1

FRACTAIS, NA SALA DE AULA Cristiane Novaki

Josiane da Silva Nassar Barankievicz Maria Eugênia de Carvalho e Silva

RESUMO :

O presente estudo descreve os objetos e fenômenos naturais onde a geometria tradicional não se aplica, ou seja, são descritos através da geometria fractal que também é conhecida como geometria da natureza. Benoit Mandelbrot foi quem deu o passo inicial no estudo de fractais e com o avanço das tecnologias o seu estudo vem despertando cada vez mais o interesse de estudiosos em busca de soluções para situações cotidianas. Os fractais podem ser encontrados em todo o universo natural e servem para sua compreensão, despertam a curiosidade de muitos devido a sua beleza infinita e auxiliam outras áreas de pesquisa, como por exemplo a Física, Geografia, computação gráfica e até mesmo a medicina . Seu estudo deve ser levado em conta e pode ser trabalhado em sala de aula através de pesquisas para que os alunos possam entender melhor sobre o desenvolvimento da vida no planeta, bem como suas características. As atividades que podem ser desenvolvidas em sala de aula vão estimular e despertar o interesse dos alunos pelos fractais e também pelo conteúdo de geometria que está tão presente no cotidiano dos mesmos.

Palavras-chave: Fractais, Benoit Mandelbrot, geometria.

ABSTRACT:

The present study describes the natural objects and phenomena where traditional geometry which is also known as the geometry of nature. Benoit Mandelbrot was the one who gave the initial step in the study of fractals and the advancement of technology its study has attracted increasing interest from scholars in search of solutions to everyday situations. Fractals can be found throughout the natural world and serve to your understanding, arouse the curiosity of many due to its infinite beauty and help other areas of research such as physics, geography, computer graphics and even medicine. Their study should be taken into account and can be worked into the classroom through research so that students can better understand the development of life on the planet and its features. The activities that can be developed in the classroom will stimulate and arouse the interest of students and also by the fractal geometry content that is so present in everyday life the same.

Keyword: Fractals, Benoit Mandelbrot, geometry

1 INTRODUÇÃO:

"Nuvens não são esferas, montanhas não são cones, continentes não são

círculos, o som do latido não é contínuo e nem o raio viaja em linha reta."

2

Benoit Mandelbrot (em seu livro "The Fractal Geometry of Nature" – 1983,segundo

Rodrigo Siqueira, 2005).

Alguns cientistas já expressavam a ideia de fractais em seus trabalhos,

porém não lhes davam muita importância, Benoit Mandelbrot que fazia seus estudos

baseando - se sempre na geometria foi quem deu o passo inicial no estudo dos

fractais, aperfeiçoando técnicas de estudo, definindo suas estruturas, suas

propriedades e aplicações. O termo foi utilizado pela primeira vez em 1967, e vem

do adjetivo latino fractus, que significa quebrado, irregular.

O conceito de fractais surgiu através de tentativas de medir o tamanho de

objetos para os quais as definições tradicionais baseadas na geometria euclidiana

não se aplicavam, já que nem todas as formas se resumiam a pontos, retas ou

planos. Na geometria euclidiana os objetos ampliados perdem seus dados, como por

exemplo, a circunferência, que ao ser ampliada infinitamente não se consegue

diferenciar uma parte sua com uma linha reta. Já nos fractais, isto não ocorre,

quando um fractal é ampliado mantém-se a sua estrutura, ou seja, uma pequena

parte sua corresponde à figura em sua totalidade. Há também os fractais como a

Curva de Peano, onde é possível observar que a partir de algumas iterações sua

estrutura preenche o plano. A figura abaixo mostra algumas iterações da Curva de

Peano:

Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm43/exempl_f.htm

3

"A Geometria dos Fractais não é apenas um capítulo da Matemática, mas

também uma forma de ajudar os Homens a verem o mesmo velho Mundo

diferentemente" Benoit Mandelbrot (citado por Favretto, 2007).

