr Mikhailovich

Lyapunov e a escola russa de Gorki, que mede a taxa de divergência ou convergência

entre duas trajetórias vizinhas em um espaço de fase, diferenciando um sistema de

solução estável de outro de solução instável. (FERRARI, 2008).

Apesar desses primeiros indícios sobre a Teoria do caos, esta veio a se

estabelecer como ciência apenas na segunda metade do século XX. A esse atraso,

segundo David Ruelle1 (1935), são atribuídos dois fatores: O desenvolvimento da

Mecânica Quântica, que figurou como centro das atenções, e a inexistência de métodos

matemáticos adequados para a exploração de tais idéias.

O EFEITO BORBOLETA

Por falta de um prego, perdeu-se a ferradura;

Por falta de uma ferradura, perdeu-se o cavalo;

Por falta do cavalo, perdeu-se o cavaleiro;

Por falta do cavaleiro, perdeu-se a batalha;

Por falta da batalha, perdeu-se o reino!

AUTOR DESCOHECIDO

Já na década de 1960, o meteorologista Edward Lorenz2 (1917-2008) foi

responsável por uma guinada surpreendente na Teoria do Caos. A partir de seus estudos

meteorológicos com o seu computador, Lorenz descobriu que a atmosfera não tinha um

comportamento previsível.

Até então, o que predominava era uma modelagem matemática puramente

clássica dos fenômenos meteorológicos, ou seja, equações que seriam capazes de

possibilitar a previsão atmosférica em qualquer instante de tempo. No entanto, não era

isso que se observava. A atmosfera, apesar de estar sendo descrita por essas equações,

apresentava configurações bem diferentes de qualquer previsão. Esse fato levava ao

seguinte questionamento: Seria possível prever as condições do tempo através de um

rígido modelo matemático? Como se observou, as condições do tempo apresentam

irregularidades, no entanto seguiam um padrão. “Uma desordem ordenada” [3]

.

1 Pierre David Ruelle, nascido em Ghent, Bélgica é um franco-belga físico matemático, desde 2000 ele é

professor emérito e professor visitante do Rutgers University. 2 Edward Norton Lorenz, nascido em West Haven, foi um meteorologista e matemático estadunidense.

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Estudando uma modelagem matemática de apenas três equações para observar

as condições do tempo, baseada nas equações para a convecção térmica teorizadas por

B. Saltzman1 (1931-2000):

dx/dt = -10x + 10y

dy/dt = 28x – y – xz

dz/dt = 8/3z + xy

Onde as três variáveis significam a temperatura do ar, a velocidade do vento

e uma terceira característica da dinâmica ligada à maneira como a temperatura varia

com a altitude [2]

. Lorenz verificou em seu computador que para uma mudança mínima

em uma das variáveis, o resultado era uma solução bastante diferente.

Figura 1 - Partindo praticamente do mesmo ponto, Lorenz viu seu

computador de previsão do tempo produzir padrões que se

distanciavam cada vez mais, até que toda semelhança desaparecesse.

Em seu experimento computacional, Lorenz observou que em uma região

limitada do espaço existe uma porção do espaço de fase que atrai as trajetórias positivas

do ponto que se iniciam em pontos próximos a ele. Significa que apesar da divergência

entre os resultados, existe uma solução atratora. A representação gráfica desse

experimento em um espaço de fase é a seguinte:

1 Barry Saltzman, nascido em New York City, foi professor de geologia e geofísica.

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Figura 2 - Atrator de Lorenz: As trajetórias giram

de maneira aparentemente aleatória em torno dos

dois lobos.

