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[EXPLORANDO CARTES FRACTAIS NA SALA SE AULA]

PAGE 18

fractais no ensino fundamental: Explorando essa nova geometria

Theodoro Becker de Almeida, PUCRS (beckerdealmeida@yahoo.com.br)

Rodiane Ouriques Martinelli, PUCRS (rodianemartinelli@yahoo.com.br)

Virgnia Maria Rodrigues, PUCRS (virginia@pucrs.br)

Ana Maria Marques da Silva, PUCRS (ana.marques@pucrs.br)

Introduo

Durante sculos, os objetos e os conceitos da geometria euclidiana foram considerados aqueles que melhor descreviam o mundo em que vivemos. Cientistas conceberam uma viso da natureza a partir de conceitos e formas de figuras regulares e diferenciveis.

Nos ltimos quarenta anos, vem se desenvolvendo um novo ramo da geometria que modela as irregularidades da natureza, a geometria fractal. Figuras que no incio do sculo passado eram vistas como monstros matemticos, j que desafiavam as noes comuns de infinito e para as quais no havia uma explicao objetiva, tm hoje um papel notvel na interpretao da realidade.

Atravs dos estudos realizados no final do sculo XIX e incio do sculo XX, foi possvel fundamentar esta nova cincia que, influiu decisivamente para o rompimento do determinismo, ampliou a abrangncia da geometria e possibilitou ao homem trabalhar com as complexidades da natureza.

Difundida pelo matemtico polons Benoit Mandelbrot (1986), a geometria dos fractais tem atrado interesse cientfico e educacional devido sua potencialidade, versatilidade e fascnio oferecido por sua beleza e pelo grande poder de anlise dos objetos da natureza. Por isso, seu uso tem ocorrido em diversas reas da cincia, tecnologia e arte.

Este trabalho explora a geometria dos fractais, suas caractersticas e propriedades a partir da construo de cartes fractais tridimensionais, destacando aspectos fundamentais da geometria euclidiana.

As atividades com cortes e dobraduras so muito enriquecedoras, no que se refere s inmeras possibilidades que elas oferecem-nos diversos ramos da matemtica. Alm de toda a explorao geomtrica que possvel fazer, noes de proporcionalidade, fraes, funes e lgebra so fortemente evidenciadas nesta prtica.

Acreditamos que, por ser um trabalho diferente, uma quebra da rotina das aulas de matemtica, motiva e envolve os alunos. Outras prticas importantes ocorrem, como o manuseio de instrumentos de medida (rgua, compasso), a abstrao das leis matemticas e o uso da criatividade.

Segundo Navaz et al. (2006), apesar deste tipo de abordagem no ser considerado didtico por muitos professores, pode se tornar um bom aliado para as descobertas, estudos e a construo do conhecimento interdisciplinar.

Ao dobrarmos o papel, executamos verdadeiros atos geomtricos, pois construmos retas, ngulos, polgonos, figuras bidimensionais e tridimensionais (NAVAZ et al., 2006). Podemos ainda rever conceitos de geometria euclidiana plana e espacial durante a construo dos cartes.

Este trabalho apresenta uma proposta de atividade que permite introduzir a geometria dos fractais para o Ensino Fundamental por meio da construo de cartes fractais em trs dimenses, explorando as caractersticas que definem esse conjunto e a geometria euclidiana envolvida no processo de construo.

O que so os Fractais?

Os fractais so conjuntos cuja forma extremamente irregular ou fragmentada e que tm essencialmente a mesma estrutura em todas as escalas. A origem do termo fractal, nomeado por Mandelbrot, est no radical fractus, proveniente do verbo latino frangere, que quer dizer quebrar, produzir pedaos irregulares; vem da mesma raiz a palavra fragmentar, em portugus (MOREIRA, 2003).

As principais propriedades que caracterizam e que permitem definir os conjuntos fractais so:

Auto-similaridade, que pode ser exata ou estatstica, ou seja, mantm a mesma forma e estrutura sob uma transformao de escala (transformao que reduz ou amplia o objeto ou parte dele);

Complexidade infinita, isto , qualquer que seja o nmero de amplificaes de um objeto fractal, nunca obteremos a imagem final, uma vez que ela poder continuar a ser infinitamente ampliada. Irregularidade, no sentido de rugosidade (no-suavidade) ou fragmentao;

Possuir em geral, dimenso no-inteira. A dimenso fractal quantifica, de certo modo, o grau de irregularidade ou fragmentao do conjunto considerado.

A auto-similaridade aproximada ou estatstica refere-se principalmente a objetos da natureza que no so fractais exatos, mas podem ser muito bem descrito por eles, como por exemplo, a estrutura da couve-flor. No caso de determinadas plantas, pode-se encontrar uma certa semelhana entre as pequenas folhas que constituem um pequeno ramo com outros ramos maiores, e que assim sucessivamente iro gerar uma planta, que afinal no muito diferente do pequeno ramo inicial, como mostra a figura 1.

Figura 1: Ramos de uma planta cuja auto-semelhana aproximada.