2 A DEFINIÇÃO DE FRACTAL

“Os fractais são formas geométricas que repetem sua estrutura em escalas

cada vez menores” (STEWART, 1996, p. 12).

Nos últimos anos, diferentes definições de fractais têm surgido, mas

segundo Benoit Mandelbrot, em SIQUEIRA 2005, os fractais não são formas

irregulares, muito pelo contrário, possuem regularidade impressionante que se

repete infinitamente, mesmo limitada a uma área finita.

“Um fractal é uma forma geométrica que pode ser subdividida em partes

menores, sendo que cada uma dessas partes é uma cópia reduzida da forma

inteira.” LOPES, 2011.

As principais características de um fractal são:

Complexidade infinita: quanto mais uma imagem é ampliada, mais detalhes

vão surgindo, sendo impossível representá – los totalmente.

Auto semelhança: independente da ampliação considerada, a imagem inicial

apresentará infinitas cópias de si em seu interior. As semelhanças podem ser exatas

(réplicas perfeitas) ou estatísticas (as imagens apresentam os mesmos padrões e as

mesmas características).

Segundo SIQUEIRA, 2005 um fractal pode ser gerado a partir de uma equação

matemática simples utilizando-se apenas de um programa computacional. As

imagens resultantes de iterações computacionais são conhecidas como fractais de

4

fuga, diferente dos geométricos que repetem um modelo padrão e são criados pelo

homem. Os fractais aleatórios são os que encontramos na natureza, também

conhecidos como pseudo – fractais.

3 ONDE OS FRACTAIS PODEM SER ENCONTRADOS

Segundo ROTINI, 2011, os fractais estão presentes na arte, através da

música e de sua beleza; na natureza, desde fenômenos e aspecto de vegetais e

nuvens, até à distribuição das galáxias; na física possibilita o estudo de superfícies

irregulares; na biologia ajuda a compreender o crescimento e desenvolvimento das

plantas; na medicina, dá uma nova visão da anatomia humana e ajuda a estimar o

tamanho de várias patologias sendo o câncer uma das principais; na geografia ajuda

a descrever a forma de um rio, a fronteira de um país.

3.1 MÚSICA

Segundo BATANETE, 2005, a música fractal só pode ser criada com o auxílio

de um programa computacional adequado, onde um algoritmo é aplicado múltiplas

vezes a partir da imagem de um fractal. O programa se encarrega de aplicar cada

uma das cores de um pedaço de fractal a uma nota musical, e ao utilizá – las como

guia, linha por linha, a canção vai surgindo. O fractal mais utilizado neste processo é

o Conjunto de Mandelbrot.

5

Conjunto de Mandelbrot

Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm14/conjmandelbrot.htm

3.2 ARTE E ANIMAÇÃO

Por serem belos e fascinantes, os fractais encontram aplicações artísticas

variadas, como gerar texturas, simulação de vegetação e confecção de paisagens,

segundo SALLA. Na computação gráfica vem ganhando espaço devido à facilidade

de se criar elementos da natureza, sendo que cineastas também usam a arte fractal

para criar mundos artificiais mais realistas.

3.3 NATUREZA

Os fractais naturais também são conhecidos como pseudo – fractais.

Possuem estrutura auto-similar ao longo de um prolongamento finito, ou seja, uma

pequena parte de um fractal natural é semelhante ao todo, mas não é idêntica, em

FERNANDES,2007. São considerados pseudo - fractais as árvores, samambaias,

brócolis, couve-flor, raios. Deve – se lembrar que os fractais naturais são

considerados falsos por apresentarem dimensão limitada.

6

Exemplo de um pseudo – fractal: a samambaia

Fonte:http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diadia/arquivos/File/conteudo/ar

tigos_teses/MATEMATICA/MonografiaFractais.pdf

3.4 MEDICINA

A geometria fractal auxilia nos estudos da anatomia humana e também

serve como um método de diagnosticar várias doenças, sendo um exemplo o

câncer, pois os tumores cancerosos possuem dimensão fractal superior à dos

tecidos normais. Segundo alguns estudos realizados na década passada um

coração saudável bate a um ritmo fractal na medida que, um batimento cardíaco

quase periódico, é um sintoma de insuficiência cardíaca.