Está claramente exposto nesse experimento um comportamento sensível a

condições iniciais. O que foi previsto por Poincaré, acaba de ser experimentalmente

constatado por Lorenz. No entanto, essa sensibilidade não implica dizer que os

resultados são completamente aleatórios, pois obedecem a uma ordem, como mostra o

Atrator de Lorenz que, no entanto, não faz do sistema algo previsível. Lorenz então

metaforiza: “Predictabilit: Does the Flap of a Butterfly’s Wings in Brazil set off a

Tornado in Texas? (Previsibilidade: A batida das asas de uma borboleta no Brasil

provoca um tornado no Texas?)” (FERRARI, 2008, p.46)

De fato, os resultados obtidos induzem a um questionamento a respeito da

previsibilidade de um fenômeno, não apenas no campo da meteorologia, mas em

inúmeros outros sistemas dinâmicos. Lorenz dá um dos passos mais importantes para o

surgimento da Teoria do Caos afirmando que “[...] qualquer sistema físico que se

comportasse de maneira não-periódica seria imprevisível”. (STEWART, 1989)

O ATRATOR ESTRANHO

Têm limites estranhos e é preciso aprender a observá-los.

SIR ARTHUR CONAN DOYLE, HIS LAST BOW

Lorenz utilizou em seu artigo uma poderosíssima ferramenta de análise

matemática. Seu sistema turbulento foi representado em um espaço de fase, ou seja, ele

transformou seu sistema de equações em uma imagem. Esse passo foi de grande

importância para o estudo de sistemas dinâmicos turbulentos, pois em um espaço de

fase, é possível obter as informações sobre este através de um ponto na figura gerada.

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Stephen Smale1 (1930), também na década de 60 chegou a introduzir uma

forma geométrica de interpretar um fenômeno caótico. É o que se conhece por

Ferradura de Smale, que consiste em um contínuo processo de esticar e dobrar. Imagine

um quadrado com dois pontos fixos próximos um do outro, estica-se o quadrado até

formar um retângulo e dobra-se de forma que este se reduza ao espaço plano delimitado

pelo primeiro quadrado. A partir de então, o processo é repetido. Veja a ilustração:

Figura 3 - Processo de Estique e dobre da Ferradura de Smale.

[4]

Verifica-se que após várias iterações, os dois pontos assumem trajetórias

bem distintas que pode levá-los a pontos bem separados.

Portanto, a ferradura de Smale é uma forma geométrica de se descrever um

sistema dinâmico determinístico, em que se mostra a presença da

imprevisibilidade da dinâmica em longo prazo (isto é, para tempos muitos

longos). (SMALE, 1999, p.39)

O experimento de Lorenz e construção geométrica de Smale eram

evidências de que as órbitas traçadas em um espaço de fase estavam sendo atraídas por

uma forma bem estabelecida. Foi o que em 1971 os cientistas David Ruelle e Floris

Takens2 (1940-2010) deram o nome de “Atrator Estranho” em um artigo sobre a

natureza da turbulência.

Um Atrator Estranho tem como características fundamentais uma

sensibilidade a condições iniciais e certa resistência em sua forma. Significa que em um

sistema dinâmico caótico, qualquer que seja a mudança nas condições iniciais deste, a

trajetória das órbitas desenhadas no espaço de fase sofre alterações em sua amplitude,

porém tende a ter comportamento padrão, o que determina a forma do atrator. Essa

segunda característica do atrator estranho é o que se chama de “robustez ou resistência

em relação a pequenas perturbações no sistema” (PALIS, 1989, p.169). Além disso, o

1 Stephen Smale, nascido em Flint, é um matemático estadunidense.

2 Floris Takens, nascido em Zaandam, foi um matemático holandês conhecido por contribuições à teoria

de sistemas dinâmicos caóticos.

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Atrator estranho está delimitado em certa região do espaço de fase que é chamada de

Bacia do atrator. Tais características podem ser observadas, por exemplos, no Atrator de

Lorenz, como ilustra a Figura 2.

Foram lançadas então as bases matemáticas dos sistemas turbulentos. Os

fenômenos até então deixados à margem do estudo científico passa a ter um forte aliado

nesse novo modelo de análise geométrica: A representação dos sistemas em um espaço

de fase.