Fonte: http://www.mat.uc.pt/~mcag/FEA2003/GeometriaFractal.pdfA auto-similaridade exata um conceito artificial, pois no possvel encontrar na natureza objetos rigorosamente iguais a si prprios. Formalmente, uma figura possui auto-semelhana exata se, para qualquer dos seus pontos, existe uma vizinhana que contm uma parte da figura semelhante a toda figura.

No final do sculo XIX e incio do sculo XX, os processos recursivos e iterativos para obteno de conjuntos chamaram a ateno de matemticos como George Cantor, Waclav Sierpinski, Helge von Koch, Pierre Fatou e Gaston Julia. Mandelbrot (1986) afirma que o estudo desses matemticos foi fundamental para o desenvolvimento dessa nova geometria e seus conjuntos so conhecidos como fractais clssicos (BARBOSA, 2002).

O conjunto de Cantor, criado pelo matemtico alemo George Cantor em 1883, construdo da seguinte maneira: tomamos um segmento de reta e o partimos em trs segmentos iguais. Em seguida, o pedao intermedirio retirado. Os dois segmentos restantes so de novo repartidos em trs segmentos iguais e os segmentos intermedirios so retirados. O processo de repartir os segmentos e de retirar o pedao intermedirio prossegue ao infinito. A figura 2 mostra o processo iterativo de construo desse conjunto.

Figura 2: Conjunto de Cantor.

Fonte: http://www.geocities.com/inthechaos/obj.htmO conjunto conhecido como Curva de Koch ou Floco de Neve de Koch foi criada pelo matemtico sueco Helge von Koch em 1904. A construo dessa curva pode ser descrita pelo processo iterativo ilustrado na figura 3.

Figura 3: Floco de neve de Koch.

Fonte: http://scidiv.bcc.ctc.edu/Math/Snowflake.htmlO conjunto conhecido como Tringulo de Sierpinski foi criado pelo matemtico polons Waclav Sierpinski em 1916 e possui, alm de caractersticas e propriedades fractais, relao com o tringulo aritmtico de Pascal (MARTINELLI, 2005). A figura 4 mostra o conjunto obtido pelo processo iterativo.

Figura 4: Tringulo de Sierpinski obtido atravs de processos iterativos.

Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/semtem/semtem99/sem21/framegeral.htmO conjunto conhecido por Conjunto de Julia foi criado pelos matemticos Pierre Fatou e Gaston Julia em 1919. Esse conjunto, obtido por iteraes no plano complexo, resultou da curiosidade de determinar o que aconteceria com um nmero complexo z quando a este fosse aplicado iterativamente a funo (

)

c

z

t

f

+

=

2

, onde c um nmero complexo. Apenas com os modernos computadores foi possvel visualizar a beleza dos grficos de tais funes (Figura 5).

Figura 5: Conjunto de Julia.

Fonte: http://www.matcuer.unam.mx/~aubin/vista/img/julia.jpgO fractal que tem o nome de Conjunto de Mandelbrot, tambm obtido no plano complexo, considerada uma expanso do Conjunto de Julia, pois cada ponto no plano complexo corresponde a um conjunto de Julia diferente. Os pontos que pertencem ao conjunto de Mandelbrot correspondem precisamente aos conjuntos de Julia conexos e os pontos fora do conjunto de Mandelbrot correspondem aos conjuntos de Julia desconexos. Este conjunto, talvez seja o mais complexo objeto conhecido pelos matemticos, como revelam as imagens geradas por computador (Figura 6). medida que ela examinada em nveis cada vez mais altos de ampliao, o observador v-se diante de um desfile interminvel de voltas, rendilhados e formas que se assemelham totalidade do conjunto.

Figura 6: Conjunto de Mandelbrot.

Fonte: http://www.lactamme.polytechnique.fr/Mosaic/images/TOUR.C.11.0032.D/image.jpgNote que, todos esses conjuntos possuem as duas caractersticas fundamentais que definem um fractal: a auto-similaridade e a complexidade infinita. As exploraes desses conjuntos podem ser muito enriquecedoras para as aulas de matemtica. Por exemplo, atravs da construo do Conjunto de Cantor podemos explorar, usando uma tabela, o nmero de segmentos a cada nova iterao, o que nos permite chegar a uma frmula geral, onde possvel obter com total preciso o nmero de segmentos que o conjunto ter para uma iterao qualquer. O interessante que o nmero de segmentos tende ao infinito, porm o comprimento do segmento tende a zero. No Tringulo de Sierpinski, a rea tende a zero. Na Curva de Koch, a rea tende a um limite, porm, seu permetro tende ao infinito.

Uma sugesto de explorao consiste em apresentar a lei de construo dos conjuntos fractais aos alunos e fazer com que eles faam conjecturas e, atravs da construo do fractal busquem, por meio de grficos, tabelas ou algoritmos, explicaes que permitam corroborar ou refutar suas hipteses.

Construindo cartes fractais tridimensionais

A atividade de construo de cartes fractais tridimensionais uma forma motivadora e interessante de apresentar a geometria dos fractais para os estudantes de Ensino Fundamental, pois, devido ao apelo esttico e aos contedos matemticos, envolve e captura a ateno dos alunos.

Segundo Simmt