7

Imagens do epitélio cervical

Fonte: http://cftc.cii.fc.ul.pt/PRISMA/capitulos/capitulo2/modulo4/topico9.php

4 A ABORDAGEM DOS FRACTAIS NO ENSINO DA MATEMÁTICA

O ensino de fractais na escola propicia ao aluno a oportunidade de um

ensino diferenciado da geometria euclidiana, onde eles passam a entender a

geometria de objetos não tradicionais e conseguem estabelecer relações

matemáticas para auxiliar no estudo de fenômenos naturais. Na construção dos

fractais a seguir, o aluno irá rever alguns conteúdos matemáticos já estudados,

sendo permitido ao aluno fazer as conexões entre a geometria tradicional e a

geometria fractal. É imprescindível a atenção e o raciocínio do aluno durante a

realização das atividades.

4.1 O CALEIDOSCÓPIO E OS DESENHOS DE M.C. ESCHER

8

O caleidoscópio, figura 1, proporciona aos alunos a visualização de

inúmeras figuras geométricas que se repetem várias vezes. Essas figuras não são

fractais, mas dão uma noção de repetição. O caleidoscópio pode ser construído em

sala de aula pelos próprios alunos. Nesse momento, também é interessante mostrar

aos alunos algumas gravuras de M. C. Escher, nas suas imagens o plano é

preenchido com imagens pequenas que se repetem, seguindo uma sucessão

geométrica, como mostra a figura 2.

Figura 1: caleidoscópios produzidos manualmente

Fonte: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=25131

Figura 2: gravura de M.C.Escher

Fonte: “Circle Limit III”, M.C. Escher(1959), em Wikipédia.org

9

Na construção, utilizam – se os seguintes materiais:

réguas ( 30cm ) de acrílico transparente

papel alumínio e filme plástico transparente

canudos coloridos cortados em pedacinhos, miçangas ou pedacinhos

de papel colorido bem pequenos.

cartolina, papel crepom colorido

tesoura, cola e fita adesiva.

Para a montagem, são seguidos os seguintes passos:

Juntar as três réguas em forma de prisma triangular e prendê-las com

fita adesiva.

Passar filme plástico transparente em um dos lados para cobrir o

fundo e prendê-lo com fita adesiva.

Com um pedaço de cartolina criar o compartimento onde ficarão as

pecinhas coloridas, recortar o papel e prendê-lo no instrumento com

fita adesiva, deixando uma borda de um centímetro para fora.

Colocar as pecinhas coloridas no compartimento, e passar o filme

plástico para prender as pecinhas no compartimento.

Na extremidade oposta, encaixar outro pedaço de cartolina, com um

furinho no meio.

Encapar o instrumento com papel alumínio, mas não fechar as

extremidades.

Encapar o caleidoscópio.

10

Ao se construir o caleidoscópio são abordados alguns conteúdos da

matemática, o professor pode retomar a ideia de prismas, bem como o cálculo de

área e volume do mesmo. As unidades de medidas estarão sendo trabalhadas todo

tempo.

No lugar das réguas e do papel alumínio, podem ser usados espelhos.

4.2 LEVAR OS ALUNOS PARA RECONHECER OS FRACTAIS NA NATUREZA

Fora da sala de aula, em um campo ou jardim, fazer com que os alunos

procurem exemplos de fractais na natureza, os mesmos podem tirar fotos e montar

um mural com as imagens dos objetos encontrados, também podem pesquisar

imagens na internet. Logo após o processo da coleta de imagens eles devem fazer

as comparações existentes entre as formas geométricas tradicionais e os fractais,

podem fazer levantamentos, investigações e tirar suas próprias conclusões em cima

do tema. A atividade se torna interessante pelo fato do aluno entrar em contato

direto com a natureza, passando a observá – la e a compreender melhor a

diversidade de formas encontradas, sendo também uma forma de se trabalhar os

cuidados com o meio ambiente.