A UNIVERSALIDADE DE FEIGENBAUM

Existe uma ordem natural universal? Mitchell Feigenbaum1 (1944) trilhou

um caminho considerado sombrio pelos físicos: A transição entre a ordem e o caos. O

que acontece nas transições de fase onde um sistema passa de um comportamento

estável para instável? Até meados do século XX, físicos e matemáticos costumavam

tratar a não-linearidade com o método matemático da perturbação, uma expansão de

termos não-lineares para se obter uma aproximação do comportamento deste na

equação. Porém, na década de 60, Kenneth Wilson2 (1936) propôs em seu estudo sobre

transições de fase, o que se chama de teoria de grupo de renormalização. O estudo sobre

a transição de fase recebe um novo tratamento, onde se observou a relação entre escalas

nesse processo, deixando de lado o processo de perturbação, considerado exaustivo.

A teoria de renormalização proporcionava uma maneira de desmontar a

complexidade, uma camada de cada vez [...]. Exigia uma boa dose de

engenhosidade para a escolha de cálculos adequados para captar a auto-

semelhança. (GLEICK, 1989, p.161)

Feigenbaum utilizou esse raciocínio no estudo da transição da estabilidade

para a turbulência. Descobriu algo bem interessante, essa passagem de estado seguia

uma regra de escala. Constatou que há uma duplicação de período nesses sistemas, uma

bifurcação e também uma constante que representa a razão entre duas bifurcações

consecutivas, a constante de Feigenbaum com valor aproximado de 4,6692.... Essas

características podem ser observadas no diagrama de bifurcação de Feigenbaum:

1 Mitchell Feigenbaum Jay, nascido em Filadélfia, Pensilvânia é um físico matemático, um dos pioneiros

em estudos de teoria do caos e descobridor da constante de Feigenbaum. 2 Kenneth Geddes Wilson nascido em Waltham, é um físico estadunidense.

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Figura 4 - A Figueira: Cascata de duplicação de períodos.

O interessante é que Feigenbaum conseguiu provar a aplicabilidade desse

padrão a funções matemáticas de naturezas diferentes. É um padrão universal. Um bom

exemplo é a construção do diagrama de bifurcação de Feigenbaum para o sistema de

equações de Lorenz, onde o mesmo padrão é observado.

Figura 5 - Diagrama de bifurcação para o atrator de Lorenz.

Significa que existe um padrão universal capaz de demonstrar a transição

para o caos de forma quantitativa e qualitativa. A grande idéia da universalidade de

Feigenbaum era de que resolvendo problemas fáceis, os físicos teriam noção de como

resolver os problemas mais complexos, pelo fato de se comportarem, a partir de certo

ponto, de maneira idêntica. (GLEICK, 1989)

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A MATEMÁTICA DO CAOS: FRACTAIS

As nuvens não são esferas, as montanhas não são cones, as

linhas costeiras não são círculos e a casca de uma arvore não

é suave, nem os relâmpagos se propagam em linha reta.

BENOIT MANDELBROT

Como compreender a natureza de características tão caóticas? As formas são

complexas e misteriosas, apesar de levarem o homem à conclusão da existência de

padrões. A geometria das formas regulares, tão aceita durante séculos pelos cientistas,

seria capaz de expor tal complexidade?

A natureza parece fugir das formas perfeitamente regulares. A geometria

euclidiana desde o fim do século XIX perde bastante espaço no estudo da natureza

devido a essa evidência. Assim como toda teoria física consolidada, o Caos também

precisa de uma linguagem que lhe faça entender, que lhe quantifique e que seja

consistente. Essa roupagem matemática existe e tem seu nome derivado do latim

fractus, que significa fração, quebrado, são os fractais. Esse termo foi proposto por

Benoit Mandelbrot em 1975.

A geometria Fractal trilhou um caminho bem distinto da Teoria do Caos

durante muito tempo. Surge justamente no momento de grande indagação sobre a

eficiência da geometria euclidiana, no fim do século XIX. A primeira grande

contribuição reconhecida do que se tornaria a geometria fractal é dada por Cantor1

(1845-1918) com a produção de uma estrutura matemática que continha, em cada uma

das suas partes, a representação do todo. Também já continha intrínseco o conceito de

dimensão fractal, já que um objeto unidimensional está sendo reduzido a partes tão

pequenas que em certo limite tenderia a um objeto adimensional, ou seja, representa o

intervalo, uma dimensão fracionária. Essa estrutura é conhecida como conjunto de

Cantor.

