FractaisI

     

José Garcia Vivas Miranda

1º Dia Era uma vez...

Que são Fractais;

Conceitos;

Fractais e a Natureza;

Monstros Matemáticos;

Como construir-los;

Como caracteriza-los;

Índices Fractais;

... final século XIX e inicio do XX, Henrí Poincaré abre um caminho comum entre o simples (previsível) e o complexo (caótico)...

Dinâmicas simples poderiam gerar formas complexas.

... em paralelo, matemáticos como, Cantor, Peano, Hilbert iniciaram mudanças profundas nos conceitos de topologia, os “Monstros matemáticos”...

... Richardson em 1961 se pergunta: “Quanto mede um costa litorânea”... (exemplo da fronteira ES-PT).

... 1975 Mandelbrot junta tudo ecunha o termo FRACTAL

Histórico

TÓPICOS Era uma vez...

Que são Fractais;

Conceitos;

Fractais e a Natureza;

Monstros Matemáticos;

Como construir-los;

Como caracteriza-los;

Índices Fractais;

Que são fractais

Definições formais:

“Um objeto é considerado fractal quando sua dimensão de medida é maior que sua dimensão topológica e menor que sua dimensão de imersão”

Hausdorff

“Um fractal é uma figura feita de partes similares ao todo de alguma forma”

Mandelbrot

CONCEITOS

Que são fractais

Idéia de autosemelhança

Semelhança entre escalas (autosemelhança)

Cada tipo de árvore tem um padrão de autosemelhança próprio.

Que são fractais

Autosemelhança em estruturas naturais

Que são fractais

600 602 604 606 608 610-100

0100200300400

Tiempo

H=

0,9

-15-10-505

10

H=

0,5

-2-10123

H=

0,1

Autosemelhança em estruturas naturais

Que são fractais

600 602 604 606 608 610-100

0100200300400

Tiempo

H=

0,9

-15-10-505

10

H=

0,5

-2-10123

H=

0,1

Fractais e a Natureza NATUREZA

Fractais e a Natureza

Exemplo de autosemelhança

Fractais e a Natureza

Fractais estão por todas as partes.

Nuvens;

Montanhas;

Árvores;

Pulmões;

Rochas;

Coração;

Chuvas;

Música;

Estrelas;

Passag. do Ferry;

Ruídos;

etc..

Fractais e a Natureza

Porque a Natureza escolheu esta forma de estruturar-se ?

Para responder temos que conhecer os Monstros Matemáticos.

TÓPICOS Era uma vez...

Que são Fractais;

Conceitos;

Fractais e a Natureza;

Monstros Matemáticos;

Como construir-los;

Como caracteriza-los;

Índices Fractais;

Monstros Matemáticos

O Conjunto de Cantor

Monstros Matemáticos

A Curva de Koch

Monstros Matemáticos

A Curva de Peano

Monstros MatemáticosCOMO CONSTRUIR

Técnica da substituição de strings.

‘F’ == Passo a frente

‘+’ == Gira a direita de um ângulo A

‘-’ == Gira a esquerda de um ângulo A

Gerador

‘F’ “F-F++F-F”

Ângulo de 60º.

Exemplo da curva de Koch

F

(F – F ++ F – F)

(F-F++F-F)- (F-F++F-F)++ (F-F++F-F)- (F-F++F-F)

...

Monstros MatemáticosCOMO CONSTRUIR

Técnica da substituição de strings.

F

F

F FF-

++

-FractalStr

Monstros MatemáticosCOMO CONSTRUIR

Técnica da substituição de strings parte II

(Os fantasmas)‘F’ == Passo a frente‘+’ == Gira a direita de um ângulo A‘-’ == Gira a esquerda de um ângulo A‘X’ == Não faz nada‘Y’ == Não faz nada

FX

F X + Y F +

F (X + Y F +) + (- F X - Y) F +

...

Gerador‘F’ ‘F’‘X’ “X+YF+”‘Y’ “-FX-Y”Ângulo de 90º.

Exemplo do dragão

Monstros MatemáticosCOMO CONSTRUIR

Técnica da substituição de strings parte II

(Os fantasmas)

Exemplo do dragãoFractalStr

‘F’ == Passo a frente‘+’ == Gira a direita de um ângulo A‘-’ == Gira a esquerda de um ângulo A‘X’ == Não faz nada‘Y’ == Não faz nada‘[‘ == Salva posição corrente.‘]‘ == Recupera posição corrente.

Monstros MatemáticosCOMO CONSTRUIR

Técnica da substituição de strings parte III

(As Arvores)Exemplo da Arvore

Gerador‘F’ “FF-[-F+F+F+F]+[+F-F-F]

Ângulo de 22º.

Monstros MatemáticosCOMO CONSTRUIR

Exemplo da Arvore

FractalStr

Monstros MatemáticosCOMO CONSTRUIR

OBSERVAÇÃO

Não sei se deu para perceber, mas até aqui todos as figuras são,

perfeitamente DETERMINÍSTICAS!!!!

Conceito de simples complexo

de Poincaré

Monstros MatemáticosCOMO CONSTRUIR

Incluindo aleatoriedade.

A curva de Koch aleatória

Ângulos aleatórios.

Monstros MatemáticosCOMO CONSTRUIR

Incluindo aleatoriedade.

Arvore aleatória

Ângulos aleatórios.FractalStr

TÓPICOS Era uma vez...

Que são Fractais;

Conceitos;

Fractais e a Natureza;

Monstros Matemáticos;

Como construir-los;

Como caracteriza-los;

Índices Fractais;

Monstros MatemáticosCARACTERIZANDO

Qual o comprimento da curva de Koch ?

Mas antes, o que é comprimento ?

L = N()

Se medimos o N() para diferentes escalas:

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

0

10

20

30

40

50

N()

N() = 1/ 1 1 1

0,5 2 1

0,25 4 1

0,125 8 1

N() L

Dimensão Fractal

Fazendo o mesmo para áreas...

L = N()

0,0 0,5 1,0 1,5-200

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

N()

N() = 1/

Dimensão Fractal

E para a Curva de Koch ?

Que utilizar? Segmentos ou ladrilhos?

Se utilizamos segmentos

N() = 1

N() = 4

N() = 16

N() = 64

0,0 0,5 1,0

0

10

20

30

40

50

60

70

N()

N() = 1/

1 1 1

0,333 4 1,3

0,111 16 1,8

0,037 64 2,4

N() L

L0

lim

Dimensão Fractal

Juntando tudo...

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0-10

0

10

20

30

40

50

N()

Reta Plano Koch

Topologicamente a curva de Koch esta entre uma reta e um plano.

Generalizando...

N() = 1/D

onde D é a dimensão Fractal do objeto

Este método é conhecido como contagem de caixas. (box counting)

Dimensão Fractal

Método de contagem de caixas

•Calcular a dimensão fractal de sua assinatura!!!•Calcular a dimensão fractal de uma imagem

(programa Robson).

Porque a Natureza escolheu esta forma de estruturar-se ?

Dimensão Fractal

Resp.: Uma questão de economia!!

Dimensão Fractal

Conceito topológico de Dimensão

“Um objeto é considerado fractal quando sua dimensão de medida é maior que sua dimensão topológica e menor que sua dimensão de imersão”

Hausdorff

Dimensão Fractal

Prática,

Calcular a dimensão fractal de uma bolinha de papel!!!

Dimensão Fractal

Dever de casa,

Construir um novo Fractal!

Pensar em um método para calcular D para papeis rasgados.