Conteúdos matemáticos abordados: Os alunos deverão fazer a comparação

entre as geometrias euclidianas, aspectos e diferenciação das não – euclidianas,

neste caso, os fractais.

A figura abaixo mostra alguns exemplos de fractais na natureza, através dela

o aluno consegue fazer a comparação entre o conteúdo geométrico estudado em

sala de aula e a geometria fractal, bem como entender melhor sua estrutura:

11

Fractais na natureza

Fonte: http://pattindica.wordpress.com/2008/09/24/17-exemplos-de-fractais-na-natureza/

4.3 CONSTRUÇÃO DO CONJUNTO DE CANTOR

12

Segundo SILVA, 2008, o conjunto de Cantor, cujo estudo restringe-se ao

termo médio, é um dos temos mais conhecidos sendo desenvolvido por George

Cantor. Este fractal é construído de um segmento de comprimento unitário, onde é

removido o terço central, obtendo dois segmentos, que por sua vez são submetidos

à mesma operação. (LEMOS, 2004).

A figura 8, mostra um exemplo do conjunto de Cantor.

Para a construção do conjunto de Cantor devem ser seguidos os seguintes

procedimentos:

1º: Cortar tiras de papel colorido com o comprimento de

27 cm.

2º: Dobrar uma das tiras de forma que obtenha três tiras com o

mesmo comprimento.

3º: Eliminar a tira central, deixando apenas duas dessas tiras, com 9

centímetros.

A partir da tira dividida, repetir os procedimentos 2 e 3 quantas vezes

quiser.

Durante todo o trabalho a ideia de fração estará presente, assim como as

unidades de medidas, com a montagem de tabelas e a observação dos resultados

pode surgir também a ideia de sequência numérica e de progressões, o professor

também pode trabalhar com o aluno a ideia de limites.

13

Figura 8: conjunto de Cantor

4.4 CONSTRUÇÃO DA CURVA DE KOCH

A Curva de Koch é uma curva geométrica e um dos primeiros fractais a

serem descritos. Aparece pela primeira vez num artigo de 1906, intitulado “Une

méthode geometrique élémentaire pour l’étudie de certaines questions de La théorie

dês courbes planes”, de autoria do matemático sueco Helge Von Koch. Conhecida

também como floco de neve, sua construção inicia com uma linha reta chamada de

iniciador. A figura 9 mostra a Curva de Koch.

A maneira de construir a curva de Koch torna aparente duas propriedades.

Primeiro ela tem comprimento infinito e segundo ela é auto - similar.

Para a construção da Curva de Koch devem ser seguidos os seguintes

procedimentos:

Utilizar a rede triangular para construir a Curva de Koch, seguindo os

procedimentos a seguir.

1º: desenhar um segmento de reta ligando 10 pontos da rede

triangular.

14

2º : dividir o segmento em três segmentos iguais,substituí-los por

quatro congruentes sendo o intermediário um triângulo equilátero sem

a sua base.

3º : dividir cada segmento em três segmentos iguais, substituí-los por

quatro congruentes sendo o intermediário um triângulo equilátero sem

a sua base.

4º : substituir cada um dos segmentos originados seguindo a regra 2

e repeti-los quantas vezes for possível.

Na construção da Curva de Koch, o tempo todo serão trabalhados conceitos

simples de geometria, como segmentos de reta e triângulo eqüilátero, os alunos

também podem fazer a construção de uma tabela e anotar os resultados obtidos

para cada etapa do processo, poderão trabalhar com a ideia de fração e também

com sequências numéricas. A atividade é interessante e vai exigir a concentração

dos alunos em sua realização.