1 George Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, nascido em São Petersburgo foi um matemático russo de

origem alemã.

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Figura 6 - Conjunto de cantor

Em 1904, Helge von Koch1

(1870-1924) divulgou estruturas simples de

padrão matemático oculto: A curva de Koch o Floco de neve de Koch. (BUBLITZ,

2007) Essas curvas e também o conjunto de Cantor, assim como outras estruturas de

padrão complexo, eram consideradas aberrações matemáticas. A curva de Koch e o

floco de neve de Koch, assim como conjunto de Cantor, pareciam ser representações

visuais do conceito de infinito, pois se repetiam indefinidamente à medida que se

ampliava as figuras.

Figura 7 - Curvas de Koch: Acima estão três etapas da curva.

Na parte inferior está o floco de neves de Koch.

Um detalhe bastante intrigante no floco de neve de Koch é o fato de seu

perímetro tender a infinito quando o número de iterações for muito grande. É mais fácil

pensar nessa estrutura de maneira clássica, onde esse perímetro tenderia a um limite,

porém o que se constata é que apesar da área delimitada ser finita, as fronteiras podem

ser infinitamente aumentadas. (GLEICK, 1989)

1 Niels Fabian Helge von Koch, nascido em Estocolmo foi um matemático sueco.

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Até aqui já fica claro algumas características essenciais dos fractais. Uma

delas é a invariância com a mudança de escalas, ou seja, não importa se a figura está

ampliada ou reduzida, a imagem terá sempre o mesmo aspecto. Outra é que representam

uma forma de enxergar o infinito ao longo de iterações dinâmicas.

Além desses curiosos casos, dois outros são de extrema importância

ilustrativa para a compreensão, nesse novo raciocínio geométrico, do que é uma

dimensão fractal. São eles: a curva de Peano1

(1858-1932) e a curva de Hilbert2 (1862-

1943). São curvas formadas por retas, que contém uma dimensão segundo a geometria

euclidiana, que de acordo com o aumento de iterações tende a preencher uma área,

bidimensional.

Figura 8 - Processo de construção da curva de Peano.

A dimensão existente entre a reta e a superfície, que é o limite para infinitas

iterações, representa a dimensão fractal, uma dimensão fracionária. Apesar desses

estudos, maiores avanços foram impedidos pela falta de tecnologia adequada para o

tratamento de tais modelos.

A década de 60, esses padrões são estudados de uma forma mais detalhada

por Mandelbrot. Este cientista compreende a importância dessas estruturas e forma uma

idéia de universo baseada em formas que também seguiriam, na essência, certos padrões

em comum. Explicou por exemplo o problema do ruído em linhas telefônicas utilizando

o modelo de Cantor, afirmando que os ruídos obedeciam a certo padrão análogo.

Mandelbrot observou a natureza não como formas perfeitas, mas como algo caótico que

seguia um roteiro a ser descoberto.

1 Giuseppe Peano, matemático italiano.

2 David Hilbert, matemático alemão.

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Dizia: “As nuvens não são esferas, as montanhas não são cones, o

relâmpago não percorre uma linha reta.” (GLEICK, 1989, p.90 ). Propôs uma geometria

irregular, assim como a própria natureza, para descrever os fenômenos que expressasse

a forma do Universo. Observou as formas dos litorais e viu que tinham um

comprimento infinito à medida que se ampliava se aumenta a escala de medida.

Percebeu que as nuvens tinham aparência difícil de ser explicada pela geometria

clássica.

De fato, a auto-semelhança dos fractais é claramente observada na natureza.

Uma árvore de galhos secos mostra em cada parte, uma representação estatisticamente

próxima do todo. As folhas de uma samambaia, se ampliadas, revelam partes

semelhantes ao todo. Outros vários exemplos podem ser constatados. São chamados de

fractais naturais. Mandelbrot além de alargar o entendimento sobre os fractais foi

pioneiro na construção dessas estruturas a partir do uso de computadores. ( FUZZO,

2009)

Figura 9 - Fractal matemático criado por Benoit Mandelbrot.