Figura 9: Curva de Koch

Fonte: http://fractais-mat-unisc.blogspot.com/2010/01

15

4.5 CARTÕES DEGRAUS CENTRAIS

“A atividade de construção de cartões fractais tridimensionais é uma forma

motivadora e interessante de apresentar a geometria dos fractais para os estudantes

de Ensino Fundamental, pois, devido ao apelo estético e aos conteúdos

matemáticos, envolve e captura a atenção dos alunos.”( BECKER).

Na construção do cartão degrau central seguem – se os seguintes procedimentos:

1º: dobrar uma folha de sulfite A4 ao meio.

2º : Fazer dois cortes laterais como indica a figura.(divida a base em

4 partes e corte nas divisões da extremidade).

3º : dobrar o retângulo formado para cima até fazer uma marca.

4º : repetir os procedimentos 2 e 3, quantas vezes possíveis.

Procedimento final: voltar o retângulo dobrado para a posição inicial e

puxar a figura em relevo. Como mostra a figura 10.

O conceito de retângulo pode ser retomado durante a realização da

atividade e a ideia de limite também estará presente nesta atividade, o aluno poderá

também fazer diferentes cortes e explorar discutir sobre o material a partir dos

resultados obtidos, esse material é excelente para se trabalhar com o ensino

fundamental.

Figura 10: Cartão degrau central

16

Fonte: http://www.unifan.edu.br/files/pesquisa/A%20GEOMETRIA%20FRACTAL%20NA%2

0SALA%20DE%20AULA%20-%20Heloiza%20Malta%20Teixeira.pdf

4.6 TRIÂNGULO DE SIERPINSKI

Este fractal possui algumas propriedades:

Ter tantos pontos como o conjunto dos números reais.

Ter área igual a zero.

Ser auto – semelhante.

Não perder sua definição inicial à medida em que é ampliado.

(SIMONE, 2010).

17

4.6.1 Procedimentos:

1º: desenhar um triângulo equilátero.

2º: no interior do primeiro triângulo formado ligar os pontos médios de

seus lados formando outros triângulos também equiláteros.

3º: nos triângulos formados repetir o segundo procedimento. (figura

11)

4.6.2 Conteúdos matemáticos abordados:

A ideia de triângulo equilátero e ponto médio estarão presentes durante a

realização de todo processo, também poderá ser construída uma tabela para

anotação de resultados obtidos e depois poderão ser trabalhadas sequências

numéricas.

Figura 11: Triângulo de Sierpinski

Fonte: http://www.ceticismoaberto.com/ciencia/2139/fractais-uma-nova-viso-da-natureza

18

5 CONCLUSÃO

Este trabalho teve como objetivo mostrar de uma forma simples o que são fractais, sua origem e onde são encontrados, além de sua construção, permitindo ao aluno visualizar a matemática de uma forma divertida e prática sem deixar de lado o conhecimento científico matemático. O desenvolvimento dessas atividades estimula o aluno a pesquisar, discutir e levantar hipóteses sobre o meio em que ele está inserido, pois percebe que a matemática é alvo de constantes estudos e ainda tem importantes aplicações em outras áreas como na arte, na música, na medicina, na biologia, na física. É importante que o aluno perceba que a matemática não está ligada somente a cálculos e mais cálculos, mas que também ajuda o ser humano a compreender o meio que o cerca, seu desenvolvimento, alguns fenômenos e que vivemos cercados de objetos incrivelmente belos e que podem ser alvos de estudo em sala de aula.

REFERÊNCIAS

ARAÚJO,Keli. Fractais, 2010. Disponível em: http://fractais-mat-unisc.blogspot.com/2010/01 Acesso em 29 mar.2012 BATANETE, Ana.Natureza caos ou ordem, 2005 Disponível em: http://www.docstoc.com/docs/53351114/O-que-%C3%A9-um-fractal Acesso em 6 jan.2012 BECKER, Theodoro Almeida. Fractais no ensino fundamental:explorando essa nova geometria. Disponível em: ftp://ldc.feis.unesp.br/silvia/matematica.../mat_elem_texto_02.pdf Acesso em 23 fev.2012 CARREIRA, Ana Sofia Nunes. Geometria a várias dimensões. Disponível em: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm43/exempl_f.htm Acesso em 10 jan.2012 COUTINHO, Andrea Senra. Portal do professor, caleidoscópio: brincadeira e arte http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=25131 FAVRETTO, Jucela Regina. Simetria na natureza, 2007. Disponível em: http://proascg2.pbworks.com/w/page/18658032/Jucela%20Regina%20Favretto Acesso em 10 jan.2012 FERNANDES, Jaqueline Aparecida. fractais: uma nova visão da matemática, 2007. Disponível em: http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diadia/arquivos/File/conteudo/artigos_teses/MATEMATICA/MonografiaFractais.pdf Acesso em 12 fev.2012 Fractais na natureza.

19

Disponível em: http://pattindica.wordpress.com/2008/09/24/17-exemplos-de-fractais-na-natureza/ Acesso em 11 fev. 2012 Fractal. Wikipédia enciclopédia livre weber mota Disponível em: http//:pt.wikipedia.org/wiki/geometria_dos_fractais> Acesso em 19 dez. 2011

KINOUCHI, Osame.Uma nova visão da natureza, 2009. Disponível em:http://www.ceticismoaberto.com/ciencia/2139/fractais-uma-nova-viso-da-natureza Acesso em 22 fev. 2012

LEMOS, Filipe Daniel, 2004. Utilização do Conjunto de Cantor para a resolução da Torre de Hanói. Disponível em: htpp//paginas.fe.up.pt/~ei03045/Page/cantor-hanoi.pdf Acesso em 18 jan. 2012

LOPES,Fernando. As maravilhas da matemática, 2011. Disponível em: htpp//fernandoloppes.blogspot.com/2011/05/fractal.html Acesso em 10 jan.2012.

Mais que uma linha, menos que uma superfície. Disponível em: omnis.if.ufrj.br/~carlos/infoenci/projetos/fractais.html Acesso em 18 dez.2012

M.C. Scher, Wikipédia. http://en.wikipedia.org/wiki/M._C._Escher NUNES, Ana. Fractais e a geometria da natureza. Disponível em: http://cftc.cii.fc.ul.pt/PRISMA/capitulos/capitulo2/modulo4/topico9.php Acesso em 10 fev. 2012

ROTINI, Ednilson.A matemática ajudando a salvar vidas, 2011 Disponível em : http://parquedaciencia.blogspot.com.br/2011/09/fractais-matematica-ajudando-salvar.html Acesso em 10 fev. 2012

SALLA, Fernanda. O que são fractais. Disponível em: http://mundoestranho.abril.com.br/materia/o-que-sao-fractais Acesso em 7 jan.2012

SILVA, Pryscilla dos Santos Ferreira. Conjuntos de cantor, 2008. Disponível em: htpp//www2.iofs.br/sigma/arquivos/ctcc/ctcc04.32008.pryscillasilva.pdf Acesso em 19 dez. 2011.

SIQUEIRA, Rodrigo. Fractais, arte e ciência, 2005. Disponível em: http://www.insite.com.br/rodrigo/misc/fractal/

20

Acesso em 5 jan.2012

SIQUEIRA, Rodrigo. Janelas para o infinito. Disponível em: http://www.fractarte.com.br/artigos.php Acesso em 5 jan. 2012 TEIXEIRA, heloiza Malta.Faculdade Alfredo Nasser, a integração da geometria fractal em sala de aula, 2010. Disponível em: http://www.unifan.edu.br/files/pesquisa/A%20GEOMETRIA%20FRACTAL%20NA%20SALA%20DE%20AULA%20-%20Heloiza%20Malta%20Teixeira.pdf Acesso em 23 fev.2012