A grande adequação dessa geometria à teoria do caos deve-se ao fato dos

atratores estranhos, como o de Lorenz e os mapas de bifurcação de Feigenbaum,

apresentam a característica de auto-semelhança e de dimensão fractal, ou seja, são

fractais. Tal como a natureza, essa geometria apresenta padrões caóticos. Fractais bem

complexos são formados de equações bem simples.

Está lançada a base matemática para o caos, uma ciência bastante complexa

que até então não tinha um rigoroso tratamento matemático. Os fractais estão para a

teoria do caos assim como a geometria euclidiana está para a física clássica.

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CONSIDERAÇÕES FINAIS

Com todo esse estudo a respeito da Teoria do caos, fica clara sua

importância para o estudo da natureza de forma mais palpável, um estudo mais realista

que modela o pensamento físico sobre o Universo. Pensar em sistemas perfeitos pode

ser bastante útil, mas é fato que as não-linearidades têm importância imprescindível no

desenvolvimento da ciência.

Para essa abordagem, a Teoria do Caos se apropria de uma tecnologia

avançada que, aliás, possibilitou seu desenvolvimento. É a tecnologia computacional. A

partir dela foi possível verificar padrões que só aparecem depois de inúmeras iterações

de um sistema dinâmico. Outra técnica bastante eficiente e que foi enormemente

difundida pelo estudo do caos foi a utilização de espaços de fase para representar

graficamente sistemas altamente complexos.

O determinismo clássico vem sendo substituído por outra maneira mais

sistêmica de visualizar o Cosmos. Assim como a Mecânica Quântica, o Caos vem

contribuir para a substituição definitiva desse paradigma. As fragilidades da Física

determinística são dissecadas e expostas à comunidade científica. Isso devido à

comprovação de padrões caóticos em equações antes consideradas bem comportadas. O

Caos se mostra uma ciência que estuda o Universo tal como ele é.

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REFERÊNCIAS

STEWART, Ian. Será que Deus Joga Dados? Rio de Janeiro: Jorge Zahar Editora,

1989.

FERRARI, Paulo Celso. Temas contemporâneos na formação docente a distância:

uma Introdução à Teoria do Caos. 2008. Tese (Doutorado educação científica e

tecnológica)-Universidade Federal de Santa Catarina. Florianópolis, 2008. Disponível

em < http://www.ppgect.ufsc.br/teses2008/paulo_celso/tese.pdf> Acesso em

01/07/2010.

GLEICK, James. Caos: a criação de uma nova ciência. Rio de Janeiro: Editora Campus,

1989.

SMALE, Steve. Uma ferradura nas praias do Rio de Janeiro. Ciência Hoje, v. 26, n.

156, dez. 1999. Disponível em < www.lavi.coppe.ufrj.br/savi/Ensino/.../Smale%20-

%20Ciencia%20Hoje.pdf> Acesso em 01/07/2010.

PALIS, J. Sistemas caóticos ou turbulentos, atratores e bifurcações homoclínicas.

IMPA, Rio de Janeiro, 1989. Disponível em < http://www.rmu.sbm.org.br/Conteudo/

n09_n10/n09_n10_Artigos09.pdf> Acesso em 01/07/2010.

FUZZO, R. et.al. Fractais: Algumas características e propriedades. Núcleo de

pesquisa multidisciplinar/Encontro de produção científica e tecnológica, Campo

Mourão, 2009. Disponível em < http://www.fecilcam.br/nupem/anais_iv_epct/PDF/

ciencias_exatas/10_FUZZO_REZENDE_SANTOS.pdf> Acesso em 01/07/2010.

BUBLITZ, Aline; NUNES, Jéssica. A magia dos fractais. XXIII Feira Regional de

Matemática, Pomerode/SC, 2007. Disponível em <https://www.furb.br/especiais/

download/657335-699561/modelo_relatorio_trabalhos.pdf> Acesso em 01/07/2010.